Quadratische Gleichungen lösen (Mitternachtsformel, Diskriminante und komplexe Lösungen)

Geben Sie die Koeffizienten a, b und c der quadratischen Gleichung ax² + bx + c = 0 ein. Die Gleichung darunter ist mit den Eingabefeldern verknüpft, Sie können die Koeffizienten also auch direkt darin ändern. Die Mitternachtsformel liefert die Lösungen zusammen mit der Diskriminante, der Art der Lösungen und dem Rechenweg.

a (Zahl vor x²)

b (Zahl vor x)

c (konstantes Glied)

Sie können Dezimalzahlen, negative Zahlen und Brüche wie 3/4 verwenden. Fehlt ein Glied, wie bei x² − 4 = 0, geben Sie für dessen Koeffizienten 0 ein.

Ergebnis und Diagramm

Geben Sie links die Koeffizienten a, b und c ein und klicken Sie auf „Berechnen“. Das Ergebnis erscheint hier.

Inhaltsverzeichnis

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Was Sie auf dieser Seite tun können
Wofür ist diese Berechnung nützlich?
Anleitung
Formeln und Graphen
Symbole und Begriffe
- Symbole
- Begriffe
Was Sie vorab wissen sollten
Mit Excel berechnen
Mit Google Tabellen berechnen
Mit Python berechnen
Die Formel in LaTeX und anderen mathematischen Schreibweisen (zum Kopieren)
Die Berechnung von ChatGPT ausführen lassen
Die Vorteile von DataChef
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Was Sie auf dieser Seite tun können

Geben Sie die Koeffizienten \(a, b, c\) ein, und die Mitternachtsformel löst \(ax^2 + bx + c = 0\) sofort
Sie zeigt auch den Wert der Diskriminante \(D = b^2 - 4ac\) und die Art der Lösungen (zwei verschiedene reelle Lösungen, eine doppelte Lösung oder zwei komplexe Lösungen)
Sind die Lösungen keine reellen Zahlen, findet der Rechner trotzdem die beiden komplexen Lösungen, etwa \(-0{,}5 \pm 0{,}866i\) (ein konjugiertes Paar, das sich nur im Vorzeichen des Imaginärteils unterscheidet)
Koeffizienten dürfen Dezimalzahlen, negative Zahlen oder Brüche wie 3/4 sein
Eine leicht verständliche Erklärung der Formeln sowie Formeln zum Kopieren für Excel, Google Tabellen und Python finden Sie ebenfalls auf dieser Seite

Bei a = 0 ist die Gleichung nicht quadratisch, sie wird deshalb als lineare Gleichung \(bx + c = 0\) gelöst (die Lösung ist \(x = -c \div b\)). a und b dürfen nicht beide 0 sein.

Wofür ist diese Berechnung nützlich?

Höhe und Zeit eines hochgeworfenen Balls oder eines Feuerwerkskörpers (Physik und Sport)

Wirft man einen Ball mit 20 Metern pro Sekunde senkrecht nach oben, beträgt seine Höhe nach t Sekunden etwa 20t − 5t² Meter (mit der auf etwa 10 m/s² vereinfachten Fallbeschleunigung und ohne Luftwiderstand). „Wann ist er 15 Meter hoch?“ heißt, die quadratische Gleichung −5t² + 20t − 15 = 0 zu lösen, und die Mitternachtsformel ergibt t = 1 Sekunde und 3 Sekunden (einmal beim Aufstieg und einmal beim Abstieg).
Von der Planung der Höhe, in der ein Feuerwerk aufgeht, bis zur Flugbahn eines Basketballwurfs: Die Bewegung aller geworfenen Dinge hängt mit quadratischen Gleichungen zusammen.

Aus der Fläche die Größe eines Beets oder Grundstücks berechnen (Heimwerken und Immobilien)

„Ich möchte ein rechteckiges Beet mit genau 28 Quadratmetern Fläche anlegen, das 3 Meter länger als breit ist.“ Bei der Breite x ergibt sich x(x + 3) = 28, also x² + 3x − 28 = 0. Die Mitternachtsformel liefert x = 4 und x = −7, aber eine Länge kann nicht negativ sein, also ist das Beet 4 Meter breit und 7 Meter lang.
Im wirklichen Leben gehört zum Einsatz einer quadratischen Gleichung dieser letzte Schritt dazu: zu wählen, welche der beiden Lösungen sinnvoll ist (die Probe, ob jede Antwort Sinn ergibt).

Den Zinssatz bei Zinseszins zurückrechnen (Geld)

Welcher Jahreszins macht aus 10.000 € in 2 Jahren 12.100 €? Mit dem Zinssatz r gilt 10000(1 + r)² = 12100, das sich zu r² + 2r − 0,21 = 0 vereinfacht. Die Mitternachtsformel liefert r = 0,1 und r = −2,1, und der als Zinssatz sinnvolle Wert r = 0,1 (10 % pro Jahr) ist die Antwort.
Geldrechnungen, bei denen man „zweimal mit demselben Faktor multipliziert“, wie beim Zinseszins, führen auf quadratische Gleichungen, und so können Sie vom Zielbetrag auf die nötige Rendite zurückrechnen.

Entwurf von Brücken und Bögen (Architektur und Bauwesen)

Die Form einer Bogenbrücke oder des Seils einer Hängebrücke wird meist mit einer Parabel \(y = ax^2 + bx + c\) entworfen. Zu berechnen, „wie weit von der Mitte entfernt die Höhe über dem Boden einen bestimmten Wert hat“, heißt genau, eine quadratische Gleichung zu lösen.
Wenn Entwerfer und Bauingenieure die Form eines Bauwerks mit Formeln festlegen, gehört die Mitternachtsformel zu den Grundlagen.

Die Preise abschätzen, bei denen der Gewinn null ist (Geschäft)

„Erhöht man den Preis, steigt der Gewinn pro Stück, aber es werden weniger Stück verkauft.“ In einem einfachen Modell davon ist der Gewinn eine quadratische Funktion des Preises. Die Preise, bei denen der Gewinn genau 0 ist, sind die Lösungen dieser quadratischen Gleichung, und sie geben eine grobe Ober- und Untergrenze für die Preisgestaltung.
Reale Märkte sind komplizierter, aber mit einer quadratischen Gleichung zuerst abzuschätzen, „wo der Gewinnhügel endet“, ist ein häufiger Ausgangspunkt der Unternehmensanalyse.

Formeln und Graphen

Die Mitternachtsformel (abc-Formel)

Graph

Mathematische Schreibweise (die übliche Schreibweise)

\(x\) \(=\) \((\) \(-b\) \(\pm\) \(\sqrt{b^2 - 4ac}\) \()\) \(\div\) \((\) \(2a\) \()\)

In Worten (die Symbole durch Wörter ersetzt)

④ \(x\): Lösung \(=\) \((\) ① \(-b\): Gegenzahl des \(x\)-Koeffizienten \(\pm\) ② \(\sqrt{b^2 - 4ac}\): Wurzel aus der Diskriminante \()\) \(\div\) \((\) ③ \(2a\): das Doppelte des \(x^2\)-Koeffizienten \()\)

Die Formel in Worten

① Zu \(-b\): Gegenzahl des \(x\)-Koeffizienten

② addieren und subtrahieren Sie \(\sqrt{b^2 - 4ac}\): Wurzel aus der Diskriminante (die beiden Möglichkeiten von ±),

③ teilen Sie dann jedes Ergebnis durch \(2a\): das Doppelte des \(x^2\)-Koeffizienten

④ und Sie erhalten \(x\): Lösung (wegen ± gibt es meist zwei Lösungen)

Einfaches Beispiel

Die Lösungen der quadratischen Gleichung x² + 3x − 4 = 0 (a = 1, b = 3, c = −4) sind

\(x\): Lösung \(=\) \((\) Gegenzahl von \(b\) (−3) \(\pm\) Wurzel aus der Diskriminante 25 (5) \()\) \(\div\) \((\) das Doppelte von \(a\) (2) \()\)

\(x = \dfrac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4 \times 1 \times (-4)}}{2 \times 1} = \dfrac{-3 \pm \sqrt{25}}{2} = \dfrac{-3 \pm 5}{2}\)

\(x = \dfrac{-3 + 5}{2} = 1, \quad x = \dfrac{-3 - 5}{2} = -4\)

Der Kerngedanke

Die Mitternachtsformel ist die „Antwortformel“, die man erhält, wenn man \(ax^2 + bx + c = 0\) (\(a \neq 0\)) mit der quadratischen Ergänzung allgemein bis zum Ende löst. Was auch immer die Koeffizienten sind, Sie setzen einfach die Werte von \(a, b, c\) ein und erhalten die Lösungen. ± (plus oder minus) bedeutet, dass „sowohl Addieren als auch Subtrahieren eine Lösung ergibt“, es gibt also meist zwei Lösungen. Gleichungen, die sich durch Faktorisieren lösen lassen, können Sie natürlich auch so lösen, und die Ergebnisse stimmen immer überein. Für die Normalform \(x^2 + px + q = 0\) (also \(a = 1\)) gibt es außerdem die pq-Formel; die Mitternachtsformel gilt für jedes \(a\).

Die Diskriminante (zeigt die Art der Lösungen)

Graph

Mathematische Schreibweise (die übliche Schreibweise)

\(D\) \(=\) \(b\) \(2\) \(-\) \(4\) \(\times\) \(a\) \(\times\) \(c\)

In Worten (die Symbole durch Wörter ersetzt)

⑥ \(D\): Diskriminante \(=\) ① \(b\): \(x\)-Koeffizient ② Quadrat \(-\) ③ die Zahl \(4\) \(\times\) ④ \(a\): \(x^2\)-Koeffizient \(\times\) ⑤ \(c\): konstantes Glied

Die Formel in Worten

① Nehmen Sie \(b\): \(x\)-Koeffizient

② und bilden Sie davon das Quadrat – davon subtrahieren Sie das Produkt aus

③ die Zahl \(4\)

④ \(a\): \(x^2\)-Koeffizient und

⑤ \(c\): konstantes Glied

⑥ und Sie erhalten \(D\): Diskriminante

Einfaches Beispiel

Die Diskriminante von x² + 3x − 4 = 0 (a = 1, b = 3, c = −4) ist

\(D\): Diskriminante \(=\) \(b\) (3) Quadrat \(-\) 4 \(\times\) \(a\) (1) \(\times\) \(c\) (−4)

\(D = 3^2 - 4 \times 1 \times (-4) = 9 + 16 = 25\)

Der Kerngedanke

Die Diskriminante \(D\) ist genau das, was in der Mitternachtsformel unter der √ steht. Sie verrät Ihnen die Art der Lösungen, noch bevor Sie sie berechnen. - \(D > 0\): Die Wurzel ist eine positive reelle Zahl, es gibt also zwei verschiedene reelle Lösungen (im Graphen schneidet die Parabel die x-Achse in zwei Punkten) - \(D = 0\): Die Wurzel ist 0, es gibt also eine doppelte Lösung, genau eine reelle Lösung (die Parabel berührt die x-Achse) - \(D < 0\): Die Zahl unter der √ ist negativ, es gibt also keine reelle Lösung. Erweitert man die Zahlen um die imaginären Zahlen, gibt es zwei komplexe Lösungen (die Parabel trifft die x-Achse nicht)

Doppelte Lösung (wenn die Diskriminante \(D = 0\) ist)

Graph

Mathematische Schreibweise (die übliche Schreibweise)

\(x\) \(=\) \(-b\) \(\div\) \((\) \(2a\) \()\)

In Worten (die Symbole durch Wörter ersetzt)

③ \(x\): doppelte Lösung \(=\) ① \(-b\): Gegenzahl des \(x\)-Koeffizienten \(\div\) \((\) ② \(2a\): das Doppelte des \(x^2\)-Koeffizienten \()\)

Die Formel in Worten

① Teilen Sie \(-b\): Gegenzahl des \(x\)-Koeffizienten

② durch \(2a\): das Doppelte des \(x^2\)-Koeffizienten

③ und Sie erhalten \(x\): doppelte Lösung (das ist die einzige Lösung)

Einfaches Beispiel

Die Lösung von x² + 2x + 1 = 0 (a = 1, b = 2, c = 1; Diskriminante D = 4 − 4 = 0) ist

\(x\): doppelte Lösung \(=\) Gegenzahl von \(b\) (−2) \(\div\) \((\) das Doppelte von \(a\) (2) \()\)

\(D = 2^2 - 4 \times 1 \times 1 = 0\)

\(x = \dfrac{-2}{2 \times 1} = -1\)

Der Kerngedanke

Bei \(D = 0\) ist \(\sqrt{0} = 0\), der Teil „± √D“ der Mitternachtsformel verschwindet also, und aus den zwei Lösungen wird eine. Das nennt man eine doppelte Lösung (auch doppelte Nullstelle). Das passiert, wenn sich die linke Seite als vollständiges Quadrat schreiben lässt, wie bei \(x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2\) (erste binomische Formel).

Zwei komplexe Lösungen (wenn die Diskriminante \(D < 0\) ist)

Graph

Mathematische Schreibweise (die übliche Schreibweise)

\(x\) \(=\) \((\) \(-b\) \(\pm\) \(\sqrt{4ac - b^2}\) \(\,i\) \()\) \(\div\) \((\) \(2a\) \()\)

In Worten (die Symbole durch Wörter ersetzt)

⑤ \(x\): zwei komplexe Lösungen \(=\) \((\) ① \(-b\): Gegenzahl des \(x\)-Koeffizienten \(\pm\) ② \(\sqrt{4ac - b^2}\): Wurzel aus \(4ac - b^2\) ③ \(\,i\) \()\) \(\div\) \((\) ④ \(2a\): das Doppelte des \(x^2\)-Koeffizienten \()\)

Die Formel in Worten

① Zu \(-b\): Gegenzahl des \(x\)-Koeffizienten

② addieren und subtrahieren Sie \(\sqrt{4ac - b^2}\): Wurzel aus der positiven Zahl \(4ac - b^2\) (die Diskriminante mit umgekehrtem Vorzeichen)

③ mal die imaginäre Einheit \(i\) (die Zahl, deren Quadrat −1 ist), die beiden Möglichkeiten von ±,

④ teilen Sie dann jedes Ergebnis durch \(2a\): das Doppelte des \(x^2\)-Koeffizienten

⑤ und Sie erhalten \(x\): zwei komplexe Lösungen (ein konjugiertes Paar, das sich nur im Vorzeichen des Imaginärteils unterscheidet)

Einfaches Beispiel

Die Lösungen von x² + x + 1 = 0 (a = 1, b = 1, c = 1; Diskriminante D = 1 − 4 = −3) sind

\(x\): zwei komplexe Lösungen \(=\) \((\) Gegenzahl von \(b\) (−1) \(\pm\) Wurzel aus \(4ac - b^2 = 3\) \(\,i\) \()\) \(\div\) \((\) das Doppelte von \(a\) (2) \()\)

\(x = \dfrac{-1 \pm \sqrt{3}\,i}{2} \approx -0{,}5 \pm 0{,}866\,i\)

Der Kerngedanke

Bei \(D < 0\) ist die Zahl unter der √ negativ. Keine reelle Zahl ergibt beim Quadrieren eine negative Zahl, es gibt also unter den reellen Zahlen keine Lösung. Deshalb führt man die imaginäre Einheit \(i\) ein, „die Zahl, deren Quadrat −1 ist“. Dann kann man \(\sqrt{-3} = \sqrt{3}\,i\) schreiben, und die Lösungen lassen sich als zwei komplexe Zahlen angeben. \(4ac - b^2\) ist die Diskriminante \(b^2 - 4ac\) mit umgekehrtem Vorzeichen und bei \(D < 0\) immer positiv, die Wurzel daraus ist also sicher zu ziehen. (Komplexe Zahlen werden in Deutschland meist erst in der Oberstufe oder im Studium behandelt; in der Schule heißt es bei \(D < 0\) oft einfach „keine reelle Lösung“.)

Wenn \(a = 0\) ist (die Gleichung wird linear)

Graph

Mathematische Schreibweise (die übliche Schreibweise)

\(x\) \(=\) \(-c\) \(\div\) \(b\)

In Worten (die Symbole durch Wörter ersetzt)

③ \(x\): Lösung der linearen Gleichung \(=\) ① \(-c\): Gegenzahl des konstanten Glieds \(\div\) ② \(b\): \(x\)-Koeffizient

Die Formel in Worten

① Teilen Sie \(-c\): Gegenzahl des konstanten Glieds

② durch \(b\): \(x\)-Koeffizient

③ und Sie erhalten \(x\): Lösung der linearen Gleichung

Einfaches Beispiel

Bei a = 0 ist die Lösung von 2x + 4 = 0 (b = 2, c = 4)

\(x\): Lösung der linearen Gleichung \(=\) Gegenzahl von \(c\) (−4) \(\div\) \(b\) (2)

\(x = \dfrac{-4}{2} = -2\)

Der Kerngedanke

Bei \(a = 0\) verschwindet das \(x^2\)-Glied, und aus der Gleichung wird die lineare Gleichung \(bx + c = 0\), keine quadratische. In der Mitternachtsformel steht \(2a\) im Nenner, sie setzt also \(a \neq 0\) voraus. Dieser Rechner behandelt a = 0 nicht als Fehler, sondern löst die lineare Gleichung und liefert eine Lösung (nur wenn a und b beide 0 sind, gibt es keine Gleichung zu lösen, und Sie erhalten eine Fehlermeldung).

Die Lösungen der quadratischen Gleichung ax² + bx + c = 0 erhalten Sie, indem Sie die Koeffizienten in die Mitternachtsformel x = (−b ± √(b² − 4ac)) ÷ (2a) einsetzen. Das Vorzeichen der Diskriminante D = b² − 4ac, des Teils unter der √, verrät Ihnen schon vor der Rechnung, ob es zwei Lösungen, eine (eine doppelte Lösung) oder komplexe Lösungen gibt.

Symbole und Begriffe

Symbole

\(a, b, c\)	a, b, c	Die Koeffizienten der quadratischen Gleichung. \(a\) ist die Zahl vor \(x^2\), \(b\) die Zahl vor \(x\) und \(c\) das konstante Glied (das Glied nur aus einer Zahl).
\(x\)	x	Die unbekannte Zahl, die Sie als Lösung der Gleichung finden wollen. Eine quadratische Gleichung hat höchstens zwei Lösungen.
\(D\)	D (Diskriminante)	Die Diskriminante, \(D = b^2 - 4ac\), nach dem Anfangsbuchstaben von „Diskriminante“. Manche Bücher schreiben sie mit dem griechischen Buchstaben \(\Delta\) (Delta).
\(\sqrt{\phantom{9}}\)	Wurzel	Das Zeichen für „die Zahl, die 0 oder größer ist und deren Quadrat die Zahl darin ist“. \(\sqrt{25} = 5\) und \(\sqrt{2} \approx 1{,}414\).
\(\pm\)	plus minus	Ein Zeichen, das „sowohl den Fall + als auch den Fall −“ auf einmal schreibt. In der Mitternachtsformel bedeutet es, dass sowohl die Summe als auch die Differenz eine Lösung ist.
\(i\)	i (imaginäre Einheit)	Die Zahl, deren Quadrat \(-1\) ist (\(i^2 = -1\)). Mit ihr schreibt man die Lösungen, wenn die Zahl unter der √ negativ ist.
\(x_1, x_2\)	x eins, x zwei	Namen für die beiden Lösungen. Auf dieser Seite ist die +-Seite von ± das \(x_1\) und die −-Seite das \(x_2\).

Begriffe

quadratische Gleichung	Eine Gleichung mit einem \(x^2\)-Glied (Quadrat). Sie lässt sich in der Form \(ax^2 + bx + c = 0\) (\(a \neq 0\)) schreiben, der allgemeinen Form. Wird in Klasse 9 (14–15 Jahre) behandelt.
Koeffizient	Die Zahl vor einem Buchstaben. In \(3x\) ist der Koeffizient 3. Achten Sie beim Ablesen der Koeffizienten auf versteckte 1en und Vorzeichen: \(x^2 - x = 0\) bedeutet a = 1, b = −1, c = 0.
Lösung	Ein Wert des Buchstabens, der die Gleichung wahr macht. Eine Gleichung zu „lösen“ heißt, alle ihre Lösungen zu finden. Bei einer quadratischen Funktion heißen die Lösungen der zugehörigen Gleichung auch Nullstellen.
Mitternachtsformel (abc-Formel)	Eine Formel, die die Lösungen einer quadratischen Gleichung direkt aus den Koeffizienten a, b und c berechnet. Ihre Stärke ist, dass sie immer funktioniert, auch wenn Sie keine Zerlegung sehen. Für die Normalform \(x^2 + px + q = 0\) (\(a = 1\)) gibt es die pq-Formel als Sonderfall.
Diskriminante	Der Teil unter der √ in der Mitternachtsformel, \(b^2 - 4ac\). Schon ihr Vorzeichen verrät die Art der Lösungen (zwei reelle Lösungen, eine doppelte Lösung oder zwei komplexe Lösungen).
doppelte Lösung	Eine Lösung, bei der die beiden Lösungen zu einer zusammenfallen. Das passiert, wenn die Diskriminante 0 ist, und im Graphen berührt die Parabel die x-Achse. Man nennt sie auch doppelte Nullstelle.
reelle Lösung	Eine Lösung, die eine reelle Zahl ist (eine Zahl auf der gewöhnlichen Zahlengerade). Es gibt reelle Lösungen, wenn die Diskriminante 0 oder größer ist.
komplexe Lösung	Eine Lösung, die keine reelle Zahl ist und mit der imaginären Einheit \(i\) geschrieben wird. Ist die Diskriminante negativ, bilden die Lösungen ein Paar der Form „Realteil ± Imaginärteil \(i\)“, etwa \(-0{,}5 \pm 0{,}866i\) (konjugiert komplexe Zahlen). Wird in Deutschland meist in der Oberstufe (ab Klasse 11, 16 Jahre) behandelt.
quadratische Ergänzung	Eine Gleichung in die Form \((x + p)^2 = q\) (ein Quadrat gleich einer Zahl) umschreiben. Führt man das mit den Buchstaben a, b und c bis zum Ende durch, erhält man die Mitternachtsformel.
Faktorisieren	Einen Term als Produkt schreiben. Lässt sich \(x^2 + 3x - 4 = (x - 1)(x + 4)\) faktorisieren, erhalten Sie die Lösungen x = 1, −4 ohne die Mitternachtsformel.
Parabel	Die Form des Graphen von \(y = ax^2 + bx + c\). Die reellen Lösungen der quadratischen Gleichung sind die x-Koordinaten der Punkte, in denen diese Parabel die x-Achse trifft (die Nullstellen).

Was Sie vorab wissen sollten

Hier steht, was Ihnen hilft, die Berechnung auf dieser Seite wirklich zu verstehen und nicht nur den Knopf zu drücken.
Wenn Sie nicht weiterkommen, ist es der schnellste Weg, diese Themen zu wiederholen.

Rechnen mit negativen Zahlen (Klasse 6–7, 11–13 Jahre)	Wissen, dass das Quadrat einer negativen Zahl positiv ist, etwa \((-5)^2 = 25\) Mit den Vorzeichen multiplizieren können, etwa \(-4 \times 1 \times (-4) = +16\)
Quadratwurzeln (Klasse 9, 14–15 Jahre)	Eine Quadratwurzel als „die Zahl, deren Quadrat diese Zahl ist“ verstehen, etwa \(\sqrt{25} = 5\) Wissen, dass sich eine Quadratwurzel, die nicht aufgeht, wie \(\sqrt{2}\), als Näherung in einer Dezimalzahl schreiben lässt
Quadratische Gleichungen (Klasse 9, 14–15 Jahre)	Eine Gleichung in die Form \(ax^2 + bx + c = 0\) bringen und die Koeffizienten \(a, b, c\) samt Vorzeichen ablesen können Bei einer Gleichung, die sich faktorisieren lässt, prüfen können, dass die Ergebnisse mit denen der Mitternachtsformel übereinstimmen
Graphen quadratischer Funktionen (Klasse 9, 14–15 Jahre)	Wissen, dass der Graph von \(y = ax^2 + bx + c\) eine Parabel ist Sich die reellen Lösungen als „die x-Koordinaten der Punkte, in denen die Parabel die x-Achse trifft“ vorstellen können

Mit Excel berechnen

Kopieren Sie die gesamte Tabelle unten und fügen Sie sie in Zelle A1 von Excel ein. Sie funktioniert unverändert.

Tabelle für zwei reelle Lösungen mit der Mitternachtsformel (bei D > 0)

Koeffizient a	1
Koeffizient b	3
Konstantes Glied c	-4
Diskriminante D = b² − 4ac	=B2^2-4B1B3
Lösung 1, x₁	=(-B2+WURZEL(B4))/(2*B1)
Lösung 2, x₂	=(-B2-WURZEL(B4))/(2*B1)

Tabelle für die Art der Lösungen aus der Diskriminante

Koeffizient a	1
Koeffizient b	1
Konstantes Glied c	1
Diskriminante D = b² − 4ac	=B2^2-4B1B3
Art der Lösungen	=WENN(B4>0;"Zwei verschiedene reelle Lösungen";WENN(B4=0;"Doppelte Lösung";"Zwei komplexe Lösungen"))

Tabelle für die doppelte Lösung (bei D = 0)

Koeffizient a	1
Koeffizient b	2
Konstantes Glied c	1
Doppelte Lösung x	=-B2/(2*B1)

Tabelle für Real- und Imaginärteil der zwei komplexen Lösungen (bei D < 0)

Koeffizient a	1
Koeffizient b	1
Konstantes Glied c	1
Realteil (−b ÷ 2a)	=-B2/(2*B1)
Imaginärteil (der Teil mit ±)	=WURZEL(4B1B3-B2^2)/ABS(2*B1)

Tabelle für die Lösung bei a = 0 (eine lineare Gleichung)

Koeffizient b	2
Konstantes Glied c	4
Lösung x	=-B2/B1

Nach dem Einfügen sind die oberen Zeilen (die Koeffizienten a, b und c) Ihre Eingaben, und die unteren Zeilen werden automatisch berechnet.
„^2“ bedeutet „hoch 2“ (Quadrat), und „WURZEL( )“ ist die Funktion für die Quadratwurzel.
In der ersten Tabelle sehen Sie zum Beispiel die Diskriminante 25, Lösung 1 = 1 und Lösung 2 = −4.
Die WURZEL in der ersten Tabelle funktioniert nur bei D > 0 (bei D < 0 erhalten Sie den Fehler #ZAHL!; verwenden Sie dann die vierte Tabelle für komplexe Lösungen).

Mit Google Tabellen berechnen

Kopieren Sie die gesamte Tabelle unten und fügen Sie sie in Zelle A1 von Google Tabellen ein. Sie funktioniert unverändert.

Tabelle für zwei reelle Lösungen mit der Mitternachtsformel (bei D > 0)

Koeffizient a	1
Koeffizient b	3
Konstantes Glied c	-4
Diskriminante D = b² − 4ac	=B2^2-4B1B3
Lösung 1, x₁	=(-B2+WURZEL(B4))/(2*B1)
Lösung 2, x₂	=(-B2-WURZEL(B4))/(2*B1)

Tabelle für die Art der Lösungen aus der Diskriminante

Koeffizient a	1
Koeffizient b	1
Konstantes Glied c	1
Diskriminante D = b² − 4ac	=B2^2-4B1B3
Art der Lösungen	=WENN(B4>0;"Zwei verschiedene reelle Lösungen";WENN(B4=0;"Doppelte Lösung";"Zwei komplexe Lösungen"))

Tabelle für die doppelte Lösung (bei D = 0)

Koeffizient a	1
Koeffizient b	2
Konstantes Glied c	1
Doppelte Lösung x	=-B2/(2*B1)

Tabelle für Real- und Imaginärteil der zwei komplexen Lösungen (bei D < 0)

Koeffizient a	1
Koeffizient b	1
Konstantes Glied c	1
Realteil (−b ÷ 2a)	=-B2/(2*B1)
Imaginärteil (der Teil mit ±)	=WURZEL(4B1B3-B2^2)/ABS(2*B1)

Tabelle für die Lösung bei a = 0 (eine lineare Gleichung)

Koeffizient b	2
Konstantes Glied c	4
Lösung x	=-B2/B1

Die Formeln funktionieren wie in Excel (bei deutschen Spracheinstellungen von Google Tabellen). Kopieren Sie die gesamte Tabelle, fügen Sie sie in Zelle A1 ein und ersetzen Sie die Koeffizienten durch die Ihrer eigenen Gleichung.

Mit Python berechnen

import math

a = 1.0   # Koeffizient von x^2
b = 3.0   # Koeffizient von x
c = -4.0  # konstantes Glied

if a == 0 and b == 0:
    print("Sind a und b beide 0, gibt es keine Gleichung zu lösen")
elif a == 0:
    # Bei a = 0 wird es die lineare Gleichung bx + c = 0
    print(f"Lösung der linearen Gleichung: x = {-c / b}")
else:
    discriminant = b**2 - 4*a*c  # Diskriminante D
    print(f"Diskriminante D = {discriminant}")
    if discriminant > 0:
        root = math.sqrt(discriminant)
        print(f"Zwei verschiedene reelle Lösungen: x1 = {(-b + root) / (2*a)}, x2 = {(-b - root) / (2*a)}")
    elif discriminant == 0:
        print(f"Doppelte Lösung: x = {-b / (2*a)}")
    else:
        real_part = -b / (2*a)
        imaginary_part = math.sqrt(-discriminant) / (2*abs(a))
        print(f"Zwei komplexe Lösungen: x = {real_part} ± {imaginary_part}i")

Der Code läuft nur mit der Standardbibliothek. „**2“ bedeutet „hoch 2“ (Quadrat), und math.sqrt( ) ist die Quadratwurzel. Ändern Sie a, b und c am Anfang auf die Koeffizienten Ihrer eigenen Gleichung und führen Sie den Code aus.

Die Formel in LaTeX und anderen mathematischen Schreibweisen (zum Kopieren)

Die Mitternachtsformel (abc-Formel)

x = (−b ± √(b² − 4ac)) ÷ (2a)

x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>x</mi>
    <mo>=</mo>
    <mfrac>
      <mrow>
        <mo>&#x2212;</mo><mi>b</mi>
        <mo>&#xB1;</mo>
        <msqrt>
          <mrow>
            <msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup>
            <mo>&#x2212;</mo>
            <mn>4</mn><mi>a</mi><mi>c</mi>
          </mrow>
        </msqrt>
      </mrow>
      <mrow><mn>2</mn><mi>a</mi></mrow>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

x = (-b +- sqrt(b^2 - 4ac)) / (2a)

Solve[a*x^2 + b*x + c == 0, x]

solve(a*x^2 + b*x + c = 0, x);

x = roots([a b c]);

x = (-b ± √(b^2 - 4ac))/(2a)

Die Diskriminante (zeigt die Art der Lösungen)

D = b² − 4ac

D = b^{2} - 4ac

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>D</mi>
    <mo>=</mo>
    <msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup>
    <mo>&#x2212;</mo>
    <mn>4</mn><mi>a</mi><mi>c</mi>
  </mrow>
</math>

D = b^2 - 4ac

b^2 - 4*a*c

d := b^2 - 4*a*c;

d = b^2 - 4*a*c;

D = b^2 - 4ac

Doppelte Lösung (wenn die Diskriminante \(D = 0\) ist)

x = −b ÷ (2a)

x = -\frac{b}{2a}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>x</mi>
    <mo>=</mo>
    <mo>&#x2212;</mo>
    <mfrac><mi>b</mi><mrow><mn>2</mn><mi>a</mi></mrow></mfrac>
  </mrow>
</math>

x = -b / (2a)

-b/(2*a)

x := -b/(2*a);

x = -b/(2*a);

x = -b/(2a)

Zwei komplexe Lösungen (wenn die Diskriminante \(D < 0\) ist)

x = (−b ± √(4ac − b²) i) ÷ (2a)

x = \frac{-b \pm \sqrt{4ac - b^2}\,i}{2a}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>x</mi>
    <mo>=</mo>
    <mfrac>
      <mrow>
        <mo>&#x2212;</mo><mi>b</mi>
        <mo>&#xB1;</mo>
        <msqrt>
          <mrow>
            <mn>4</mn><mi>a</mi><mi>c</mi>
            <mo>&#x2212;</mo>
            <msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup>
          </mrow>
        </msqrt>
        <mi>i</mi>
      </mrow>
      <mrow><mn>2</mn><mi>a</mi></mrow>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

x = (-b +- sqrt(4ac - b^2) i) / (2a)

{(-b + Sqrt[4*a*c - b^2]*I)/(2*a), (-b - Sqrt[4*a*c - b^2]*I)/(2*a)}

x := [(-b + sqrt(4*a*c - b^2)*I)/(2*a), (-b - sqrt(4*a*c - b^2)*I)/(2*a)];

x = [(-b + sqrt(4*a*c - b^2)*1i)/(2*a), (-b - sqrt(4*a*c - b^2)*1i)/(2*a)];

x = (-b ± √(4ac - b^2) i)/(2a)

Wenn \(a = 0\) ist (die Gleichung wird linear)

x = −c ÷ b

x = -\frac{c}{b}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
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    <mi>x</mi>
    <mo>=</mo>
    <mo>&#x2212;</mo>
    <mfrac><mi>c</mi><mi>b</mi></mfrac>
  </mrow>
</math>

x = -c/b

-c/b

x := -c/b;

x = -c/b;

x = -c/b

Die Berechnung von ChatGPT ausführen lassen

Sie sind ein Rechenassistent für Mathematik. Führen Sie die folgende Berechnung durch, indem Sie tatsächlich Python-Code ausführen, und stützen Sie Ihre Antwort nur auf die Zahlen aus dem Ergebnis der Ausführung (antworten Sie nicht durch Kopfrechnen oder Raten).

Lösen Sie die quadratische Gleichung x² + 3x − 4 = 0 mit der Mitternachtsformel (abc-Formel).
Zeigen Sie jeweils:
1. Den Wert der Diskriminante D = b² − 4ac und die Art der Lösungen, die sie anzeigt (zwei verschiedene reelle Lösungen, eine doppelte Lösung oder zwei komplexe Lösungen)
2. Die Werte der Lösungen x (bei komplexen Lösungen in der Form „Realteil ± Imaginärteil i“)
3. Den Rechenweg, der zeigt, wie die Werte in die Mitternachtsformel eingesetzt werden

Zeigen Sie die verwendeten Formeln und die Zahlen aus dem Ergebnis der Ausführung.

Anleitung

1

Zahlen eingeben

Geben Sie die Zahlen, mit denen Sie rechnen möchten, in die Eingabefelder ein
2

Berechnen

Klicken Sie auf die Schaltfläche „Berechnen“
3

Ergebnis ablesen

Das Ergebnis erscheint sofort. Auf derselben Seite finden Sie auch den Rechenweg und die Erklärung der Formel