Finanzrechner (TVM) – Barwert, Endwert, Rate, Laufzeit und Zins berechnen

Lassen Sie von den fünf Feldern (Anzahl der Perioden N, Zinssatz pro Jahr I/Y, Barwert PV, Rate PMT, Endwert FV) nur das gesuchte leer und füllen Sie die anderen vier aus. Das leere Feld wird berechnet.

Perioden N (Anzahl der Zahlungen)

Zinssatz pro Jahr I/Y (%)

Barwert PV (€)

Rate PMT (€)

Endwert FV (€)

Zeitpunkt der Zahlung

P/Y (Zahlungen pro Jahr)

C/Y (Zinsperioden pro Jahr)

Vorzeichenkonvention (wie beim Finanztaschenrechner): Geld, das Sie abgeben, ist negativ, Geld, das Sie bekommen, ist positiv. „20.000 € leihen und jedes Jahr 2.000 € zurückzahlen“ ist zum Beispiel PV = 20000 (rein) und PMT = -2000 (raus). Nicht benötigte Felder auf 0 setzen (ein leeres Feld bedeutet: dieses berechnen). Gerechnet wird mathematisch mit festem Zinssatz – ohne Gebühren, Steuern oder Zinsänderungen echter Produkte.

Ergebnis und Graph

Lassen Sie links von den fünf Feldern nur das gesuchte leer und klicken Sie auf „Berechnen“. Das Ergebnis und ein Graph erscheinen dann hier.

Inhaltsverzeichnis

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Das können Sie auf dieser Seite
Wofür braucht man diese Berechnung?
Anleitung
Formeln und Graphen
Symbole und Begriffe
- Symbole
- Begriffe
Das sollten Sie vorher wissen
So berechnen Sie es in Excel
So berechnen Sie es in Google Tabellen
So berechnen Sie es in Python
So schreiben Sie die Formel in LaTeX und anderen Formelsprachen (zum Kopieren)
So lassen Sie ChatGPT rechnen
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Das können Sie auf dieser Seite

Geben Sie vier der fünf Größen ein – Anzahl der Perioden \(N\), Zinssatz pro Jahr \(I/Y\), Barwert \(PV\), Rate \(PMT\) und Endwert \(FV\) –, dann wird die fünfte berechnet (dasselbe Fünf-Tasten-TVM wie bei Finanztaschenrechnern wie BA II Plus oder HP 12C)
Auch die Vorzeichenkonvention ist dieselbe wie beim Finanztaschenrechner: Geld, das Sie abgeben (anlegen, sparen, zurückzahlen), ist negativ, Geld, das Sie bekommen (Kredit, Auszahlung), ist positiv. Beispiel: Sparen Sie 2.000 € pro Jahr, ist PMT = -2000
Einstellbar sind der Zeitpunkt der Zahlungen (nachschüssig wie bei den meisten Krediten und Sparplänen oder vorschüssig), P/Y (Zahlungen pro Jahr) und C/Y (Zinsperioden pro Jahr)
Neben dem gesuchten Wert sehen Sie die Summe aller Raten und die Zinsen insgesamt. Ist die Anzahl der Perioden eine ganze Zahl bis 20, erscheint auch eine Tabelle mit Zinsen und Saldo für jede Periode
Mit Graph des Saldos. Außerdem auf dieser Seite: eine leicht verständliche Erklärung der Formeln sowie Formeln zum Kopieren für Excel (Funktionen ZW, BW, RMZ, ZINS und ZZR), Google Tabellen und Python

Diese Seite rechnet mathematisch (Zeitwert des Geldes, TVM) mit einem Zinssatz, der über die ganze Laufzeit gleich bleibt. Bei echten Krediten, Sparplänen und Geldanlagen kommen Gebühren, Steuern und Zinsänderungen hinzu – die genauen Beträge erfahren Sie bei Ihrer Bank. Diese Seite empfiehlt kein bestimmtes Finanzprodukt. Nutzen Sie sie zum Lernen (Finanzmathematik und Investitionsrechnung im BWL-Studium, Bankausbildung, CFA) und um zu verstehen, wie Kredite und Renten funktionieren.

Wofür braucht man diese Berechnung?

Finanzmathematik im Studium (die sechs finanzmathematischen Faktoren)

Die sechs Faktoren, die man in der Investitionsrechnung im BWL-Studium oder in der Bankausbildung lernt – Aufzinsungsfaktor, Abzinsungsfaktor, Rentenendwertfaktor, Restwertverteilungsfaktor, Rentenbarwertfaktor und Annuitätenfaktor –, sind alle Umformungen dieser einen TVM-Gleichung. Der Aufzinsungsfaktor ist zum Beispiel einfach \((1+i)^N\), der Rentenendwertfaktor \(\dfrac{(1+i)^N-1}{i}\).
Prüfen Sie sie hier mit verschiedenen Zahlen, verstehen Sie die sechs als „eine Gleichung, verschieden gelesen“ statt als sechs Dinge zum Auswendiglernen – das hilft auch bei schwierigeren Aufgaben.

Die Monatsrate einer Baufinanzierung verstehen

„300.000 € als Annuitätendarlehen zu 3,5 % Sollzins, in 30 Jahren vollständig getilgt“ ist PV = +300.000, N = 360 (30 Jahre × 12), monatliche Zahlung (P/Y = C/Y = 12) und FV = 0; gesucht ist PMT. Die Rate beträgt rund 1.347,13 € im Monat. Insgesamt zahlen Sie rund 484.968 €, die Zinsen machen also rund 184.968 € aus.
Wer den Aufbau kennt, sieht selbst, wie stark Kreditbetrag, Zinssatz und Laufzeit jeweils wirken. In Deutschland ist der Zins meist nur 10 bis 15 Jahre festgeschrieben (Zinsbindung); danach bleibt eine Restschuld, die neu finanziert wird – die bekommen Sie hier, indem Sie N auf die Monate der Zinsbindung setzen und FV berechnen. Den genauen Betrag nennt Ihnen die Bank.

Einen Entnahmeplan für den Ruhestand planen (wie viel Kapital nötig ist)

„Ich möchte 25 Jahre lang jedes Jahr 24.000 € entnehmen. Wenn mein Kapital 4 % pro Jahr bringt, wie viel brauche ich zu Beginn?“ ist PMT = +24.000, N = 25 und FV = 0; gesucht ist PV. Das Ergebnis ist rund 374.930 € (PV = −374.929,92, das Geld, das Sie zu Beginn einbringen).
Ausgezahlt werden insgesamt 600.000 €, die Differenz von rund 225.070 € erwirtschaften die Zinsen. Zu sehen, wie stark das nötige Kapital vom Zinssatz abhängt, hilft sehr bei der Planung des Ruhestands (bei echten Geldanlagen ist die Rendite nicht fest, und Verluste sind möglich).

Abschätzen, wie lange es bis zum Sparziel dauert

„Wenn ich jeden Monat 200 € zu 3 % (monatliche Verzinsung) spare – wann habe ich 20.000 €?“ ist PMT = −200, FV = +20.000 und P/Y = C/Y = 12; gesucht ist N. Das Ergebnis sind rund 89,4 Monate (etwa 7,4 Jahre).
Bei 0 % wären es 100 Monate – dank der Zinsen erreichen Sie das Ziel also rund 10 Monate früher. In Zahlen zu sehen, wie viel die Zinsen helfen, macht das Berechnen von N spannend.

Den Zinsanteil in Ratenkredit und Ratenkauf erkennen

Für einen Ratenkredit über 20.000 € zu 5 % in 60 Monatsraten setzen Sie PV = +20.000, N = 60, P/Y = C/Y = 12 und FV = 0 und berechnen PMT. Die Rate beträgt rund 377,42 € im Monat, insgesamt rund 22.645,48 € – davon rund 2.645,48 € Zinsen.
Umgekehrt: Kennen Sie nur die Monatsrate und die Gesamtsumme, verrät Ihnen das Berechnen von I/Y den tatsächlichen Zinssatz. Das hilft beim Vergleich von Ratenkrediten, Leasing, Ratenkauf im Handel oder „0-%-Finanzierungen“ beim Handy.

Formeln und Graphen

Die TVM-Gleichung (Grundformel für den Zeitwert des Geldes, nachschüssig)

Graph

Mathematische Schreibweise (die übliche Formel)

\(PV\) \(\times\) \((1+i)\) \(N\) \(+\) \(PMT\) \(\times\) \(\dfrac{(1+i)^{N}-1}{i}\) \(+\) \(FV\) \(=\) \(0\)

In Worten (Symbole durch Wörter ersetzt)

① \(PV\): Barwert \(\times\) ② Wachstumsfaktor pro Periode ③ \(N\): Anzahl der Perioden \(+\) ④ Rate pro Periode \(\times\) ⑤ Rentenendwertfaktor \(+\) ⑥ \(FV\): Endwert \(=\) \(0\)

Die Formel in Worten

① Das Geld von heute, den \(PV\): Barwert , multiplizieren Sie mit dem

② Wachstumsfaktor pro Periode \((1+i)\) , und zwar so oft, wie es

③ \(N\): Anzahl der Perioden gibt.

④ Dazu kommt die \(PMT\): Rate pro Periode

⑤ mal dem Rentenendwertfaktor (was aus einer Zahlung von 1 pro Periode mit Zinsen wird)

⑥ und der \(FV\): Endwert . Diese drei Teile ergeben zusammen 0 – der ein- und ausgehende Zahlungsstrom gleicht sich einschließlich Zinsen genau aus

Einfaches Beispiel

Leihen Sie 1.000 € zu 6 % pro Jahr (PV = +1000, Geld kommt rein) und zahlen alles ohne Zwischenraten (PMT = 0) nach 5 Jahren auf einmal zurück, beträgt der Rückzahlungsbetrag (FV)

Barwert (+1000) \(\times\) Wachstumsfaktor (1,06) Perioden (5) \(+\) \(FV\): Endwert \(=\) \(0\)

\(1000 \times 1{,}06^{5} + FV = 0\)

\(FV = -1000 \times 1{,}06^{5} \approx -1338{,}23\)

Der Grundgedanke

Der Schlüssel zu dieser Gleichung ist die Vorzeichenkonvention: Geld, das Sie abgeben, ist negativ, Geld, das Sie bekommen, ist positiv. Im Beispiel bedeutet das Minus in „FV = −1.338,23“: „Sie zahlen nach 5 Jahren 1.338,23 €.“ Ebenso ist das Sparen von 2.000 € pro Jahr Geld, das Sie abgeben – also PMT = −2000. Diese Konvention haben Finanztaschenrechner wie BA II Plus und HP 12C und die Excel-Funktionen ZW, BW und RMZ gemeinsam. \(i\) ist der Zinssatz pro Periode (bei jährlichen Zahlungen der Zinssatz pro Jahr selbst; bei 6 % ist \(i = 0{,}06\)). In der allgemeinen Form mit \(g\) wird der \(PMT\)-Term bei vorschüssiger Zahlung einmal mehr mit \((1+i)\) multipliziert, weil früher gezahltes Geld eine Periode länger verzinst wird.

Nach dem Endwert FV auflösen (nachschüssig)

Graph

Mathematische Schreibweise (die übliche Formel)

\(FV\) \(=\) \(-\) \((\) \(PV\) \(\times\) \((1+i)\) \(N\) \(+\) \(PMT\) \(\times\) \(\dfrac{(1+i)^{N}-1}{i}\) \()\)

In Worten (Symbole durch Wörter ersetzt)

⑥ \(FV\): Endwert \(=\) \(-\) \((\) ① \(PV\): Barwert \(\times\) ② Wachstumsfaktor pro Periode ③ \(N\): Anzahl der Perioden \(+\) ④ Rate pro Periode \(\times\) ⑤ Rentenendwertfaktor \()\)

Die Formel in Worten

① Den \(PV\): Barwert multiplizieren Sie mit dem

② Wachstumsfaktor pro Periode \((1+i)\) , so oft, wie es

③ \(N\): Anzahl der Perioden gibt.

④ Addieren Sie die \(PMT\): Rate pro Periode

⑤ mal dem Rentenendwertfaktor und kehren Sie das Vorzeichen der Summe um. Das ergibt den

⑥ \(FV\): Endwert .

Einfaches Beispiel

Sparen Sie 5 Jahre lang jedes Jahr 2.000 € zu 3 % (PV = 0, PMT = −2000, nachschüssig), bekommen Sie nach 5 Jahren (FV)

\(FV\): Endwert \(=\) \(-\) \((\) Rate (−2000) \(\times\) Rentenendwertfaktor (etwa 5,31) \()\)

\(\dfrac{1{,}03^{5}-1}{0{,}03} \approx 5{,}3091\)

\(FV = -\left( 0 + (-2000) \times 5{,}3091 \right) \approx 10618{,}27\)

Der Grundgedanke

Das Geld, das Sie abgeben und negativ eingeben (2.000 € Sparrate pro Jahr), kommt als Geld zurück, das Sie bekommen – eine positive Zahl (rund 10.618 €). Dieser Vorzeichenwechsel ist der Schlüssel, um TVM-Ergebnisse zu lesen. Eingezahlt haben Sie 2.000 € × 5 Jahre = 10.000 €, die Differenz von rund 618 € sind Zinsen. Bei vorschüssiger Zahlung (jeweils zu Jahresbeginn) wird der \(PMT\)-Term einmal mehr mit \((1+i)\) multipliziert, also \(FV \approx 10618{,}27 \times 1{,}03 \approx 10936{,}82\) Euro.

Nach der Anzahl der Perioden N auflösen (Logarithmus, bei PMT = 0)

Graph

Mathematische Schreibweise (die übliche Formel)

\(N\) \(=\) \(\ln\!\left(-\dfrac{FV}{PV}\right)\) \(\div\) \(\ln(1+i)\)

In Worten (Symbole durch Wörter ersetzt)

③ \(N\): Anzahl der Perioden \(=\) ① Logarithmus des Wachstumsfaktors \(\div\) ② Logarithmus einer Periode

Die Formel in Worten

① Bestimmen Sie, auf das Wievielfache das Geld wächst (Wachstumsfaktor \(-FV \div PV\)), und nehmen Sie den Logarithmus des Wachstumsfaktors \(\ln(-FV \div PV)\)

② Teilen Sie ihn durch den Logarithmus des Wachstumsfaktors einer Periode \(\ln(1+i)\) . Das ergibt die

③ \(N\): Anzahl der Perioden .

Einfaches Beispiel

Legen Sie 1.000 € zu 8 % pro Jahr an (PV = −1000), dauert es bis 2.000 € (FV = +2000, Faktor 2) so viele Perioden

\(N\): Anzahl der Perioden \(=\) Logarithmus des Wachstumsfaktors (2) \(\div\) Logarithmus einer Periode (1,08)

\(-FV \div PV = -2000 \div (-1000) = 2\)

\(N = \ln 2 \div \ln 1{,}08 \approx 0{,}6931 \div 0{,}07696 \approx 9{,}006\)

Der Grundgedanke

\(N\) steht im Exponenten, deshalb lösen Sie mit dem Logarithmus (\(\ln\)) danach auf – dem Werkzeug, das einen Exponenten „herunterholt“. Logarithmieren Sie beide Seiten von \((1+i)^N = -FV \div PV\), erhalten Sie \(N \ln(1+i) = \ln(-FV \div PV)\) und damit die Formel oben. Gibt es auch Raten (\(PMT \neq 0\)), setzen Sie \(K = PMT(1+i \cdot g) \div i\). Dann wird die Gleichung zu \((PV + K)(1+i)^N = K - FV\), die sich ebenfalls mit dem Logarithmus lösen lässt (der Rechner auf dieser Seite nutzt diese allgemeine Form). Ergibt sich ein Wachstumsfaktor von 0 oder weniger (zum Beispiel, weil Sie Geld angelegt, aber beiden Beträgen dasselbe Vorzeichen gegeben haben), gibt es keine Lösung.

Die Sonderformel für 0 % Zinsen (bei i = 0)

Graph

Mathematische Schreibweise (die übliche Formel)

\(PV\) \(+\) \(PMT\) \(\times\) \(N\) \(+\) \(FV\) \(=\) \(0\)

In Worten (Symbole durch Wörter ersetzt)

① \(PV\): Barwert \(+\) ② Rate pro Periode \(\times\) ③ \(N\): Anzahl der Perioden \(+\) ④ \(FV\): Endwert \(=\) \(0\)

Die Formel in Worten

① Addieren Sie den \(PV\): Barwert , die

② \(PMT\): Rate pro Periode

③ mal der \(N\): Anzahl der Perioden

④ und den \(FV\): Endwert . Die Summe ist 0 (ohne Zinsen ist alles nur Addieren und Subtrahieren)

Einfaches Beispiel

Bei 0 % Zinsen zahlen Sie zuerst 1.000 € ein (PV = −1000) und sparen 12 Jahre lang jedes Jahr 100 € (PMT = −100). Nach 12 Jahren bekommen Sie (FV)

Barwert (−1000) \(+\) Rate (−100) \(\times\) Perioden (12) \(+\) \(FV\): Endwert \(=\) \(0\)

\(-1000 + (-100) \times 12 + FV = 0\)

\(FV = 1000 + 1200 = 2200\)

Der Grundgedanke

In der TVM-Gleichung wird durch \(i\) geteilt, bei 0 % Zinsen (\(i = 0\)) lässt sie sich also nicht direkt verwenden. Ohne Zinsen ist aber alles einfach: Das eingezahlte Geld kommt genau so zurück, es ist reine Addition. Der Rechner auf dieser Seite wechselt bei \(i = 0\) automatisch zu dieser Formel.

Der TVM (Zeitwert des Geldes) ist eine einzige Gleichung, die besagt, dass sich Geld von heute, Zahlungen in jeder Periode und Geld in der Zukunft einschließlich Zinsen ausgleichen. Solange Sie die Vorzeichenkonvention einhalten (abgegebenes Geld negativ, erhaltenes Geld positiv), lässt sich jede der fünf Größen (N, I/Y, PV, PMT, FV) aus den anderen vier berechnen. Nur der Zinssatz I/Y lässt sich nicht durch Umformen isolieren; er wird numerisch (per Bisektion) bestimmt.

Symbole und Begriffe

Symbole

\(PV\)	P V	Barwert (englisch present value). Das Geld, das jetzt fließt. Positiv, wenn Sie es leihen oder bekommen, negativ, wenn Sie es anlegen oder investieren.
\(FV\)	F V	Endwert (englisch future value). Das Geld, das am Ende der Laufzeit fließt. Positiv, wenn Sie es am Ende bekommen, negativ, wenn Sie es zahlen.
\(PMT\)	Payment (Rate)	Die Rate pro Periode (englisch payment). Das Geld, das in jeder Periode fließt. Geld, das Sie abgeben, etwa Sparraten oder Kreditraten, ist negativ; Geld, das reinkommt, etwa Mieteinnahmen, ist positiv.
\(N\)	N	Die Anzahl der Perioden (Anzahl der Zahlungen). Bei jährlichen Zahlungen gleich der Zahl der Jahre, bei monatlichen Zahlungen (P/Y = 12) zählen Sie Monate (10 Jahre sind \(N = 120\)).
\(I/Y\)	I durch Y	Zinssatz pro Jahr (englisch interest per year) in %. Der Name stammt direkt von der Taste des Finanztaschenrechners.
\(P/Y\)	P durch Y	Zahlungen pro Jahr (englisch payments per year). Wie viele Raten \(PMT\) es in einem Jahr gibt: 1 bei jährlichen, 12 bei monatlichen Zahlungen.
\(C/Y\)	C durch Y	Zinsperioden pro Jahr (englisch compounding per year). Wie oft pro Jahr die Zinsen dem Saldo gutgeschrieben werden. Meist derselbe Wert wie \(P/Y\); weicht er ab, wird die Zinsperiode auf die Zahlungsperiode umgerechnet.
\(i\)	kleines i	Der Zinssatz pro Periode als Dezimalzahl. Bei jährlichen Zahlungen der Zinssatz pro Jahr selbst (bei 6 % ist \(i = 0{,}06\)), bei monatlichen Zahlungen der Zinssatz pro Monat.
\(g\)	g	Ein Schalter für den Zahlungszeitpunkt: \(g = 1\) für vorschüssig, \(g = 0\) für nachschüssig. Bei vorschüssiger Zahlung wird der \(PMT\)-Term einmal mehr mit \((1+i)\) multipliziert.
\(\ln\)	Logarithmus naturalis (l n)	Der natürliche Logarithmus. Ein Werkzeug, das bestimmt, wie oft man multiplizieren muss, um einen Faktor zu erreichen. Damit wird die Anzahl der Perioden \(N\) berechnet.

Begriffe

Zeitwert des Geldes (TVM)	Der Gedanke, dass 10.000 € heute mehr wert sind als 10.000 € in der Zukunft, weil Geld, das man jetzt hat, Zinsen bringen kann (englisch time value of money). Er ist die Grundlage der Finanzmathematik, und die Gleichung auf dieser Seite fasst ihn in eine einzige Formel.
Barwert	Was künftiges Geld in heutigem Geld wert ist. Bei 2 % pro Jahr sind zum Beispiel 10.200 € in einem Jahr genauso viel wert wie 10.000 € heute.
Endwert	Was aus Geld von heute oder aus regelmäßigen Sparraten einschließlich Zinsen in der Zukunft wird.
Abzinsung	Das Umrechnen von künftigem Geld in seinen Barwert (auch Diskontierung). Der künftige Betrag wird durch \((1+i)^N\) geteilt, der Wert wird also kleiner. Es ist genau die Umkehrung der Aufzinsung (Zinseszins).
Rentenendwertfaktor	Der Faktor \(\dfrac{(1+i)^N - 1}{i}\): was aus einer Zahlung von 1 € pro Periode mit Zinsen wird. Er gehört zu den sechs finanzmathematischen Faktoren der Investitionsrechnung und wird mit der Rate pro Periode multipliziert.
Rentenbarwertfaktor	Der Faktor \(\dfrac{1-(1+i)^{-N}}{i}\): was das Recht, pro Periode 1 € zu bekommen, heute wert ist. Er ist die Barwert-Version des Rentenendwertfaktors und wird für Renten und Kredite gebraucht (Zusammenhang zwischen Kreditbetrag und Rate). Sein Kehrwert ist der Annuitätenfaktor.
Zahlungsstrom	Der Fluss von Geld hinein und hinaus (englisch cash flow). Beim TVM zählt nur, wann, wie viel und in welche Richtung Geld fließt; die Richtung zeigt das Vorzeichen (Plus oder Minus).
Vorzeichenkonvention	Die Regel, dass Geld, das Sie abgeben (anlegen, sparen, zurückzahlen), negativ ist und Geld, das Sie bekommen (Kredit, Auszahlung), positiv. Finanztaschenrechner und die Finanzfunktionen von Excel nutzen dieselbe Regel – so passen Kredite, Sparpläne und Renten in dieselbe Gleichung.
nachschüssig	Zahlungen (PMT) jeweils am Ende der Periode (englisch ordinary annuity, Taste END). So funktionieren die meisten Kreditraten und Sparpläne, und es ist die Voreinstellung auf dieser Seite.
vorschüssig	Zahlungen (PMT) jeweils am Anfang der Periode (englisch annuity due, Taste BGN). Dieselbe Zahlung wird eine Periode früher verzinst, deshalb wird der \(PMT\)-Term einmal mehr mit \((1+i)\) multipliziert. Miete, die im Voraus gezahlt wird, und Leasingraten funktionieren so.
Finanztaschenrechner	Ein Taschenrechner mit eigenen TVM-Tasten (N, I/Y, PV, PMT, FV). Bekannt sind der BA II Plus von Texas Instruments und der HP 12C; sie werden etwa in der CFA-Prüfung und in der Praxis eingesetzt. Diese Seite ist eine Web-Version mit denselben fünf Tasten.
Bisektionsverfahren	Ein numerisches Verfahren (Intervallhalbierung), das eine Näherungslösung findet, indem es das Intervall mit der Lösung immer wieder halbiert – für Fälle, in denen sich die Lösung nicht durch Umformen isolieren lässt. Nach dem Zinssatz I/Y aufzulösen heißt, eine Gleichung N-ten Grades zu lösen, für die es keine allgemeine Formel gibt; deshalb rechnet diese Seite mit Bisektion.

Das sollten Sie vorher wissen

Damit Sie die Rechnung auf dieser Seite nicht nur per Knopfdruck, sondern mit echtem Verständnis nutzen, hilft Folgendes.

Positive und negative Zahlen (Klasse 6–7, 11–13 Jahre)	Eine negative Zahl als Größe in der Gegenrichtung lesen können (auf dieser Seite ist Geld, das Sie abgeben, negativ) Mit negativen Zahlen multiplizieren können, etwa \((-2000) \times 5 = -10000\)
Prozentrechnung (Klasse 6–7, 11–13 Jahre)	„6 %“ als Dezimalzahl 0,06 schreiben können Wissen, dass „6 % mehr“ dasselbe bedeutet wie „× 1,06“
Potenzen (Klasse 7–9, 12–15 Jahre)	Wissen, dass \(1{,}06^{5}\) „1,06 fünfmal mit sich selbst multipliziert“ bedeutet
Grundlagen des Zinseszinses (Zinseszinsrechner auf dieser Website)	Verstehen, wie der Zinseszins funktioniert – auch die erhaltenen Zinsen bringen wieder Zinsen
Logarithmus (Klasse 10–11, 15–17 Jahre, zur Vertiefung)	Mit dem Logarithmus bestimmen können, wie oft man multiplizieren muss, um einen Faktor zu erreichen (nötig für die Anzahl der Perioden N; wenn nicht, rechnet der Rechner es für Sie aus)

So berechnen Sie es in Excel

Kopieren Sie die ganze Tabelle und fügen Sie sie in Zelle A1 von Excel ein – dann funktioniert sie direkt.

Tabelle für den Endwert FV (Funktion ZW)

Zinssatz pro Periode (6 % = 0,06)	0,06
Anzahl der Perioden N	10
Rate PMT	-2000
Barwert PV	20000
Endwert FV	=ZW(B1;B2;B3;B4;0)

Tabelle für die Rate PMT (Funktion RMZ)

Zinssatz pro Periode (6 % = 0,06)	0,06
Anzahl der Perioden N	10
Barwert PV	20000
Endwert FV	0
Rate PMT	=RMZ(B1;B2;B3;B4;0)

Tabelle für den Zinssatz (Funktion ZINS)

Anzahl der Perioden N	5
Rate PMT	0
Barwert PV	-1000
Endwert FV	1500
Zinssatz pro Periode	=ZINS(B1;B2;B3;B4)

Tabelle für die Anzahl der Perioden N (Funktion ZZR)

Zinssatz pro Periode (8 % = 0,08)	0,08
Rate PMT	0
Barwert PV	-1000
Endwert FV	2000
Anzahl der Perioden N	=ZZR(B1;B2;B3;B4)

Tabelle für den Barwert PV (Funktion BW, vorschüssig)

Zinssatz pro Periode (5 % = 0,05)	0,05
Anzahl der Perioden N	20
Rate PMT	-100
Endwert FV	0
Barwert PV	=BW(B1;B2;B3;B4;1)

Excel hat eigene TVM-Funktionen (ZW, RMZ, ZINS, ZZR und BW), und sie nutzen dieselbe Vorzeichenkonvention wie diese Seite (abgegebenes Geld negativ, erhaltenes Geld positiv).
Die erste Tabelle zeigt in B5 -9.455,36, die zweite -2.717,36, die dritte rund 0,0845 (ein Zinssatz von 8,447 % pro Jahr; als Prozent formatiert ist er leichter zu lesen), die vierte rund 9,006 und die fünfte 1.308,53.
Das letzte Argument von ZW, RMZ und BW ist der Zahlungszeitpunkt: 0 oder weggelassen = nachschüssig, 1 = vorschüssig. Bei monatlichen Zahlungen geben Sie den Zinssatz pro Monat (Zinssatz pro Jahr ÷ 12) und N in Monaten ein.

So berechnen Sie es in Google Tabellen

Kopieren Sie die ganze Tabelle und fügen Sie sie in Zelle A1 von Google Tabellen ein – dann funktioniert sie direkt.

Tabelle für den Endwert FV (Funktion ZW)

Zinssatz pro Periode (6 % = 0,06)	0,06
Anzahl der Perioden N	10
Rate PMT	-2000
Barwert PV	20000
Endwert FV	=ZW(B1;B2;B3;B4;0)

Tabelle für die Rate PMT (Funktion RMZ)

Zinssatz pro Periode (6 % = 0,06)	0,06
Anzahl der Perioden N	10
Barwert PV	20000
Endwert FV	0
Rate PMT	=RMZ(B1;B2;B3;B4;0)

Tabelle für den Zinssatz (Funktion ZINS)

Anzahl der Perioden N	5
Rate PMT	0
Barwert PV	-1000
Endwert FV	1500
Zinssatz pro Periode	=ZINS(B1;B2;B3;B4)

Tabelle für die Anzahl der Perioden N (Funktion ZZR)

Zinssatz pro Periode (8 % = 0,08)	0,08
Rate PMT	0
Barwert PV	-1000
Endwert FV	2000
Anzahl der Perioden N	=ZZR(B1;B2;B3;B4)

Tabelle für den Barwert PV (Funktion BW, vorschüssig)

Zinssatz pro Periode (5 % = 0,05)	0,05
Anzahl der Perioden N	20
Rate PMT	-100
Endwert FV	0
Barwert PV	=BW(B1;B2;B3;B4;1)

Google Tabellen nutzt dieselben Funktionen (ZW, RMZ, ZINS, ZZR, BW) und dieselbe Vorzeichenkonvention wie Excel. Kopieren Sie die ganze Tabelle, fügen Sie sie in Zelle A1 ein und ersetzen Sie die Eingaben in Spalte B durch Ihre eigenen Zahlen.

So berechnen Sie es in Python

import math

# Den gesuchten Wert auf None setzen (dieses Beispiel berechnet fv)
n = 10            # Anzahl der Perioden N (Anzahl der Zahlungen)
annual_rate = 6   # Zinssatz pro Jahr I/Y (%)
pv = 20000        # Barwert PV (Geld rein = positiv, Geld raus = negativ)
pmt = -2000       # Rate PMT
fv = None         # Endwert FV
is_beginning = False  # True = vorschüssig, False = nachschüssig

g = 1 if is_beginning else 0
# Zinssatz pro Periode (jährliche Zahlungen; bei monatlichen durch 12 teilen und n in Monaten zählen). Beim Berechnen des Zinssatzes None lassen
i = annual_rate / 100 if annual_rate is not None else None

def tvm_left_side(i_, n_, pv_, pmt_, fv_):
    """Linke Seite der TVM-Gleichung (die Lösung macht sie zu 0)"""
    if abs(i_) < 1e-12:
        return pv_ + pmt_ * n_ + fv_
    growth = (1 + i_) ** n_
    return pv_ * growth + pmt_ * (1 + i_ * g) * (growth - 1) / i_ + fv_

if fv is None:
    fv = -(pv + pmt * n) if abs(i) < 1e-12 else -(pv * (1 + i) ** n + pmt * (1 + i * g) * ((1 + i) ** n - 1) / i)
    print(f"Endwert FV = {fv:,.2f}")
elif pv is None:
    pv = -(fv + pmt * n) if abs(i) < 1e-12 else -(fv + pmt * (1 + i * g) * ((1 + i) ** n - 1) / i) / (1 + i) ** n
    print(f"Barwert PV = {pv:,.2f}")
elif pmt is None:
    pmt = -(pv + fv) / n if abs(i) < 1e-12 else -(pv * (1 + i) ** n + fv) / ((1 + i * g) * ((1 + i) ** n - 1) / i)
    print(f"Rate PMT = {pmt:,.2f}")
elif n is None:
    if abs(i) < 1e-12:
        n = -(pv + fv) / pmt
    else:
        k = pmt * (1 + i * g) / i
        n = math.log((k - fv) / (pv + k)) / math.log(1 + i)
    print(f"Anzahl der Perioden N = {n:.3f}")
else:
    # Der Zinssatz lässt sich nicht durch Umformen isolieren, daher Suche per Bisektion (manche Eingaben haben keine Lösung)
    low, high = -0.9999, 10.0
    if tvm_left_side(low, n, pv, pmt, fv) * tvm_left_side(high, n, pv, pmt, fv) > 0:
        raise SystemExit("Keine Lösung in diesem Bereich. Prüfen Sie die Richtung (das Vorzeichen) der Zahlungen")
    for _ in range(200):
        mid = (low + high) / 2
        if tvm_left_side(low, n, pv, pmt, fv) * tvm_left_side(mid, n, pv, pmt, fv) <= 0:
            high = mid
        else:
            low = mid
    i = (low + high) / 2
    print(f"Zinssatz pro Jahr I/Y = {i * 100:.3f} %")

total_interest = abs(pv + pmt * n + fv)
print(f"Zinsen insgesamt = {total_interest:,.2f}")

Läuft nur mit der Standardbibliothek. Setzen Sie den gesuchten Wert auf None, tragen Sie in die anderen vier Zahlen ein und führen Sie den Code aus. Die Vorzeichenkonvention (abgegebenes Geld negativ, erhaltenes Geld positiv) ist dieselbe wie beim Rechner auf dieser Seite. Nur für den Zinssatz gibt es keine Formel; er wird per Bisektion bestimmt (das Intervall mit der Lösung wird immer wieder halbiert). Python schreibt Dezimalzahlen mit Punkt statt Komma.

So schreiben Sie die Formel in LaTeX und anderen Formelsprachen (zum Kopieren)

Die TVM-Gleichung (Grundformel für den Zeitwert des Geldes, nachschüssig)

PV(1 + i)ᴺ + PMT × ((1 + i)ᴺ − 1)/i + FV = 0

PV(1+i)^{N} + PMT \cdot \dfrac{(1+i)^{N}-1}{i} + FV = 0

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>PV</mi>
    <msup>
      <mrow><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>i</mi><mo>)</mo></mrow>
      <mi>N</mi>
    </msup>
    <mo>+</mo>
    <mi>PMT</mi>
    <mo>&#x22C5;</mo>
    <mfrac>
      <mrow>
        <msup>
          <mrow><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>i</mi><mo>)</mo></mrow>
          <mi>N</mi>
        </msup>
        <mo>&#x2212;</mo>
        <mn>1</mn>
      </mrow>
      <mi>i</mi>
    </mfrac>
    <mo>+</mo>
    <mi>FV</mi>
    <mo>=</mo>
    <mn>0</mn>
  </mrow>
</math>

PV(1+i)^N + PMT((1+i)^N-1)/i + FV = 0

pv (1 + i)^n + pmt ((1 + i)^n - 1)/i + fv == 0

pv*(1 + i)^n + pmt*((1 + i)^n - 1)/i + fv = 0;

pv*(1 + i)^n + pmt*((1 + i)^n - 1)/i + fv == 0

PV(1+i)^N + PMT((1+i)^N-1)/i + FV = 0

Nach dem Endwert FV auflösen (nachschüssig)

FV = −(PV(1 + i)ᴺ + PMT × ((1 + i)ᴺ − 1)/i)

FV = -\left( PV(1+i)^{N} + PMT \cdot \dfrac{(1+i)^{N}-1}{i} \right)

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>FV</mi>
    <mo>=</mo>
    <mo>&#x2212;</mo>
    <mrow>
      <mo>(</mo>
      <mi>PV</mi>
      <msup>
        <mrow><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>i</mi><mo>)</mo></mrow>
        <mi>N</mi>
      </msup>
      <mo>+</mo>
      <mi>PMT</mi>
      <mo>&#x22C5;</mo>
      <mfrac>
        <mrow>
          <msup>
            <mrow><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>i</mi><mo>)</mo></mrow>
            <mi>N</mi>
          </msup>
          <mo>&#x2212;</mo>
          <mn>1</mn>
        </mrow>
        <mi>i</mi>
      </mfrac>
      <mo>)</mo>
    </mrow>
  </mrow>
</math>

FV = -(PV(1+i)^N + PMT((1+i)^N-1)/i)

fv = -(pv (1 + i)^n + pmt ((1 + i)^n - 1)/i)

fv := -(pv*(1 + i)^n + pmt*((1 + i)^n - 1)/i);

fv = -(pv*(1 + i)^n + pmt*((1 + i)^n - 1)/i);

FV = -(PV(1+i)^N + PMT((1+i)^N-1)/i)

Nach der Anzahl der Perioden N auflösen (Logarithmus, bei PMT = 0)

N = ln(−FV/PV) / ln(1 + i)

N = \dfrac{\ln\left(-\dfrac{FV}{PV}\right)}{\ln(1+i)}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>N</mi>
    <mo>=</mo>
    <mfrac>
      <mrow>
        <mi>ln</mi>
        <mrow>
          <mo>(</mo>
          <mo>&#x2212;</mo>
          <mfrac><mi>FV</mi><mi>PV</mi></mfrac>
          <mo>)</mo>
        </mrow>
      </mrow>
      <mrow>
        <mi>ln</mi>
        <mrow><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>i</mi><mo>)</mo></mrow>
      </mrow>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

N = ln(-FV/PV) / ln(1+i)

n = Log[-fv/pv]/Log[1 + i]

n := ln(-fv/pv)/ln(1 + i);

n = log(-fv/pv)/log(1 + i);

N = ln(-FV/PV)/ln(1+i)

Die Sonderformel für 0 % Zinsen (bei i = 0)

PV + PMT × N + FV = 0

PV + PMT \cdot N + FV = 0

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>PV</mi>
    <mo>+</mo>
    <mi>PMT</mi>
    <mo>&#x22C5;</mo>
    <mi>N</mi>
    <mo>+</mo>
    <mi>FV</mi>
    <mo>=</mo>
    <mn>0</mn>
  </mrow>
</math>

PV + PMT * N + FV = 0

pv + pmt n + fv == 0

pv + pmt*n + fv = 0;

pv + pmt*n + fv == 0

PV + PMT N + FV = 0

So lassen Sie ChatGPT rechnen

Sie sind ein Assistent für Finanzmathematik (Zeitwert des Geldes, TVM). Führen Sie die folgende Berechnung aus, indem Sie tatsächlich Python-Code ausführen, und stützen Sie Ihre Antwort ausschließlich auf die Zahlen aus dem Ausführungsergebnis (nicht im Kopf rechnen oder schätzen).

Verwenden Sie die übliche TVM-Gleichung PV(1+i)^N + PMT(1+i*g)*((1+i)^N - 1)/i + FV = 0 (g=1 für vorschüssige, g=0 für nachschüssige Zahlungen).
Die Vorzeichenkonvention ist dieselbe wie beim Finanztaschenrechner: Geld, das man abgibt, ist negativ, Geld, das man bekommt, ist positiv.

Sie leihen 20.000 € zu 6 % pro Jahr (PV = +20000) und tilgen den Kredit mit gleich hohen Raten am Ende jedes Jahres über 10 Jahre vollständig (FV = 0).
Berechnen Sie:
1. Die jährliche Rate PMT
2. Die Summe aller Raten (PMT × 10)
3. Die Zinsen insgesamt (|PV + PMT×N + FV|)

Zeigen Sie die verwendeten Formeln und die Zahlen aus dem Ausführungsergebnis.

Anleitung

1

Werte eingeben

Tragen Sie die Zahlen, mit denen Sie rechnen möchten, in die Eingabefelder ein
2

Berechnen

Klicken Sie auf die Schaltfläche „Berechnen“
3

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Das Ergebnis erscheint sofort. Auf derselben Seite finden Sie auch den Rechenweg und die Erklärung der Formel