Wählen Sie aus, was Sie berechnen möchten, und geben Sie die Wahrscheinlichkeiten ein. Die bedingte Wahrscheinlichkeit P(B|A) schreibt man im Schulbuch meist als P_A(B) – beides bedeutet dasselbe. Die Formel unten ist mit den Eingabefeldern verknüpft; Sie können auch direkt die Zahlen in der Formel ändern.
Wahrscheinlichkeiten können Sie als „0,3“, „30 %“ oder „3/10“ eingeben.
Ergebnis und Graph
Geben Sie links die Wahrscheinlichkeiten ein und klicken Sie auf „Berechnen“. Ergebnis und Abbildung erscheinen dann hier.
Inhaltsverzeichnis
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Das können Sie auf dieser Seite
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Wofür braucht man diese Berechnung?
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Anleitung
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Formeln und Abbildungen
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Symbole und Begriffe
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Das sollten Sie vorher wissen
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So berechnen Sie es in Excel
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So berechnen Sie es in Google Tabellen
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So berechnen Sie es in Python
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So schreiben Sie die Formel in LaTeX und anderen Formelsprachen (zum Kopieren)
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So lassen Sie ChatGPT rechnen
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Das können Sie auf dieser Seite
- Sie geben nur \(P(A)\) und \(P(A \cap B)\) ein und erhalten sofort die bedingte Wahrscheinlichkeit \(P_{A}(B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)}\) (auch \(P(B \mid A)\) geschrieben)
- Im Modus Satz von Bayes gehen Sie von der Wahrscheinlichkeit einer Ursache \(P(A)\) und der Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses B mit und ohne diese Ursache, \(P_{A}(B)\) und \(P_{\overline{A}}(B)\), aus. Daraus wird rückwärts berechnet, wie wahrscheinlich A die Ursache war, wenn B eingetreten ist: \(P_{B}(A)\)
- Wie \(P(B)\) mit dem Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit zustande kommt, sehen Sie im Rechenweg mit Ihren Zahlen sowie im Baumdiagramm und Flächenmodell
- Die Ergebnisse erscheinen als vollständig gekürzter Bruch (exakter Wert) wie \(\dfrac{10}{109}\) und zusätzlich als Dezimalzahl und in Prozent
- Wahrscheinlichkeiten können Sie als 0,3, 30 % oder 3/10 eingeben. Dazu gibt es eine leicht verständliche Erklärung der Formeln und Formeln zum Kopieren für Excel, Google Tabellen und Python
Die bedingte Wahrscheinlichkeit funktioniert auch, wenn die beiden Ereignisse nicht unabhängig sind. Gerade dann, wenn ein Ergebnis die Wahrscheinlichkeit des anderen verändert, ist sie das richtige Werkzeug.
Wofür braucht man diese Berechnung?
Testergebnisse richtig lesen („positiv“ heißt nicht „fast sicher“)
„Positiv bei einem zu 90 % treffsicheren Test“ klingt nach 90 % Wahrscheinlichkeit, erkrankt zu sein. Sind aber zum Beispiel nur 1 % aller Menschen betroffen, liegt die Wahrscheinlichkeit, bei positivem Test wirklich erkrankt zu sein (positiver Vorhersagewert), nur bei etwa 9 %. Die wenigen richtig Positiven gehen unter den falsch Positiven aus der großen Gruppe der Nicht-Betroffenen unter.
Das ist das bekannteste Beispiel für den Satz von Bayes; in der Medizin liest man ein Testergebnis deshalb immer zusammen mit der A-priori-Wahrscheinlichkeit. (Die tatsächlichen Wahrscheinlichkeiten hängen vom Test und von der Situation ab; die Zahlen sind nur ein Rechenbeispiel.)
Spamfilter (Bayes-Filter)
Die klassische Grundlage der Spamerkennung in E-Mail-Programmen ist der Bayes-Filter. Aus „der Wahrscheinlichkeit, dass ein Wort in Spam vorkommt“ und „der Wahrscheinlichkeit, dass es in normalen E-Mails vorkommt“ rechnet er mit dem Satz von Bayes zurück, „wie wahrscheinlich eine E-Mail mit diesem Wort Spam ist“.
Aus der Statistik „Ursache (Spam) → Ergebnis (das Wort taucht auf)“ auf „Ergebnis → Ursache“ zu schließen, ist eine Lehrbuchanwendung des Satzes von Bayes.
Qualitätskontrolle in der Fertigung (aus welcher Linie stammt das fehlerhafte Teil?)
Eine Fabrik hat Maschine X, die 60 % der Produkte herstellt (2 % Ausschuss), und Maschine Y mit 40 % (5 % Ausschuss). Die Wahrscheinlichkeit, dass ein bei der Prüfung gefundenes fehlerhaftes Teil von Maschine X stammt, ist nach dem Satz von Bayes \(\dfrac{0{,}6 \times 0{,}02}{0{,}6 \times 0{,}02 + 0{,}4 \times 0{,}05} = \dfrac{3}{8}\) (37,5 %).
So lässt sich „welche Linie prüfen wir zuerst, wenn ein Fehler auftaucht?“ mit Zahlen statt aus dem Bauch entscheiden.
Wahrscheinlichkeiten nach dem Ziehen bei Verlosungen und Kartenspielen (Multiplikationssatz)
Ziehen Sie aus 10 Losen mit 3 Gewinnen 2 Lose ohne Zurücklegen, gewinnen beide mit der Wahrscheinlichkeit \(\dfrac{3}{10} \times \dfrac{2}{9} = \dfrac{1}{15}\). Das erste Ergebnis verändert die Wahrscheinlichkeit beim zweiten (nicht unabhängig) – ein Fall für die bedingte Wahrscheinlichkeit und den Multiplikationssatz.
Bei Kartenspielen wie Poker, Skat oder Blackjack aus den bereits sichtbaren Karten die Chancen für den restlichen Stapel abzuschätzen, ist genau dieselbe Rechnung.
Risikobewertung bei Versicherungen und Krediten (Risiko nach Bedingungen aufschlüsseln)
Bei der Kfz-Versicherung wird „die Wahrscheinlichkeit eines Unfalls“ nicht für alle gleich angesetzt. Sie wird als bedingte Wahrscheinlichkeit je nach Merkmal geschätzt – etwa nach Typklasse des Autos, Regionalklasse des Wohnorts und Schadenfreiheitsklasse – und fließt in unterschiedliche Beiträge ein.
Der Gedanke der bedingten Wahrscheinlichkeit, „wer die Bedingung kennt, kennt eine andere Wahrscheinlichkeit“, trägt Finanzsysteme wie Versicherungen, Kreditentscheidungen und Bonitätsscores (etwa den SCHUFA-Score).
Formeln und Abbildungen
Bedingte Wahrscheinlichkeit
Flächenmodell
Mathematische Schreibweise
(die übliche Formel)
\(P_{A}(B)\)
\(=\)
\(P(A \cap B)\)
\(\div\)
\(P(A)\)
In Worten
(Symbole durch Wörter ersetzt)
③
\(P_{A}(B)\): Wahrscheinlichkeit von B unter der Bedingung A
\(=\)
①
\(P(A \cap B)\): Wahrscheinlichkeit, dass A und B beide eintreten
\(\div\)
②
\(P(A)\): Wahrscheinlichkeit von A
Die Formel in Worten
①
Teilen Sie die
\(P(A \cap B)\): Wahrscheinlichkeit, dass A und B beide eintreten
②
durch die
\(P(A)\): Wahrscheinlichkeit von A
③
und Sie erhalten die
\(P_{A}(B)\): Wahrscheinlichkeit von B unter der Bedingung A
Einfaches Beispiel
Sie werfen einmal einen Würfel. Wissen Sie, dass die Augenzahl gerade ist (Wahrscheinlichkeit \(\dfrac{1}{2}\)), so ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie mindestens 4 beträgt (gerade und mindestens 4 sind die 4 und die 6, Wahrscheinlichkeit \(\dfrac{1}{3}\)),
\(P_{A}(B)\): mindestens 4, wenn gerade
\(=\)
gerade und mindestens 4: \(\dfrac{1}{3}\)
\(\div\)
gerade: \(\dfrac{1}{2}\)
\(\dfrac{1}{3} \div \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{3} \times 2 = \dfrac{2}{3}\)
Der Grundgedanke
Eine gewöhnliche Wahrscheinlichkeit ist „der Anteil von B am Ganzen (Wahrscheinlichkeit 1)“. Bei der bedingten Wahrscheinlichkeit schrumpft die betrachtete Welt in dem Moment, in dem Sie wissen, dass A eingetreten ist, vom Ganzen auf A zusammen. Deshalb ersetzt man den Nenner 1 durch \(P(A)\). Die bedingte Wahrscheinlichkeit ist „der Anteil von B innerhalb von A“.
Ein häufiger Fehler ist die Verwechslung mit der Wahrscheinlichkeit, dass beide eintreten, \(P(A \cap B)\). Im Würfelbeispiel oben ist die Wahrscheinlichkeit für „gerade und mindestens 4“ bezogen auf das Ganze \(\dfrac{1}{3}\), die bedingte Wahrscheinlichkeit bezogen nur auf die geraden Zahlen dagegen \(\dfrac{2}{3}\). Die Formeln sehen ähnlich aus, beziehen sich aber auf ein anderes Ganzes im Nenner und sind deshalb verschiedene Wahrscheinlichkeiten.
In deutschen Schulbüchern schreibt man meist \(P_{A}(B)\) (gelesen „P von B unter der Bedingung A“), an der Universität und in der Statistik meist \(P(B \mid A)\). Beides bedeutet dasselbe. Vertauschen Sie die Rollen nicht: \(P_{A}(B)\) und \(P_{B}(A)\) sind in der Regel verschiedene Zahlen.
Multiplikationssatz (Wahrscheinlichkeit, dass beide eintreten)
Mathematische Schreibweise
(die übliche Formel)
\(P(A \cap B)\)
\(=\)
\(P(A)\)
\(\times\)
\(P_{A}(B)\)
In Worten
(Symbole durch Wörter ersetzt)
③
\(P(A \cap B)\): Wahrscheinlichkeit, dass A und B beide eintreten
\(=\)
①
\(P(A)\): Wahrscheinlichkeit von A
\(\times\)
②
\(P_{A}(B)\): Wahrscheinlichkeit von B unter der Bedingung A
Die Formel in Worten
①
Multiplizieren Sie die
\(P(A)\): Wahrscheinlichkeit von A
②
mit der
\(P_{A}(B)\): Wahrscheinlichkeit von B unter der Bedingung A
③
und Sie erhalten die
\(P(A \cap B)\): Wahrscheinlichkeit, dass A und B beide eintreten
Einfaches Beispiel
In einer Lostrommel liegen 10 Lose, 3 davon sind Gewinne. Sie ziehen nacheinander 2 Lose ohne Zurücklegen. Das erste ist mit der Wahrscheinlichkeit \(\dfrac{3}{10}\) ein Gewinn. Ist es ein Gewinn, sind unter den restlichen 9 Losen noch 2 Gewinne, das zweite gewinnt also mit \(\dfrac{2}{9}\). Die Wahrscheinlichkeit, dass beide gewinnen, ist
\(P(A \cap B)\): beide gewinnen
\(=\)
erstes gewinnt: \(\dfrac{3}{10}\)
\(\times\)
zweites gewinnt, wenn das erste gewonnen hat: \(\dfrac{2}{9}\)
\(\dfrac{3}{10} \times \dfrac{2}{9} = \dfrac{6}{90} = \dfrac{1}{15}\)
Der Grundgedanke
Das ist einfach die Formel der bedingten Wahrscheinlichkeit, beide Seiten mit dem Nenner \(P(A)\) multipliziert – inhaltlich dasselbe. Man multipliziert die Wahrscheinlichkeiten in zeitlicher Reihenfolge: „Erst tritt A ein, und dann tritt unter dieser Bedingung auch B ein.“ Im Baumdiagramm ist das die 1. Pfadregel: Wahrscheinlichkeiten entlang eines Pfades werden multipliziert.
Sind A und B unabhängig (ein Ergebnis beeinflusst das andere nicht), gilt \(P_{A}(B) = P(B)\), und die Formel wird zur vertrauten \(P(A \cap B) = P(A) \times P(B)\). „Bei unabhängigen Ereignissen multiplizieren“ ist also ein Spezialfall des Multiplikationssatzes.
Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit (Pfade zu B addieren)
Mathematische Schreibweise
(die übliche Formel)
\(P(B)\)
\(=\)
\(P(A \cap B)\)
\(+\)
\(P(\overline{A} \cap B)\)
In Worten
(Symbole durch Wörter ersetzt)
③
\(P(B)\): Wahrscheinlichkeit von B
\(=\)
①
\(P(A \cap B)\): Pfad über A zu B
\(+\)
②
\(P(\overline{A} \cap B)\): Pfad über nicht A zu B
Die Formel in Worten
①
Addieren Sie zur
\(P(A \cap B)\): Pfad über A zu B
②
die
\(P(\overline{A} \cap B)\): Pfad über nicht A zu B
③
und Sie erhalten die
\(P(B)\): Wahrscheinlichkeit von B
Einfaches Beispiel
Angenommen, alle machen einen bestimmten Test. 1 % der Menschen haben die Erkrankung (Test positiv mit 90 %), 99 % haben sie nicht (fälschlich positiv mit 9 %). Mit dem Multiplikationssatz ist \(P(A \cap B) = 0{,}01 \times 0{,}9 = 0{,}009\) und \(P(\overline{A} \cap B) = 0{,}99 \times 0{,}09 = 0{,}0891\). Die Wahrscheinlichkeit für einen positiven Test ist also
\(P(B)\): Test positiv
\(=\)
erkrankt und positiv (0,009)
\(+\)
nicht erkrankt, aber positiv (0,0891)
\(0{,}009 + 0{,}0891 = 0{,}0981\ \ (9{,}81\,\%)\)
Der Grundgedanke
Zu B führen nur zwei Pfade: über A oder über nicht A (das Gegenereignis \(\overline{A}\)). Diese beiden Pfade können nicht gleichzeitig eintreten (unvereinbar). Deshalb ergibt die einfache Summe der Pfadwahrscheinlichkeiten \(P(B)\).
Jede Pfadwahrscheinlichkeit liefert der Multiplikationssatz: \(P(A \cap B) = P(A) \times P_{A}(B)\) und \(P(\overline{A} \cap B) = P(\overline{A}) \times P_{\overline{A}}(B)\). Zusammengeschrieben: \(P(B) = P(A)\,P_{A}(B) + P(\overline{A})\,P_{\overline{A}}(B)\). Im Baumdiagramm heißt das „alle Pfade, die bei B enden, addieren“ (2. Pfadregel). Wer lieber mit einer Vierfeldertafel rechnet: \(P(B)\) ist dort die Summe der Spalte B.
Satz von Bayes (vom Ergebnis auf die Ursache zurückrechnen)
Baumdiagramm
Mathematische Schreibweise
(die übliche Formel)
\(P_{B}(A)\)
\(=\)
\(P(A \cap B)\)
\(\div\)
\(P(B)\)
In Worten
(Symbole durch Wörter ersetzt)
③
\(P_{B}(A)\): Wahrscheinlichkeit, dass A die Ursache ist, wenn B eingetreten ist
\(=\)
①
\(P(A \cap B)\): Pfad über A zu B
\(\div\)
②
\(P(B)\): Wahrscheinlichkeit von B
Die Formel in Worten
①
Teilen Sie die
\(P(A \cap B)\): Pfad über A zu B
②
durch die
\(P(B)\): Wahrscheinlichkeit von B (aus dem Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit)
③
und Sie erhalten die
\(P_{B}(A)\): Wahrscheinlichkeit, dass A die Ursache ist, wenn B eingetreten ist
Einfaches Beispiel
Fortsetzung des Beispiels zum Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit: Ist der Test positiv (B), so ist die Wahrscheinlichkeit, wirklich erkrankt zu sein (A),
\(P_{B}(A)\): wirklich erkrankt, wenn positiv
\(=\)
erkrankt und positiv (0,009)
\(\div\)
Test positiv (0,0981)
\(\dfrac{0{,}009}{0{,}0981} = \dfrac{90}{981} = \dfrac{10}{109} \approx 0{,}092\ \ (9{,}2\,\%)\)
Der Grundgedanke
Die Form ist genau die Formel der bedingten Wahrscheinlichkeit, nur mit B statt A als Bedingung. Verwendet wird sie aber in umgekehrter Richtung: Bekannt ist die Wahrscheinlichkeit „Ursache → Ergebnis“ (\(P_{A}(B)\): bei Erkrankung zu 90 % positiv), gesucht ist „Ergebnis → Ursache“ (\(P_{B}(A)\): die Wahrscheinlichkeit, bei positivem Test wirklich erkrankt zu sein). Diesen Richtungswechsel übernimmt der Satz von Bayes.
Oft schreibt man den Nenner \(P(B)\) mit dem Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit aus: \(P_{B}(A) = \dfrac{P(A)\,P_{A}(B)}{P(A)\,P_{A}(B) + P(\overline{A})\,P_{\overline{A}}(B)}\). Inhaltlich ist das dasselbe.
Das Ergebnis im Beispiel – „trotz positivem Ergebnis eines zu 90 % treffsicheren Tests nur etwa 9 %“ – ist überraschend klein. Der Grund: Nur 1 % der Menschen ist überhaupt erkrankt, daher gehen die wenigen richtig Positiven unter den vielen falsch Positiven unter. Die Wahrscheinlichkeit vor dem Ergebnis, \(P(A)\), heißt A-priori-Wahrscheinlichkeit, die Wahrscheinlichkeit nach dem Ergebnis, \(P_{B}(A)\), heißt A-posteriori-Wahrscheinlichkeit.
Die bedingte Wahrscheinlichkeit \(P_{A}(B)\) ist „der Anteil von B innerhalb von A“: Der Nenner 1 (das Ganze) wird durch \(P(A)\) (die Bedingung) ersetzt. Der Satz von Bayes baut darauf auf und rechnet von „Ursache → Ergebnis“ auf „Ergebnis → Ursache“ zurück. Seinen Nenner \(P(B)\) liefert der Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit (Summe der Pfade).
Symbole und Begriffe
Symbole
| \(P(A)\) | P von A | Die Wahrscheinlichkeit, dass Ereignis A eintritt. P ist der Anfangsbuchstabe von „probabilitas“ (lateinisch, englisch „probability“). |
| \(P_{A}(B)\) | P von B unter der Bedingung A | Die Wahrscheinlichkeit, dass B eintritt, wenn bekannt ist, dass A eingetreten ist (bedingte Wahrscheinlichkeit). Das kleine A unten rechts steht für die Bedingung. So schreibt man es in deutschen Schulbüchern. |
| \(P(B \mid A)\) | P von B gegeben A | Eine andere Schreibweise mit genau derselben Bedeutung wie \(P_{A}(B)\). Rechts vom senkrechten Strich \(\mid\) steht die Bedingung; man liest ihn „gegeben“ oder „unter der Bedingung“. An der Universität und in Statistikbüchern ist diese Schreibweise üblich. |
| \(\overline{A}\) | A quer (Gegenereignis) | Der Strich über dem A steht für das Ereignis „A tritt nicht ein“, das Gegenereignis von A. Man berechnet es mit \(P(\overline{A}) = 1 - P(A)\). |
| \(\cap\) | geschnitten (Schnittmenge) | Das Zeichen für „und“. \(A \cap B\) ist das Ereignis „A und B treten beide ein“. Im Venn-Diagramm ist das der Bereich, in dem sich die beiden Kreise überschneiden. |
| \(P(A \cap B)\) | P von A und B | Die Wahrscheinlichkeit, dass A und B beide eintreten (gemeinsame Wahrscheinlichkeit). Sie steht im Zähler der bedingten Wahrscheinlichkeit und kann nie größer als \(P(A)\) sein, weil „beide treten ein“ ein Teil von A ist. |
Begriffe
| Ereignis | Etwas, das eintreten kann oder nicht, etwa „eine gerade Zahl würfeln“ oder „der Test ist positiv“. In der Mathematik heißt so etwas Ereignis und bekommt einen Namen wie A oder B. |
| bedingte Wahrscheinlichkeit | Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis B eintritt, unter der Bedingung, dass ein anderes Ereignis A bekanntlich eingetreten ist. Man berechnet sie mit \(P_{A}(B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)}\). Sie ist „der Anteil von B in einer Welt, die vom Ganzen auf A geschrumpft ist“. |
| Multiplikationssatz | Die Formel \(P(A \cap B) = P(A) \times P_{A}(B)\). Sie ist die Formel der bedingten Wahrscheinlichkeit ohne Nenner und berechnet „erst A, dann B“ durch Multiplizieren der Reihe nach. Im Baumdiagramm entspricht sie der 1. Pfadregel (Produktregel). |
| Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit | Satz, der die Wahrscheinlichkeit von B in „Pfad über A“ und „Pfad über nicht A“ aufteilt und addiert: \(P(B) = P(A)\,P_{A}(B) + P(\overline{A})\,P_{\overline{A}}(B)\). Im Baumdiagramm ist das die 2. Pfadregel (Summenregel). Mit ihm baut man den Nenner des Satzes von Bayes. |
| Satz von Bayes | Satz, der von der Wahrscheinlichkeit „Ursache → Ergebnis“ auf die Wahrscheinlichkeit „Ergebnis → Ursache“ zurückrechnet: \(P_{B}(A) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}\). Benannt nach Thomas Bayes, einem englischen Pfarrer des 18. Jahrhunderts. Er steckt in moderner Technik wie Spamfiltern. |
| A-priori-Wahrscheinlichkeit | Die Wahrscheinlichkeit der Ursache A, \(P(A)\), geschätzt bevor man das Ergebnis (die Daten) kennt. Im Testbeispiel ist das „wie viel Prozent der Menschen überhaupt betroffen sind“ (in der Medizin: Prävalenz). |
| A-posteriori-Wahrscheinlichkeit | Die Wahrscheinlichkeit der Ursache A, nachdem sie durch das beobachtete Ergebnis B aktualisiert wurde: \(P_{B}(A)\). Der Satz von Bayes ist also eine Regel, die „die A-priori-Wahrscheinlichkeit mit Beobachtungen zur A-posteriori-Wahrscheinlichkeit aktualisiert“. |
| Gegenereignis | Das entgegengesetzte Ereignis, also dass das Ereignis nicht eintritt. Das Zeichen ist \(\overline{A}\), die Wahrscheinlichkeit \(1 - P(A)\). Im Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit steht es für „den Pfad, der nicht über A führt“. |
| unvereinbare Ereignisse | Zwei Ereignisse, die nicht gleichzeitig eintreten können. „Pfad über A zu B“ und „Pfad über nicht A zu B“ sind unvereinbar, deshalb darf man sie im Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit einfach addieren. |
| unabhängige Ereignisse | Ein Ergebnis ändert nicht, wie wahrscheinlich das andere ist. In der Sprache der bedingten Wahrscheinlichkeit sind A und B unabhängig, wenn \(P_{A}(B) = P(B)\) gilt (das Wissen, dass A eingetreten ist, ändert die Wahrscheinlichkeit von B nicht). |
| falsch positiv | Ein Testergebnis „positiv“, obwohl die Person die Erkrankung gar nicht hat. Auch wenn die Rate der falsch Positiven klein ist – sind die meisten Menschen nicht betroffen, kann es mehr falsch Positive als richtig Positive geben. |
| Baumdiagramm | Ein Diagramm, das die möglichen Fälle wie die Äste eines Baums aufteilt. An jeden Ast schreibt man eine Wahrscheinlichkeit; multipliziert man entlang eines Pfades, erhält man die Wahrscheinlichkeit dieses Pfades. Es ist das beste Hilfsmittel, um bedingte Wahrscheinlichkeit und den Satz von Bayes mit den Augen nachzuvollziehen. |
| Vierfeldertafel | Eine Tabelle mit den vier Feldern \(A \cap B\), \(A \cap \overline{B}\), \(\overline{A} \cap B\) und \(\overline{A} \cap \overline{B}\) samt Zeilen- und Spaltensummen. In der Schule löst man Aufgaben zur bedingten Wahrscheinlichkeit oft damit statt mit dem Baumdiagramm – beide führen zum selben Ergebnis. |
Das sollten Sie vorher wissen
Damit Sie die Rechnung auf dieser Seite nicht nur per Knopfdruck, sondern mit Verständnis nutzen, hilft Ihnen dieses Vorwissen.
Wenn Sie nicht weiterkommen, ist es am schnellsten, die Themen dieser Liste noch einmal zu wiederholen.
| Grundlagen der Wahrscheinlichkeit (Klasse 6–7, 11–13 Jahre) |
|
| Prozente und Dezimalzahlen (Klasse 6–7, 11–13 Jahre) |
|
| Brüche multiplizieren und dividieren (Klasse 6, 11–12 Jahre) |
|
| Mehrstufige Zufallsexperimente und Baumdiagramme (Klasse 7–8, 12–14 Jahre) |
|
| Mengen, Venn-Diagramme und Vierfeldertafeln (Klasse 9–10, 14–16 Jahre) |
|
So berechnen Sie es in Excel
Kopieren Sie die ganze Tabelle und fügen Sie sie in Zelle A1 von Excel ein – dann funktioniert sie direkt.
Tabelle für die bedingte Wahrscheinlichkeit P(B|A)
| Wahrscheinlichkeit von A, P(A) | 0,5 |
| A und B, P(A∩B) | 0,2 |
| Bedingte Wahrscheinlichkeit P(B|A) | =B2/B1 |
Tabelle für die Wahrscheinlichkeit, dass beide eintreten, P(A∩B) (Multiplikationssatz)
| Wahrscheinlichkeit von A, P(A) | 0,5 |
| B unter A, P(B|A) | 0,4 |
| A und B, P(A∩B) | =B1*B2 |
Tabelle für die Wahrscheinlichkeit von B, P(B) (Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit)
| Wahrscheinlichkeit der Ursache A, P(A) | 0,01 |
| B unter A, P(B|A) | 0,9 |
| B unter nicht A, P(B|A̅) | 0,09 |
| Wahrscheinlichkeit von B, P(B) | =B1*B2+(1-B1)*B3 |
Tabelle für die Wahrscheinlichkeit der Ursache, P(A|B) (Satz von Bayes)
| Wahrscheinlichkeit der Ursache A, P(A) | 0,01 |
| B unter A, P(B|A) | 0,9 |
| B unter nicht A, P(B|A̅) | 0,09 |
| A und B, P(A∩B) | =B1*B2 |
| Wahrscheinlichkeit von B, P(B) | =B4+(1-B1)*B3 |
| Ursache A, wenn B eingetreten, P(A|B) | =B4/B5 |
Nach dem Einfügen stehen in Spalte A die Bezeichnungen und in Spalte B die Zahlen. Die oberen Zeilen sind Ihre Eingaben, die Formeln in den unteren Zeilen rechnen damit.
„B1“ und „B2“ in der Formel bedeuten „die Zahl aus dieser Zelle verwenden“, „*“ ist das Malzeichen und „/“ das Geteiltzeichen.
Die erste Tabelle ergibt 0,2 : 0,5 = 0,4, die zweite 0,5 × 0,4 = 0,2.
Die dritte Tabelle ergibt 0,01 × 0,9 + 0,99 × 0,09 = 0,0981 – die Wahrscheinlichkeit eines positiven Tests, Pfad für Pfad addiert.
In der vierten Tabelle steht in B4 0,009 und in B5 0,0981; die letzte Zelle B6 ergibt 0,009 : 0,0981 ≈ 0,0917 (etwa 9,2 %).
„B1“ und „B2“ in der Formel bedeuten „die Zahl aus dieser Zelle verwenden“, „*“ ist das Malzeichen und „/“ das Geteiltzeichen.
Die erste Tabelle ergibt 0,2 : 0,5 = 0,4, die zweite 0,5 × 0,4 = 0,2.
Die dritte Tabelle ergibt 0,01 × 0,9 + 0,99 × 0,09 = 0,0981 – die Wahrscheinlichkeit eines positiven Tests, Pfad für Pfad addiert.
In der vierten Tabelle steht in B4 0,009 und in B5 0,0981; die letzte Zelle B6 ergibt 0,009 : 0,0981 ≈ 0,0917 (etwa 9,2 %).
So berechnen Sie es in Google Tabellen
Kopieren Sie die ganze Tabelle und fügen Sie sie in Zelle A1 von Google Tabellen ein – dann funktioniert sie direkt.
Tabelle für die bedingte Wahrscheinlichkeit P(B|A)
| Wahrscheinlichkeit von A, P(A) | 0,5 |
| A und B, P(A∩B) | 0,2 |
| Bedingte Wahrscheinlichkeit P(B|A) | =B2/B1 |
Tabelle für die Wahrscheinlichkeit, dass beide eintreten, P(A∩B) (Multiplikationssatz)
| Wahrscheinlichkeit von A, P(A) | 0,5 |
| B unter A, P(B|A) | 0,4 |
| A und B, P(A∩B) | =B1*B2 |
Tabelle für die Wahrscheinlichkeit von B, P(B) (Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit)
| Wahrscheinlichkeit der Ursache A, P(A) | 0,01 |
| B unter A, P(B|A) | 0,9 |
| B unter nicht A, P(B|A̅) | 0,09 |
| Wahrscheinlichkeit von B, P(B) | =B1*B2+(1-B1)*B3 |
Tabelle für die Wahrscheinlichkeit der Ursache, P(A|B) (Satz von Bayes)
| Wahrscheinlichkeit der Ursache A, P(A) | 0,01 |
| B unter A, P(B|A) | 0,9 |
| B unter nicht A, P(B|A̅) | 0,09 |
| A und B, P(A∩B) | =B1*B2 |
| Wahrscheinlichkeit von B, P(B) | =B4+(1-B1)*B3 |
| Ursache A, wenn B eingetreten, P(A|B) | =B4/B5 |
Es funktionieren dieselben Formeln wie in Excel. Kopieren Sie die ganze Tabelle und fügen Sie sie in Zelle A1 ein. Die oberen Zeilen sind Ihre Eingaben, die unteren Zeilen die berechneten Ergebnisse.
Ersetzen Sie einfach die Eingabewerte durch Ihre eigenen Wahrscheinlichkeiten.
Ersetzen Sie einfach die Eingabewerte durch Ihre eigenen Wahrscheinlichkeiten.
So berechnen Sie es in Python
from fractions import Fraction
# ===== Bedingte Wahrscheinlichkeit P(B|A) = P(A∩B) ÷ P(A) =====
p_a = Fraction(1, 2) # P(A): Wahrscheinlichkeit der Bedingung A
p_a_and_b = Fraction(1, 3) # P(A∩B): Wahrscheinlichkeit, dass beide eintreten
p_b_given_a = p_a_and_b / p_a
print(f"Bedingte Wahrscheinlichkeit P(B|A): {p_b_given_a} = {float(p_b_given_a):.4f}")
# ===== Satz von Bayes (Nenner mit dem Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit) =====
prior = Fraction(1, 100) # P(A): Wahrscheinlichkeit der Ursache A (A-priori-Wahrscheinlichkeit)
p_b_given_a2 = Fraction(90, 100) # P(B|A): Wahrscheinlichkeit von B unter A
p_b_given_not_a = Fraction(9, 100) # P(B|nicht A): Wahrscheinlichkeit von B unter nicht A
p_joint = prior * p_b_given_a2 # P(A∩B)
p_b = p_joint + (1 - prior) * p_b_given_not_a # P(B) (totale Wahrscheinlichkeit)
posterior = p_joint / p_b # P(A|B) (A-posteriori-Wahrscheinlichkeit)
print(f"Wahrscheinlichkeit von B, P(B): {p_b} = {float(p_b):.4f}")
print(f"Wahrscheinlichkeit, dass A die Ursache ist, P(A|B): {posterior} = {float(posterior):.4f}")
Mit dem Modul fractions aus der Standardbibliothek rechnen Sie mit exakten Brüchen ohne Rundungsfehler. Beim Ausführen erscheint die bedingte Wahrscheinlichkeit als „2/3“, beim Beispiel zum Satz von Bayes P(B) = 981/10000 (0,0981) und P(A|B) = 10/109 (etwa 0,0917). Ändern Sie die Wahrscheinlichkeiten und führen Sie den Code aus (0,5 schreiben Sie als Bruch, etwa Fraction(5, 10)).
So schreiben Sie die Formel in LaTeX und anderen Formelsprachen (zum Kopieren)
Bedingte Wahrscheinlichkeit
P(B|A) = P(A∩B) / P(A)
P_{A}(B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msub><mi>P</mi><mi>A</mi></msub>
<mo>(</mo><mi>B</mi><mo>)</mo>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow><mi>P</mi><mo>(</mo><mi>A</mi><mo>∩</mo><mi>B</mi><mo>)</mo></mrow>
<mrow><mi>P</mi><mo>(</mo><mi>A</mi><mo>)</mo></mrow>
</mfrac>
</mrow>
</math>
P(B | A) = P(A nn B) / P(A)
pAandB/pA
pBgivenA := pAandB/pA;
p_b_given_a = p_a_and_b/p_a;
P(B|A) = P(A∩B)/P(A)
Multiplikationssatz (Wahrscheinlichkeit, dass beide eintreten)
P(A∩B) = P(A) × P(B|A)
P(A \cap B) = P(A) \times P_{A}(B)
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>P</mi><mo>(</mo><mi>A</mi><mo>∩</mo><mi>B</mi><mo>)</mo>
<mo>=</mo>
<mi>P</mi><mo>(</mo><mi>A</mi><mo>)</mo>
<mo>×</mo>
<msub><mi>P</mi><mi>A</mi></msub>
<mo>(</mo><mi>B</mi><mo>)</mo>
</mrow>
</math>
P(A nn B) = P(A) xx P(B | A)
pA*pBgivenA
pAandB := pA*pBgivenA;
p_a_and_b = p_a*p_b_given_a;
P(A∩B) = P(A) × P(B|A)
Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit (Pfade zu B addieren)
P(B) = P(A) × P(B|A) + P(A̅) × P(B|A̅)
P(B) = P(A)\,P_{A}(B) + P(\overline{A})\,P_{\overline{A}}(B)
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>P</mi><mo>(</mo><mi>B</mi><mo>)</mo>
<mo>=</mo>
<mi>P</mi><mo>(</mo><mi>A</mi><mo>)</mo>
<msub><mi>P</mi><mi>A</mi></msub>
<mo>(</mo><mi>B</mi><mo>)</mo>
<mo>+</mo>
<mi>P</mi><mo>(</mo>
<mover><mi>A</mi><mo>‾</mo></mover>
<mo>)</mo>
<msub><mi>P</mi><mover><mi>A</mi><mo>‾</mo></mover></msub>
<mo>(</mo><mi>B</mi><mo>)</mo>
</mrow>
</math>
P(B) = P(A) xx P(B | A) + P(bar A) xx P(B | bar A)
pA*pBgivenA + (1 - pA)*pBgivenNotA
pB := pA*pBgivenA + (1 - pA)*pBgivenNotA;
p_b = p_a*p_b_given_a + (1 - p_a)*p_b_given_not_a;
P(B) = P(A)P(B|A) + P(A̅)P(B|A̅)
Satz von Bayes (vom Ergebnis auf die Ursache zurückrechnen)
P(A|B) = P(A∩B) / P(B)
P_{B}(A) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)} = \dfrac{P(A)\,P_{A}(B)}{P(A)\,P_{A}(B) + P(\overline{A})\,P_{\overline{A}}(B)}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msub><mi>P</mi><mi>B</mi></msub>
<mo>(</mo><mi>A</mi><mo>)</mo>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow><mi>P</mi><mo>(</mo><mi>A</mi><mo>∩</mo><mi>B</mi><mo>)</mo></mrow>
<mrow><mi>P</mi><mo>(</mo><mi>B</mi><mo>)</mo></mrow>
</mfrac>
</mrow>
</math>
P(A | B) = P(A nn B) / P(B)
pA*pBgivenA/(pA*pBgivenA + (1 - pA)*pBgivenNotA)
pAgivenB := pAandB/pB;
p_a_given_b = p_a_and_b/p_b;
P(A|B) = P(A∩B)/P(B)
So lassen Sie ChatGPT rechnen
Sie sind ein Assistent für Wahrscheinlichkeitsrechnung (bedingte Wahrscheinlichkeit und Satz von Bayes). Führen Sie die folgende Berechnung aus, indem Sie tatsächlich Python-Code ausführen, und stützen Sie Ihre Antwort nur auf die Zahlen aus dem Ausführungsergebnis (nicht im Kopf rechnen und nicht schätzen). Die Wahrscheinlichkeit der Ursache A (A-priori-Wahrscheinlichkeit) beträgt 1 %. Die Wahrscheinlichkeit des Ergebnisses B, wenn A eintritt, P(B|A), beträgt 90 %. Die Wahrscheinlichkeit von B, wenn A nicht eintritt, P(B|A̅), beträgt 9 %. Berechnen Sie Folgendes: 1. Die Wahrscheinlichkeit, dass A und B beide eintreten, P(A∩B) 2. Die Wahrscheinlichkeit von B, P(B) (mit dem Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit; zeigen Sie auch die Aufteilung nach Pfaden) 3. Die Wahrscheinlichkeit, dass A die Ursache ist, wenn B eingetreten ist, P(A|B) (Satz von Bayes; als vollständig gekürzter Bruch und als Dezimalzahl) Rechnen Sie in Python exakt mit dem Modul fractions aus der Standardbibliothek und zeigen Sie die verwendeten Formeln und die Zahlen aus dem Ausführungsergebnis in einer Tabelle.
Anleitung
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1Werte eingebenTragen Sie die Zahlen, mit denen Sie rechnen möchten, in die Eingabefelder ein
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2BerechnenKlicken Sie auf die Schaltfläche „Berechnen“
-
3Ergebnis ansehenDas Ergebnis erscheint sofort. Auf derselben Seite finden Sie auch den Rechenweg und die Erklärung der Formel
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