Geben Sie die ganze Zahl ein, die Sie zerlegen möchten. Sie erhalten das Produkt der Primfaktoren, die Potenzschreibweise, den Rechenweg beim fortgesetzten Teilen und die Anzahl der Teiler auf einen Blick.
Geben Sie eine ganze Zahl von 2 bis 100 Billionen (100.000.000.000.000) ein.
Ergebnis
Geben Sie links eine ganze Zahl ein und klicken Sie auf „Berechnen“. Das Ergebnis erscheint dann hier.
Inhaltsverzeichnis
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Das können Sie auf dieser Seite
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Wofür braucht man diese Berechnung?
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Anleitung
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Formel
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Symbole und Begriffe
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Das sollten Sie vorher wissen
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So berechnen Sie es in Excel
-
So berechnen Sie es in Google Tabellen
-
So berechnen Sie es in Python
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So schreiben Sie die Formel in LaTeX und anderen Formelsprachen (zum Kopieren)
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So lassen Sie ChatGPT rechnen
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Die Vorteile von DataChef
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Verwandte Funktionen
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Alle Rechner von NumberChef
Das können Sie auf dieser Seite
- Geben Sie eine ganze Zahl ab 2 ein – die Primfaktorzerlegung steht sofort als Produkt da, etwa \(2 \times 2 \times 5 \times 5\)
- Auch die Potenzschreibweise (\(2^{2} \times 5^{2}\)) und der Rechenweg beim fortgesetzten Teilen werden angezeigt
- Als Anwendung der Primfaktorzerlegung wird auch gezählt, wie viele Teiler die Zahl hat
- Geben Sie eine Primzahl ein (eine Zahl, die sich nicht weiter zerlegen lässt), meldet der Rechner das – so funktioniert er auch als Primzahltest
- Außerdem auf dieser Seite: eine leicht verständliche Erklärung der Formeln und Formeln zum Kopieren für Excel, Google Tabellen und Python
Möglich sind ganze Zahlen von 2 bis 100 Billionen (100.000.000.000.000). Die 1 ist eine Sonderzahl, weder Primzahl noch zusammengesetzte Zahl, und hat deshalb keine Primfaktorzerlegung.
Wofür braucht man diese Berechnung?
Brüche kürzen – die Grundlage, um den ggT zu finden (Schule und Alltag)
Auch ein großer Bruch wie \(\frac{84}{126}\) lässt sich mit der Primfaktorzerlegung Schritt für Schritt kürzen. \(84 = 2^{2} \times 3 \times 7\) und \(126 = 2 \times 3^{2} \times 7\), der gemeinsame Teil \(2 \times 3 \times 7 = 42\) ist also der größte gemeinsame Teiler. Teilen Sie beide durch 42, erhalten Sie \(\frac{2}{3}\).
Kürzen, Hauptnenner finden, das kleinste gemeinsame Vielfache bestimmen – all das baut auf der Primfaktorzerlegung auf. Wer sie beherrscht, durchschaut jede Bruchrechnung leichter.
RSA-Verschlüsselung schützt Online-Shopping und Online-Banking
Die RSA-Verschlüsselung, die etwa Kreditkartennummern schützt, beruht darauf, dass die Zerlegung einer sehr großen Zahl selbst für Computer enorm lange dauert. Die Zerlegung einer 232-stelligen Zahl (RSA-768) brauchte tatsächlich rund zwei Jahre mit Hunderten von Rechnern.
Eine Zahl um 100 Billionen (15 Stellen) zerlegt ein Computer im Nu, doch mit jeder weiteren Stelle wächst der Aufwand rasant. Genau dieser Unterschied hält das Internet sicher.
Zahnräder und wiederkehrende Zyklen auslegen (Technik)
Ein Zahnrad mit 12 Zähnen und eines mit 18 Zähnen stehen wieder in der Ausgangsstellung, wenn 36 Zähne vorbeigelaufen sind – das kleinste gemeinsame Vielfache von \(12 = 2^{2} \times 3\) und \(18 = 2 \times 3^{2}\) (3 Umdrehungen des kleinen und 2 des großen Rads).
Die Primfaktorzerlegung ist ein zuverlässiges Werkzeug für das kleinste gemeinsame Vielfache. Deshalb nutzt man sie bei Konstruktionen, die den Verschleiß von Zahnrädern gleichmäßig verteilen, und wenn man ausrechnet, wann mehrere Zyklen zusammenfallen.
Zählen, wie man eine Gruppe gleichmäßig aufteilen kann (Mannschaften und Klassen)
Auf wie viele Arten lassen sich 36 Personen in gleich große Gruppen aufteilen? Aus \(36 = 2^{2} \times 3^{2}\) folgt die Anzahl der Teiler \((2+1) \times (2+1) = 9\) – es gibt also 9 Möglichkeiten, von „36 Gruppen zu je 1“ bis „1 Gruppe zu 36“.
Ob Mannschaften, Fliesen oder Produkte im Karton: Immer wenn etwas glatt aufgehen soll, zählen Sie die Möglichkeiten, ohne alle aufzulisten.
Periodische Zikaden – Primzahlen in der Natur
Im Osten der USA kommen manche Zikaden alle 13 oder alle 17 Jahre gleichzeitig aus dem Boden (periodische Zikaden). Ein Zyklus mit Primzahllänge fällt selten mit anderen Zyklen zusammen. 13-Jahres-Zikaden und ein Fressfeind mit 12-Jahres-Zyklus treffen zum Beispiel nur alle 156 Jahre im selben Jahr aufeinander, ihrem kleinsten gemeinsamen Vielfachen.
Eine verbreitete Hypothese besagt, dass ihnen der Primzahl-Zyklus beim Überleben geholfen hat. Wie selten die Zyklen zusammenfallen, können Sie mit der Primfaktorzerlegung selbst nachrechnen.
Formel
Primfaktorzerlegung (eine Zahl als Produkt aus Primzahlen schreiben)
Mathematische Schreibweise
(die übliche Formel)
\(n\)
\(=\)
\(p_1 \times p_2 \times \cdots \times p_k\)
In Worten
(Symbole durch Wörter ersetzt)
①
\(n\): Ausgangszahl
\(=\)
②
Produkt der Primfaktoren \(p_1, p_2, \ldots, p_k\)
Die Formel in Worten
①
Die
\(n\): Ausgangszahl
lässt sich – bis auf die Reihenfolge der Faktoren – auf genau eine Weise als
②
Produkt der Primfaktoren \(p_1, p_2, \ldots, p_k\)
schreiben
Einfaches Beispiel
Zerlegt man 100 durch fortgesetztes Teilen mit den kleinsten Primzahlen zuerst (100 : 2 = 50, 50 : 2 = 25, 25 : 5 = 5), ergibt sich
Ausgangszahl (100)
\(=\)
Produkt der Primfaktoren (2 × 2 × 5 × 5)
\(100 = 2 \times 2 \times 5 \times 5\)
Der Grundgedanke
Primzahlen (2, 3, 5, 7, 11, …) haben außer 1 und sich selbst keine Teiler. Sie sind die Bausteine der ganzen Zahlen – Teile, die sich nicht weiter zerlegen lassen. Die Primfaktorzerlegung zerlegt eine ganze Zahl in diese Bausteine, und für jede ganze Zahl ab 2 kommt bis auf die Reihenfolge immer dasselbe heraus (Fundamentalsatz der Arithmetik).
Von Hand gehen Sie am sichersten so vor: der Reihe nach durch die kleinsten Primzahlen teilen (2 → 3 → 5 → …), jede so oft, wie sie ohne Rest aufgeht (Probedivision). Ein Primfaktorbaum, bei dem Sie die Zahl in zwei beliebige Faktoren aufspalten und immer weiter verzweigen, liefert am Ende dieselben Primzahlen.
Potenzschreibweise (gleiche Primfaktoren zusammenfassen)
Mathematische Schreibweise
(die übliche Formel)
\(n\)
\(=\)
\(p\)
\(a\)
\(\times\)
\(q\)
\(b\)
\(\times \cdots\)
In Worten
(Symbole durch Wörter ersetzt)
⑤
\(n\): Ausgangszahl
\(=\)
①
\(p\): erster Primfaktor
②
\(a\): wie oft
\(\times\)
③
\(q\): zweiter Primfaktor
④
\(b\): wie oft
\(\times \cdots\)
Die Formel in Worten
①
Multiplizieren Sie den
\(p\): ersten Primfaktor
②
so oft mit sich selbst, wie
\(a\): die Hochzahl (Exponent)
angibt,
③
ebenso den
\(q\): zweiten Primfaktor
④
so oft, wie
\(b\): die Hochzahl (Exponent)
angibt, und multiplizieren Sie alles miteinander –
⑤
so erhalten Sie wieder die
\(n\): Ausgangszahl
Einfaches Beispiel
Fasst man die gleichen Primfaktoren in 100 = 2 × 2 × 5 × 5 zusammen und schreibt sie als Potenzen, ergibt sich
Ausgangszahl (100)
\(=\)
Primfaktor 2
2-mal
\(\times\)
Primfaktor 5
2-mal
\(100 = 2 \times 2 \times 5 \times 5 = 2^{2} \times 5^{2}\)
Der Grundgedanke
Kommt derselbe Primfaktor 2-mal oder öfter vor, fassen Sie ihn zusammen und schreiben klein oben rechts, wie oft er multipliziert wird (die Hochzahl oder der Exponent). Das nennt man Potenzschreibweise. Die Primfaktoren schreiben Sie der Größe nach, vom kleinsten zum größten.
Ein Primfaktor, der nur einmal vorkommt, bekommt keine Hochzahl. In \(360 = 2^{3} \times 3^{2} \times 5\) steht die 5 zum Beispiel ohne Hochzahl.
Anzahl der Teiler (eine Anwendung der Primfaktorzerlegung)
Mathematische Schreibweise
(die übliche Formel)
\(d\)
\(=\)
\((a+1)\)
\(\times\)
\((b+1)\)
In Worten
(Symbole durch Wörter ersetzt)
③
\(d\): Anzahl der Teiler
\(=\)
①
\((a+1)\): Exponent von \(p\) plus 1
\(\times\)
②
\((b+1)\): Exponent von \(q\) plus 1
Die Formel in Worten
①
Multiplizieren Sie
\((a+1)\): Exponent des Primfaktors \(p\) plus 1
②
mit
\((b+1)\): Exponent des Primfaktors \(q\) plus 1
③
– so erhalten Sie die
\(d\): Anzahl der Teiler
Einfaches Beispiel
Die Primfaktorzerlegung von 100 ist \(2^{2} \times 5^{2}\). Die Anzahl der Teiler von 100 ist also
\(d\): Anzahl der Teiler
\(=\)
Exponent von 2 plus 1 (2 + 1)
\(\times\)
Exponent von 5 plus 1 (2 + 1)
\((2+1) \times (2+1) = 3 \times 3 = 9\)
Der Grundgedanke
Schreiben Sie die Teiler von 100 tatsächlich auf, erhalten Sie 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50 und 100 – also 9 Teiler, genau wie die Formel sagt.
Warum plus 1? Jeder Teiler von 100 entsteht, indem Sie den Primfaktor 2 null-, ein- oder zweimal nehmen (3 Möglichkeiten) und den Primfaktor 5 null-, ein- oder zweimal (3 Möglichkeiten) und beides multiplizieren. Weil auch „nullmal“ zählt, gibt es eine Möglichkeit mehr, als der Exponent angibt. Bei 3 oder mehr verschiedenen Primfaktoren multiplizieren Sie genauso alle Werte (Exponent + 1).
Die Primfaktorzerlegung schreibt eine ganze Zahl als Produkt aus lauter Primzahlen, und das Ergebnis ist eindeutig. Von Hand ist das fortgesetzte Teilen durch die kleinsten Primzahlen der sicherste Weg.
Symbole und Begriffe
Symbole
| \(n\) | n | Die ganze Zahl (ab 2), die Sie in Primfaktoren zerlegen möchten. (Beispiel 100) |
| \(p, q\) | p, q | Primfaktoren (Primzahlen, durch die sich \(n\) ohne Rest teilen lässt). Man schreibt sie der Größe nach. (Beispiel – die Primfaktoren von 100 sind 2 und 5) |
| \(p^{a}\) | p hoch a | Der Primfaktor \(p\), \(a\)-mal mit sich selbst multipliziert. Das kleine hochgestellte \(a\) ist der Exponent und bedeutet „\(a\)-mal multiplizieren“. (Beispiel \(2^{2} = 2 \times 2 = 4\)) |
| \(d\) | d | Die Anzahl der Teiler. Der Buchstabe kommt vom englischen „divisor“ (Teiler). (Beispiel – für 100 ist \(d = 9\)) |
Begriffe
| Primzahl | Eine ganze Zahl ab 2, die außer 1 und sich selbst keine Teiler hat – 2, 3, 5, 7, 11, 13, … 1 ist keine Primzahl, und 2 ist die einzige gerade Primzahl. |
| zusammengesetzte Zahl | Eine ganze Zahl ab 2, die keine Primzahl ist. Anders gesagt eine Zahl, die sich als Produkt aus 2 oder mehr Primzahlen bilden lässt (Beispiel 100 = 2 × 2 × 5 × 5). |
| Primfaktor | Eine Primzahl, durch die sich eine ganze Zahl ohne Rest teilen lässt. Die Primfaktoren von 100 sind 2 und 5. |
| Primfaktorzerlegung | Eine ganze Zahl als Produkt aus lauter Primzahlen schreiben. Das Ergebnis ist bis auf die Reihenfolge der Faktoren eindeutig. |
| Teiler | Eine ganze Zahl, durch die sich eine Zahl ohne Rest teilen lässt. 12 hat 6 Teiler, nämlich 1, 2, 3, 4, 6 und 12. |
| Exponent (Hochzahl) | Die kleine hochgestellte Zahl, die angibt, wie oft multipliziert wird. \(2^{3}\) bedeutet, die 2 dreimal zu multiplizieren (\(2 \times 2 \times 2 = 8\)). |
| Fundamentalsatz der Arithmetik | Der Satz, dass sich jede ganze Zahl ab 2 auf genau eine Weise als Produkt von Primzahlen schreiben lässt. Er ist der Grund, warum eine Primfaktorzerlegung nur ein Ergebnis hat. |
| fortgesetztes Teilen | Schriftliches Verfahren, bei dem man immer wieder durch kleine Primzahlen teilt. Links steht die Primzahl, durch die man teilt, darunter das Ergebnis; man hört auf, wenn das Ergebnis eine Primzahl ist. Multipliziert man alle Primzahlen links und das letzte Ergebnis, erhält man wieder die Ausgangszahl. In vielen Schulbüchern gibt es auch den Primfaktorbaum, der zu denselben Primzahlen führt. |
| Probedivision | Verfahren zur Zerlegung, bei dem man der Reihe nach mit den kleinsten Primzahlen 2, 3, 5, … prüft, ob die Zahl ohne Rest teilbar ist. Geht bis \(\sqrt{n}\) keine Division auf, ist die übrig gebliebene Zahl eine Primzahl. |
Das sollten Sie vorher wissen
Damit Sie die Rechnung auf dieser Seite wirklich verstehen und nicht nur auf den Knopf drücken, hilft Ihnen Folgendes.
Wenn Sie hängen bleiben, wiederholen Sie am besten diese Themen.
| Einmaleins und Teilen (Klasse 2–3, 7–9 Jahre) |
|
| Gerade und ungerade Zahlen, Teiler und Vielfache (Klasse 5, 10–11 Jahre) |
|
| Primzahlen und Primfaktorzerlegung (Klasse 5–6, 10–12 Jahre) |
|
| Potenzen und Exponenten (Klasse 5–6, 10–12 Jahre) |
|
So berechnen Sie es in Excel
Kopieren Sie die ganze Tabelle und fügen Sie sie in Zelle A1 von Excel ein – dann funktioniert sie direkt.
Tabelle zur Probe – das Produkt der Primfaktoren ergibt wieder die Ausgangszahl
| Primfaktor 1 | 2 |
| Primfaktor 2 | 2 |
| Primfaktor 3 | 5 |
| Primfaktor 4 | 5 |
| Ausgangszahl n | =B1*B2*B3*B4 |
Tabelle – aus der Potenzschreibweise die Ausgangszahl berechnen
| Primfaktor p | 2 |
| Exponent von p, a | 2 |
| Primfaktor q | 5 |
| Exponent von q, b | 2 |
| Ausgangszahl n | =B1^B2*B3^B4 |
Tabelle für die Anzahl der Teiler
| Exponent von p, a | 2 |
| Exponent von q, b | 2 |
| Anzahl der Teiler d | =(B1+1)*(B2+1) |
Excel hat keine Funktion, die eine Primfaktorzerlegung in einem Schritt erledigt. Diese Tabellen prüfen deshalb, ob eine Zerlegung stimmt. Die Zerlegung selbst machen Sie mit dem Rechner auf dieser Seite oder mit Python.
Die erste Tabelle prüft, ob das Produkt aller Primfaktoren wieder die Ausgangszahl ergibt. In B5 steht 2 × 2 × 5 × 5 = 100.
Die zweite Tabelle rechnet von der Potenzschreibweise (2² × 5²) aus. „^“ ist das Zeichen für eine Potenz (wie oft multipliziert wird). In B5 steht 100.
Die dritte Tabelle berechnet die Anzahl der Teiler. In B3 steht (2+1) × (2+1) = 9. Ersetzen Sie die Primfaktoren und Exponenten einfach durch Ihre eigenen Ergebnisse.
Die erste Tabelle prüft, ob das Produkt aller Primfaktoren wieder die Ausgangszahl ergibt. In B5 steht 2 × 2 × 5 × 5 = 100.
Die zweite Tabelle rechnet von der Potenzschreibweise (2² × 5²) aus. „^“ ist das Zeichen für eine Potenz (wie oft multipliziert wird). In B5 steht 100.
Die dritte Tabelle berechnet die Anzahl der Teiler. In B3 steht (2+1) × (2+1) = 9. Ersetzen Sie die Primfaktoren und Exponenten einfach durch Ihre eigenen Ergebnisse.
So berechnen Sie es in Google Tabellen
Kopieren Sie die ganze Tabelle und fügen Sie sie in Zelle A1 von Google Tabellen ein – dann funktioniert sie direkt.
Tabelle zur Probe – das Produkt der Primfaktoren ergibt wieder die Ausgangszahl
| Primfaktor 1 | 2 |
| Primfaktor 2 | 2 |
| Primfaktor 3 | 5 |
| Primfaktor 4 | 5 |
| Ausgangszahl n | =B1*B2*B3*B4 |
Tabelle – aus der Potenzschreibweise die Ausgangszahl berechnen
| Primfaktor p | 2 |
| Exponent von p, a | 2 |
| Primfaktor q | 5 |
| Exponent von q, b | 2 |
| Ausgangszahl n | =B1^B2*B3^B4 |
Tabelle für die Anzahl der Teiler
| Exponent von p, a | 2 |
| Exponent von q, b | 2 |
| Anzahl der Teiler d | =(B1+1)*(B2+1) |
Die Formeln aus Excel funktionieren unverändert. Kopieren Sie die ganze Tabelle, fügen Sie sie in Zelle A1 ein und ersetzen Sie die Primfaktoren und Exponenten durch Ihre eigenen Ergebnisse.
So berechnen Sie es in Python
number = 100 # die zu zerlegende ganze Zahl (ab 2)
prime_factors = [] # Liste der Primfaktoren, der Größe nach
remaining = number
divisor = 2
while divisor * divisor <= remaining:
while remaining % divisor == 0: # durch dieselbe Zahl teilen, solange es ohne Rest aufgeht
prime_factors.append(divisor)
remaining //= divisor
divisor += 1
if remaining > 1: # was über 1 übrig bleibt, ist eine Primzahl
prime_factors.append(remaining)
print(f"Primfaktoren von {number}: {prime_factors}")
Läuft nur mit der Standardbibliothek. Der Code setzt die Probedivision direkt um – er prüft von der kleinsten Zahl an, ob sie ohne Rest teilt. „%“ liefert den Rest einer Division, „//=“ teilt und lässt die Nachkommastellen weg. Ändern Sie number oben und führen Sie den Code aus. Für 100 wird [2, 2, 5, 5] ausgegeben.
So schreiben Sie die Formel in LaTeX und anderen Formelsprachen (zum Kopieren)
Primfaktorzerlegung (eine Zahl als Produkt aus Primzahlen schreiben)
n = p₁ × p₂ × ⋯ × pₖ
n = p_1 \times p_2 \times \cdots \times p_k
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>n</mi>
<mo>=</mo>
<msub><mi>p</mi><mn>1</mn></msub>
<mo>×</mo>
<msub><mi>p</mi><mn>2</mn></msub>
<mo>×</mo>
<mo>⋯</mo>
<mo>×</mo>
<msub><mi>p</mi><mi>k</mi></msub>
</mrow>
</math>
n = p_1 xx p_2 xx cdots xx p_k
FactorInteger[n]
ifactor(n);
factor(n)
n = p_1 × p_2 × ⋯ × p_k
Potenzschreibweise (gleiche Primfaktoren zusammenfassen)
n = pᵃ × qᵇ × ⋯
n = p^{a} \times q^{b} \times \cdots
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>n</mi>
<mo>=</mo>
<msup><mi>p</mi><mi>a</mi></msup>
<mo>×</mo>
<msup><mi>q</mi><mi>b</mi></msup>
<mo>×</mo>
<mo>⋯</mo>
</mrow>
</math>
n = p^a xx q^b xx cdots
p^a * q^b
n := p^a * q^b;
n = p^a * q^b;
n = p^a × q^b × ⋯
Anzahl der Teiler (eine Anwendung der Primfaktorzerlegung)
d = (a + 1) × (b + 1)
d = (a+1) \times (b+1)
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>d</mi>
<mo>=</mo>
<mo>(</mo><mi>a</mi><mo>+</mo><mn>1</mn><mo>)</mo>
<mo>×</mo>
<mo>(</mo><mi>b</mi><mo>+</mo><mn>1</mn><mo>)</mo>
</mrow>
</math>
d = (a + 1) xx (b + 1)
(a + 1)*(b + 1)
d := (a + 1)*(b + 1);
d = (a + 1)*(b + 1);
d = (a + 1) × (b + 1)
So lassen Sie ChatGPT rechnen
Sie sind ein Rechenassistent für ganze Zahlen. Führen Sie die folgende Berechnung unbedingt aus, indem Sie tatsächlich Python-Code ausführen, und stützen Sie Ihre Antwort nur auf die Zahlen aus dem Ausführungsergebnis (nicht im Kopf rechnen und nicht schätzen). Bestimmen Sie die Primfaktorzerlegung von 360. 1. Listen Sie alle Primfaktoren der Größe nach auf (ein Primfaktor wird so oft wiederholt, wie er vorkommt) 2. Schreiben Sie das Ergebnis in Potenzschreibweise (zum Beispiel in der Form 2^3 × 3^2 × 5) 3. Bestimmen Sie außerdem die Anzahl der Teiler von 360 Geben Sie den verwendeten Code und die Zahlen aus dem Ausführungsergebnis an.
Anleitung
-
1Werte eingebenTragen Sie die Zahlen, mit denen Sie rechnen möchten, in die Eingabefelder ein
-
2BerechnenKlicken Sie auf die Schaltfläche „Berechnen“
-
3Ergebnis ansehenDas Ergebnis erscheint sofort. Auf derselben Seite finden Sie auch den Rechenweg und die Erklärung der Formel
Die Vorteile von DataChef
Einfach und kostenlos
Kostenlose Umwandlung ohne Limit
Kein Fachwissen nötig – einfach und intuitiv
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Keine Wasserzeichen
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Keine Quellenangabe nötig
Keine Quellenangabe nötig
Kommerzielle Nutzung möglich
Kostenlos auch für die kommerzielle Nutzung
Keine vorherige Genehmigung erforderlich
Keine vorherige Genehmigung erforderlich
Verwandte Funktionen
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Bruchrechner – Brüche addieren, subtrahieren, multiplizieren und dividieren
Addiert, subtrahiert, multipliziert und dividiert Brüche mit Rechenweg
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