Wählen Sie, was Sie berechnen möchten, und geben Sie die Zahlen ein. Das Ähnlichkeitsverhältnis m : n steht in der Reihenfolge „Figur ① : Figur ②“.
Geben Sie nur Zahlen ein. Dezimalzahlen (mit Komma) und Brüche wie 3/4 sind möglich (nur Zahlen größer als 0). Ein Ähnlichkeitsverhältnis wie 1,5 : 2 wird vor dem Rechnen als gekürztes Verhältnis ganzer Zahlen geschrieben.
Ergebnis und Figur
Geben Sie links das Ähnlichkeitsverhältnis ein und klicken Sie auf „Berechnen“. Das Ergebnis und eine Figur erscheinen hier.
Inhaltsverzeichnis
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Was Sie auf dieser Seite tun können
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Wofür ist diese Berechnung nützlich?
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Anleitung
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Formeln und Abbildungen
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Symbole und Begriffe
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Was Sie vorab wissen sollten
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Mit Excel berechnen
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Mit Google Tabellen berechnen
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Mit Python berechnen
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Die Formel in LaTeX und anderen mathematischen Schreibweisen (zum Kopieren)
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Die Berechnung von ChatGPT ausführen lassen
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Die Vorteile von DataChef
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Verwandte Funktionen
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Alle NumberChef-Rechner
Was Sie auf dieser Seite tun können
- Geben Sie ein Ähnlichkeitsverhältnis \(m : n\) ein, und Sie erhalten sofort das Flächenverhältnis \(m^2 : n^2\) und das Volumenverhältnis \(m^3 : n^3\). Verhältnisse mit Dezimalzahlen oder Brüchen, etwa 1,5 : 2, werden als gekürztes Verhältnis ganzer Zahlen geschrieben, etwa 3 : 4
- Aus dem Ähnlichkeitsverhältnis und der Länge, dem Flächeninhalt oder dem Volumen einer Figur bestimmt es den entsprechenden Wert der anderen Figur. Die Antwort erscheint sowohl als exakter, gekürzter Bruch wie \(\dfrac{21}{2}\) als auch als Dezimalzahl
- Auch Maßstäbe wie 1:25000 werden unterstützt: Länge auf der Karte → tatsächliche Entfernung und tatsächliche Entfernung → Länge auf der Karte, einschließlich der Umrechnung zwischen cm, m und km
- Formeln und Abbildungen erklären, warum das Quadrat des Ähnlichkeitsverhältnisses das Flächenverhältnis und seine dritte Potenz das Volumenverhältnis ergibt
- Zum Ergebnis gehört eine Zeichnung der beiden ähnlichen Formen (oder bei Maßstäben ein Schema, wie die Umrechnung funktioniert), sodass Sie die Verhältnisse auf einen Blick sehen
Geben Sie für das Ähnlichkeitsverhältnis, Längen, Flächen, Volumen und die Maßstabszahl Zahlen größer als 0 ein (Seitenlängen und Flächen ähnlicher Figuren sind immer positiv).
Wofür ist diese Berechnung nützlich?
Entfernungen auf der Karte ablesen (Wandern, Spazierengehen und Katastrophenschutz)
Auf einer Wanderkarte im Maßstab 1:25000 sind 4 cm auf der Karte in Wirklichkeit 1 km (4 × 25000 = 100000 cm). Messen Sie eine Route auf der Karte und multiplizieren Sie mit der Maßstabszahl, dann wissen Sie ungefähr, wie weit Sie gehen werden.
Dieselbe Maßstabsrechnung dient dazu, auf einer Evakuierungs- oder Hochwasserkarte die Entfernung von Ihrem Zuhause zu einem Schutzraum abzuschätzen.
Größen von Modellen und Miniaturen (Maßstab und Ähnlichkeit)
Die „1:144“ auf einem Plastikmodellbausatz, die „1:160“ bei Modelleisenbahnen der Spur N oder die „1:87“ bei Spur H0 ist der Maßstab selbst. Ein Reisezugwagen von 26,4 m Länge ist in Spur N 26400 mm ÷ 160 = 165 mm lang (in H0 etwa 303 mm). Ein Modell zu entwerfen, ist eine Kette von Rechnungen, die maßstäbliche Zeichnungen und verkleinerte Körper dem Original ähnlich machen.
Die Menge der Zutaten bei einer anderen Backform (Flächen- und Volumenverhältnis)
Möchten Sie ein Rezept für eine Springform mit 24 cm Durchmesser in einer Form mit 28 cm Durchmesser backen, verhalten sich die Durchmesser wie 24 : 28 = 6 : 7. Ist die Form im gleichen Verhältnis auch höher (eine ähnliche Form), rechnen Sie die Zutaten mit dem Volumenverhältnis \(6^3 : 7^3 = 216 : 343\) um (etwa das 1,59-Fache). Haben beide Formen dieselbe Höhe, wächst nur die Bodenfläche, also nehmen Sie das Flächenverhältnis \(6^2 : 7^2 = 36 : 49\) (etwa das 1,36-Fache).
Zu wissen, dass „eine kleine Änderung der Länge eine große Änderung der Menge bewirkt, im Quadrat oder in der dritten Potenz“, hilft, Fehler in der Küche zu vermeiden.
Fotos und Kopien vergrößern (Flächenverhältnis)
Vergrößern Sie ein Foto von 10 × 15 cm auf 20 × 30 cm, verdoppelt sich jede Länge (ein Verhältnis von 1 : 2), also wird die Fläche \(2^2 = 4\)-mal so groß. Deshalb braucht ein doppelt so großes Poster viermal so viel Papier und Farbe.
Die DIN-Papierformate sind so gebaut, dass zwei A4-Blätter genau ein A3-Blatt ergeben. Das Flächenverhältnis ist \(1 : 2\), das Längenverhältnis ist also seine Quadratwurzel, \(1 : \sqrt{2}\). Deshalb vergrößert die Kopierertaste „141 %“ (\(\sqrt{2} \approx 1{,}41\)) A4 auf A3.
Grenzen der Größe von Tieren und Gebäuden (das Quadrat-Kubik-Gesetz)
Behält der Körper eines Tieres fast dieselbe Form, während sich seine Längen verdoppeln, wächst der Querschnitt seiner Knochen (die Quelle ihrer Festigkeit) nur auf das \(2^2 = 4\)-Fache, sein Gewicht (Volumen) aber auf das \(2^3 = 8\)-Fache. Dieses „Quadrat-Kubik-Gesetz“ ist der Grund, warum größere Tiere dickere, kräftigere Beine haben.
Es ist auch ein Grund dafür, dass im Bau und im Maschinenbau etwas, das als Modell funktionierte, in voller Größe brechen kann, denn Fläche und Volumen wachsen unterschiedlich schnell.
Formeln und Abbildungen
Ähnlichkeitsverhältnis und Länge entsprechender Seiten
Mathematische Schreibweise
(die übliche Schreibweise)
\(b\)
\(=\)
\(a\)
\(\times\)
\(\dfrac{n}{m}\)
In Worten
(die Symbole durch Wörter ersetzt)
③
\(b\): entsprechende Seite von Figur ②
\(=\)
①
\(a\): Seite von Figur ①
\(\times\)
②
\(\dfrac{n}{m}\): Streckfaktor aus dem Ähnlichkeitsverhältnis
Die Formel in Worten
①
Bei ähnlichen Figuren mit dem Ähnlichkeitsverhältnis \(m : n\) nehmen Sie die
\(a\): Seite von Figur ①
②
multiplizieren Sie sie mit dem
\(\dfrac{n}{m}\): Streckfaktor aus dem Ähnlichkeitsverhältnis (\(n\) geteilt durch \(m\))
③
und Sie erhalten die
\(b\): entsprechende Seite von Figur ②
Einfaches Beispiel
Bei ähnlichen Figuren mit dem Ähnlichkeitsverhältnis \(2 : 3\) ist, wenn eine Seite von Figur ① \(12\) cm lang ist, die entsprechende Seite von Figur ②
entsprechende Seite von Figur ②
\(=\)
Seite von Figur ① (12 cm)
\(\times\)
Streckfaktor \(\dfrac{3}{2}\)
\(b = 12 \times \dfrac{3}{2} = 18\)
Der Kerngedanke
Bei ähnlichen Figuren ist das Verhältnis jedes Paars entsprechender Seiten dasselbe Ähnlichkeitsverhältnis \(m : n\). Die Länge in Figur ② ist also „die Länge in Figur ① × \(\dfrac{n}{m}\)“ (von Figur ② zurück zu Figur ① multiplizieren Sie stattdessen mit \(\dfrac{m}{n}\)).
Nicht nur Seiten: Jede Art von Länge, etwa der Umfang, eine Diagonale oder eine Höhe, behält das Ähnlichkeitsverhältnis \(m : n\) unverändert.
Flächenverhältnis ähnlicher Figuren (Quadrat des Ähnlichkeitsverhältnisses)
Abbildung
Mathematische Schreibweise
(die übliche Schreibweise)
\(S_{1} : S_{2}\)
\(=\)
\(m\)
\(2\)
\(:\)
\(n\)
\(2\)
In Worten
(die Symbole durch Wörter ersetzt)
④
Flächenverhältnis (Fläche von Figur ① zu Fläche von Figur ②)
\(=\)
①
\(m\): Glied des Ähnlichkeitsverhältnisses für Figur ①
③
zum Quadrat
\(:\)
②
\(n\): Glied des Ähnlichkeitsverhältnisses für Figur ②
zum Quadrat
Die Formel in Worten
①
Nehmen Sie das Ähnlichkeitsverhältnis \(m : n\):
\(m\): das Glied von Figur ①
②
und
\(n\): das Glied von Figur ②
③
quadrieren Sie beide Glieder
④
und Sie erhalten das
Flächenverhältnis \(S_1 : S_2\)
Einfaches Beispiel
Das Flächenverhältnis ähnlicher Figuren mit dem Ähnlichkeitsverhältnis \(2 : 3\) ist
Flächenverhältnis
\(=\)
\(2^2 = 4\)
\(:\)
\(3^2 = 9\)
\(S_{1} : S_{2} = 2^{2} : 3^{2} = 4 : 9\)
Der Kerngedanke
Warum das Flächenverhältnis quadriert wird: Ein Ähnlichkeitsverhältnis von \(m : n\) bedeutet, dass Figur ② eine in der Breite und in der Höhe um \(\dfrac{n}{m}\) vergrößerte (oder verkleinerte) Figur ① ist. Der Flächeninhalt entsteht durch Multiplizieren zweier Längen, etwa „Breite × Höhe“, also wirkt der Faktor \(\dfrac{n}{m}\) zweimal, und die Fläche ändert sich um \(\left(\dfrac{n}{m}\right)^2\). Wie in der Abbildung oben passen bei Rechtecken mit dem Ähnlichkeitsverhältnis \(1 : 2\) genau \(4 = 2^2\) Exemplare des kleinen in das große.
Bei anderen Formen als Rechtecken, etwa Dreiecken und Kreisen, gilt dasselbe, wenn man sie sich aus winzigen Gitterquadraten zusammengesetzt denkt. Für alle ähnlichen Figuren ist das Flächenverhältnis also \(m^2 : n^2\). Auch die Oberflächen ähnlicher Körper sind Flächen, ihr Verhältnis ist also ebenfalls \(m^2 : n^2\).
Volumenverhältnis ähnlicher Körper (dritte Potenz des Ähnlichkeitsverhältnisses)
Mathematische Schreibweise
(die übliche Schreibweise)
\(V_{1} : V_{2}\)
\(=\)
\(m\)
\(3\)
\(:\)
\(n\)
\(3\)
In Worten
(die Symbole durch Wörter ersetzt)
④
Volumenverhältnis (Volumen von Körper ① zu Volumen von Körper ②)
\(=\)
①
\(m\): Glied des Ähnlichkeitsverhältnisses für Körper ①
③
hoch 3
\(:\)
②
\(n\): Glied des Ähnlichkeitsverhältnisses für Körper ②
hoch 3
Die Formel in Worten
①
Nehmen Sie das Ähnlichkeitsverhältnis \(m : n\):
\(m\): das Glied von Körper ①
②
und
\(n\): das Glied von Körper ②
③
bilden Sie von jedem die dritte Potenz
④
und Sie erhalten das
Volumenverhältnis \(V_1 : V_2\)
Einfaches Beispiel
Das Volumenverhältnis ähnlicher Körper mit dem Ähnlichkeitsverhältnis \(2 : 3\) ist
Volumenverhältnis
\(=\)
\(2^3 = 8\)
\(:\)
\(3^3 = 27\)
\(V_{1} : V_{2} = 2^{3} : 3^{3} = 8 : 27\)
Der Kerngedanke
Das Volumenverhältnis wird aus demselben Grund in die dritte Potenz erhoben, aus dem das Flächenverhältnis quadriert wird. Das Volumen entsteht durch Multiplizieren dreier Längen, etwa „Länge × Breite × Höhe“, also wirkt der Faktor \(\dfrac{n}{m}\) dreimal, und das Volumen ändert sich um \(\left(\dfrac{n}{m}\right)^3\).
In einen Würfel mit doppelt so langen Kanten passen zum Beispiel genau \(8 = 2^3\) der ursprünglichen Würfel. Merken Sie sich es als Satz, „Längen mit der ersten Potenz, Flächen mit dem Quadrat, Volumen mit der dritten Potenz“, dann verwechseln Sie in der Klassenarbeit und im Alltag nichts.
Maßstab und tatsächliche Entfernung
Mathematische Schreibweise
(die übliche Schreibweise)
\(L\)
\(=\)
\(\ell\)
\(\times\)
\(d\)
In Worten
(die Symbole durch Wörter ersetzt)
③
\(L\): tatsächliche Entfernung
\(=\)
①
\(\ell\): Länge auf der Karte
\(\times\)
②
\(d\): Maßstabszahl
Die Formel in Worten
①
Nehmen Sie bei einer Karte mit dem Maßstab \(1 : d\) die
\(\ell\): Länge auf der Karte
②
multiplizieren Sie sie mit der
\(d\): Maßstabszahl (etwa 25000)
③
und Sie erhalten die
\(L\): tatsächliche Entfernung
Einfaches Beispiel
Bei einer Karte mit dem Maßstab \(1 : 25000\) ist, wenn die Länge auf der Karte \(4\) cm beträgt, die tatsächliche Entfernung
tatsächliche Entfernung
\(=\)
Länge auf der Karte (4 cm)
\(\times\)
Maßstabszahl (25000)
\(L = 4 \times 25000 = 100000\)
\(100000\ \mathrm{cm} = 1000\ \mathrm{m} = 1\ \mathrm{km}\)
Der Kerngedanke
Eine Karte mit dem Maßstab \(1 : 25000\) (auch \(\dfrac{1}{25000}\) geschrieben) ist eine maßstäbliche Zeichnung des Geländes, auf \(\dfrac{1}{25000}\) seiner Größe verkleinert. Karte und Gelände stehen also im Ähnlichkeitsverhältnis \(1 : 25000\), und die Formel für entsprechende Seiten (die erste Formel) gilt unverändert.
Für die Gegenrichtung, von der tatsächlichen Entfernung zur Länge auf der Karte, teilen Sie durch die Maßstabszahl (\(\ell = L \div d\)).
Vergessen Sie die Umrechnung der Einheiten nicht: \(1\) m \(= 100\) cm und \(1\) km \(= 1000\) m \(= 100000\) cm. Üblich ist, zuerst in Zentimetern zu rechnen und dann in Meter oder Kilometer umzurechnen. Auf einer Wanderkarte im Maßstab \(1 : 25000\) sind 4 cm auf der Karte \(100000\) cm \(= 1\) km in der Natur, und auf einer Karte \(1 : 50000\) entsprechen 2 cm einem Kilometer.
Bei ähnlichen Figuren mit dem Ähnlichkeitsverhältnis \(m : n\) bleibt das Verhältnis entsprechender Seiten und aller anderen Längen \(m : n\), das Flächenverhältnis ist sein Quadrat \(m^2 : n^2\) und das Volumenverhältnis seine dritte Potenz \(m^3 : n^3\). Ein Maßstab von \(1 : d\) macht die Karte zu einer maßstäblichen Zeichnung des Geländes mit dem Ähnlichkeitsverhältnis \(1 : d\), die tatsächliche Entfernung ist also „Länge auf der Karte × \(d\)“.
Symbole und Begriffe
Symbole
| \(m,\ n\) | m, n | Die beiden Zahlen des Ähnlichkeitsverhältnisses. Auf dieser Seite gehört \(m\) zu Figur ① und \(n\) zu Figur ②. Üblich ist ein Verhältnis ganzer Zahlen, aber auch ein Verhältnis wie 1,5 : 2 lässt sich als gekürztes Verhältnis ganzer Zahlen schreiben (hier 3 : 4). |
| \(:\) | zu | Das Zeichen für ein Verhältnis. \(2 : 3\) wird „2 zu 3“ gelesen und besagt, dass sich zwei Größen wie 2 zu 3 verhalten. |
| \(a,\ b\) | a, b | Längen entsprechender Seiten: \(a\) ist eine Seite von Figur ① und \(b\) die entsprechende Seite von Figur ②. Für feste Längen verwendet man meist Buchstaben vom Anfang des Alphabets. |
| \(S_1,\ S_2\) | S eins, S zwei | Die Flächeninhalte von Figur ① und Figur ②. \(S\) steht oft für den Flächeninhalt. Die kleine Zahl unten rechts (der Index) sagt, um welche Figur es geht. |
| \(V_1,\ V_2\) | V eins, V zwei | Die Volumen von Körper ① und Körper ②. \(V\) ist der Anfangsbuchstabe von „Volumen“. |
| \(m^2\) | m zum Quadrat | \(m\) mit sich selbst multipliziert (\(m^2 = m \times m\)), gelesen „m Quadrat“ oder „m hoch zwei“ (zweite Potenz). Das Flächenverhältnis ist das Quadrat des Ähnlichkeitsverhältnisses. |
| \(m^3\) | m hoch drei | Drei Faktoren \(m\) miteinander multipliziert (\(m^3 = m \times m \times m\)), gelesen „m hoch drei“ (dritte Potenz). Das Volumenverhältnis ist die dritte Potenz des Ähnlichkeitsverhältnisses. |
| \(\ell\) | l | Die Länge auf der Karte. Es ist die Schreibschriftform von l, vom Anfangsbuchstaben von „Länge“, damit sie nicht mit der Zahl 1 oder einem großen I verwechselt wird. |
| \(L\) | großes L | Die tatsächliche Entfernung. Sie steht als Großbuchstabe, damit man sie von der Länge auf der Karte \(\ell\) unterscheiden kann. |
| \(d\) | d | Die Maßstabszahl. Bei einem Maßstab von \(1 : 25000\) (\(\dfrac{1}{25000}\)) ist \(d = 25000\). Der Buchstabe steht hier für den Nenner des Bruchs \(\dfrac{1}{d}\). |
Begriffe
| ähnliche Figur | Zwei Figuren mit derselben Form, aber möglicherweise verschiedener Größe. Vergrößert oder verkleinert man die eine, passt sie genau auf die andere. Geschrieben wird es mit dem Zeichen ~, etwa \(\triangle ABC \sim \triangle DEF\). |
| Ähnlichkeitsverhältnis | Das Verhältnis der Längen entsprechender Seiten zweier ähnlicher Figuren. Es ist für jedes Paar entsprechender Seiten gleich. Man schreibt es als Verhältnis \(m : n\) oder als einzelnen Faktor \(\dfrac{n}{m}\) (Streckfaktor). |
| entsprechende Seite | Bei zwei ähnlichen (oder kongruenten) Figuren die Seiten, die an der entsprechenden Stelle liegen. Bei ähnlichen Figuren sind die Längenverhältnisse aller entsprechenden Seiten gleich. |
| Flächenverhältnis | Das Verhältnis der Flächeninhalte zweier Figuren. Bei ähnlichen Figuren ist es das Quadrat des Ähnlichkeitsverhältnisses \(m : n\), also \(m^2 : n^2\). |
| Volumenverhältnis | Das Verhältnis der Volumen zweier Körper. Bei ähnlichen Körpern ist es die dritte Potenz des Ähnlichkeitsverhältnisses \(m : n\), also \(m^3 : n^3\). |
| Oberfläche | Der gesamte Flächeninhalt der Außenseite eines Körpers. Sie ist eine Fläche, also ist das Verhältnis der Oberflächen ähnlicher Körper dasselbe wie das Flächenverhältnis, \(m^2 : n^2\). |
| Maßstab | Das Maß, in dem die Wirklichkeit für eine Karte oder einen Plan verkleinert wurde. Es wird als Verhältnis wie 1 : 25000 oder als Bruch wie \(\dfrac{1}{25000}\) geschrieben. Eine Karte im Maßstab 1 : 25000 ist eine maßstäbliche Zeichnung des Geländes mit dem Ähnlichkeitsverhältnis \(1 : 25000\). |
| maßstäbliche Zeichnung | Eine Zeichnung, die ohne Änderung der Form verkleinert (oder vergrößert) wurde. Maßstäbliche Zeichnungen werden in Klasse 6 behandelt, und ähnliche Figuren (Klasse 9) fassen denselben Gedanken in mathematische Sprache. |
| Vergrößerung | Eine Figur, die ohne Änderung der Form größer gemacht wurde (eine Streckung mit einem Streckfaktor größer als 1). Das Gegenteil ist die Verkleinerung. |
| Verhältnis kürzen | Ein Verhältnis mit möglichst kleinen ganzen Zahlen schreiben. Teilen Sie beide Glieder durch ihren größten gemeinsamen Teiler (zum Beispiel \(12 : 18 = 2 : 3\)). Bei einem Verhältnis mit Dezimalzahlen oder Brüchen machen Sie zuerst durch Multiplizieren beide Glieder ganzzahlig und kürzen dann (zum Beispiel \(1{,}5 : 2 = 3 : 4\)). |
| größter gemeinsamer Teiler | Die größte Zahl, die zwei oder mehr ganze Zahlen ohne Rest teilt (kurz ggT). Um ein Verhältnis zu kürzen, teilen Sie beide Glieder durch diese Zahl. |
| Potenz | Eine Zahl, die wiederholt mit sich selbst multipliziert wird. In \(2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8\) gibt die kleine hochgestellte Zahl (der Exponent) an, wie oft die Zahl als Faktor verwendet wird. |
Was Sie vorab wissen sollten
Hier ist zusammengefasst, was Ihnen hilft, die Berechnung auf dieser Seite mit echtem Verständnis zu nutzen und nicht nur den Knopf zu drücken.
Wenn Sie nicht weiterkommen, ist es der schnellste Weg, die Themen dieser Liste noch einmal durchzugehen.
| Verhältnisse (Klasse 6, 11–12 Jahre) |
|
| Maßstäbliche Zeichnungen (Klasse 6–7, 11–13 Jahre) |
|
| Potenzen (Klasse 7–8, 12–14 Jahre) |
|
| Brüche multiplizieren und dividieren (Klasse 5–6, 10–12 Jahre) |
|
| Längeneinheiten umrechnen (Klasse 3–5, 8–11 Jahre) |
|
| Ähnliche Figuren (Klasse 9–10, 14–16 Jahre) |
|
Mit Excel berechnen
Kopieren Sie die gesamte Tabelle unten und fügen Sie sie in Zelle A1 von Excel ein. Sie funktioniert unverändert.
Tabelle zur Berechnung von Flächen- und Volumenverhältnis aus dem Ähnlichkeitsverhältnis
| Ähnlichkeitsverhältnis, Glied m (Figur ①) | 2 |
| Ähnlichkeitsverhältnis, Glied n (Figur ②) | 3 |
| Flächenverhältnis, Glied von Figur ① m² | =B1^2 |
| Flächenverhältnis, Glied von Figur ② n² | =B2^2 |
| Volumenverhältnis, Glied von Figur ① m³ | =B1^3 |
| Volumenverhältnis, Glied von Figur ② n³ | =B2^3 |
Tabelle zur Umrechnung einer Länge, Fläche oder eines Volumens mit dem Ähnlichkeitsverhältnis (Beispiel Fläche)
| Ähnlichkeitsverhältnis, Glied m (Figur ①) | 3 |
| Ähnlichkeitsverhältnis, Glied n (Figur ②) | 5 |
| Fläche von Figur ① | 18 |
| Fläche von Figur ② (×(n/m)²) | =B3*(B2/B1)^2 |
Tabelle zur Berechnung der tatsächlichen Entfernung aus dem Maßstab
| Maßstabszahl (die 25000 bei 1:25000) | 25000 |
| Länge auf der Karte (cm) | 4 |
| Tatsächliche Entfernung (cm) | =B1*B2 |
| Tatsächliche Entfernung (m) | =B3/100 |
| Tatsächliche Entfernung (km) | =B3/100000 |
Tabelle zur Berechnung der Länge auf der Karte aus der tatsächlichen Entfernung
| Maßstabszahl (die 50000 bei 1:50000) | 50000 |
| Tatsächliche Entfernung (km) | 3 |
| Tatsächliche Entfernung (cm) | =B2*100000 |
| Länge auf der Karte (cm) | =B3/B1 |
Nach dem Einfügen sind die oberen Zeilen Ihre Eingaben, und die unteren Zeilen werden automatisch berechnet. „^“ ist das Potenzieren, „*“ die Multiplikation und „/“ die Division.
Die erste Tabelle gilt für ein Ähnlichkeitsverhältnis von 2 : 3 und liefert das Flächenverhältnis 4 und 9 und das Volumenverhältnis 8 und 27. Geben Sie das Ähnlichkeitsverhältnis als ganze Zahlen ein (bei einem Verhältnis wie 1,5 : 2 lassen sich die Ergebnisse leichter lesen, wenn Sie es zuerst als ganze Zahlen schreiben, etwa 3 : 4 durch Verdoppeln beider Glieder).
Die zweite Tabelle gilt für ein Ähnlichkeitsverhältnis von 3 : 5 mit der Fläche 18 von Figur ①, und die Fläche von Figur ② ergibt 50. Für eine Länge entfernen Sie „^2“, für ein Volumen ändern Sie es in „^3“.
Die dritte Tabelle gilt für 4 cm auf einer Karte im Maßstab 1:25000. Die tatsächliche Entfernung ist 100000 cm = 1000 m = 1 km.
Die vierte Tabelle überträgt eine tatsächliche Entfernung von 3 km auf eine Karte im Maßstab 1:50000. Die Länge auf der Karte ist 6 cm.
Die erste Tabelle gilt für ein Ähnlichkeitsverhältnis von 2 : 3 und liefert das Flächenverhältnis 4 und 9 und das Volumenverhältnis 8 und 27. Geben Sie das Ähnlichkeitsverhältnis als ganze Zahlen ein (bei einem Verhältnis wie 1,5 : 2 lassen sich die Ergebnisse leichter lesen, wenn Sie es zuerst als ganze Zahlen schreiben, etwa 3 : 4 durch Verdoppeln beider Glieder).
Die zweite Tabelle gilt für ein Ähnlichkeitsverhältnis von 3 : 5 mit der Fläche 18 von Figur ①, und die Fläche von Figur ② ergibt 50. Für eine Länge entfernen Sie „^2“, für ein Volumen ändern Sie es in „^3“.
Die dritte Tabelle gilt für 4 cm auf einer Karte im Maßstab 1:25000. Die tatsächliche Entfernung ist 100000 cm = 1000 m = 1 km.
Die vierte Tabelle überträgt eine tatsächliche Entfernung von 3 km auf eine Karte im Maßstab 1:50000. Die Länge auf der Karte ist 6 cm.
Mit Google Tabellen berechnen
Kopieren Sie die gesamte Tabelle unten und fügen Sie sie in Zelle A1 von Google Tabellen ein. Sie funktioniert unverändert.
Tabelle zur Berechnung von Flächen- und Volumenverhältnis aus dem Ähnlichkeitsverhältnis
| Ähnlichkeitsverhältnis, Glied m (Figur ①) | 2 |
| Ähnlichkeitsverhältnis, Glied n (Figur ②) | 3 |
| Flächenverhältnis, Glied von Figur ① m² | =B1^2 |
| Flächenverhältnis, Glied von Figur ② n² | =B2^2 |
| Volumenverhältnis, Glied von Figur ① m³ | =B1^3 |
| Volumenverhältnis, Glied von Figur ② n³ | =B2^3 |
Tabelle zur Umrechnung einer Länge, Fläche oder eines Volumens mit dem Ähnlichkeitsverhältnis (Beispiel Fläche)
| Ähnlichkeitsverhältnis, Glied m (Figur ①) | 3 |
| Ähnlichkeitsverhältnis, Glied n (Figur ②) | 5 |
| Fläche von Figur ① | 18 |
| Fläche von Figur ② (×(n/m)²) | =B3*(B2/B1)^2 |
Tabelle zur Berechnung der tatsächlichen Entfernung aus dem Maßstab
| Maßstabszahl (die 25000 bei 1:25000) | 25000 |
| Länge auf der Karte (cm) | 4 |
| Tatsächliche Entfernung (cm) | =B1*B2 |
| Tatsächliche Entfernung (m) | =B3/100 |
| Tatsächliche Entfernung (km) | =B3/100000 |
Tabelle zur Berechnung der Länge auf der Karte aus der tatsächlichen Entfernung
| Maßstabszahl (die 50000 bei 1:50000) | 50000 |
| Tatsächliche Entfernung (km) | 3 |
| Tatsächliche Entfernung (cm) | =B2*100000 |
| Länge auf der Karte (cm) | =B3/B1 |
Dieselben Formeln wie in Excel funktionieren unverändert. Kopieren Sie die ganze Tabelle, fügen Sie sie in Zelle A1 ein und ersetzen Sie das Ähnlichkeitsverhältnis oder die Längen durch Ihre eigenen Zahlen.
Mit Python berechnen
from fractions import Fraction
# Ähnlichkeitsverhältnis m : n (Figur ① : Figur ②). Dezimalzahlen wie 1.5 können direkt geschrieben werden
ratio_m = Fraction('1.5')
ratio_n = Fraction('2')
# Als gekürztes Verhältnis ganzer Zahlen schreiben (Kürzen von m ÷ n ergibt Zähler : Nenner als ganze Zahlen)
reduced = ratio_m / ratio_n
int_m, int_n = reduced.numerator, reduced.denominator
print(f"Ähnlichkeitsverhältnis: {int_m} : {int_n}")
print(f"Flächenverhältnis: {int_m ** 2} : {int_n ** 2}")
print(f"Volumenverhältnis: {int_m ** 3} : {int_n ** 3}")
# Fläche von Figur ② aus dem Ähnlichkeitsverhältnis und der Fläche von Figur ① (Flächen gehen mit dem Quadrat des Verhältnisses ein)
area_of_first = Fraction(18)
area_of_second = area_of_first * (ratio_n / ratio_m) ** 2
print(f"Fläche von Figur ②: {area_of_second} = {float(area_of_second)}")
Mit dem Modul fractions aus der Standardbibliothek rechnen Sie mit exakten Brüchen ohne Rundungsfehler bei Dezimalzahlen. Dieses Beispiel gilt für ein Ähnlichkeitsverhältnis von 1,5 : 2. Beim Ausführen zeigt es das Ähnlichkeitsverhältnis „3 : 4“, das Flächenverhältnis „9 : 16“, das Volumenverhältnis „27 : 64“ und, bei der Fläche 18 von Figur ①, die Fläche von Figur ② (den Wert 32). Ändern Sie das Verhältnis und die Fläche und führen Sie den Code aus. Für eine Länge entfernen Sie „** 2“, für ein Volumen ändern Sie es in „** 3“ (Python schreibt Dezimalzahlen mit Punkt statt Komma).
Die Formel in LaTeX und anderen mathematischen Schreibweisen (zum Kopieren)
Ähnlichkeitsverhältnis und Länge entsprechender Seiten
b = a × n/m
b = a \times \dfrac{n}{m}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>b</mi>
<mo>=</mo>
<mi>a</mi>
<mo>×</mo>
<mfrac><mi>n</mi><mi>m</mi></mfrac>
</mrow>
</math>
b = a xx n/m
b = a*(n/m)
b := a*n/m;
b = a*n/m;
b = a(n/m)
Flächenverhältnis ähnlicher Figuren (Quadrat des Ähnlichkeitsverhältnisses)
S₁ : S₂ = m² : n²
S_{1} : S_{2} = m^{2} : n^{2}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msub><mi>S</mi><mn>1</mn></msub>
<mo>:</mo>
<msub><mi>S</mi><mn>2</mn></msub>
<mo>=</mo>
<msup><mi>m</mi><mn>2</mn></msup>
<mo>:</mo>
<msup><mi>n</mi><mn>2</mn></msup>
</mrow>
</math>
S_1 : S_2 = m^2 : n^2
S1/S2 == m^2/n^2
S1/S2 = m^2/n^2;
S1/S2 == m^2/n^2
S_1 : S_2 = m^2 : n^2
Volumenverhältnis ähnlicher Körper (dritte Potenz des Ähnlichkeitsverhältnisses)
V₁ : V₂ = m³ : n³
V_{1} : V_{2} = m^{3} : n^{3}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msub><mi>V</mi><mn>1</mn></msub>
<mo>:</mo>
<msub><mi>V</mi><mn>2</mn></msub>
<mo>=</mo>
<msup><mi>m</mi><mn>3</mn></msup>
<mo>:</mo>
<msup><mi>n</mi><mn>3</mn></msup>
</mrow>
</math>
V_1 : V_2 = m^3 : n^3
V1/V2 == m^3/n^3
V1/V2 = m^3/n^3;
V1/V2 == m^3/n^3
V_1 : V_2 = m^3 : n^3
Maßstab und tatsächliche Entfernung
L = ℓ × d
L = \ell \times d
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>L</mi>
<mo>=</mo>
<mi>ℓ</mi>
<mo>×</mo>
<mi>d</mi>
</mrow>
</math>
L = l xx d
L = l*d
L := l*d;
L = l*d;
L = ℓ × d
Die Berechnung von ChatGPT ausführen lassen
Sie sind ein Rechenassistent für Mathematik (Ähnlichkeit). Führen Sie die folgende Berechnung aus, indem Sie tatsächlich Python-Code ausführen, und stützen Sie Ihre Antwort nur auf die Zahlen aus dem Ausführungsergebnis (nicht im Kopf rechnen und nicht schätzen). Bestimmen Sie für ähnliche Figuren mit dem Ähnlichkeitsverhältnis 1,5 : 2 jeweils Folgendes: 1. Das Ähnlichkeitsverhältnis als gekürztes Verhältnis ganzer Zahlen 2. Das Flächenverhältnis (Quadrat des Ähnlichkeitsverhältnisses) und das Volumenverhältnis (dritte Potenz des Ähnlichkeitsverhältnisses), beide als Verhältnis ganzer Zahlen 3. Die Fläche von Figur ②, wenn die Fläche von Figur ① 18 cm² beträgt Bestimmen Sie außerdem, wie viele Meter und wie viele Kilometer 5 cm auf einer Karte im Maßstab 1:25000 in Wirklichkeit sind. Verwenden Sie in Python das Modul fractions aus der Standardbibliothek, um exakt zu rechnen, und zeigen Sie die verwendeten Formeln und die Zahlen aus dem Ausführungsergebnis.
Anleitung
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1Zahlen eingebenGeben Sie die Zahlen, mit denen Sie rechnen möchten, in die Eingabefelder ein
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2BerechnenKlicken Sie auf die Schaltfläche „Berechnen“
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3Ergebnis ablesenDas Ergebnis erscheint sofort. Auf derselben Seite finden Sie auch den Rechenweg und die Erklärung der Formel
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