Quadratische Gleichung lösen – Mitternachtsformel (abc-Formel) mit Diskriminante und komplexen Lösungen

Geben Sie die Koeffizienten a, b und c der quadratischen Gleichung ax² + bx + c = 0 ein. Die Gleichung darunter ist mit den Eingabefeldern verknüpft; Sie können die Koeffizienten auch direkt darin ändern. Der Rechner bestimmt die Lösungen mit der Mitternachtsformel und zeigt auch die Diskriminante, die Art der Lösungen und den Rechenweg.

a (Zahl vor x²)

b (Zahl vor x)

c (absolutes Glied)

Dezimalzahlen, negative Zahlen und Brüche wie 3/4 sind möglich. Fehlt ein Glied, wie bei x² − 4 = 0, geben Sie für seinen Koeffizienten 0 ein.

Ergebnis und Graph

Geben Sie links die Koeffizienten a, b und c ein und klicken Sie auf „Berechnen“. Hier erscheint dann das Ergebnis.

Inhaltsverzeichnis

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Das können Sie auf dieser Seite
Wofür braucht man diese Berechnung?
Anleitung
Formeln und Graphen
Symbole und Begriffe
- Symbole
- Begriffe
Das sollten Sie vorher wissen
So berechnen Sie es in Excel
So berechnen Sie es in Google Tabellen
So berechnen Sie es in Python
So schreiben Sie die Formel in LaTeX und anderen Formelsprachen (zum Kopieren)
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Das können Sie auf dieser Seite

Sie geben nur die Koeffizienten \(a\), \(b\) und \(c\) ein, und die Mitternachtsformel löst die quadratische Gleichung \(ax^2 + bx + c = 0\) sofort
Gleichzeitig sehen Sie den Wert der Diskriminante \(D = b^2 - 4ac\) und die Art der Lösungen: zwei verschiedene reelle Lösungen, eine doppelte Lösung oder zwei komplexe Lösungen
Gibt es keine reelle Lösung, berechnet der Rechner trotzdem die beiden komplexen Lösungen, etwa \(-0{,}5 \pm 0{,}866i\) (ein konjugiertes Paar, das sich nur im Vorzeichen des Imaginärteils unterscheidet)
Als Koeffizienten sind Dezimalzahlen, negative Zahlen und Brüche wie 3/4 möglich
Außerdem finden Sie hier eine leicht verständliche Erklärung der Formeln und Formeln zum Kopieren für Excel, Google Tabellen und Python

Ist a = 0, liegt keine quadratische Gleichung vor. Dann wird die lineare Gleichung \(bx + c = 0\) gelöst (Lösung \(x = -c : b\)). a und b dürfen nicht beide 0 sein.

Wofür braucht man diese Berechnung?

Höhe und Zeit beim senkrechten Wurf oder bei Feuerwerksraketen (Physik und Sport)

Wirft man einen Ball mit 20 m/s senkrecht nach oben, ist er nach t Sekunden ungefähr 20t − 5t² Meter hoch (mit der vereinfachten Fallbeschleunigung von etwa 10 m/s² und ohne Luftwiderstand). Die Frage „Wann ist er 15 m hoch?“ führt auf die quadratische Gleichung −5t² + 20t − 15 = 0, und die Mitternachtsformel liefert t = 1 s und t = 3 s (einmal auf dem Weg nach oben, einmal nach unten).
Ob die Zerlegungshöhe einer Silvesterrakete oder die Flugbahn eines Basketballwurfs: Die Bewegung geworfener Körper hängt immer mit quadratischen Gleichungen zusammen.

Maße eines Beets oder Grundstücks aus der Fläche bestimmen (Garten und Immobilien)

„Ich möchte ein rechteckiges Beet mit genau 28 m² Fläche anlegen, das 3 m länger als breit ist.“ Mit der Breite x gilt x(x + 3) = 28, geordnet x² + 3x − 28 = 0. Die Mitternachtsformel liefert x = 4 und x = −7. Eine Länge kann nicht negativ sein, also ist das Beet 4 m breit und 7 m lang.
Im Alltag gehört dieser letzte Schritt immer dazu: Von den beiden Lösungen wählt man die, die in der Sachaufgabe einen Sinn ergibt.

Den Zinssatz bei Zinseszins zurückrechnen (Geld)

Welcher Jahreszins macht aus 10.000 € in 2 Jahren 10.404 €? Mit dem Zinssatz r gilt 10.000 · (1 + r)² = 10.404, umgeformt r² + 2r − 0,0404 = 0. Die Mitternachtsformel liefert r = 0,02 und r = −2,02. Als Zinssatz sinnvoll ist nur r = 0,02, also 2 % pro Jahr.
Geldrechnungen, bei denen „zweimal mit demselben Faktor multipliziert“ wird, wie beim Zinseszins, führen auf quadratische Gleichungen. So können Sie vom Zielbetrag auf die nötige Rendite zurückrechnen.

Brücken und Bögen planen (Architektur und Bauingenieurwesen)

Die Form einer Bogenbrücke oder des Tragseils einer Hängebrücke wird meist mit einer Parabel y = ax² + bx + c geplant. Die Frage „In welchem Abstand von der Mitte ist der Bogen genau so und so viele Meter hoch?“ bedeutet nichts anderes, als eine quadratische Gleichung zu lösen.
Wenn Architekten und Bauingenieure die Form eines Bauwerks mit Formeln festlegen, gehört die Mitternachtsformel zum Grundwerkzeug.

Preise abschätzen, bei denen der Gewinn null ist (Gewinnschwelle, Wirtschaft)

„Ein höherer Preis bringt mehr Gewinn pro Stück, aber es wird weniger verkauft.“ In einem einfachen Modell ist der Gewinn dann eine quadratische Funktion des Preises. Die Preise, bei denen der Gewinn genau 0 ist, sind die Lösungen dieser quadratischen Gleichung – sie geben eine grobe Ober- und Untergrenze für die Preisgestaltung.
Echte Märkte sind komplizierter, aber mit einer quadratischen Gleichung erst einmal abzuschätzen, „wo der Gewinnberg endet“, ist ein üblicher Einstieg in die betriebswirtschaftliche Analyse.

Formeln und Graphen

Die Mitternachtsformel (abc-Formel)

Graph

Mathematische Schreibweise (die übliche Formel)

\(x\) \(=\) \((\) \(-b\) \(\pm\) \(\sqrt{b^2 - 4ac}\) \()\) \(\div\) \((\) \(2a\) \()\)

In Worten (Symbole durch Wörter ersetzt)

④ \(x\): Lösung der Gleichung \(=\) \((\) ① \(-b\): Koeffizient von \(x\) mit umgekehrtem Vorzeichen \(\pm\) ② \(\sqrt{b^2 - 4ac}\): Wurzel aus der Diskriminante \()\) \(\div\) \((\) ③ \(2a\): das Doppelte des Koeffizienten von \(x^2\) \()\)

Die Formel in Worten

① Man nimmt \(-b\): Koeffizient von \(x\) mit umgekehrtem Vorzeichen

② und addiert bzw. subtrahiert \(\sqrt{b^2 - 4ac}\): Wurzel aus der Diskriminante (die beiden Fälle von ±),

③ teilt jedes Ergebnis durch \(2a\): das Doppelte des Koeffizienten von \(x^2\)

④ und erhält \(x\): Lösung der Gleichung (wegen ± gibt es meist zwei Lösungen)

Einfaches Beispiel

Die Lösungen der quadratischen Gleichung x² + 3x − 4 = 0 (a = 1; b = 3; c = −4) sind

\(x\): Lösung der Gleichung \(=\) \((\) \(b\) mit umgekehrtem Vorzeichen (−3) \(\pm\) Wurzel aus der Diskriminante 25 (5) \()\) \(\div\) \((\) das Doppelte von \(a\) (2) \()\)

\(x = \dfrac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4 \times 1 \times (-4)}}{2 \times 1} = \dfrac{-3 \pm \sqrt{25}}{2} = \dfrac{-3 \pm 5}{2}\)

\(x = \dfrac{-3 + 5}{2} = 1, \quad x = \dfrac{-3 - 5}{2} = -4\)

Der Grundgedanke

Die Mitternachtsformel ist die „fertige Lösungsformel“, die entsteht, wenn man \(ax^2 + bx + c = 0\) (\(a \neq 0\)) mit der quadratischen Ergänzung allgemein bis zum Ende auflöst. Egal wie die Koeffizienten lauten: Sie setzen nur \(a\), \(b\) und \(c\) ein und erhalten die Lösungen. ± (plus minus) bedeutet: Sowohl das Addieren als auch das Subtrahieren liefert eine Lösung, deshalb gibt es meist zwei. Gleichungen, die sich durch Faktorisieren lösen lassen, löst die Formel natürlich auch – die Ergebnisse stimmen immer überein. Teilt man die Gleichung zuerst durch \(a\), erhält man die Normalform \(x^2 + px + q = 0\) und daraus die pq-Formel. Beide Formeln liefern dieselben Lösungen.

Die Diskriminante (sagt, welche Art von Lösungen es gibt)

Graph

Mathematische Schreibweise (die übliche Formel)

\(D\) \(=\) \(b\) \(2\) \(-\) \(4\) \(\times\) \(a\) \(\times\) \(c\)

In Worten (Symbole durch Wörter ersetzt)

⑥ \(D\): Diskriminante \(=\) ① \(b\): Koeffizient von \(x\) ② zum Quadrat \(-\) ③ die feste Zahl \(4\) \(\times\) ④ \(a\): Koeffizient von \(x^2\) \(\times\) ⑤ \(c\): absolutes Glied

Die Formel in Worten

① Man nimmt \(b\): Koeffizient von \(x\)

② und rechnet es zum Quadrat . Davon zieht man das Produkt aus

③ der festen Zahl \(4\) ,

④ \(a\): Koeffizient von \(x^2\) und

⑤ \(c\): absolutes Glied ab

⑥ und erhält \(D\): Diskriminante

Einfaches Beispiel

Die Diskriminante von x² + 3x − 4 = 0 (a = 1; b = 3; c = −4) ist

\(D\): Diskriminante \(=\) \(b\) (3) zum Quadrat \(-\) 4 \(\times\) \(a\) (1) \(\times\) \(c\) (−4)

\(D = 3^2 - 4 \times 1 \times (-4) = 9 + 16 = 25\)

Der Grundgedanke

Die Diskriminante \(D\) ist genau der Ausdruck unter der Wurzel in der Mitternachtsformel. An ihr erkennen Sie schon vor dem Rechnen, welche Art von Lösungen herauskommt. - \(D > 0\): Die Wurzel ist eine positive reelle Zahl, also gibt es zwei verschiedene reelle Lösungen (im Graphen schneidet die Parabel die x-Achse in zwei Punkten) - \(D = 0\): Die Wurzel ist 0, also gibt es eine doppelte Lösung, genau eine reelle Lösung (die Parabel berührt die x-Achse) - \(D < 0\): Unter der Wurzel steht eine negative Zahl, also gibt es keine reelle Lösung. Erweitert man den Zahlbereich auf die komplexen Zahlen, gibt es zwei komplexe Lösungen (die Parabel trifft die x-Achse nicht)

Doppelte Lösung (wenn die Diskriminante \(D = 0\) ist)

Graph

Mathematische Schreibweise (die übliche Formel)

\(x\) \(=\) \(-b\) \(\div\) \((\) \(2a\) \()\)

In Worten (Symbole durch Wörter ersetzt)

③ \(x\): doppelte Lösung \(=\) ① \(-b\): Koeffizient von \(x\) mit umgekehrtem Vorzeichen \(\div\) \((\) ② \(2a\): das Doppelte des Koeffizienten von \(x^2\) \()\)

Die Formel in Worten

① Man teilt \(-b\): Koeffizient von \(x\) mit umgekehrtem Vorzeichen

② durch \(2a\): das Doppelte des Koeffizienten von \(x^2\)

③ und erhält \(x\): doppelte Lösung (die einzige Lösung)

Einfaches Beispiel

Die Lösung von x² + 2x + 1 = 0 (a = 1; b = 2; c = 1; Diskriminante D = 4 − 4 = 0) ist

\(x\): doppelte Lösung \(=\) \(b\) mit umgekehrtem Vorzeichen (−2) \(\div\) \((\) das Doppelte von \(a\) (2) \()\)

\(D = 2^2 - 4 \times 1 \times 1 = 0\)

\(x = \dfrac{-2}{2 \times 1} = -1\)

Der Grundgedanke

Bei \(D = 0\) ist \(\sqrt{0} = 0\). Der Teil „± √D“ der Mitternachtsformel fällt weg, und die beiden Lösungen fallen zusammen. Das nennt man eine doppelte Lösung. Das passiert, wenn sich die linke Seite genau als Quadrat schreiben lässt (binomische Formel), wie bei \(x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2\).

Zwei komplexe Lösungen (wenn die Diskriminante \(D < 0\) ist)

Graph

Mathematische Schreibweise (die übliche Formel)

\(x\) \(=\) \((\) \(-b\) \(\pm\) \(\sqrt{4ac - b^2}\) \(\,i\) \()\) \(\div\) \((\) \(2a\) \()\)

In Worten (Symbole durch Wörter ersetzt)

⑤ \(x\): zwei komplexe Lösungen \(=\) \((\) ① \(-b\): Koeffizient von \(x\) mit umgekehrtem Vorzeichen \(\pm\) ② \(\sqrt{4ac - b^2}\): Wurzel aus \(4ac - b^2\) ③ \(\,i\) \()\) \(\div\) \((\) ④ \(2a\): das Doppelte des Koeffizienten von \(x^2\) \()\)

Die Formel in Worten

① Man nimmt \(-b\): Koeffizient von \(x\) mit umgekehrtem Vorzeichen

② und addiert bzw. subtrahiert \(\sqrt{4ac - b^2}\): Wurzel aus der positiven Zahl \(4ac - b^2\) (der Diskriminante mit umgekehrtem Vorzeichen)

③ mal der imaginären Einheit \(i\) (der Zahl, deren Quadrat −1 ist) – die beiden Fälle von ± –,

④ teilt jedes Ergebnis durch \(2a\): das Doppelte des Koeffizienten von \(x^2\)

⑤ und erhält \(x\): zwei komplexe Lösungen (ein konjugiertes Paar, das sich nur im Vorzeichen des Imaginärteils unterscheidet)

Einfaches Beispiel

Die Lösungen von x² + x + 1 = 0 (a = 1; b = 1; c = 1; Diskriminante D = 1 − 4 = −3) sind

\(x\): zwei komplexe Lösungen \(=\) \((\) \(b\) mit umgekehrtem Vorzeichen (−1) \(\pm\) Wurzel aus \(4ac - b^2 = 3\) \(\,i\) \()\) \(\div\) \((\) das Doppelte von \(a\) (2) \()\)

\(x = \dfrac{-1 \pm \sqrt{3}\,i}{2} \approx -0{,}5 \pm 0{,}866\,i\)

Der Grundgedanke

Bei \(D < 0\) steht unter der Wurzel eine negative Zahl. Keine reelle Zahl ergibt quadriert eine negative Zahl, deshalb gibt es im Bereich der reellen Zahlen keine Lösung. Führt man die imaginäre Einheit \(i\) ein, „die Zahl, deren Quadrat −1 ist“, kann man \(\sqrt{-3} = \sqrt{3}\,i\) schreiben und die Lösungen als zwei komplexe Zahlen angeben. \(4ac - b^2\) ist die Diskriminante \(b^2 - 4ac\) mit umgekehrtem Vorzeichen und bei \(D < 0\) immer positiv – die Wurzel daraus lässt sich also problemlos ziehen.

Wenn \(a = 0\) ist (dann wird es eine lineare Gleichung)

Graph

Mathematische Schreibweise (die übliche Formel)

\(x\) \(=\) \(-c\) \(\div\) \(b\)

In Worten (Symbole durch Wörter ersetzt)

③ \(x\): Lösung der linearen Gleichung \(=\) ① \(-c\): absolutes Glied mit umgekehrtem Vorzeichen \(\div\) ② \(b\): Koeffizient von \(x\)

Die Formel in Worten

① Man teilt \(-c\): absolutes Glied mit umgekehrtem Vorzeichen

② durch \(b\): Koeffizient von \(x\)

③ und erhält \(x\): Lösung der linearen Gleichung

Einfaches Beispiel

Mit a = 0 ist die Lösung von 2x + 4 = 0 (b = 2; c = 4)

\(x\): Lösung der linearen Gleichung \(=\) \(c\) mit umgekehrtem Vorzeichen (−4) \(\div\) \(b\) (2)

\(x = \dfrac{-4}{2} = -2\)

Der Grundgedanke

Bei \(a = 0\) fällt das Glied mit \(x^2\) weg, und aus der quadratischen Gleichung wird die lineare Gleichung \(bx + c = 0\). Die Mitternachtsformel hat \(2a\) im Nenner und setzt deshalb \(a \neq 0\) voraus. Dieser Rechner meldet bei a = 0 keinen Fehler, sondern löst die lineare Gleichung und gibt eine Lösung aus (nur wenn a und b beide 0 sind, gibt es keine Gleichung mehr, und es erscheint eine Fehlermeldung).

Die Lösungen der quadratischen Gleichung ax² + bx + c = 0 erhalten Sie, indem Sie die Koeffizienten in die Mitternachtsformel x = (−b ± √(b² − 4ac)) ÷ (2a) einsetzen. Am Vorzeichen der Diskriminante D = b² − 4ac unter der Wurzel sehen Sie schon vor dem Rechnen, ob es zwei Lösungen, eine (doppelte Lösung) oder komplexe Lösungen gibt.

Symbole und Begriffe

Symbole

\(a, b, c\)	a, b, c	Die Koeffizienten der quadratischen Gleichung. \(a\) ist die Zahl vor \(x^2\), \(b\) die Zahl vor \(x\) und \(c\) das absolute Glied (das Glied ohne \(x\)).
\(x\)	x	Die unbekannte Zahl, die Sie als Lösung der Gleichung suchen. Eine quadratische Gleichung hat höchstens zwei Lösungen.
\(D\)	D (Diskriminante)	Steht für die Diskriminante \(D = b^2 - 4ac\) (Anfangsbuchstabe von „Diskriminante“). Manche Bücher schreiben dafür den griechischen Buchstaben \(\Delta\) (Delta).
\(\sqrt{\phantom{9}}\)	Wurzel (Quadratwurzel)	Zeichen für „die Zahl ≥ 0, die quadriert die Zahl unter der Wurzel ergibt“. Zum Beispiel \(\sqrt{25} = 5\) und \(\sqrt{2} \approx 1{,}414\).
\(\pm\)	plus minus	Fasst „den Fall mit + und den Fall mit −“ in einem Zeichen zusammen. In der Mitternachtsformel heißt das, dass die Summe und die Differenz beide Lösungen sind.
\(i\)	i (imaginäre Einheit)	Die Zahl, deren Quadrat \(-1\) ist (\(i^2 = -1\)). Mit ihr schreibt man die Lösungen, wenn unter der Wurzel eine negative Zahl steht.
\(x_1, x_2\)	x eins, x zwei	Namen für die beiden Lösungen. Auf dieser Seite ist \(x_1\) die Lösung mit + und \(x_2\) die Lösung mit − aus ±.

Begriffe

quadratische Gleichung	Eine Gleichung mit einem Glied \(x^2\). Geordnet hat sie die Form \(ax^2 + bx + c = 0\) (\(a \neq 0\)), die allgemeine Form. Sie wird meist in Klasse 9 (14–15 Jahre) behandelt.
Koeffizient	Die Zahl vor einer Variablen. In \(3x\) ist 3 der Koeffizient. Achten Sie beim Ablesen auf weggelassene Einsen und Vorzeichen: \(x^2 - x = 0\) bedeutet a = 1, b = −1, c = 0.
Lösung	Ein Wert der Variablen, für den die Gleichung stimmt. Eine Gleichung „lösen“ heißt, alle ihre Lösungen zu finden. Die Lösungen einer quadratischen Gleichung sind die Nullstellen der zugehörigen Parabel.
Mitternachtsformel	Die Formel, mit der man die Lösungen einer quadratischen Gleichung direkt aus den Koeffizienten a, b und c berechnet. Je nach Bundesland heißt sie auch abc-Formel oder Lösungsformel. Ihr Vorteil – sie funktioniert immer, auch wenn man keine Faktorisierung findet. Für \(a = 1\) verwendet man oft die pq-Formel.
Diskriminante	Der Ausdruck \(b^2 - 4ac\) unter der Wurzel in der Mitternachtsformel. Allein an seinem Vorzeichen erkennt man die Art der Lösungen (zwei reelle Lösungen, eine doppelte Lösung oder zwei komplexe Lösungen).
doppelte Lösung	Eine Lösung, bei der die beiden Lösungen zu einer zusammenfallen. Das passiert, wenn die Diskriminante 0 ist; im Graphen berührt die Parabel dann die x-Achse (doppelte Nullstelle).
reelle Lösung	Eine Lösung, die eine reelle Zahl ist (eine Zahl auf dem gewohnten Zahlenstrahl). Ist die Diskriminante 0 oder größer, gibt es reelle Lösungen.
komplexe Lösung	Eine Lösung, die keine reelle Zahl ist und mit der imaginären Einheit \(i\) geschrieben wird. Ist die Diskriminante negativ, bilden die Lösungen ein Paar der Form „Realteil ± Imaginärteil · \(i\)“, etwa \(-0{,}5 \pm 0{,}866i\) (konjugiert komplexe Zahlen). In der Schule meist erst in der Oberstufe oder im Studium.
quadratische Ergänzung	Das Umformen einer Gleichung in die Form \((x + p)^2 = q\) (ein Quadrat gleich einer Zahl). Führt man das allgemein mit den Buchstaben a, b und c durch, erhält man die Mitternachtsformel.
Faktorisieren	Einen Term als Produkt schreiben. Gelingt \(x^2 + 3x - 4 = (x - 1)(x + 4)\), sieht man die Lösungen x = 1 und x = −4 ohne Mitternachtsformel (Satz vom Nullprodukt).
Parabel	Die Form des Graphen von \(y = ax^2 + bx + c\). Die reellen Lösungen der quadratischen Gleichung sind die x-Koordinaten der Schnittpunkte dieser Parabel mit der x-Achse (die Nullstellen).
pq-Formel	Die Lösungsformel für die Normalform \(x^2 + px + q = 0\): \(x = -\dfrac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2 - q}\). Sie ist die Mitternachtsformel für \(a = 1\). Bei \(a \neq 1\) teilt man die Gleichung zuerst durch \(a\) (dann ist \(p = b : a\) und \(q = c : a\)).

Das sollten Sie vorher wissen

Damit Sie die Berechnung auf dieser Seite nicht nur per Knopfdruck, sondern mit Verständnis nutzen, ist hier zusammengestellt, was Sie vorher wissen sollten.
Wenn Sie nicht weiterkommen, ist ein Blick zurück auf diese Themen der schnellste Weg.

Rechnen mit negativen Zahlen (Klasse 6–7, 11–13 Jahre)	Wissen, dass das Quadrat einer negativen Zahl positiv ist, wie bei \((-5)^2 = 25\) Mit Vorzeichen sicher multiplizieren können, wie bei \(-4 \cdot 1 \cdot (-4) = +16\)
Quadratwurzeln (Klasse 8–9, 13–15 Jahre)	Die Quadratwurzel als „die Zahl, die quadriert diese Zahl ergibt“ verstehen, wie bei \(\sqrt{25} = 5\) Wissen, dass sich eine Wurzel, die nicht aufgeht, wie \(\sqrt{2}\), als Näherungswert (Dezimalzahl) angeben lässt
Quadratische Gleichungen (Klasse 9, 14–15 Jahre)	Eine Gleichung in die Form \(ax^2 + bx + c = 0\) bringen und die Koeffizienten \(a\), \(b\), \(c\) mit Vorzeichen ablesen können Bei einer Gleichung, die sich faktorisieren lässt, prüfen können, dass die Ergebnisse mit denen der Mitternachtsformel übereinstimmen
Graphen quadratischer Funktionen (Klasse 9–10, 14–16 Jahre)	Wissen, dass der Graph von \(y = ax^2 + bx + c\) eine Parabel ist Sich die reellen Lösungen als „x-Koordinaten der Schnittpunkte der Parabel mit der x-Achse“ (Nullstellen) vorstellen können

So berechnen Sie es in Excel

Kopieren Sie die ganze Tabelle und fügen Sie sie in Zelle A1 von Excel ein – dann funktioniert sie direkt.

Tabelle für zwei reelle Lösungen mit der Mitternachtsformel (bei D > 0)

Koeffizient a	1
Koeffizient b	3
Absolutes Glied c	-4
Diskriminante D = b² − 4ac	=B2^2-4B1B3
1. Lösung x₁	=(-B2+WURZEL(B4))/(2*B1)
2. Lösung x₂	=(-B2-WURZEL(B4))/(2*B1)

Tabelle, die mit der Diskriminante die Art der Lösungen bestimmt

Koeffizient a	1
Koeffizient b	1
Absolutes Glied c	1
Diskriminante D = b² − 4ac	=B2^2-4B1B3
Art der Lösungen	=WENN(B4>0;"Zwei verschiedene reelle Lösungen";WENN(B4=0;"Doppelte Lösung";"Zwei komplexe Lösungen"))

Tabelle für die doppelte Lösung (bei D = 0)

Koeffizient a	1
Koeffizient b	2
Absolutes Glied c	1
Doppelte Lösung x	=-B2/(2*B1)

Tabelle für Real- und Imaginärteil der beiden komplexen Lösungen (bei D < 0)

Koeffizient a	1
Koeffizient b	1
Absolutes Glied c	1
Realteil (−b : 2a)	=-B2/(2*B1)
Imaginärteil (der Teil mit ±)	=WURZEL(4B1B3-B2^2)/ABS(2*B1)

Tabelle für die Lösung bei a = 0 (lineare Gleichung)

Koeffizient b	2
Absolutes Glied c	4
Lösung x	=-B2/B1

Nach dem Einfügen sind die oberen Zeilen (die Koeffizienten a, b und c) Ihre Eingaben, die unteren Zeilen werden automatisch berechnet.
„^2“ bedeutet „zum Quadrat“, „WURZEL( )“ ist die Funktion für die Quadratwurzel.
In der ersten Tabelle sehen Sie zum Beispiel die Diskriminante 25, die 1. Lösung 1 und die 2. Lösung −4.
Die WURZEL in der ersten Tabelle funktioniert nur bei D ≥ 0 (bei D < 0 erscheint der Fehler #ZAHL!; nehmen Sie dann die vierte Tabelle für komplexe Lösungen).

So berechnen Sie es in Google Tabellen

Kopieren Sie die ganze Tabelle und fügen Sie sie in Zelle A1 von Google Tabellen ein – dann funktioniert sie direkt.

Tabelle für zwei reelle Lösungen mit der Mitternachtsformel (bei D > 0)

Koeffizient a	1
Koeffizient b	3
Absolutes Glied c	-4
Diskriminante D = b² − 4ac	=B2^2-4B1B3
1. Lösung x₁	=(-B2+WURZEL(B4))/(2*B1)
2. Lösung x₂	=(-B2-WURZEL(B4))/(2*B1)

Tabelle, die mit der Diskriminante die Art der Lösungen bestimmt

Koeffizient a	1
Koeffizient b	1
Absolutes Glied c	1
Diskriminante D = b² − 4ac	=B2^2-4B1B3
Art der Lösungen	=WENN(B4>0;"Zwei verschiedene reelle Lösungen";WENN(B4=0;"Doppelte Lösung";"Zwei komplexe Lösungen"))

Tabelle für die doppelte Lösung (bei D = 0)

Koeffizient a	1
Koeffizient b	2
Absolutes Glied c	1
Doppelte Lösung x	=-B2/(2*B1)

Tabelle für Real- und Imaginärteil der beiden komplexen Lösungen (bei D < 0)

Koeffizient a	1
Koeffizient b	1
Absolutes Glied c	1
Realteil (−b : 2a)	=-B2/(2*B1)
Imaginärteil (der Teil mit ±)	=WURZEL(4B1B3-B2^2)/ABS(2*B1)

Tabelle für die Lösung bei a = 0 (lineare Gleichung)

Koeffizient b	2
Absolutes Glied c	4
Lösung x	=-B2/B1

Die Formeln aus Excel funktionieren unverändert. Kopieren Sie die ganze Tabelle, fügen Sie sie in Zelle A1 ein und ersetzen Sie die Koeffizienten durch die Ihrer eigenen Gleichung.

So berechnen Sie es in Python

import math

a = 1.0   # Koeffizient von x^2
b = 3.0   # Koeffizient von x
c = -4.0  # absolutes Glied

if a == 0 and b == 0:
    print("Sind a und b beide 0, gibt es keine Gleichung zu lösen")
elif a == 0:
    # Bei a = 0 wird daraus die lineare Gleichung bx + c = 0
    print(f"Lösung der linearen Gleichung: x = {-c / b}")
else:
    discriminant = b**2 - 4*a*c  # Diskriminante D
    print(f"Diskriminante D = {discriminant}")
    if discriminant > 0:
        root = math.sqrt(discriminant)
        print(f"Zwei verschiedene reelle Lösungen: x1 = {(-b + root) / (2*a)}, x2 = {(-b - root) / (2*a)}")
    elif discriminant == 0:
        print(f"Doppelte Lösung: x = {-b / (2*a)}")
    else:
        real_part = -b / (2*a)
        imaginary_part = math.sqrt(-discriminant) / (2*abs(a))
        print(f"Zwei komplexe Lösungen: x = {real_part} ± {imaginary_part}i")

Läuft nur mit der Standardbibliothek. „**2“ bedeutet „zum Quadrat“, math.sqrt( ) ist die Quadratwurzel. Ersetzen Sie a, b und c am Anfang durch die Koeffizienten Ihrer Gleichung und führen Sie das Programm aus. Python gibt Dezimalzahlen mit Punkt aus.

So schreiben Sie die Formel in LaTeX und anderen Formelsprachen (zum Kopieren)

Die Mitternachtsformel (abc-Formel)

x = (−b ± √(b² − 4ac)) ÷ (2a)

x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>x</mi>
    <mo>=</mo>
    <mfrac>
      <mrow>
        <mo>&#x2212;</mo><mi>b</mi>
        <mo>&#xB1;</mo>
        <msqrt>
          <mrow>
            <msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup>
            <mo>&#x2212;</mo>
            <mn>4</mn><mi>a</mi><mi>c</mi>
          </mrow>
        </msqrt>
      </mrow>
      <mrow><mn>2</mn><mi>a</mi></mrow>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

x = (-b +- sqrt(b^2 - 4ac)) / (2a)

Solve[a*x^2 + b*x + c == 0, x]

solve(a*x^2 + b*x + c = 0, x);

x = roots([a b c]);

x = (-b ± √(b^2 - 4ac))/(2a)

Die Diskriminante (sagt, welche Art von Lösungen es gibt)

D = b² − 4ac

D = b^{2} - 4ac

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>D</mi>
    <mo>=</mo>
    <msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup>
    <mo>&#x2212;</mo>
    <mn>4</mn><mi>a</mi><mi>c</mi>
  </mrow>
</math>

D = b^2 - 4ac

b^2 - 4*a*c

d := b^2 - 4*a*c;

d = b^2 - 4*a*c;

D = b^2 - 4ac

Doppelte Lösung (wenn die Diskriminante \(D = 0\) ist)

x = −b ÷ (2a)

x = -\frac{b}{2a}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>x</mi>
    <mo>=</mo>
    <mo>&#x2212;</mo>
    <mfrac><mi>b</mi><mrow><mn>2</mn><mi>a</mi></mrow></mfrac>
  </mrow>
</math>

x = -b / (2a)

-b/(2*a)

x := -b/(2*a);

x = -b/(2*a);

x = -b/(2a)

Zwei komplexe Lösungen (wenn die Diskriminante \(D < 0\) ist)

x = (−b ± √(4ac − b²) i) ÷ (2a)

x = \frac{-b \pm \sqrt{4ac - b^2}\,i}{2a}

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  <mrow>
    <mi>x</mi>
    <mo>=</mo>
    <mfrac>
      <mrow>
        <mo>&#x2212;</mo><mi>b</mi>
        <mo>&#xB1;</mo>
        <msqrt>
          <mrow>
            <mn>4</mn><mi>a</mi><mi>c</mi>
            <mo>&#x2212;</mo>
            <msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup>
          </mrow>
        </msqrt>
        <mi>i</mi>
      </mrow>
      <mrow><mn>2</mn><mi>a</mi></mrow>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

x = (-b +- sqrt(4ac - b^2) i) / (2a)

{(-b + Sqrt[4*a*c - b^2]*I)/(2*a), (-b - Sqrt[4*a*c - b^2]*I)/(2*a)}

x := [(-b + sqrt(4*a*c - b^2)*I)/(2*a), (-b - sqrt(4*a*c - b^2)*I)/(2*a)];

x = [(-b + sqrt(4*a*c - b^2)*1i)/(2*a), (-b - sqrt(4*a*c - b^2)*1i)/(2*a)];

x = (-b ± √(4ac - b^2) i)/(2a)

Wenn \(a = 0\) ist (dann wird es eine lineare Gleichung)

x = −c ÷ b

x = -\frac{c}{b}

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  <mrow>
    <mi>x</mi>
    <mo>=</mo>
    <mo>&#x2212;</mo>
    <mfrac><mi>c</mi><mi>b</mi></mfrac>
  </mrow>
</math>

x = -c/b

-c/b

x := -c/b;

x = -c/b;

x = -c/b

So lassen Sie ChatGPT rechnen

Sie sind ein Rechenassistent für Mathematik. Führen Sie die folgende Berechnung aus, indem Sie tatsächlich Python-Code ausführen, und stützen Sie Ihre Antwort nur auf die Zahlen aus dem Ausführungsergebnis (nicht im Kopf rechnen und nicht schätzen).

Lösen Sie die quadratische Gleichung x² + 3x − 4 = 0 mit der Mitternachtsformel (abc-Formel).
Zeigen Sie jeweils:
1. Den Wert der Diskriminante D = b² − 4ac und welche Art von Lösungen sich daraus ergibt (zwei verschiedene reelle Lösungen, eine doppelte Lösung oder zwei komplexe Lösungen)
2. Die Lösungen x (bei komplexen Lösungen in der Form „Realteil ± Imaginärteil · i“)
3. Den Rechenweg, wie die Werte in die Mitternachtsformel eingesetzt werden

Zeigen Sie die verwendeten Formeln und die Zahlen aus dem Ausführungsergebnis.

Anleitung

1

Werte eingeben

Tragen Sie die Zahlen, mit denen Sie rechnen möchten, in die Eingabefelder ein
2

Berechnen

Klicken Sie auf die Schaltfläche „Berechnen“
3

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Das Ergebnis erscheint sofort. Auf derselben Seite finden Sie auch den Rechenweg und die Erklärung der Formel