Wählen Sie, was Sie berechnen möchten, und geben Sie die Zahlen ein. Das Ähnlichkeitsverhältnis m : n steht in der Reihenfolge „Figur ① : Figur ②“.
Geben Sie nur Zahlen ein. Dezimalzahlen und Brüche wie 3/4 sind möglich (nur Zahlen größer als 0). Ein Verhältnis wie 1,5 : 2 wird vor der Rechnung zu einem gekürzten ganzzahligen Verhältnis.
Ergebnis und Figur
Geben Sie links das Ähnlichkeitsverhältnis ein und klicken Sie auf „Berechnen“. Ergebnis und Figur erscheinen dann hier.
Inhaltsverzeichnis
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Das können Sie auf dieser Seite
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Wofür braucht man diese Berechnung?
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Anleitung
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Formeln und Abbildungen
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Symbole und Begriffe
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Das sollten Sie vorher wissen
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So berechnen Sie es in Excel
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So berechnen Sie es in Google Tabellen
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So berechnen Sie es in Python
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So schreiben Sie die Formel in LaTeX und anderen Formelsprachen (zum Kopieren)
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So lassen Sie ChatGPT rechnen
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Die Vorteile von DataChef
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Das können Sie auf dieser Seite
- Ähnlichkeitsverhältnis \(m : n\) eingeben – sofort erhalten Sie das Flächenverhältnis \(m^2 : n^2\) und das Volumenverhältnis \(m^3 : n^3\). Verhältnisse mit Dezimalzahlen oder Brüchen wie 1,5 : 2 werden als gekürztes ganzzahliges Verhältnis wie 3 : 4 angezeigt
- Aus dem Ähnlichkeitsverhältnis und der Länge, Fläche oder dem Volumen der einen Figur berechnen Sie den entsprechenden Wert der anderen. Das Ergebnis erscheint als gekürzter Bruch wie \(\dfrac{21}{2}\) und als Dezimalzahl
- Auch für den Maßstab einer Karte wie 1 : 25.000: Strecke auf der Karte → Entfernung in der Natur und umgekehrt, samt Umrechnung zwischen cm, m und km
- Formeln und Abbildungen erklären, warum das Quadrat des Ähnlichkeitsverhältnisses das Flächenverhältnis und die dritte Potenz das Volumenverhältnis ergibt
- Zum Ergebnis zeigt der Rechner die beiden ähnlichen Figuren (beim Maßstab eine Skizze der Umrechnung) – so sehen Sie die Verhältnisse auf einen Blick
Geben Sie für Ähnlichkeitsverhältnis, Längen, Flächen, Volumen und die Maßstabszahl Zahlen größer als 0 ein (Seitenlängen und Flächen ähnlicher Figuren sind immer positiv).
Wofür braucht man diese Berechnung?
Entfernungen auf der Karte ablesen (Wandern, Spazieren, Katastrophenschutz)
Auf der Topographischen Karte 1 : 25.000 (TK25), die viele Wanderkarten als Grundlage nutzen, sind 4 cm auf der Karte 1 km in der Natur (4 × 25.000 = 100.000 cm). Messen Sie eine Route auf der Karte und multiplizieren Sie mit der Maßstabszahl – schon wissen Sie ungefähr, wie weit Sie gehen.
Dieselbe Rechnung hilft, auf einer Hochwassergefahrenkarte die Entfernung von der Wohnung zu einem sicheren Ort abzuschätzen.
Maße von Modellen und Miniaturen (Maßstab und Ähnlichkeit)
Das „1 : 144“ auf einem Flugzeugbausatz, „1 : 160“ bei der Modelleisenbahn in Spur N, „1 : 87“ bei Spur H0 oder „1 : 100“ beim Architekturmodell ist der Maßstab selbst. Ein 26,4 m langer Reisezugwagen ist in Spur N 2.640 cm : 160 = 16,5 cm lang, in H0 etwa 30,3 cm. Modellbau ist eine Kette von Rechnungen, die zur Wirklichkeit ähnliche Verkleinerungen und verkleinerte Körper erzeugen.
Backrezept auf eine andere Springform umrechnen (Flächen- und Volumenverhältnis)
Wollen Sie ein Rezept für eine Springform mit 20 cm Durchmesser in einer 24-cm-Form backen, ist das Verhältnis der Durchmesser 20 : 24 = 5 : 6. Wäre die Form im gleichen Verhältnis auch höher (eine ähnliche Form), bräuchten Sie die Zutaten im Volumenverhältnis \(5^3 : 6^3 = 125 : 216\) (etwa das 1,73-Fache). Da Springformen meist gleich hoch sind, wächst nur die Bodenfläche – also gilt das Flächenverhältnis \(5^2 : 6^2 = 25 : 36\) (das 1,44-Fache).
Wer weiß, dass „eine kleine Längenänderung die Menge im Quadrat oder hoch 3 ändert“, vermeidet Pannen in der Küche.
Kopierer und Papierformate (Flächenverhältnis)
Die DIN-A-Formate sind so festgelegt, dass zwei Blätter DIN A4 genau ein Blatt DIN A3 ergeben – jede Stufe hat die doppelte Fläche. Das Flächenverhältnis ist \(1 : 2\), das Längenverhältnis (das Ähnlichkeitsverhältnis) also seine Quadratwurzel, \(1 : \sqrt{2}\). Die Taste „141 %“ am Kopierer ist \(\sqrt{2} \approx 1{,}41\) – genau die Vergrößerung von A4 auf A3.
Dass beim Plakatdruck „doppelte Länge viermal so viel Papier und Tinte“ kostet, ist ebenfalls das Flächenverhältnis.
Grenzen der Größe von Tieren und Bauwerken (Quadrat-Kubik-Gesetz)
Wird ein Tier bei fast gleicher Körperform doppelt so lang, wächst der Querschnitt seiner Knochen (die Grundlage ihrer Festigkeit) nur um das \(2^2 = 4\)-Fache, sein Gewicht (Volumen) aber um das \(2^3 = 8\)-Fache. Dieses „Quadrat-Kubik-Gesetz“ ist der Grund, warum große Tiere dickere, kräftigere Beine haben.
Es ist auch ein Grund dafür, dass im Bau und Maschinenbau etwas, das im Modell funktionierte, in Originalgröße brechen kann: Flächen und Volumen wachsen unterschiedlich schnell.
Formeln und Abbildungen
Ähnlichkeitsverhältnis und entsprechende Seiten
Mathematische Schreibweise
(die übliche Formel)
\(b\)
\(=\)
\(a\)
\(\times\)
\(\dfrac{n}{m}\)
In Worten
(Symbole durch Wörter ersetzt)
③
\(b\): entsprechende Seite von Figur ②
\(=\)
①
\(a\): Seite von Figur ①
\(\times\)
②
\(\dfrac{n}{m}\): Ähnlichkeitsfaktor
Die Formel in Worten
①
Bei ähnlichen Figuren mit dem Verhältnis \(m : n\) multipliziert man die
\(a\): Seite von Figur ①
②
mit dem
\(\dfrac{n}{m}\): Ähnlichkeitsfaktor (\(n\) geteilt durch \(m\))
,
③
und erhält die
\(b\): entsprechende Seite von Figur ②
Einfaches Beispiel
Bei ähnlichen Figuren im Verhältnis \(2 : 3\) ist eine Seite von Figur ① \(12\) cm lang. Die entsprechende Seite von Figur ② ist dann
entsprechende Seite von Figur ②
\(=\)
Seite von Figur ① (12 cm)
\(\times\)
Faktor \(\dfrac{3}{2}\)
\(b = 12 \times \dfrac{3}{2} = 18\)
Der Grundgedanke
Bei ähnlichen Figuren haben alle Paare entsprechender Seiten dasselbe Verhältnis \(m : n\). Die Länge in Figur ② ist also „Länge in Figur ① \(\times \dfrac{n}{m}\)“ (zurück von Figur ② zu Figur ① multipliziert man mit \(\dfrac{m}{n}\)). In deutschen Schulbüchern heißt \(k = \dfrac{n}{m}\) Ähnlichkeitsfaktor (bei der zentrischen Streckung Streckfaktor).
Nicht nur Seiten: Jede Länge, ob Umfang, Diagonale oder Höhe, steht im selben Verhältnis \(m : n\).
Flächenverhältnis ähnlicher Figuren (Verhältnis zum Quadrat)
Abbildung
Mathematische Schreibweise
(die übliche Formel)
\(S_{1} : S_{2}\)
\(=\)
\(m\)
\(2\)
\(:\)
\(n\)
\(2\)
In Worten
(Symbole durch Wörter ersetzt)
④
Flächenverhältnis (Fläche von Figur ① zu Fläche von Figur ②)
\(=\)
①
\(m\): Verhältnisglied von Figur ①
③
zum Quadrat
\(:\)
②
\(n\): Verhältnisglied von Figur ②
zum Quadrat
Die Formel in Worten
①
Nimmt man im Ähnlichkeitsverhältnis \(m : n\)
\(m\): das Glied von Figur ①
②
und
\(n\): das Glied von Figur ②
③
jeweils
zum Quadrat
,
④
erhält man das
Flächenverhältnis \(S_1 : S_2\)
Einfaches Beispiel
Das Flächenverhältnis ähnlicher Figuren im Verhältnis \(2 : 3\) ist
Flächenverhältnis
\(=\)
\(2^2 = 4\)
\(:\)
\(3^2 = 9\)
\(S_{1} : S_{2} = 2^{2} : 3^{2} = 4 : 9\)
Der Grundgedanke
Warum das Quadrat? Ein Verhältnis \(m : n\) bedeutet, dass Figur ② die Figur ① in der Breite und in der Höhe um den Faktor \(\dfrac{n}{m}\) vergrößert (oder verkleinert). Eine Fläche berechnet man aus zwei Längen, etwa „Breite × Höhe“ – der Faktor \(\dfrac{n}{m}\) wirkt also zweimal, und die Fläche ändert sich um \(\left(\dfrac{n}{m}\right)^2\). Wie in der Abbildung oben passen bei Rechtecken im Verhältnis \(1 : 2\) genau \(4 = 2^2\) kleine in das große.
Für andere Figuren wie Dreiecke oder Kreise gilt dasselbe, wenn man sie sich aus winzigen Gitterquadraten zusammengesetzt denkt. Für alle ähnlichen Figuren ist das Flächenverhältnis daher \(m^2 : n^2\). Auch der Oberflächeninhalt ähnlicher Körper ist eine Fläche, sein Verhältnis also ebenfalls \(m^2 : n^2\).
Volumenverhältnis ähnlicher Körper (Verhältnis hoch 3)
Mathematische Schreibweise
(die übliche Formel)
\(V_{1} : V_{2}\)
\(=\)
\(m\)
\(3\)
\(:\)
\(n\)
\(3\)
In Worten
(Symbole durch Wörter ersetzt)
④
Volumenverhältnis (Volumen von Körper ① zu Volumen von Körper ②)
\(=\)
①
\(m\): Verhältnisglied von Körper ①
③
hoch 3
\(:\)
②
\(n\): Verhältnisglied von Körper ②
hoch 3
Die Formel in Worten
①
Nimmt man im Ähnlichkeitsverhältnis \(m : n\)
\(m\): das Glied von Körper ①
②
und
\(n\): das Glied von Körper ②
③
jeweils
hoch 3
,
④
erhält man das
Volumenverhältnis \(V_1 : V_2\)
Einfaches Beispiel
Das Volumenverhältnis ähnlicher Körper im Verhältnis \(2 : 3\) ist
Volumenverhältnis
\(=\)
\(2^3 = 8\)
\(:\)
\(3^3 = 27\)
\(V_{1} : V_{2} = 2^{3} : 3^{3} = 8 : 27\)
Der Grundgedanke
Die dritte Potenz beim Volumenverhältnis hat denselben Grund wie das Quadrat beim Flächenverhältnis. Ein Volumen berechnet man aus drei Längen, etwa „Länge × Breite × Höhe“ – der Faktor \(\dfrac{n}{m}\) wirkt also dreimal, und das Volumen ändert sich um \(\left(\dfrac{n}{m}\right)^3\).
In einen Würfel mit doppelter Kantenlänge passen zum Beispiel genau \(8 = 2^3\) der ursprünglichen Würfel. Merken Sie sich das Trio „Längen einfach, Flächen zum Quadrat, Volumen hoch 3“ – dann kommt nichts durcheinander, weder in der Klassenarbeit noch im Alltag.
Maßstab und Entfernung in der Natur
Mathematische Schreibweise
(die übliche Formel)
\(L\)
\(=\)
\(\ell\)
\(\times\)
\(d\)
In Worten
(Symbole durch Wörter ersetzt)
③
\(L\): Entfernung in der Natur
\(=\)
①
\(\ell\): Strecke auf der Karte
\(\times\)
②
\(d\): Maßstabszahl
Die Formel in Worten
①
Auf einer Karte im Maßstab \(1 : d\) multipliziert man die
\(\ell\): Strecke auf der Karte
②
mit der
\(d\): Maßstabszahl (z. B. 25000)
,
③
und erhält die
\(L\): Entfernung in der Natur
Einfaches Beispiel
Auf einer Karte im Maßstab \(1 : 25000\) ist eine Strecke von \(4\) cm in der Natur
Entfernung in der Natur
\(=\)
Strecke auf der Karte (4 cm)
\(\times\)
Maßstabszahl (25000)
\(L = 4 \times 25000 = 100000\)
\(100000\ \mathrm{cm} = 1000\ \mathrm{m} = 1\ \mathrm{km}\)
Der Grundgedanke
Eine Karte im Maßstab \(1 : 25000\) ist eine auf \(\dfrac{1}{25000}\) verkleinerte, zur Wirklichkeit ähnliche Verkleinerung. Karte und Gelände stehen also im Verhältnis \(1 : 25000\), und die Formel für entsprechende Seiten (die erste Formel) gilt unverändert.
Umgekehrt, von der Entfernung in der Natur zur Strecke auf der Karte, teilt man durch die Maßstabszahl (\(\ell = L \div d\)).
Vergessen Sie die Einheiten nicht: \(1\) m \(= 100\) cm, \(1\) km \(= 1000\) m \(= 100000\) cm. Bei Kartenaufgaben rechnet man meist erst in cm und wandelt dann in km um. Auf der Topographischen Karte 1 : 25.000 (TK25) sind 4 cm genau 1 km, auf der TK50 (1 : 50.000) sind es 2 cm.
Bei ähnlichen Figuren im Ähnlichkeitsverhältnis \(m : n\) bleibt das Verhältnis entsprechender Seiten und aller anderen Längen \(m : n\), das Flächenverhältnis ist sein Quadrat \(m^2 : n^2\) und das Volumenverhältnis seine dritte Potenz \(m^3 : n^3\). Eine Karte im Maßstab \(1 : d\) ist eine Verkleinerung der Wirklichkeit im Verhältnis \(1 : d\), also gilt: Entfernung in der Natur = Strecke auf der Karte \(\times\ d\).
Symbole und Begriffe
Symbole
| \(m,\ n\) | m, n | Die beiden Zahlen des Ähnlichkeitsverhältnisses. Hier gehört \(m\) zu Figur ① und \(n\) zu Figur ②. Üblich ist ein ganzzahliges Verhältnis, aber auch ein Verhältnis wie 1,5 : 2 lässt sich ganzzahlig und gekürzt schreiben (hier 3 : 4). |
| \(:\) | zu | Das Zeichen für ein Verhältnis. \(2 : 3\) liest man „2 zu 3“; es sagt, dass sich zwei Größen wie 2 zu 3 verhalten. |
| \(a,\ b\) | a, b | Längen entsprechender Seiten: \(a\) ist eine Seite von Figur ①, \(b\) die entsprechende Seite von Figur ②. Buchstaben vom Anfang des Alphabets stehen meist für feste Längen. |
| \(S_1,\ S_2\) | S eins, S zwei | Die Flächen von Figur ① und Figur ②. Die kleine Zahl unten rechts (der Index) sagt, welche Figur gemeint ist. (In deutschen Schulbüchern heißt die Fläche meist \(A\).) |
| \(V_1,\ V_2\) | V eins, V zwei | Die Volumen von Körper ① und Körper ②. \(V\) steht für „Volumen“. |
| \(m^2\) | m Quadrat (m hoch 2) | \(m\) mit sich selbst multipliziert (\(m^2 = m \times m\)), „m zum Quadrat“. Das Flächenverhältnis ist das Ähnlichkeitsverhältnis zum Quadrat. |
| \(m^3\) | m hoch 3 | Dreimal \(m\) als Faktor (\(m^3 = m \times m \times m\)), „m hoch 3“. Das Volumenverhältnis ist das Ähnlichkeitsverhältnis hoch 3. |
| \(\ell\) | l | Die Strecke auf der Karte. Ein geschwungenes l (von „Länge“, engl. „length“), damit es nicht mit der Ziffer 1 oder einem großen I verwechselt wird. |
| \(L\) | L (groß) | Die Entfernung in der Natur. Großgeschrieben, um sie von der Strecke auf der Karte \(\ell\) zu unterscheiden. |
| \(d\) | d | Die Maßstabszahl. Beim Maßstab \(1 : 25000\) ist \(d = 25000\). Der Buchstabe kommt vom englischen „denominator“ (Nenner), denn der Maßstab ist auch der Bruch \(\dfrac{1}{25000}\). |
Begriffe
| Ähnlichkeit | Zwei Figuren sind ähnlich, wenn sie dieselbe Form haben, aber verschieden groß sein können. Vergrößert oder verkleinert man die eine, passt sie genau auf die andere. Man schreibt \(\triangle ABC \sim \triangle DEF\). |
| Ähnlichkeitsverhältnis | Das Verhältnis der Längen entsprechender Seiten zweier ähnlicher Figuren, z. B. \(m : n\). Es ist für jedes Paar entsprechender Seiten gleich. |
| Ähnlichkeitsfaktor | Der Faktor \(k = \dfrac{n}{m}\), mit dem man alle Längen von Figur ① multipliziert, um die von Figur ② zu erhalten. Ist \(k > 1\), entsteht eine Vergrößerung, ist \(k < 1\), eine Verkleinerung. |
| entsprechende Seite | In zwei ähnlichen (oder kongruenten) Figuren die Seiten, die einander an derselben Stelle entsprechen. Bei ähnlichen Figuren stehen alle entsprechenden Seiten im selben Längenverhältnis. |
| Flächenverhältnis | Das Verhältnis der Flächen zweier Figuren. Bei ähnlichen Figuren ist es das Quadrat des Ähnlichkeitsverhältnisses \(m : n\), also \(m^2 : n^2\). |
| Volumenverhältnis | Das Verhältnis der Volumen zweier Körper. Bei ähnlichen Körpern ist es das Ähnlichkeitsverhältnis \(m : n\) hoch 3, also \(m^3 : n^3\). |
| Oberflächeninhalt | Die Fläche der gesamten Oberfläche eines Körpers. Sie ist eine Fläche, also ist das Verhältnis der Oberflächen ähnlicher Körper dasselbe wie das Flächenverhältnis, \(m^2 : n^2\). |
| Maßstab | Gibt an, wie stark die Wirklichkeit für Karte oder Plan verkleinert wurde, etwa 1 : 25.000 (als Bruch \(\dfrac{1}{25000}\)). Eine Karte im Maßstab 1 : 25.000 ist eine Verkleinerung der Wirklichkeit im Verhältnis \(1 : 25000\). |
| Verkleinerung | Eine Figur, die ohne Formänderung kleiner gezeichnet wurde. Maßstäbliches Verkleinern lernt man meist in Klasse 5–6 (10–12 Jahre); die Ähnlichkeit in Klasse 9 (14–15 Jahre) fasst dieselbe Idee mathematisch. |
| Vergrößerung | Eine Figur, die ohne Formänderung größer gezeichnet wurde (Ähnlichkeitsfaktor größer als 1). Das Gegenstück zur Verkleinerung. |
| Verhältnis kürzen | Ein Verhältnis mit möglichst kleinen ganzen Zahlen schreiben. Man teilt beide Glieder durch ihren ggT (z. B. \(12 : 18 = 2 : 3\)). Bei Dezimalzahlen oder Brüchen macht man die Glieder zuerst ganzzahlig und kürzt dann (z. B. \(1{,}5 : 2 = 3 : 4\)). |
| ggT (größter gemeinsamer Teiler) | Die größte Zahl, durch die zwei oder mehr ganze Zahlen ohne Rest teilbar sind. Zum Kürzen eines Verhältnisses teilt man beide Glieder durch sie. |
| Potenz | Ein Produkt aus lauter gleichen Faktoren. Bei \(2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8\) gibt die kleine Zahl oben rechts (der Exponent) an, wie oft multipliziert wird. |
Das sollten Sie vorher wissen
Damit Sie die Berechnung auf dieser Seite nicht nur ausführen, sondern auch verstehen, hilft Ihnen dieses Vorwissen.
Wenn Sie nicht weiterkommen, ist ein Blick zurück auf diese Themen der schnellste Weg.
| Verhältnisse (Klasse 6–7, 11–13 Jahre) |
|
| Vergrößern, Verkleinern und Maßstab (Klasse 5–6, 10–12 Jahre) |
|
| Potenzen (Klasse 5–7, 10–13 Jahre) |
|
| Brüche multiplizieren und dividieren (Klasse 6, 11–12 Jahre) |
|
| Längeneinheiten umrechnen (Klasse 3–5, 8–11 Jahre) |
|
| Ähnliche Figuren (Klasse 9, 14–15 Jahre) |
|
So berechnen Sie es in Excel
Kopieren Sie die ganze Tabelle und fügen Sie sie in Zelle A1 von Excel ein – dann funktioniert sie direkt.
Tabelle für Flächen- und Volumenverhältnis aus dem Ähnlichkeitsverhältnis
| Verhältnis m (Figur ①) | 2 |
| Verhältnis n (Figur ②) | 3 |
| Flächenverhältnis, Glied von Figur ① m² | =B1^2 |
| Flächenverhältnis, Glied von Figur ② n² | =B2^2 |
| Volumenverhältnis, Glied von Figur ① m³ | =B1^3 |
| Volumenverhältnis, Glied von Figur ② n³ | =B2^3 |
Tabelle zum Umrechnen von Länge, Fläche oder Volumen mit dem Ähnlichkeitsverhältnis (Beispiel Fläche)
| Verhältnis m (Figur ①) | 3 |
| Verhältnis n (Figur ②) | 5 |
| Fläche von Figur ① | 18 |
| Fläche von Figur ② (×(n/m)²) | =B3*(B2/B1)^2 |
Tabelle für die Entfernung in der Natur aus dem Maßstab
| Maßstabszahl (die 25000 in 1 : 25000) | 25000 |
| Strecke auf der Karte (cm) | 4 |
| Entfernung in der Natur (cm) | =B1*B2 |
| Entfernung in der Natur (m) | =B3/100 |
| Entfernung in der Natur (km) | =B3/100000 |
Tabelle für die Strecke auf der Karte aus der Entfernung in der Natur
| Maßstabszahl (die 50000 in 1 : 50000) | 50000 |
| Entfernung in der Natur (km) | 3 |
| Entfernung in der Natur (cm) | =B2*100000 |
| Strecke auf der Karte (cm) | =B3/B1 |
Nach dem Einfügen sind die oberen Zeilen die Eingaben, die unteren rechnen automatisch. „^“ steht für Potenzieren, „*“ für Malnehmen und „/“ für Teilen.
Die erste Tabelle gehört zum Ähnlichkeitsverhältnis 2 : 3 und liefert das Flächenverhältnis 4 und 9 sowie das Volumenverhältnis 8 und 27. Geben Sie das Verhältnis ganzzahlig ein (ein Verhältnis wie 1,5 : 2 lässt sich besser ablesen, wenn Sie es vorher durch Verdoppeln in 3 : 4 umwandeln).
Die zweite Tabelle ist das Beispiel 3 : 5 mit der Fläche 18 für Figur ①; die Fläche von Figur ② ist 50. Für Längen lassen Sie „^2“ weg, für Volumen ändern Sie es in „^3“.
Die dritte Tabelle ist das Beispiel 4 cm auf einer Karte im Maßstab 1 : 25.000; die Entfernung in der Natur ist 100.000 cm = 1.000 m = 1 km.
Die vierte Tabelle überträgt 3 km in der Natur auf eine Karte 1 : 50.000; auf der Karte sind das 6 cm.
Die erste Tabelle gehört zum Ähnlichkeitsverhältnis 2 : 3 und liefert das Flächenverhältnis 4 und 9 sowie das Volumenverhältnis 8 und 27. Geben Sie das Verhältnis ganzzahlig ein (ein Verhältnis wie 1,5 : 2 lässt sich besser ablesen, wenn Sie es vorher durch Verdoppeln in 3 : 4 umwandeln).
Die zweite Tabelle ist das Beispiel 3 : 5 mit der Fläche 18 für Figur ①; die Fläche von Figur ② ist 50. Für Längen lassen Sie „^2“ weg, für Volumen ändern Sie es in „^3“.
Die dritte Tabelle ist das Beispiel 4 cm auf einer Karte im Maßstab 1 : 25.000; die Entfernung in der Natur ist 100.000 cm = 1.000 m = 1 km.
Die vierte Tabelle überträgt 3 km in der Natur auf eine Karte 1 : 50.000; auf der Karte sind das 6 cm.
So berechnen Sie es in Google Tabellen
Kopieren Sie die ganze Tabelle und fügen Sie sie in Zelle A1 von Google Tabellen ein – dann funktioniert sie direkt.
Tabelle für Flächen- und Volumenverhältnis aus dem Ähnlichkeitsverhältnis
| Verhältnis m (Figur ①) | 2 |
| Verhältnis n (Figur ②) | 3 |
| Flächenverhältnis, Glied von Figur ① m² | =B1^2 |
| Flächenverhältnis, Glied von Figur ② n² | =B2^2 |
| Volumenverhältnis, Glied von Figur ① m³ | =B1^3 |
| Volumenverhältnis, Glied von Figur ② n³ | =B2^3 |
Tabelle zum Umrechnen von Länge, Fläche oder Volumen mit dem Ähnlichkeitsverhältnis (Beispiel Fläche)
| Verhältnis m (Figur ①) | 3 |
| Verhältnis n (Figur ②) | 5 |
| Fläche von Figur ① | 18 |
| Fläche von Figur ② (×(n/m)²) | =B3*(B2/B1)^2 |
Tabelle für die Entfernung in der Natur aus dem Maßstab
| Maßstabszahl (die 25000 in 1 : 25000) | 25000 |
| Strecke auf der Karte (cm) | 4 |
| Entfernung in der Natur (cm) | =B1*B2 |
| Entfernung in der Natur (m) | =B3/100 |
| Entfernung in der Natur (km) | =B3/100000 |
Tabelle für die Strecke auf der Karte aus der Entfernung in der Natur
| Maßstabszahl (die 50000 in 1 : 50000) | 50000 |
| Entfernung in der Natur (km) | 3 |
| Entfernung in der Natur (cm) | =B2*100000 |
| Strecke auf der Karte (cm) | =B3/B1 |
Dieselben Formeln wie in Excel funktionieren unverändert. Kopieren Sie die ganze Tabelle, fügen Sie sie in Zelle A1 ein und ersetzen Sie Verhältnis oder Längen durch Ihre eigenen Zahlen.
So berechnen Sie es in Python
from fractions import Fraction
# Ähnlichkeitsverhältnis m : n (Figur ① : Figur ②). Dezimalzahlen wie 1.5 kann man direkt schreiben
ratio_m = Fraction('1.5')
ratio_n = Fraction('2')
# Gekürzt und ganzzahlig schreiben (m : n als Bruch gekürzt ergibt Zähler : Nenner als ganze Zahlen)
reduced = ratio_m / ratio_n
int_m, int_n = reduced.numerator, reduced.denominator
print(f"Ähnlichkeitsverhältnis: {int_m} : {int_n}")
print(f"Flächenverhältnis: {int_m ** 2} : {int_n ** 2}")
print(f"Volumenverhältnis: {int_m ** 3} : {int_n ** 3}")
# Fläche von Figur ② aus dem Verhältnis und der Fläche von Figur ① (Flächen: Verhältnis zum Quadrat)
area_of_first = Fraction(18)
area_of_second = area_of_first * (ratio_n / ratio_m) ** 2
print(f"Fläche von Figur ②: {area_of_second} = {float(area_of_second)}")
Mit dem Modul fractions aus der Standardbibliothek rechnen Sie mit exakten Brüchen ohne Rundungsfehler. Das Beispiel gehört zum Verhältnis 1,5 : 2 (in Python mit Punkt geschrieben). Beim Ausführen erscheinen das Ähnlichkeitsverhältnis „3 : 4“, das Flächenverhältnis „9 : 16“, das Volumenverhältnis „27 : 64“ und – bei der Fläche 18 für Figur ① – die Fläche von Figur ②, 32. Ändern Sie Verhältnis und Fläche und führen Sie den Code aus. Für Längen lassen Sie „** 2“ weg, für Volumen ändern Sie es in „** 3“.
So schreiben Sie die Formel in LaTeX und anderen Formelsprachen (zum Kopieren)
Ähnlichkeitsverhältnis und entsprechende Seiten
b = a × n/m
b = a \times \dfrac{n}{m}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>b</mi>
<mo>=</mo>
<mi>a</mi>
<mo>×</mo>
<mfrac><mi>n</mi><mi>m</mi></mfrac>
</mrow>
</math>
b = a xx n/m
b = a*(n/m)
b := a*n/m;
b = a*n/m;
b = a(n/m)
Flächenverhältnis ähnlicher Figuren (Verhältnis zum Quadrat)
S₁ : S₂ = m² : n²
S_{1} : S_{2} = m^{2} : n^{2}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msub><mi>S</mi><mn>1</mn></msub>
<mo>:</mo>
<msub><mi>S</mi><mn>2</mn></msub>
<mo>=</mo>
<msup><mi>m</mi><mn>2</mn></msup>
<mo>:</mo>
<msup><mi>n</mi><mn>2</mn></msup>
</mrow>
</math>
S_1 : S_2 = m^2 : n^2
S1/S2 == m^2/n^2
S1/S2 = m^2/n^2;
S1/S2 == m^2/n^2
S_1 : S_2 = m^2 : n^2
Volumenverhältnis ähnlicher Körper (Verhältnis hoch 3)
V₁ : V₂ = m³ : n³
V_{1} : V_{2} = m^{3} : n^{3}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msub><mi>V</mi><mn>1</mn></msub>
<mo>:</mo>
<msub><mi>V</mi><mn>2</mn></msub>
<mo>=</mo>
<msup><mi>m</mi><mn>3</mn></msup>
<mo>:</mo>
<msup><mi>n</mi><mn>3</mn></msup>
</mrow>
</math>
V_1 : V_2 = m^3 : n^3
V1/V2 == m^3/n^3
V1/V2 = m^3/n^3;
V1/V2 == m^3/n^3
V_1 : V_2 = m^3 : n^3
Maßstab und Entfernung in der Natur
L = ℓ × d
L = \ell \times d
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>L</mi>
<mo>=</mo>
<mi>ℓ</mi>
<mo>×</mo>
<mi>d</mi>
</mrow>
</math>
L = l xx d
L = l*d
L := l*d;
L = l*d;
L = ℓ × d
So lassen Sie ChatGPT rechnen
Sie sind ein Rechenassistent für Mathematik (Ähnlichkeit). Führen Sie die folgende Berechnung aus, indem Sie tatsächlich Python-Code ausführen, und stützen Sie Ihre Antwort nur auf die Zahlen aus dem Ausführungsergebnis (antworten Sie nicht durch Kopfrechnen oder Schätzen). Für ähnliche Figuren im Verhältnis 1,5 : 2 geben Sie an: 1. das gekürzte ganzzahlige Ähnlichkeitsverhältnis 2. das Flächenverhältnis (Verhältnis zum Quadrat) und das Volumenverhältnis (Verhältnis hoch 3), beide ganzzahlig 3. die Fläche von Figur ②, wenn Figur ① eine Fläche von 18 cm² hat Berechnen Sie außerdem, wie viele Kilometer 4 cm auf einer Karte im Maßstab 1 : 25.000 in der Natur sind. Rechnen Sie in Python mit dem Modul fractions aus der Standardbibliothek exakt, und zeigen Sie die verwendeten Formeln und die Zahlen aus dem Ausführungsergebnis.
Anleitung
-
1Werte eingebenTragen Sie die Zahlen, mit denen Sie rechnen möchten, in die Eingabefelder ein
-
2BerechnenKlicken Sie auf die Schaltfläche „Berechnen“
-
3Ergebnis ansehenDas Ergebnis erscheint sofort. Auf derselben Seite finden Sie auch den Rechenweg und die Erklärung der Formel
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