Geben Sie den Radius und die Höhe des zylindrischen Teils der Kapsel ein. Angezeigt werden das Volumen (V = πr²h + 4/3πr³), seine Aufteilung (Zylinderteil und Kugelteil) und die Umrechnung in cm³, L und m³.
Geben Sie Radius und Höhe in derselben Einheit ein, nur als Zahlen ohne Einheit (bei 3 cm geben Sie „3“ ein). Die „Höhe“ enthält die Halbkugeln an den Enden nicht. Kennen Sie nur die Gesamtlänge der Kapsel, geben Sie als Höhe die Gesamtlänge minus das Doppelte des Radius ein.
Ergebnis und Figur
Geben Sie im Feld links den Radius und die Höhe des zylindrischen Teils ein und klicken Sie auf „Berechnen“. Das Ergebnis erscheint hier.
Inhaltsverzeichnis
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Was Sie auf dieser Seite tun können
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Wofür ist diese Berechnung nützlich?
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Anleitung
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Formeln und Abbildungen
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Der Grundgedanke beim Volumen einer Kapsel (in Zylinder und Kugel zerlegen und addieren)
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Volumen des zylindrischen Teils (Grundformel 1)
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Volumen der Kugel, die beide Enden zusammen ergeben (Grundformel 2)
-
Volumen einer Kapsel in einer einzigen Formel
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Umrechnung von Volumeneinheiten (cm³ → L)
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Umrechnung von Volumeneinheiten (cm³ → m³)
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Symbole und Begriffe
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Was Sie vorab wissen sollten
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Mit Excel berechnen
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Mit Google Tabellen berechnen
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Mit Python berechnen
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Die Formel in LaTeX und anderen mathematischen Schreibweisen (zum Kopieren)
-
Die Berechnung von ChatGPT ausführen lassen
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Die Vorteile von DataChef
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Verwandte Funktionen
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Alle NumberChef-Rechner
Was Sie auf dieser Seite tun können
- Geben Sie Radius und Höhe des zylindrischen Teils ein, und Sie sehen sofort das Volumen einer Kapsel (ein Zylinder mit einer Halbkugel an jedem Ende): \(V = \pi r^2 h + \dfrac{4}{3}\pi r^3\)
- Das Volumen des zylindrischen Teils und das der Kugel, die beide Halbkugeln zusammen ergeben, werden getrennt angezeigt, sodass Sie den Rechenweg direkt nachvollziehen können
- Das Ergebnis wird auch als 3D-Figur dargestellt, die Sie mit der Maus oder per Wischen drehen können
- Die Umrechnung des Volumens wird gleich mit angezeigt (in Liter und m³ bei Eingabe in cm, in cm³ bei Eingabe in m)
- Eine verständliche Erklärung der Formeln sowie Formeln zum Kopieren für Excel, Google Tabellen und Python finden Sie ebenfalls auf dieser Seite
Geben Sie Radius und Höhe in derselben Einheit ein (beide in cm oder beide in m). Die „Höhe“ ist die Länge des zylindrischen Teils allein, ohne die Halbkugeln an den Enden. Das Volumen von Zylinder und Kugel für sich behandeln eigene Seiten.
Wofür ist diese Berechnung nützlich?
Das Fassungsvermögen einer Medikamentenkapsel abschätzen (Pharmazie und Gesundheit)
Die Medikamentenkapsel ist das Paradebeispiel für diese Form. Betrachtet man eine Steckkapsel mit 0,4 cm Radius und 1,4 cm Höhe des zylindrischen Teils als Kapsel, so fasst sie \(\pi \times 0{,}4^2 \times 1{,}4 + \dfrac{4}{3}\pi \times 0{,}4^3 \approx 0{,}97\,\mathrm{cm^3}\), also etwa 1 mL.
Eine echte Steckkapsel besteht aus zwei ineinandergesteckten Teilen (Kappe und Unterteil), es ist also nur eine Schätzung. Mit dieser Formel lässt sich aber überschlagen, wie viel Wirkstoff in eine Kapsel bestimmter Größe passt.
Das Fassungsvermögen eines Gastanks berechnen (Energie und Infrastruktur)
Druckbehälter, in denen Flüssiggas (Propan) oder andere Gase gelagert werden, haben oft die Form einer liegenden Kapsel, also eines Zylinders mit gewölbten Enden. Eine Form mit Ecken konzentriert den Druck in den Ecken und reißt dort leichter, während eine runde Form den Druck gleichmäßig verteilt.
Bei einem Tank mit 1 m Radius und 4 m langem zylindrischem Teil beträgt das Fassungsvermögen \(\pi \times 1^2 \times 4 + \dfrac{4}{3}\pi \times 1^3 \approx 16{,}8\,\mathrm{m^3}\) (etwa 16.800 L). Aus den Maßen eines Tanks zu berechnen, was hineinpasst, in der Planung wie bei der Prüfung, ist die Aufgabe dieser Formel.
Die Ladung eines Tankwagens abschätzen (Logistik)
Auch der Tank eines Tankwagens, der Kraftstoff transportiert, hat eine Form nahe der Kapsel: ein Zylinder, der an beiden Enden durch gewölbte Böden verschlossen ist. Betrachtet man die Böden als Halbkugeln und rechnet mit 1,1 m Radius und 6 m langem zylindrischem Teil, erhält man \(\pi \times 1{,}1^2 \times 6 + \dfrac{4}{3}\pi \times 1{,}1^3 \approx 28{,}4\,\mathrm{m^3}\), also etwa 28.400 L.
Echte Böden sind meist flacher als eine Halbkugel, das genaue Fassungsvermögen hängt also von den Zeichnungen ab. Es ist trotzdem eine gute Schätzung in derselben Größenordnung wie die Ladung eines großen Tankwagens (etwa 20.000 bis 30.000 L).
Die Menge stabförmiger Lebensmittel wie Würstchen abschätzen (Essen)
Stabförmige Lebensmittel mit abgerundeten Enden, etwa Wiener Würstchen, lassen sich als Kapsel nähern. Bei einem Würstchen mit 2 cm Durchmesser (Radius 1 cm) und 13 cm Länge ist der zylindrische Teil \(13 - 2 = 11\) cm lang, und das Volumen beträgt \(\pi \times 1^2 \times 11 + \dfrac{4}{3}\pi \times 1^3 \approx 39\,\mathrm{cm^3}\).
Viele Lebensmittel haben eine Dichte nahe der von Wasser (etwa 1 g pro cm³), das Würstchen wiegt also etwa 39 g, in der Größenordnung des Gewichts, das auf Verpackungen steht. Aus einem Volumen die Größenordnung eines Gewichts oder von Kalorien abzuschätzen, ist bei der Produktentwicklung ebenso nützlich wie zu Hause.
Formeln und Abbildungen
Der Grundgedanke beim Volumen einer Kapsel (in Zylinder und Kugel zerlegen und addieren)
Abbildung
Mathematische Schreibweise
(die übliche Schreibweise)
\(V\)
\(=\)
\(V_1\)
\(+\)
\(V_2\)
In Worten
(die Symbole durch Wörter ersetzt)
③
\(V\): Volumen der Kapsel
\(=\)
①
\(V_1\): Volumen des zylindrischen Teils
\(+\)
②
\(V_2\): Volumen der beiden Halbkugeln
Die Formel in Worten
①
Addieren Sie das
\(V_1\): Volumen des zylindrischen Teils
②
und das
\(V_2\): Volumen der beiden Halbkugeln
(= eine ganze Kugel, die beide Enden zusammen ergeben)
③
und Sie erhalten das
\(V\): Volumen der Kapsel
Einfaches Beispiel
Bei einer Kapsel mit 3 cm Radius und 4 cm Höhe des zylindrischen Teils (berechnet weiter unten mit den Grundformeln 1 und 2) ist
\(V\): Volumen der Kapsel
\(=\)
zylindrischer Teil (36π cm³)
\(+\)
Kugel (36π cm³)
\(36\pi + 36\pi = 72\pi \approx 226{,}19\,\mathrm{cm^3}\)
Der Kerngedanke
Eine Kapsel ist ein Zylinder, an dessen beiden Enden je eine Halbkugel (eine halbierte Kugel) sitzt. Beide Halbkugeln zusammen ergeben genau eine ganze Kugel, deshalb genügt für das Volumen eine einfache Addition: „ein Zylinder + eine Kugel“.
Einen Körper, der kompliziert aussieht, in bekannte Formen (einen Zylinder und eine Kugel) zu zerlegen und zu addieren, ist der wichtigste Gedanke dieser Seite.
Volumen des zylindrischen Teils (Grundformel 1)
Abbildung
Mathematische Schreibweise
(die übliche Schreibweise)
\(V_1\)
\(=\)
\(\pi\)
\(\times\)
\(r\)
\(2\)
\(\times\)
\(h\)
In Worten
(die Symbole durch Wörter ersetzt)
⑤
\(V_1\): Volumen des zylindrischen Teils
\(=\)
①
\(\pi\): Kreiszahl Pi
\(\times\)
②
\(r\): Radius
③
zum Quadrat (die Zahl mit sich selbst multipliziert)
\(\times\)
④
\(h\): Höhe des zylindrischen Teils
Die Formel in Worten
①
Nehmen Sie die
\(\pi\): Kreiszahl Pi
②
mal den
\(r\): Radius
③
und zwar
zum Quadrat (die Zahl mit sich selbst multipliziert)
(das ergibt den Flächeninhalt des kreisförmigen Querschnitts)
④
mal die
\(h\): Höhe des zylindrischen Teils
⑤
und Sie erhalten das
\(V_1\): Volumen des zylindrischen Teils
Einfaches Beispiel
Bei einer Kapsel mit 3 cm Radius und 4 cm Höhe des zylindrischen Teils beträgt das Volumen des zylindrischen Teils
\(V_1\): Volumen des zylindrischen Teils
\(=\)
\(\pi\): Kreiszahl Pi
\(\times\)
Radius (3 cm)
zum Quadrat
\(\times\)
Höhe des Zylinders (4 cm)
\(\pi \times 3^{2} \times 4 = 36\pi \approx 113{,}1\,\mathrm{cm^3}\)
Der Kerngedanke
Das Volumen eines Zylinders ist „Flächeninhalt der Grundfläche × Höhe“. Der Querschnitt der Kapsel ist ein Kreis, also ist der Flächeninhalt der Grundfläche der Kreisinhalt \(\pi r^2\) (π × Radius zum Quadrat).
Beachten Sie: Die hier verwendete Höhe \(h\) ist nur die Länge des geraden Mittelteils, ohne die Halbkugeln an den Enden. Die Seite Zylindervolumen erklärt die Formel des Zylinders ausführlicher.
Volumen der Kugel, die beide Enden zusammen ergeben (Grundformel 2)
Abbildung
Mathematische Schreibweise
(die übliche Schreibweise)
\(V_2\)
\(=\)
\(\dfrac{4}{3}\)
\(\times\)
\(\pi\)
\(\times\)
\(r\)
\(3\)
In Worten
(die Symbole durch Wörter ersetzt)
⑤
\(V_2\): Volumen der Kugel
\(=\)
①
\(\dfrac{4}{3}\): Konstante
\(\times\)
②
\(\pi\): Kreiszahl Pi
\(\times\)
③
\(r\): Radius
④
hoch 3 (die Zahl dreimal als Faktor)
Die Formel in Worten
①
Nehmen Sie die
\(\dfrac{4}{3}\): Konstante
②
multiplizieren Sie mit
\(\pi\): Kreiszahl Pi
③
und mit dem
\(r\): Radius
④
und zwar
hoch 3 (die Zahl dreimal als Faktor)
⑤
und Sie erhalten das
\(V_2\): Volumen der Kugel
Einfaches Beispiel
Bei einer Kapsel mit 3 cm Radius beträgt das Volumen der Kugel, die beide Halbkugeln zusammen ergeben,
\(V_2\): Volumen der Kugel
\(=\)
\(\dfrac{4}{3}\): Konstante
\(\times\)
\(\pi\): Kreiszahl Pi
\(\times\)
Radius (3 cm)
hoch 3
\(\dfrac{4}{3} \times \pi \times 3^{3} = \dfrac{4}{3} \times \pi \times 27\)
\(= 36\pi \approx 113{,}1\,\mathrm{cm^3}\)
Der Kerngedanke
Der Radius der Halbkugeln an den Enden ist derselbe wie der des zylindrischen Teils, \(r\). Zwei Halbkugeln = eine Kugel: Statt „Volumen einer Halbkugel × 2“ zu rechnen, genügt es, die Formel der Kugel, \(\dfrac{4}{3}\pi r^3\), einmal anzuwenden.
\(\dfrac{4}{3}\) ist der feste Faktor (eine Konstante), der in der Formel für das Volumen der Kugel immer vorkommt. Die Seite Kugelvolumen erklärt sie ausführlicher.
Volumen einer Kapsel in einer einzigen Formel
Abbildung
Mathematische Schreibweise
(die übliche Schreibweise)
\(V\)
\(=\)
\(\pi\)
\(\times\)
\(r\)
\(2\)
\(\times\)
\(h\)
\(+\)
\(\dfrac{4}{3}\)
\(\times\)
\(\pi\)
\(\times\)
\(r\)
\(3\)
In Worten
(die Symbole durch Wörter ersetzt)
⑨
\(V\): Volumen der Kapsel
\(=\)
①
\(\pi\): Kreiszahl Pi
\(\times\)
②
\(r\): Radius
③
zum Quadrat
\(\times\)
④
\(h\): Höhe des zylindrischen Teils
\(+\)
⑤
\(\dfrac{4}{3}\): Konstante
\(\times\)
⑥
\(\pi\): Kreiszahl Pi
\(\times\)
⑦
\(r\): Radius
⑧
hoch 3
Die Formel in Worten
①
Nehmen Sie die
\(\pi\): Kreiszahl Pi
②
mal den
\(r\): Radius
③
und zwar
zum Quadrat
④
mal die
\(h\): Höhe des zylindrischen Teils
ergibt das Volumen des zylindrischen Teils.
⑤
Nehmen Sie dann die
\(\dfrac{4}{3}\): Konstante
⑥
multiplizieren Sie mit
\(\pi\): Kreiszahl Pi
⑦
und mit dem
\(r\): Radius
⑧
und zwar
hoch 3
ergibt das Volumen der Kugel, die beide Halbkugeln zusammen ergeben.
⑨
Addieren Sie beide, und Sie erhalten das
\(V\): Volumen der Kapsel
Einfaches Beispiel
Rechnet man das Volumen einer Kapsel mit 3 cm Radius und 4 cm Höhe des zylindrischen Teils in einem Zug aus, erhält man
\(V\): Volumen der Kapsel
\(=\)
\(\pi\): Kreiszahl Pi
\(\times\)
Radius (3 cm)
zum Quadrat
\(\times\)
Höhe des Zylinders (4 cm)
\(+\)
\(\dfrac{4}{3}\): Konstante
\(\times\)
\(\pi\): Kreiszahl Pi
\(\times\)
Radius (3 cm)
hoch 3
\(\pi \times 3^{2} \times 4 = 36\pi\)
\(\dfrac{4}{3} \times \pi \times 3^{3} = 36\pi\)
\(36\pi + 36\pi = 72\pi \approx 226{,}19\,\mathrm{cm^3}\)
Der Kerngedanke
Diese Formel ist die erste, „Zylinder + Kugel“, in die die Grundformel 1 (zylindrischer Teil) und die Grundformel 2 (Kugel) eingesetzt sind. Die erste Hälfte (\(\pi r^2 h\)) ist der zylindrische Teil, die zweite (\(\dfrac{4}{3}\pi r^3\)) die Kugel, die beide Halbkugeln zusammen ergeben.
Die Exponenten lassen sich leicht verwechseln: Der Radius steht im zylindrischen Teil zum Quadrat und im Kugelteil hoch 3, und die Höhe \(h\) wird nur einmal multipliziert. Dieser Rechner zeigt auch die Aufteilung (Zylinderteil und Kugelteil) an, damit Sie die Zwischenwerte prüfen können.
Umrechnung von Volumeneinheiten (cm³ → L)
Mathematische Schreibweise
(die übliche Schreibweise)
\(V_{\mathrm{L}}\)
\(=\)
\(V_{\mathrm{cm^3}}\)
\(\div\)
\(1000\)
In Worten
(die Symbole durch Wörter ersetzt)
③
\(V_{\mathrm{L}}\): Volumen in Litern
\(=\)
①
\(V_{\mathrm{cm^3}}\): Volumen in cm³
\(\div\)
②
\(1.000\): Anzahl der cm³ in 1 L
Die Formel in Worten
①
Teilen Sie das
\(V_{\mathrm{cm^3}}\): Volumen in cm³
②
durch die
\(1.000\): Anzahl der cm³ in 1 L
③
und Sie erhalten das
\(V_{\mathrm{L}}\): Volumen in Litern
Einfaches Beispiel
Das Volumen der Kapsel mit 3 cm Radius und 4 cm Höhe des zylindrischen Teils, etwa 226,19 cm³, in Litern (L) ergibt
Volumen in Litern
\(=\)
Volumen in cm³ (226,19)
\(\div\)
Anzahl der cm³ in 1 L (1.000)
\(226{,}19 \div 1.000 = 0{,}22619\,\mathrm{L}\)
Der Kerngedanke
\(1\,\mathrm{L} = 10\,\mathrm{cm} \times 10\,\mathrm{cm} \times 10\,\mathrm{cm} = 1.000\,\mathrm{cm^3}\) (ungefähr so groß wie ein Milchkarton mit 1 L).
Und weil \(1\,\mathrm{cm^3} = 1\,\mathrm{mL}\) gilt, lässt sich ein Volumen in cm³ direkt als Milliliter ablesen (226,19 cm³ = 226,19 mL).
Umrechnung von Volumeneinheiten (cm³ → m³)
Mathematische Schreibweise
(die übliche Schreibweise)
\(V_{\mathrm{m^3}}\)
\(=\)
\(V_{\mathrm{cm^3}}\)
\(\div\)
\(1000000\)
In Worten
(die Symbole durch Wörter ersetzt)
③
\(V_{\mathrm{m^3}}\): Volumen in m³
\(=\)
①
\(V_{\mathrm{cm^3}}\): Volumen in cm³
\(\div\)
②
\(1.000.000\): Anzahl der cm³ in 1 m³
Die Formel in Worten
①
Teilen Sie das
\(V_{\mathrm{cm^3}}\): Volumen in cm³
②
durch die
\(1.000.000\): Anzahl der cm³ in 1 m³
③
und Sie erhalten das
\(V_{\mathrm{m^3}}\): Volumen in m³
Einfaches Beispiel
Ein kapselförmiger Lagertank mit einem Fassungsvermögen von etwa 200.000 cm³ (200 L) hat in m³
Volumen in m³
\(=\)
Volumen in cm³ (200.000)
\(\div\)
Anzahl der cm³ in 1 m³ (1.000.000)
\(200.000 \div 1.000.000 = 0{,}2\,\mathrm{m^3}\)
Der Kerngedanke
Der Umrechnungsfaktor für Volumen ist der Umrechnungsfaktor der Länge hoch 3. Wegen \(1\,\mathrm{m} = 100\,\mathrm{cm}\) ist \(1\,\mathrm{m^3}\) gleich \(100 \times 100 \times 100 = 1.000.000\,\mathrm{cm^3}\). Es ist weder das 100-Fache noch das 10.000-Fache, sondern das Millionenfache, und genau hier passieren die meisten Fehler.
Um von m³ zurück auf cm³ zu kommen, multiplizieren Sie mit 1.000.000. Für Liter gilt \(1\,\mathrm{m^3} = 1.000\,\mathrm{L}\).
Das Volumen einer Kapsel ergibt sich als Addition „zylindrischer Teil (πr²h) + Kugel, die beide Halbkugeln zusammen ergeben (4/3πr³)“. Rechnen Sie die Halbkugeln nicht zur Höhe h und verwechseln Sie nicht das Quadrat mit der dritten Potenz. Das Ergebnis steht in der Eingabeeinheit hoch 3 (bei cm in cm³).
Symbole und Begriffe
Symbole
| \(V\) | V | Der übliche Buchstabe für das Volumen, dessen Anfangsbuchstabe er ist. Auf dieser Seite steht er für das Volumen der ganzen Kapsel. |
| \(V_1\), \(V_2\) | V eins, V zwei | Gibt es mehrere Größen derselben Art (hier Volumen), unterscheidet man sie durch eine kleine Nummer unten rechts (einen Index). Auf dieser Seite ist \(V_1\) das Volumen des zylindrischen Teils und \(V_2\) das der Kugel, die beide Halbkugeln zusammen ergeben. |
| \(r\) | r | Der Radius (der Abstand vom Mittelpunkt eines Kreises zu seinem Rand), dessen Anfangsbuchstabe er ist. Bei einer Kapsel sind der Radius des Querschnitts des Zylinders und der der Halbkugeln dasselbe \(r\). Er ist halb so lang wie der Durchmesser. |
| \(h\) | h | Die Höhe des zylindrischen Teils (die Länge des geraden Mittelteils ohne die Halbkugeln), h wie „Höhe“. Die Gesamtlänge der Kapsel ist \(h + 2r\). |
| \(\pi\) | Pi | Der griechische Buchstabe für die Kreiszahl, den Wert Umfang ÷ Durchmesser. Ihre Nachkommastellen hören nie auf: \(3{,}14159\ldots\). Das „3,14“ aus der Schule ist ein Näherungswert. |
| \(r^2\), \(r^3\) | r Quadrat, r hoch 3 | Die kleine Zahl oben rechts (der Exponent) gibt an, wie oft die Zahl als Faktor auftritt: \(r^2 = r \times r\) und \(r^3 = r \times r \times r\). Der zylindrische Teil verwendet das Quadrat, der Kugelteil die dritte Potenz. |
| \(\dfrac{4}{3}\) | vier Drittel | Der feste Faktor (eine Konstante), der in der Formel für das Volumen der Kugel immer vorkommt. Er beträgt etwa 1,33 und sagt, dass das Volumen einer Kugel das \(\dfrac{4}{3}\)-Fache von „\(\pi\) mal Radius hoch 3, \(r^3\)“ ist. |
| \(\mathrm{cm^3}\) | Kubikzentimeter | Eine Einheit für das Volumen. Ein Würfel mit 1 cm Kantenlänge hat ein Volumen von 1 cm³, und 1 cm³ = 1 mL. |
| \(\mathrm{m^3}\) | Kubikmeter | Eine Einheit für das Volumen. Ein Würfel mit 1 m Kantenlänge hat ein Volumen von 1 m³, und \(1\,\mathrm{m^3} = 1.000.000\,\mathrm{cm^3} = 1.000\,\mathrm{L}\). |
| \(\mathrm{L}\) | Liter | Eine Einheit für das Volumen (Fassungsvermögen). \(1\,\mathrm{L} = 1.000\,\mathrm{cm^3} = 1.000\,\mathrm{mL}\). Von Getränken und Wassermengen kennen Sie sie bestens. |
Begriffe
| Kapsel | Ein Körper aus einem Zylinder mit einer Halbkugel an jedem Ende. Diese Form findet sich bei Medikamentenkapseln oder Gasspeichern. In Computerspielen und der Computergrafik wird die „Kapsel“ ebenfalls oft verwendet, zum Beispiel für die Kollisionsabfrage. |
| Halbkugel | Eine Kugel, die durch eine Ebene durch ihren Mittelpunkt genau halbiert wurde. Es ist der runde Teil an jedem Ende einer Kapsel. Zwei Halbkugeln zusammen ergeben eine Kugel. |
| Zylinder | Ein gerader Körper mit einem Kreis als Grundfläche: Wo Sie ihn auch in Scheiben schneiden, erhalten Sie denselben Kreis. Der Mittelteil einer Kapsel ist so ein Zylinder. |
| Kugel | Ein Körper wie ein Ball, gebildet aus allen Punkten mit demselben Abstand vom Mittelpunkt (ihre Oberfläche heißt Kugeloberfläche). Ihr Volumen beträgt \(\dfrac{4}{3}\pi r^3\). |
| Volumen | Der Platz, den ein Körper einnimmt, als Zahl angegeben. Man misst ihn, indem man zählt, wie viele Würfel mit 1 cm Kantenlänge (1 cm³) hineinpassen. |
| Kreiszahl | Die Zahl, die angibt, wie oft der Durchmesser eines Kreises in seinen Umfang passt. Sie ist für jeden Kreis gleich, wird \(\pi\) geschrieben und beträgt etwa 3,14. |
| Einheitenumrechnung | Dieselbe Größe in einer anderen Einheit ausdrücken. Beim Volumen ist wichtig, dass der Umrechnungsfaktor der Länge hoch 3 genommen wird (1 m = 100 cm, also 1 m³ = 1.000.000 cm³). |
Was Sie vorab wissen sollten
Das hilft Ihnen, die Berechnung auf dieser Seite wirklich zu verstehen, statt nur die Schaltfläche zu drücken.
| Der Flächeninhalt des Kreises – Klasse 7 (12–13 Jahre) |
|
| Das Volumen und seine Einheiten – Klasse 5–6 (10–12 Jahre) |
|
| Das Volumen von Prismen und Zylindern – Klasse 9 (14–15 Jahre) |
|
| Das Volumen der Kugel – Klasse 9–10 (14–16 Jahre) |
|
| Die Kreiszahl π und Terme mit Buchstaben – Klasse 7 (12–13 Jahre) |
|
| Die Bedeutung von Potenzen – Klasse 6–7 (11–13 Jahre) |
|
Mit Excel berechnen
Kopieren Sie die gesamte Tabelle unten und fügen Sie sie in Zelle A1 von Excel ein. Sie funktioniert unverändert.
Tabelle zum Addieren von Zylinder und Kugel
| Zylinderteil V1 (cm³) | 113,1 |
| Kugel aus den beiden Enden V2 (cm³) | 113,1 |
| Volumen der Kapsel (cm³) | =B1+B2 |
Tabelle zur Berechnung des Volumens des zylindrischen Teils
| Radius r (cm) | 3 |
| Höhe des Zylinders h (cm) | 4 |
| Zylinderteil, πr²h (cm³) | =PI()*B1^2*B2 |
Tabelle zur Berechnung des Volumens der Kugel, die beide Enden zusammen ergeben
| Radius r (cm) | 3 |
| Kugel, 4/3πr³ (cm³) | =4/3*PI()*B1^3 |
Tabelle zur Berechnung des Volumens der Kapsel in einer einzigen Formel
| Radius r (cm) | 3 |
| Höhe des Zylinders h (cm) | 4 |
| Volumen der Kapsel (cm³) | =PI()*B1^2*B2+4/3*PI()*B1^3 |
Tabelle zur Umrechnung von cm³ in Liter
| Volumen in cm³ | 226,19 |
| Volumen in Litern | =B1/1000 |
Tabelle zur Umrechnung von cm³ in m³
| Volumen in cm³ | 200000 |
| Volumen in m³ | =B1/1000000 |
Nach dem Einfügen enthält Spalte A die Bezeichnungen und Spalte B die Zahlen. Die oberen Zeilen sind Ihre Eingaben, und die Formel in der letzten Zeile rechnet daraus automatisch.
In einer Formel ist „PI()“ die Excel-Funktion, die die Kreiszahl π (3,14159…) liefert. „B1“ und „B2“ bedeuten „die Zahl aus dieser Zelle verwenden“, „*“ ist die Multiplikation, „/“ die Division und „^“ die Potenz (wie oft multipliziert wird).
In der zweiten Tabelle zeigt B3 zum Beispiel etwa 113,097 (in cm³, weil Sie cm eingegeben haben). Die dritte Tabelle zeigt in B2 etwa 113,097 und die vierte in B3 etwa 226,195: Das ist fast derselbe Wert wie „Zylinderteil + Kugelteil“ in B3 der ersten Tabelle (226,2, weil dort auf 113,1 gerundete Werte addiert werden). Die fünfte Tabelle zeigt in B2 den Wert 0,22619 und die sechste in B2 den Wert 0,2. Ersetzen Sie einfach die eingegebenen Zahlen durch die Maße Ihrer eigenen Kapsel.
In einer Formel ist „PI()“ die Excel-Funktion, die die Kreiszahl π (3,14159…) liefert. „B1“ und „B2“ bedeuten „die Zahl aus dieser Zelle verwenden“, „*“ ist die Multiplikation, „/“ die Division und „^“ die Potenz (wie oft multipliziert wird).
In der zweiten Tabelle zeigt B3 zum Beispiel etwa 113,097 (in cm³, weil Sie cm eingegeben haben). Die dritte Tabelle zeigt in B2 etwa 113,097 und die vierte in B3 etwa 226,195: Das ist fast derselbe Wert wie „Zylinderteil + Kugelteil“ in B3 der ersten Tabelle (226,2, weil dort auf 113,1 gerundete Werte addiert werden). Die fünfte Tabelle zeigt in B2 den Wert 0,22619 und die sechste in B2 den Wert 0,2. Ersetzen Sie einfach die eingegebenen Zahlen durch die Maße Ihrer eigenen Kapsel.
Mit Google Tabellen berechnen
Kopieren Sie die gesamte Tabelle unten und fügen Sie sie in Zelle A1 von Google Tabellen ein. Sie funktioniert unverändert.
Tabelle zum Addieren von Zylinder und Kugel
| Zylinderteil V1 (cm³) | 113,1 |
| Kugel aus den beiden Enden V2 (cm³) | 113,1 |
| Volumen der Kapsel (cm³) | =B1+B2 |
Tabelle zur Berechnung des Volumens des zylindrischen Teils
| Radius r (cm) | 3 |
| Höhe des Zylinders h (cm) | 4 |
| Zylinderteil, πr²h (cm³) | =PI()*B1^2*B2 |
Tabelle zur Berechnung des Volumens der Kugel, die beide Enden zusammen ergeben
| Radius r (cm) | 3 |
| Kugel, 4/3πr³ (cm³) | =4/3*PI()*B1^3 |
Tabelle zur Berechnung des Volumens der Kapsel in einer einzigen Formel
| Radius r (cm) | 3 |
| Höhe des Zylinders h (cm) | 4 |
| Volumen der Kapsel (cm³) | =PI()*B1^2*B2+4/3*PI()*B1^3 |
Tabelle zur Umrechnung von cm³ in Liter
| Volumen in cm³ | 226,19 |
| Volumen in Litern | =B1/1000 |
Tabelle zur Umrechnung von cm³ in m³
| Volumen in cm³ | 200000 |
| Volumen in m³ | =B1/1000000 |
Dieselben Formeln wie in Excel (einschließlich der Funktion PI()) funktionieren unverändert. Kopieren Sie die gesamte Tabelle, fügen Sie sie in Zelle A1 ein und ersetzen Sie die eingegebenen Zahlen durch die Maße Ihrer eigenen Kapsel.
Mit Python berechnen
import math
radius = 3 # Radius (in diesem Beispiel in cm)
height = 4 # Höhe des zylindrischen Teils (ohne die Halbkugeln; in derselben Einheit wie der Radius)
cylinder_volume = math.pi * radius ** 2 * height # Volumen des zylindrischen Teils (πr²h; in diesem Beispiel in cm3)
sphere_volume = 4 / 3 * math.pi * radius ** 3 # Volumen der Kugel aus den beiden Halbkugeln (4/3πr³)
volume = cylinder_volume + sphere_volume # Volumen der Kapsel (Eingabeeinheit hoch 3)
volume_liter = volume / 1000 # bei Eingabe in cm: das Volumen in Litern (L)
print(f"Volumen des zylindrischen Teils: {cylinder_volume} cm3")
print(f"Volumen der Kugel aus den beiden Enden: {sphere_volume} cm3")
print(f"Volumen der Kapsel: {volume} cm3")
print(f"In Litern: {volume_liter} L")
Läuft nur mit der Standardbibliothek. „math.pi“ ist die Kreiszahl π, „**“ die Potenz (zum Quadrat oder hoch 3) und „*“ die Multiplikation. Ändern Sie am Anfang Radius und Höhe des zylindrischen Teils und führen Sie den Code aus (das Beispiel rechnet in cm; bei Eingabe in m ist das Volumen in m³, und mit 1.000.000 multipliziert erhalten Sie cm³).
Die Formel in LaTeX und anderen mathematischen Schreibweisen (zum Kopieren)
Der Grundgedanke beim Volumen einer Kapsel (in Zylinder und Kugel zerlegen und addieren)
V = V₁ + V₂
V = V_{1} + V_{2}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>V</mi>
<mo>=</mo>
<msub><mi>V</mi><mn>1</mn></msub>
<mo>+</mo>
<msub><mi>V</mi><mn>2</mn></msub>
</mrow>
</math>
V = V_1 + V_2
v1 + v2
V := V1 + V2;
V = V1 + V2;
V = V_1 + V_2
Volumen des zylindrischen Teils (Grundformel 1)
V₁ = π × r² × h
V_{1} = \pi r^{2} h
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msub><mi>V</mi><mn>1</mn></msub>
<mo>=</mo>
<mi>π</mi>
<mo>⁢</mo>
<msup><mi>r</mi><mn>2</mn></msup>
<mo>⁢</mo>
<mi>h</mi>
</mrow>
</math>
V_1 = pi r^2 h
Pi*r^2*h
V1 := Pi*r^2*h;
V1 = pi*r^2*h;
V_1 = πr^2 h
Volumen der Kugel, die beide Enden zusammen ergeben (Grundformel 2)
V₂ = 4/3 × π × r³
V_{2} = \dfrac{4}{3}\pi r^{3}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msub><mi>V</mi><mn>2</mn></msub>
<mo>=</mo>
<mfrac><mn>4</mn><mn>3</mn></mfrac>
<mo>⁢</mo>
<mi>π</mi>
<mo>⁢</mo>
<msup><mi>r</mi><mn>3</mn></msup>
</mrow>
</math>
V_2 = 4/3 pi r^3
4/3*Pi*r^3
V2 := (4/3)*Pi*r^3;
V2 = 4/3*pi*r^3;
V_2 = (4/3)πr^3
Volumen einer Kapsel in einer einzigen Formel
V = π × r² × h + 4/3 × π × r³
V = \pi r^{2} h + \dfrac{4}{3}\pi r^{3}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>V</mi>
<mo>=</mo>
<mi>π</mi>
<mo>⁢</mo>
<msup><mi>r</mi><mn>2</mn></msup>
<mo>⁢</mo>
<mi>h</mi>
<mo>+</mo>
<mfrac><mn>4</mn><mn>3</mn></mfrac>
<mo>⁢</mo>
<mi>π</mi>
<mo>⁢</mo>
<msup><mi>r</mi><mn>3</mn></msup>
</mrow>
</math>
V = pi r^2 h + 4/3 pi r^3
Pi*r^2*h + 4/3*Pi*r^3
V := Pi*r^2*h + (4/3)*Pi*r^3;
V = pi*r^2*h + 4/3*pi*r^3;
V = πr^2 h + (4/3)πr^3
Umrechnung von Volumeneinheiten (cm³ → L)
V[L] = V[cm³] ÷ 1000
V_{\mathrm{L}} = V_{\mathrm{cm^3}} \div 1000
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msub><mi>V</mi><mi mathvariant="normal">L</mi></msub>
<mo>=</mo>
<msub><mi>V</mi><mrow><msup><mi mathvariant="normal">cm</mi><mn>3</mn></msup></mrow></msub>
<mo>÷</mo>
<mn>1000</mn>
</mrow>
</math>
V_L = V_(cm^3) -: 1000
vCm3/1000
vL := vCm3/1000;
v_liter = v_cm3/1000;
V(L) = V(cm³)/1000
Umrechnung von Volumeneinheiten (cm³ → m³)
V[m³] = V[cm³] ÷ 1000000
V_{\mathrm{m^3}} = V_{\mathrm{cm^3}} \div 1000000
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msub><mi>V</mi><mrow><msup><mi mathvariant="normal">m</mi><mn>3</mn></msup></mrow></msub>
<mo>=</mo>
<msub><mi>V</mi><mrow><msup><mi mathvariant="normal">cm</mi><mn>3</mn></msup></mrow></msub>
<mo>÷</mo>
<mn>1000000</mn>
</mrow>
</math>
V_(m^3) = V_(cm^3) -: 1000000
vCm3/1000000
vM3 := vCm3/1000000;
v_m3 = v_cm3/1000000;
V(m³) = V(cm³)/1000000
Die Berechnung von ChatGPT ausführen lassen
Sie sind ein Assistent für mathematische Berechnungen. Führen Sie die folgende Berechnung aus, indem Sie tatsächlich Python-Code ausführen, und stützen Sie Ihre Antwort ausschließlich auf die Zahlen aus dem Ergebnis der Ausführung (antworten Sie nicht im Kopf oder nach Gefühl). Eine Kapsel (ein Zylinder mit einer Halbkugel an jedem Ende) hat einen Radius von 3 cm und einen zylindrischen Teil von 4 cm Höhe. Berechnen Sie: 1. das Volumen des zylindrischen Teils in cm³ 2. das Volumen der Kugel, die beide Halbkugeln zusammen ergeben, in cm³ 3. das Volumen der ganzen Kapsel in cm³ 4. dieses Volumen umgerechnet in Liter (L) Zeigen Sie die verwendeten Formeln und die Zahlen aus dem Ergebnis der Ausführung.
Anleitung
-
1Zahlen eingebenGeben Sie die Zahlen, mit denen Sie rechnen möchten, in die Eingabefelder ein
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2BerechnenKlicken Sie auf die Schaltfläche „Berechnen“
-
3Ergebnis ablesenDas Ergebnis erscheint sofort. Auf derselben Seite finden Sie auch den Rechenweg und die Erklärung der Formel
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