Lineare Gleichungen lösen (mit Rechenweg und Probe)

Geben Sie die Koeffizienten der linearen Gleichung ax + b = cx + d ein. Die Gleichung darunter ist mit den Eingabefeldern verknüpft, Sie können die Koeffizienten also auch direkt darin ändern.

Koeffizient von x links, a

Konstante links, b

Koeffizient von x rechts, c

Konstante rechts, d

Sie können Dezimalzahlen, negative Zahlen und Brüche wie 3/4 verwenden. Ein leerer Koeffizient von x (a oder c) gilt als 1 (x bedeutet 1x), ein leeres konstantes Glied (b oder d) als 0. Geben Sie für ein Glied, das Sie nicht brauchen, eine 0 ein.

Ergebnis und Diagramm

Geben Sie links die Koeffizienten ein und klicken Sie auf „Berechnen“. Hier erscheinen dann der Rechenweg und der Graph der beiden Geraden.

Inhaltsverzeichnis

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Was Sie auf dieser Seite tun können
Wofür ist diese Berechnung nützlich?
Anleitung
Formeln und Graphen
Symbole und Begriffe
- Symbole
- Begriffe
Was Sie vorab wissen sollten
Mit Excel berechnen
Mit Google Tabellen berechnen
Mit Python berechnen
Die Formel in LaTeX und anderen mathematischen Schreibweisen (zum Kopieren)
Die Berechnung von ChatGPT ausführen lassen
Die Vorteile von DataChef
Verwandte Funktionen
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Was Sie auf dieser Seite tun können

Lösen Sie eine lineare Gleichung der Form \(ax + b = cx + d\), indem Sie nur die Koeffizienten eingeben, mit Rechenweg Schritt für Schritt
Die Lösung wird sowohl als gekürzter Bruch wie \(\dfrac{2}{3}\) (der exakte Wert) als auch als Dezimalzahl angezeigt. Dazu gibt es die Probe: Die Lösung wird eingesetzt, und beide Seiten ergeben denselben Wert
Haben beide Seiten denselben Koeffizienten von \(x\), erfahren Sie, ob es „keine Lösung“ oder „alle reellen Zahlen“ (unendlich viele Lösungen) gibt, und warum
Der Rechner zeigt die Gleichung so, wie Sie sie von Hand schreiben würden, und Sie können die Koeffizienten direkt darin ändern
Koeffizienten dürfen Dezimalzahlen, negative Zahlen oder Brüche wie 3/4 sein
Das Ergebnis enthält außerdem den Graphen der beiden Geraden \(y = \) (linke Seite) und \(y = \) (rechte Seite). So sehen Sie, dass die \(x\)-Koordinate des Schnittpunkts die Lösung ist

Diese Seite löst lineare Gleichungen mit einer Variablen x. Für Gleichungssysteme mit zwei Variablen oder quadratische Gleichungen mit x² nutzen Sie bitte die verwandten Seiten.

Wofür ist diese Berechnung nützlich?

Handy- und Abo-Tarife vergleichen (der Break-even-Punkt)

„Tarif A hat eine höhere Grundgebühr, aber einen niedrigeren Preis pro Einheit, Tarif B eine niedrigere Grundgebühr, aber einen höheren Preis pro Einheit.“ Der Punkt, ab dem einer günstiger wird als der andere, ist eine lineare Gleichung der Form \(ax + b = cx + d\). Vergleichen Sie zum Beispiel einen Tarif mit 30 € im Monat plus 3 € pro GB mit einem Tarif mit 15 € im Monat plus 6 € pro GB. Aus \(3x + 30 = 6x + 15\) folgt \(x = 5\) (GB). Wer mehr als 5 GB im Monat nutzt, fährt mit dem ersten Tarif günstiger.
Stromtarife, Fitnessstudio-Verträge und Kaufen oder Abonnieren funktionieren genauso: Jeder Vergleich von „Fixkosten + Preis pro Einheit × Menge“ ist diese Rechnung.

Wann holt er ihn ein? (eine Aufgabe zur Geschwindigkeit)

Wenn jemand einer Person hinterherfährt, die früher losgegangen ist, ist „nach wie vielen Minuten holt er sie ein“ eine lineare Gleichung: Gesucht ist der Zeitpunkt, an dem beide gleich weit gekommen sind. Ein Junge geht zum Beispiel mit 60 Metern pro Minute (3,6 km/h) von zu Hause los, und 9 Minuten später fährt seine Schwester mit dem Fahrrad (240 Meter pro Minute, 14,4 km/h) hinterher. \(t\) Minuten nach dem Start der Schwester ist der Junge \(60t + 540\) Meter weit gekommen und die Schwester \(240t\) Meter. Aus \(60t + 540 = 240t\) folgt \(t = 3\): Sie holt ihn nach 3 Minuten ein.
Es ist eine klassische Textaufgabe der Algebra und derselbe Gedanke wie beim Abschätzen, wann sich zwei Reisende oder zwei Lieferungen treffen.

Den Break-even-Punkt finden (Geschäft und Unternehmen)

Läden und Fabriken berechnen mit einer linearen Gleichung, „wie viele Stück wir verkaufen müssen, um Gewinn zu machen“ (den Break-even-Punkt). Ein Produkt wird für 8 € verkauft, das Material kostet 3 € pro Stück, und die Fixkosten wie Miete betragen 6.000 € im Monat. Die Stückzahl, bei der Umsatz und Kosten gleich sind, ergibt sich aus \(8x = 3x + 6000\), also \(x = 1200\) Stück. 1.200 verkaufte Stück im Monat sind die Grenze zwischen Gewinn und Verlust.
Bei der Planung eines neuen Geschäfts oder Produkts gehört das zu den ersten Zahlen, die man prüft.

Temperaturen rückwärts umrechnen (Fahrenheit und Celsius)

Amerikanische Wetterberichte und Rezepte geben Temperaturen in Fahrenheit an. Aus der Celsius-Temperatur \(C\) ergibt sich „Fahrenheit = \(1{,}8C + 32\)“. Die Frage „Wie viel Grad Celsius sind 86 °F?“ ist dasselbe wie das Lösen der linearen Gleichung \(1{,}8C + 32 = 86\). Bringen Sie die 32 auf die andere Seite, dann gilt \(1{,}8C = 54\), und nach dem Teilen beider Seiten durch 1,8 erhalten Sie \(C = 30\) Grad.
Immer wenn Sie die Umrechnungsformel kennen, aber in die andere Richtung rechnen wollen (Einheitenumrechnungen, Rückrechnen aus einem Rechnungsbetrag und so weiter), lösen Sie eine lineare Gleichung.

Wann ist der Sparstand gleich? (Taschengeld und Sparpläne)

Eine lineare Gleichung verrät auch, wann die Ersparnisse zweier Personen gleich hoch sind, wenn sie mit unterschiedlichen Beträgen starten und jeden Monat unterschiedlich viel sparen. Ein jüngerer Bruder hat zum Beispiel jetzt 50 € und spart 15 € im Monat, sein älterer Bruder hat jetzt 200 € und spart 5 € im Monat. Aus \(15m + 50 = 5m + 200\) folgt \(m = 15\): Nach 15 Monaten haben beide gleich viel.
„Wann sind zwei Beträge gleich, die unterschiedlich schnell wachsen?“ Sparpläne und die Planung von Zielen sind alltägliche Anwendungen dieser Gleichung.

Formeln und Graphen

Lösung einer linearen Gleichung (so finden Sie \(x\))

Graph

Mathematische Schreibweise (die übliche Schreibweise)

\(x\) \(=\) \((\) \(d - b\) \()\) \(\div\) \((\) \(a - c\) \()\)

In Worten (die Symbole durch Wörter ersetzt)

③ \(x\): Lösung \(=\) \((\) ① \(d - b\): Differenz der Konstanten \()\) \(\div\) \((\) ② \(a - c\): Differenz der \(x\)-Koeffizienten \()\)

Die Formel in Worten

① Nehmen Sie \(d - b\): Differenz der Konstanten als Rest der rechten Seite nach dem Umstellen und Zusammenfassen,

② teilen Sie sie durch \(a - c\): Differenz der \(x\)-Koeffizienten (der Rest der linken Seite),

③ und Sie erhalten \(x\): Lösung (ist die Differenz der \(x\)-Koeffizienten gleich 0, können Sie nicht teilen; siehe unten „Wenn es keine eindeutige Lösung gibt“)

Einfaches Beispiel

Die Lösung der linearen Gleichung \(2x + 3 = 5\) (a = 2, b = 3, c = 0, d = 5) ist

\(x\): Lösung \(=\) \((\) Differenz der Konstanten (5 − 3 = 2) \()\) \(\div\) \((\) Differenz der x-Koeffizienten (2 − 0 = 2) \()\)

\(2x + 3 = 5\)

\(2x = 5 - 3\)

\(2x = 2\)

\(x = \dfrac{2}{2} = 1\)

Der Kerngedanke

Diese Formel fasst die drei Schritte des Lösens in einer Antwort zusammen: (1) Glieder auf die andere Seite bringen, (2) zusammenfassen, (3) durch den Koeffizienten von \(x\) teilen. Wenn Sie von Hand rechnen, bringen Sie (1) die \(x\)-Glieder auf die linke Seite und die Zahlenglieder auf die rechte Seite, fassen (2) jede Seite zur Form \((a - c)x = d - b\) zusammen und teilen (3) beide Seiten durch den Koeffizienten von \(x\), also durch \(a - c\). Warum ein Glied sein Vorzeichen ändert, wenn es die Seite wechselt, erklärt die nächste Karte, „Umstellen“.

Umstellen (warum sich das Vorzeichen ändert)

Mathematische Schreibweise (die übliche Schreibweise)

\(x\) \(+\) \(b\) \(=\) \(d\)

\(x\) \(=\) \(d\) \(-\) \(b\)

In Worten (die Symbole durch Wörter ersetzt)

\(x\): die Unbekannte \(+\) ① \(b\): zu verschiebende Zahl \(=\) \(d\): Zahl rechts

③ \(x\): die Unbekannte \(=\) \(d\): Zahl rechts \(-\) ② \(b\): zu verschiebende Zahl

Die Formel in Worten

① Um \(b\): zu verschiebende Zahl auf der linken Seite loszuwerden, ziehen Sie auf beiden Seiten dieselbe Zahl \(b\) ab (zieht man auf beiden Seiten dieselbe Zahl ab, bleibt die Gleichung wahr).

② Auf der rechten Seite steht \(b\): zu verschiebende Zahl jetzt mit einem Minuszeichen (\(-b\)),

③ und auf der linken Seite bleibt nur \(x\): die Unbekannte übrig. Es sieht so aus, als wäre \(+b\) auf die rechte Seite gewandert und hätte dabei sein Vorzeichen geändert. Das nennt man Umstellen

Einfaches Beispiel

Bringt man das \(+3\) auf der linken Seite von \(x + 3 = 5\) auf die andere Seite, erhält man

\(x\): die Unbekannte \(=\) Zahl rechts (5) \(-\) verschobene Zahl (3)

\(x + 3 = 5\)

\(x + 3 - 3 = 5 - 3\)

\(x = 5 - 3 = 2\)

Der Kerngedanke

Das Umstellen ist keine Zauberei. Es ist die Kurzschreibweise für die Äquivalenzumformung: „auf beiden Seiten dieselbe Zahl addieren oder subtrahieren“. Wie eine Waage im Gleichgewicht bleibt, wenn Sie aus beiden Schalen dasselbe Gewicht nehmen, bleibt eine Gleichung wahr, wenn Sie von beiden Seiten dieselbe Zahl abziehen. Nach dem Abziehen verschwindet das Glied auf der einen Seite, und auf der anderen Seite erscheint ein Glied mit umgekehrtem Vorzeichen. Das Umstellen schreibt diese beiden Schritte in einem hin. Die \(x\)-Glieder lassen sich genauso umstellen. Bringen Sie zum Beispiel bei \(3x + 2 = x + 10\) das \(x\) der rechten Seite auf die linke Seite, so ziehen Sie \(x\) von beiden Seiten ab und erhalten \(3x - x + 2 = 10\).

Wenn es keine eindeutige Lösung gibt (die Differenz der \(x\)-Koeffizienten ist 0)

Graph

Mathematische Schreibweise (die übliche Schreibweise)

\((a - c)\,x\) \(=\) \(d - b\)

In Worten (die Symbole durch Wörter ersetzt)

① \((a - c)\,x\): Differenz der \(x\)-Koeffizienten mal \(x\) \(=\) ② \(d - b\): Differenz der Konstanten

Die Formel in Worten

① Nach dem Umstellen und Zusammenfassen wird die linke Seite zu \((a - c)\,x\): Differenz der \(x\)-Koeffizienten mal \(x\) und

② die rechte Seite wird zu \(d - b\): Differenz der Konstanten (bei \(a - c = 0\) ist die linke Seite gleich \(0 \times x\), und Sie können nicht beide Seiten durch \(a - c\) teilen)

Einfaches Beispiel

Fasst man \(2x + 1 = 2x + 5\) (beide Seiten haben denselben Koeffizienten von \(x\)) zusammen, erhält man

Differenz der x-Koeffizienten (0) mal x \(=\) Differenz der Konstanten (5 − 1 = 4)

\(2x - 2x = 5 - 1\)

\(0 \times x = 4\)

Der Kerngedanke

Ist \(a - c = 0\), haben also beide Seiten denselben Koeffizienten von \(x\), so fallen beim Umstellen die \(x\)-Glieder weg, und es bleibt \(0 \times x = d - b\). Dann hängt die Antwort von der Differenz der Konstanten \(d - b\) ab. - Bei \(d - b \neq 0\) (Beispiel: \(2x + 1 = 2x + 5\)): Jede Zahl mal 0 ist wieder 0, nie eine Zahl ungleich 0. Kein \(x\) macht die Gleichung wahr, es gibt also „keine Lösung“. - Bei \(d - b = 0\) (Beispiel: \(2x + 1 = 2x + 1\)): Die Gleichung wird zu \(0 = 0\) und stimmt für jede Zahl, die Sie für \(x\) einsetzen. Die Lösung ist „alle reellen Zahlen“ (unendlich viele Lösungen), weil beide Seiten genau derselbe Term sind (eine allgemeingültige Gleichung). Im Graphen sind „keine Lösung“ zwei parallele Geraden (sie treffen sich nie) und „alle reellen Zahlen“ zwei Geraden, die genau aufeinander liegen (sie treffen sich überall).

So lösen Sie die lineare Gleichung \(ax + b = cx + d\): (1) Bringen Sie die \(x\)-Glieder auf die linke Seite und die Zahlenglieder auf die rechte Seite (ein Glied, das die Seite wechselt, ändert sein Vorzeichen), (2) fassen Sie zur Form \((a - c)x = d - b\) zusammen und (3) teilen Sie beide Seiten durch den Koeffizienten von \(x\), also durch \(a - c\). Dann gilt \(x = \dfrac{d - b}{a - c}\). Nur bei \(a - c = 0\) können Sie nicht teilen. Ist dann die Differenz der Konstanten 0, sind es „alle reellen Zahlen“, sonst gibt es „keine Lösung“.

Symbole und Begriffe

Symbole

\(x\)	x	Der Buchstabe für die Zahl, die Sie finden wollen (die Unbekannte). Stellen Sie sich einen „Behälter für eine noch unbekannte Zahl“ vor. Eine Gleichung zu lösen heißt, die Zahl zu finden, die für \(x\) eingesetzt wird. Buchstaben vom Ende des Alphabets wie \(x,\ y,\ z\) für Unbekannte zu verwenden, soll auf den Mathematiker Descartes zurückgehen.
\(a,\ c\)	a, c	Die Koeffizienten von \(x\) (die Zahlen vor \(x\)). Auf dieser Seite ist \(a\) der Koeffizient von \(x\) auf der linken Seite und \(c\) der auf der rechten Seite. Üblicherweise stehen Buchstaben vom Anfang des Alphabets, \(a,\ b,\ c\), für feste Zahlen.
\(b,\ d\)	b, d	Die konstanten Glieder (die Glieder nur aus einer Zahl). Auf dieser Seite ist \(b\) das konstante Glied der linken Seite und \(d\) das der rechten Seite.
\(=\)	gleich	Das Gleichheitszeichen. Es zeigt, dass die linke Seite und die rechte Seite gleich sind. Der Mathematiker Robert Recorde aus dem 16. Jahrhundert soll es eingeführt haben, weil „nichts gleicher sein kann“ als zwei parallele Strecken. Beim Umformen einer Gleichung kommt es vor allem darauf an, diese „Gleichheit“ zu erhalten.
\(0 \times x\)	null mal x	Die Form, die entsteht, wenn Sie eine Gleichung mit demselben Koeffizienten von \(x\) auf beiden Seiten zusammenfassen. Ihr Wert ist 0, egal welche Zahl \(x\) ist. Ist die rechte Seite 0, gilt sie „für jedes \(x\)“, sonst „für kein \(x\)“.

Begriffe

Gleichung	Zwei Terme, die durch das Gleichheitszeichen „=“ verbunden sind. Sie besagt, dass die linke Seite und die rechte Seite gleich sind.
Bestimmungsgleichung	Eine Gleichung, die nur wahr ist, wenn für den Buchstaben (die Unbekannte) eine bestimmte Zahl eingesetzt wird. Zum Beispiel ist \(x + 3 = 5\) nur für \(x = 2\) wahr.
lineare Gleichung	Eine Gleichung, in der die Unbekannte nur in der ersten Potenz (\(x\)) vorkommt, ohne Glieder wie \(x^2\). Sie lässt sich immer auf die Form \(ax + b = cx + d\) bringen. Sie wird in Klasse 7 (12–13 Jahre) behandelt.
Lösung	Ein Wert der Unbekannten, der die Gleichung wahr macht. Eine Gleichung zu „lösen“ heißt, alle ihre Lösungen zu finden.
linke Seite	Der Term links vom Gleichheitszeichen. Zusammen mit der rechten Seite bildet sie „beide Seiten“.
rechte Seite	Der Term rechts vom Gleichheitszeichen. Zusammen mit der linken Seite bildet sie „beide Seiten“.
Umstellen (auf die andere Seite bringen)	Ein Glied einer Gleichung mit umgekehrtem Vorzeichen auf die andere Seite bringen. Es ist eine Kurzschreibweise für die Regel „auf beiden Seiten dieselbe Zahl addieren oder subtrahieren“.
Äquivalenzumformung	Die Regel, dass eine Gleichung wahr bleibt, wenn Sie auf beiden Seiten dieselbe Zahl addieren, subtrahieren oder multiplizieren oder beide Seiten durch dieselbe Zahl ungleich 0 teilen. Jeder Schritt beim Lösen einer Gleichung beruht auf dieser Regel.
Glied	Jeder Teil eines Terms, der durch Plus- oder Minuszeichen getrennt ist. \(3x + 2\) hat zwei Glieder, \(3x\) und \(2\).
Koeffizient	Die Zahl vor einem Buchstaben. In \(3x\) ist der Koeffizient 3. Steht keine Zahl da, wie in \(x\), ist der Koeffizient 1.
konstantes Glied	Ein Glied nur aus einer Zahl ohne Buchstaben, wie die 2 in \(3x + 2\). Es heißt konstant, weil es sich nicht ändert, egal welchen Wert \(x\) hat.
Unbekannte	Eine Zahl, deren Wert wir noch nicht kennen und finden wollen. In Gleichungen wird sie meist als \(x\) geschrieben. Man nennt sie auch Variable.
gleichartige Glieder	Glieder mit demselben Buchstabenteil. \(3x\) und \(-x\) sind gleichartig, und man kann sie zu einem Glied \(2x\) zusammenfassen, indem man die Koeffizienten verrechnet.
allgemeingültige Gleichung	Eine Gleichung, die für jede Zahl wahr ist, die Sie für den Buchstaben einsetzen (auch Identität genannt). Zum Beispiel ist \(2x + 1 = 2x + 1\) allgemeingültig, und beim Lösen erhält man „alle reellen Zahlen“.
Probe	Die Lösung in die ursprüngliche Gleichung einsetzen und prüfen, ob beide Seiten wirklich gleich sind. So fallen Vorzeichenfehler beim Umstellen oder Teilen auf.

Was Sie vorab wissen sollten

Hier steht, was Ihnen hilft, die Berechnung auf dieser Seite wirklich zu verstehen und nicht nur den Knopf zu drücken.
Wenn Sie nicht weiterkommen, ist es der schnellste Weg, diese Themen zu wiederholen.

Positive und negative Zahlen (Klasse 6, 11–12 Jahre)	Addieren und Subtrahieren mit negativen Zahlen können (zum Beispiel \(9 - 5 = 4\) und \(3 - 5 = -2\)) Die Vorzeichenregeln beim Multiplizieren und Dividieren mit negativen Zahlen kennen (zum Beispiel \(4 \div (-2) = -2\))
Terme mit Variablen (Klasse 6–7, 11–13 Jahre)	\(3x\) als „\(3 \times x\)“ lesen und erkennen, dass 3 der Koeffizient von \(x\) ist Gleichartige Glieder zusammenfassen können (zum Beispiel \(3x - x = 2x\)) Wissen, dass \(x\) allein den Koeffizienten 1 hat (es bedeutet \(1x\))
Die Bedeutung des Gleichheitszeichens (Grundschule bis Klasse 7)	Wissen, dass das Gleichheitszeichen „=“ besagt, dass die linke Seite und die rechte Seite gleich sind (es ist nicht nur „das Zeichen vor dem Ergebnis“) Sich eine Waage vorstellen können, die im Gleichgewicht bleibt, wenn man auf beiden Seiten dasselbe tut
Bruchrechnung (Klasse 5–7, 10–13 Jahre)	Brüche kürzen können (zum Beispiel \(\dfrac{14}{2} = 7\) und \(\dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}\)) Wissen, dass das Teilen durch einen Bruch dasselbe ist wie das Multiplizieren mit dem Kehrwert Sich daran gewöhnen, ein Ergebnis als Bruch stehen zu lassen (Sie müssen \(\dfrac{2}{3}\) nicht in eine Dezimalzahl umwandeln)

Mit Excel berechnen

Kopieren Sie die gesamte Tabelle unten und fügen Sie sie in Zelle A1 von Excel ein. Sie funktioniert unverändert.

Tabelle zur Lösung der linearen Gleichung ax+b=cx+d

Koeffizient von x links, a	3
Konstante links, b	2
Koeffizient von x rechts, c	1
Konstante rechts, d	10
Differenz der x-Koeffizienten a−c	=B1-B3
Differenz der Konstanten d−b	=B4-B2
Lösung x = (d−b) ÷ (a−c)	=B6/B5

Tabelle zur Kontrolle des Umstellens (Form x + b = d)

Zu verschiebende Zahl b	3
Zahl rechts d	5
Lösung x = d − b	=B2-B1

Tabelle zur Prüfung, ob es genau eine Lösung gibt

Koeffizient von x links, a	2
Konstante links, b	3
Koeffizient von x rechts, c	2
Konstante rechts, d	5
Differenz der x-Koeffizienten a−c	=B1-B3
Differenz der Konstanten d−b	=B4-B2
Ergebnis	=WENN(B5<>0;"Eine Lösung";WENN(B6=0;"Alle reellen Zahlen (unendlich viele Lösungen)";"Keine Lösung"))

Nach dem Einfügen sind die oberen Zeilen (die Koeffizienten) Ihre Eingaben, und die unteren Zeilen werden automatisch berechnet.
Die erste Tabelle löst 3x + 2 = x + 10, und die Lösung ist (10 − 2) ÷ (3 − 1) = 4. Ersetzen Sie die Koeffizienten durch die Zahlen Ihrer eigenen Gleichung.
Die zweite Tabelle prüft das Umstellen bei x + 3 = 5, und die Lösung ist 5 − 3 = 2.
Die dritte Tabelle gehört zu 2x + 3 = 2x + 5. Die Differenz der x-Koeffizienten ist 0 und die Differenz der Konstanten ist 2, das Ergebnis lautet also „Keine Lösung“.

Mit Google Tabellen berechnen

Kopieren Sie die gesamte Tabelle unten und fügen Sie sie in Zelle A1 von Google Tabellen ein. Sie funktioniert unverändert.

Tabelle zur Lösung der linearen Gleichung ax+b=cx+d

Koeffizient von x links, a	3
Konstante links, b	2
Koeffizient von x rechts, c	1
Konstante rechts, d	10
Differenz der x-Koeffizienten a−c	=B1-B3
Differenz der Konstanten d−b	=B4-B2
Lösung x = (d−b) ÷ (a−c)	=B6/B5

Tabelle zur Kontrolle des Umstellens (Form x + b = d)

Zu verschiebende Zahl b	3
Zahl rechts d	5
Lösung x = d − b	=B2-B1

Tabelle zur Prüfung, ob es genau eine Lösung gibt

Koeffizient von x links, a	2
Konstante links, b	3
Koeffizient von x rechts, c	2
Konstante rechts, d	5
Differenz der x-Koeffizienten a−c	=B1-B3
Differenz der Konstanten d−b	=B4-B2
Ergebnis	=WENN(B5<>0;"Eine Lösung";WENN(B6=0;"Alle reellen Zahlen (unendlich viele Lösungen)";"Keine Lösung"))

Die Formeln funktionieren wie in Excel (bei deutschen Spracheinstellungen von Google Tabellen). Kopieren Sie die gesamte Tabelle, fügen Sie sie in Zelle A1 ein und ersetzen Sie die Koeffizienten durch die Zahlen Ihrer eigenen Gleichung.

Mit Python berechnen

from fractions import Fraction

# Koeffizienten von ax + b = cx + d (ein Bruch wie 3/4 wird als Fraction(3, 4) geschrieben)
left_x_coef = Fraction(3)     # Koeffizient von x links, a
left_const = Fraction(2)      # Konstante links, b
right_x_coef = Fraction(1)    # Koeffizient von x rechts, c
right_const = Fraction(10)    # Konstante rechts, d

# Nach dem Umstellen und Zusammenfassen: (a−c)x = d−b
coef_diff = left_x_coef - right_x_coef
const_diff = right_const - left_const

if coef_diff != 0:
    solution = const_diff / coef_diff
    print(f"Lösung (Bruch): x = {solution}")
    print(f"Lösung (Dezimalzahl): x = {float(solution)}")
elif const_diff == 0:
    print("Alle reellen Zahlen (unendlich viele Lösungen)")
else:
    print("Keine Lösung")

Mit dem Modul fractions aus der Standardbibliothek rechnen Sie mit exakten Brüchen, ohne Rundungsfehler bei Dezimalzahlen. Dieses Beispiel löst 3x + 2 = x + 10, und beim Ausführen erscheint „x = 4“. Ändern Sie die Koeffizienten und führen Sie den Code aus (geht die Lösung nicht auf, erscheint sie als Bruch wie 2/3).

Die Formel in LaTeX und anderen mathematischen Schreibweisen (zum Kopieren)

Lösung einer linearen Gleichung (so finden Sie \(x\))

x = (d − b)/(a − c)

x = \frac{d - b}{a - c}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>x</mi>
    <mo>=</mo>
    <mfrac>
      <mrow><mi>d</mi><mo>&#x2212;</mo><mi>b</mi></mrow>
      <mrow><mi>a</mi><mo>&#x2212;</mo><mi>c</mi></mrow>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

x = (d - b)/(a - c)

Solve[a x + b == c x + d, x]

solve(a*x + b = c*x + d, x);

solve(a*x + b == c*x + d, x)

x = (d − b)/(a − c)

Umstellen (warum sich das Vorzeichen ändert)

x + b = d ⇔ x = d − b

x + b = d \iff x = d - b

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>x</mi><mo>+</mo><mi>b</mi><mo>=</mo><mi>d</mi>
    <mo>&#x21D4;</mo>
    <mi>x</mi><mo>=</mo><mi>d</mi><mo>&#x2212;</mo><mi>b</mi>
  </mrow>
</math>

x + b = d <=> x = d - b

Solve[x + b == d, x]

solve(x + b = d, x);

solve(x + b == d, x)

x + b = d ⇔ x = d − b

Wenn es keine eindeutige Lösung gibt (die Differenz der \(x\)-Koeffizienten ist 0)

(a − c)x = d − b

(a - c)x = d - b

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mo>(</mo><mi>a</mi><mo>&#x2212;</mo><mi>c</mi><mo>)</mo>
    <mi>x</mi>
    <mo>=</mo>
    <mi>d</mi><mo>&#x2212;</mo><mi>b</mi>
  </mrow>
</math>

(a - c)x = d - b

Reduce[a x + b == c x + d, x]

solve(a*x + b = c*x + d, x);

solve(a*x + b == c*x + d, x)

(a − c)x = d − b

Die Berechnung von ChatGPT ausführen lassen

Sie sind ein Rechenassistent für Mathematik (Sekundarstufe I). Führen Sie die folgende Berechnung durch, indem Sie tatsächlich Python-Code ausführen, und stützen Sie Ihre Antwort nur auf die Zahlen aus dem Ergebnis der Ausführung (antworten Sie nicht durch Kopfrechnen oder Raten).

Lösen Sie die lineare Gleichung 3x + 2 = x + 10.
Zeigen Sie jeweils:
1. Den Schritt des Umstellens (die Gleichung, bei der die x-Glieder auf der linken und die Zahlenglieder auf der rechten Seite stehen)
2. Die zusammengefasste Gleichung (in der Form (a−c)x = d−b)
3. Die Lösung x (geht sie nicht auf, geben Sie sowohl einen gekürzten Bruch als auch eine Dezimalzahl an)
4. Die Probe (Lösung einsetzen und bestätigen, dass beide Seiten gleich sind)

Rechnen Sie in Python exakt mit dem Modul fractions aus der Standardbibliothek und zeigen Sie die verwendeten Formeln und die Zahlen aus dem Ergebnis der Ausführung.

Anleitung

1

Zahlen eingeben

Geben Sie die Zahlen, mit denen Sie rechnen möchten, in die Eingabefelder ein
2

Berechnen

Klicken Sie auf die Schaltfläche „Berechnen“
3

Ergebnis ablesen

Das Ergebnis erscheint sofort. Auf derselben Seite finden Sie auch den Rechenweg und die Erklärung der Formel