Geben Sie die obere Grundseite, die untere Grundseite und die Höhe des Trapezes ein. Der Flächeninhalt wird mit der Formel „(obere Grundseite + untere Grundseite) × Höhe ÷ 2“ berechnet und mit dem Rechenweg angezeigt.
Geben Sie alle drei Längen in derselben Einheit ein (zum Beispiel alle in cm). Der Flächeninhalt ergibt sich in dieser Einheit zum Quadrat (etwa cm²).
Ergebnis und Figur
Geben Sie die obere Grundseite, die untere Grundseite und die Höhe in die Felder links ein und klicken Sie auf „Berechnen“. Das Ergebnis erscheint hier.
Inhaltsverzeichnis
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Was Sie auf dieser Seite tun können
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Wofür ist diese Berechnung nützlich?
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Anleitung
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Formeln und Zeichnungen
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Symbole und Begriffe
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Was Sie vorab wissen sollten
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Mit Excel berechnen
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Mit Google Tabellen berechnen
-
Mit Python berechnen
-
Die Formel in LaTeX und anderen mathematischen Schreibweisen (zum Kopieren)
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Die Berechnung von ChatGPT ausführen lassen
-
Die Vorteile von DataChef
-
Verwandte Funktionen
-
Alle NumberChef-Rechner
Was Sie auf dieser Seite tun können
- Geben Sie die obere Grundseite, die untere Grundseite und die Höhe ein, und Sie erhalten sofort den Flächeninhalt des Trapezes mit der Formel „(obere Grundseite + untere Grundseite) × Höhe ÷ 2“
- Der Rechenweg mit Ihren eingesetzten Zahlen wird ebenfalls angezeigt, sodass Sie ihn direkt zur Kontrolle von Hausaufgaben oder Klassenarbeiten nutzen können
- Auch Längen mit Dezimalstellen (zum Beispiel 2,5 cm) sind möglich
- Eine leicht verständliche Erklärung der Formel (warum man durch 2 teilt), Formeln zum Zurückrechnen vom Flächeninhalt auf die Höhe oder eine Grundseite sowie Formeln zum Kopieren für Excel, Google Tabellen und Python finden Sie ebenfalls auf dieser Seite
Geben Sie alle drei Längen in derselben Einheit ein (zum Beispiel alle in cm). Der Flächeninhalt ergibt sich in dieser Einheit zum Quadrat (etwa cm²).
Wofür ist diese Berechnung nützlich?
Die Größe eines Grundstücks oder Feldes abschätzen (Immobilien und Landwirtschaft)
Ein Grundstück, das an der Straße eine andere Breite hat als an der Rückseite, lässt sich als Trapez auffassen, um seine Fläche abzuschätzen. Bei 12 m Straßenfront, 18 m Breite an der Rückseite und 20 m Tiefe beträgt der Flächeninhalt \((12 + 18) \times 20 \div 2 = 300\,\mathrm{m^2}\).
Die Grundstücksfläche ist die Grundlage für Kaufpreis und Grundsteuer und bei einem Feld für die Menge an Saatgut und Dünger. Diese Formel gehört daher zu den Flächenformeln, die im Alltag am häufigsten gebraucht werden (eine amtliche Vermessung arbeitet mit genaueren Verfahren).
Erdmenge oder Wassermenge aus dem Querschnitt eines Grabens oder Deichs bestimmen (Tiefbau)
Der Querschnitt von Entwässerungsgräben und Deichen ist meist ein Trapez. Ein Graben mit 1,2 m Breite oben, 0,6 m Breite an der Sohle und 0,5 m Tiefe hat eine Querschnittsfläche von \((1{,}2 + 0{,}6) \times 0{,}5 \div 2 = 0{,}45\,\mathrm{m^2}\). Multiplizieren Sie diese mit der Länge des Grabens, erhalten Sie einen Anhaltswert für die auszuhebende Erdmenge oder die Wassermenge, die er führen kann (bei 100 m Länge sind das 45 m³).
Diese Rechnung wird im Tiefbau bei der Kalkulation von Straßen, Flüssen, Dämmen und anderen Bauwerken täglich verwendet.
Materialmenge für Dach oder Wand abschätzen (Bau und Heimwerken)
Trapezförmige Flächen finden sich überall am Haus, etwa an den Seiten eines Walmdachs. Eine Dachfläche mit 3 m Firstlänge oben, 9 m Traufenlänge unten und 4 m Breite entlang der Schräge hat einen Flächeninhalt von \((3 + 9) \times 4 \div 2 = 24\,\mathrm{m^2}\).
Wie viele Quadratmeter Farbe, Dachziegel oder Wandverkleidung Sie brauchen, ergibt sich aus dieser Fläche. Die Rechnung geht daher direkt in den Kostenvoranschlag eines Handwerksbetriebs ein und hilft beim Heimwerken, nicht zu viel Material zu kaufen.
Aus dem Geschwindigkeitsdiagramm die zurückgelegte Strecke bestimmen (Physik und Datenanalyse)
Bei einem Fahrzeug, das gleichmäßig schneller wird, bildet das Zeit-Geschwindigkeits-Diagramm ein Trapez, und dessen Flächeninhalt ist die zurückgelegte Strecke. Beschleunigt ein Fahrzeug 0,5 Stunden lang gleichmäßig von 40 km/h auf 60 km/h, legt es \((40 + 60) \times 0{,}5 \div 2 = 25\) km zurück.
Die Fläche unter einem Diagramm mit Trapezen zu bestimmen, ist ein Grundgedanke der Schulphysik und wird in der wissenschaftlichen Berechnung unter dem Namen „Trapezregel“ (numerische Integration) ebenfalls verwendet.
Formeln und Zeichnungen
Formel für den Flächeninhalt eines Trapezes
Zeichnung
Mathematische Schreibweise
(die übliche Schreibweise)
\(S\)
\(=\)
\((\)
\(a\)
\(+\)
\(b\)
\()\)
\(\times\)
\(h\)
\(\div\)
\(2\)
In Worten
(die Symbole durch Wörter ersetzt)
⑤
\(S\): Flächeninhalt des Trapezes
\(=\)
\((\)
①
\(a\): obere Grundseite
\(+\)
②
\(b\): untere Grundseite
\()\)
\(\times\)
③
\(h\): Höhe
\(\div\)
④
\(2\): halbiert
Die Formel in Worten
①
Addieren Sie die
\(a\): obere Grundseite
②
und die
\(b\): untere Grundseite
③
multiplizieren Sie mit der
\(h\): Höhe
④
teilen Sie durch
\(2\): halbiert
⑤
und Sie erhalten den
\(S\): Flächeninhalt des Trapezes
Einfaches Beispiel
Der Flächeninhalt eines Trapezes mit einer oberen Grundseite von 8 cm, einer unteren Grundseite von 12 cm und einer Höhe von 5 cm beträgt
\(S\): Flächeninhalt des Trapezes
\(=\)
\((\)
obere Grundseite (8 cm)
\(+\)
untere Grundseite (12 cm)
\()\)
\(\times\)
Höhe (5 cm)
\(\div\)
halbiert (2)
\((8 + 12) \times 5 \div 2 = 20 \times 5 \div 2 = 100 \div 2 = 50\)
Der Kerngedanke
Warum teilt man am Ende durch 2? Nehmen Sie ein zweites, gleiches Trapez, drehen Sie es um und legen Sie es passgenau an das erste an. Zusammen ergeben beide ein Parallelogramm, dessen Grundseite (obere Grundseite + untere Grundseite) lang ist und dessen Höhe unverändert bleibt. Der Flächeninhalt eines Parallelogramms ist Grundseite × Höhe, also (obere Grundseite + untere Grundseite) × Höhe. Ein Trapez ist davon die Hälfte, deshalb teilt man durch 2.
Das Ergebnis hat die Längeneinheit zum Quadrat (bei Eingabe in cm ergibt sich cm²). Es ist egal, welche der beiden parallelen Seiten Sie „obere Grundseite“ nennen: Es ändert sich nur die Reihenfolge der Addition, der Flächeninhalt bleibt gleich.
Formel für die Höhe (Zurückrechnen vom Flächeninhalt)
Zeichnung
Mathematische Schreibweise
(die übliche Schreibweise)
\(h\)
\(=\)
\(S\)
\(\times\)
\(2\)
\(\div\)
\((\)
\(a\)
\(+\)
\(b\)
\()\)
In Worten
(die Symbole durch Wörter ersetzt)
⑤
\(h\): Höhe
\(=\)
①
\(S\): Flächeninhalt des Trapezes
\(\times\)
②
\(2\): macht das Halbieren rückgängig
\(\div\)
\((\)
③
\(a\): obere Grundseite
\(+\)
④
\(b\): untere Grundseite
\()\)
Die Formel in Worten
①
Nehmen Sie den
\(S\): Flächeninhalt des Trapezes
②
multiplizieren Sie ihn mit
\(2\): macht das Halbieren rückgängig
(zurück zum Flächeninhalt des Parallelogramms vor dem Teilen durch 2)
③
teilen Sie durch die Summe aus
\(a\): obere Grundseite
④
und
\(b\): untere Grundseite
⑤
und Sie erhalten die
\(h\): Höhe
Einfaches Beispiel
Die Höhe eines Trapezes mit einem Flächeninhalt von 50 cm², einer oberen Grundseite von 8 cm und einer unteren Grundseite von 12 cm beträgt
\(h\): Höhe
\(=\)
Flächeninhalt (50 cm²)
\(\times\)
macht das Halbieren rückgängig (2)
\(\div\)
\((\)
obere Grundseite (8 cm)
\(+\)
untere Grundseite (12 cm)
\()\)
\(50 \times 2 \div (8 + 12) = 100 \div 20 = 5\)
Der Kerngedanke
Hier wird die Flächenformel rückwärts durchlaufen. Machen Sie das abschließende „÷ 2“ mit „× 2“ rückgängig und das „× Höhe“ durch die Division durch (obere Grundseite + untere Grundseite), dann bleibt die Höhe übrig.
In Klassenarbeiten kommt oft diese Aufgabe vor: „Der Flächeninhalt und beide Grundseiten sind bekannt. Berechnen Sie die Höhe.“
Formel für die Summe der Grundseiten (Zurückrechnen vom Flächeninhalt)
Zeichnung
Mathematische Schreibweise
(die übliche Schreibweise)
\(a + b\)
\(=\)
\(S\)
\(\times\)
\(2\)
\(\div\)
\(h\)
In Worten
(die Symbole durch Wörter ersetzt)
④
\(a + b\): Summe aus oberer und unterer Grundseite
\(=\)
①
\(S\): Flächeninhalt des Trapezes
\(\times\)
②
\(2\): macht das Halbieren rückgängig
\(\div\)
③
\(h\): Höhe
Die Formel in Worten
①
Nehmen Sie den
\(S\): Flächeninhalt des Trapezes
②
multiplizieren Sie ihn mit
\(2\): macht das Halbieren rückgängig
③
teilen Sie durch die
\(h\): Höhe
④
und Sie erhalten die
\(a + b\): Summe aus oberer und unterer Grundseite
Einfaches Beispiel
Bei einem Trapez mit einem Flächeninhalt von 50 cm² und einer Höhe von 5 cm beträgt die Summe aus oberer und unterer Grundseite
\(a + b\): Summe aus oberer und unterer Grundseite
\(=\)
Flächeninhalt (50 cm²)
\(\times\)
macht das Halbieren rückgängig (2)
\(\div\)
Höhe (5 cm)
\(50 \times 2 \div 5 = 100 \div 5 = 20\)
Der Kerngedanke
Diese Formel liefert nur die Summe aus oberer und unterer Grundseite. Möchten Sie die obere Grundseite allein wissen, ziehen Sie die untere Grundseite von der Summe ab (Beispiel: Ist die Summe 20 cm und die untere Grundseite 12 cm, dann ist die obere Grundseite \(20 - 12 = 8\) cm).
Der Kniff: Nicht alles in einer Formel erledigen, sondern in zwei Schritten rechnen, erst die Summe bestimmen und dann subtrahieren.
Der Flächeninhalt eines Trapezes ist „(obere Grundseite + untere Grundseite) × Höhe ÷ 2“. Zwei gleiche Trapeze lassen sich zu einem Parallelogramm zusammensetzen, und daher stammt das „÷ 2“. Wer das verstanden hat, kann auch vom Flächeninhalt auf die Höhe oder eine Grundseite zurückrechnen, indem er dieselbe Formel einfach rückwärts durchläuft.
Symbole und Begriffe
Symbole
| \(S\) | Es | Der Flächeninhalt des Trapezes, den Sie bestimmen möchten. Auf dieser Seite steht \(S\) für den Flächeninhalt (von „Surface“); deutsche Schulbücher schreiben meist \(A\). Beides bedeutet dasselbe. |
| \(a\) | a | Die Länge der oberen Grundseite (einer der beiden parallelen Seiten). (Beispiel: Ist die obere Seite 8 cm lang, gilt \(a = 8\)) |
| \(b\) | be | Die Länge der unteren Grundseite (der anderen parallelen Seite). (Beispiel: Ist die untere Seite 12 cm lang, gilt \(b = 12\)) Deutsche Schulbücher nennen die beiden parallelen Seiten meist \(a\) und \(c\) und schreiben \(A = \frac{a + c}{2} \cdot h\); hier heißt die untere Seite \(b\), wie in der Zeichnung. |
| \(h\) | ha | Die Höhe, also der senkrechte Abstand zwischen der oberen und der unteren Grundseite. Der Buchstabe ist der Anfangsbuchstabe von „Höhe“. |
| \(\mathrm{cm}^2\) | Quadratzentimeter | Eine Flächeneinheit. Sie gibt an, wie viele Quadrate mit 1 cm Seitenlänge hineinpassen. Geben Sie die Längen in m ein, ist der Flächeninhalt in m², bei km in km². |
Begriffe
| Trapez | Ein Viereck, bei dem ein Paar gegenüberliegender Seiten parallel ist. Die beiden parallelen Seiten heißen Grundseiten, die beiden anderen Seiten Schenkel. |
| obere Grundseite | Eine der beiden parallelen Seiten eines Trapezes. Gemeint ist meist die oben gezeichnete Seite, aber welche Seite Sie „obere Grundseite“ nennen, der Flächeninhalt ist derselbe. |
| untere Grundseite | Die parallele Seite eines Trapezes, die nicht die obere Grundseite ist. Gemeint ist meist die unten gezeichnete Seite. |
| Höhe | Der geradlinig (senkrecht) gemessene Abstand zwischen der oberen und der unteren Grundseite. Beachten Sie, dass es nicht die Länge einer schrägen Seite (eines Schenkels) ist. |
| parallel | Zwei Geraden sind parallel, wenn sie sich auch bei beliebiger Verlängerung nie schneiden. Der senkrechte Abstand zwischen zwei parallelen Geraden ist überall gleich groß. |
| Parallelogramm | Ein Viereck, bei dem beide Paare gegenüberliegender Seiten parallel sind. Sein Flächeninhalt ist Grundseite × Höhe, und es erklärt, warum die Trapezformel durch 2 teilt. |
| gleichschenkliges Trapez | Ein Trapez, dessen beide Schenkel (schräge Seiten) gleich lang sind und das deshalb symmetrisch ist. Auch bei dieser besonderen Form ergibt sich der Flächeninhalt aus derselben Formel „(obere Grundseite + untere Grundseite) × Höhe ÷ 2“. |
Was Sie vorab wissen sollten
Hier steht, was hilfreich ist, damit Sie die Berechnung dieser Seite wirklich verstehen und nicht nur den Knopf drücken.
Wenn Sie nicht weiterkommen, ist es der schnellste Weg, zu diesen Themen zurückzugehen.
| Was ein Flächeninhalt ist, und der Flächeninhalt eines Rechtecks (Klasse 3–4, 8–10 Jahre) |
|
| Senkrechte und parallele Geraden (Klasse 4–5, 9–11 Jahre) |
|
| Flächeninhalt von Parallelogrammen und Dreiecken (Klasse 6, 11–12 Jahre) |
|
| Multiplikation und Division von Dezimalzahlen (Klasse 5–6, 10–12 Jahre) |
|
| Eine unbekannte Zahl in einer Gleichung finden (Klasse 3–4, 8–10 Jahre) |
|
Mit Excel berechnen
Kopieren Sie die gesamte Tabelle unten und fügen Sie sie in Zelle A1 von Excel ein. Sie funktioniert unverändert.
Tabelle zur Berechnung des Flächeninhalts eines Trapezes
| Obere Grundseite a | 8 |
| Untere Grundseite b | 12 |
| Höhe h | 5 |
| Flächeninhalt des Trapezes S | =(B1+B2)*B3/2 |
Tabelle zur Berechnung der Höhe
| Flächeninhalt des Trapezes S | 50 |
| Obere Grundseite a | 8 |
| Untere Grundseite b | 12 |
| Höhe h | =B1*2/(B2+B3) |
Tabelle zur Berechnung der Summe der Grundseiten
| Flächeninhalt des Trapezes S | 50 |
| Höhe h | 5 |
| Summe der Grundseiten a+b | =B1*2/B2 |
Nach dem Einfügen sind die oberen Zeilen Ihre Eingaben, und die letzte Zeile wird automatisch berechnet.
„*“ ist die Multiplikation und „/“ die Division. „=(B1+B2)*B3/2“ bedeutet „(B1 plus B2) × B3 ÷ 2“.
In der ersten Tabelle zeigt B4 zum Beispiel 50 (bei einer oberen Grundseite von 8, einer unteren Grundseite von 12 und einer Höhe von 5). Ersetzen Sie einfach die Eingaben durch Ihre eigenen Zahlen.
„*“ ist die Multiplikation und „/“ die Division. „=(B1+B2)*B3/2“ bedeutet „(B1 plus B2) × B3 ÷ 2“.
In der ersten Tabelle zeigt B4 zum Beispiel 50 (bei einer oberen Grundseite von 8, einer unteren Grundseite von 12 und einer Höhe von 5). Ersetzen Sie einfach die Eingaben durch Ihre eigenen Zahlen.
Mit Google Tabellen berechnen
Kopieren Sie die gesamte Tabelle unten und fügen Sie sie in Zelle A1 von Google Tabellen ein. Sie funktioniert unverändert.
Tabelle zur Berechnung des Flächeninhalts eines Trapezes
| Obere Grundseite a | 8 |
| Untere Grundseite b | 12 |
| Höhe h | 5 |
| Flächeninhalt des Trapezes S | =(B1+B2)*B3/2 |
Tabelle zur Berechnung der Höhe
| Flächeninhalt des Trapezes S | 50 |
| Obere Grundseite a | 8 |
| Untere Grundseite b | 12 |
| Höhe h | =B1*2/(B2+B3) |
Tabelle zur Berechnung der Summe der Grundseiten
| Flächeninhalt des Trapezes S | 50 |
| Höhe h | 5 |
| Summe der Grundseiten a+b | =B1*2/B2 |
Es funktionieren dieselben Formeln wie in Excel. Kopieren Sie die ganze Tabelle, fügen Sie sie in Zelle A1 ein und ersetzen Sie die Eingaben durch die Längen Ihres eigenen Trapezes.
Mit Python berechnen
top_base = 8 # obere Grundseite
bottom_base = 12 # untere Grundseite
height = 5 # Höhe
area = (top_base + bottom_base) * height / 2 # Flächeninhalt des Trapezes
print(f"Flächeninhalt des Trapezes: {area}")
# Rückwärts gerechnet: Höhe aus Flächeninhalt und den beiden Grundseiten
height_from_area = area * 2 / (top_base + bottom_base)
print(f"Höhe (zurückgerechnet): {height_from_area}")
Läuft nur mit der Standardbibliothek. Ersetzen Sie die ersten drei Zahlen durch die Längen Ihres eigenen Trapezes und starten Sie den Code. Sind alle Längen in derselben Einheit angegeben, ergibt sich der Flächeninhalt in dieser Einheit zum Quadrat (etwa cm²).
Die Formel in LaTeX und anderen mathematischen Schreibweisen (zum Kopieren)
Formel für den Flächeninhalt eines Trapezes
S = (a + b) × h ÷ 2
S = \frac{(a + b) \times h}{2}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>S</mi>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow>
<mo>(</mo><mi>a</mi><mo>+</mo><mi>b</mi><mo>)</mo>
<mo>×</mo>
<mi>h</mi>
</mrow>
<mn>2</mn>
</mfrac>
</mrow>
</math>
S = ((a + b) xx h) / 2
(a + b)*h/2
S := (a + b)*h/2;
S = (a + b)*h/2;
S = ((a + b) × h)/2
Formel für die Höhe (Zurückrechnen vom Flächeninhalt)
h = S × 2 ÷ (a + b)
h = \frac{2S}{a + b}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>h</mi>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow><mn>2</mn><mi>S</mi></mrow>
<mrow><mi>a</mi><mo>+</mo><mi>b</mi></mrow>
</mfrac>
</mrow>
</math>
h = (2S) / (a + b)
2*S/(a + b)
h := 2*S/(a + b);
h = 2*S/(a + b);
h = (2S)/(a + b)
Formel für die Summe der Grundseiten (Zurückrechnen vom Flächeninhalt)
a + b = S × 2 ÷ h
a + b = \frac{2S}{h}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mrow><mi>a</mi><mo>+</mo><mi>b</mi></mrow>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow><mn>2</mn><mi>S</mi></mrow>
<mi>h</mi>
</mfrac>
</mrow>
</math>
a + b = (2S) / h
2*S/h
sumOfBases := 2*S/h;
sum_of_bases = 2*S/h;
a + b = (2S)/h
Die Berechnung von ChatGPT ausführen lassen
Sie sind ein Assistent für Rechenaufgaben in der Mathematik. Führen Sie die folgende Berechnung aus, indem Sie tatsächlich Python-Code ausführen, und stützen Sie Ihre Antwort ausschließlich auf die Zahlen aus dem Ergebnis der Ausführung (rechnen Sie nicht im Kopf und schätzen Sie nicht). Ein Trapez hat eine obere Grundseite von 8 cm, eine untere Grundseite von 12 cm und eine Höhe von 5 cm. Berechnen Sie: 1. Den Flächeninhalt dieses Trapezes (Formel: (obere Grundseite + untere Grundseite) × Höhe ÷ 2) 2. Angenommen, Sie kennen nur den Flächeninhalt aus Schritt 1 und die beiden Grundseiten: die daraus zurückgerechnete Höhe (prüfen Sie, dass sie mit der ursprünglichen Höhe übereinstimmt) Zeigen Sie die verwendeten Formeln und die Zahlen aus dem Ergebnis der Ausführung.
Anleitung
-
1Zahlen eingebenGeben Sie die Zahlen, mit denen Sie rechnen möchten, in die Eingabefelder ein
-
2BerechnenKlicken Sie auf die Schaltfläche „Berechnen“
-
3Ergebnis ablesenDas Ergebnis erscheint sofort. Auf derselben Seite finden Sie auch den Rechenweg und die Erklärung der Formel
Die Vorteile von DataChef
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Kein Fachwissen nötig – einfach und intuitiv
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Sicher und geschützt
Stark verschlüsselte Verbindung (SSL)
Die Datei wird nach dem Download automatisch gelöscht
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Keine Wasserzeichen
Kein Wasserzeichen
Keine Quellenangabe nötig
Keine Quellenangabe nötig
Kommerzielle Nutzung möglich
Kostenlos auch für die kommerzielle Nutzung
Keine vorherige Genehmigung erforderlich
Keine vorherige Genehmigung erforderlich
Verwandte Funktionen
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