Finanzrechner (Zeitwert des Geldes, TVM)

Lassen Sie von den fünf Feldern (Anzahl der Perioden N, Jahreszinssatz I/Y, Barwert PV, Zahlung PMT und Endwert FV) nur das gesuchte leer und füllen Sie die anderen vier aus. Das leere Feld wird berechnet.

Anzahl der Perioden N (Zahlungen)

Jahreszinssatz I/Y (%)

Barwert PV (€)

Zahlung PMT (€)

Endwert FV (€)

Zahlungszeitpunkt

P/Y (Zahlungen pro Jahr)

C/Y (Verzinsungen pro Jahr)

Vorzeichenkonvention (wie bei einem Finanzrechner): Geld, das Sie verlässt, geben Sie negativ ein, Geld, das zu Ihnen kommt, positiv. „20.000 € leihen und jedes Jahr 2.000 € zurückzahlen“ ist zum Beispiel PV = 20000 (kommt herein) und PMT = -2000 (geht hinaus). Geben Sie in nicht benötigten Feldern 0 ein (ein leeres Feld sagt dem Rechner, dass es berechnet werden soll). Es handelt sich um eine mathematische Berechnung mit festem Zinssatz. Gebühren, Steuern und Zinsänderungen echter Produkte sind nicht enthalten.

Ergebnis und Diagramm

Lassen Sie von den fünf Feldern links nur das gesuchte leer und klicken Sie auf „Berechnen“. Das Ergebnis und ein Diagramm erscheinen hier.

Inhaltsverzeichnis

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Was Sie auf dieser Seite tun können
Wofür ist diese Berechnung nützlich?
Anleitung
Formeln und Diagramme
Symbole und Begriffe
- Symbole
- Begriffe
Was Sie vorab wissen sollten
Mit Excel berechnen
Mit Google Tabellen berechnen
Mit Python berechnen
Die Formel in LaTeX und anderen mathematischen Schreibweisen (zum Kopieren)
Die Berechnung von ChatGPT ausführen lassen
Die Vorteile von DataChef
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Was Sie auf dieser Seite tun können

Geben Sie vier der fünf Größen Anzahl der Perioden \(N\), Jahreszinssatz \(I/Y\), Barwert \(PV\), Zahlung pro Periode \(PMT\) und Endwert \(FV\) ein, und die fünfte wird berechnet (dieselbe Fünf-Tasten-Bedienung für TVM wie bei Finanzrechnern wie dem BA II Plus und dem HP 12C)
Auch die Vorzeichenkonvention ist dieselbe wie bei einem Finanzrechner: Geld, das Sie verlässt (Einzahlungen, Sparraten, Rückzahlungen), geben Sie negativ ein, Geld, das zu Ihnen kommt (ein erhaltener Kredit, Auszahlungen), positiv. Beispiel: Wenn Sie jedes Jahr 2.000 € sparen, ist PMT = -2000
Sie können den Zahlungszeitpunkt (Periodenende wie bei den meisten Krediten und Sparplänen oder Periodenanfang), P/Y (Zahlungen pro Jahr) und C/Y (Verzinsungen pro Jahr) einstellen
Zusätzlich zum berechneten Wert sehen Sie die Summe aller Zahlungen und die Zinsen insgesamt. Bei einer ganzzahligen Anzahl von Perioden bis 20 zeigt eine Tabelle außerdem Zinsen und Guthaben für jede Periode
Mit Diagramm der Guthabenentwicklung. Eine leicht verständliche Erklärung der Formeln und Formeln zum Kopieren für Excel (die Funktionen ZW, BW, RMZ, ZINS und ZZR), Google Tabellen und Python finden Sie ebenfalls auf dieser Seite

Diese Seite rechnet mathematisch (Zeitwert des Geldes, TVM) und nimmt an, dass der Zinssatz über die gesamte Laufzeit gleich bleibt. Bei echten Krediten, Sparanlagen und Geldanlagen gibt es Gebühren, Steuern und schwankende Zinsen. Den genauen Betrag erfahren Sie deshalb bei Ihrer Bank oder Ihrem Kreditgeber. Diese Seite empfiehlt kein Finanzprodukt. Nutzen Sie sie zum Lernen der Finanzmathematik (BWL-Studium, Investition und Finanzierung, Weiterbildung im Bankwesen) und um zu verstehen, wie Kredite und Renten funktionieren.

Wofür ist diese Berechnung nützlich?

Finanzmathematik im Studium und in der Weiterbildung lernen (die sechs Faktoren)

Die sechs Standardfaktoren der Finanzmathematik, die man im BWL-Studium und in Fächern wie Investition und Finanzierung oft auswendig lernt (Aufzinsungsfaktor, Abzinsungsfaktor, Rentenendwertfaktor, Restwertverteilungsfaktor, Rentenbarwertfaktor und Kapitalwiedergewinnungsfaktor), sind alle Umformungen dieser einen TVM-Gleichung. Der Aufzinsungsfaktor ist zum Beispiel nur \((1+i)^N\) und der Rentenendwertfaktor \(\dfrac{(1+i)^N-1}{i}\).
Wenn Sie sie auf dieser Seite mit verschiedenen Zahlen nachprüfen, verstehen Sie die sechs Faktoren als „eine Gleichung, auf verschiedene Weise gelesen“ statt als sechs einzelne Dinge zum Auswendiglernen. Das hilft auch bei schwierigeren Aufgaben.

Die monatliche Rate eines Annuitätendarlehens verstehen

„Ein Darlehen über 300.000 € mit einem Sollzins von 3,5 % und 30 Jahren Laufzeit als Annuitätendarlehen aufnehmen“ ist PV = +300.000, N = 360 (30 Jahre × 12), monatliche Zahlungen (P/Y = C/Y = 12) und FV = 0, und Sie berechnen PMT. Das Ergebnis ist eine Rate von etwa 1.347,13 € im Monat. Die Zahlungen betragen insgesamt etwa 484.968 €, die Zinsen also etwa 184.968 €. (Die Zahlen sind ein Rechenbeispiel und keine aktuellen Marktzinsen.)
Wenn Sie sehen, wie sich der Betrag zusammensetzt, können Sie selbst nachprüfen, wie stark Darlehensbetrag, Zinssatz und Laufzeit jeweils wirken. Bei vielen Baufinanzierungen legt man statt der Laufzeit eine Anfangstilgung (zum Beispiel 2 %) und eine Zinsbindung von etwa 10 oder 15 Jahren fest. Dann bleibt am Ende der Zinsbindung eine Restschuld, die Sie als FV (mit dem passenden Vorzeichen) eingeben können. Nebenkosten wie Grunderwerbsteuer und Notar sind nicht enthalten, und Ihre Bank rechnet Zinsen und Tilgung eventuell etwas anders. Fragen Sie den genauen Betrag deshalb bei Ihrer Bank nach.

Einen Entnahmeplan für den Ruhestand aufstellen (wie viel Sie am Anfang brauchen)

„Ich möchte 25 Jahre lang jedes Jahr 40.000 € entnehmen. Wenn mein Erspartes 4 % pro Jahr bringt, wie viel brauche ich am Anfang?“ ist PMT = +40.000, N = 25 und FV = 0, und Sie berechnen PV. Das Ergebnis ist etwa 624.883 € (PV = −624.883, das Geld, das Sie am Anfang einzahlen).
Sie erhalten insgesamt 1.000.000 €, der Unterschied von etwa 375.117 € stammt also aus dem Ertrag der Anlage. Wenn Sie in Zahlen sehen, wie stark sich der nötige Betrag bei einem anderen Zinssatz ändert, hilft das sehr bei der Planung des Ruhestands (bei echten Geldanlagen sind die Erträge nicht fest, und Sie können Geld verlieren).

Abschätzen, wie lange es bis zum Sparziel dauert

„Wenn ich jeden Monat 500 € zu 3 % (monatlich verzinst) spare, wann habe ich 50.000 €?“ ist PMT = −500, FV = +50.000 und P/Y = C/Y = 12, und Sie berechnen N. Das Ergebnis sind etwa 89,4 Monate (etwa 7,4 Jahre).
Bei 0 % würde es 100 Monate dauern, die Zinsen bringen Sie also etwa 10 Monate früher ans Ziel. Genau das Sehen in Zahlen, wie viel die Zinsen helfen, macht die Berechnung von N interessant.

Die Zinsen bei einem Autokredit oder einer Ratenzahlung erkennen

Bei einem Autokredit über 30.000 € mit einem Sollzins von 4 % pro Jahr (monatlich verrechnet) über 60 Monate setzen Sie PV = +30.000, N = 60, P/Y = C/Y = 12 und FV = 0 und berechnen PMT. Die Rate beträgt etwa 552,50 € im Monat, die Summe etwa 33.150 €, davon sind etwa 3.150 € Zinsen.
In der Gegenrichtung erfahren Sie den wirklichen Jahreszinssatz, wenn Ihnen nur die monatliche Rate und die Summe genannt werden und Sie I/Y berechnen. Das hilft beim Vergleich von Autokrediten, Leasingangeboten, „Jetzt kaufen, später zahlen“-Angeboten und Ratenkäufen. (Der in Deutschland angegebene effektive Jahreszins nach der Preisangabenverordnung enthält zusätzlich Kosten und liegt deshalb meist über dem Sollzins.)

Formeln und Diagramme

Die TVM-Gleichung (die Grundformel des Zeitwerts des Geldes, nachschüssige Zahlungen)

Diagramm

Mathematische Schreibweise (die übliche Schreibweise)

\(PV\) \(\times\) \((1+i)\) \(N\) \(+\) \(PMT\) \(\times\) \(\dfrac{(1+i)^{N}-1}{i}\) \(+\) \(FV\) \(=\) \(0\)

In Worten (die Symbole durch Wörter ersetzt)

① \(PV\): Barwert \(\times\) ② Wachstumsfaktor für eine Periode ③ \(N\): Anzahl der Perioden \(+\) ④ Zahlung pro Periode \(\times\) ⑤ Rentenendwertfaktor \(+\) ⑥ \(FV\): Endwert \(=\) \(0\)

Die Formel in Worten

① Nehmen Sie das Geld von heute, den \(PV\): Barwert

② und multiplizieren Sie ihn mit dem Wachstumsfaktor für eine Periode \((1+i)\)

③ einmal für jede der \(N\): Anzahl der Perioden

④ Addieren Sie die \(PMT\): Zahlung pro Periode

⑤ mal den Rentenendwertfaktor (auf wie viel eine Zahlung von 1 pro Periode mit Zinsen anwächst)

⑥ und den \(FV\): Endwert . Diese drei Teile ergeben zusammen 0: Das Geld, das hinein- und hinausfließt, gleicht sich samt Zinsen genau aus

Einfaches Beispiel

Leihen Sie 1.000 € zu 6 % pro Jahr (PV = +1000, Geld kommt herein) und zahlen alles ohne Zwischenzahlungen (PMT = 0) nach 5 Jahren auf einmal zurück, beträgt der Betrag, den Sie zurückzahlen (FV),

Barwert (+1000) \(\times\) Wachstumsfaktor (1,06) Perioden (5) \(+\) \(FV\): Endwert \(=\) \(0\)

\(1.000 \times 1{,}06^{5} + FV = 0\)

\(FV = -1.000 \times 1{,}06^{5} \approx -1.338{,}23\)

Der Kerngedanke

Das Wichtigste an dieser Gleichung ist die Vorzeichenkonvention. Geld, das Sie verlässt, ist negativ, Geld, das zu Ihnen kommt, ist positiv. Im Beispiel bedeutet das Minuszeichen in „FV = −1.338,23“: „Sie zahlen nach 5 Jahren 1.338,23 €.“ Ebenso verlässt Sie Geld, wenn Sie jedes Jahr 2.000 € sparen, deshalb geben Sie PMT = −2000 ein. Diese Konvention teilen Finanzrechner wie der BA II Plus und der HP 12C sowie die Excel-Funktionen ZW, BW und RMZ. \(i\) ist der Zinssatz pro Periode (bei jährlichen Zahlungen der Jahreszinssatz selbst, bei 6 % ist \(i = 0{,}06\)). In der allgemeinen Form mit \(g\) wird der \(PMT\)-Term bei Zahlungen zu Beginn der Periode einmal zusätzlich mit \((1+i)\) multipliziert, weil früher gezahltes Geld eine Periode mehr Zinsen bringt.

Den Endwert FV berechnen (nachschüssige Zahlungen)

Diagramm

Mathematische Schreibweise (die übliche Schreibweise)

\(FV\) \(=\) \(-\) \((\) \(PV\) \(\times\) \((1+i)\) \(N\) \(+\) \(PMT\) \(\times\) \(\dfrac{(1+i)^{N}-1}{i}\) \()\)

In Worten (die Symbole durch Wörter ersetzt)

⑥ \(FV\): Endwert \(=\) \(-\) \((\) ① \(PV\): Barwert \(\times\) ② Wachstumsfaktor für eine Periode ③ \(N\): Anzahl der Perioden \(+\) ④ Zahlung pro Periode \(\times\) ⑤ Rentenendwertfaktor \()\)

Die Formel in Worten

① Nehmen Sie den \(PV\): Barwert

② und multiplizieren Sie ihn mit dem Wachstumsfaktor für eine Periode \((1+i)\)

③ einmal für jede der \(N\): Anzahl der Perioden

④ Addieren Sie die \(PMT\): Zahlung pro Periode

⑤ mal den Rentenendwertfaktor und drehen Sie das Vorzeichen der Summe um

⑥ und Sie erhalten den \(FV\): Endwert

Einfaches Beispiel

Sparen Sie 5 Jahre lang jedes Jahr 2.000 € zu 3 % (PV = 0, PMT = −2000, Periodenende), beträgt der Betrag, den Sie nach 5 Jahren erhalten (FV),

\(FV\): Endwert \(=\) \(-\) \((\) Zahlung (−2000) \(\times\) Rentenendwertfaktor (etwa 5,31) \()\)

\(\dfrac{1{,}03^{5}-1}{0{,}03} \approx 5{,}3091\)

\(FV = -\left( 0 + (-2.000) \times 5{,}3091 \right) \approx 10.618{,}27\)

Der Kerngedanke

Das Geld, das Sie verlässt und als negative Zahl eingegeben wird (2.000 € Sparrate pro Jahr), kommt als Geld zurück, das Sie erhalten, als positive Zahl (etwa 10.618 €). Dieser Vorzeichenwechsel ist der Schlüssel zum Lesen von TVM-Ergebnissen. Sie zahlen 2.000 € × 5 Jahre = 10.000 € ein, der Unterschied von etwa 618 € sind Zinsen. Bei Zahlungen zu Beginn jedes Jahres wird der \(PMT\)-Term einmal zusätzlich mit \((1+i)\) multipliziert, also \(FV \approx 10.618{,}27 \times 1{,}03 \approx 10.936{,}82\) Euro.

Die Anzahl der Perioden N berechnen (Logarithmen, wenn PMT = 0)

Diagramm

Mathematische Schreibweise (die übliche Schreibweise)

\(N\) \(=\) \(\ln\!\left(-\dfrac{FV}{PV}\right)\) \(\div\) \(\ln(1+i)\)

In Worten (die Symbole durch Wörter ersetzt)

③ \(N\): Anzahl der Perioden \(=\) ① Logarithmus des Wachstumsfaktors \(\div\) ② Logarithmus einer Periode

Die Formel in Worten

① Bestimmen Sie, auf das Wievielfache das Geld wächst (den Wachstumsfaktor \(-FV \div PV\)), und bilden Sie davon den Logarithmus des Wachstumsfaktors \(\ln(-FV \div PV)\)

② teilen Sie ihn durch den Logarithmus des Wachstumsfaktors für eine Periode \(\ln(1+i)\)

③ und Sie erhalten die \(N\): Anzahl der Perioden

Einfaches Beispiel

Legen Sie 1.000 € zu 8 % pro Jahr an (PV = −1000), beträgt die Anzahl der Perioden, bis daraus 2.000 € werden (FV = +2000, das Doppelte),

\(N\): Anzahl der Perioden \(=\) Logarithmus des Wachstumsfaktors (2) \(\div\) Logarithmus einer Periode (1,08)

\(-FV \div PV = -2.000 \div (-1.000) = 2\)

\(N = \ln 2 \div \ln 1{,}08 \approx 0{,}6931 \div 0{,}07696 \approx 9{,}006\)

Der Kerngedanke

\(N\) steht im Exponenten, deshalb löst man mit Logarithmen (\(\ln\)), dem Werkzeug, das den Exponenten herunterholt. Logarithmiert man beide Seiten von \((1+i)^N = -FV \div PV\), erhält man \(N \ln(1+i) = \ln(-FV \div PV)\), und daraus die Formel oben. Gibt es auch Zahlungen (\(PMT \neq 0\)), setzt man \(K = PMT(1+i \cdot g) \div i\). Dann lautet die Gleichung \((PV + K)(1+i)^N = K - FV\), die sich ebenfalls mit Logarithmen lösen lässt (der Rechner auf dieser Seite verwendet diese allgemeine Form). Kommt für den Wachstumsfaktor 0 oder weniger heraus (zum Beispiel weil Sie eine Einzahlung mit demselben Vorzeichen für beide Beträge eingegeben haben), gibt es keine Lösung.

Die Sonderformel für einen Zinssatz von 0 % (wenn i = 0)

Diagramm

Mathematische Schreibweise (die übliche Schreibweise)

\(PV\) \(+\) \(PMT\) \(\times\) \(N\) \(+\) \(FV\) \(=\) \(0\)

In Worten (die Symbole durch Wörter ersetzt)

① \(PV\): Barwert \(+\) ② Zahlung pro Periode \(\times\) ③ \(N\): Anzahl der Perioden \(+\) ④ \(FV\): Endwert \(=\) \(0\)

Die Formel in Worten

① Addieren Sie den \(PV\): Barwert

② die \(PMT\): Zahlung pro Periode

③ mal die \(N\): Anzahl der Perioden

④ und den \(FV\): Endwert . Die Summe ist 0 (ohne Zinsen ist es nur Addieren und Subtrahieren)

Einfaches Beispiel

Zahlen Sie bei 0 % Zinsen zuerst 1.000 € ein (PV = −1000) und sparen 12 Jahre lang jedes Jahr 100 € (PMT = −100), beträgt der Betrag, den Sie nach 12 Jahren erhalten (FV),

Barwert (−1000) \(+\) Zahlung (−100) \(\times\) Perioden (12) \(+\) \(FV\): Endwert \(=\) \(0\)

\(-1.000 + (-100) \times 12 + FV = 0\)

\(FV = 1.000 + 1.200 = 2.200\)

Der Kerngedanke

Die TVM-Gleichung enthält eine Division durch \(i\), sie lässt sich also bei einem Zinssatz von 0 % (\(i = 0\)) nicht unverändert anwenden. Ohne Zinsen ist es aber einfach: Alles Geld, das Sie einzahlen, kommt zurück, es wird also nur addiert. Der Rechner auf dieser Seite wechselt bei \(i = 0\) automatisch zu dieser Formel.

TVM (der Zeitwert des Geldes) ist eine einzige Gleichung, die besagt, dass sich Geld heute, Geld pro Periode und Geld in der Zukunft samt Zinsen ausgleichen. Solange Sie die Vorzeichenkonvention beachten (Geld hinaus ist negativ, Geld herein ist positiv), lässt sich jede der fünf Größen (N, I/Y, PV, PMT, FV) aus den anderen vier berechnen. Nur der Jahreszinssatz I/Y lässt sich nicht durch Umstellen isolieren, deshalb wird er numerisch (durch Intervallhalbierung) gesucht.

Symbole und Begriffe

Symbole

\(PV\)	P V	Der Barwert (englisch „present value“). Das Geld, das jetzt bewegt wird. Positiv, wenn Sie es leihen oder erhalten, negativ, wenn Sie es einzahlen oder anlegen.
\(FV\)	F V	Der Endwert (englisch „future value“). Das Geld, das am Ende der Laufzeit bewegt wird. Positiv, wenn Sie es am Ende erhalten, negativ, wenn Sie es zahlen.
\(PMT\)	Zahlung	Die Zahlung pro Periode (englisch „payment“). Das Geld, das in jeder Periode bewegt wird. Geld, das Sie verlässt, etwa Sparraten oder Kreditraten, ist negativ, Geld, das hereinkommt, etwa Mieteinnahmen, ist positiv.
\(N\)	N	Die Anzahl der Perioden (Anzahl der Zahlungen). Bei jährlichen Zahlungen ist sie gleich der Zahl der Jahre, bei monatlichen Zahlungen (P/Y = 12) zählt man Monate (10 Jahre sind \(N = 120\)).
\(I/Y\)	I durch Y	Der Jahreszinssatz (englisch „interest per year“). Der Zinssatz pro Jahr in %. Der Name stammt direkt von der Taste eines Finanzrechners.
\(P/Y\)	P durch Y	Die Zahlungen pro Jahr (englisch „payments per year“). Wie viele Zahlungen \(PMT\) es in einem Jahr gibt: 1 bei jährlichen, 12 bei monatlichen Zahlungen.
\(C/Y\)	C durch Y	Die Verzinsungen pro Jahr (englisch „compounding periods per year“). Wie oft im Jahr die Zinsen dem Guthaben zugeschlagen werden. Meist gleich \(P/Y\). Ist der Wert anders, wird die Verzinsungsperiode auf die Zahlungsperiode umgerechnet.
\(i\)	kleines i	Der Zinssatz pro Periode als Dezimalzahl. Bei jährlichen Zahlungen ist es der Jahreszinssatz selbst (bei 6 % ist \(i = 0{,}06\)), bei monatlichen Zahlungen der auf einen Monat umgerechnete Zinssatz.
\(g\)	g	Ein Schalter für den Zahlungszeitpunkt: \(g = 1\) für den Beginn der Periode und \(g = 0\) für das Ende. Bei Zahlungen zu Beginn der Periode wird der \(PMT\)-Term einmal zusätzlich mit \((1+i)\) multipliziert.
\(\ln\)	natürlicher Logarithmus	Der natürliche Logarithmus. Ein Werkzeug, das herausfindet, wie oft man multiplizieren muss, um einen bestimmten Faktor zu erreichen. Er wird zur Berechnung der Anzahl der Perioden \(N\) benutzt.

Begriffe

Zeitwert des Geldes (TVM)	Die Idee, dass 10.000 € heute mehr wert sind als 10.000 € in der Zukunft, weil Geld, das Sie jetzt haben, Zinsen bringen kann (englisch „time value of money“). Sie ist die Grundlage der Finanzmathematik, und die Gleichung auf dieser Seite fasst diese Idee in einer Formel zusammen.
Barwert	Der Wert von zukünftigem Geld in heutigem Geld. Bei 2 % pro Jahr sind zum Beispiel 10.200 € in einem Jahr so viel wert wie 10.000 € heute.
Endwert	Der Betrag, auf den Geld von heute oder regelmäßige Sparraten samt Zinsen in der Zukunft anwachsen (auch Zukunftswert genannt).
Abzinsung	Das Umrechnen von zukünftigem Geld in seinen Barwert (englisch „discounting“). Man teilt den zukünftigen Betrag durch \((1+i)^N\), der Wert wird also kleiner. Es ist genau die Umkehrung des Aufzinsens (der Verzinsung mit Zinseszins).
Rentenendwertfaktor	Der Faktor \(\dfrac{(1+i)^N - 1}{i}\): auf wie viel eine Zahlung von 1 € pro Periode samt Zinsen anwächst. In der Finanzmathematik ist er einer der sechs Standardfaktoren (Aufzinsungsfaktor, Abzinsungsfaktor, Rentenendwertfaktor, Restwertverteilungsfaktor, Rentenbarwertfaktor und Kapitalwiedergewinnungsfaktor). Man multipliziert ihn mit der Zahlung pro Periode.
Rentenbarwertfaktor	Der Faktor \(\dfrac{1-(1+i)^{-N}}{i}\): was das Recht, in jeder Periode 1 € zu erhalten, heute wert ist. Er ist die Barwert-Version des Rentenendwertfaktors und dient der Berechnung von Renten und Baudarlehen (dem Zusammenhang zwischen Darlehensbetrag und Rate).
Cashflow (Zahlungsstrom)	Der Fluss des Geldes hinein und hinaus. TVM betrachtet nur, wann, wie viel und in welche Richtung Geld bewegt wird, und zeigt die Richtung durch ein Vorzeichen (Plus oder Minus).
Vorzeichenkonvention	Die Regel, dass Geld, das Sie verlässt (Einzahlungen, Sparraten, Rückzahlungen), negativ und Geld, das zu Ihnen kommt (ein erhaltener Kredit, Auszahlungen), positiv ist. Finanzrechner und die Finanzfunktionen von Excel teilen diese Regel, und so können Kredite, Sparpläne und Renten alle dieselbe Gleichung nutzen.
nachschüssige Zahlung (Endmodus)	Zahlungen (PMT) am Ende jeder Periode. Die meisten Kreditraten und Sparpläne funktionieren so, und es ist die Voreinstellung auf dieser Seite.
vorschüssige Zahlung (Anfangsmodus)	Zahlungen (PMT) am Anfang jeder Periode. Dieselbe Zahlung bringt eine Periode früher Zinsen, deshalb wird der \(PMT\)-Term einmal zusätzlich mit \((1+i)\) multipliziert. Im Voraus gezahlte Miete und Leasingraten funktionieren so.
Finanzrechner	Ein Taschenrechner mit eigenen TVM-Tasten (N, I/Y, PV, PMT, FV), auch Finanztaschenrechner genannt. Der BA II Plus von Texas Instruments und der HP 12C sind bekannt und werden in Prüfungen wie CFA und im Berufsalltag benutzt. Diese Seite ist eine Web-Version derselben Fünf-Tasten-Bedienung.
Bisektionsverfahren (Intervallhalbierung)	Ein numerisches Verfahren, das einen Näherungswert findet, indem es das Intervall, in dem die Lösung liegt, immer wieder halbiert. Man benutzt es, wenn sich die Lösung nicht durch Umstellen isolieren lässt. Die Berechnung des Jahreszinssatzes I/Y erfordert das Lösen einer Gleichung N-ten Grades ohne allgemeine Formel, deshalb verwendet diese Seite die Intervallhalbierung.

Was Sie vorab wissen sollten

Hier steht, was Ihnen hilft, die Berechnung dieser Seite wirklich zu verstehen und nicht nur den Knopf zu drücken.

Positive und negative Zahlen (Klasse 6–7, 11–13 Jahre)	Eine negative Zahl als Größe in der Gegenrichtung lesen können (auf dieser Seite ist Geld, das Sie verlässt, negativ) Negative Zahlen multiplizieren können, etwa \((-2.000) \times 5 = -10.000\)
Prozentrechnung (Klasse 6–7, 11–13 Jahre)	„6 %“ als Dezimalzahl 0,06 schreiben können Wissen, dass „um 6 % wachsen“ dasselbe ist wie „× 1,06“
Potenzen (Klasse 7–8, 12–14 Jahre)	Wissen, dass \(1{,}06^{5}\) „1,06 fünfmal mit sich selbst multipliziert“ bedeutet
Grundlagen des Zinseszinses (Klasse 9–10, 14–16 Jahre)	Den Zinseszins verstehen, bei dem auch die erhaltenen Zinsen wieder Zinsen bringen
Logarithmen (Oberstufe, Vertiefung)	Mit Logarithmen herausfinden können, wie oft man multiplizieren muss, um einen Faktor zu erreichen (wird bei der Berechnung von N gebraucht; wenn nicht, rechnet der Rechner für Sie)

Mit Excel berechnen

Kopieren Sie die gesamte Tabelle unten und fügen Sie sie in Zelle A1 von Excel ein. Sie funktioniert unverändert.

Tabelle für den Endwert FV (Funktion ZW)

Zinssatz pro Periode (6 % sind 0,06)	0,06
Anzahl der Perioden N	10
Zahlung PMT	-2000
Barwert PV	20000
Endwert FV	=ZW(B1;B2;B3;B4;0)

Tabelle für die Zahlung PMT (Funktion RMZ)

Zinssatz pro Periode (6 % sind 0,06)	0,06
Anzahl der Perioden N	10
Barwert PV	20000
Endwert FV	0
Zahlung PMT	=RMZ(B1;B2;B3;B4;0)

Tabelle für den Zinssatz (Funktion ZINS)

Anzahl der Perioden N	5
Zahlung PMT	0
Barwert PV	-1000
Endwert FV	1500
Zinssatz pro Periode	=ZINS(B1;B2;B3;B4)

Tabelle für die Anzahl der Perioden N (Funktion ZZR)

Zinssatz pro Periode (8 % sind 0,08)	0,08
Zahlung PMT	0
Barwert PV	-1000
Endwert FV	2000
Anzahl der Perioden N	=ZZR(B1;B2;B3;B4)

Tabelle für den Barwert PV (Funktion BW, Zahlung am Periodenanfang)

Zinssatz pro Periode (5 % sind 0,05)	0,05
Anzahl der Perioden N	20
Zahlung PMT	-100
Endwert FV	0
Barwert PV	=BW(B1;B2;B3;B4;1)

Excel hat eigene TVM-Funktionen (ZW, RMZ, ZINS, ZZR und BW), und sie verwenden dieselbe Vorzeichenkonvention wie diese Seite (Geld hinaus ist negativ, Geld herein ist positiv).
Die erste Tabelle zeigt in B5 -9.455,36, die zweite -2.717,36, die dritte etwa 0,0845 (ein Jahreszinssatz von 8,447 %; formatieren Sie die Zelle als Prozent, um es leichter zu lesen), die vierte etwa 9,006 und die fünfte 1.308,53.
Das letzte Argument von ZW, RMZ und BW ist der Zahlungszeitpunkt: 0 oder weggelassen = Periodenende, 1 = Periodenanfang. Bei monatlichen Zahlungen geben Sie den Zinssatz pro Monat (Jahreszinssatz ÷ 12) und N in Monaten ein.

Mit Google Tabellen berechnen

Kopieren Sie die gesamte Tabelle unten und fügen Sie sie in Zelle A1 von Google Tabellen ein. Sie funktioniert unverändert.

Tabelle für den Endwert FV (Funktion ZW)

Zinssatz pro Periode (6 % sind 0,06)	0,06
Anzahl der Perioden N	10
Zahlung PMT	-2000
Barwert PV	20000
Endwert FV	=ZW(B1;B2;B3;B4;0)

Tabelle für die Zahlung PMT (Funktion RMZ)

Zinssatz pro Periode (6 % sind 0,06)	0,06
Anzahl der Perioden N	10
Barwert PV	20000
Endwert FV	0
Zahlung PMT	=RMZ(B1;B2;B3;B4;0)

Tabelle für den Zinssatz (Funktion ZINS)

Anzahl der Perioden N	5
Zahlung PMT	0
Barwert PV	-1000
Endwert FV	1500
Zinssatz pro Periode	=ZINS(B1;B2;B3;B4)

Tabelle für die Anzahl der Perioden N (Funktion ZZR)

Zinssatz pro Periode (8 % sind 0,08)	0,08
Zahlung PMT	0
Barwert PV	-1000
Endwert FV	2000
Anzahl der Perioden N	=ZZR(B1;B2;B3;B4)

Tabelle für den Barwert PV (Funktion BW, Zahlung am Periodenanfang)

Zinssatz pro Periode (5 % sind 0,05)	0,05
Anzahl der Perioden N	20
Zahlung PMT	-100
Endwert FV	0
Barwert PV	=BW(B1;B2;B3;B4;1)

Google Tabellen verwendet in der deutschen Einstellung dieselben Funktionsnamen (ZW, RMZ, ZINS, ZZR, BW) und dieselbe Vorzeichenkonvention wie Excel. Kopieren Sie die gesamte Tabelle, fügen Sie sie in Zelle A1 ein und ersetzen Sie die Eingaben in Spalte B durch Ihre eigenen Zahlen.

Mit Python berechnen

import math
# Den gesuchten Wert auf None setzen (dieses Beispiel berechnet fv)
n = 10            # Anzahl der Perioden N (Anzahl der Zahlungen)
annual_rate = 6   # Jahreszinssatz I/Y (%)
pv = 20000        # Barwert PV (Geld herein = positiv, Geld hinaus = negativ)
pmt = -2000       # Zahlung PMT
fv = None         # Endwert FV
is_beginning = False  # True = Periodenanfang, False = Periodenende
g = 1 if is_beginning else 0
# Zinssatz pro Periode (jährliche Zahlungen; bei monatlichen Zahlungen durch 12 teilen und n in Monaten zählen). Bei der Berechnung des Zinssatzes auf None lassen
i = annual_rate / 100 if annual_rate is not None else None
def tvm_left_side(i_, n_, pv_, pmt_, fv_):
    """Linke Seite der TVM-Gleichung (die Lösung macht sie zu 0)"""
    if abs(i_) < 1e-12:
        return pv_ + pmt_ * n_ + fv_
    growth = (1 + i_) ** n_
    return pv_ * growth + pmt_ * (1 + i_ * g) * (growth - 1) / i_ + fv_
if fv is None:
    fv = -(pv + pmt * n) if abs(i) < 1e-12 else -(pv * (1 + i) ** n + pmt * (1 + i * g) * ((1 + i) ** n - 1) / i)
    print(f"Endwert FV = {fv:.2f}")
elif pv is None:
    pv = -(fv + pmt * n) if abs(i) < 1e-12 else -(fv + pmt * (1 + i * g) * ((1 + i) ** n - 1) / i) / (1 + i) ** n
    print(f"Barwert PV = {pv:.2f}")
elif pmt is None:
    pmt = -(pv + fv) / n if abs(i) < 1e-12 else -(pv * (1 + i) ** n + fv) / ((1 + i * g) * ((1 + i) ** n - 1) / i)
    print(f"Zahlung PMT = {pmt:.2f}")
elif n is None:
    if abs(i) < 1e-12:
        n = -(pv + fv) / pmt
    else:
        k = pmt * (1 + i * g) / i
        n = math.log((k - fv) / (pv + k)) / math.log(1 + i)
    print(f"Anzahl der Perioden N = {n:.3f}")
else:
    # Der Jahreszinssatz lässt sich nicht durch Umstellen isolieren, deshalb Suche mit Intervallhalbierung (bei manchen Eingaben gibt es keine Lösung)
    low, high = -0.9999, 10.0
    if tvm_left_side(low, n, pv, pmt, fv) * tvm_left_side(high, n, pv, pmt, fv) > 0:
        raise SystemExit("In diesem Bereich gibt es keine Lösung. Prüfen Sie die Richtung (das Vorzeichen) des Geldes")
    for _ in range(200):
        mid = (low + high) / 2
        if tvm_left_side(low, n, pv, pmt, fv) * tvm_left_side(mid, n, pv, pmt, fv) <= 0:
            high = mid
        else:
            low = mid
    i = (low + high) / 2
    print(f"Jahreszinssatz I/Y = {i * 100:.3f} %")
total_interest = abs(pv + pmt * n + fv)
print(f"Zinsen insgesamt = {total_interest:.2f}")

Läuft mit der Standardbibliothek allein. Setzen Sie den gesuchten Wert auf None, tragen Sie in die anderen vier Zahlen ein und führen Sie den Code aus (Python gibt Dezimalstellen mit Punkt aus). Die Vorzeichenkonvention (Geld hinaus ist negativ, Geld herein ist positiv) ist dieselbe wie beim Rechner auf dieser Seite. Nur für den Jahreszinssatz gibt es keine Formel, er wird deshalb durch Intervallhalbierung gesucht (das Intervall, in dem die Lösung liegt, wird immer wieder halbiert).

Die Formel in LaTeX und anderen mathematischen Schreibweisen (zum Kopieren)

Die TVM-Gleichung (die Grundformel des Zeitwerts des Geldes, nachschüssige Zahlungen)

PV(1 + i)ᴺ + PMT × ((1 + i)ᴺ − 1)/i + FV = 0

PV(1+i)^{N} + PMT \cdot \dfrac{(1+i)^{N}-1}{i} + FV = 0

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>PV</mi>
    <msup>
      <mrow><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>i</mi><mo>)</mo></mrow>
      <mi>N</mi>
    </msup>
    <mo>+</mo>
    <mi>PMT</mi>
    <mo>&#x22C5;</mo>
    <mfrac>
      <mrow>
        <msup>
          <mrow><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>i</mi><mo>)</mo></mrow>
          <mi>N</mi>
        </msup>
        <mo>&#x2212;</mo>
        <mn>1</mn>
      </mrow>
      <mi>i</mi>
    </mfrac>
    <mo>+</mo>
    <mi>FV</mi>
    <mo>=</mo>
    <mn>0</mn>
  </mrow>
</math>

PV(1+i)^N + PMT((1+i)^N-1)/i + FV = 0

pv (1 + i)^n + pmt ((1 + i)^n - 1)/i + fv == 0

pv*(1 + i)^n + pmt*((1 + i)^n - 1)/i + fv = 0;

pv*(1 + i)^n + pmt*((1 + i)^n - 1)/i + fv == 0

PV(1+i)^N + PMT((1+i)^N-1)/i + FV = 0

Den Endwert FV berechnen (nachschüssige Zahlungen)

FV = −(PV(1 + i)ᴺ + PMT × ((1 + i)ᴺ − 1)/i)

FV = -\left( PV(1+i)^{N} + PMT \cdot \dfrac{(1+i)^{N}-1}{i} \right)

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>FV</mi>
    <mo>=</mo>
    <mo>&#x2212;</mo>
    <mrow>
      <mo>(</mo>
      <mi>PV</mi>
      <msup>
        <mrow><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>i</mi><mo>)</mo></mrow>
        <mi>N</mi>
      </msup>
      <mo>+</mo>
      <mi>PMT</mi>
      <mo>&#x22C5;</mo>
      <mfrac>
        <mrow>
          <msup>
            <mrow><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>i</mi><mo>)</mo></mrow>
            <mi>N</mi>
          </msup>
          <mo>&#x2212;</mo>
          <mn>1</mn>
        </mrow>
        <mi>i</mi>
      </mfrac>
      <mo>)</mo>
    </mrow>
  </mrow>
</math>

FV = -(PV(1+i)^N + PMT((1+i)^N-1)/i)

fv = -(pv (1 + i)^n + pmt ((1 + i)^n - 1)/i)

fv := -(pv*(1 + i)^n + pmt*((1 + i)^n - 1)/i);

fv = -(pv*(1 + i)^n + pmt*((1 + i)^n - 1)/i);

FV = -(PV(1+i)^N + PMT((1+i)^N-1)/i)

Die Anzahl der Perioden N berechnen (Logarithmen, wenn PMT = 0)

N = ln(−FV/PV) / ln(1 + i)

N = \dfrac{\ln\left(-\dfrac{FV}{PV}\right)}{\ln(1+i)}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>N</mi>
    <mo>=</mo>
    <mfrac>
      <mrow>
        <mi>ln</mi>
        <mrow>
          <mo>(</mo>
          <mo>&#x2212;</mo>
          <mfrac><mi>FV</mi><mi>PV</mi></mfrac>
          <mo>)</mo>
        </mrow>
      </mrow>
      <mrow>
        <mi>ln</mi>
        <mrow><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>i</mi><mo>)</mo></mrow>
      </mrow>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

N = ln(-FV/PV) / ln(1+i)

n = Log[-fv/pv]/Log[1 + i]

n := ln(-fv/pv)/ln(1 + i);

n = log(-fv/pv)/log(1 + i);

N = ln(-FV/PV)/ln(1+i)

Die Sonderformel für einen Zinssatz von 0 % (wenn i = 0)

PV + PMT × N + FV = 0

PV + PMT \cdot N + FV = 0

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>PV</mi>
    <mo>+</mo>
    <mi>PMT</mi>
    <mo>&#x22C5;</mo>
    <mi>N</mi>
    <mo>+</mo>
    <mi>FV</mi>
    <mo>=</mo>
    <mn>0</mn>
  </mrow>
</math>

PV + PMT * N + FV = 0

pv + pmt n + fv == 0

pv + pmt*n + fv = 0;

pv + pmt*n + fv == 0

PV + PMT N + FV = 0

Die Berechnung von ChatGPT ausführen lassen

Sie sind ein Assistent für Finanzrechnung (Zeitwert des Geldes, TVM). Führen Sie die folgende Berechnung aus, indem Sie tatsächlich Python-Code ausführen, und stützen Sie Ihre Antwort ausschließlich auf die Zahlen aus dem Ausführungsergebnis (nicht im Kopf oder durch Raten rechnen).
Verwenden Sie die Standard-TVM-Gleichung PV(1+i)^N + PMT(1+i*g)*((1+i)^N - 1)/i + FV = 0 (g=1 für Zahlungen zu Beginn jeder Periode, g=0 für das Ende).
Die Vorzeichenkonvention ist dieselbe wie bei einem Finanzrechner: Geld, das Sie verlässt, ist negativ, Geld, das zu Ihnen kommt, ist positiv.
Sie leihen 20.000 € zu 6 % pro Jahr (PV = +20000) und zahlen es mit gleich hohen Zahlungen am Ende jedes Jahres über 10 Jahre vollständig zurück (FV = 0).
Berechnen Sie Folgendes:
1. Die jährliche Zahlung PMT
2. Die Summe aller Zahlungen (PMT × 10)
3. Die Zinsen insgesamt (|PV + PMT×N + FV|)
Zeigen Sie die verwendeten Formeln und die Zahlen aus dem Ausführungsergebnis.

Anleitung

1

Zahlen eingeben

Geben Sie die Zahlen, mit denen Sie rechnen möchten, in die Eingabefelder ein
2

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3

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