Wählen Sie „Eine Wurzel vereinfachen“ oder „Zwei Wurzeln verrechnen“ und geben Sie die Zahl vor der Wurzel und die Zahl unter der Wurzel ein. Die Formel darunter ist mit den Eingabefeldern verknüpft; Sie können die Zahlen auch direkt darin ändern.
Ein leeres Feld vor der Wurzel zählt als 1; dort sind auch Dezimalzahlen, negative Zahlen und Brüche wie 3/4 möglich. Unter der Wurzel sind nur ganze Zahlen ab 1 erlaubt.
Ergebnis und Graph
Geben Sie links die Zahl unter der Wurzel ein und klicken Sie auf „Berechnen“. Hier erscheinen dann die vereinfachte Form und eine Zahlengerade.
Inhaltsverzeichnis
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Das können Sie auf dieser Seite
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Wofür braucht man diese Berechnung?
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Anleitung
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Formeln und Abbildungen
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Symbole und Begriffe
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Das sollten Sie vorher wissen
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So berechnen Sie es in Excel
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So berechnen Sie es in Google Tabellen
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So berechnen Sie es in Python
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So schreiben Sie die Formel in LaTeX und anderen Formelsprachen (zum Kopieren)
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So lassen Sie ChatGPT rechnen
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Die Vorteile von DataChef
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Verwandte Funktionen
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Alle Rechner von NumberChef
Das können Sie auf dieser Seite
- Sie vereinfachen eine Quadratwurzel wie \(\sqrt{48}\) zu \(4\sqrt{3}\) (mit der kleinstmöglichen ganzen Zahl unter der Wurzel). Der Rechenweg zeigt die Primfaktorzerlegung des Radikanden und wie die Quadratzahl herausgezogen wird
- Sie sehen auch, dass die Wurzel verschwindet und eine ganze Zahl übrig bleibt, wenn der Radikand eine Quadratzahl ist, etwa \(\sqrt{36} = 6\)
- Wurzeln wie \(3\sqrt{2} + 5\sqrt{2}\) und \(2\sqrt{6} \cdot 3\sqrt{2}\) addieren, subtrahieren, multiplizieren und dividieren – mit exakten, vereinfachten Ergebnissen
- Bleibt beim Dividieren eine Wurzel im Nenner, wird der Nenner rational gemacht. Beispiel: \(6 : \sqrt{3} = 2\sqrt{3}\)
- Im Mittelpunkt steht die exakte Form; dazu kommen der Dezimalwert und die beiden ganzen Zahlen, zwischen denen das Ergebnis liegt. Eine Zahlengerade zeigt die Größe
- Der Rechner zeigt die Wurzel so, wie Sie sie von Hand schreiben, und Sie können die Zahlen unter und vor der Wurzel direkt darin ändern
Möglich sind Quadratwurzeln aus positiven ganzen Zahlen. Wurzeln aus negativen Zahlen, Kubikwurzeln und höhere Wurzeln sowie verschachtelte Wurzeln wie \(\sqrt{5 + 2\sqrt{6}}\) werden nicht unterstützt.
Wofür braucht man diese Berechnung?
Das Seitenverhältnis von DIN A4 (Normen im Alltag)
Papierformate wie DIN A4 und A3 sind so festgelegt, dass Breite und Höhe im Verhältnis \(1 : \sqrt{2}\) stehen – eine deutsche Erfindung (DIN 476 von 1922, heute ISO 216). Bei diesem Verhältnis bleibt es gleich, wenn man die lange Seite halbiert: A3 einmal gefaltet ergibt genau A4. Tatsächlich misst A4 210 mm × 297 mm, und \(297 : 210 \approx 1{,}4143\) passt fast genau zu \(\sqrt{2} \approx 1{,}4142\).
Legt man außerdem fest, dass A0 eine Fläche von 1 m² hat, ergibt sich A0 = 841 mm × 1189 mm. Auch die Anzeige „A4 → A3 141 %“ am Kopierer ist nichts anderes als dieser Faktor \(\sqrt{2}\).
Schräge Längen bestimmen (Bau, Planung, Vermessung)
Berechnet man eine schräge Länge aus zwei Seiten, die im rechten Winkel aufeinandertreffen (Satz des Pythagoras), ergibt sich oft eine Wurzel. Die Diagonale eines Quadrats mit 1 m Seitenlänge ist \(\sqrt{2} \approx 1{,}414\) m, bei 3 m und 4 m ist sie \(\sqrt{25} = 5\) m.
Auf dem Bau und in der Zimmerei misst man diese Diagonale, um zu prüfen, ob eine Ecke rechtwinklig ist (3-4-5-Regel). Schreibt man im Plan statt \(\sqrt{18}\) die vereinfachte Form \(3\sqrt{2}\), sieht man sofort: das Dreifache von \(\sqrt{2} \approx 1{,}414\), also etwa 4,24 m.
Die Standardabweichung als Maß für die Streuung (Statistik und Qualitätskontrolle)
Die Standardabweichung ist die Quadratwurzel aus dem Mittel der quadrierten Abweichungen vom Mittelwert (der Varianz). Erst quadrieren und dann die Wurzel ziehen bringt das Ergebnis wieder in dieselbe Einheit wie die Daten.
Die fünf Werte 4, 6, 8, 10, 12 haben zum Beispiel den Mittelwert 8 und die Varianz 8, also die Standardabweichung \(\sqrt{8} = 2\sqrt{2} \approx 2{,}83\). Ob Notenspiegel, Streuung in der Fertigung oder Referenzbereiche bei der Vorsorgeuntersuchung – Quadratwurzeln tauchen überall auf, wo mit Daten gearbeitet wird.
Fallzeit und Schwingungsdauer eines Pendels (Physik)
Lässt man einen Gegenstand aus \(h\) Metern Höhe fallen, braucht er \(\sqrt{\dfrac{2h}{g}}\) Sekunden bis zum Boden (\(g\), die Fallbeschleunigung, ist etwa 9,8 m/s²); aus 5 m sind das etwa 1,01 s. Auch die Dauer einer vollen Schwingung eines Pendels ist proportional zur Quadratwurzel aus der Fadenlänge (etwa 2,0 s bei 1 m Länge).
Der Zusammenhang „die Zeit ist proportional zur Wurzel aus der Strecke“ wird im Alltag genutzt, etwa bei der Konstruktion von Uhren und Spielgeräten oder bei der Untersuchung von Sturzunfällen.
Die Geschwindigkeit aus der Bremsspur ermitteln (Unfallgutachten)
Aus der Länge der Bremsspur auf der Straße lässt sich die Geschwindigkeit zu Beginn der Bremsung mit \(\sqrt{2\mu g d}\) abschätzen (\(\mu\) ist die Reibungszahl zwischen Reifen und Fahrbahn, \(g\) die Fallbeschleunigung, \(d\) die Länge der Bremsspur). Auf trockenem Asphalt mit \(\mu = 0{,}7\) und einer 20 m langen Spur sind das \(\sqrt{274{,}4} \approx 16{,}6\) m/s, also rund 60 km/h.
Diese Abschätzung wird bei Unfallgutachten tatsächlich verwendet. Sie erklärt auch eine wichtige Regel für sicheres Fahren: Bei doppelter Geschwindigkeit wird der Bremsweg viermal so lang, denn er ist proportional zum Quadrat der Geschwindigkeit.
Formeln und Abbildungen
Was Quadratwurzel und Wurzelzeichen bedeuten
Abbildung
Mathematische Schreibweise
(die übliche Formel)
\(\left(\sqrt{a}\right)^{2}\)
\(=\)
\(a\)
In Worten
(Symbole durch Wörter ersetzt)
①
\(\sqrt{a}\), die positive Zahl mit dem Quadrat \(a\), noch einmal quadriert
\(=\)
②
\(a\): Zahl unter der Wurzel
Die Formel in Worten
①
Für eine Zahl \(a \ge 0\) nimmt man
\(\sqrt{a}\), die positive Zahl mit dem Quadrat \(a\), noch einmal quadriert
②
und ist wieder bei
\(a\): Zahl unter der Wurzel
Einfaches Beispiel
Die Quadratwurzel aus \(2\), \(\sqrt{2}\), ist die Länge der Diagonale eines Quadrats mit der Seite \(1\). Quadriert ergibt sie
Diagonale \(\sqrt{2}\) zum Quadrat
\(=\)
Zahl unter der Wurzel, \(2\)
\(\left(\sqrt{2}\right)^{2} = \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 2\)
\(\sqrt{2} \approx 1{,}41421356\)
Der Grundgedanke
Stellen Sie sich ein Quadrat mit der Fläche \(a\) vor. Seine Seitenlänge ist genau \(\sqrt{a}\). Quadriert man die Seite, erhält man wieder die Fläche \(a\) – genau das bedeutet das Wurzelzeichen.
\(\sqrt{2}\) und \(\sqrt{3}\) lassen sich nicht als Bruch schreiben (sie sind irrationale Zahlen). Als Dezimalzahl enden sie nie und wiederholen sich nie. Statt endlos \(1{,}41421356\ldots\) zu schreiben, gibt das eine Zeichen \(\sqrt{2}\) den exakten Wert an.
Es gibt zwei Zahlen mit dem Quadrat \(a\): \(+\sqrt{a}\) und \(-\sqrt{a}\). Nach Vereinbarung meint das Zeichen \(\sqrt{a}\) nur die positive.
Teilweises Wurzelziehen (den Quadratfaktor herausziehen)
Abbildung
Mathematische Schreibweise
(die übliche Formel)
\(\sqrt{a^{2}b}\)
\(=\)
\(a\)
\(\sqrt{b}\)
In Worten
(Symbole durch Wörter ersetzt)
③
eine Quadratwurzel, deren Radikand das Produkt aus der Quadratzahl \(a^2\) und dem Rest \(b\) ist
\(=\)
①
\(a\): Wurzel aus der Quadratzahl (kommt heraus)
②
\(\sqrt{b}\): Wurzel aus dem Rest (bleibt drin)
Die Formel in Worten
①
Für Zahlen \(a, b \ge 0\) zerlegt man den Radikanden in „Quadratzahl · Rest“. Man zieht
\(a\): Wurzel aus der Quadratzahl
aus der Wurzel heraus,
②
lässt
\(\sqrt{b}\): Wurzel aus dem Rest
drin und multipliziert. Das ergibt wieder
③
die ursprüngliche Quadratwurzel \(\sqrt{a^2b}\)
Einfaches Beispiel
Wegen \(48 = 2^4 \cdot 3 = 4^2 \cdot 3\) wird \(\sqrt{48}\) zu
ursprüngliche Wurzel \(\sqrt{48}\)
\(=\)
\(4\) kommt heraus
\(\sqrt{3}\) bleibt drin
\(48 = 2^{4} \times 3 = 4^{2} \times 3\)
\(\sqrt{48} = \sqrt{4^{2} \times 3} = 4\sqrt{3} \approx 6{,}9282\)
Der Grundgedanke
Warum das geht, sieht man, wenn man aufteilt: \(\sqrt{a^2b} = \sqrt{a^2} \cdot \sqrt{b}\). \(\sqrt{a^2}\) ist „die positive Zahl mit dem Quadrat \(a^2\)“, also einfach \(a\). Deshalb kommt nur \(a\) aus der Wurzel heraus, und \(\sqrt{b}\) bleibt drin.
Der sichere Weg zu den Quadratzahlen ist die Primfaktorzerlegung. Jedes Paar gleicher Primfaktoren bringt einen dieser Primfaktoren vor die Wurzel; nur die Primfaktoren ohne Partner bleiben drin. Zum Beispiel ist \(72 = 2^3 \cdot 3^2\). Die drei Zweien ergeben ein Paar, also kommt eine 2 heraus und eine 2 bleibt drin. Die zwei Dreien sind genau ein Paar, also kommt eine 3 heraus. Somit ist \(\sqrt{72} = 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{2} = 6\sqrt{2}\).
Vereinfachen lohnt sich aus zwei Gründen. Erstens sieht man die Größe besser: Bei \(\sqrt{48}\) ahnt man wenig, aber \(4\sqrt{3}\) ist 4-mal \(\sqrt{3} \approx 1{,}73\), also etwa 6,9. Zweitens haben gleiche Werte dann dieselbe Form, sodass man Ergebnisse vergleichen und Terme ordnen kann.
Wurzeln addieren und subtrahieren (gleichartige Terme zusammenfassen)
Abbildung
Mathematische Schreibweise
(die übliche Formel)
\(p\sqrt{a}\)
\(+\)
\(q\sqrt{a}\)
\(=\)
\(\left(p+q\right)\sqrt{a}\)
In Worten
(Symbole durch Wörter ersetzt)
①
\(p\)-mal \(\sqrt{a}\)
\(+\)
②
\(q\)-mal \(\sqrt{a}\)
\(=\)
③
\((p+q)\)-mal \(\sqrt{a}\)
Die Formel in Worten
①
Steht unter beiden Wurzeln dasselbe \(a\), sind
\(p\)-mal \(\sqrt{a}\)
②
und
\(q\)-mal \(\sqrt{a}\)
gleich große Stücke. Man kann also die Anzahlen addieren und erhält
③
\((p+q)\)-mal \(\sqrt{a}\)
Einfaches Beispiel
In \(3\sqrt{2} + 5\sqrt{2}\) bestehen beide aus Stücken \(\sqrt{2}\), also
3-mal \(\sqrt{2}\)
\(+\)
5-mal \(\sqrt{2}\)
\(=\)
8-mal \(\sqrt{2}\)
\(3\sqrt{2} + 5\sqrt{2} = \left(3+5\right)\sqrt{2} = 8\sqrt{2} \approx 11{,}3137\)
Der Grundgedanke
Das ist dieselbe Idee wie „3 Äpfel + 5 Äpfel = 8 Äpfel“. Wenn Sie in der Algebra \(3x + 5x = 8x\) zusammenfassen, ist das \(x\) hier einfach \(\sqrt{2}\). Man nennt das gleichartige Terme zusammenfassen.
Wurzeln mit verschiedenen Radikanden lassen sich dagegen nicht zusammenfassen. Der häufigste Fehler ist, die Zahlen unter den Wurzeln zu addieren: \(\sqrt{a} + \sqrt{b} = \sqrt{a+b}\) ist falsch. Ein Beispiel mit glatten Zahlen zeigt es: \(\sqrt{9} + \sqrt{16} = 3 + 4 = 7\), aber \(\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\) – eine ganz andere Zahl. Beim Subtrahieren ebenso: \(\sqrt{a} - \sqrt{b}\) ist nicht \(\sqrt{a-b}\).
Deshalb ist \(\sqrt{2} + \sqrt{3}\) nicht \(\sqrt{5}\) (tatsächlich ist \(\sqrt{2} + \sqrt{3} \approx 3{,}1463\), aber \(\sqrt{5} \approx 2{,}2361\)). Das Ergebnis bleibt \(\sqrt{2} + \sqrt{3}\). Was sich nicht zusammenfassen lässt, nicht mit Gewalt zusammenzufassen, ist die richtige Antwort.
Wurzeln, die verschieden aussehen, können nach dem Vereinfachen gleichartig werden. \(\sqrt{2} + \sqrt{8}\) scheint nicht zu passen, aber \(\sqrt{8} = 2\sqrt{2}\), also \(\sqrt{2} + 2\sqrt{2} = 3\sqrt{2}\). Beim Addieren und Subtrahieren werden deshalb immer zuerst beide Wurzeln vereinfacht.
Wurzeln multiplizieren (Radikanden multiplizieren, eine Wurzel bilden)
Abbildung
Mathematische Schreibweise
(die übliche Formel)
\(\sqrt{a}\)
\(\times\)
\(\sqrt{b}\)
\(=\)
\(\sqrt{ab}\)
In Worten
(Symbole durch Wörter ersetzt)
①
Quadratwurzel aus \(a\)
\(\times\)
②
Quadratwurzel aus \(b\)
\(=\)
③
Quadratwurzel aus dem Produkt \(ab\) der Radikanden
Die Formel in Worten
①
Für Zahlen \(a, b \ge 0\) multipliziert man
die Quadratwurzel aus \(a\), \(\sqrt{a}\),
②
mit
der Quadratwurzel aus \(b\), \(\sqrt{b}\),
indem man die Radikanden multipliziert, und erhält
③
die Quadratwurzel aus \(ab\), \(\sqrt{ab}\)
Einfaches Beispiel
Bei \(\sqrt{3} \cdot \sqrt{6}\) multipliziert man die Radikanden zu \(\sqrt{18}\) und vereinfacht dann
\(\sqrt{3}\)
\(\times\)
\(\sqrt{6}\)
\(=\)
\(\sqrt{18}\) (vereinfacht \(3\sqrt{2}\))
\(\sqrt{3} \times \sqrt{6} = \sqrt{3 \times 6} = \sqrt{18}\)
\(\sqrt{18} = \sqrt{3^{2} \times 2} = 3\sqrt{2} \approx 4{,}2426\)
Der Grundgedanke
Anschaulich: Ein Rechteck mit der Höhe \(\sqrt{a}\) und der Breite \(\sqrt{b}\) hat die Fläche \(\sqrt{ab}\). Anders als beim Addieren lassen sich Wurzeln beim Multiplizieren auch mit verschiedenen Radikanden zu einer zusammenfassen.
Stehen Zahlen vor den Wurzeln, multipliziert man die Zahlen davor und die Radikanden getrennt. Zum Beispiel \(2\sqrt{6} \cdot 3\sqrt{2} = (2 \cdot 3)\sqrt{6 \cdot 2} = 6\sqrt{12}\). Dann vereinfacht man \(\sqrt{12} = 2\sqrt{3}\) und erhält \(6 \cdot 2\sqrt{3} = 12\sqrt{3}\). Nach dem Multiplizieren wird der Radikand größer und enthält oft eine Quadratzahl – vergessen Sie das Vereinfachen am Schluss nicht.
Multipliziert man eine Wurzel mit sich selbst, verschwindet sie (\(\sqrt{5} \cdot \sqrt{5} = \sqrt{25} = 5\)). Das ist dieselbe Aussage wie die erste Formel \(\left(\sqrt{a}\right)^2 = a\).
Diese Regel gilt nur, wenn \(a\) und \(b\) beide mindestens 0 sind. Für Wurzeln aus negativen Zahlen (imaginäre Zahlen) gilt sie so nicht; verwenden Sie sie also nicht, wenn unter der Wurzel eine negative Zahl steht.
Wurzeln dividieren und Nenner rational machen
Mathematische Schreibweise
(die übliche Formel)
\(\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\)
\(=\)
\(\dfrac{\sqrt{a} \times \sqrt{b}}{\sqrt{b} \times \sqrt{b}}\)
\(=\)
\(\dfrac{\sqrt{ab}}{b}\)
In Worten
(Symbole durch Wörter ersetzt)
①
Wurzel steht noch im Nenner
\(=\)
②
mit \(\sqrt{b}\) erweitert
\(=\)
③
im Nenner steht die ganze Zahl \(b\)
Die Formel in Worten
①
Für \(a \ge 0\) und positives \(b\) (es steht im Nenner, also nicht 0) schreibt man die Division als Bruch:
Wurzel steht noch im Nenner
②
Man schreibt ihn um,
Zähler und Nenner mit \(\sqrt{b}\) erweitert
. Der Nenner wird \(\sqrt{b} \cdot \sqrt{b} = b\), die Wurzel verschwindet, und
③
im Nenner steht die ganze Zahl \(b\)
Einfaches Beispiel
Schreibt man \(1 : \sqrt{3}\) ohne Wurzel im Nenner, erhält man
\(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\)
\(=\)
mit \(\sqrt{3}\) erweitert
\(=\)
\(\dfrac{\sqrt{3}}{3}\)
\(\dfrac{1}{\sqrt{3}} = \dfrac{1 \times \sqrt{3}}{\sqrt{3} \times \sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{3}}{3} \approx 0{,}5774\)
Der Grundgedanke
Erweitert man einen Bruch (Zähler und Nenner mit derselben Zahl multiplizieren), ändert sich sein Wert nicht. Beim Rationalmachen des Nenners nutzt man das, um nur die Wurzel aus dem Nenner zu entfernen. Es ändert sich die Schreibweise, nicht der Wert: \(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\) und \(\dfrac{\sqrt{3}}{3}\) sind dieselbe Zahl (etwa 0,5774).
Ergebnisse schreibt man ohne Wurzel im Nenner, weil man die Größe so besser einschätzen und Ergebnisse leichter vergleichen kann. Bei \(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\) müsste man 1 durch 1,73… teilen, bei \(\dfrac{\sqrt{3}}{3}\) nur 1,73… durch 3.
Stehen Zahlen vor den Wurzeln, geht man genauso vor: die Zahlen davor dividieren und den Wurzelteil rational machen (Beispiel: \(6\sqrt{6} : 3\sqrt{2} = 2\sqrt{3}\)). Hat der Nenner zwei Glieder wie \(\sqrt{3} + 1\), braucht man einen anderen Weg (Erweitern mit der dritten binomischen Formel). Dieser Rechner behandelt nur Nenner mit einer einzelnen Wurzel.
Beim teilweisen Wurzelziehen zerlegt man den Radikanden in Primfaktoren, sucht die Quadratzahlen und zieht ihre Wurzeln vor die Wurzel (\(\sqrt{a^2b} = a\sqrt{b}\)). Beim Addieren und Subtrahieren lassen sich nur Wurzeln mit gleichem Radikanden (gleichartige Terme) zusammenfassen. Beim Multiplizieren und Dividieren darf man die Radikanden multiplizieren bzw. dividieren. Ein Quotient wird üblicherweise ohne Wurzel im Nenner geschrieben (Nenner rational gemacht).
Symbole und Begriffe
Symbole
| \(\sqrt{\phantom{a}}\) | Wurzel (Wurzelzeichen) | Das Zeichen für die Quadratwurzel, das Wurzelzeichen. Es soll aus einem verzierten r entstanden sein, dem Anfangsbuchstaben von lateinisch radix („Wurzel“). Es steht für die positive Zahl, deren Quadrat die Zahl darunter ist, etwa \(\sqrt{9} = 3\). |
| \(\sqrt{a}\) | Wurzel aus a | Die positive Quadratwurzel aus \(a\). Quadriert ergibt sie wieder \(a\) (\(\left(\sqrt{a}\right)^2 = a\)). Die Zahl \(a\) unter der Wurzel muss mindestens 0 sein. |
| \(a\sqrt{b}\) | a mal Wurzel aus b | \(a\) mal \(\sqrt{b}\) (das Malzeichen wird weggelassen). Eine vereinfachte Wurzel hat diese Form: \(a\) ist die herausgezogene Zahl, \(b\) die Zahl, die unter der Wurzel bleibt. |
| \(a^2\) | a Quadrat (a hoch 2) | \(a\) mit sich selbst multipliziert (\(a \cdot a\)). Die kleine 2 rechts oben gibt an, wie oft multipliziert wird. Beim Vereinfachen einer Wurzel sucht man zuerst diese Form unter der Wurzel. |
| \(\approx\) | ungefähr gleich | Das Zeichen für „ungefähr gleich“. Der Wert einer Wurzel geht nicht glatt auf; schreibt man ihn als Dezimalzahl, verwendet man dieses Zeichen, etwa \(\sqrt{2} \approx 1{,}41421356\). |
| \(p, q\) | p, q | Buchstaben, die oft für die Zahlen vor Wurzeln stehen. Auf dieser Seite geben sie wie in \(p\sqrt{a} + q\sqrt{a}\) an, wie oft \(\sqrt{a}\) vorkommt. |
| \(<\) | kleiner als | Das Zeichen dafür, dass die linke Seite kleiner ist als die rechte. Auf dieser Seite zeigt es, zwischen welchen ganzen Zahlen eine Wurzel liegt, etwa \(6 < 4\sqrt{3} < 7\). |
Begriffe
| Quadratwurzel | Eine Zahl, deren Quadrat die gegebene Zahl ist. Die Gleichung \(x^2 = 9\) hat die zwei Lösungen \(3\) und \(-3\); die positive schreibt man \(\sqrt{9}\), die negative \(-\sqrt{9}\). In der Schule meint „Wurzel aus 9“ nur die positive Zahl 3. |
| Wurzelzeichen | Das Zeichen √ für die Quadratwurzel. Ein Ausdruck wie \(\sqrt{5}\) steht für die positive Quadratwurzel aus der Zahl darunter. |
| Radikand | Die Zahl unter dem Wurzelzeichen. In \(\sqrt{48}\) ist der Radikand 48. |
| teilweises Wurzelziehen | Eine Wurzel vereinfachen, ohne ihren Wert zu ändern: Die Quadratzahlen werden vor die Wurzel gezogen, sodass der Radikand die kleinstmögliche ganze Zahl ist (\(\sqrt{48} \to 4\sqrt{3}\)). |
| Quadratzahl | Eine Zahl, die durch Quadrieren einer ganzen Zahl entsteht, etwa \(1, 4, 9, 16, 25, 36, \ldots\) Ist der Radikand eine Quadratzahl, verschwindet die Wurzel und es bleibt eine ganze Zahl (\(\sqrt{36} = 6\)). |
| Quadratfaktor | Ein Teiler einer Zahl, der eine Quadratzahl ist. \(48\) hat den Quadratfaktor \(16 = 4^2\), also \(\sqrt{48} = 4\sqrt{3}\). Zahlen, deren einziger Quadratfaktor \(1\) ist (\(2, 3, 5, 6, 7, 10, \ldots\)), lassen sich nicht weiter vereinfachen. |
| Primfaktorzerlegung | Eine ganze Zahl als Produkt von Primzahlen schreiben (\(48 = 2^4 \cdot 3\)). Jedes Paar gleicher Primfaktoren bringt einen Faktor vor die Wurzel: Primfaktoren mit geradem Exponenten kommen ganz heraus, bei ungeradem Exponenten bleibt einer drin. Der sichere Weg, Quadratzahlen zu finden. |
| Primzahl | Eine ganze Zahl ab 2, die nur durch 1 und sich selbst teilbar ist, etwa \(2, 3, 5, 7, 11, \ldots\) Primzahlen sind die Bausteine der Primfaktorzerlegung. |
| gleichartige Terme | Glieder, deren Variablenteil genau gleich ist, wie \(3x\) und \(5x\). Bei Wurzeln sind Glieder mit gleichem Radikanden wie \(3\sqrt{2}\) und \(5\sqrt{2}\) gleichartig, und nur diese lassen sich zusammenfassen. |
| Nenner rational machen | Einen Bruch mit Wurzel im Nenner so erweitern (Zähler und Nenner mit derselben Zahl multiplizieren), dass im Nenner keine Wurzel mehr steht. Der Wert ändert sich nicht (\(\dfrac{1}{\sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{3}}{3}\)). |
| rationale Zahl | Eine Zahl, die sich als Bruch zweier ganzer Zahlen schreiben lässt. Ganze Zahlen, abbrechende und periodische Dezimalzahlen sind rational. „Rational“ kommt von lateinisch ratio, „Verhältnis“. |
| irrationale Zahl | Eine Zahl, die sich nicht als Bruch schreiben lässt. Als Dezimalzahl endet sie nie und wiederholt sich nie. \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\) und die Kreiszahl \(\pi\) sind irrational. |
| reelle Zahl | Alle rationalen und irrationalen Zahlen zusammen; sie entsprechen den Punkten der Zahlengeraden. Diese Seite behandelt Quadratwurzeln im Bereich der reellen Zahlen. |
| Näherungswert | Ein Wert nahe am exakten Wert, der an dessen Stelle verwendet wird. In \(\sqrt{2} \approx 1{,}414\) ist die rechte Seite ein Näherungswert. Eine Wurzel geht nie glatt auf, deshalb ist jede Dezimalzahl dafür ein Näherungswert. |
| imaginäre Zahl | Eine Zahl, die nicht reell ist. Legt man \(i\) als die Zahl mit dem Quadrat \(-1\) fest, lösen \(2i\) und \(-2i\) die Gleichung \(x^2 = -4\). Wurzeln aus negativen Zahlen sind imaginär und liegen nicht auf der Zahlengeraden. Sie kommen bei den komplexen Zahlen in der Oberstufe oder im Studium vor. |
| verschachtelte Wurzel | Eine Wurzel, unter der eine weitere Wurzel steht, etwa \(\sqrt{5 + 2\sqrt{6}}\). Passen die Bedingungen, lässt sie sich ohne Verschachtelung schreiben, hier als \(\sqrt{3} + \sqrt{2}\). Dieser Rechner behandelt sie nicht. |
| Zahlengerade | Zahlen als Punkte auf einer Geraden. Man sieht, wie groß eine Wurzel ungefähr ist und zwischen welchen ganzen Zahlen sie liegt. |
Das sollten Sie vorher wissen
Damit Sie die Berechnung auf dieser Seite nicht nur per Knopfdruck, sondern mit Verständnis nutzen, ist hier zusammengestellt, was Sie vorher wissen sollten.
Wenn Sie nicht weiterkommen, ist ein Blick zurück auf diese Themen der schnellste Weg.
| Potenzen und Quadratzahlen (Klasse 5–7, 10–13 Jahre) |
|
| Primfaktorzerlegung (Klasse 5–6, 10–12 Jahre) |
|
| Was die Quadratwurzel bedeutet (Klasse 8–9, 13–15 Jahre) |
|
| Gleichartige Terme (Klasse 7, 12–13 Jahre) |
|
| Bruchrechnung und Kürzen (Klasse 5–6, 10–12 Jahre) |
|
| Der Satz des Pythagoras (Klasse 8–9, 13–15 Jahre) |
|
So berechnen Sie es in Excel
Kopieren Sie die ganze Tabelle und fügen Sie sie in Zelle A1 von Excel ein – dann funktioniert sie direkt.
Tabelle zur Bedeutung der Quadratwurzel
| Zahl unter der Wurzel a | 3 |
| Wert von √a | =WURZEL(B1) |
| √a zum Quadrat (wieder B1) | =B2^2 |
Tabelle zur Probe des teilweisen Wurzelziehens
| Herausgezogene Zahl a | 4 |
| Zahl unter der Wurzel b | 3 |
| Ursprüngliche Zahl a²·b | =B1^2*B2 |
| Wert von √(a²b) | =WURZEL(B3) |
| Wert von a√b (derselbe) | =B1*WURZEL(B2) |
Tabelle zur Probe beim Addieren von Wurzeln
| Zahl unter der Wurzel a | 2 |
| Zahl vor der 1. Wurzel p | 3 |
| Zahl vor der 2. Wurzel q | 5 |
| Wert von p√a + q√a | =B2*WURZEL(B1)+B3*WURZEL(B1) |
| Wert von (p+q)√a (derselbe) | =(B2+B3)*WURZEL(B1) |
Tabelle zur Probe beim Multiplizieren von Wurzeln
| Zahl unter der 1. Wurzel a | 3 |
| Zahl unter der 2. Wurzel b | 6 |
| Wert von √a · √b | =WURZEL(B1)*WURZEL(B2) |
| Wert von √(ab) (derselbe) | =WURZEL(B1*B2) |
| Wert des vereinfachten 3√2 (derselbe) | =3*WURZEL(2) |
Tabelle zur Probe beim Rationalmachen des Nenners
| Zahl unter der Wurzel b | 3 |
| Wert von 1 : √b | =1/WURZEL(B1) |
| Wert von √b : b (derselbe) | =WURZEL(B1)/B1 |
Kopieren Sie eine Tabelle und fügen Sie sie in Zelle A1 ein. Die oberen Zeilen sind Ihre Eingaben, die unteren werden automatisch berechnet. WURZEL ist die Funktion für die Quadratwurzel, „^“ steht für eine Potenz.
In der ersten Tabelle ist a = 3: √3 ist 1,732050808…, und quadriert ergibt sich wieder 3.
In der zweiten Tabelle ist a = 4 und b = 3. Die ursprüngliche Zahl ist 48, und √48 und 4√3 ergeben beide 6,928203230….
Die dritte Tabelle ist 3√2 + 5√2; beide Rechnungen ergeben 11,31370850…. Die vierte Tabelle ist √3 · √6; alle drei Formeln ergeben 4,242640687….
Die fünfte Tabelle ist 1 : √3, und das rational gemachte √3 : 3 ergibt dasselbe, 0,5773502692…. Ändern Sie die Werte, sehen Sie, dass es für jede Kombination stimmt.
Excel zeigt übrigens Näherungswerte als Dezimalzahl. Exakte Formen wie 4√3 sehen Sie im Rechner auf dieser Seite.
In der ersten Tabelle ist a = 3: √3 ist 1,732050808…, und quadriert ergibt sich wieder 3.
In der zweiten Tabelle ist a = 4 und b = 3. Die ursprüngliche Zahl ist 48, und √48 und 4√3 ergeben beide 6,928203230….
Die dritte Tabelle ist 3√2 + 5√2; beide Rechnungen ergeben 11,31370850…. Die vierte Tabelle ist √3 · √6; alle drei Formeln ergeben 4,242640687….
Die fünfte Tabelle ist 1 : √3, und das rational gemachte √3 : 3 ergibt dasselbe, 0,5773502692…. Ändern Sie die Werte, sehen Sie, dass es für jede Kombination stimmt.
Excel zeigt übrigens Näherungswerte als Dezimalzahl. Exakte Formen wie 4√3 sehen Sie im Rechner auf dieser Seite.
So berechnen Sie es in Google Tabellen
Kopieren Sie die ganze Tabelle und fügen Sie sie in Zelle A1 von Google Tabellen ein – dann funktioniert sie direkt.
Tabelle zur Bedeutung der Quadratwurzel
| Zahl unter der Wurzel a | 3 |
| Wert von √a | =WURZEL(B1) |
| √a zum Quadrat (wieder B1) | =B2^2 |
Tabelle zur Probe des teilweisen Wurzelziehens
| Herausgezogene Zahl a | 4 |
| Zahl unter der Wurzel b | 3 |
| Ursprüngliche Zahl a²·b | =B1^2*B2 |
| Wert von √(a²b) | =WURZEL(B3) |
| Wert von a√b (derselbe) | =B1*WURZEL(B2) |
Tabelle zur Probe beim Addieren von Wurzeln
| Zahl unter der Wurzel a | 2 |
| Zahl vor der 1. Wurzel p | 3 |
| Zahl vor der 2. Wurzel q | 5 |
| Wert von p√a + q√a | =B2*WURZEL(B1)+B3*WURZEL(B1) |
| Wert von (p+q)√a (derselbe) | =(B2+B3)*WURZEL(B1) |
Tabelle zur Probe beim Multiplizieren von Wurzeln
| Zahl unter der 1. Wurzel a | 3 |
| Zahl unter der 2. Wurzel b | 6 |
| Wert von √a · √b | =WURZEL(B1)*WURZEL(B2) |
| Wert von √(ab) (derselbe) | =WURZEL(B1*B2) |
| Wert des vereinfachten 3√2 (derselbe) | =3*WURZEL(2) |
Tabelle zur Probe beim Rationalmachen des Nenners
| Zahl unter der Wurzel b | 3 |
| Wert von 1 : √b | =1/WURZEL(B1) |
| Wert von √b : b (derselbe) | =WURZEL(B1)/B1 |
Die Formeln aus Excel funktionieren unverändert. Kopieren Sie die ganze Tabelle, fügen Sie sie in Zelle A1 ein und ersetzen Sie die Zahlen durch Ihre eigenen.
So berechnen Sie es in Python
from math import isqrt
def simplify_radical(n):
# √n in die Form a√b bringen (b ohne Quadratfaktor) und (a, b) zurückgeben
outside = 1
inside = n
d = 2
while d * d <= inside:
while inside % (d * d) == 0:
inside //= d * d
outside *= d
d += 1
return outside, inside
outside, inside = simplify_radical(48)
if inside == 1:
print(f"√48 = {outside}")
else:
print(f"√48 = {outside}√{inside}")
# Auch mit Dezimalwerten prüfen (sie sind gleich)
print(48 ** 0.5, outside * inside ** 0.5)
# Ist der Radikand eine Quadratzahl, verschwindet die Wurzel
print(simplify_radical(36), isqrt(36))
Das Programm braucht nur die Standardbibliothek. Es probiert d = 2, 3, 4, … der Reihe nach. Solange die Zahl durch d zum Quadrat teilbar ist, wird geteilt und jedes Mal ein d vor die Wurzel gezogen. Die Ausgabe ist „√48 = 4√3“, dann zweimal derselbe Dezimalwert (6,928… – Python schreibt ihn mit Punkt), was zeigt, dass sich der Wert beim Vereinfachen nicht ändert. Die letzte Zeile ist √36, wo die Wurzel verschwindet; sie gibt (6, 1) und 6 aus. Ändern Sie die Zahlen und probieren Sie es aus.
So schreiben Sie die Formel in LaTeX und anderen Formelsprachen (zum Kopieren)
Was Quadratwurzel und Wurzelzeichen bedeuten
(√a)² = a
\left(\sqrt{a}\right)^{2} = a
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msup>
<mrow><mo>(</mo><msqrt><mi>a</mi></msqrt><mo>)</mo></mrow>
<mn>2</mn>
</msup>
<mo>=</mo>
<mi>a</mi>
</mrow>
</math>
(sqrt(a))^2 = a
Sqrt[a]^2 == a
sqrt(a)^2 = a;
sqrt(a)^2 == a
(√a)^2 = a
Teilweises Wurzelziehen (den Quadratfaktor herausziehen)
√(a²b) = a√b
\sqrt{a^{2}b} = a\sqrt{b}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msqrt><mrow><msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup><mi>b</mi></mrow></msqrt>
<mo>=</mo>
<mi>a</mi>
<msqrt><mi>b</mi></msqrt>
</mrow>
</math>
sqrt(a^2 b) = a sqrt(b)
Sqrt[a^2 b] == a Sqrt[b]
sqrt(a^2*b) = a*sqrt(b);
sqrt(a^2*b) == a*sqrt(b)
√(a^2 b) = a√b
Wurzeln addieren und subtrahieren (gleichartige Terme zusammenfassen)
p√a + q√a = (p + q)√a
p\sqrt{a} + q\sqrt{a} = \left(p + q\right)\sqrt{a}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>p</mi><msqrt><mi>a</mi></msqrt>
<mo>+</mo>
<mi>q</mi><msqrt><mi>a</mi></msqrt>
<mo>=</mo>
<mo>(</mo><mi>p</mi><mo>+</mo><mi>q</mi><mo>)</mo>
<msqrt><mi>a</mi></msqrt>
</mrow>
</math>
p sqrt(a) + q sqrt(a) = (p + q) sqrt(a)
p Sqrt[a] + q Sqrt[a] == (p + q) Sqrt[a]
p*sqrt(a) + q*sqrt(a) = (p + q)*sqrt(a);
p*sqrt(a) + q*sqrt(a) == (p + q)*sqrt(a)
p√a + q√a = (p + q)√a
Wurzeln multiplizieren (Radikanden multiplizieren, eine Wurzel bilden)
√a × √b = √(ab)
\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{ab}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msqrt><mi>a</mi></msqrt>
<mo>×</mo>
<msqrt><mi>b</mi></msqrt>
<mo>=</mo>
<msqrt><mrow><mi>a</mi><mi>b</mi></mrow></msqrt>
</mrow>
</math>
sqrt(a) * sqrt(b) = sqrt(a b)
Sqrt[a] Sqrt[b] == Sqrt[a b]
sqrt(a)*sqrt(b) = sqrt(a*b);
sqrt(a)*sqrt(b) == sqrt(a*b)
√a × √b = √(ab)
Wurzeln dividieren und Nenner rational machen
√a ÷ √b = √(ab) / b
\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \frac{\sqrt{a}\sqrt{b}}{\sqrt{b}\sqrt{b}} = \frac{\sqrt{ab}}{b}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mfrac><msqrt><mi>a</mi></msqrt><msqrt><mi>b</mi></msqrt></mfrac>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow><msqrt><mi>a</mi></msqrt><msqrt><mi>b</mi></msqrt></mrow>
<mrow><msqrt><mi>b</mi></msqrt><msqrt><mi>b</mi></msqrt></mrow>
</mfrac>
<mo>=</mo>
<mfrac><msqrt><mrow><mi>a</mi><mi>b</mi></mrow></msqrt><mi>b</mi></mfrac>
</mrow>
</math>
sqrt(a)/sqrt(b) = (sqrt(a) sqrt(b))/(sqrt(b) sqrt(b)) = sqrt(a b)/b
Sqrt[a]/Sqrt[b] == Sqrt[a b]/b
sqrt(a)/sqrt(b) = sqrt(a*b)/b;
sqrt(a)/sqrt(b) == sqrt(a*b)/b
√a/√b = √(ab)/b
So lassen Sie ChatGPT rechnen
Sie sind ein Rechenassistent für Quadratwurzeln. Führen Sie die folgende Berechnung aus, indem Sie tatsächlich Python-Code ausführen, und stützen Sie Ihre Antwort nur auf die Zahlen aus dem Ausführungsergebnis (nicht im Kopf rechnen und nicht schätzen). 1. Vereinfachen Sie √48 so, dass unter der Wurzel die kleinstmögliche ganze Zahl steht (teilweises Wurzelziehen). 2. Zeigen Sie auch die dabei verwendete Primfaktorzerlegung von 48. 3. Geben Sie 3√2 + 5√2, 2√6 · 3√2 und 6 : √3 jeweils in der einfachsten Form an (bei der Division ohne Wurzel im Nenner). Schreiben Sie in Python eine eigene Funktion, die den Radikanden in Primfaktoren zerlegt und die Quadratzahlen herauszieht, und prüfen Sie, dass die Dezimalwerte vor und nach dem Vereinfachen übereinstimmen. Zeigen Sie den verwendeten Code und die Zahlen aus dem Ausführungsergebnis.
Anleitung
-
1Werte eingebenTragen Sie die Zahlen, mit denen Sie rechnen möchten, in die Eingabefelder ein
-
2BerechnenKlicken Sie auf die Schaltfläche „Berechnen“
-
3Ergebnis ansehenDas Ergebnis erscheint sofort. Auf derselben Seite finden Sie auch den Rechenweg und die Erklärung der Formel
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