Wählen Sie aus, was berechnet werden soll, und geben Sie die Wahrscheinlichkeiten ein. Die bedingte Wahrscheinlichkeit P_A(B) wird auch P(B | A) geschrieben (dasselbe). Die Formel unten ist mit den Eingabefeldern verknüpft, Sie können also auch rechnen, indem Sie die Zahlen in der Formel direkt ändern.
Sie können eine Wahrscheinlichkeit als „0,3“, „30 %“ oder „3/10“ eingeben.
Ergebnis und Diagramm
Geben Sie die Wahrscheinlichkeiten in die Felder links ein und klicken Sie auf „Berechnen“. Das Ergebnis und eine Abbildung erscheinen hier.
Inhaltsverzeichnis
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Was Sie auf dieser Seite tun können
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Wofür ist diese Berechnung nützlich?
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Anleitung
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Formeln und Abbildungen
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Symbole und Begriffe
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Was Sie vorab wissen sollten
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Mit Excel berechnen
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Mit Google Tabellen berechnen
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Mit Python berechnen
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Die Formel in LaTeX und anderen mathematischen Schreibweisen (zum Kopieren)
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Die Berechnung von ChatGPT ausführen lassen
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Die Vorteile von DataChef
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Verwandte Funktionen
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Was Sie auf dieser Seite tun können
- Geben Sie \(P(A)\) und \(P(A \cap B)\) ein, und Sie erhalten sofort die bedingte Wahrscheinlichkeit \(P_{A}(B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)}\) (auch \(P(B \mid A)\) geschrieben)
- Im Modus Satz von Bayes gehen Sie von der Wahrscheinlichkeit einer Ursache, \(P(A)\), und der Wahrscheinlichkeit des Ergebnisses B mit und ohne diese Ursache aus, \(P_{A}(B)\) und \(P_{\overline{A}}(B)\). Daraus wird „die Wahrscheinlichkeit, dass die Ursache A vorlag, wenn B eingetreten ist“, \(P_{B}(A)\), rückwärts berechnet
- Wie \(P(B)\) mit dem Satz der totalen Wahrscheinlichkeit zusammengesetzt wird, sehen Sie in Rechenschritten mit Ihren Zahlen und in einem Baumdiagramm oder Flächenmodell
- Die Antworten erscheinen als vollständig gekürzter Bruch (der exakte Wert), zum Beispiel \(\dfrac{10}{109}\), und zugleich als Dezimalzahl und in Prozent
- Eine Wahrscheinlichkeit können Sie als 0,3, 30 % oder 3/10 eingeben. Dazu gibt es eine leicht verständliche Erklärung der Formeln und Formeln zum Kopieren für Excel, Google Tabellen und Python
Die bedingte Wahrscheinlichkeit funktioniert auch, wenn die beiden Ereignisse nicht unabhängig sind. Genau dann, wenn ein Ergebnis die Wahrscheinlichkeit des anderen verändert, brauchen Sie dieses Werkzeug.
Wofür ist diese Berechnung nützlich?
Ein Testergebnis richtig lesen (positiv heißt nicht fast sicher)
„Positiv bei einem Test, der zu 90 % zuverlässig ist“ klingt nach einer Wahrscheinlichkeit von 90 %, die Krankheit zu haben. Nimmt man aber zum Beispiel an, dass 1 % aller Personen betroffen sind, liegt die Wahrscheinlichkeit, nach einem positiven Ergebnis wirklich betroffen zu sein (der positive Vorhersagewert), nur bei etwa 9 %. Die wenigen echten Treffer gehen unter den falsch positiven Ergebnissen aus der großen Gruppe der Nichtbetroffenen unter.
Das ist das berühmteste Beispiel für den Satz von Bayes, und in der Medizin gilt die Grundregel, ein Testergebnis zusammen mit der A-priori-Wahrscheinlichkeit zu lesen. (Echte Wahrscheinlichkeiten unterscheiden sich von Test zu Test und von Situation zu Situation, diese Zahlen sind also nur eine Beispielrechnung.)
Spamfilter (Bayes-Filter)
Die klassische Grundlage der Spam-Erkennung in E-Mail-Programmen ist ein Bayes-Filter. Aus „der Wahrscheinlichkeit, dass dieses Wort in Spam vorkommt“ und „der Wahrscheinlichkeit, dass es in normalen E-Mails vorkommt“ rechnet er mit dem Satz von Bayes rückwärts auf „die Wahrscheinlichkeit, dass eine E-Mail mit diesem Wort Spam ist“.
Von Statistiken über „Ursache (Spam) zu Ergebnis (das Wort kommt vor)“ auf „Ergebnis zu Ursache“ zu schließen, ist eine Lehrbuchanwendung des Satzes von Bayes.
Qualitätskontrolle in der Fertigung (von welcher Anlage stammt der Ausschuss?)
Eine Fabrik hat Maschine X, die 60 % der Produkte herstellt (2 % fehlerhaft), und Maschine Y, die 40 % herstellt (5 % fehlerhaft). Die Wahrscheinlichkeit, dass ein bei der Prüfung gefundenes fehlerhaftes Produkt von Maschine X stammt, beträgt nach dem Satz von Bayes \(\dfrac{0{,}6 \cdot 0{,}02}{0{,}6 \cdot 0{,}02 + 0{,}4 \cdot 0{,}05} = \dfrac{3}{8}\) (37,5 %).
Die Entscheidung, „welche Anlage bei einem Fehler zuerst geprüft wird“, lässt sich dann auf Zahlen statt auf Vermutungen stützen.
Wahrscheinlichkeiten „nach dem Ziehen“ bei Losen und Kartenspielen (Multiplikationssatz)
Ziehen Sie aus 10 Losen mit 3 Gewinnen 2 Lose ohne Zurücklegen, beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass beide Gewinne sind, \(\dfrac{3}{10} \cdot \dfrac{2}{9} = \dfrac{1}{15}\). Das erste Ergebnis verändert die Wahrscheinlichkeit des zweiten (sie sind nicht unabhängig), das ist also ein Fall für die bedingte Wahrscheinlichkeit und den Multiplikationssatz.
Die Chancen für den Rest des Stapels aus „den bereits aufgedeckten Karten“ bei Skat, Poker, Blackjack oder anderen Kartenspielen zu berechnen, ist genau dieselbe Rechnung.
Risikobewertung bei Versicherung und Kreditvergabe (Risiko nach Bedingungen aufgeschlüsselt)
Bei der Festlegung von Kfz-Versicherungsbeiträgen betrachten Versicherer „die Wahrscheinlichkeit eines Unfalls“ nicht als eine Zahl für alle. Sie schätzen sie als bedingte Wahrscheinlichkeit für jede Bedingung ab, etwa Alter, Schadenfreiheitsklasse und Wohnort (Regionalklasse), und bilden sie in unterschiedlichen Beiträgen ab.
Der Gedanke der bedingten Wahrscheinlichkeit, dass „sich die Wahrscheinlichkeit ändert, sobald man die Bedingung kennt“, trägt Finanzsysteme wie Versicherung, Kreditvergabe und Bonitätsbewertung.
Formeln und Abbildungen
Bedingte Wahrscheinlichkeit
Flächenmodell
Mathematische Schreibweise
(die übliche Schreibweise)
\(P_{A}(B)\)
\(=\)
\(P(A \cap B)\)
\(\div\)
\(P(A)\)
In Worten
(die Symbole durch Wörter ersetzt)
③
\(P_{A}(B)\): Wahrscheinlichkeit von B unter der Bedingung A
\(=\)
①
\(P(A \cap B)\): Wahrscheinlichkeit, dass A und B beide eintreten
\(\div\)
②
\(P(A)\): Wahrscheinlichkeit von A
Die Formel in Worten
①
Nehmen Sie die
\(P(A \cap B)\): Wahrscheinlichkeit, dass A und B beide eintreten
②
teilen Sie sie durch die
\(P(A)\): Wahrscheinlichkeit von A
③
und Sie erhalten die
\(P_{A}(B)\): Wahrscheinlichkeit von B unter der Bedingung A
Einfaches Beispiel
Sie werfen einen Würfel einmal. Wissen Sie, dass die Zahl gerade ist (Wahrscheinlichkeit \(\dfrac{1}{2}\)), dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie mindestens 4 ist, (die geraden Zahlen ab 4 sind 4 und 6, mit der Wahrscheinlichkeit \(\dfrac{1}{3}\))
\(P_{A}(B)\): mindestens 4, wenn gerade
\(=\)
gerade und mindestens 4 \(\dfrac{1}{3}\)
\(\div\)
gerade \(\dfrac{1}{2}\)
\(\dfrac{1}{3} \div \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{3} \cdot 2 = \dfrac{2}{3}\)
Der Kerngedanke
Eine gewöhnliche Wahrscheinlichkeit ist „der Anteil, den B am Ganzen (Wahrscheinlichkeit 1) hat“. Bei der bedingten Wahrscheinlichkeit schrumpft die Welt, die Sie betrachten, sobald Sie wissen, dass A eingetreten ist, vom Ganzen auf nur noch A. Deshalb ersetzen Sie den Nenner 1 durch \(P(A)\). Die bedingte Wahrscheinlichkeit ist „der Anteil, den B an A hat“.
Ein häufiger Fehler ist, sie mit der Wahrscheinlichkeit zu verwechseln, dass beide eintreten, \(P(A \cap B)\) (der gemeinsamen Wahrscheinlichkeit). Im Würfelbeispiel oben beträgt die Wahrscheinlichkeit für „gerade und mindestens 4“ bezogen auf das Ganze \(\dfrac{1}{3}\), die bedingte Wahrscheinlichkeit bezogen auf nur die geraden Zahlen dagegen \(\dfrac{2}{3}\). Die Formeln sehen ähnlich aus, aber es sind verschiedene Wahrscheinlichkeiten, weil im Nenner ein anderes Ganzes steht.
Das tiefgestellte A in \(P_{A}(B)\) ist die Bedingung, die Sie schon kennen. Man liest es „P A von B“ oder „die Wahrscheinlichkeit von B unter der Bedingung A“. Häufig sieht man auch die Schreibweise \(P(B \mid A)\) mit dem senkrechten Strich, gelesen „P von B unter der Bedingung A“. Achten Sie darauf, die beiden Seiten nicht zu vertauschen: \(P_{A}(B)\) und \(P_{B}(A)\) sind in der Regel verschiedene Zahlen.
Multiplikationssatz (Wahrscheinlichkeit, dass beide eintreten)
Mathematische Schreibweise
(die übliche Schreibweise)
\(P(A \cap B)\)
\(=\)
\(P(A)\)
\(\cdot\)
\(P_{A}(B)\)
In Worten
(die Symbole durch Wörter ersetzt)
③
\(P(A \cap B)\): Wahrscheinlichkeit, dass A und B beide eintreten
\(=\)
①
\(P(A)\): Wahrscheinlichkeit von A
\(\cdot\)
②
\(P_{A}(B)\): Wahrscheinlichkeit von B unter der Bedingung A
Die Formel in Worten
①
Nehmen Sie die
\(P(A)\): Wahrscheinlichkeit von A
②
multiplizieren Sie sie mit der
\(P_{A}(B)\): Wahrscheinlichkeit von B unter der Bedingung A
③
und Sie erhalten die
\(P(A \cap B)\): Wahrscheinlichkeit, dass A und B beide eintreten
Einfaches Beispiel
In einer Schachtel liegen 10 Lose, 3 davon sind Gewinne. Sie ziehen nacheinander 2 Lose, ohne das erste zurückzulegen. Das erste ist mit der Wahrscheinlichkeit \(\dfrac{3}{10}\) ein Gewinn. Ist es einer, sind unter den übrigen 9 Losen noch 2 Gewinne, das zweite ist also mit der Wahrscheinlichkeit \(\dfrac{2}{9}\) ebenfalls ein Gewinn. Die Wahrscheinlichkeit, dass beide Gewinne sind, beträgt
\(P(A \cap B)\): beide gewinnen
\(=\)
das erste gewinnt \(\dfrac{3}{10}\)
\(\cdot\)
das zweite gewinnt, wenn das erste gewonnen hat \(\dfrac{2}{9}\)
\(\dfrac{3}{10} \cdot \dfrac{2}{9} = \dfrac{6}{90} = \dfrac{1}{15}\)
Der Kerngedanke
Das ist nur die Formel der bedingten Wahrscheinlichkeit, bei der beide Seiten mit dem Nenner \(P(A)\) multipliziert wurden, sie sagt also dasselbe in anderer Form. Stellen Sie sich vor, Sie multiplizieren Wahrscheinlichkeiten in zeitlicher Reihenfolge: „Zuerst tritt A ein, und dann tritt, unter dieser Bedingung, auch B ein.“ Im Baumdiagramm ist das die Pfadregel: Entlang eines Pfades werden die Wahrscheinlichkeiten multipliziert.
Sind A und B unabhängig (ein Ergebnis beeinflusst das andere nicht), dann gilt \(P_{A}(B) = P(B)\), und diese Formel wird wieder zum bekannten \(P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)\). Das „Multiplizieren bei unabhängigen Ereignissen“ ist also ein Sonderfall des Multiplikationssatzes.
Satz der totalen Wahrscheinlichkeit (die Wege zu B addieren)
Mathematische Schreibweise
(die übliche Schreibweise)
\(P(B)\)
\(=\)
\(P(A \cap B)\)
\(+\)
\(P(\overline{A} \cap B)\)
In Worten
(die Symbole durch Wörter ersetzt)
③
\(P(B)\): Wahrscheinlichkeit von B
\(=\)
①
\(P(A \cap B)\): über A zu B
\(+\)
②
\(P(\overline{A} \cap B)\): über nicht A zu B
Die Formel in Worten
①
Nehmen Sie die
\(P(A \cap B)\): über A zu B
②
addieren Sie die
\(P(\overline{A} \cap B)\): über nicht A zu B
dazu
③
und Sie erhalten die
\(P(B)\): Wahrscheinlichkeit von B
Einfaches Beispiel
Angenommen, alle machen einen bestimmten Test. Nehmen Sie an, 1 % der Personen sind betroffen (und werden mit 90 % Wahrscheinlichkeit positiv getestet), 99 % sind nicht betroffen (und werden mit 9 % Wahrscheinlichkeit fälschlich positiv getestet). Nach dem Multiplikationssatz gilt \(P(A \cap B) = 0{,}01 \cdot 0{,}9 = 0{,}009\) und \(P(\overline{A} \cap B) = 0{,}99 \cdot 0{,}09 = 0{,}0891\), sodass die Wahrscheinlichkeit für einen positiven Test
\(P(B)\): positiver Test
\(=\)
betroffen und positiv (0,009)
\(+\)
nicht betroffen, aber positiv (0,0891)
\(0{,}009 + 0{,}0891 = 0{,}0981\ \ (9{,}81\,\%)\)
Der Kerngedanke
Es gibt nur zwei Wege zu B: über A oder über nicht A (das Gegenereignis \(\overline{A}\)). Diese beiden Wege können nicht gleichzeitig eintreten (sie sind unvereinbar). Man addiert also einfach die Wahrscheinlichkeiten der beiden Wege und erhält \(P(B)\).
Die Wahrscheinlichkeit jedes Weges folgt aus dem Multiplikationssatz: \(P(A \cap B) = P(A) \cdot P_{A}(B)\) und \(P(\overline{A} \cap B) = P(\overline{A}) \cdot P_{\overline{A}}(B)\). Alles zusammen geschrieben ergibt \(P(B) = P(A)\,P_{A}(B) + P(\overline{A})\,P_{\overline{A}}(B)\). Im Baumdiagramm bedeutet das: „Addiere alle Pfade, die bei B enden.“
Satz von Bayes (vom Ergebnis rückwärts zur Ursache rechnen)
Baumdiagramm
Mathematische Schreibweise
(die übliche Schreibweise)
\(P_{B}(A)\)
\(=\)
\(P(A \cap B)\)
\(\div\)
\(P(B)\)
In Worten
(die Symbole durch Wörter ersetzt)
③
\(P_{B}(A)\): Wahrscheinlichkeit, dass die Ursache A ist, wenn B eingetreten ist
\(=\)
①
\(P(A \cap B)\): über A zu B
\(\div\)
②
\(P(B)\): Wahrscheinlichkeit von B
Die Formel in Worten
①
Nehmen Sie die
\(P(A \cap B)\): über A zu B
②
teilen Sie sie durch die
\(P(B)\): Wahrscheinlichkeit von B (nach dem Satz der totalen Wahrscheinlichkeit)
③
und Sie erhalten die
\(P_{B}(A)\): Wahrscheinlichkeit, dass die Ursache A ist, wenn B eingetreten ist
Einfaches Beispiel
Das setzt das Beispiel zum Satz der totalen Wahrscheinlichkeit oben fort. Ist der Test positiv (B), dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Person wirklich betroffen ist (A),
\(P_{B}(A)\): wirklich betroffen, wenn positiv
\(=\)
betroffen und positiv (0,009)
\(\div\)
positiver Test (0,0981)
\(\dfrac{0{,}009}{0{,}0981} = \dfrac{90}{981} = \dfrac{10}{109} \approx 0{,}092\ \ (9{,}2\,\%)\)
Der Kerngedanke
Die Form ist genau die Formel der bedingten Wahrscheinlichkeit, nur dass die Bedingung von A auf B vertauscht wurde. Sie wird aber in umgekehrter Richtung benutzt. Was Sie kennen, ist die Wahrscheinlichkeit von der Ursache zum Ergebnis (\(P_{A}(B)\): 90 % positiv, wenn die Person betroffen ist). Was Sie wissen möchten, ist die Wahrscheinlichkeit vom Ergebnis zur Ursache (\(P_{B}(A)\): die Chance, dass die Person wirklich betroffen ist, wenn der Test positiv ist). Der Satz von Bayes übernimmt diesen Richtungswechsel für Sie.
Häufig schreibt man ihn mit dem Nenner \(P(B)\), aufgelöst nach dem Satz der totalen Wahrscheinlichkeit, \(P_{B}(A) = \dfrac{P(A)\,P_{A}(B)}{P(A)\,P_{A}(B) + P(\overline{A})\,P_{\overline{A}}(B)}\), der Inhalt ist aber derselbe.
Das Ergebnis im Beispiel, „nur etwa 9 % selbst nach einem positiven Ergebnis bei einem Test, der zu 90 % zuverlässig ist“, ist überraschend klein. Das liegt daran, dass von vornherein nur 1 % der Personen betroffen sind, sodass die wenigen echten Treffer unter den vielen falsch positiven Ergebnissen untergehen. Die Wahrscheinlichkeit vor dem Sehen des Ergebnisses, \(P(A)\), heißt A-priori-Wahrscheinlichkeit, und die Wahrscheinlichkeit nach dem Sehen des Ergebnisses, \(P_{B}(A)\), heißt A-posteriori-Wahrscheinlichkeit.
Die bedingte Wahrscheinlichkeit \(P_{A}(B)\) ist „der Anteil von B innerhalb von A“, gefunden, indem man den Nenner 1 (das Ganze) durch \(P(A)\) (das vorausgesetzte Ereignis) ersetzt. Der Satz von Bayes baut darauf auf und rechnet von der Wahrscheinlichkeit „Ursache zu Ergebnis“ rückwärts zur Wahrscheinlichkeit „Ergebnis zu Ursache“. Sein Nenner \(P(B)\) wird mit dem Satz der totalen Wahrscheinlichkeit (Addieren der Wege) gebildet.
Symbole und Begriffe
Symbole
| \(P(A)\) | P von A | Die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis A eintritt. P steht für „Probability“, das englische Wort für Wahrscheinlichkeit. |
| \(P_{A}(B)\) | P A von B (B unter der Bedingung A) | Die Wahrscheinlichkeit, dass B eintritt, wenn bekannt ist, dass A eingetreten ist (die bedingte Wahrscheinlichkeit). Das kleine A unten steht für die Bedingung. Das ist die Schreibweise der meisten deutschen Schulbücher. |
| \(\mid\) | unter der Bedingung | Der senkrechte Strich in \(P(B \mid A)\), einer zweiten Schreibweise mit genau derselben Bedeutung wie \(P_{A}(B)\). Rechts vom Strich steht die Bedingung (das, was Sie schon wissen), gelesen „unter der Bedingung“. An Hochschulen und in der Statistik ist diese Schreibweise üblich. \(P_{A}(B)\) und \(P_{B}(A)\) bedeuten verschiedene Dinge. |
| \(\overline{A}\) | A quer (Gegenereignis) | Der Querstrich über A steht für das Ereignis „A tritt nicht ein“, das Gegenereignis von A. Man berechnet es mit \(P(\overline{A}) = 1 - P(A)\). |
| \(\cap\) | geschnitten mit (Schnittmenge) | Das Symbol für „und“. \(A \cap B\) ist das Ereignis „A und B treten beide ein“. Im Venn-Diagramm ist es der Teil, in dem sich die beiden Kreise überschneiden. |
| \(P(A \cap B)\) | P von A und B | Die Wahrscheinlichkeit, dass A und B beide eintreten (die gemeinsame Wahrscheinlichkeit). Sie ist der Zähler der bedingten Wahrscheinlichkeit. Sie kann nie größer als \(P(A)\) sein, weil „beide treten ein“ ein Teil von A ist. |
Begriffe
| Ereignis | Etwas, das entweder eintritt oder nicht, zum Beispiel „eine gerade Zahl würfeln“ oder „positiv getestet werden“. In der Wahrscheinlichkeitsrechnung nennt man solche Ausgänge Ereignisse und gibt ihnen Namen wie A und B. |
| bedingte Wahrscheinlichkeit | Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis B eintritt, unter der Bedingung, dass bekannt ist, dass ein anderes Ereignis A eingetreten ist. Sie wird berechnet als \(P_{A}(B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)}\). Sie ist „der Anteil von B in einer Welt, die vom Ganzen auf nur noch A geschrumpft ist“. |
| Multiplikationssatz | Die Formel \(P(A \cap B) = P(A) \cdot P_{A}(B)\). Es ist die Formel der bedingten Wahrscheinlichkeit ohne Nenner. Sie berechnet die Wahrscheinlichkeit von „zuerst A, und dann auch B“ durch Multiplizieren in dieser Reihenfolge. Im Baumdiagramm heißt sie erste Pfadregel. |
| Satz der totalen Wahrscheinlichkeit | Eine Regel, die die Wahrscheinlichkeit von B findet, indem sie in „den Weg über A“ und „den Weg über nicht A“ aufteilt und beide addiert. Die Formel lautet \(P(B) = P(A)\,P_{A}(B) + P(\overline{A})\,P_{\overline{A}}(B)\). Im Baumdiagramm heißt das zweite Pfadregel. Mit ihr wird der Nenner des Satzes von Bayes gebildet. |
| Satz von Bayes | Eine Regel, die von der Wahrscheinlichkeit „Ursache zu Ergebnis“ rückwärts zur Wahrscheinlichkeit „Ergebnis zu Ursache“ rechnet. Die Formel lautet \(P_{B}(A) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}\). Sie ist nach Thomas Bayes benannt, einem englischen Pfarrer des 18. Jahrhunderts, und steckt in moderner Technik wie Spamfiltern. |
| A-priori-Wahrscheinlichkeit | Die Wahrscheinlichkeit der Ursache A, \(P(A)\), geschätzt, bevor Sie das Ergebnis (die Daten) sehen. Im Testbeispiel ist es „wie viele Personen überhaupt betroffen sind“. |
| A-posteriori-Wahrscheinlichkeit | Die Wahrscheinlichkeit der Ursache A, nachdem sie durch das Ergebnis B aktualisiert wurde, \(P_{B}(A)\). Der Satz von Bayes lässt sich beschreiben als Regel, die „die A-priori-Wahrscheinlichkeit mit dem Beobachteten zur A-posteriori-Wahrscheinlichkeit aktualisiert“. |
| Gegenereignis | Das entgegengesetzte Ereignis, nämlich dass das Ereignis nicht eintritt. Das Symbol ist \(\overline{A}\), und seine Wahrscheinlichkeit ist \(1 - P(A)\). Im Satz der totalen Wahrscheinlichkeit deckt es „den Weg ab, der nicht über A führt“. |
| unvereinbar | Zwei Ereignisse, die nicht gleichzeitig eintreten können (auch „disjunkt“ genannt). „Über A zu B“ und „über nicht A zu B“ sind unvereinbar, deshalb dürfen Sie sie im Satz der totalen Wahrscheinlichkeit einfach addieren. |
| unabhängig | Wenn ein Ergebnis nichts daran ändert, wie wahrscheinlich das andere ist. In der Sprache der bedingten Wahrscheinlichkeit sind A und B unabhängig, wenn \(P_{A}(B) = P(B)\) gilt (das Wissen, dass A eingetreten ist, ändert die Wahrscheinlichkeit von B nicht). |
| falsch positiv | Ein Testergebnis, das „positiv“ meldet, obwohl die Person die Eigenschaft gar nicht hat. Selbst wenn die Rate falsch positiver Ergebnisse klein ist, kann ihre Anzahl größer sein als die der echten Treffer, wenn die meisten Personen nicht betroffen sind. |
| Baumdiagramm | Ein Diagramm, das die möglichen Fälle wie die Äste eines Baumes darstellt. An jeden Ast schreibt man eine Wahrscheinlichkeit, und das Multiplizieren entlang eines Pfades ergibt die Wahrscheinlichkeit dieses Weges. Es ist das beste Diagramm, um die bedingte Wahrscheinlichkeit und den Satz von Bayes mit dem Auge zu verfolgen. |
Was Sie vorab wissen sollten
Damit Sie die Berechnung auf dieser Seite mit echtem Verständnis nutzen können und nicht nur auf die Schaltfläche klicken, hilft Ihnen das folgende Grundwissen.
Wenn Sie nicht weiterkommen, ist es der schnellste Weg, die Themen dieser Liste noch einmal durchzugehen.
| Grundlagen der Wahrscheinlichkeit (Klasse 7, 12–13 Jahre) |
|
| Prozente und Dezimalzahlen (Klasse 6, 11–12 Jahre) |
|
| Brüche multiplizieren und dividieren (Klasse 6, 11–12 Jahre) |
|
| Abzählen von Möglichkeiten und Baumdiagramme (Klasse 7–9, 12–15 Jahre) |
|
| Mengen und Venn-Diagramme (Sekundarstufe II, ab 15 Jahren) |
|
Mit Excel berechnen
Kopieren Sie die gesamte Tabelle unten und fügen Sie sie in Zelle A1 von Excel ein. Sie funktioniert unverändert.
Tabelle zur Berechnung der bedingten Wahrscheinlichkeit P_A(B)
| Wahrscheinlichkeit von A, P(A) | 0,5 |
| A und B beide, P(A∩B) | 0,2 |
| Bedingte Wahrscheinlichkeit P_A(B) | =B2/B1 |
Tabelle zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit, dass beide eintreten, P(A∩B) (Multiplikationssatz)
| Wahrscheinlichkeit von A, P(A) | 0,5 |
| B unter A, P_A(B) | 0,4 |
| A und B beide, P(A∩B) | =B1*B2 |
Tabelle zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit von B, P(B) (Satz der totalen Wahrscheinlichkeit)
| Wahrscheinlichkeit der Ursache A, P(A) | 0,01 |
| B unter A, P_A(B) | 0,9 |
| B unter nicht A, P_A̅(B) | 0,09 |
| Wahrscheinlichkeit von B, P(B) | =B1*B2+(1-B1)*B3 |
Tabelle zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit der Ursache, P_B(A) (Satz von Bayes)
| Wahrscheinlichkeit der Ursache A, P(A) | 0,01 |
| B unter A, P_A(B) | 0,9 |
| B unter nicht A, P_A̅(B) | 0,09 |
| A und B beide, P(A∩B) | =B1*B2 |
| Wahrscheinlichkeit von B, P(B) | =B4+(1-B1)*B3 |
| Ursache ist A, wenn B eingetreten ist, P_B(A) | =B4/B5 |
Nach dem Einfügen enthält Spalte A die Bezeichnungen und Spalte B die Zahlen. Die oberen Zeilen sind Ihre Eingaben, und die Formeln in den unteren Zeilen rechnen damit.
In einer Formel bedeuten „B1“ und „B2“: „die Zahl in dieser Zelle verwenden“, „*“ ist die Multiplikation und „/“ die Division.
Die erste Tabelle ergibt 0,2 ÷ 0,5 = 0,4, die zweite 0,5 · 0,4 = 0,2.
Die dritte Tabelle ergibt 0,01 · 0,9 + 0,99 · 0,09 = 0,0981 und addiert damit die Wahrscheinlichkeit eines positiven Tests Weg für Weg.
In der vierten Tabelle ist B4 gleich 0,009 und B5 gleich 0,0981, und die letzte Zelle, B6, ist 0,009 ÷ 0,0981 ≈ 0,0917 (etwa 9,2 %).
In einer Formel bedeuten „B1“ und „B2“: „die Zahl in dieser Zelle verwenden“, „*“ ist die Multiplikation und „/“ die Division.
Die erste Tabelle ergibt 0,2 ÷ 0,5 = 0,4, die zweite 0,5 · 0,4 = 0,2.
Die dritte Tabelle ergibt 0,01 · 0,9 + 0,99 · 0,09 = 0,0981 und addiert damit die Wahrscheinlichkeit eines positiven Tests Weg für Weg.
In der vierten Tabelle ist B4 gleich 0,009 und B5 gleich 0,0981, und die letzte Zelle, B6, ist 0,009 ÷ 0,0981 ≈ 0,0917 (etwa 9,2 %).
Mit Google Tabellen berechnen
Kopieren Sie die gesamte Tabelle unten und fügen Sie sie in Zelle A1 von Google Tabellen ein. Sie funktioniert unverändert.
Tabelle zur Berechnung der bedingten Wahrscheinlichkeit P_A(B)
| Wahrscheinlichkeit von A, P(A) | 0,5 |
| A und B beide, P(A∩B) | 0,2 |
| Bedingte Wahrscheinlichkeit P_A(B) | =B2/B1 |
Tabelle zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit, dass beide eintreten, P(A∩B) (Multiplikationssatz)
| Wahrscheinlichkeit von A, P(A) | 0,5 |
| B unter A, P_A(B) | 0,4 |
| A und B beide, P(A∩B) | =B1*B2 |
Tabelle zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit von B, P(B) (Satz der totalen Wahrscheinlichkeit)
| Wahrscheinlichkeit der Ursache A, P(A) | 0,01 |
| B unter A, P_A(B) | 0,9 |
| B unter nicht A, P_A̅(B) | 0,09 |
| Wahrscheinlichkeit von B, P(B) | =B1*B2+(1-B1)*B3 |
Tabelle zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit der Ursache, P_B(A) (Satz von Bayes)
| Wahrscheinlichkeit der Ursache A, P(A) | 0,01 |
| B unter A, P_A(B) | 0,9 |
| B unter nicht A, P_A̅(B) | 0,09 |
| A und B beide, P(A∩B) | =B1*B2 |
| Wahrscheinlichkeit von B, P(B) | =B4+(1-B1)*B3 |
| Ursache ist A, wenn B eingetreten ist, P_B(A) | =B4/B5 |
Dieselben Formeln wie in Excel funktionieren unverändert. Kopieren Sie die gesamte Tabelle und fügen Sie sie in Zelle A1 ein. Die oberen Zeilen sind Ihre Eingaben, die unteren Zeilen die berechneten Ergebnisse.
Ersetzen Sie einfach die Eingabezahlen durch Ihre eigenen Wahrscheinlichkeiten.
Ersetzen Sie einfach die Eingabezahlen durch Ihre eigenen Wahrscheinlichkeiten.
Mit Python berechnen
from fractions import Fraction
# ===== Bedingte Wahrscheinlichkeit P_A(B) = P(A∩B) ÷ P(A) =====
p_a = Fraction(1, 2) # P(A): Wahrscheinlichkeit des vorausgesetzten Ereignisses A
p_a_and_b = Fraction(1, 3) # P(A∩B): Wahrscheinlichkeit, dass beide eintreten
p_b_given_a = p_a_and_b / p_a
print(f"Bedingte Wahrscheinlichkeit P_A(B): {p_b_given_a} = {float(p_b_given_a):.4f}")
# ===== Satz von Bayes (der Nenner wird mit dem Satz der totalen Wahrscheinlichkeit gebildet) =====
prior = Fraction(1, 100) # P(A): Wahrscheinlichkeit der Ursache A (A-priori-Wahrscheinlichkeit)
p_b_given_a2 = Fraction(90, 100) # P_A(B): Wahrscheinlichkeit von B unter A
p_b_given_not_a = Fraction(9, 100) # P_A̅(B): Wahrscheinlichkeit von B unter nicht A
p_joint = prior * p_b_given_a2 # P(A∩B)
p_b = p_joint + (1 - prior) * p_b_given_not_a # P(B) (Satz der totalen Wahrscheinlichkeit)
posterior = p_joint / p_b # P_B(A) (A-posteriori-Wahrscheinlichkeit)
print(f"Wahrscheinlichkeit von B, P(B): {p_b} = {float(p_b):.4f}")
print(f"Wahrscheinlichkeit, dass die Ursache A ist, P_B(A): {posterior} = {float(posterior):.4f}")
Mit dem Modul fractions aus der Standardbibliothek können Sie mit exakten Brüchen und ohne Rundungsfehler rechnen. Beim Ausführen erscheint die bedingte Wahrscheinlichkeit als „2/3“, und das Beispiel zum Satz von Bayes zeigt P(B) = 981/10000 (0,0981) und P_B(A) = 10/109 (etwa 0,0917). Ändern Sie die Wahrscheinlichkeiten und führen Sie den Code aus (0,5 lässt sich als Bruch schreiben, etwa Fraction(5, 10)).
Die Formel in LaTeX und anderen mathematischen Schreibweisen (zum Kopieren)
Bedingte Wahrscheinlichkeit
P_A(B) = P(A∩B) / P(A)
P_{A}(B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msub><mi>P</mi><mi>A</mi></msub><mo>(</mo><mi>B</mi><mo>)</mo>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow><mi>P</mi><mo>(</mo><mi>A</mi><mo>∩</mo><mi>B</mi><mo>)</mo></mrow>
<mrow><mi>P</mi><mo>(</mo><mi>A</mi><mo>)</mo></mrow>
</mfrac>
</mrow>
</math>
P_A(B) = P(A nn B) / P(A)
pAandB/pA
pBgivenA := pAandB/pA;
p_b_given_a = p_a_and_b/p_a;
P_A(B) = P(A∩B)/P(A)
Multiplikationssatz (Wahrscheinlichkeit, dass beide eintreten)
P(A∩B) = P(A) · P_A(B)
P(A \cap B) = P(A) \cdot P_{A}(B)
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>P</mi><mo>(</mo><mi>A</mi><mo>∩</mo><mi>B</mi><mo>)</mo>
<mo>=</mo>
<mi>P</mi><mo>(</mo><mi>A</mi><mo>)</mo>
<mo>⋅</mo>
<msub><mi>P</mi><mi>A</mi></msub><mo>(</mo><mi>B</mi><mo>)</mo>
</mrow>
</math>
P(A nn B) = P(A) * P_A(B)
pA*pBgivenA
pAandB := pA*pBgivenA;
p_a_and_b = p_a*p_b_given_a;
P(A∩B) = P(A) · P_A(B)
Satz der totalen Wahrscheinlichkeit (die Wege zu B addieren)
P(B) = P(A) · P_A(B) + P(A̅) · P_A̅(B)
P(B) = P(A)\,P_{A}(B) + P(\overline{A})\,P_{\overline{A}}(B)
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>P</mi><mo>(</mo><mi>B</mi><mo>)</mo>
<mo>=</mo>
<mi>P</mi><mo>(</mo><mi>A</mi><mo>)</mo>
<msub><mi>P</mi><mi>A</mi></msub><mo>(</mo><mi>B</mi><mo>)</mo>
<mo>+</mo>
<mi>P</mi><mo>(</mo>
<mover><mi>A</mi><mo>¯</mo></mover>
<mo>)</mo>
<msub><mi>P</mi><mover><mi>A</mi><mo>¯</mo></mover></msub><mo>(</mo><mi>B</mi><mo>)</mo>
</mrow>
</math>
P(B) = P(A) * P_A(B) + P(bar(A)) * P_(bar(A))(B)
pA*pBgivenA + (1 - pA)*pBgivenNotA
pB := pA*pBgivenA + (1 - pA)*pBgivenNotA;
p_b = p_a*p_b_given_a + (1 - p_a)*p_b_given_not_a;
P(B) = P(A)P_A(B) + P(A̅)P_A̅(B)
Satz von Bayes (vom Ergebnis rückwärts zur Ursache rechnen)
P_B(A) = P(A∩B) / P(B)
P_{B}(A) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)} = \dfrac{P(A)\,P_{A}(B)}{P(A)\,P_{A}(B) + P(\overline{A})\,P_{\overline{A}}(B)}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msub><mi>P</mi><mi>B</mi></msub><mo>(</mo><mi>A</mi><mo>)</mo>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow><mi>P</mi><mo>(</mo><mi>A</mi><mo>∩</mo><mi>B</mi><mo>)</mo></mrow>
<mrow><mi>P</mi><mo>(</mo><mi>B</mi><mo>)</mo></mrow>
</mfrac>
</mrow>
</math>
P_B(A) = P(A nn B) / P(B)
pA*pBgivenA/(pA*pBgivenA + (1 - pA)*pBgivenNotA)
pAgivenB := pAandB/pB;
p_a_given_b = p_a_and_b/p_b;
P_B(A) = P(A∩B)/P(B)
Die Berechnung von ChatGPT ausführen lassen
Sie sind ein Assistent für Wahrscheinlichkeitsrechnung (bedingte Wahrscheinlichkeit und Satz von Bayes). Führen Sie die folgende Berechnung aus, indem Sie tatsächlich Python-Code ausführen, und stützen Sie Ihre Antwort nur auf die Zahlen aus dem Ausführungsergebnis (rechnen Sie nicht im Kopf und raten Sie nicht). Die Wahrscheinlichkeit der Ursache A (die A-priori-Wahrscheinlichkeit) beträgt 1 %. Die Wahrscheinlichkeit des Ergebnisses B, wenn A eintritt, P_A(B), beträgt 90 %. Die Wahrscheinlichkeit von B, wenn A nicht eintritt, P_A̅(B), beträgt 9 %. Berechnen Sie jeweils: 1. Die Wahrscheinlichkeit, dass A und B beide eintreten, P(A∩B) 2. Die Wahrscheinlichkeit von B, P(B) (mit dem Satz der totalen Wahrscheinlichkeit, und zeigen Sie auch die Aufteilung nach Wegen) 3. Die Wahrscheinlichkeit, dass die Ursache A vorlag, wenn B eingetreten ist, P_B(A) (Satz von Bayes; geben Sie sie sowohl als vollständig gekürzten Bruch als auch als Dezimalzahl an) Verwenden Sie in Python das Modul fractions aus der Standardbibliothek, um exakt zu rechnen, und zeigen Sie die verwendeten Formeln und die Zahlen aus dem Ausführungsergebnis in einer Tabelle.
Anleitung
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1Zahlen eingebenGeben Sie die Zahlen, mit denen Sie rechnen möchten, in die Eingabefelder ein
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2BerechnenKlicken Sie auf die Schaltfläche „Berechnen“
-
3Ergebnis ablesenDas Ergebnis erscheint sofort. Auf derselben Seite finden Sie auch den Rechenweg und die Erklärung der Formel
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