Potenzen berechnen (a hoch n, Exponent und Basis bestimmen)

Füllen Sie von Basis a, Exponent n und Ergebnis y nur die beiden aus, die Sie kennen. Der dritte wird für Sie berechnet (um „a hoch n“ zu bestimmen, füllen Sie Basis und Exponent aus). Die Gleichung darunter ist mit den Feldern verknüpft, Sie können Basis, Exponent oder Ergebnis also auch direkt darin eintippen.

Basis a (die Zahl, die multipliziert wird)

Exponent n (wie oft multipliziert wird)

Ergebnis y (zum Rückwärtsrechnen eingeben)

Geben Sie nur Zahlen ein. Der Exponent darf negativ (-3) oder eine Dezimalzahl (0,5) sein. Die Basis darf auch „e“ für die Eulersche Zahl sein. Werden alle drei ausgefüllt, gibt es einen Fehler.

Ergebnis

Geben Sie links die Basis und den Exponenten (oder die beiden Werte, die Sie kennen) ein und klicken Sie auf „Berechnen“. Das Ergebnis erscheint hier.

Inhaltsverzeichnis

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Was Sie auf dieser Seite tun können
Wofür ist diese Berechnung nützlich?
Anleitung
Formel
Symbole und Begriffe
- Symbole
- Begriffe
Was Sie vorab wissen sollten
Mit Excel berechnen
Mit Google Tabellen berechnen
Mit Python berechnen
Die Formel in LaTeX und anderen mathematischen Schreibweisen (zum Kopieren)
Die Berechnung von ChatGPT ausführen lassen
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Was Sie auf dieser Seite tun können

Geben Sie die Basis \(a\) und den Exponenten \(n\) ein, und die Potenz \(a^n\) (\(a\) hoch \(n\)) erscheint sofort
Auch negative Exponenten (\(2^{-3}\)), dezimale Exponenten (\(4^{0,5}\)) und negative Basen (\((-2)^5\)) funktionieren. Um die Eulersche Zahl als Basis zu verwenden, tippen Sie einfach „e“
Es geht auch rückwärts: „2 hoch wie viel ergibt 1024?“ (den Exponenten bestimmen) oder „welche Zahl hoch 3 ergibt 125?“ (die Basis bestimmen)
Große Ergebnisse wie \(2^{60} = 1.152.921.504.606.846.976\) werden mit allen Ziffern angezeigt und nicht gerundet
Eine leicht verständliche Erklärung der Formeln sowie Formeln zum Kopieren für Excel, Google Tabellen und Python finden Sie ebenfalls auf dieser Seite

Geben Sie zwei der drei Werte Basis, Exponent und Ergebnis ein, dann wird der dritte berechnet. Eine negative Zahl mit einem dezimalen Exponenten (zum Beispiel (-4) hoch 0,5) lässt sich nicht berechnen, weil das Ergebnis keine reelle Zahl ist.

Wofür ist diese Berechnung nützlich?

Sehen, wie schnell Geld mit Zinseszins wächst (Sparen, Geldanlage und Kredite)

Bei 3 % Zinsen im Jahr wächst Ihr Geld nach 10 Jahren auf das \(1{,}03^{10} \approx 1{,}344\)-Fache des Ausgangsbetrags (etwa das 1,34-Fache). Der Zinseszins, bei dem Zinsen weitere Zinsen bringen, ist genau eine Potenz: derselbe Wachstumsfaktor, immer wieder multipliziert.
Ein Kredit oder ein Kartensaldo wächst nach derselben Formel. Das ist die Potenz, der Sie im Alltag am häufigsten begegnen, und sie hilft Ihnen, Ihr Geld mit Zahlen statt mit Vermutungen zu planen.

Abschätzen, wie schnell sich Bakterien vermehren (Lebensmittelhygiene)

Unter guten Bedingungen teilen sich manche Bakterien etwa alle 20 Minuten. In 3 Stunden sind das 9 Teilungen, aus 1 Bakterium werden also \(2^{9} = 512\) (ein grober Anhaltswert bei idealen Nahrungs- und Temperaturbedingungen).
Dieses explosive Wachstum einer Potenz ist der Grund, warum Lebensmittel nicht bei Zimmertemperatur stehen bleiben sollten.

Berechnen, wie sich Medikamente und radioaktive Stoffe abbauen (Medizin und Sicherheit)

Die Menge eines Medikaments im Körper halbiert sich mit jeder Halbwertszeit. Nach 5 Halbwertszeiten sind noch \(0{,}5^{5} = 0{,}03125\) (etwa 3 %) übrig (der tatsächliche Wert ist von Mensch zu Mensch und je nach Gesundheit verschieden).
Radioaktiver Zerfall folgt genau derselben Formel. Sie ist die Grundlage, um in Medizin und Notfallplanung abzuschätzen, „wie viel noch übrig ist“.

Computer und Datenmengen (Potenzen von 2)

Computer arbeiten mit Kombinationen aus zwei Möglichkeiten, 0 und 1 (Bits), also kommen Potenzen von 2 überall vor. 1 KiB sind \(2^{10} = 1024\) Byte (nach SI sind 1 kB dagegen 1000 Byte), mit 32 Bit lassen sich \(2^{32} = 4.294.967.296\) (etwa 4,3 Milliarden) Muster speichern, und ein Vollfarbbild hat \(2^{24}\) (etwa 16,78 Millionen) Farben.
Ingenieure und Spieleentwickler nutzen diese Potenzen jeden Tag.

Den Unterschied von einer Magnitude bei Erdbeben ablesen (Katastrophenschutz)

Ein Erdbeben, das um 1 Magnitude stärker ist, setzt das \(10^{1{,}5} \approx 31{,}6\)-Fache (etwa das 32-Fache) an Energie frei, eines mit 2 Magnituden mehr das \(10^{3} = 1000\)-Fache.
Potenzen zeigen, warum ein Beben der Magnitude 8 viel zerstörerischer ist als eines der Magnitude 7, obwohl sich die Zahlen nur um 1 unterscheiden. Das hilft Ihnen, Nachrichten über Katastrophen richtig zu lesen.

Formel

Potenz (\(a\) hoch \(n\))

Mathematische Schreibweise (die übliche Schreibweise)

\(y\) \(=\) \(a\) \(n\)

In Worten (die Symbole durch Wörter ersetzt)

③ \(y\): Ergebnis \(=\) ① \(a\): Basis ② \(n\): Exponent

Die Formel in Worten

① Nehmen Sie die \(a\): Basis

② und multiplizieren Sie sie so oft mit sich selbst, wie der \(n\): Exponent sagt

③ und Sie erhalten das \(y\): Ergebnis

Einfaches Beispiel

2 hoch 5 (2 fünfmal multipliziert) ist

\(y\): Ergebnis \(=\) Basis (2) Exponent (5-mal)

\(2^{5} = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 32\)

Der Kerngedanke

Der Exponent ist die „Anzahl der Faktoren“, klein rechts oben an der Zahl geschrieben. Merken Sie sich außerdem zwei Regeln: \(a^1 = a\) (einmal genommen bleibt sie, wie sie ist) und \(a^0 = 1\) (jede Zahl ungleich 0 hoch 0 ist als 1 definiert). Damit ergeben sich negative und gebrochene Exponenten in den nächsten Formeln von selbst.

Negativer Exponent (\(a\) hoch \(-n\))

Mathematische Schreibweise (die übliche Schreibweise)

\(a^{-n}\) \(=\) \(1\) \(\div\) \(a^{n}\)

In Worten (die Symbole durch Wörter ersetzt)

③ \(a^{-n}\): a hoch −n \(=\) ① \(1\): die Ausgangs-1 \(\div\) ② \(a^n\): Potenz

Die Formel in Worten

① Nehmen Sie die \(1\): die Ausgangs-1

② und teilen Sie sie durch die \(a^n\): Potenz (\(a\), \(n\)-mal multipliziert)

③ und Sie erhalten \(a^{-n}\): a hoch −n (den Kehrwert der Potenz)

Einfaches Beispiel

2 hoch −3 ist

Potenz −3 \(2^{-3}\) \(=\) \(1\): die Ausgangs-1 \(\div\) 2 hoch 3 (8)

\(2^{-3} = 1 \div 2^{3} = 1 \div 8 = 0{,}125\)

Der Kerngedanke

Ein negativer Exponent steht für „teilen“, das Gegenteil von „multiplizieren“. Er ist so definiert, dass \(a^{n} \times a^{-n} = a^{n-n} = a^{0} = 1\) gilt, eine natürliche Erweiterung, die zu den Potenzgesetzen passt (Formel 4).

Gebrochene und dezimale Exponenten (\(a\) hoch \(\frac{1}{n}\))

Mathematische Schreibweise (die übliche Schreibweise)

\(a^{1/n}\) \(=\) \(\sqrt[n]{a}\)

In Worten (die Symbole durch Wörter ersetzt)

② \(a^{1/n}\): a hoch 1/n \(=\) ① \(\sqrt[n]{a}\): n-te Wurzel aus a

Die Formel in Worten

① Die \(\sqrt[n]{a}\): n-te Wurzel aus a ist „die Zahl, die mit der Potenz \(n\) den Wert \(a\) ergibt“. Mit einem Exponenten geschrieben ist es

② \(a^{1/n}\): a hoch 1/n (ein gebrochener oder dezimaler Exponent ist eine Wurzel)

Einfaches Beispiel

4 hoch 0,5 (wegen \(0{,}5 = \frac{1}{2}\) ist das die Quadratwurzel) ist

4 hoch 0,5 \(4^{0{,}5}\) \(=\) Quadratwurzel aus 4 \(\sqrt{4}\)

\(4^{0{,}5} = 4^{\frac{1}{2}} = \sqrt{4} = 2\)

Der Kerngedanke

Auf einem Taschenrechner und auf dieser Seite geben Sie einen gebrochenen Exponenten als Dezimalzahl ein (0,5 für \(\frac{1}{2}\)). Eine negative Zahl mit einem gebrochenen oder dezimalen Exponenten lässt sich nicht berechnen, weil das Ergebnis keine reelle Zahl ist (zum Beispiel wäre \((-4)^{0{,}5}\) „eine Zahl, deren Quadrat \(-4\) ist“, und keine reelle Zahl hat diese Eigenschaft).

Potenzgesetz (beim Multiplizieren addieren sich die Exponenten)

Mathematische Schreibweise (die übliche Schreibweise)

\(a^{n}\) \(\times\) \(a^{m}\) \(=\) \(a^{n+m}\)

In Worten (die Symbole durch Wörter ersetzt)

① \(a^n\): Potenz \(\times\) ② \(a^m\): Potenz \(=\) ③ \(a^{n+m}\): Potenz mit addierten Exponenten

Die Formel in Worten

① Multiplizieren Sie die \(a^n\): Potenz mit derselben Basis

② mit der \(a^m\): Potenz mit derselben Basis und addieren Sie die Exponenten, dann erhalten Sie die

③ \(a^{n+m}\): Potenz

Einfaches Beispiel

2 hoch 3 mal 2 hoch 4 ist

2 hoch 3 (8) \(\times\) 2 hoch 4 (16) \(=\) 2 hoch 7 (128)

\(2^{3} \times 2^{4} = 2^{3+4} = 2^{7} = 128\)

Der Kerngedanke

„2, dreimal multipliziert“ mal „2, viermal multipliziert“ ist 2, insgesamt siebenmal multipliziert. Das ist der Gedanke hinter dem Potenzgesetz. Ebenso subtrahiert man beim Dividieren die Exponenten, \(a^{n} \div a^{m} = a^{n-m}\), und beim Potenzieren einer Potenz multipliziert man sie, \((a^{n})^{m} = a^{nm}\).

Den Exponenten bestimmen (hoch wie viel? Logarithmen)

Mathematische Schreibweise (die übliche Schreibweise)

\(n\) \(=\) \(\ln y\) \(\div\) \(\ln a\)

In Worten (die Symbole durch Wörter ersetzt)

③ \(n\): Exponent \(=\) ① \(\ln y\): natürlicher Logarithmus des Ergebnisses \(\div\) ② \(\ln a\): natürlicher Logarithmus der Basis

Die Formel in Worten

① Nehmen Sie den \(\ln y\): natürlicher Logarithmus des Ergebnisses

② teilen Sie ihn durch den \(\ln a\): natürlicher Logarithmus der Basis

③ und Sie erhalten den \(n\): Exponenten (die Potenz, mit der Sie \(a\) potenzieren, um \(y\) zu erhalten)

Einfaches Beispiel

Die Potenz von 2, die 1024 ergibt (das \(n\) in \(2^{n} = 1024\)), ist

\(n\): Exponent \(=\) natürlicher Logarithmus von 1024 (etwa 6,931) \(\div\) natürlicher Logarithmus von 2 (etwa 0,693)

\(n = \ln 1024 \div \ln 2 = 10\ \ (2^{10} = 1024)\)

Der Kerngedanke

Das Bestimmen von „hoch wie viel“ nennt man den Logarithmus bilden. Direkt schreibt man es \(\log_2 1024\) (der Logarithmus zur Basis 2), aber die meisten wissenschaftlichen Taschenrechner haben nur eine Taste log (den dekadischen Logarithmus) und eine Taste ln (den natürlichen Logarithmus). Sie erhalten denselben Wert also als „log des Ergebnisses ÷ log der Basis“ (die Umrechnungsformel für die Basis). Sie können log oder ln benutzen, solange oben und unten dasselbe steht.

Die Basis bestimmen (die Zahl, deren \(n\)-te Potenz \(y\) ist, eine Wurzel)

Mathematische Schreibweise (die übliche Schreibweise)

\(a\) \(=\) \(y\) \(1/n\)

In Worten (die Symbole durch Wörter ersetzt)

③ \(a\): Basis \(=\) ① \(y\): Ergebnis ② \(\frac{1}{n}\): Kehrwert des Exponenten

Die Formel in Worten

① Potenzieren Sie das \(y\): Ergebnis

② mit dem \(\frac{1}{n}\): Kehrwert des Exponenten (das heißt, ziehen Sie die \(n\)-te Wurzel)

③ und Sie erhalten die \(a\): Basis

Einfaches Beispiel

Die Zahl, deren dritte Potenz 125 ist (das \(a\) in \(a^{3} = 125\)), ist

\(a\): Basis \(=\) Ergebnis (125) Kehrwert des Exponenten (1/3)

\(a = 125^{1/3} = \sqrt[3]{125} = 5\ \ (5 \times 5 \times 5 = 125)\)

Der Kerngedanke

„Die Zahl, deren \(n\)-te Potenz \(y\) ist“ (die \(n\)-te Wurzel aus \(y\)) ist genau der gebrochene oder dezimale Exponent aus Formel 3. Ist das Ergebnis \(y\) negativ, gibt es nur dann eine Antwort, wenn der Exponent ungerade ist (zum Beispiel \((-2)^5 = -32\), also ist die Zahl, deren 5. Potenz \(-32\) ist, gleich \(-2\)). Eine gerade Potenz kann nie negativ sein, also gibt es in diesem Fall keine Lösung.

Eine Potenz ist „dieselbe Zahl (die Basis), so oft mit sich selbst multipliziert, wie der Exponent sagt“. Ein negativer Exponent ergibt den Kehrwert, und ein gebrochener oder dezimaler Exponent ergibt eine Wurzel. Zum Rückwärtsrechnen bestimmen Sie den Exponenten mit einem Logarithmus und die Basis mit einer Wurzel (der Potenz 1/n).

Symbole und Begriffe

Symbole

\(a\)	a (die Basis)	Die Zahl, die mit sich selbst multipliziert wird (die Basis). (Beispiel - bei 2 hoch 5 ist es die 2)
\(n\)	n (der Exponent)	Wie oft multipliziert wird (der Exponent). Er wird klein rechts oben an der Zahl geschrieben. (Beispiel - bei 2 hoch 5 ist es die 5)
\(a^n\)	a hoch n	\(a\), \(n\)-mal mit sich selbst multipliziert (eine Potenz). (Beispiel: \(2^5 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 32\))
\(y\)	y	Auf dieser Seite das Ergebnis der Potenz.
\(\sqrt[n]{a}\)	die n-te Wurzel aus a	Die Zahl, die mit der Potenz \(n\) den Wert \(a\) ergibt (eine Wurzel). Mit einem Exponenten ist es dasselbe wie \(a^{1/n}\).
\(\ln y\)	natürlicher Logarithmus von y	Der Logarithmus zur Basis \(e\) (Eulersche Zahl). Er sagt „\(e\) hoch wie viel ergibt \(y\)“ und dient dazu, einen Exponenten zu bestimmen.
\(e\)	e (Eulersche Zahl)	Eine besondere Konstante, etwa 2,71828. Sie beschreibt kontinuierliches Wachstum (den Grenzwert der Verzinsung bei immer häufigerer Zinszahlung) und kommt überall in der Analysis und Statistik vor. In diesem Rechner können Sie „e“ als Basis eingeben.

Begriffe

Potenz (Potenzieren)	Dieselbe Zahl mehrfach mit sich selbst multiplizieren. Die Rechenart heißt Potenzieren, ihr Ergebnis Potenz. „2 hoch 3“ und „2 in die dritte Potenz erhoben“ sagen dasselbe.
Basis	Die Zahl, die in einer Potenz mit sich selbst multipliziert wird. Es ist das \(a\) in \(a^n\).
Exponent	Die kleine Zahl rechts oben, die sagt, wie oft multipliziert wird (auch Hochzahl). Es ist das \(n\) in \(a^n\). Seine Bedeutung wird auf null, negative und gebrochene Exponenten erweitert.
Potenzgesetz	Die Regeln zum Rechnen mit Potenzen, etwa \(a^n \times a^m = a^{n+m}\) (beim Multiplizieren addieren sich die Exponenten). Die Regeln, dass die Potenz 0 den Wert 1 ergibt und ein negativer Exponent den Kehrwert, sind so gewählt, dass sie zu diesen Gesetzen passen. Wird in der Mittelstufe (Klasse 8–10, 13–16 Jahre) behandelt.
Wurzel (n-te Wurzel)	Eine Zahl, die mit der \(n\)-ten Potenz die ursprüngliche Zahl ergibt. Quadratwurzeln und Kubikwurzeln sind Beispiele. Es ist dasselbe wie ein gebrochener oder dezimaler Exponent (die Potenz \(1/n\)).
Kehrwert	1 geteilt durch die Zahl (die Zahl, mit der man multipliziert, um 1 zu erhalten). Der Kehrwert von 2 ist 1/2. Ein negativer Exponent ergibt den Kehrwert der Potenz.
Logarithmus	Die Zahl, die sagt, „welche Potenz der Basis die Zielzahl ergibt“. Es ist das Werkzeug, um zum Exponenten einer Potenz zurückzurechnen.
Eulersche Zahl	Die besondere Konstante \(e = 2{,}71828\ldots\). Sie ist die Basis des natürlichen Logarithmus und taucht überall bei kontinuierlichem Wachstum auf, etwa beim Grenzwert der stetigen Verzinsung.

Was Sie vorab wissen sollten

Hier steht, was Ihnen hilft, die Berechnung auf dieser Seite wirklich zu verstehen und nicht nur den Knopf zu drücken.

Multiplikation (Klasse 3, 8–9 Jahre)	Dieselbe Zahl immer wieder multiplizieren können
Dezimalzahlen und Brüche (Klasse 5–6, 10–12 Jahre)	Dezimalzahlen wie \(0{,}5 \times 0{,}5\) multiplizieren können Zwischen einem Bruch und einer Dezimalzahl wechseln können, etwa \(\frac{1}{2}\) und 0,5
Was Exponenten sind (Klasse 5–8, 10–14 Jahre)	Wissen, dass die kleine Zahl rechts oben (der Exponent) „wie oft multipliziert wird“ bedeutet, wie in \(2^3 = 2 \times 2 \times 2\) Wissen, dass eine negative Zahl bei geradem Exponenten positiv und bei ungeradem negativ wird (\((-2)^4 = 16\), \((-2)^5 = -32\))
Quadratwurzeln (Klasse 9, 14–15 Jahre)	„Die Zahl, deren Quadrat die ursprüngliche Zahl ist“ finden können, wie in \(\sqrt{4} = 2\)
Erweiterte Exponenten und Potenzgesetze (Klasse 9–10, 14–16 Jahre)	Wissen, dass die Potenz 0 den Wert 1 ergibt, ein negativer Exponent den Kehrwert und ein gebrochener Exponent eine Wurzel Produkte von Potenzen mit dem Potenzgesetz \(a^n \times a^m = a^{n+m}\) vereinfachen können
Logarithmen (Klasse 10–11, 15–17 Jahre)	Wissen, dass ein Logarithmus „welche Potenz der Basis die Zielzahl ergibt“ bestimmt (er dient dazu, einen Exponenten zu bestimmen)

Mit Excel berechnen

Kopieren Sie die gesamte Tabelle unten und fügen Sie sie in Zelle A1 von Excel ein. Sie funktioniert unverändert.

Tabelle zur Berechnung einer Potenz (a hoch n)

Basis a	2
Exponent n	5
Potenz a^n	=B1^B2

Tabelle für einen negativen Exponenten

Basis a	2
Exponent n (als -n verwendet)	3
Potenz -n: a^(-n)	=B1^(-B2)
Derselbe Wert wie der Kehrwert 1/a^n	=1/B1^B2

Tabelle für einen gebrochenen oder dezimalen Exponenten (Wurzel)

Basis a	4
Exponent (als Dezimalzahl)	0,5
a^0,5 (dasselbe wie die Quadratwurzel)	=B1^B2
Kontrolle mit WURZEL	=WURZEL(B1)

Tabelle zur Kontrolle des Potenzgesetzes (beim Multiplizieren addieren sich die Exponenten)

Basis a	2
Exponent n	3
Exponent m	4
a^n × a^m	=B1^B2*B1^B3
a^(n+m) (derselbe Wert)	=B1^(B2+B3)

Tabelle zur Bestimmung des Exponenten (hoch wie viel?)

Basis a	2
Ergebnis y	1024
Exponent n (a hoch wie viel ergibt y)	=LOG(B2;B1)

Tabelle zur Bestimmung der Basis (die Zahl, deren n-te Potenz y ist)

Exponent n	3
Ergebnis y	125
Basis a (y hoch 1/n)	=B2^(1/B1)

Nach dem Einfügen enthält Spalte A die Beschriftungen und Spalte B die Zahlen. Die oberen Zeilen sind Ihre Eingaben, und die Formeln in den letzten Zeilen rechnen daraus automatisch.
„^“ ist das Zeichen für die Potenz, also multipliziert „=B1^B2“ den Wert in B1 B2-mal mit sich selbst. Um einen Exponenten zu bestimmen, nutzen Sie die Funktion LOG (=LOG(Zahl; Basis)).
Zum Beispiel zeigt B3 in der ersten Tabelle 32 und in der fünften Tabelle 10. Ersetzen Sie einfach die Eingabezahlen durch Ihre eigenen.

Mit Google Tabellen berechnen

Kopieren Sie die gesamte Tabelle unten und fügen Sie sie in Zelle A1 von Google Tabellen ein. Sie funktioniert unverändert.

Tabelle zur Berechnung einer Potenz (a hoch n)

Basis a	2
Exponent n	5
Potenz a^n	=B1^B2

Tabelle für einen negativen Exponenten

Basis a	2
Exponent n (als -n verwendet)	3
Potenz -n: a^(-n)	=B1^(-B2)
Derselbe Wert wie der Kehrwert 1/a^n	=1/B1^B2

Tabelle für einen gebrochenen oder dezimalen Exponenten (Wurzel)

Basis a	4
Exponent (als Dezimalzahl)	0,5
a^0,5 (dasselbe wie die Quadratwurzel)	=B1^B2
Kontrolle mit WURZEL	=WURZEL(B1)

Tabelle zur Kontrolle des Potenzgesetzes (beim Multiplizieren addieren sich die Exponenten)

Basis a	2
Exponent n	3
Exponent m	4
a^n × a^m	=B1^B2*B1^B3
a^(n+m) (derselbe Wert)	=B1^(B2+B3)

Tabelle zur Bestimmung des Exponenten (hoch wie viel?)

Basis a	2
Ergebnis y	1024
Exponent n (a hoch wie viel ergibt y)	=LOG(B2;B1)

Tabelle zur Bestimmung der Basis (die Zahl, deren n-te Potenz y ist)

Exponent n	3
Ergebnis y	125
Basis a (y hoch 1/n)	=B2^(1/B1)

Die Formeln funktionieren wie in Excel (der Operator ^ und die Funktionen LOG und WURZEL) bei deutschen Spracheinstellungen von Google Tabellen. Kopieren Sie die gesamte Tabelle, fügen Sie sie in Zelle A1 ein und ersetzen Sie die Eingabezahlen durch Ihre eigenen.

Mit Python berechnen

base = 2       # Basis (die Zahl, die multipliziert wird)
exponent = 5   # Exponent (wie oft multipliziert wird)

power = base ** exponent   # Potenz (Basis hoch Exponent)
print(f"{base} hoch {exponent}: {power}")

# --- Zum Rückwärtsrechnen (Logarithmen und Wurzeln) das Modul math verwenden ---
import math

n = math.log(1024, 2)   # den Exponenten bestimmen: 2 hoch wie viel ergibt 1024
a = 125 ** (1 / 3)      # die Basis bestimmen: die Zahl, deren dritte Potenz 125 ist (Kubikwurzel)
print(f"2 hoch wie viel ergibt 1024: {n}")
print(f"Die Zahl, deren dritte Potenz 125 ist: {round(a, 10)}")

Der Code läuft nur mit der Standardbibliothek. „**“ ist der Potenzoperator. Negative Exponenten (2 ** -3) und dezimale Exponenten lassen sich so schreiben, wie sie sind (Python schreibt Dezimalzahlen mit Punkt). Beim Bestimmen der Basis kann ein winziger Rundungsfehler auftreten (etwa 4,999…), deshalb wird das Ergebnis mit round gerundet.

Die Formel in LaTeX und anderen mathematischen Schreibweisen (zum Kopieren)

Potenz (\(a\) hoch \(n\))

y = aⁿ

y = a^{n}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>y</mi>
    <mo>=</mo>
    <msup><mi>a</mi><mi>n</mi></msup>
  </mrow>
</math>

y = a^n

a^n

y := a^n;

y = a^n;

y = a^n

Negativer Exponent (\(a\) hoch \(-n\))

a⁻ⁿ = 1/aⁿ

a^{-n} = \frac{1}{a^{n}}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <msup><mi>a</mi><mrow><mo>&#x2212;</mo><mi>n</mi></mrow></msup>
    <mo>=</mo>
    <mfrac><mn>1</mn><msup><mi>a</mi><mi>n</mi></msup></mfrac>
  </mrow>
</math>

a^(-n) = 1/a^n

a^(-n)

y := 1/a^n;

y = 1/a^n;

a^(-n) = 1/a^n

Gebrochene und dezimale Exponenten (\(a\) hoch \(\frac{1}{n}\))

a^(1/n) = ⁿ√a

a^{1/n} = \sqrt[n]{a}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <msup><mi>a</mi><mrow><mn>1</mn><mo>/</mo><mi>n</mi></mrow></msup>
    <mo>=</mo>
    <mroot><mi>a</mi><mi>n</mi></mroot>
  </mrow>
</math>

a^(1/n) = root(n)(a)

Surd[a, n]

y := surd(a, n);

y = nthroot(a, n);

a^(1/n) = √(n&a)

Potenzgesetz (beim Multiplizieren addieren sich die Exponenten)

aⁿ × aᵐ = aⁿ⁺ᵐ

a^{n} \times a^{m} = a^{n+m}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <msup><mi>a</mi><mi>n</mi></msup>
    <mo>&#xD7;</mo>
    <msup><mi>a</mi><mi>m</mi></msup>
    <mo>=</mo>
    <msup><mi>a</mi><mrow><mi>n</mi><mo>+</mo><mi>m</mi></mrow></msup>
  </mrow>
</math>

a^n xx a^m = a^(n+m)

a^n*a^m

y := a^n*a^m;

y = a^n*a^m;

a^n × a^m = a^(n+m)

Den Exponenten bestimmen (hoch wie viel? Logarithmen)

n = ln y ÷ ln a

n = \frac{\ln y}{\ln a}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>n</mi>
    <mo>=</mo>
    <mfrac>
      <mrow><mi>ln</mi><mo>&#x2061;</mo><mi>y</mi></mrow>
      <mrow><mi>ln</mi><mo>&#x2061;</mo><mi>a</mi></mrow>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

n = ln(y)/ln(a)

Log[a, y]

n := log[a](y);

n = log(y)/log(a);

n = ln(y)/ln(a)

Die Basis bestimmen (die Zahl, deren \(n\)-te Potenz \(y\) ist, eine Wurzel)

a = y^(1/n) = ⁿ√y

a = y^{1/n} = \sqrt[n]{y}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>a</mi>
    <mo>=</mo>
    <msup><mi>y</mi><mrow><mn>1</mn><mo>/</mo><mi>n</mi></mrow></msup>
    <mo>=</mo>
    <mroot><mi>y</mi><mi>n</mi></mroot>
  </mrow>
</math>

a = y^(1/n) = root(n)(y)

Surd[y, n]

a := surd(y, n);

a = nthroot(y, n);

a = y^(1/n) = √(n&y)

Die Berechnung von ChatGPT ausführen lassen

Sie sind ein Rechenassistent für Potenzen und Exponenten. Führen Sie die folgenden Berechnungen durch, indem Sie tatsächlich Python-Code ausführen, und stützen Sie Ihre Antwort nur auf die Zahlen aus dem Ergebnis der Ausführung (antworten Sie nicht durch Kopfrechnen oder Raten).

1. Bestimmen Sie 2 hoch 5.
2. Bestimmen Sie die Potenz von 2, die 1024 ergibt (den Exponenten).
3. Bestimmen Sie die Zahl, deren dritte Potenz 125 ist (die Basis).

Zeigen Sie jeweils die verwendeten Formeln und die Zahlen aus dem Ergebnis der Ausführung.

Anleitung

1

Zahlen eingeben

Geben Sie die Zahlen, mit denen Sie rechnen möchten, in die Eingabefelder ein
2

Berechnen

Klicken Sie auf die Schaltfläche „Berechnen“
3

Ergebnis ablesen

Das Ergebnis erscheint sofort. Auf derselben Seite finden Sie auch den Rechenweg und die Erklärung der Formel