Wählen Sie „Eine Wurzel vereinfachen“ oder „Zwei Wurzeln“ und geben Sie dann die Zahl vor der Wurzel und die Zahl unter der Wurzel ein. Die Formel darunter ist mit den Eingabefeldern verknüpft, Sie können die Zahlen also auch direkt in der Formel ändern.
Geben Sie Zahlen mit Ziffern ein. Ein leerer Faktor vor der Wurzel gilt als 1, und er darf eine Dezimalzahl, eine negative Zahl oder ein Bruch wie 3/4 sein. Die Zahl unter der Wurzel muss eine ganze Zahl von 1 oder mehr sein.
Ergebnis und Diagramm
Geben Sie links die Zahl unter der Wurzel ein und klicken Sie auf „Berechnen“. Hier erscheinen dann die vereinfachte Form und eine Zahlengerade.
Inhaltsverzeichnis
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Was Sie auf dieser Seite tun können
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Wofür ist diese Berechnung nützlich?
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Anleitung
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Formeln und Abbildungen
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Was eine Quadratwurzel und das Wurzelzeichen bedeuten
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Eine Wurzel vereinfachen (die Quadratzahl vor die Wurzel ziehen)
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Wurzeln addieren und subtrahieren (gleichartige Terme zusammenfassen)
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Wurzeln multiplizieren (die Inhalte multiplizieren und zu einer Wurzel zusammenfassen)
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Wurzeln dividieren und den Nenner rational machen
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Symbole und Begriffe
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Was Sie vorab wissen sollten
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Mit Excel berechnen
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Mit Google Tabellen berechnen
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Mit Python berechnen
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Die Formel in LaTeX und anderen mathematischen Schreibweisen (zum Kopieren)
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Die Berechnung von ChatGPT ausführen lassen
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Die Vorteile von DataChef
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Verwandte Funktionen
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Alle NumberChef-Rechner
Was Sie auf dieser Seite tun können
- Vereinfachen Sie eine Quadratwurzel wie \(\sqrt{48}\) zu \(4\sqrt{3}\) (die Form mit der kleinstmöglichen ganzen Zahl unter der Wurzel). Der Rechenweg zeigt die Primfaktorzerlegung des Radikanden und wie die Quadratzahl herauskommt
- Sie sehen auch, dass die Wurzel wegfällt und eine ganze Zahl bleibt, wenn der Radikand eine Quadratzahl ist, wie in \(\sqrt{36} = 6\)
- Addieren, subtrahieren, multiplizieren und dividieren Sie Wurzeln wie \(3\sqrt{2} + 5\sqrt{2}\) und \(2\sqrt{6} \times 3\sqrt{2}\), mit exakten Ergebnissen in vereinfachter Form
- Bleibt bei einer Division eine Wurzel im Nenner, wird das Ergebnis mit rational gemachtem Nenner angegeben. Beispiel: \(6 \div \sqrt{3} = 2\sqrt{3}\)
- Die exakte Form ist die Hauptantwort, dazu kommen der Dezimalwert und die beiden ganzen Zahlen, zwischen denen er liegt. Eine Zahlengerade zeigt auch seine Größe
- Der Rechner zeigt die Wurzel so, wie Sie sie von Hand schreiben würden, und Sie können die Zahlen unter und vor der Wurzel direkt ändern
Diese Seite verarbeitet Quadratwurzeln aus positiven ganzen Zahlen. Wurzeln aus negativen Zahlen, Kubikwurzeln und andere höhere Wurzeln sowie verschachtelte Wurzeln wie \(\sqrt{5 + 2\sqrt{6}}\) werden nicht unterstützt.
Wofür ist diese Berechnung nützlich?
Das Seitenverhältnis der DIN-A-Formate (Normen im Alltag)
Papierformate der A-Reihe wie A4 und A3 (DIN 476, international ISO 216) sind so festgelegt, dass das Verhältnis von Höhe zu Breite \(\sqrt{2} : 1\) beträgt. Bei diesem Verhältnis bleibt es gleich, wenn man die lange Seite halbiert, sodass ein gefaltetes A3 genau A4 ergibt. Tatsächlich misst A4 210 mm × 297 mm, und \(297 \div 210 \approx 1{,}4143\) stimmt fast mit \(\sqrt{2} \approx 1{,}4142\) überein.
Legt man die Fläche von A0 auf einen Quadratmeter fest und nutzt dieses Verhältnis, misst A0 841 mm × 1189 mm. Dass beim Kopierer „A4 → A3: 141 %“ steht, ist genau dieser Faktor \(\sqrt{2}\).
Eine Diagonale berechnen (Bau, Konstruktion, Vermessung)
Berechnet man aus zwei rechtwinklig aufeinandertreffenden Seiten eine Diagonale (Satz des Pythagoras), hat das Ergebnis oft die Form einer Wurzel. Die Diagonale eines Quadrats mit 1 m Seitenlänge ist \(\sqrt{2} \approx 1{,}414\) m, und bei 3 m mal 4 m ist sie \(\sqrt{25} = 5\) m.
Auf dem Bau und in der Zimmerei misst man diese Diagonale, um zu prüfen, ob der rechte Winkel stimmt (die 3-4-5-Regel). Schreiben Sie auf einem Plan einen Wert wie \(\sqrt{18}\) nicht so hin, sondern vereinfacht als \(3\sqrt{2}\), dann sehen Sie sofort, dass es das Dreifache von \(\sqrt{2} \approx 1{,}414\) ist, also etwa 4,24 m.
Die Standardabweichung als Maß für die Streuung von Daten (Statistik und Qualitätssicherung)
Die Standardabweichung ist die Quadratwurzel aus dem Mittelwert der quadrierten Abstände vom Mittelwert (der Varianz). Durch das Quadrieren und anschließende Wurzelziehen kommt das Ergebnis wieder in dieselbe Einheit wie die ursprünglichen Daten.
Die fünf Werte 4, 6, 8, 10, 12 haben zum Beispiel den Mittelwert 8 und die Varianz 8, also ist die Standardabweichung \(\sqrt{8} = 2\sqrt{2} \approx 2{,}83\). Ob Klausurergebnisse, Streuung von Produkten in einer Fabrik oder Referenzbereiche bei Laborwerten: Quadratwurzeln kommen überall vor, wo man mit Daten arbeitet.
Die Fallzeit und die Schwingungsdauer eines Pendels berechnen (Physik)
Ein Gegenstand, der aus \(h\) Metern Höhe fallen gelassen wird, braucht \(\sqrt{\dfrac{2h}{g}}\) Sekunden bis zum Boden (\(g\), die Fallbeschleunigung, beträgt etwa 9,8 m/s²), bei 5 m etwa 1,01 Sekunden. Auch die Zeit für eine volle Schwingung eines Pendels ist proportional zur Quadratwurzel aus der Länge der Schnur (bei einem Pendel von 1 m Länge etwa 2,0 Sekunden).
Diese Regel „die Zeit ist proportional zur Quadratwurzel aus der Strecke“ wird in alltäglichen Zusammenhängen genutzt, etwa beim Bau von Uhren und Spielgeräten und bei der Untersuchung von Stürzen.
Aus Bremsspuren die Geschwindigkeit bei einem Unfall berechnen (Unfallgutachten)
Aus der Länge der Bremsspur, die ein Reifen auf der Straße hinterlässt, lässt sich die Geschwindigkeit zu Beginn des Bremsens mit \(\sqrt{2\mu g d}\) abschätzen (\(\mu\) ist die Reibungszahl zwischen Reifen und Straße, \(g\) die Fallbeschleunigung und \(d\) die Länge der Bremsspur). Bei trockener Fahrbahn mit \(\mu = 0{,}7\) und einer Spur von 20 m ergibt sich \(\sqrt{274{,}4} \approx 16{,}6\) m/s, in Stundenkilometern etwa 60 km/h.
Diese Abschätzung wird bei Unfallgutachten tatsächlich benutzt. Sie erklärt auch eine wichtige Sicherheitsregel: Verdoppelt sich die Geschwindigkeit, wird der Bremsweg (von dem Moment an, in dem die Bremse wirkt, bis zum Stillstand) viermal so lang, weil der Bremsweg proportional zum Quadrat der Geschwindigkeit ist.
Formeln und Abbildungen
Was eine Quadratwurzel und das Wurzelzeichen bedeuten
Abbildung
Mathematische Schreibweise
(die übliche Schreibweise)
\(\left(\sqrt{a}\right)^{2}\)
\(=\)
\(a\)
In Worten
(die Symbole durch Wörter ersetzt)
①
\(\sqrt{a}\), die positive Zahl, deren Quadrat \(a\) ist, noch einmal quadriert
\(=\)
②
\(a\): Zahl unter der Wurzel
Die Formel in Worten
①
Nehmen Sie bei einer Zahl \(a\) von 0 oder mehr
\(\sqrt{a}\), die positive Zahl, deren Quadrat \(a\) ist, noch einmal quadriert
②
und Sie sind wieder bei der
\(a\): Zahl unter der Wurzel
selbst
Einfaches Beispiel
Die Quadratwurzel aus \(2\), \(\sqrt{2}\), ist die Länge der Diagonale eines Quadrats mit der Seitenlänge \(1\). Quadriert man sie, erhält man
die Diagonale \(\sqrt{2}\) zum Quadrat
\(=\)
Zahl unter der Wurzel, \(2\)
\(\left(\sqrt{2}\right)^{2} = \sqrt{2} \times \sqrt{2} = 2\)
\(\sqrt{2} \approx 1{,}41421356\)
Der Kerngedanke
Stellen Sie sich ein Quadrat mit der Fläche \(a\) vor. Die Länge seiner Seite ist genau \(\sqrt{a}\). Quadriert man die Seite, erhält man wieder die Fläche \(a\), und genau das bedeutet das Wurzelzeichen.
\(\sqrt{2}\) und \(\sqrt{3}\) lassen sich nicht als Brüche schreiben (es sind irrationale Zahlen). Als Dezimalzahlen enden sie nie und wiederholen sich nie. Statt \(1{,}41421356\dots\) endlos hinzuschreiben, gibt das eine Zeichen \(\sqrt{2}\) den exakten Wert an.
Es gibt zwei Zahlen, deren Quadrat \(a\) ist: \(+\sqrt{a}\) und \(-\sqrt{a}\). Per Vereinbarung bedeutet das Zeichen \(\sqrt{a}\) nur die positive (die Quadratwurzel im engeren Sinn).
Eine Wurzel vereinfachen (die Quadratzahl vor die Wurzel ziehen)
Abbildung
Mathematische Schreibweise
(die übliche Schreibweise)
\(\sqrt{a^{2}b}\)
\(=\)
\(a\)
\(\sqrt{b}\)
In Worten
(die Symbole durch Wörter ersetzt)
③
eine Quadratwurzel mit der Quadratzahl \(a^2\) mal dem Rest \(b\) als Radikand
\(=\)
①
\(a\): Wurzel der Quadratzahl (kommt vor die Wurzel)
②
\(\sqrt{b}\): Quadratwurzel des Rests (bleibt darunter)
Die Formel in Worten
①
Zerlegen Sie bei Zahlen \(a\) und \(b\) von 0 oder mehr den Radikanden in „Quadratzahl mal Rest“. Ziehen Sie die
\(a\): Wurzel der Quadratzahl
vor die Wurzel
②
lassen Sie die
\(\sqrt{b}\): Quadratwurzel des Rests
darunter stehen und multiplizieren Sie. Das Ergebnis ist gleich der
③
ursprünglichen Quadratwurzel \(\sqrt{a^2b}\)
Einfaches Beispiel
\(48 = 2^4 \times 3 = 4^2 \times 3\), also wird \(\sqrt{48}\) zu
ursprüngliche Quadratwurzel \(\sqrt{48}\)
\(=\)
\(4\) kommt vor die Wurzel
\(\sqrt{3}\) bleibt darunter
\(48 = 2^{4} \times 3 = 4^{2} \times 3\)
\(\sqrt{48} = \sqrt{4^{2} \times 3} = 4\sqrt{3} \approx 6{,}9282\)
Der Kerngedanke
Um zu sehen, warum es herauskommt, zerlegen Sie \(\sqrt{a^2b} = \sqrt{a^2} \times \sqrt{b}\). \(\sqrt{a^2}\) ist „die positive Zahl, deren Quadrat \(a^2\) ist“, also einfach \(a\). Also kommt allein \(a\) vor die Wurzel, und \(\sqrt{b}\) bleibt darunter.
Die Primfaktorzerlegung ist der sichere Weg, Quadratzahlen zu finden. Jedes Paar desselben Primfaktors lässt ein Exemplar dieser Primzahl vor die Wurzel kommen, und nur die Primzahlen ohne Partner bleiben darunter. Zum Beispiel ist \(72 = 2^3 \times 3^2\). Es gibt drei 2en, die ein Paar bilden, also kommt eine 2 heraus und eine 2 bleibt drin. Es gibt zwei 3en, genau ein Paar, also kommt eine 3 heraus. Also ist \(\sqrt{72} = 2 \times 3 \times \sqrt{2} = 6\sqrt{2}\).
Es gibt zwei Gründe zu vereinfachen. Erstens sieht man die Größe leichter: \(\sqrt{48}\) sagt auf den ersten Blick wenig, aber \(4\sqrt{3}\) ist das Vierfache von \(\sqrt{3} \approx 1{,}73\), also etwa 6,9. Zweitens erhalten gleiche Werte dieselbe Form, sodass Sie Ergebnisse prüfen und Terme in Ordnung bringen können.
Wurzeln addieren und subtrahieren (gleichartige Terme zusammenfassen)
Abbildung
Mathematische Schreibweise
(die übliche Schreibweise)
\(p\sqrt{a}\)
\(+\)
\(q\sqrt{a}\)
\(=\)
\(\left(p+q\right)\sqrt{a}\)
In Worten
(die Symbole durch Wörter ersetzt)
①
\(p\)-mal \(\sqrt{a}\)
\(+\)
②
\(q\)-mal \(\sqrt{a}\)
\(=\)
③
\(p+q\)-mal \(\sqrt{a}\)
Die Formel in Worten
①
Sind die Radikanden gleich \(a\), sind
\(p\)-mal \(\sqrt{a}\)
②
plus
\(q\)-mal \(\sqrt{a}\)
gleich große Stücke, also addieren sich die Anzahlen, und es ergibt sich
③
\(p+q\)-mal \(\sqrt{a}\)
Einfaches Beispiel
Bei \(3\sqrt{2} + 5\sqrt{2}\) bestehen beide aus \(\sqrt{2}\)-Stücken, also gilt
3-mal \(\sqrt{2}\)
\(+\)
5-mal \(\sqrt{2}\)
\(=\)
8-mal \(\sqrt{2}\)
\(3\sqrt{2} + 5\sqrt{2} = \left(3+5\right)\sqrt{2} = 8\sqrt{2} \approx 11{,}3137\)
Der Kerngedanke
Es ist derselbe Gedanke wie „3 Äpfel + 5 Äpfel = 8 Äpfel“. Wenn Sie in der Algebra \(3x + 5x = 8x\) zusammenfassen, ist das \(x\) hier einfach \(\sqrt{2}\). Das nennt man gleichartige Terme zusammenfassen.
Wurzeln mit verschiedenen Radikanden lassen sich dagegen nicht zu einer zusammenfassen. Der häufigste Fehler ist, die Inhalte zu addieren und \(\sqrt{a} + \sqrt{b} = \sqrt{a+b}\) zu schreiben. Das stimmt nicht. Ein Beispiel mit ganzen Zahlen macht es klar: \(\sqrt{9} + \sqrt{16} = 3 + 4 = 7\), aber \(\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\), eine ganz andere Zahl. Bei der Subtraktion ist es genauso: \(\sqrt{a} - \sqrt{b}\) ist auch nicht \(\sqrt{a-b}\).
Also ist \(\sqrt{2} + \sqrt{3}\) nicht \(\sqrt{5}\) (tatsächlich ist \(\sqrt{2} + \sqrt{3} \approx 3{,}1463\), während \(\sqrt{5} \approx 2{,}2361\) ist). Das Ergebnis bleibt \(\sqrt{2} + \sqrt{3}\). Nicht zusammenzuzwingen, was sich nicht zusammenfassen lässt, ist die richtige Antwort.
Wurzeln, die verschieden aussehen, können nach dem Vereinfachen gleichartige Terme werden. \(\sqrt{2} + \sqrt{8}\) scheint sich nicht zusammenfassen zu lassen, aber \(\sqrt{8} = 2\sqrt{2}\), also ist \(\sqrt{2} + 2\sqrt{2} = 3\sqrt{2}\). Beim Addieren und Subtrahieren vereinfachen Sie deshalb immer zuerst beide Wurzeln.
Wurzeln multiplizieren (die Inhalte multiplizieren und zu einer Wurzel zusammenfassen)
Abbildung
Mathematische Schreibweise
(die übliche Schreibweise)
\(\sqrt{a}\)
\(\times\)
\(\sqrt{b}\)
\(=\)
\(\sqrt{ab}\)
In Worten
(die Symbole durch Wörter ersetzt)
①
Quadratwurzel aus \(a\)
\(\times\)
②
Quadratwurzel aus \(b\)
\(=\)
③
Quadratwurzel aus dem Produkt der Inhalte, \(ab\)
Die Formel in Worten
①
Multipliziert man bei Zahlen \(a\) und \(b\), die beide 0 oder größer sind, die
Quadratwurzel aus \(a\), \(\sqrt{a}\)
②
mit der
Quadratwurzel aus \(b\), \(\sqrt{b}\)
werden die Inhalte miteinander multipliziert, und es ergibt sich die
③
Quadratwurzel aus \(ab\), \(\sqrt{ab}\)
Einfaches Beispiel
Bei \(\sqrt{3} \times \sqrt{6}\) multiplizieren Sie die Inhalte zu \(\sqrt{18}\) und vereinfachen dann
\(\sqrt{3}\)
\(\times\)
\(\sqrt{6}\)
\(=\)
\(\sqrt{18}\) (vereinfacht \(3\sqrt{2}\))
\(\sqrt{3} \times \sqrt{6} = \sqrt{3 \times 6} = \sqrt{18}\)
\(\sqrt{18} = \sqrt{3^{2} \times 2} = 3\sqrt{2} \approx 4{,}2426\)
Der Kerngedanke
Es leuchtet ein, wenn Sie an ein Rechteck mit der Höhe \(\sqrt{a}\) und der Breite \(\sqrt{b}\) denken: Seine Fläche ist \(\sqrt{ab}\). Anders als beim Addieren lassen sich beim Multiplizieren Wurzeln auch dann zu einer zusammenfassen, wenn die Radikanden verschieden sind.
Stehen Zahlen vor den Wurzeln, multiplizieren Sie die Zahlen davor und die Inhalte getrennt miteinander. Zum Beispiel ist \(2\sqrt{6} \times 3\sqrt{2} = (2 \times 3)\sqrt{6 \times 2} = 6\sqrt{12}\). Vereinfachen Sie dann \(\sqrt{12} = 2\sqrt{3}\), und es ergibt sich \(6 \times 2\sqrt{3} = 12\sqrt{3}\). Nach dem Multiplizieren wird der Radikand größer und enthält oft eine Quadratzahl, vergessen Sie also nicht, am Ende zu vereinfachen.
Multipliziert man eine Wurzel mit sich selbst, fällt die Wurzel weg (\(\sqrt{5} \times \sqrt{5} = \sqrt{25} = 5\)). Das sagt dasselbe wie die erste Formel, \(\left(\sqrt{a}\right)^2 = a\).
Beachten Sie, dass diese Formel nur gilt, wenn \(a\) und \(b\) beide 0 oder größer sind. Bei Quadratwurzeln aus negativen Zahlen (imaginäre Zahlen) funktioniert sie nicht genauso, verwenden Sie sie also nicht, wenn eine negative Zahl unter der Wurzel steht.
Wurzeln dividieren und den Nenner rational machen
Mathematische Schreibweise
(die übliche Schreibweise)
\(\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\)
\(=\)
\(\dfrac{\sqrt{a} \times \sqrt{b}}{\sqrt{b} \times \sqrt{b}}\)
\(=\)
\(\dfrac{\sqrt{ab}}{b}\)
In Worten
(die Symbole durch Wörter ersetzt)
①
eine Wurzel bleibt im Nenner
\(=\)
②
Zähler und Nenner beide mit \(\sqrt{b}\) multipliziert
\(=\)
③
der Nenner ist jetzt die ganze Zahl \(b\)
Die Formel in Worten
①
Schreiben Sie bei \(a\) von 0 oder mehr und einem positiven \(b\) (es ist ein Nenner, also nicht 0) die Division als Bruch, mit
eine Wurzel bleibt im Nenner
②
Schreiben Sie ihn um, mit
Zähler und Nenner beide mit \(\sqrt{b}\) multipliziert
Der Nenner wird zu \(\sqrt{b} \times \sqrt{b} = b\), die Wurzel verschwindet also, und
③
der Nenner ist jetzt die ganze Zahl \(b\)
Einfaches Beispiel
Schreibt man \(1 \div \sqrt{3}\) ohne Wurzel im Nenner, erhält man
\(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\)
\(=\)
beide mit \(\sqrt{3}\) multipliziert
\(=\)
\(\dfrac{\sqrt{3}}{3}\)
\(\dfrac{1}{\sqrt{3}} = \dfrac{1 \times \sqrt{3}}{\sqrt{3} \times \sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{3}}{3} \approx 0{,}5774\)
Der Kerngedanke
Multipliziert man Zähler und Nenner mit derselben Zahl, ändert sich der Wert eines Bruchs nicht. Das Rationalmachen des Nenners nutzt das, um die Wurzel allein aus dem Nenner zu entfernen. Es ändert das Aussehen, nicht den Wert, also sind \(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\) und \(\dfrac{\sqrt{3}}{3}\) dieselbe Zahl (etwa 0,5774).
Ergebnisse schreibt man ohne Wurzel im Nenner, weil sich die Größe leichter beurteilen lässt und Ergebnisse leichter zu vergleichen sind. Bei \(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\) müssten Sie 1 durch 1,73… teilen, bei \(\dfrac{\sqrt{3}}{3}\) teilen Sie nur 1,73… durch 3.
Die Schritte sind dieselben, wenn Zahlen vor den Wurzeln stehen: Teilen Sie die Zahlen davor und machen Sie dann den Wurzelteil rational (Beispiel: \(6\sqrt{6} \div 3\sqrt{2} = 2\sqrt{3}\)). Hat der Nenner zwei Glieder, wie \(\sqrt{3} + 1\), braucht man ein anderes Verfahren (das Erweitern mit dem konjugierten Term, dritte binomische Formel). Dieser Rechner behandelt nur Nenner mit einer einzigen Wurzel.
Eine Wurzel zu vereinfachen heißt, den Radikanden in Primfaktoren zu zerlegen, die Quadratzahlen zu finden und ihre Wurzeln vor die Wurzel zu ziehen (\(\sqrt{a^2b} = a\sqrt{b}\)). Beim Addieren und Subtrahieren lassen sich nur Wurzeln mit gleichem Radikanden (gleichartige Terme) zusammenfassen. Beim Multiplizieren und Dividieren lassen sich die Radikanden miteinander multiplizieren oder dividieren. Üblicherweise schreibt man einen Quotienten ohne Wurzel im Nenner (mit rational gemachtem Nenner).
Symbole und Begriffe
Symbole
| \(\sqrt{\phantom{a}}\) | Wurzel (Wurzelzeichen) | Das Zeichen für eine Quadratwurzel, das Wurzelzeichen. Es soll von einem stilisierten r stammen, dem Anfangsbuchstaben des lateinischen Worts radix, „Wurzel“. Es steht für die positive Zahl, deren Quadrat die Zahl darunter ist, wie in \(\sqrt{9} = 3\). |
| \(\sqrt{a}\) | Wurzel aus a | Die positive Quadratwurzel aus \(a\). Quadriert man sie, erhält man wieder \(a\) (\(\left(\sqrt{a}\right)^2 = a\)). Die Zahl \(a\) unter der Wurzel muss 0 oder größer sein. |
| \(a\sqrt{b}\) | a mal Wurzel aus b | \(a\) mal \(\sqrt{b}\) (das Multiplikationszeichen wird weggelassen). Eine vereinfachte Wurzel hat diese Form: \(a\) ist die Zahl, die vor die Wurzel gezogen wurde, und \(b\) die Zahl, die darunter geblieben ist. |
| \(a^2\) | a hoch 2 (a Quadrat) | \(a\) mit sich selbst multipliziert (\(a \times a\)). Die kleine 2 rechts oben zeigt, wie oft multipliziert wird. Die erste Aufgabe beim Vereinfachen einer Wurzel ist, diese Form darin zu finden. |
| \(\approx\) | ist ungefähr gleich | Das Zeichen für „ungefähr gleich“. Der Wert einer Wurzel geht nicht glatt auf, also benutzt man dieses Zeichen, wenn man sie als Dezimalzahl schreibt, wie in \(\sqrt{2} \approx 1{,}41421356\). |
| \(p, q\) | p, q | Buchstaben, die oft für die Zahlen vor Wurzeln stehen. Auf dieser Seite sagen sie wie in \(p\sqrt{a} + q\sqrt{a}\), wie viele \(\sqrt{a}\) es gibt. |
| \(<\) | ist kleiner als | Das Zeichen, das bedeutet, dass die linke Seite kleiner als die rechte ist. Auf dieser Seite zeigt es, zwischen welchen zwei ganzen Zahlen eine Wurzel liegt, wie in \(6 < 4\sqrt{3} < 7\). |
Begriffe
| Quadratwurzel | Eine Zahl, deren Quadrat die gegebene Zahl ist. \(9\) hat zwei solche Zahlen, \(3\) und \(-3\). Die positive schreibt man \(\sqrt{9}\), die negative \(-\sqrt{9}\). In der Schule bedeutet „Quadratwurzel“ meist nur die positive. |
| Wurzelzeichen | Das Zeichen √ für eine Quadratwurzel. Ein Ausdruck wie \(\sqrt{5}\) heißt Wurzel und steht für die positive Quadratwurzel der Zahl darunter. |
| Radikand | Die Zahl unter dem Wurzelzeichen. In \(\sqrt{48}\) ist der Radikand 48. |
| vereinfachte Form der Wurzel | Die Form, die man beim Vereinfachen einer Wurzel erhält, ohne ihren Wert zu ändern: Die Quadratzahlen werden vor die Wurzel gezogen, sodass der Radikand die kleinstmögliche ganze Zahl ist (\(\sqrt{48} \to 4\sqrt{3}\)). Im Nenner steht außerdem keine Wurzel. Man nennt das teilweises Wurzelziehen. |
| Quadratzahl | Eine Zahl, die man erhält, wenn man eine ganze Zahl quadriert, wie \(1, 4, 9, 16, 25, 36, \dots\). Ist der Radikand eine Quadratzahl, fällt die Wurzel weg, und es bleibt eine ganze Zahl (\(\sqrt{36} = 6\)). |
| quadratischer Faktor | Ein Faktor einer Zahl, der eine Quadratzahl ist. \(48\) hat den quadratischen Faktor \(16 = 4^2\), also ist \(\sqrt{48} = 4\sqrt{3}\). Zahlen, deren einziger quadratischer Faktor \(1\) ist (\(2, 3, 5, 6, 7, 10, \dots\)), lassen sich nicht weiter vereinfachen. |
| Primfaktorzerlegung | Eine ganze Zahl nur als Produkt von Primzahlen schreiben (\(48 = 2^4 \times 3\)). Jedes Paar eines Primfaktors lässt ein Exemplar vor die Wurzel kommen, also kommen Primzahlen mit geradem Exponenten ganz heraus, und bei Primzahlen mit ungeradem Exponenten bleibt ein Exemplar darunter. Es ist der sichere Weg, Quadratzahlen zu finden. |
| Primzahl | Eine ganze Zahl von 2 oder mehr, die sich nur durch 1 und sich selbst ohne Rest teilen lässt, wie \(2, 3, 5, 7, 11, \dots\). Primzahlen sind die Bausteine der Primfaktorzerlegung. |
| gleichartige Terme | Terme, deren Variablenteile genau gleich sind, wie \(3x\) und \(5x\). Bei Wurzeln sind Terme mit demselben Radikanden, wie \(3\sqrt{2}\) und \(5\sqrt{2}\), gleichartig, und nur diese lassen sich zusammenfassen. |
| Nenner rational machen | Einen Bruch mit einer Wurzel im Nenner umschreiben, indem man Zähler und Nenner mit derselben Zahl multipliziert, sodass im Nenner keine Wurzel bleibt. Der Wert ändert sich nicht (\(\dfrac{1}{\sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{3}}{3}\)). Man sagt auch „den Nenner rationalisieren“. |
| rationale Zahl | Eine Zahl, die sich als Bruch zweier ganzer Zahlen schreiben lässt. Ganze Zahlen, endliche Dezimalzahlen und periodische Dezimalzahlen sind alle rational. „Rational“ kommt von „Verhältnis“ (lateinisch ratio). |
| irrationale Zahl | Eine Zahl, die sich nicht als Bruch schreiben lässt. Als Dezimalzahl endet sie nie und wiederholt sich nie. \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\) und \(\pi\) sind irrational. Wird in Klasse 9 (14–15 Jahre) eingeführt. |
| reelle Zahl | Alle rationalen und irrationalen Zahlen zusammen, die den Punkten auf der Zahlengerade entsprechen. Diese Seite arbeitet mit Quadratwurzeln innerhalb der reellen Zahlen. |
| Näherung | Ein Wert nahe am exakten Wert, der an dessen Stelle benutzt wird. In \(\sqrt{2} \approx 1{,}414\) ist die rechte Seite eine Näherung. Eine Wurzel geht nie glatt auf, also ist jede Dezimalzahl, die Sie dafür schreiben, eine Näherung. |
| imaginäre Zahl | Eine Zahl, die nicht reell ist. Ist \(i\) die Zahl, deren Quadrat \(-1\) ist, sind die Quadratwurzeln aus \(-4\) die Zahlen \(2i\) und \(-2i\). Quadratwurzeln aus negativen Zahlen sind imaginär und lassen sich nicht auf der Zahlengerade darstellen. In Deutschland werden sie meist in der Oberstufe mit den komplexen Zahlen behandelt. |
| verschachtelte Wurzel | Eine Wurzel, in der eine weitere Wurzel steht, wie \(\sqrt{5 + 2\sqrt{6}}\). Unter passenden Bedingungen lässt sie sich ohne Verschachtelung schreiben, als \(\sqrt{3} + \sqrt{2}\). Dieser Rechner behandelt sie nicht. |
| Zahlengerade | Zahlen als Punkte auf einer Geraden. Man sieht daran, wie groß eine Wurzel ist und zwischen welchen zwei ganzen Zahlen sie liegt. |
Was Sie vorab wissen sollten
Hier steht, was Ihnen hilft, die Berechnung auf dieser Seite wirklich zu verstehen und nicht nur den Knopf zu drücken.
Wenn Sie nicht weiterkommen, ist es der schnellste Weg, diese Themen zu wiederholen.
| Potenzen und Quadrate (Klasse 5–8, 10–14 Jahre) |
|
| Primfaktorzerlegung (Klasse 5–6, 10–12 Jahre) |
|
| Die Bedeutung der Quadratwurzel (Klasse 9, 14–15 Jahre) |
|
| Gleichartige Terme in der Algebra (Klasse 6–7, 11–13 Jahre) |
|
| Brüche und Kürzen (Klasse 5–6, 10–12 Jahre) |
|
| Der Satz des Pythagoras (Klasse 8–9, 13–15 Jahre) |
|
Mit Excel berechnen
Kopieren Sie die gesamte Tabelle unten und fügen Sie sie in Zelle A1 von Excel ein. Sie funktioniert unverändert.
Tabelle zur Kontrolle, was eine Quadratwurzel bedeutet
| Zahl unter der Wurzel a | 3 |
| Wert von √a | =WURZEL(B1) |
| √a zum Quadrat (wieder B1) | =B2^2 |
Tabelle zur Kontrolle einer vereinfachten Wurzel
| Zahl, die vor die Wurzel kommt, a | 4 |
| Zahl, die darunter bleibt, b | 3 |
| Ursprüngliche Zahl a²×b | =B1^2*B2 |
| Wert von √(a²b) | =WURZEL(B3) |
| Wert von a√b (derselbe) | =B1*WURZEL(B2) |
Tabelle zur Kontrolle beim Addieren von Wurzeln
| Zahl unter der Wurzel a | 2 |
| Erster Faktor p | 3 |
| Zweiter Faktor q | 5 |
| Wert von p√a + q√a | =B2*WURZEL(B1)+B3*WURZEL(B1) |
| Wert von (p+q)√a (derselbe) | =(B2+B3)*WURZEL(B1) |
Tabelle zur Kontrolle beim Multiplizieren von Wurzeln
| Erste Zahl unter der Wurzel a | 3 |
| Zweite Zahl unter der Wurzel b | 6 |
| Wert von √a × √b | =WURZEL(B1)*WURZEL(B2) |
| Wert von √(ab) (derselbe) | =WURZEL(B1*B2) |
| Wert des vereinfachten 3√2 (derselbe) | =3*WURZEL(2) |
Tabelle zur Kontrolle beim Rationalmachen des Nenners
| Zahl unter der Wurzel b | 3 |
| Wert von 1 ÷ √b | =1/WURZEL(B1) |
| Wert von √b ÷ b (derselbe) | =WURZEL(B1)/B1 |
Kopieren Sie eine Tabelle und fügen Sie sie in Zelle A1 ein. Die oberen Zeilen sind Ihre Eingaben, und die unteren Zeilen werden automatisch berechnet. WURZEL ist die Funktion für die Quadratwurzel, und „^“ ist eine Potenz.
Die erste Tabelle setzt 3 für a ein: √3 ist 1,732050808…, und quadriert ergibt es wieder 3.
Die zweite Tabelle setzt 4 für a und 3 für b ein. Die ursprüngliche Zahl ist 48, und √48 und 4√3 ergeben beide 6,928203230….
Die dritte Tabelle ist 3√2 + 5√2, und beide Rechnungen ergeben 11,31370850…. Die vierte Tabelle ist √3 × √6, und alle drei Formeln ergeben 4,242640687….
Die fünfte Tabelle ist 1 ÷ √3, und das rational gemachte √3 ÷ 3 ergibt dasselbe 0,5773502692…. Ändern Sie die Werte, dann können Sie prüfen, dass es bei jeder Kombination funktioniert.
Beachten Sie, dass Excel Dezimal-Näherungen zeigt. Den Rechner auf dieser Seite nutzen Sie, um exakte Formen wie 4√3 zu sehen.
Die erste Tabelle setzt 3 für a ein: √3 ist 1,732050808…, und quadriert ergibt es wieder 3.
Die zweite Tabelle setzt 4 für a und 3 für b ein. Die ursprüngliche Zahl ist 48, und √48 und 4√3 ergeben beide 6,928203230….
Die dritte Tabelle ist 3√2 + 5√2, und beide Rechnungen ergeben 11,31370850…. Die vierte Tabelle ist √3 × √6, und alle drei Formeln ergeben 4,242640687….
Die fünfte Tabelle ist 1 ÷ √3, und das rational gemachte √3 ÷ 3 ergibt dasselbe 0,5773502692…. Ändern Sie die Werte, dann können Sie prüfen, dass es bei jeder Kombination funktioniert.
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Mit Google Tabellen berechnen
Kopieren Sie die gesamte Tabelle unten und fügen Sie sie in Zelle A1 von Google Tabellen ein. Sie funktioniert unverändert.
Tabelle zur Kontrolle, was eine Quadratwurzel bedeutet
| Zahl unter der Wurzel a | 3 |
| Wert von √a | =WURZEL(B1) |
| √a zum Quadrat (wieder B1) | =B2^2 |
Tabelle zur Kontrolle einer vereinfachten Wurzel
| Zahl, die vor die Wurzel kommt, a | 4 |
| Zahl, die darunter bleibt, b | 3 |
| Ursprüngliche Zahl a²×b | =B1^2*B2 |
| Wert von √(a²b) | =WURZEL(B3) |
| Wert von a√b (derselbe) | =B1*WURZEL(B2) |
Tabelle zur Kontrolle beim Addieren von Wurzeln
| Zahl unter der Wurzel a | 2 |
| Erster Faktor p | 3 |
| Zweiter Faktor q | 5 |
| Wert von p√a + q√a | =B2*WURZEL(B1)+B3*WURZEL(B1) |
| Wert von (p+q)√a (derselbe) | =(B2+B3)*WURZEL(B1) |
Tabelle zur Kontrolle beim Multiplizieren von Wurzeln
| Erste Zahl unter der Wurzel a | 3 |
| Zweite Zahl unter der Wurzel b | 6 |
| Wert von √a × √b | =WURZEL(B1)*WURZEL(B2) |
| Wert von √(ab) (derselbe) | =WURZEL(B1*B2) |
| Wert des vereinfachten 3√2 (derselbe) | =3*WURZEL(2) |
Tabelle zur Kontrolle beim Rationalmachen des Nenners
| Zahl unter der Wurzel b | 3 |
| Wert von 1 ÷ √b | =1/WURZEL(B1) |
| Wert von √b ÷ b (derselbe) | =WURZEL(B1)/B1 |
Die Formeln funktionieren wie in Excel (bei deutschen Spracheinstellungen von Google Tabellen). Kopieren Sie die gesamte Tabelle, fügen Sie sie in Zelle A1 ein und ersetzen Sie die Zahlen durch Ihre eigenen.
Mit Python berechnen
from math import isqrt
def simplify_radical(n):
# √n als a√b schreiben (b hat keinen quadratischen Faktor) und (a, b) zurückgeben
outside = 1
inside = n
d = 2
while d * d <= inside:
while inside % (d * d) == 0:
inside //= d * d
outside *= d
d += 1
return outside, inside
outside, inside = simplify_radical(48)
if inside == 1:
print(f"√48 = {outside}")
else:
print(f"√48 = {outside}√{inside}")
# Auch mit Dezimalwerten prüfen (sie sind gleich)
print(48 ** 0.5, outside * inside ** 0.5)
# Ist der Radikand eine Quadratzahl, fällt die Wurzel weg
print(simplify_radical(36), isqrt(36))
Der Code nutzt nur die Standardbibliothek. Probieren Sie nacheinander d = 2, 3, 4, … Solange sich die Zahl durch d zum Quadrat teilen lässt, teilen Sie weiter und ziehen jedes Mal ein d vor die Wurzel. Beim Ausführen erscheint „√48 = 4√3“, dann zweimal denselben Dezimalwert von √48, was zeigt, dass der Wert vor und nach dem Vereinfachen gleich ist. Die letzte Zeile ist √36, bei der die Wurzel wegfällt, und sie gibt (6, 1) und 6 aus. Ändern Sie die Zahlen und probieren Sie es aus.
Die Formel in LaTeX und anderen mathematischen Schreibweisen (zum Kopieren)
Was eine Quadratwurzel und das Wurzelzeichen bedeuten
(√a)² = a
\left(\sqrt{a}\right)^{2} = a
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msup>
<mrow><mo>(</mo><msqrt><mi>a</mi></msqrt><mo>)</mo></mrow>
<mn>2</mn>
</msup>
<mo>=</mo>
<mi>a</mi>
</mrow>
</math>
(sqrt(a))^2 = a
Sqrt[a]^2 == a
sqrt(a)^2 = a;
sqrt(a)^2 == a
(√a)^2 = a
Eine Wurzel vereinfachen (die Quadratzahl vor die Wurzel ziehen)
√(a²b) = a√b
\sqrt{a^{2}b} = a\sqrt{b}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msqrt><mrow><msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup><mi>b</mi></mrow></msqrt>
<mo>=</mo>
<mi>a</mi>
<msqrt><mi>b</mi></msqrt>
</mrow>
</math>
sqrt(a^2 b) = a sqrt(b)
Sqrt[a^2 b] == a Sqrt[b]
sqrt(a^2*b) = a*sqrt(b);
sqrt(a^2*b) == a*sqrt(b)
√(a^2 b) = a√b
Wurzeln addieren und subtrahieren (gleichartige Terme zusammenfassen)
p√a + q√a = (p + q)√a
p\sqrt{a} + q\sqrt{a} = \left(p + q\right)\sqrt{a}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>p</mi><msqrt><mi>a</mi></msqrt>
<mo>+</mo>
<mi>q</mi><msqrt><mi>a</mi></msqrt>
<mo>=</mo>
<mo>(</mo><mi>p</mi><mo>+</mo><mi>q</mi><mo>)</mo>
<msqrt><mi>a</mi></msqrt>
</mrow>
</math>
p sqrt(a) + q sqrt(a) = (p + q) sqrt(a)
p Sqrt[a] + q Sqrt[a] == (p + q) Sqrt[a]
p*sqrt(a) + q*sqrt(a) = (p + q)*sqrt(a);
p*sqrt(a) + q*sqrt(a) == (p + q)*sqrt(a)
p√a + q√a = (p + q)√a
Wurzeln multiplizieren (die Inhalte multiplizieren und zu einer Wurzel zusammenfassen)
√a × √b = √(ab)
\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{ab}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msqrt><mi>a</mi></msqrt>
<mo>×</mo>
<msqrt><mi>b</mi></msqrt>
<mo>=</mo>
<msqrt><mrow><mi>a</mi><mi>b</mi></mrow></msqrt>
</mrow>
</math>
sqrt(a) * sqrt(b) = sqrt(a b)
Sqrt[a] Sqrt[b] == Sqrt[a b]
sqrt(a)*sqrt(b) = sqrt(a*b);
sqrt(a)*sqrt(b) == sqrt(a*b)
√a × √b = √(ab)
Wurzeln dividieren und den Nenner rational machen
√a ÷ √b = √(ab) / b
\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \frac{\sqrt{a}\sqrt{b}}{\sqrt{b}\sqrt{b}} = \frac{\sqrt{ab}}{b}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mfrac><msqrt><mi>a</mi></msqrt><msqrt><mi>b</mi></msqrt></mfrac>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow><msqrt><mi>a</mi></msqrt><msqrt><mi>b</mi></msqrt></mrow>
<mrow><msqrt><mi>b</mi></msqrt><msqrt><mi>b</mi></msqrt></mrow>
</mfrac>
<mo>=</mo>
<mfrac><msqrt><mrow><mi>a</mi><mi>b</mi></mrow></msqrt><mi>b</mi></mfrac>
</mrow>
</math>
sqrt(a)/sqrt(b) = (sqrt(a) sqrt(b))/(sqrt(b) sqrt(b)) = sqrt(a b)/b
Sqrt[a]/Sqrt[b] == Sqrt[a b]/b
sqrt(a)/sqrt(b) = sqrt(a*b)/b;
sqrt(a)/sqrt(b) == sqrt(a*b)/b
√a/√b = √(ab)/b
Die Berechnung von ChatGPT ausführen lassen
Sie sind ein Rechenassistent für Quadratwurzeln. Führen Sie die folgende Berechnung durch, indem Sie tatsächlich Python-Code ausführen, und stützen Sie Ihre Antwort nur auf die Zahlen aus dem Ergebnis der Ausführung (antworten Sie nicht durch Kopfrechnen oder Raten). 1. Vereinfachen Sie √48 so, dass die Zahl unter der Wurzel die kleinstmögliche ganze Zahl ist. 2. Zeigen Sie auch die dabei verwendete Primfaktorzerlegung von 48. 3. Geben Sie 3√2 + 5√2, 2√6 × 3√2 und 6 ÷ √3 jeweils in vereinfachter Form an (bei der Division ohne Wurzel im Nenner). Schreiben Sie in Python eine eigene Funktion, die den Radikanden in Primfaktoren zerlegt und die Quadratzahlen herauszieht, und prüfen Sie, dass die Dezimalwerte vor und nach dem Vereinfachen übereinstimmen. Zeigen Sie den verwendeten Code und die Zahlen aus dem Ergebnis der Ausführung.
Anleitung
-
1Zahlen eingebenGeben Sie die Zahlen, mit denen Sie rechnen möchten, in die Eingabefelder ein
-
2BerechnenKlicken Sie auf die Schaltfläche „Berechnen“
-
3Ergebnis ablesenDas Ergebnis erscheint sofort. Auf derselben Seite finden Sie auch den Rechenweg und die Erklärung der Formel
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