Geben Sie den Radius des Grundkreises und die Höhe des Kegels ein. Angezeigt werden die Oberfläche (Grundfläche + Mantelfläche), ihre beiden Anteile und die Länge der Mantellinie.
Geben Sie Radius und Höhe in derselben Einheit und nur als Zahl ab 0 ein (ohne Einheit – für 3 cm also „3“). Die Höhe ist der senkrechte Abstand vom Grundkreis bis zur Spitze, nicht die schräge Länge an der Seite (die Mantellinie).
Ergebnis und Figur
Geben Sie links Radius und Höhe ein und klicken Sie auf „Berechnen“. Ergebnis und ein drehbarer 3D-Kegel erscheinen dann hier.
Inhaltsverzeichnis
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Das können Sie auf dieser Seite
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Wofür braucht man diese Berechnung?
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Anleitung
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Formeln und Abbildungen
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Symbole und Begriffe
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Das sollten Sie vorher wissen
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So berechnen Sie es in Excel
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So berechnen Sie es in Google Tabellen
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So berechnen Sie es in Python
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So schreiben Sie die Formel in LaTeX und anderen Formelsprachen (zum Kopieren)
-
So lassen Sie ChatGPT rechnen
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Die Vorteile von DataChef
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Verwandte Funktionen
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Alle Rechner von NumberChef
Das können Sie auf dieser Seite
- Radius und Höhe eingeben – und Sie kennen sofort die Oberfläche des Kegels (Oberfläche = Grundfläche \(\pi r^2\) + Mantelfläche \(\pi r l\))
- Angezeigt werden auch die Anteile Grundfläche und Mantelfläche sowie die Länge der Mantellinie \(l = \sqrt{r^2 + h^2}\)
- Das Ergebnis erscheint auch als 3D-Kegel. Drehen Sie ihn mit der Maus und sehen Sie, welche Länge wo liegt
- Dazu: eine verständliche Erklärung, warum die Mantelfläche \(\pi r l\) ist, und Formeln zum Kopieren für Excel, Google Tabellen und Python
Geben Sie Radius und Höhe in derselben Einheit ein (beide in cm oder beide in m). Diese Seite behandelt den geraden Kreiskegel, dessen Spitze genau über dem Mittelpunkt des Grundkreises liegt, und berechnet die geschlossene Oberfläche einschließlich des Bodens. Das Volumen (den Rauminhalt) des Kegels berechnen Sie auf der Seite „Volumen eines Kegels berechnen“.
Wofür braucht man diese Berechnung?
Papier für Partyhut und Basteln abschätzen (Schule und Feiern)
Ein Partyhut oder ein gebastelter Kegel ist nur der Mantel, ein Kegel ohne Boden. Wie viel Papier Sie brauchen, sagt die Mantelfläche \(\pi r l\). Bei 8 cm Radius am Rand und 20 cm Höhe ist die Mantellinie \(\sqrt{8^2 + 20^2} \approx 21{,}5\,\mathrm{cm}\) und die Mantelfläche \(\pi \times 8 \times 21{,}5 \approx 540\,\mathrm{cm^2}\).
Dazu kommen Klebe- und Schnittränder, nehmen Sie also etwas mehr Papier. Das Praktische: Sie wissen schon vor dem Basteln, wie viel Material Sie brauchen.
Material für ein Kegeldach (Bau)
Bei kegelförmigen Dächern – Burgtürme, Gartenpavillons, Silos – schätzt man den Bedarf an Dachmaterial (Blech, Schiefer, Ziegel) über die Mantelfläche. Bei 3 m Radius und 2 m Höhe ist die Mantellinie \(\sqrt{3^2 + 2^2} \approx 3{,}61\,\mathrm{m}\) und die Mantelfläche \(\pi \times 3 \times 3{,}61 \approx 34\,\mathrm{m^2}\).
In der Praxis kommen Überlappungen und Verschnitt dazu, deshalb bestellt man mit Zuschlag. Die Grundlage der Kalkulation ist diese Formel.
Stoff für ein Tipizelt (Outdoor)
Bei einem kegelförmigen Zelt mit einer Mittelstange (Tipi) entspricht der Stoff der Seitenwand der Mantelfläche und der Zeltboden der Grundfläche. Bei 2 m Radius am Boden und 2,5 m Höhe sind das rund \(20\,\mathrm{m^2}\) Seitenwand und \(\pi \times 2^2 \approx 12{,}6\,\mathrm{m^2}\) Boden, zusammen rund \(33\,\mathrm{m^2}\).
Nahtzugaben und Eingang verändern das etwas, es bleibt eine Schätzung. Sie hilft aber abzuschätzen, wie schwer der Stoff etwa wird oder ob eine Dose Imprägnierspray reicht.
Kosten für Galvanisieren und Lackieren abschätzen (Industrie)
Beim Galvanisieren oder Lackieren von Metallteilen hängt der Verbrauch an Chemikalien und Lack fast nur von der Oberfläche ab. Deshalb beginnt jedes Angebot mit der Oberflächenberechnung. Ein kegelförmiges Teil mit 2 cm Radius und 5 cm Höhe hat \(\pi \times 2 \times (2 + \sqrt{2^2 + 5^2}) \approx 46\,\mathrm{cm^2}\).
Teile aus Zylindern und Kegeln zerlegt man in ihre Grundkörper, addiert deren Oberflächen und berechnet daraus Bearbeitungskosten und Lackmenge.
Teig und Papiermanschette einer Eiswaffel (Lebensmittel)
Die Eiswaffel ist das Paradebeispiel für einen Kegel. Bei 3 cm Radius am Rand und 10 cm Tiefe ist die Mantellinie \(\sqrt{3^2 + 10^2} \approx 10{,}4\,\mathrm{cm}\) und die Mantelfläche \(\pi \times 3 \times 10{,}4 \approx 98\,\mathrm{cm^2}\).
So groß muss etwa der Teigfladen für die Waffel oder die Papiermanschette drumherum sein. Wenn Sie wissen, dass der Mantel aufgeklappt ein Kreisausschnitt ist, können Sie sogar eine Schablone zeichnen.
Formeln und Abbildungen
Oberfläche des Kegels (Grundfläche + Mantelfläche)
Abbildung
Mathematische Schreibweise
(die übliche Formel)
\(S\)
\(=\)
\(\pi r^{2}\)
\(+\)
\(\pi r l\)
In Worten
(Symbole durch Wörter ersetzt)
③
\(S\): Oberfläche des Kegels
\(=\)
①
\(\pi r^2\): Grundfläche
\(+\)
②
\(\pi r l\): Mantelfläche
Die Formel in Worten
①
Addiert man die
\(\pi r^2\): Grundfläche
(die Kreisfläche unten)
②
und die
\(\pi r l\): Mantelfläche
(die schräge Seitenfläche),
③
erhält man die
\(S\): Oberfläche des Kegels
Einfaches Beispiel
Ein Kegel mit 3 cm Radius und 4 cm Höhe (Mantellinie 5 cm – wie man sie berechnet, zeigt die nächste Formel) hat die Oberfläche
\(S\): Oberfläche des Kegels
\(=\)
Grundfläche (9π cm²)
\(+\)
Mantelfläche (15π cm²)
\(\pi \times 3^{2} + \pi \times 3 \times 5 = 9\pi + 15\pi = 24\pi\)
\(24\pi \approx 24 \times 3{,}14 = 75{,}36\,\mathrm{cm^2}\)
Der Grundgedanke
Die Oberfläche ist der Flächeninhalt der gesamten Außenseite eines Körpers. Schneidet man einen Kegel mit der Schere auf und breitet ihn flach aus (sein Netz), erhält man zwei Teile: den Grundkreis und den Mantel, einen Kreisausschnitt. Die beiden Flächen zusammen sind die Oberfläche.
Das \(l\) in der Formel ist die Mantellinie – die gerade Strecke von der Spitze bis zum Rand, an der Seite entlang gemessen (im Schulbuch meist \(s\)). Sie ist nicht die senkrecht gemessene Höhe \(h\). Und weil es eine Fläche ist, steht das Ergebnis in cm² (Quadratzentimeter) – nicht verwechseln mit cm³ beim Volumen.
Länge der Mantellinie (mit dem Satz des Pythagoras)
Abbildung
Mathematische Schreibweise
(die übliche Formel)
\(l\)
\(=\)
\(\sqrt{r^{2} + h^{2}}\)
In Worten
(Symbole durch Wörter ersetzt)
②
\(l\): Mantellinie
\(=\)
①
\(\sqrt{r^2 + h^2}\): Quadratwurzel
Die Formel in Worten
①
Berechnet man die
\(\sqrt{r^2 + h^2}\): Quadratwurzel
(Radius und Höhe jeweils quadrieren, addieren und aus der Summe die Wurzel ziehen), erhält man die
②
\(l\): Mantellinie
Einfaches Beispiel
Ein Kegel mit 3 cm Radius und 4 cm Höhe hat die Mantellinie
\(l\): Mantellinie
\(=\)
Quadratwurzel \(\sqrt{3^2 + 4^2}\)
\(l = \sqrt{3^{2} + 4^{2}} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\,\mathrm{cm}\)
Der Grundgedanke
Die Mantellinie ist die gerade Strecke von der Spitze bis zum Rand des Grundkreises, an der Seite entlang. Schneidet man den Kegel senkrecht durch die Mitte, bilden „Höhe \(h\) (senkrecht)“, „Radius \(r\) (waagerecht)“ und „Mantellinie \(l\) (schräg)“ genau ein rechtwinkliges Dreieck. Die Mantellinie ist die Hypotenuse und ergibt sich mit dem Satz des Pythagoras.
Weil Sie in diesen Rechner Radius und Höhe eingeben, bestimmt er zuerst mit dieser Formel die Mantellinie. Ist die Mantellinie in einer Aufgabe schon gegeben (das kommt oft vor), entfällt dieser Schritt, und Sie gehen direkt zur Formel für die Mantelfläche.
Mantelfläche (aufgeklappt ein Kreisausschnitt)
Abbildung
Mathematische Schreibweise
(die übliche Formel)
\(\pi r l\)
\(=\)
\(\dfrac{1}{2}\)
\(\times\)
\(2\pi r\)
\(\times\)
\(l\)
In Worten
(Symbole durch Wörter ersetzt)
④
\(\pi r l\): Mantelfläche
\(=\)
③
\(\dfrac{1}{2}\): die Hälfte
\(\times\)
①
\(2\pi r\): Länge des Kreisbogens
\(\times\)
②
\(l\): Radius des Kreisausschnitts = Mantellinie
Die Formel in Worten
①
Multipliziert man die
\(2\pi r\): Länge des Kreisbogens
(= Umfang des Grundkreises)
②
mit dem
\(l\): Radius des Kreisausschnitts = Mantellinie
③
und nimmt davon
\(\dfrac{1}{2}\): die Hälfte
(teilt also durch 2), erhält man die
④
\(\pi r l\): Mantelfläche
Einfaches Beispiel
Ein Kegel mit 3 cm Radius und 5 cm Mantellinie hat die Mantelfläche
Mantelfläche
\(=\)
\(\dfrac{1}{2}\): die Hälfte
\(\times\)
Länge des Kreisbogens (2π × 3 = 6π cm)
\(\times\)
Mantellinie (5 cm)
\(\dfrac{1}{2} \times 2\pi \times 3 \times 5 = \dfrac{1}{2} \times 30\pi = 15\pi\)
\(15\pi \approx 15 \times 3{,}14 = 47{,}1\,\mathrm{cm^2}\)
Der Grundgedanke
Schneidet man den Mantel des Kegels auf, entsteht ein Kreisausschnitt mit der Mantellinie \(l\) als Radius. Sein Kreisbogen (der gekrümmte Rand) ist genau so lang wie der Umfang des Grundkreises \(2\pi r\) – vor dem Aufschneiden lag der untere Rand des Mantels ja einmal rund um den Grundkreis.
Die Fläche eines Kreisausschnitts ist „\(\dfrac{1}{2}\) × Bogenlänge × Radius“, also \(\dfrac{1}{2} \times 2\pi r \times l = \pi r l\). So kommen Sie ohne den Mittelpunktswinkel aus. Merken Sie sich: „Mantelfläche = π × Radius × Mantellinie“ (im Schulbuch \(M = \pi r s\)).
Alles in einer Formel aus Radius und Höhe (so rechnet dieser Rechner)
Mathematische Schreibweise
(die übliche Formel)
\(S\)
\(=\)
\(\pi\)
\(\times\)
\(r\)
\(\times\)
\((\)
\(r\)
\(+\)
\(\sqrt{r^{2} + h^{2}}\)
\()\)
In Worten
(Symbole durch Wörter ersetzt)
⑤
\(S\): Oberfläche des Kegels
\(=\)
①
\(\pi\): Kreiszahl (etwa 3,14)
\(\times\)
②
\(r\): Radius des Grundkreises
\(\times\)
\((\)
③
\(r\): Radius des Grundkreises
\(+\)
④
\(l = \sqrt{r^2 + h^2}\): Mantellinie
\()\)
Die Formel in Worten
①
Man multipliziert die
\(\pi\): Kreiszahl (etwa 3,14)
②
mit dem
\(r\): Radius des Grundkreises
und dann mit der Summe aus dem
③
\(r\): Radius des Grundkreises
④
und der
\(l = \sqrt{r^2 + h^2}\): Mantellinie
. So erhält man die
⑤
\(S\): Oberfläche des Kegels
Einfaches Beispiel
Die Oberfläche des Kegels mit 3 cm Radius und 4 cm Höhe, mit dieser Formel in einem Zug gerechnet
\(S\): Oberfläche des Kegels
\(=\)
\(\pi\): Kreiszahl
\(\times\)
Radius (3 cm)
\(\times\)
\((\)
Radius (3 cm)
\(+\)
Mantellinie (√(3² + 4²) = 5 cm)
\()\)
\(S = \pi \times 3 \times \left( 3 + \sqrt{3^{2} + 4^{2}} \right)\)
\(= \pi \times 3 \times (3 + 5) = 24\pi\)
\(24\pi \approx 24 \times 3{,}14 = 75{,}36\,\mathrm{cm^2}\)
Der Grundgedanke
Hier ist \(\pi r^2 + \pi r l\) aus Formel 1 (Grundfläche + Mantelfläche) durch Ausklammern von \(\pi r\) umgeformt: \(\pi r^2 + \pi r l = \pi r (r + l)\). Für die Mantellinie \(l\) steht direkt \(\sqrt{r^2 + h^2}\) aus Formel 2. So berechnen Sie die Oberfläche in einem Zug nur aus Radius und Höhe, ohne vorher die Mantellinie zu bestimmen. Genau so rechnet auch dieser Rechner.
Die Oberfläche eines Kegels ist „Grundfläche \(\pi r^2\) + Mantelfläche \(\pi r l\)“. Kennen Sie die Mantellinie \(l\) nicht, erhalten Sie sie mit dem Satz des Pythagoras als \(l = \sqrt{r^2 + h^2}\). Zusammengefasst gilt \(S = \pi r (r + \sqrt{r^2 + h^2})\) – Sie brauchen nur Radius und Höhe. Das Ergebnis steht in der Längeneinheit hoch 2 (bei cm also cm²).
Symbole und Begriffe
Symbole
| \(S\) | S | Ein häufiges Zeichen für Flächen (von englisch surface bzw. lateinisch superficies). Hier steht es für die Oberfläche des Kegels; deutsche Schulbücher schreiben dafür meist \(O\). |
| \(r\) | r | Der Radius des Grundkreises (lateinisch radius) – der Abstand vom Mittelpunkt bis zum Rand, halb so lang wie der Durchmesser. |
| \(h\) | h | Die Höhe des Kegels (englisch height), senkrecht vom Grundkreis bis zur Spitze gemessen. Nicht verwechseln mit der schrägen Länge an der Seite (Mantellinie). |
| \(l\) | l | Die Länge der Mantellinie (im Schulbuch meist \(s\)), gemessen von der Spitze bis zum Rand des Grundkreises an der Seite entlang. Man berechnet sie mit \(l = \sqrt{r^2 + h^2}\). |
| \(r^2\) | r Quadrat (r hoch 2) | Die Zahl \(r\) mit sich selbst multipliziert (\(r \times r\)). Die kleine 2 oben rechts ist der Exponent und bedeutet „zweimal als Faktor“. |
| \(\pi\) | pi | Die Kreiszahl: Sie gibt an, wie oft der Durchmesser in den Kreisumfang passt, und hat unendlich viele Nachkommastellen (3,14159 …). Oft rechnet man mit 3,14 oder lässt \(\pi\) als Zeichen im Ergebnis stehen. |
| \(\sqrt{\phantom{x}}\) | Wurzel (Wurzelzeichen) | Das Zeichen für die Quadratwurzel. \(\sqrt{25}\) ist die positive Zahl, deren Quadrat 25 ist, also 5. Oft ist das Ergebnis keine glatte Zahl, wie bei \(\sqrt{2}\) (etwa 1,414). |
| \(\mathrm{cm^2}\) | Quadratzentimeter | Eine Flächeneinheit. Ein Quadrat mit 1 cm Seitenlänge hat den Flächeninhalt 1 cm². Nicht verwechseln mit cm³ (Kubikzentimeter), der Einheit für Volumen. |
| \(\mathrm{m^2}\) | Quadratmeter | Eine Flächeneinheit. Ein Quadrat mit 1 m Seitenlänge hat den Flächeninhalt 1 m². Es gilt \(1\,\mathrm{m^2} = 100 \times 100 = 10000\,\mathrm{cm^2}\) (Achtung, nicht 100). |
Begriffe
| Kegel | Ein Körper mit einem Kreis als Grundfläche, der gleichmäßig zu einer Spitze zuläuft. Eiswaffel, Partyhut und Leitkegel (Pylone) haben diese Form. |
| gerader Kreiskegel | Ein Kegel, dessen Spitze genau über dem Mittelpunkt des Grundkreises liegt. Mit „Kegel“ ist in der Schule meist dieser gemeint, und auch dieser Rechner arbeitet damit. Liegt die Spitze nicht über dem Mittelpunkt, spricht man von einem schiefen Kegel. |
| Oberfläche | Der Flächeninhalt der gesamten Außenseite eines Körpers (auch Oberflächeninhalt). Beim Kegel sind das Grundkreis und Mantel (ein Kreisausschnitt) zusammen. Man braucht sie immer, wenn es darum geht, wie viel Material eine Oberfläche bedeckt – Farbe, Papier, Blech. |
| Grundfläche | Die Fläche, auf der ein Körper steht. Beim Kegel ist es ein Kreis, also \(\pi r^2\). |
| Mantelfläche | Die Fläche der Seite eines Körpers (des Mantels). Beim Kegel wird der Mantel aufgeklappt zu einem Kreisausschnitt; seine Fläche ist \(\pi r l\) (π × Radius × Mantellinie). |
| Mantellinie | Die gerade Strecke von der Spitze bis zum Rand des Grundkreises, an der Seite entlang (im Schulbuch \(s\)). Ihre Länge ist nach dem Satz des Pythagoras \(\sqrt{r^2 + h^2}\). Leicht mit der Höhe zu verwechseln! |
| Netz | Der Körper aufgeschnitten und flach ausgebreitet. Das Netz eines Kegels besteht aus dem Grundkreis und dem Mantel, einem Kreisausschnitt. Die Oberfläche ist die Summe der Flächen im Netz. |
| Kreisausschnitt | Ein Stück eines Kreises zwischen zwei Radien, wie ein Tortenstück (auch Kreissektor). Der aufgeklappte Mantel eines Kegels ist ein Kreisausschnitt mit der Mantellinie \(l\) als Radius. |
| Kreisbogen | Der gekrümmte Rand eines Kreisausschnitts (ein Teil des Kreisumfangs). Beim aufgeklappten Kegelmantel ist der Bogen genau so lang wie der Umfang des Grundkreises \(2\pi r\). |
| Satz des Pythagoras | Im rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat der Hypotenuse gleich der Summe der Quadrate der beiden Katheten. Beim Kegel bilden Radius, Höhe und Mantellinie ein rechtwinkliges Dreieck, deshalb ist die Mantellinie \(\sqrt{r^2 + h^2}\). |
| Kreiszahl | Gibt an, wie oft der Durchmesser in den Kreisumfang passt (etwa 3,14). Sie kommt in jeder Rechnung mit Kreisen vor – beim Kreis selbst, beim Kegel und beim Zylinder. |
Das sollten Sie vorher wissen
Damit Sie die Berechnung auf dieser Seite nicht nur ausführen, sondern auch verstehen, hilft Ihnen dieses Vorwissen.
| Kreisumfang und Kreisfläche (Klasse 8–9, 13–15 Jahre) |
|
| Körper und ihr Netz (Klasse 9–10, 14–16 Jahre) |
|
| Terme und die Kreiszahl π (Klasse 7–8, 12–14 Jahre) |
|
| Quadratwurzeln und Satz des Pythagoras (Klasse 8–9, 13–15 Jahre) |
|
| Dezimalzahlen multiplizieren (Klasse 6, 11–12 Jahre) |
|
So berechnen Sie es in Excel
Kopieren Sie die ganze Tabelle und fügen Sie sie in Zelle A1 von Excel ein – dann funktioniert sie direkt.
Tabelle für die Oberfläche des Kegels (Grundfläche + Mantelfläche)
| Radius r (cm) | 3 |
| Höhe h (cm) | 4 |
| Grundfläche (cm²) | =PI()*B1^2 |
| Mantelfläche (cm²) | =PI()*B1*WURZEL(B1^2+B2^2) |
| Oberfläche (Grundfläche + Mantelfläche, cm²) | =B3+B4 |
Tabelle für die Länge der Mantellinie
| Radius r (cm) | 3 |
| Höhe h (cm) | 4 |
| Mantellinie (cm) | =WURZEL(B1^2+B2^2) |
Tabelle für die Mantelfläche (wenn Radius und Mantellinie bekannt sind)
| Radius r (cm) | 3 |
| Mantellinie (cm) | 5 |
| Mantelfläche (cm²) | =PI()*B1*B2 |
Tabelle für die Oberfläche in einem Zug aus Radius und Höhe
| Radius r (cm) | 3 |
| Höhe h (cm) | 4 |
| Oberfläche des Kegels (cm²) | =PI()*B1*(B1+WURZEL(B1^2+B2^2)) |
Nach dem Einfügen stehen in Spalte A die Bezeichnungen und in Spalte B die Zahlen. Die oberen Zeilen sind die Eingaben, die Formeln darunter rechnen damit automatisch.
„B1“ und „B2“ bedeuten „nimm die Zahl aus dieser Zelle“. „PI()“ ist die Kreiszahl (3,14159 …), „WURZEL()“ die Quadratwurzel, „^“ steht für Potenzieren und „*“ für Malnehmen.
In der ersten Tabelle erscheinen zum Beispiel in B3 rund 28,27 (Grundfläche), in B4 rund 47,12 (Mantelfläche) und in B5 rund 75,40 (Oberfläche), in cm², weil in cm eingegeben. Die zweite Tabelle zeigt in B3 die 5, die dritte in B3 rund 47,12 und die vierte in B3 rund 75,40. Ersetzen Sie einfach die Eingaben durch die Maße Ihres Kegels.
„B1“ und „B2“ bedeuten „nimm die Zahl aus dieser Zelle“. „PI()“ ist die Kreiszahl (3,14159 …), „WURZEL()“ die Quadratwurzel, „^“ steht für Potenzieren und „*“ für Malnehmen.
In der ersten Tabelle erscheinen zum Beispiel in B3 rund 28,27 (Grundfläche), in B4 rund 47,12 (Mantelfläche) und in B5 rund 75,40 (Oberfläche), in cm², weil in cm eingegeben. Die zweite Tabelle zeigt in B3 die 5, die dritte in B3 rund 47,12 und die vierte in B3 rund 75,40. Ersetzen Sie einfach die Eingaben durch die Maße Ihres Kegels.
So berechnen Sie es in Google Tabellen
Kopieren Sie die ganze Tabelle und fügen Sie sie in Zelle A1 von Google Tabellen ein – dann funktioniert sie direkt.
Tabelle für die Oberfläche des Kegels (Grundfläche + Mantelfläche)
| Radius r (cm) | 3 |
| Höhe h (cm) | 4 |
| Grundfläche (cm²) | =PI()*B1^2 |
| Mantelfläche (cm²) | =PI()*B1*WURZEL(B1^2+B2^2) |
| Oberfläche (Grundfläche + Mantelfläche, cm²) | =B3+B4 |
Tabelle für die Länge der Mantellinie
| Radius r (cm) | 3 |
| Höhe h (cm) | 4 |
| Mantellinie (cm) | =WURZEL(B1^2+B2^2) |
Tabelle für die Mantelfläche (wenn Radius und Mantellinie bekannt sind)
| Radius r (cm) | 3 |
| Mantellinie (cm) | 5 |
| Mantelfläche (cm²) | =PI()*B1*B2 |
Tabelle für die Oberfläche in einem Zug aus Radius und Höhe
| Radius r (cm) | 3 |
| Höhe h (cm) | 4 |
| Oberfläche des Kegels (cm²) | =PI()*B1*(B1+WURZEL(B1^2+B2^2)) |
Dieselben Formeln wie in Excel (auch die Funktionen PI() und WURZEL()) funktionieren unverändert. Kopieren Sie die ganze Tabelle, fügen Sie sie in Zelle A1 ein und ersetzen Sie die Eingaben durch die Maße Ihres Kegels.
So berechnen Sie es in Python
import math
radius = 3 # Radius des Grundkreises (in diesem Beispiel in cm)
height = 4 # Höhe (in derselben Einheit wie der Radius)
slant = math.sqrt(radius ** 2 + height ** 2) # Mantellinie (Satz des Pythagoras)
base_area = math.pi * radius ** 2 # Grundfläche (Kreisfläche unten)
lateral_area = math.pi * radius * slant # Mantelfläche (π × Radius × Mantellinie)
total_area = base_area + lateral_area # Oberfläche (Grundfläche + Mantelfläche)
print(f"Mantellinie: {slant} cm")
print(f"Grundfläche: {base_area} cm2")
print(f"Mantelfläche: {lateral_area} cm2")
print(f"Oberfläche des Kegels: {total_area} cm2")
Läuft nur mit der Standardbibliothek. „math.sqrt()“ ist die Quadratwurzel, „math.pi“ die Kreiszahl (3,14159 …), „**“ steht für Potenzieren (radius ** 2 ist der Radius hoch 2) und „*“ für Malnehmen. Ersetzen Sie oben Radius und Höhe durch Ihre Werte und führen Sie den Code aus (bei Eingabe in cm erhalten Sie cm², bei Eingabe in m erhalten Sie m²).
So schreiben Sie die Formel in LaTeX und anderen Formelsprachen (zum Kopieren)
Oberfläche des Kegels (Grundfläche + Mantelfläche)
S = πr² + πrl
S = \pi r^{2} + \pi r l
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>S</mi>
<mo>=</mo>
<mi>π</mi>
<msup><mi>r</mi><mn>2</mn></msup>
<mo>+</mo>
<mi>π</mi>
<mi>r</mi>
<mi>l</mi>
</mrow>
</math>
S = pi r^2 + pi r l
Pi*r^2 + Pi*r*l
S := Pi*r^2 + Pi*r*l;
S = pi*r^2 + pi*r*l;
S = πr^2 + πrl
Länge der Mantellinie (mit dem Satz des Pythagoras)
l = √(r² + h²)
l = \sqrt{r^{2} + h^{2}}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>l</mi>
<mo>=</mo>
<msqrt>
<mrow>
<msup><mi>r</mi><mn>2</mn></msup>
<mo>+</mo>
<msup><mi>h</mi><mn>2</mn></msup>
</mrow>
</msqrt>
</mrow>
</math>
l = sqrt(r^2 + h^2)
Sqrt[r^2 + h^2]
l := sqrt(r^2 + h^2);
l = sqrt(r^2 + h^2);
l = √(r^2 + h^2)
Mantelfläche (aufgeklappt ein Kreisausschnitt)
πrl = 1/2 × 2πr × l
\pi r l = \frac{1}{2} \times 2\pi r \times l
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>π</mi><mi>r</mi><mi>l</mi>
<mo>=</mo>
<mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac>
<mo>×</mo>
<mn>2</mn><mi>π</mi><mi>r</mi>
<mo>×</mo>
<mi>l</mi>
</mrow>
</math>
pi r l = 1/2 xx 2 pi r xx l
Pi*r*l == (1/2)*(2*Pi*r)*l
Pi*r*l = (1/2)*(2*Pi*r)*l;
pi*r*l == (1/2)*(2*pi*r)*l
πrl = (1/2)(2πr)l
Alles in einer Formel aus Radius und Höhe (so rechnet dieser Rechner)
S = πr(r + √(r² + h²))
S = \pi r \left( r + \sqrt{r^{2} + h^{2}} \right)
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>S</mi>
<mo>=</mo>
<mi>π</mi>
<mi>r</mi>
<mo>(</mo>
<mi>r</mi>
<mo>+</mo>
<msqrt>
<mrow>
<msup><mi>r</mi><mn>2</mn></msup>
<mo>+</mo>
<msup><mi>h</mi><mn>2</mn></msup>
</mrow>
</msqrt>
<mo>)</mo>
</mrow>
</math>
S = pi r (r + sqrt(r^2 + h^2))
Pi*r*(r + Sqrt[r^2 + h^2])
S := Pi*r*(r + sqrt(r^2 + h^2));
S = pi*r*(r + sqrt(r^2 + h^2));
S = πr(r + √(r^2 + h^2))
So lassen Sie ChatGPT rechnen
Sie sind ein Rechenassistent für Mathematik. Führen Sie die folgende Berechnung aus, indem Sie tatsächlich Python-Code ausführen, und stützen Sie Ihre Antwort nur auf die Zahlen aus dem Ausführungsergebnis (antworten Sie nicht durch Kopfrechnen oder Schätzen). Ein Kegel hat einen Grundkreis mit 3 cm Radius und ist 4 cm hoch (ein gerader Kreiskegel, die Spitze liegt genau über dem Mittelpunkt des Grundkreises). Berechnen Sie: 1. die Länge der Mantellinie (l = √(Radius² + Höhe²)) 2. die Grundfläche (πr²) 3. die Mantelfläche (π × Radius × Mantellinie) 4. die Oberfläche des Kegels (Grundfläche + Mantelfläche) Zeigen Sie die verwendeten Formeln und die Zahlen aus dem Ausführungsergebnis.
Anleitung
-
1Werte eingebenTragen Sie die Zahlen, mit denen Sie rechnen möchten, in die Eingabefelder ein
-
2BerechnenKlicken Sie auf die Schaltfläche „Berechnen“
-
3Ergebnis ansehenDas Ergebnis erscheint sofort. Auf derselben Seite finden Sie auch den Rechenweg und die Erklärung der Formel
Die Vorteile von DataChef
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Satz des Pythagoras – Rechner für Hypotenuse und Katheten
Berechnet den Satz des Pythagoras, mit dem man die Mantellinie des Kegels (√(Radius² + Höhe²)) bestimmt
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