Lineare Gleichungen lösen – Rechner mit Rechenweg und Probe

Geben Sie die Koeffizienten der linearen Gleichung ax + b = cx + d ein. Die Gleichung darunter ist mit den Eingabefeldern verbunden – Sie können die Koeffizienten auch direkt darin ändern.

Koeffizient von x links, a

Zahl links, b

Koeffizient von x rechts, c

Zahl rechts, d

Möglich sind Dezimalzahlen, negative Zahlen und Brüche wie 3/4. Ein leerer Koeffizient vor x (a oder c) zählt als 1 (x bedeutet 1x), ein leerer konstanter Term (b oder d) als 0. Geben Sie für einen Term, den Sie nicht brauchen, 0 ein.

Ergebnis und Graph

Geben Sie links die Koeffizienten ein und klicken Sie auf „Berechnen“. Der Rechenweg und der Graph der beiden Geraden erscheinen dann hier.

Inhaltsverzeichnis

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Das können Sie auf dieser Seite
Wofür braucht man diese Berechnung?
Anleitung
Formeln und Graphen
Symbole und Begriffe
- Symbole
- Begriffe
Das sollten Sie vorher wissen
So berechnen Sie es in Excel
So berechnen Sie es in Google Tabellen
So berechnen Sie es in Python
So schreiben Sie die Formel in LaTeX und anderen Formelsprachen (zum Kopieren)
So lassen Sie ChatGPT rechnen
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Das können Sie auf dieser Seite

Sie lösen eine lineare Gleichung der Form \(ax + b = cx + d\), indem Sie nur die Koeffizienten eingeben – mit vollständigem Rechenweg
Die Lösung erscheint als gekürzter Bruch wie \(\dfrac{2}{3}\) (der exakte Wert) und als Dezimalzahl. Dazu kommt die Probe: Die Lösung wird eingesetzt, und man sieht, dass beide Seiten gleich sind
Haben beide Seiten denselben Koeffizienten vor \(x\), erkennt der Rechner „keine Lösung“ oder „alle Zahlen sind Lösungen“ und erklärt, warum
Der Rechner zeigt die Gleichung so, wie Sie sie von Hand schreiben, und Sie können die Koeffizienten direkt darin ändern
Als Koeffizienten sind Dezimalzahlen, negative Zahlen und Brüche wie 3/4 möglich
Im Ergebnis sehen Sie auch die beiden Geraden \(y = \) (linke Seite) und \(y = \) (rechte Seite). Die \(x\)-Koordinate ihres Schnittpunkts ist die Lösung

Diese Seite löst lineare Gleichungen mit einer Variablen x. Für lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen oder quadratische Gleichungen mit x² nutzen Sie bitte die verwandten Seiten.

Wofür braucht man diese Berechnung?

Tarife vergleichen (ab wann lohnt sich welcher?)

„Tarif A hat eine Grundgebühr, aber einen niedrigeren Preis pro Einheit, Tarif B keine Grundgebühr, aber einen höheren Preis.“ Ab wann der eine günstiger wird, ist genau eine lineare Gleichung der Form \(ax + b = cx + d\). Beispiel Carsharing: Tarif A kostet 10 € im Monat plus 0,30 € pro km, Tarif B 0 € Grundgebühr plus 0,40 € pro km. Aus \(0{,}30x + 10 = 0{,}40x\) folgt \(x = 100\) (km). Wer mehr als 100 km im Monat fährt, fährt mit Tarif A günstiger.
Strom- und Handytarife, Fitnessstudios, Kaufen oder Abonnieren: Jeder Vergleich von „Grundgebühr + Preis pro Einheit × Menge“ ist diese Rechnung.

Wann holt er sie ein? (Bewegungsaufgabe)

Fährt jemand einer Person hinterher, die früher losgegangen ist, ist „nach wie vielen Minuten holt er sie ein?“ eine lineare Gleichung: Gesucht ist der Zeitpunkt, an dem beide gleich weit gekommen sind. Beispiel: Die kleine Schwester geht mit 60 m pro Minute los, 9 Minuten später fährt ihr der Bruder mit dem Fahrrad (240 m pro Minute) hinterher. \(t\) Minuten nach seinem Start ist sie \(60t + 540\) m weit, er \(240t\) m. Aus \(60t + 540 = 240t\) folgt \(t = 3\) – nach 3 Minuten hat er sie eingeholt.
Das ist eine klassische Textaufgabe aus Klasse 7 und zugleich derselbe Gedanke wie bei der Frage, wann sich zwei Reisende oder zwei Lieferungen treffen.

Die Gewinnschwelle berechnen (Betriebswirtschaft)

Läden und Betriebe berechnen mit einer linearen Gleichung, ab wie vielen verkauften Stück sie Gewinn machen (Gewinnschwelle, auch Break-even-Punkt). Beispiel: Ein Produkt kostet 8 €, das Material pro Stück 3 €, die Fixkosten wie Miete betragen 6.000 € im Monat. Die Stückzahl, bei der Erlös und Kosten gleich sind, folgt aus \(8x = 3x + 6000\): \(x = 1200\) Stück. 1.200 Stück im Monat sind die Grenze zwischen Gewinn und Verlust.
Bei der Planung eines neuen Geschäfts oder Produkts ist das eine der ersten Zahlen, die man prüft.

Temperaturen zurückrechnen (Fahrenheit und Celsius)

In den USA misst man die Temperatur in Grad Fahrenheit. Aus der Celsius-Temperatur \(C\) erhält man sie mit „Fahrenheit = \(1{,}8C + 32\)“. Die Frage „Wie viel Grad Celsius sind 86 °F?“ ist dasselbe wie die lineare Gleichung \(1{,}8C + 32 = 86\). Die 32 wechselt die Seite: \(1{,}8C = 54\), dann beide Seiten durch 1,8 teilen: \(C = 30\) Grad – praktisch für den Urlaub in den USA.
Immer wenn Sie eine Umrechnungsformel kennen, aber in die andere Richtung rechnen wollen (Einheiten umrechnen, eine Rechnung zurückrechnen usw.), lösen Sie eine lineare Gleichung.

Wann haben beide gleich viel gespart? (Taschengeld und Sparpläne)

Auch wann zwei Personen gleich viel gespart haben, die mit unterschiedlichen Beträgen starten und unterschiedlich viel sparen, verrät eine lineare Gleichung. Beispiel: Der jüngere Bruder hat jetzt 50 € und spart 15 € im Monat, der ältere hat 200 € und spart 5 € im Monat. Aus \(15m + 50 = 5m + 200\) folgt \(m = 15\) – nach 15 Monaten haben beide gleich viel.
„Wann sind zwei Größen gleich, die unterschiedlich schnell wachsen?“ – Sparpläne und Zielplanung sind typische Anwendungen dieser Gleichung.

Formeln und Graphen

Lösung einer linearen Gleichung (so finden Sie \(x\))

Graph

Mathematische Schreibweise (die übliche Formel)

\(x\) \(=\) \((\) \(d - b\) \()\) \(\div\) \((\) \(a - c\) \()\)

In Worten (Symbole durch Wörter ersetzt)

③ \(x\): Lösung \(=\) \((\) ① \(d - b\): Differenz der Zahlen \()\) \(\div\) \((\) ② \(a - c\): Differenz der Koeffizienten von \(x\) \()\)

Die Formel in Worten

① Man nimmt die \(d - b\): Differenz der Zahlen die nach dem Umstellen und Zusammenfassen auf der rechten Seite steht,

② teilt sie durch die \(a - c\): Differenz der Koeffizienten von \(x\) die auf der linken Seite steht,

③ und erhält die \(x\): Lösung (ist die Differenz der Koeffizienten 0, kann man nicht teilen – siehe unten „Wenn es keine eindeutige Lösung gibt“)

Einfaches Beispiel

Lösung der linearen Gleichung \(2x + 3 = 5\) (a = 2, b = 3, c = 0, d = 5)

\(x\): Lösung \(=\) \((\) Differenz der Zahlen (5 − 3 = 2) \()\) \(\div\) \((\) Differenz der Koeffizienten von x (2 − 0 = 2) \()\)

\(2x + 3 = 5\)

\(2x = 5 - 3\)

\(2x = 2\)

\(x = \dfrac{2}{2} = 1\)

Der Grundgedanke

Diese Formel fasst die drei Schritte beim Lösen zu einer Antwort zusammen: 1) Terme auf die andere Seite bringen, 2) zusammenfassen, 3) durch den Koeffizienten von \(x\) teilen. Von Hand bringen Sie 1) alle Terme mit \(x\) auf die linke Seite und alle Zahlen auf die rechte Seite, fassen 2) beide Seiten zur Form \((a - c)x = d - b\) zusammen und teilen 3) beide Seiten durch den Koeffizienten \(a - c\). Warum ein Term beim Wechsel auf die andere Seite sein Vorzeichen ändert, erklärt die nächste Karte „Seitenwechsel“.

Seitenwechsel (warum sich das Vorzeichen ändert)

Mathematische Schreibweise (die übliche Formel)

\(x\) \(+\) \(b\) \(=\) \(d\)

\(x\) \(=\) \(d\) \(-\) \(b\)

In Worten (Symbole durch Wörter ersetzt)

\(x\): gesuchte Variable \(+\) ① \(b\): Zahl, die die Seite wechselt \(=\) \(d\): Zahl rechts

③ \(x\): gesuchte Variable \(=\) \(d\): Zahl rechts \(-\) ② \(b\): Zahl, die die Seite wechselt

Die Formel in Worten

① Um \(b\): Zahl, die die Seite wechselt auf der linken Seite loszuwerden, subtrahiert man auf beiden Seiten dieselbe Zahl \(b\) (eine Äquivalenzumformung – die Gleichung bleibt wahr).

② Auf der rechten Seite steht \(b\): Zahl, die die Seite wechselt jetzt mit Minuszeichen (\(-b\)),

③ und links bleibt nur \(x\): gesuchte Variable übrig. Es sieht so aus, als wäre \(+b\) nach rechts gewandert und hätte dabei sein Vorzeichen geändert – das ist der Seitenwechsel

Einfaches Beispiel

Bringt man bei \(x + 3 = 5\) das \(+3\) von links auf die andere Seite, erhält man

\(x\): gesuchte Variable \(=\) Zahl rechts (5) \(-\) Zahl, die die Seite gewechselt hat (3)

\(x + 3 = 5\)

\(x + 3 - 3 = 5 - 3\)

\(x = 5 - 3 = 2\)

Der Grundgedanke

Der Seitenwechsel ist kein Zaubertrick, sondern eine Abkürzung für eine Äquivalenzumformung: „Auf beiden Seiten dieselbe Zahl addieren oder subtrahieren“. Wie eine Balkenwaage im Gleichgewicht bleibt, wenn man von beiden Schalen dasselbe Gewicht wegnimmt, bleibt eine Gleichung wahr, wenn man auf beiden Seiten dieselbe Zahl subtrahiert. Danach ist der Term auf der einen Seite verschwunden und taucht auf der anderen mit umgekehrtem Vorzeichen auf. Der Seitenwechsel schreibt diese zwei Schritte als einen. In vielen Heften steht dafür der Merksatz „Seitenwechsel – Vorzeichenwechsel“. Terme mit \(x\) wechseln die Seite genauso. Bringt man zum Beispiel bei \(3x + 2 = x + 10\) das \(x\) von rechts nach links, heißt das: auf beiden Seiten \(x\) subtrahieren. Man erhält \(3x - x + 2 = 10\).

Wenn es keine eindeutige Lösung gibt (die Differenz der Koeffizienten von \(x\) ist 0)

Graph

Mathematische Schreibweise (die übliche Formel)

\((a - c)\,x\) \(=\) \(d - b\)

In Worten (Symbole durch Wörter ersetzt)

① \((a - c)\,x\): Differenz der Koeffizienten mal \(x\) \(=\) ② \(d - b\): Differenz der Zahlen

Die Formel in Worten

① Nach dem Umstellen und Zusammenfassen steht links \((a - c)\,x\): Differenz der Koeffizienten mal \(x\) und

② rechts \(d - b\): Differenz der Zahlen (bei \(a - c = 0\) steht links \(0 \times x\), und man kann nicht durch \(a - c\) teilen)

Einfaches Beispiel

Fasst man \(2x + 1 = 2x + 5\) zusammen (beide Seiten haben denselben Koeffizienten vor \(x\)), erhält man

Differenz der Koeffizienten (0) mal x \(=\) Differenz der Zahlen (5 − 1 = 4)

\(2x - 2x = 5 - 1\)

\(0 \times x = 4\)

Der Grundgedanke

Ist \(a - c = 0\), haben also beide Seiten denselben Koeffizienten vor \(x\), fallen die Terme mit \(x\) beim Umstellen weg, und es bleibt \(0 \times x = d - b\). Dann entscheidet die Differenz der Zahlen \(d - b\): - Bei \(d - b \neq 0\) (Beispiel: \(2x + 1 = 2x + 5\)): Jede Zahl mal 0 ergibt 0 und nie eine Zahl ungleich 0. Kein \(x\) macht die Gleichung wahr – es gibt „keine Lösung“, die Lösungsmenge ist leer: \(L = \{\,\}\). - Bei \(d - b = 0\) (Beispiel: \(2x + 1 = 2x + 1\)): Die Gleichung wird zu \(0 = 0\), was für jede Zahl \(x\) stimmt. „Alle Zahlen sind Lösungen“ (\(L = \mathbb{R}\)), denn beide Seiten sind genau derselbe Term – die Gleichung ist allgemeingültig. Im Graphen entspricht „keine Lösung“ zwei parallelen Geraden (kein Schnittpunkt) und „alle Zahlen sind Lösungen“ zwei Geraden, die genau aufeinanderliegen (sie schneiden sich überall).

Eine lineare Gleichung \(ax + b = cx + d\) lösen Sie so: 1) Terme mit \(x\) auf die linke Seite, Zahlen auf die rechte Seite bringen (beim Seitenwechsel ändert sich das Vorzeichen), 2) zur Form \((a - c)x = d - b\) zusammenfassen, 3) beide Seiten durch den Koeffizienten \(a - c\) teilen: \(x = \dfrac{d - b}{a - c}\). Nur bei \(a - c = 0\) kann man nicht teilen. Ist dann die Differenz der Zahlen 0, sind alle Zahlen Lösungen, sonst gibt es keine Lösung.

Symbole und Begriffe

Symbole

\(x\)	x	Der Buchstabe für die gesuchte Zahl (die Variable). Stellen Sie sich \(x\) als „Platzhalter für eine Zahl, die wir noch nicht kennen“ vor. Eine Gleichung lösen heißt, die Zahl zu finden, die in \(x\) gehört. Dass man für Unbekannte Buchstaben vom Ende des Alphabets wie \(x,\ y,\ z\) verwendet, geht der Überlieferung nach auf den Mathematiker René Descartes zurück.
\(a,\ c\)	a, c	Die Koeffizienten von \(x\) (die Zahlen vor \(x\)). Auf dieser Seite ist \(a\) der Koeffizient von \(x\) auf der linken Seite und \(c\) der auf der rechten Seite. Für feste Zahlen nimmt man üblicherweise Buchstaben vom Anfang des Alphabets: \(a,\ b,\ c\).
\(b,\ d\)	b, d	Die konstanten Terme (die Zahlen ohne \(x\)). Auf dieser Seite steht \(b\) auf der linken und \(d\) auf der rechten Seite.
\(=\)	ist gleich	Das Gleichheitszeichen. Es zeigt, dass linke und rechte Seite gleich sind. Eingeführt hat es der Überlieferung nach der englische Mathematiker Robert Recorde im 16. Jahrhundert – weil „nichts gleicher sein kann“ als zwei parallele Striche. Beim Umformen einer Gleichung ist das Wichtigste, diese Gleichheit nicht zu zerstören.
\(0 \times x\)	null mal x	Diese Form entsteht, wenn man eine Gleichung zusammenfasst, deren beide Seiten denselben Koeffizienten vor \(x\) haben. Ihr Wert ist für jedes \(x\) gleich 0. Ist die rechte Seite 0, gilt die Gleichung „für jedes \(x\)“, sonst „für kein \(x\)“.

Begriffe

Gleichung	Zwei Terme, die durch das Gleichheitszeichen „=“ verbunden sind. Sie sagt aus, dass linke Seite und rechte Seite gleich sind.
Bestimmungsgleichung	Eine Gleichung, die nur für bestimmte Zahlen gilt, die man für die Variable einsetzt. \(x + 3 = 5\) gilt zum Beispiel nur für \(x = 2\).
lineare Gleichung	Eine Gleichung, in der die Variable nur in der ersten Potenz (\(x\)) vorkommt, ohne Terme wie \(x^2\). Sie lässt sich immer in die Form \(ax + b = cx + d\) bringen. Man lernt sie in Klasse 7–8 (12–14 Jahre).
Lösung	Ein Wert der Variablen, der die Gleichung wahr macht. Eine Gleichung „lösen“ heißt, alle Lösungen zu finden. Alle Lösungen zusammen bilden die Lösungsmenge \(L\).
linke Seite	Der Term links vom Gleichheitszeichen. Zusammen mit der rechten Seite spricht man von „beiden Seiten“.
rechte Seite	Der Term rechts vom Gleichheitszeichen. Zusammen mit der linken Seite spricht man von „beiden Seiten“.
Seitenwechsel	Einen Term einer Gleichung mit umgekehrtem Vorzeichen auf die andere Seite bringen („Seitenwechsel – Vorzeichenwechsel“). Das ist die Kurzform der Äquivalenzumformung „auf beiden Seiten dieselbe Zahl addieren oder subtrahieren“.
Äquivalenzumformung	Eine Umformung, bei der die Gleichung wahr bleibt: auf beiden Seiten dieselbe Zahl addieren, subtrahieren, mit derselben Zahl multiplizieren oder durch dieselbe Zahl ungleich 0 teilen. Jeder Schritt beim Lösen einer Gleichung beruht darauf.
Term	Hier: jedes Stück eines Ausdrucks zwischen Plus- und Minuszeichen (ein Summand). \(3x + 2\) besteht aus den zwei Termen \(3x\) und \(2\).
Koeffizient	Die Zahl vor einer Variablen (auch Vorfaktor). In \(3x\) ist 3 der Koeffizient. Steht keine Zahl davor wie bei \(x\), ist der Koeffizient 1.
konstanter Term	Ein Term ohne Variable, nur eine Zahl, wie die 2 in \(3x + 2\). Er heißt konstant, weil er sich nicht ändert, egal welchen Wert \(x\) hat.
Variable	Eine Zahl, deren Wert wir noch nicht kennen und suchen (auch Unbekannte). In Gleichungen schreibt man sie meist als \(x\).
gleichartige Terme	Terme mit demselben Variablenteil. \(3x\) und \(-x\) sind gleichartig und lassen sich zu \(2x\) zusammenfassen, indem man die Koeffizienten verrechnet.
allgemeingültige Gleichung	Eine Gleichung, die für jede eingesetzte Zahl stimmt. \(2x + 1 = 2x + 1\) ist zum Beispiel allgemeingültig; löst man sie, sind alle Zahlen Lösungen (\(L = \mathbb{R}\)).
Probe	Die gefundene Lösung in die ursprüngliche Gleichung einsetzen und prüfen, ob beide Seiten wirklich gleich sind. So fallen Vorzeichenfehler beim Seitenwechsel oder Teilen auf.

Das sollten Sie vorher wissen

Damit Sie die Rechnung auf dieser Seite nicht nur per Knopfdruck, sondern mit echtem Verständnis nutzen, hilft Ihnen dieses Vorwissen.
Wenn Sie irgendwo hängen bleiben, ist es am schnellsten, diese Themen noch einmal zu wiederholen.

Negative Zahlen (Klasse 6–7, 11–13 Jahre)	Mit negativen Zahlen addieren und subtrahieren können (zum Beispiel \(9 - 5 = 4\) und \(3 - 5 = -2\)) Die Vorzeichenregeln beim Multiplizieren und Dividieren mit negativen Zahlen kennen (zum Beispiel \(4 \div (-2) = -2\))
Terme mit Variablen (Klasse 7, 12–13 Jahre)	\(3x\) als „\(3 \cdot x\)“ lesen und 3 als Koeffizienten von \(x\) erkennen Gleichartige Terme zusammenfassen können (zum Beispiel \(3x - x = 2x\)) Wissen, dass \(x\) allein den Koeffizienten 1 hat (es bedeutet \(1x\))
Was das Gleichheitszeichen bedeutet (Grundschule bis Klasse 7, 6–13 Jahre)	Wissen, dass das Gleichheitszeichen „=“ aussagt, dass linke Seite und rechte Seite gleich sind (es ist nicht nur „das Zeichen vor dem Ergebnis“) Sich eine Balkenwaage vorstellen können, die im Gleichgewicht bleibt, wenn man auf beiden Seiten dasselbe tut
Bruchrechnung (Klasse 5–7, 10–13 Jahre)	Brüche kürzen können (zum Beispiel \(\dfrac{14}{2} = 7\) und \(\dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}\)) Wissen, dass man durch einen Bruch teilt, indem man mit dem Kehrwert multipliziert Damit vertraut sein, ein Ergebnis als Bruch stehen zu lassen (\(\dfrac{2}{3}\) muss nicht in eine Dezimalzahl umgewandelt werden)

So berechnen Sie es in Excel

Kopieren Sie die ganze Tabelle und fügen Sie sie in Zelle A1 von Excel ein – dann funktioniert sie direkt.

Tabelle zum Lösen der linearen Gleichung ax+b=cx+d

Koeffizient von x links, a	3
Zahl links, b	2
Koeffizient von x rechts, c	1
Zahl rechts, d	10
Differenz der Koeffizienten a−c	=B1-B3
Differenz der Zahlen d−b	=B4-B2
Lösung x = (d−b) : (a−c)	=B6/B5

Tabelle zur Probe des Seitenwechsels (Form x + b = d)

Zahl, die die Seite wechselt, b	3
Zahl rechts, d	5
Lösung x = d − b	=B2-B1

Tabelle, die prüft, ob es genau eine Lösung gibt

Koeffizient von x links, a	2
Zahl links, b	3
Koeffizient von x rechts, c	2
Zahl rechts, d	5
Differenz der Koeffizienten a−c	=B1-B3
Differenz der Zahlen d−b	=B4-B2
Ergebnis	=WENN(B5<>0;"Genau eine Lösung";WENN(B6=0;"Alle Zahlen sind Lösungen";"Keine Lösung"))

Nach dem Einfügen sind die oberen Zeilen (die Koeffizienten) Ihre Eingaben, die unteren Zeilen rechnen automatisch.
Die erste Tabelle löst 3x + 2 = x + 10, die Lösung ist (10 − 2) : (3 − 1) = 4. Ersetzen Sie die Koeffizienten durch die Zahlen Ihrer eigenen Gleichung.
Die zweite Tabelle prüft den Seitenwechsel bei x + 3 = 5, die Lösung ist 5 − 3 = 2.
Die dritte Tabelle gehört zu 2x + 3 = 2x + 5. Die Differenz der Koeffizienten ist 0, die Differenz der Zahlen 2 – das Ergebnis lautet also „Keine Lösung“.

So berechnen Sie es in Google Tabellen

Kopieren Sie die ganze Tabelle und fügen Sie sie in Zelle A1 von Google Tabellen ein – dann funktioniert sie direkt.

Tabelle zum Lösen der linearen Gleichung ax+b=cx+d

Koeffizient von x links, a	3
Zahl links, b	2
Koeffizient von x rechts, c	1
Zahl rechts, d	10
Differenz der Koeffizienten a−c	=B1-B3
Differenz der Zahlen d−b	=B4-B2
Lösung x = (d−b) : (a−c)	=B6/B5

Tabelle zur Probe des Seitenwechsels (Form x + b = d)

Zahl, die die Seite wechselt, b	3
Zahl rechts, d	5
Lösung x = d − b	=B2-B1

Tabelle, die prüft, ob es genau eine Lösung gibt

Koeffizient von x links, a	2
Zahl links, b	3
Koeffizient von x rechts, c	2
Zahl rechts, d	5
Differenz der Koeffizienten a−c	=B1-B3
Differenz der Zahlen d−b	=B4-B2
Ergebnis	=WENN(B5<>0;"Genau eine Lösung";WENN(B6=0;"Alle Zahlen sind Lösungen";"Keine Lösung"))

Die Formeln aus Excel funktionieren unverändert (Google Tabellen auf Deutsch kennt WENN unter demselben Namen). Kopieren Sie die ganze Tabelle, fügen Sie sie in Zelle A1 ein und ersetzen Sie die Koeffizienten durch die Zahlen Ihrer eigenen Gleichung.

So berechnen Sie es in Python

from fractions import Fraction

# Koeffizienten von ax + b = cx + d (ein Bruch wie 3/4 wird als Fraction(3, 4) geschrieben)
left_x_coef = Fraction(3)     # Koeffizient von x links, a
left_const = Fraction(2)      # Zahl links, b
right_x_coef = Fraction(1)    # Koeffizient von x rechts, c
right_const = Fraction(10)    # Zahl rechts, d

# Nach Seitenwechsel und Zusammenfassen: (a−c)x = d−b
coef_diff = left_x_coef - right_x_coef
const_diff = right_const - left_const

if coef_diff != 0:
    solution = const_diff / coef_diff
    print(f"Lösung (Bruch): x = {solution}")
    print(f"Lösung (Dezimalzahl): x = {float(solution)}")
elif const_diff == 0:
    print("Alle Zahlen sind Lösungen (allgemeingültig)")
else:
    print("Keine Lösung")

Mit dem Modul fractions der Standardbibliothek rechnen Sie mit exakten Brüchen, ohne Rundungsfehler. Das Beispiel löst 3x + 2 = x + 10 und gibt „x = 4“ aus. Ändern Sie die Koeffizienten und führen Sie den Code aus (geht die Lösung nicht auf, erscheint sie als Bruch wie 2/3).

So schreiben Sie die Formel in LaTeX und anderen Formelsprachen (zum Kopieren)

Lösung einer linearen Gleichung (so finden Sie \(x\))

x = (d − b)/(a − c)

x = \frac{d - b}{a - c}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>x</mi>
    <mo>=</mo>
    <mfrac>
      <mrow><mi>d</mi><mo>&#x2212;</mo><mi>b</mi></mrow>
      <mrow><mi>a</mi><mo>&#x2212;</mo><mi>c</mi></mrow>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

x = (d - b)/(a - c)

Solve[a x + b == c x + d, x]

solve(a*x + b = c*x + d, x);

solve(a*x + b == c*x + d, x)

x = (d − b)/(a − c)

Seitenwechsel (warum sich das Vorzeichen ändert)

x + b = d ⇔ x = d − b

x + b = d \iff x = d - b

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>x</mi><mo>+</mo><mi>b</mi><mo>=</mo><mi>d</mi>
    <mo>&#x21D4;</mo>
    <mi>x</mi><mo>=</mo><mi>d</mi><mo>&#x2212;</mo><mi>b</mi>
  </mrow>
</math>

x + b = d <=> x = d - b

Solve[x + b == d, x]

solve(x + b = d, x);

solve(x + b == d, x)

x + b = d ⇔ x = d − b

Wenn es keine eindeutige Lösung gibt (die Differenz der Koeffizienten von \(x\) ist 0)

(a − c)x = d − b

(a - c)x = d - b

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mo>(</mo><mi>a</mi><mo>&#x2212;</mo><mi>c</mi><mo>)</mo>
    <mi>x</mi>
    <mo>=</mo>
    <mi>d</mi><mo>&#x2212;</mo><mi>b</mi>
  </mrow>
</math>

(a - c)x = d - b

Reduce[a x + b == c x + d, x]

solve(a*x + b = c*x + d, x);

solve(a*x + b == c*x + d, x)

(a − c)x = d − b

So lassen Sie ChatGPT rechnen

Sie sind ein Rechenassistent für Mathematik der Mittelstufe. Führen Sie die folgende Berechnung unbedingt aus, indem Sie tatsächlich Python-Code ausführen, und stützen Sie Ihre Antwort nur auf die Zahlen aus dem Ausführungsergebnis (nicht im Kopf rechnen und nicht schätzen).

Lösen Sie die lineare Gleichung 3x + 2 = x + 10.
Geben Sie jeweils an:
1. Den Seitenwechsel (die Gleichung, nachdem alle Terme mit x nach links und alle Zahlen nach rechts gebracht wurden)
2. Die zusammengefasste Gleichung (in der Form (a−c)x = d−b)
3. Die Lösung x (geht sie nicht auf, als gekürzten Bruch und als Dezimalzahl)
4. Die Probe (Lösung einsetzen und zeigen, dass beide Seiten gleich sind)

Rechnen Sie in Python exakt mit dem Modul fractions der Standardbibliothek und geben Sie die verwendeten Formeln und die Zahlen aus dem Ausführungsergebnis an.

Anleitung

1

Werte eingeben

Tragen Sie die Zahlen, mit denen Sie rechnen möchten, in die Eingabefelder ein
2

Berechnen

Klicken Sie auf die Schaltfläche „Berechnen“
3

Ergebnis ansehen

Das Ergebnis erscheint sofort. Auf derselben Seite finden Sie auch den Rechenweg und die Erklärung der Formel