Geben Sie die beiden parallelen Seiten (Grundseiten) und die Höhe des Trapezes ein. Die Fläche wird mit der Formel „(obere Grundseite + untere Grundseite) × Höhe : 2“ berechnet, dazu sehen Sie den Rechenweg.
Geben Sie alle drei Längen in derselben Einheit ein (z. B. alle in cm). Die Fläche erhalten Sie dann in dieser Einheit zum Quadrat (z. B. cm²).
Ergebnis und Figur
Geben Sie links die beiden parallelen Seiten und die Höhe ein und klicken Sie auf „Berechnen“. Das Ergebnis erscheint dann hier.
Inhaltsverzeichnis
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Das können Sie auf dieser Seite
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Wofür braucht man diese Berechnung?
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Anleitung
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Formeln und Abbildungen
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Symbole und Begriffe
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Das sollten Sie vorher wissen
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So berechnen Sie es in Excel
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So berechnen Sie es in Google Tabellen
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So berechnen Sie es in Python
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So schreiben Sie die Formel in LaTeX und anderen Formelsprachen (zum Kopieren)
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So lassen Sie ChatGPT rechnen
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Die Vorteile von DataChef
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Verwandte Funktionen
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Alle Rechner von NumberChef
Das können Sie auf dieser Seite
- Die beiden Grundseiten und die Höhe eingeben – und Sie kennen sofort den Flächeninhalt des Trapezes nach der Formel „(obere Grundseite + untere Grundseite) × Höhe : 2“
- Der Rechenweg mit Ihren Zahlen wird mit angezeigt – ideal, um Hausaufgaben oder Klassenarbeiten zu kontrollieren
- Auch Längen mit Dezimalstellen (z. B. 2,5 cm) sind möglich
- Dazu: verständliche Erklärung der Formel (warum durch 2 geteilt wird), Formeln zum Zurückrechnen von Höhe und Grundseiten aus der Fläche sowie Formeln zum Kopieren für Excel, Google Tabellen und Python
Geben Sie alle drei Längen in derselben Einheit ein (z. B. alle in cm). Die Fläche erhalten Sie dann in dieser Einheit zum Quadrat (z. B. cm²).
Wofür braucht man diese Berechnung?
Größe von Grundstück oder Feld abschätzen (Immobilien und Landwirtschaft)
Ist ein Grundstück an der Straße schmaler als hinten, können Sie es als Trapez betrachten und die Fläche abschätzen. Bei 12 m Breite an der Straße, 18 m an der Rückseite und 20 m Tiefe ergibt sich \((12 + 18) \times 20 \div 2 = 300\,\mathrm{m^2}\).
Die Grundstücksfläche ist die Basis für Kaufpreis und Grundsteuer, beim Feld für die Menge an Saatgut und Dünger – eine der Flächenformeln, die man im Alltag am häufigsten braucht (die amtliche Vermessung arbeitet natürlich genauer).
Erd- oder Wassermenge aus dem Querschnitt von Graben oder Deich (Tiefbau)
Gräben und Deiche haben meist einen trapezförmigen Querschnitt. Ein Graben mit 1,2 m Breite oben, 0,6 m an der Sohle und 0,5 m Tiefe hat die Querschnittsfläche \((1{,}2 + 0{,}6) \times 0{,}5 \div 2 = 0{,}45\,\mathrm{m^2}\). Mal der Länge des Grabens ergibt das, wie viel Erde auszuheben ist oder wie viel Wasser hineinpasst (bei 100 m Länge 45 m³).
So werden täglich Bauvorhaben an Straßen, Flüssen und Talsperren kalkuliert.
Material für Dach oder Wand abschätzen (Bau und Heimwerken)
Trapezförmige Flächen gibt es am Haus überall, etwa die Seiten eines Walmdachs. Eine Dachfläche mit 3 m oben, 9 m unten und 4 m Breite entlang der Schräge hat \((3 + 9) \times 4 \div 2 = 24\,\mathrm{m^2}\).
Wie viele Quadratmeter Farbe, Dachziegel oder Fassadenplatten Sie brauchen, hängt an dieser Fläche – sie steckt in jedem Handwerkerangebot und schützt beim Heimwerken vor Fehlkäufen.
Zurückgelegte Strecke aus dem Geschwindigkeitsdiagramm (Physik und Datenanalyse)
Beschleunigt ein Fahrzeug gleichmäßig, bildet das Zeit-Geschwindigkeit-Diagramm ein Trapez, und seine Fläche ist die zurückgelegte Strecke. Wer 0,5 Stunden lang gleichmäßig von 40 km/h auf 60 km/h beschleunigt, legt \((40 + 60) \times 0{,}5 \div 2 = 25\) km zurück.
Die Fläche unter einem Graphen mit Trapezen zu bestimmen, ist eine Grundidee der Physik in der Oberstufe – und in der numerischen Mathematik als „Trapezregel“ (numerische Integration) im Einsatz.
Formeln und Abbildungen
Formel für den Flächeninhalt eines Trapezes
Abbildung
Mathematische Schreibweise
(die übliche Formel)
\(S\)
\(=\)
\((\)
\(a\)
\(+\)
\(b\)
\()\)
\(\times\)
\(h\)
\(\div\)
\(2\)
In Worten
(Symbole durch Wörter ersetzt)
⑤
\(S\): Flächeninhalt des Trapezes
\(=\)
\((\)
①
\(a\): obere Grundseite
\(+\)
②
\(b\): untere Grundseite
\()\)
\(\times\)
③
\(h\): Höhe
\(\div\)
④
\(2\): halbiert
Die Formel in Worten
①
Addiert man die
\(a\): obere Grundseite
②
und die
\(b\): untere Grundseite
③
multipliziert mit der
\(h\): Höhe
④
und teilt durch
\(2\): halbiert
⑤
erhält man den
\(S\): Flächeninhalt des Trapezes
Einfaches Beispiel
Ein Trapez mit den Grundseiten 8 cm und 12 cm und der Höhe 5 cm hat den Flächeninhalt
\(S\): Flächeninhalt des Trapezes
\(=\)
\((\)
obere Grundseite (8 cm)
\(+\)
untere Grundseite (12 cm)
\()\)
\(\times\)
Höhe (5 cm)
\(\div\)
halbiert (2)
\((8 + 12) \times 5 \div 2 = 20 \times 5 \div 2 = 100 \div 2 = 50\)
Der Grundgedanke
Warum wird am Ende durch 2 geteilt? Nehmen Sie ein zweites, gleiches Trapez, drehen Sie es auf den Kopf und legen Sie es an das erste an. Zusammen ergeben beide ein Parallelogramm mit der Grundseite (obere + untere Grundseite) und derselben Höhe. Seine Fläche ist Grundseite × Höhe, also (obere + untere Grundseite) × Höhe. Ein einzelnes Trapez ist die Hälfte davon – deshalb teilt man durch 2.
Das Ergebnis steht in der Längeneinheit zum Quadrat (bei Eingabe in cm also cm²). Welche der beiden parallelen Seiten Sie „oben“ nennen, ist egal: Nur die Reihenfolge der Addition ändert sich, die Fläche bleibt gleich.
Formel für die Höhe (aus der Fläche zurückrechnen)
Abbildung
Mathematische Schreibweise
(die übliche Formel)
\(h\)
\(=\)
\(S\)
\(\times\)
\(2\)
\(\div\)
\((\)
\(a\)
\(+\)
\(b\)
\()\)
In Worten
(Symbole durch Wörter ersetzt)
⑤
\(h\): Höhe
\(=\)
①
\(S\): Flächeninhalt des Trapezes
\(\times\)
②
\(2\): macht das Halbieren rückgängig
\(\div\)
\((\)
③
\(a\): obere Grundseite
\(+\)
④
\(b\): untere Grundseite
\()\)
Die Formel in Worten
①
Nimmt man den
\(S\): Flächeninhalt des Trapezes
②
mal
\(2\): macht das Halbieren rückgängig
(zurück zur Fläche des Parallelogramms vor dem Teilen durch 2)
③
und teilt durch die Summe aus
\(a\): obere Grundseite
④
und
\(b\): untere Grundseite
⑤
erhält man die
\(h\): Höhe
Einfaches Beispiel
Ein Trapez mit 50 cm² Flächeninhalt und den Grundseiten 8 cm und 12 cm hat die Höhe
\(h\): Höhe
\(=\)
Flächeninhalt (50 cm²)
\(\times\)
macht das Halbieren rückgängig (2)
\(\div\)
\((\)
obere Grundseite (8 cm)
\(+\)
untere Grundseite (12 cm)
\()\)
\(50 \times 2 \div (8 + 12) = 100 \div 20 = 5\)
Der Grundgedanke
Hier wird die Flächenformel rückwärts gelesen. Das „: 2“ am Ende machen Sie mit „· 2“ rückgängig, das „× Höhe“ mit „: (obere + untere Grundseite)“ – übrig bleibt die Höhe.
In Klassenarbeiten kommt diese Aufgabe oft so vor: „Flächeninhalt und beide Grundseiten sind gegeben. Berechne die Höhe.“
Formel für die Summe der Grundseiten (aus der Fläche zurückrechnen)
Abbildung
Mathematische Schreibweise
(die übliche Formel)
\(a + b\)
\(=\)
\(S\)
\(\times\)
\(2\)
\(\div\)
\(h\)
In Worten
(Symbole durch Wörter ersetzt)
④
\(a + b\): Summe der beiden Grundseiten
\(=\)
①
\(S\): Flächeninhalt des Trapezes
\(\times\)
②
\(2\): macht das Halbieren rückgängig
\(\div\)
③
\(h\): Höhe
Die Formel in Worten
①
Nimmt man den
\(S\): Flächeninhalt des Trapezes
②
mal
\(2\): macht das Halbieren rückgängig
③
und teilt durch die
\(h\): Höhe
④
erhält man die
\(a + b\): Summe der beiden Grundseiten
Einfaches Beispiel
Bei einem Trapez mit 50 cm² Flächeninhalt und 5 cm Höhe beträgt die Summe der beiden Grundseiten
\(a + b\): Summe der beiden Grundseiten
\(=\)
Flächeninhalt (50 cm²)
\(\times\)
macht das Halbieren rückgängig (2)
\(\div\)
Höhe (5 cm)
\(50 \times 2 \div 5 = 100 \div 5 = 20\)
Der Grundgedanke
Diese Formel liefert nur die Summe der beiden Grundseiten. Für die obere Grundseite allein ziehen Sie die untere von der Summe ab (z. B. Summe 20 cm, untere Grundseite 12 cm, also obere Grundseite \(20 - 12 = 8\) cm).
Der Trick: nicht alles in einer Formel erledigen, sondern in zwei Schritten denken – erst die Summe, dann subtrahieren.
Den Flächeninhalt eines Trapezes berechnen Sie mit „(obere Grundseite + untere Grundseite) × Höhe : 2“. Zwei gleiche Trapeze ergeben zusammen ein Parallelogramm – daher kommt das „: 2“. Wer das verstanden hat, rechnet auch Höhe oder Grundseiten aus der Fläche zurück, indem er dieselbe Formel rückwärts liest.
Symbole und Begriffe
Symbole
| \(S\) | S | Der gesuchte Flächeninhalt des Trapezes. Diese Seite schreibt \(S\); in deutschen Schulbüchern steht meist \(A\). Beides meint dasselbe. |
| \(a\) | a | Die Länge der oberen Grundseite (einer der beiden parallelen Seiten). Beispiel – ist die obere Seite 8 cm lang, ist \(a = 8\). |
| \(b\) | b | Die Länge der unteren Grundseite (der anderen parallelen Seite). Beispiel – ist die untere Seite 12 cm lang, ist \(b = 12\). Achtung – in deutschen Schulbüchern heißen die parallelen Seiten meist \(a\) und \(c\), die Schenkel \(b\) und \(d\); die Formel lautet dort \(A = \frac{a + c}{2} \cdot h\). |
| \(h\) | h | Die Höhe – der senkrechte Abstand zwischen den beiden Grundseiten. |
| \(\mathrm{cm}^2\) | Quadratzentimeter | Eine Flächeneinheit – wie viele Quadrate mit 1 cm Seitenlänge hineinpassen. Geben Sie die Längen in m ein, erhalten Sie m², bei km entsprechend km². |
Begriffe
| Trapez | Ein Viereck, bei dem (mindestens) ein Paar gegenüberliegender Seiten parallel ist. Die beiden parallelen Seiten heißen Grundseiten, die beiden anderen Schenkel. |
| Grundseite | Eine der beiden parallelen Seiten des Trapezes. Meist nennt man die in der Zeichnung untere Seite die untere und die andere die obere Grundseite. Welche Sie wie nennen, ändert an der Fläche nichts. |
| Schenkel | Die beiden nicht parallelen, meist schrägen Seiten eines Trapezes. Ihre Länge braucht man für die Fläche nicht – nur für den Umfang. |
| Höhe | Der Abstand zwischen den beiden Grundseiten, senkrecht gemessen. Achtung – sie ist nicht die Länge eines schrägen Schenkels. |
| parallel | Zwei Geraden sind parallel, wenn sie sich nie schneiden, egal wie weit man sie verlängert. Der senkrechte Abstand zwischen zwei Parallelen ist überall gleich. |
| Parallelogramm | Ein Viereck, bei dem beide Paare gegenüberliegender Seiten parallel sind. Seine Fläche ist Grundseite × Höhe – damit erklärt man, warum die Trapezformel durch 2 teilt. |
| gleichschenkliges Trapez | Ein Trapez mit zwei gleich langen Schenkeln, also achsensymmetrisch. Auch hier gilt dieselbe Formel „(obere + untere Grundseite) × Höhe : 2“. |
Das sollten Sie vorher wissen
Damit Sie die Berechnung auf dieser Seite nicht nur ausführen, sondern auch verstehen, hilft Ihnen dieses Vorwissen.
Wenn Sie nicht weiterkommen, ist es am schnellsten, diese Themen zu wiederholen.
| Was Flächeninhalt bedeutet, Fläche des Rechtecks (Klasse 4–5, 9–11 Jahre) |
|
| Senkrecht und parallel (Klasse 5, 10–11 Jahre) |
|
| Fläche von Parallelogramm und Dreieck (Klasse 6–7, 11–13 Jahre) |
|
| Dezimalzahlen multiplizieren und dividieren (Klasse 6, 11–12 Jahre) |
|
| Platzhalteraufgaben lösen (Klasse 3–4, 8–10 Jahre) |
|
So berechnen Sie es in Excel
Kopieren Sie die ganze Tabelle und fügen Sie sie in Zelle A1 von Excel ein – dann funktioniert sie direkt.
Tabelle für den Flächeninhalt eines Trapezes
| Obere Grundseite a | 8 |
| Untere Grundseite b | 12 |
| Höhe h | 5 |
| Flächeninhalt des Trapezes S | =(B1+B2)*B3/2 |
Tabelle für die Höhe
| Flächeninhalt des Trapezes S | 50 |
| Obere Grundseite a | 8 |
| Untere Grundseite b | 12 |
| Höhe h | =B1*2/(B2+B3) |
Tabelle für die Summe der Grundseiten
| Flächeninhalt des Trapezes S | 50 |
| Höhe h | 5 |
| Summe der Grundseiten a+b | =B1*2/B2 |
Nach dem Einfügen sind die oberen Zeilen die Eingaben, die letzte Zeile wird automatisch berechnet.
„*“ steht für Malnehmen, „/“ für Teilen. „=(B1+B2)*B3/2“ bedeutet „(B1 plus B2) × B3 : 2“.
In der ersten Tabelle erscheint in B4 zum Beispiel 50 (für die Grundseiten 8 und 12 und die Höhe 5). Ersetzen Sie einfach die Eingaben durch Ihre eigenen Zahlen.
„*“ steht für Malnehmen, „/“ für Teilen. „=(B1+B2)*B3/2“ bedeutet „(B1 plus B2) × B3 : 2“.
In der ersten Tabelle erscheint in B4 zum Beispiel 50 (für die Grundseiten 8 und 12 und die Höhe 5). Ersetzen Sie einfach die Eingaben durch Ihre eigenen Zahlen.
So berechnen Sie es in Google Tabellen
Kopieren Sie die ganze Tabelle und fügen Sie sie in Zelle A1 von Google Tabellen ein – dann funktioniert sie direkt.
Tabelle für den Flächeninhalt eines Trapezes
| Obere Grundseite a | 8 |
| Untere Grundseite b | 12 |
| Höhe h | 5 |
| Flächeninhalt des Trapezes S | =(B1+B2)*B3/2 |
Tabelle für die Höhe
| Flächeninhalt des Trapezes S | 50 |
| Obere Grundseite a | 8 |
| Untere Grundseite b | 12 |
| Höhe h | =B1*2/(B2+B3) |
Tabelle für die Summe der Grundseiten
| Flächeninhalt des Trapezes S | 50 |
| Höhe h | 5 |
| Summe der Grundseiten a+b | =B1*2/B2 |
Dieselben Formeln wie in Excel funktionieren unverändert. Kopieren Sie die ganze Tabelle, fügen Sie sie in Zelle A1 ein und ersetzen Sie die Eingaben durch die Längen Ihres eigenen Trapezes.
So berechnen Sie es in Python
top_base = 8 # obere Grundseite
bottom_base = 12 # untere Grundseite
height = 5 # Höhe
area = (top_base + bottom_base) * height / 2 # Flächeninhalt des Trapezes
print(f"Flächeninhalt des Trapezes: {area}")
# Zurückrechnen: die Höhe aus der Fläche und den beiden Grundseiten
height_from_area = area * 2 / (top_base + bottom_base)
print(f"Höhe (zurückgerechnet): {height_from_area}")
Läuft nur mit der Standardbibliothek. Ersetzen Sie die ersten drei Zahlen durch die Längen Ihres Trapezes und führen Sie den Code aus. Stehen alle Längen in derselben Einheit, erhalten Sie die Fläche in dieser Einheit zum Quadrat (z. B. cm²).
So schreiben Sie die Formel in LaTeX und anderen Formelsprachen (zum Kopieren)
Formel für den Flächeninhalt eines Trapezes
S = (a + b) × h ÷ 2
S = \frac{(a + b) \times h}{2}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>S</mi>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow>
<mo>(</mo><mi>a</mi><mo>+</mo><mi>b</mi><mo>)</mo>
<mo>×</mo>
<mi>h</mi>
</mrow>
<mn>2</mn>
</mfrac>
</mrow>
</math>
S = ((a + b) xx h) / 2
(a + b)*h/2
S := (a + b)*h/2;
S = (a + b)*h/2;
S = ((a + b) × h)/2
Formel für die Höhe (aus der Fläche zurückrechnen)
h = S × 2 ÷ (a + b)
h = \frac{2S}{a + b}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>h</mi>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow><mn>2</mn><mi>S</mi></mrow>
<mrow><mi>a</mi><mo>+</mo><mi>b</mi></mrow>
</mfrac>
</mrow>
</math>
h = (2S) / (a + b)
2*S/(a + b)
h := 2*S/(a + b);
h = 2*S/(a + b);
h = (2S)/(a + b)
Formel für die Summe der Grundseiten (aus der Fläche zurückrechnen)
a + b = S × 2 ÷ h
a + b = \frac{2S}{h}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mrow><mi>a</mi><mo>+</mo><mi>b</mi></mrow>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow><mn>2</mn><mi>S</mi></mrow>
<mi>h</mi>
</mfrac>
</mrow>
</math>
a + b = (2S) / h
2*S/h
sumOfBases := 2*S/h;
sum_of_bases = 2*S/h;
a + b = (2S)/h
So lassen Sie ChatGPT rechnen
Sie sind ein Rechenassistent für Mathematik. Führen Sie die folgende Berechnung aus, indem Sie tatsächlich Python-Code ausführen, und stützen Sie Ihre Antwort nur auf die Zahlen aus dem Ausführungsergebnis (antworten Sie nicht durch Kopfrechnen oder Schätzen). Ein Trapez hat die obere Grundseite 8 cm, die untere Grundseite 12 cm und die Höhe 5 cm. Berechnen Sie: 1. den Flächeninhalt dieses Trapezes (Formel: (obere Grundseite + untere Grundseite) × Höhe : 2) 2. die Höhe, zurückgerechnet aus dem Flächeninhalt aus Schritt 1 und den beiden Grundseiten (prüfen Sie, ob sie mit der ursprünglichen Höhe übereinstimmt) Zeigen Sie die verwendeten Formeln und die Zahlen aus dem Ausführungsergebnis.
Anleitung
-
1Werte eingebenTragen Sie die Zahlen, mit denen Sie rechnen möchten, in die Eingabefelder ein
-
2BerechnenKlicken Sie auf die Schaltfläche „Berechnen“
-
3Ergebnis ansehenDas Ergebnis erscheint sofort. Auf derselben Seite finden Sie auch den Rechenweg und die Erklärung der Formel
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Keine vorherige Genehmigung erforderlich
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Verwandte Funktionen
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