Winkelsumme im Vieleck berechnen (Innenwinkel, Außenwinkel und regelmäßige n-Ecke)

Im Modus „Winkel eines n-Ecks“ geben Sie die Anzahl der Ecken n ein. Im Modus „Regelmäßiges Vieleck aus einem Winkel“ geben Sie die Größe eines Winkels des regelmäßigen Vielecks ein.

Modus

Anzahl der Ecken n

Art des Winkels

Winkelgröße (Grad)

Geben Sie nur Zahlen ein. Die Anzahl der Ecken n ist eine ganze Zahl von 3 bis 360. Für Winkelgrößen sind Dezimalzahlen und Brüche wie 900/7 möglich.

Ergebnis und Figur

Geben Sie links die Anzahl der Ecken ein und klicken Sie auf „Berechnen“. Das Ergebnis und eine Zeichnung des regelmäßigen Vielecks erscheinen hier.

Inhaltsverzeichnis

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Was Sie auf dieser Seite tun können
Wofür ist diese Berechnung nützlich?
Anleitung
Formeln und Abbildungen
Symbole und Begriffe
- Symbole
- Begriffe
Was Sie vorab wissen sollten
Mit Excel berechnen
Mit Google Tabellen berechnen
Mit Python berechnen
Die Formel in LaTeX und anderen mathematischen Schreibweisen (zum Kopieren)
Die Berechnung von ChatGPT ausführen lassen
Die Vorteile von DataChef
Verwandte Funktionen
Alle NumberChef-Rechner

Was Sie auf dieser Seite tun können

Geben Sie die Anzahl der Ecken eines \(n\)-Ecks (3 bis 360) ein, und Sie erhalten sofort die Innenwinkelsumme \(180^\circ \times (n - 2)\), die Außenwinkelsumme \(360^\circ\) und jeden Innen- und Außenwinkel eines regelmäßigen \(n\)-Ecks
Winkel, die nicht aufgehen, etwa jeder Innenwinkel eines regelmäßigen Siebenecks, \(\dfrac{900}{7}^\circ\), werden sowohl als exakter Bruch als auch als Dezimalzahl angezeigt. Der Rechenweg zeigt auch den Gedanken, das Vieleck in \((n-2)\) Dreiecke zu zerlegen
Es rechnet auch rückwärts und bestimmt aus der Größe eines Innen- oder Außenwinkels, wie viele Ecken das regelmäßige Vieleck hat. Ist die Eckenzahl keine ganze Zahl, sagt es Ihnen, dass kein regelmäßiges Vieleck diesen Winkel hat
Zum Ergebnis gehört eine Zeichnung des regelmäßigen Vielecks, an der Sie sehen, wo ein Innenwinkel und ein Außenwinkel liegen und wie die Diagonalen es in Dreiecke zerlegen (bei zu vielen Ecken entfallen die Zeichnung oder die Diagonalen)

Die Erklärung der Außenwinkel auf dieser Seite setzt ein Vieleck ohne Einbuchtungen (ein konvexes Vieleck) voraus.

Wofür ist diese Berechnung nützlich?

Vermessungsfehler prüfen (Landvermessung und Kartenherstellung)

Beim Vermessen von Grundstücksgrenzen betrachten Vermesser das Grundstück als Vieleck und messen den Winkel an jeder Ecke. Prüfen sie, wie weit die Summe der gemessenen Innenwinkel vom theoretischen Wert \(180^\circ \times (n - 2)\) abweicht (dem Winkelfehler), lassen sich Messfehler und Instrumentenfehler finden.
Diese Kontrolle ist ein tägliches Standardverfahren in der Vermessungspraxis und ein Beispiel dafür, dass die Formel für die Innenwinkelsumme direkt zur Qualitätskontrolle im Feld dient.

Fliesen verlegen und die Form der Bienenwaben (Design und Natur)

Um einen Boden mit einer einzigen Sorte regelmäßiger Vielecke lückenlos zu belegen, müssen die Innenwinkel genau um einen Punkt passen (\(360^\circ\)). Also können nur Formen die Ebene parkettieren, deren Innenwinkel \(360^\circ\) ohne Rest teilt: das gleichseitige Dreieck (\(60^\circ\)), das Quadrat (\(90^\circ\)) und das regelmäßige Sechseck (\(120^\circ\)). Regelmäßige Fünfecke (\(108^\circ\)) lassen immer Lücken.
Bienenwaben sind Sechsecke, weil diese Form den Raum lückenlos aufteilt und dabei wenig Material braucht.

Formen mit Code zeichnen (Programmierunterricht und Roboter)

Um in Scratch, mit Turtle-Grafik oder mit einem Roboter ein regelmäßiges Vieleck zu zeichnen, wiederholen Sie „ein Stück vorwärts, dann ein Stück drehen“. Der Drehwinkel ist nicht der Innenwinkel, sondern der Außenwinkel (\(360^\circ \div n\)). Beim regelmäßigen Fünfeck bringt Sie jedes Drehen um \(72^\circ\) am Ende zum Start zurück und schließt die Figur.
Das ist eine klassische Aufgabe im Programmierunterricht, und sie macht aus dem Gedanken „die Außenwinkel ergeben zusammen \(360^\circ\) (einen vollen Umlauf)“ direkt ein Programm.

Kamerablenden und die Form des Lichts (Fotografie und Optik)

Ein Kameraobjektiv steuert die Lichtmenge mit einer Blende, einer Öffnung, die einem durch mehrere Lamellen gebildeten regelmäßigen Vieleck nahekommt. Die Anzahl der Lamellen (die Eckenzahl des Vielecks) bestimmt, wie viele Strahlen bei Lichtern auf Nachtaufnahmen entstehen, und die Form der Hintergrundunschärfe.
Im Produktdesign gehört die Eckenzahl des Vielecks und seine Winkel dazu, was jedem Objektiv seinen eigenen Charakter gibt.

Formeln und Abbildungen

Innenwinkelsumme eines \(n\)-Ecks

Abbildung

Mathematische Schreibweise (die übliche Schreibweise)

\(S\) \(=\) \(180^\circ\) \(\times\) \((n - 2)\)

In Worten (die Symbole durch Wörter ersetzt)

③ \(S\): Innenwinkelsumme des \(n\)-Ecks \(=\) ② \(180^\circ\): Winkelsumme im Dreieck \(\times\) ① \(n - 2\): Anzahl der Dreiecke

Die Formel in Worten

① Zerlegen Sie das \(n\)-Eck durch Diagonalen von einer Ecke aus und nehmen Sie die \(n - 2\): Anzahl der Dreiecke

② multiplizieren Sie sie mit der \(180^\circ\): Winkelsumme im Dreieck

③ und Sie erhalten die \(S\): Innenwinkelsumme des \(n\)-Ecks

Einfaches Beispiel

Ein Fünfeck (\(n = 5\)) lässt sich durch Diagonalen in \(5 - 2 = 3\) Dreiecke zerlegen, also ist die Summe seiner Innenwinkel

Innenwinkelsumme eines Fünfecks \(=\) Winkelsumme im Dreieck (\(180^\circ\)) \(\times\) Anzahl der Dreiecke (3)

\(180^\circ \times (5 - 2) = 180^\circ \times 3 = 540^\circ\)

Der Kerngedanke

Warum \(n - 2\)? Von einer Ecke eines \(n\)-Ecks aus lassen sich Diagonalen zu \(n - 3\) Ecken ziehen (zu allen außer ihr selbst und ihren beiden Nachbarn). Diese \(n - 3\) Diagonalen zerlegen das Vieleck in \(n - 2\) Dreiecke, und alle Winkel dieser Dreiecke zusammen sind genau die Innenwinkel des Vielecks. Die Summe ist also „\(n - 2\) mal die Winkelsumme im Dreieck von \(180^\circ\)“. Prüfen Sie es am Viereck: Eine Diagonale zerlegt es in 2 Dreiecke, die Summe ist also \(180^\circ \times 2 = 360^\circ\). Ein Dreieck braucht keine Zerlegung, und \(180^\circ \times 1 = 180^\circ\) stimmt mit dem Wert überein, den Sie schon kennen.

Außenwinkelsumme eines Vielecks

Abbildung

Mathematische Schreibweise (die übliche Schreibweise)

In Worten (die Symbole durch Wörter ersetzt)

\(T\) \(=\) \(360^\circ\)

① \(T\): Außenwinkelsumme \(=\) ② \(360^\circ\): genau ein voller Umlauf

Die Formel in Worten

① Bei jedem Vieleck ist die \(T\): Außenwinkelsumme

② gleich \(360^\circ\): genau ein voller Umlauf

Einfaches Beispiel

Zur Probe am Fünfeck gibt es 5 Paare aus Innen- und Außenwinkel zu je \(180^\circ\), also ziehen Sie die Innenwinkelsumme von \(540^\circ\) ab

Außenwinkelsumme eines Fünfecks \(=\) \(360^\circ\) (genau ein voller Umlauf)

\(180^\circ \times 5 - 540^\circ = 900^\circ - 540^\circ = 360^\circ\)

Der Kerngedanke

Hier ist eine anschauliche Begründung, warum die Außenwinkel jedes Vielecks zusammen \(360^\circ\) ergeben. Stellen Sie sich vor, Sie gehen einmal an den Seiten des Vielecks entlang. An jeder Ecke drehen Sie sich zur nächsten Seite, und der Winkel, um den Sie sich drehen, ist genau der Außenwinkel. Sind Sie wieder am Start, schauen Sie in dieselbe Richtung wie am Anfang, haben sich also insgesamt genau einmal ganz gedreht (\(360^\circ\)). Deshalb ergeben alle Außenwinkel immer zusammen \(360^\circ\). Sie können es auch nachrechnen. An jeder Ecke gilt Innenwinkel + Außenwinkel \(= 180^\circ\) (ein gestreckter Winkel), alle \(n\) Ecken zusammen ergeben also \(180^\circ \times n\). Ziehen Sie die Innenwinkelsumme \(180^\circ \times (n - 2)\) ab, bleibt immer \(180^\circ \times 2 = 360^\circ\) übrig. Je mehr Ecken es gibt, desto kleiner wird jeder Außenwinkel, aber die Summe bleibt gleich. Das gilt für Vielecke ohne Einbuchtungen (konvexe Vielecke).

Jeder Innenwinkel eines regelmäßigen \(n\)-Ecks

Mathematische Schreibweise (die übliche Schreibweise)

\(x\) \(=\) \(180^\circ \times (n - 2)\) \(\div\) \(n\)

In Worten (die Symbole durch Wörter ersetzt)

③ \(x\): jeder Innenwinkel des regelmäßigen \(n\)-Ecks \(=\) ① \(180^\circ \times (n - 2)\): Innenwinkelsumme \(\div\) ② \(n\): Anzahl der Ecken

Die Formel in Worten

① Alle Innenwinkel eines regelmäßigen Vielecks sind gleich, also nehmen Sie die \(180^\circ \times (n - 2)\): Innenwinkelsumme

② teilen Sie sie gleichmäßig durch die \(n\): Anzahl der Ecken

③ und Sie erhalten \(x\): jeden Innenwinkel des regelmäßigen \(n\)-Ecks

Einfaches Beispiel

Jeder Innenwinkel eines regelmäßigen Fünfecks (\(n = 5\)) ist die Innenwinkelsumme von \(540^\circ\), in 5 gleiche Teile geteilt

jeder Innenwinkel eines regelmäßigen Fünfecks \(=\) Innenwinkelsumme (\(540^\circ\)) \(\div\) Anzahl der Ecken (5)

\(180^\circ \times (5 - 2) \div 5 = 540^\circ \div 5 = 108^\circ\)

Der Kerngedanke

So gleichmäßig teilen können Sie nur bei einem regelmäßigen Vieleck. Bei einem gewöhnlichen Fünfeck steht nur die Summe von \(540^\circ\) fest, die einzelnen Innenwinkel können alle verschieden sein. Die Division geht nicht immer auf. Beim regelmäßigen Siebeneck ist \(900^\circ \div 7 = \dfrac{900}{7}^\circ = 128{,}57\ldots^\circ\), keine ganze Zahl. In einer Klassenarbeit gibt man die Antwort am sichersten als exakten Bruch wie \(\dfrac{900}{7}^\circ\) an. Sie können ihn auch als „\(180^\circ -\) ein Außenwinkel“ bestimmen (wegen Innenwinkel + Außenwinkel \(= 180^\circ\)). Oft ist es einfacher, zuerst mit der nächsten Formel den Außenwinkel als \(360^\circ \div n\) zu berechnen und dann abzuziehen.

Jeder Außenwinkel eines regelmäßigen \(n\)-Ecks (und \(n\) aus einem Winkel bestimmen)

Mathematische Schreibweise (die übliche Schreibweise)

\(y\) \(=\) \(360^\circ\) \(\div\) \(n\)

In Worten (die Symbole durch Wörter ersetzt)

③ \(y\): jeder Außenwinkel des regelmäßigen \(n\)-Ecks \(=\) ① \(360^\circ\): Außenwinkelsumme \(\div\) ② \(n\): Anzahl der Ecken

Die Formel in Worten

① Auch alle Außenwinkel eines regelmäßigen Vielecks sind gleich, also nehmen Sie die \(360^\circ\): Außenwinkelsumme

② teilen Sie sie gleichmäßig durch die \(n\): Anzahl der Ecken

③ und Sie erhalten \(y\): jeden Außenwinkel des regelmäßigen \(n\)-Ecks

Einfaches Beispiel

Jeder Außenwinkel eines regelmäßigen Fünfecks (\(n = 5\)) und rückwärts die Frage „Wenn jeder Außenwinkel \(72^\circ\) ist, wie viele Ecken hat das Vieleck?“

jeder Außenwinkel eines regelmäßigen Fünfecks \(=\) Außenwinkelsumme (\(360^\circ\)) \(\div\) Anzahl der Ecken (5)

\(360^\circ \div 5 = 72^\circ\)

\(360^\circ \div 72^\circ = 5\)

Der Kerngedanke

Diese Formel funktioniert auch rückwärts. Kennen Sie die Größe \(y\) eines Außenwinkels, ist die Eckenzahl \(n = 360^\circ \div y\). Ein Außenwinkel von \(40^\circ\) ergibt zum Beispiel \(360^\circ \div 40^\circ = 9\), ein regelmäßiges Neuneck. Geht die Division nicht auf, hat kein regelmäßiges Vieleck einen Außenwinkel dieser Größe (wie bei \(360^\circ \div 50^\circ = 7{,}2\), die Eckenzahl ist keine ganze Zahl). Wollen Sie von einem Innenwinkel \(x\) rückwärts rechnen, machen Sie daraus zuerst den Außenwinkel \(y = 180^\circ - x\) (wegen Innenwinkel + Außenwinkel \(= 180^\circ\)) und berechnen dann \(360^\circ \div y\). Der Rückwärtsmodus dieses Rechners geht genauso vor.

Die Innenwinkelsumme eines \(n\)-Ecks ist \(180^\circ \times (n - 2)\), weil Diagonalen von einer Ecke aus es in \(n - 2\) Dreiecke zerlegen. Die Außenwinkelsumme jedes Vielecks ist genau ein voller Umlauf, \(360^\circ\). In einem regelmäßigen \(n\)-Eck sind alle Winkel gleich, also ist jeder Innenwinkel die Innenwinkelsumme \(\div\ n\) und jeder Außenwinkel \(360^\circ \div n\). Rückwärts verrät die Größe eines Winkels, wie viele Ecken das regelmäßige Vieleck hat.

Symbole und Begriffe

Symbole

\(n\)	n	Die Anzahl der Ecken. Beim Fünfeck ist \(n = 5\). Der Buchstabe \(n\), von „Nummer“ oder „Anzahl“, steht oft für eine Anzahl.
\(S\)	S	Der Buchstabe für die Innenwinkelsumme auf dieser Seite, vom Anfangsbuchstaben von „Summe“. Er steht oft auch für Summen und für den Flächeninhalt.
\(T\)	T	Der Buchstabe für die Außenwinkelsumme auf dieser Seite (T wie „Total“).
\(x,\ y\)	x, y	Buchstaben für die gesuchten Winkel. In Lehrbüchern nennt man eine unbekannte Zahl meist \(x\), etwa „Jeder Innenwinkel sei \(x^\circ\)“.
\(^\circ\)	Grad	Das Zeichen für das Grad, die Einheit des Winkels. Ein voller Umlauf in 360 gleiche Teile geteilt ist \(1^\circ\). Die Zahl 360 soll gewählt worden sein, weil sie viele Teiler hat und sich leicht gleichmäßig teilen lässt.

Begriffe

Vieleck	Eine geschlossene Figur aus drei oder mehr Strecken (geraden Seiten). Der Oberbegriff für Dreieck, Viereck, Fünfeck und so weiter. Ein Vieleck mit \(n\) Ecken heißt \(n\)-Eck.
Ecke	Ein Eckpunkt eines Vielecks, an dem zwei Seiten zusammentreffen. Ein \(n\)-Eck hat \(n\) davon. Die Anzahl der Winkel, Ecken und Seiten ist immer gleich.
Innenwinkel	Ein Winkel im Inneren eines Vielecks. Ein \(n\)-Eck hat \(n\) davon, so viele wie Ecken.
Außenwinkel	Der Winkel zwischen einer zur Geraden verlängerten Seite eines Vielecks und der nächsten Seite. Innen- und Außenwinkel an derselben Ecke ergeben zusammen einen gestreckten Winkel (\(180^\circ\)).
Innenwinkelsumme	Alle Innenwinkel zusammengezählt. Bei einem \(n\)-Eck ist es \(180^\circ \times (n - 2)\). Ein Dreieck hat \(180^\circ\), ein Viereck \(360^\circ\) und ein Fünfeck \(540^\circ\), jede weitere Ecke fügt \(180^\circ\) hinzu.
Außenwinkelsumme	An jeder Ecke ein Außenwinkel genommen und alle zusammengezählt. Bei einem Vieleck ohne Einbuchtungen ist es immer genau ein voller Umlauf, \(360^\circ\), egal wie viele Seiten es hat.
regelmäßiges Vieleck	Ein Vieleck, dessen Seiten alle gleich lang und dessen Innenwinkel alle gleich groß sind, etwa ein gleichseitiges Dreieck, ein Quadrat oder ein regelmäßiges Fünfeck. Weil alle Winkel gleich sind, ergibt „Innenwinkelsumme ÷ Anzahl der Ecken“ jeden Innenwinkel.
Diagonale	Eine Strecke, die zwei nicht benachbarte Ecken eines Vielecks verbindet. Von einer Ecke aus lassen sich \(n - 3\) davon ziehen (zu allen Ecken außer ihr selbst und ihren beiden Nachbarn), und sie zerlegen das Vieleck in \(n - 2\) Dreiecke.
Winkelsumme im Dreieck	Die Tatsache, dass die drei Innenwinkel jedes Dreiecks zusammen immer \(180^\circ\) ergeben. Die Formel für die Innenwinkelsumme eines Vielecks entsteht, indem man das Vieleck in Dreiecke zerlegt und diese Tatsache nutzt.
gestreckter Winkel	Der Winkel einer Geraden. Er misst \(180^\circ\), genau einen halben Umlauf. „Innenwinkel + Außenwinkel \(= 180^\circ\)“ folgt daraus, dass eine Seite und ihre Verlängerung eine Gerade bilden, also einen gestreckten Winkel.
konvexes Vieleck	Ein Vieleck ohne Einbuchtungen, also jeder Innenwinkel ist kleiner als \(180^\circ\). Die Erklärung der Außenwinkel auf dieser Seite (Außenwinkelsumme \(= 360^\circ\)) setzt ein konvexes Vieleck voraus.

Was Sie vorab wissen sollten

Hier ist zusammengefasst, was Ihnen hilft, die Berechnung auf dieser Seite mit echtem Verständnis zu nutzen und nicht nur den Knopf zu drücken.
Wenn Sie nicht weiterkommen, ist es der schnellste Weg, die Themen dieser Liste noch einmal durchzugehen.

Winkelsumme im Dreieck (Klasse 5–8, 10–14 Jahre)	Wissen, dass die drei Innenwinkel jedes Dreiecks zusammen immer \(180^\circ\) ergeben Erkennen, dass alles zu den Winkeln im Vieleck auf diesen \(180^\circ\) aufbaut
Winkel und Drehungen (Klasse 4, 9–10 Jahre)	Wissen, dass ein voller Umlauf \(360^\circ\) und ein halber Umlauf (ein gestreckter Winkel) \(180^\circ\) ist Ein Gefühl für die Größe eines Winkels haben, wie man ihn mit dem Geodreieck misst
Vielecke und Diagonalen (Klasse 4–8, 9–14 Jahre)	Wissen, was Ecken, Seiten und Winkel sind, und Namen wie Fünfeck und Sechseck mit ihrer Eckenzahl verbinden Wissen, dass eine Diagonale eine Strecke ist, die zwei nicht benachbarte Ecken verbindet
Division und Brüche (Klasse 5–7, 10–13 Jahre)	Eine Division wie \(540 \div 5 = 108\) schriftlich rechnen können Ein Ergebnis, das nicht aufgeht, als exakten Bruch wie \(\dfrac{900}{7}\) stehen lassen können
Lineare Gleichungen (Klasse 7–8, 12–14 Jahre)	Eine Rückwärtsfrage wie „Welches Vieleck hat eine Innenwinkelsumme von \(1080^\circ\)?“ beantworten können, indem man die Gleichung \(180 \times (n - 2) = 1080\) löst (derselbe Gedanke wie im Rückwärtsmodus dieser Seite)

Mit Excel berechnen

Kopieren Sie die gesamte Tabelle unten und fügen Sie sie in Zelle A1 von Excel ein. Sie funktioniert unverändert.

Tabelle zur Berechnung der Innenwinkelsumme eines n-Ecks

Anzahl der Ecken n	5
Summe der Innenwinkel S	=180*(B1-2)

Tabelle zur Berechnung jedes Innenwinkels eines regelmäßigen n-Ecks

Anzahl der Ecken n	5
Jeder Innenwinkel x	=180*(B1-2)/B1

Tabelle zur Berechnung jedes Außenwinkels eines regelmäßigen n-Ecks

Anzahl der Ecken n	5
Jeder Außenwinkel y	=360/B1

Tabelle zur Bestimmung des regelmäßigen Vielecks aus einem Innenwinkel

Jeder Innenwinkel (Grad)	108
Jeder Außenwinkel (Grad)	=180-B1
Eckenzahl n = 360 ÷ Außenwinkel	=360/B2

Nach dem Einfügen sind die oberen Zeilen Ihre Eingaben, und die unteren Zeilen werden automatisch berechnet.
„*“ ist die Multiplikation und „/“ die Division.
Die erste Tabelle bestimmt die Innenwinkelsumme eines Fünfecks (n = 5), das Ergebnis ist 540. Die zweite und die dritte Tabelle liefern jeden Innenwinkel und jeden Außenwinkel eines regelmäßigen Fünfecks, 108 und 72.
Die vierte Tabelle rechnet rückwärts. Geben Sie den Innenwinkel 108 ein, erhalten Sie einen Außenwinkel von 72 und 5 Ecken, also ist es ein regelmäßiges Fünfeck. Ist die Eckenzahl keine ganze Zahl, etwa 7,2, hat kein regelmäßiges Vieleck diesen Winkel.

Mit Google Tabellen berechnen

Kopieren Sie die gesamte Tabelle unten und fügen Sie sie in Zelle A1 von Google Tabellen ein. Sie funktioniert unverändert.

Tabelle zur Berechnung der Innenwinkelsumme eines n-Ecks

Anzahl der Ecken n	5
Summe der Innenwinkel S	=180*(B1-2)

Tabelle zur Berechnung jedes Innenwinkels eines regelmäßigen n-Ecks

Anzahl der Ecken n	5
Jeder Innenwinkel x	=180*(B1-2)/B1

Tabelle zur Berechnung jedes Außenwinkels eines regelmäßigen n-Ecks

Anzahl der Ecken n	5
Jeder Außenwinkel y	=360/B1

Tabelle zur Bestimmung des regelmäßigen Vielecks aus einem Innenwinkel

Jeder Innenwinkel (Grad)	108
Jeder Außenwinkel (Grad)	=180-B1
Eckenzahl n = 360 ÷ Außenwinkel	=360/B2

Dieselben Formeln wie in Excel funktionieren unverändert. Kopieren Sie die ganze Tabelle, fügen Sie sie in Zelle A1 ein und ersetzen Sie n oder den Winkel durch Ihre eigenen Zahlen.

Mit Python berechnen

from fractions import Fraction

# Winkel eines n-Ecks (vertex_count = Anzahl der Winkel bzw. Ecken)
vertex_count = 7

interior_sum = 180 * (vertex_count - 2)
regular_interior = Fraction(interior_sum, vertex_count)
regular_exterior = Fraction(360, vertex_count)
print(f"Innenwinkelsumme: {interior_sum}°")
print("Außenwinkelsumme: 360°")
print(f"Jeder Innenwinkel eines regelmäßigen {vertex_count}-Ecks: {regular_interior}° ≈ {float(regular_interior):.2f}°")
print(f"Jeder Außenwinkel eines regelmäßigen {vertex_count}-Ecks: {regular_exterior}° ≈ {float(regular_exterior):.2f}°")

# Rückwärts: das regelmäßige Vieleck aus einem Innenwinkel bestimmen
interior_angle = Fraction(150)
exterior_angle = 180 - interior_angle
polygon_count = Fraction(360) / exterior_angle
if polygon_count.denominator == 1 and polygon_count >= 3:
    print(f"Regelmäßiges Vieleck mit einem Innenwinkel von {interior_angle}°: regelmäßiges {polygon_count}-Eck")
else:
    print(f"Kein regelmäßiges Vieleck hat einen Innenwinkel von {interior_angle}° (360 ÷ Außenwinkel = {polygon_count})")

Mit dem Modul fractions aus der Standardbibliothek bleiben nicht aufgehende Winkel wie 900/7° exakte Brüche ohne Rundungsfehler. Die erste Hälfte dieses Beispiels betrifft ein regelmäßiges Siebeneck (vertex_count = 7), und jeder Innenwinkel wird als „900/7° ≈ 128,57°“ ausgegeben (Python schreibt Dezimalzahlen mit Punkt statt Komma). Die zweite Hälfte rechnet von einem Innenwinkel von 150° zu einem Außenwinkel von 30° und 12 Ecken zurück und gibt „regelmäßiges 12-Eck“ aus. Ändern Sie die Zahlen und führen Sie den Code aus.

Die Formel in LaTeX und anderen mathematischen Schreibweisen (zum Kopieren)

Innenwinkelsumme eines \(n\)-Ecks

S = 180° × (n − 2)

S = 180^{\circ} \times (n - 2)

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>S</mi>
    <mo>=</mo>
    <msup><mn>180</mn><mo>&#x00B0;</mo></msup>
    <mo>&#x00D7;</mo>
    <mo>(</mo><mi>n</mi><mo>&#x2212;</mo><mn>2</mn><mo>)</mo>
  </mrow>
</math>

S = 180^circ xx (n - 2)

S = 180 (n - 2) Degree

S := 180*(n - 2);

S = 180*(n - 2);

S = 180° × (n − 2)

Außenwinkelsumme eines Vielecks

T = 360°

T = 360^{\circ}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>T</mi>
    <mo>=</mo>
    <msup><mn>360</mn><mo>&#x00B0;</mo></msup>
  </mrow>
</math>

T = 360^circ

T = 360 Degree

T := 360;

T = 360;

T = 360°

Jeder Innenwinkel eines regelmäßigen \(n\)-Ecks

x = 180° × (n − 2) / n

x = \frac{180^{\circ} \times (n - 2)}{n}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>x</mi>
    <mo>=</mo>
    <mfrac>
      <mrow><msup><mn>180</mn><mo>&#x00B0;</mo></msup><mo>&#x00D7;</mo><mo>(</mo><mi>n</mi><mo>&#x2212;</mo><mn>2</mn><mo>)</mo></mrow>
      <mi>n</mi>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

x = (180^circ xx (n - 2))/n

x = (180 (n - 2)/n) Degree

x := 180*(n - 2)/n;

x = 180*(n - 2)/n;

x = 180° × (n − 2) / n

Jeder Außenwinkel eines regelmäßigen \(n\)-Ecks (und \(n\) aus einem Winkel bestimmen)

y = 360° / n

y = \frac{360^{\circ}}{n}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>y</mi>
    <mo>=</mo>
    <mfrac>
      <msup><mn>360</mn><mo>&#x00B0;</mo></msup>
      <mi>n</mi>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

y = (360^circ)/n

y = (360/n) Degree

y := 360/n;

y = 360/n;

y = 360° / n

Die Berechnung von ChatGPT ausführen lassen

Sie sind ein Rechenassistent für Mathematik (ebene Geometrie). Führen Sie die folgende Berechnung aus, indem Sie tatsächlich Python-Code ausführen, und stützen Sie Ihre Antwort nur auf die Zahlen aus dem Ausführungsergebnis (nicht im Kopf rechnen und nicht schätzen).

Geben Sie für ein regelmäßiges Siebeneck jeweils Folgendes an:
1. Die Innenwinkelsumme (in Grad)
2. Die Größe jedes Innenwinkels (als vollständig gekürzten Bruch und als Dezimalzahl)
3. Die Größe jedes Außenwinkels (als vollständig gekürzten Bruch und als Dezimalzahl)
Bestimmen Sie außerdem, wie viele Seiten ein regelmäßiges Vieleck mit einem Innenwinkel von 140° hat, indem Sie zuerst den Außenwinkel bestimmen und dann 360° durch ihn teilen.

Verwenden Sie in Python das Modul fractions aus der Standardbibliothek, um exakt zu rechnen, und zeigen Sie die verwendeten Formeln und die Zahlen aus dem Ausführungsergebnis.

Anleitung

1

Zahlen eingeben

Geben Sie die Zahlen, mit denen Sie rechnen möchten, in die Eingabefelder ein
2

Berechnen

Klicken Sie auf die Schaltfläche „Berechnen“
3

Ergebnis ablesen

Das Ergebnis erscheint sofort. Auf derselben Seite finden Sie auch den Rechenweg und die Erklärung der Formel