Umfangswinkel und Mittelpunktswinkel berechnen (Umfangswinkelsatz, Bogenverhältnis, Sehnenviereck)

Wählen Sie eine Rechenart und geben Sie den Winkel (bzw. das Verhältnis der Bogenlängen) ein.

Rechenart

Umfangswinkel (Grad)

Mittelpunktswinkel (Grad)

Verhältniszahl für Bogen AB, m

Verhältniszahl für Bogen CD, n

Umfangswinkel über Bogen AB (Grad)

Ein Winkel des Vierecks ∠A (Grad)

Geben Sie nur Zahlen ein. Für Winkel und Verhältnisse gehen auch Dezimalzahlen und Brüche wie 250/7.

Ergebnis und Figur

Wählen Sie links eine Rechenart, geben Sie den Winkel ein und klicken Sie auf „Berechnen“. Ergebnis und Kreisabbildung erscheinen dann hier.

Inhaltsverzeichnis

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Das können Sie auf dieser Seite
Wofür braucht man diese Berechnung?
Anleitung
Formeln und Abbildungen
Symbole und Begriffe
- Symbole
- Begriffe
Das sollten Sie vorher wissen
So berechnen Sie es in Excel
So berechnen Sie es in Google Tabellen
So berechnen Sie es in Python
So schreiben Sie die Formel in LaTeX und anderen Formelsprachen (zum Kopieren)
So lassen Sie ChatGPT rechnen
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Das können Sie auf dieser Seite

Mit dem Umfangswinkelsatz (der Umfangswinkel ist halb so groß wie der Mittelpunktswinkel über demselben Bogen) berechnen Sie sofort den Mittelpunktswinkel aus dem Umfangswinkel (doppelt) oder den Umfangswinkel aus dem Mittelpunktswinkel (halb). Winkel, die nicht aufgehen, etwa \(\dfrac{250}{7}^\circ\), erscheinen exakt als Bruch und als Dezimalzahl
Gilt im selben Kreis Bogen AB : Bogen CD \(= m : n\), stehen auch die Umfangswinkel in diesem Verhältnis (sie sind proportional zur Bogenlänge). So berechnen Sie aus einem Umfangswinkel den anderen
Im Sehnenviereck ergänzen sich Gegenwinkel zu \(180^\circ\). So erhalten Sie aus einem Winkel den gegenüberliegenden
Zum Ergebnis wird der Kreis gezeichnet. Sie sehen, wo Bogen, Mittelpunktswinkel und Umfangswinkel liegen, und dass Umfangswinkel über demselben Bogen von jedem Punkt aus gleich sind (nur wenn beim Bogenverhältnis die beiden Bögen zu groß für einen Kreis sind, entfällt die Abbildung und es erscheinen nur die Zahlen)
Die Abbildungen bei den Formeln erklären anschaulich, warum die Sätze gelten – etwa „der Umfangswinkel über einem Durchmesser ist \(90^\circ\)“ (Satz des Thales)

Umfangswinkel und Mittelpunktswinkel beziehen sich auf dieser Seite immer auf einen bestimmten Bogen (Umfangswinkel größer als 0° und kleiner als 180°, Mittelpunktswinkel größer als 0° und kleiner als 360°).

Wofür braucht man diese Berechnung?

Den Standort eines Schiffs bestimmen (Navigation und Küstenvermessung)

Ein Schiff in Küstennähe kann seinen Standort bestimmen, indem es den Winkel zwischen zwei Landmarken (etwa Leuchttürmen) misst. Nach der Umkehrung des Umfangswinkelsatzes liegen alle Punkte, von denen aus zwei Landmarken unter demselben Winkel erscheinen, auf einem Kreisbogen. Misst man die Winkel für zwei Paare von Landmarken, liegt das Schiff im einzigen Schnittpunkt der beiden Bögen (ein klassisches Verfahren mit Sextant und Doppelwinkelmesser; in der Vermessung als Rückwärtsschnitt bekannt).
Als Rückfallebene für den Fall, dass GPS ausfällt, gehört es bis heute zur nautischen Ausbildung.

Wo ein Torschuss am leichtesten ist (Fußball und Basketball)

Im Fußball zeigt der Winkel zwischen den beiden Torpfosten, wie breit das Tor für den Schützen wirkt. Nach dem Umfangswinkelsatz liegen alle Stellen mit demselben Winkel auf einem Bogen durch die beiden Pfosten. Wer sich auf diesem Bogen seitlich von der Tormitte wegbewegt, behält denselben Schusswinkel.
In der Sportanalyse (etwa bei Expected Goals) ist dieser Schusswinkel tatsächlich eine der wichtigsten Größen, um Trefferquoten zu erklären.

Den Mittelpunkt runder Werkstücke finden (Holzbearbeitung, Basteln und Metallbearbeitung)

Mit der Umkehrung des Satzes des Thales (ist der Umfangswinkel 90°, ist die Sehne ein Durchmesser) finden Sie den Mittelpunkt einer runden Platte oder eines Zylinders ganz leicht. Legen Sie die Ecke eines Anschlagwinkels an den Rand: Die Verbindungslinie der beiden Punkte, an denen die Schenkel den Rand schneiden, ist ein Durchmesser. Wiederholen Sie das aus einer anderen Richtung – der Mittelpunkt liegt im Schnittpunkt der beiden Durchmesser.
Der Zentrierwinkel aus der Werkstatt ist genau dieser Satz als Werkzeug.

Sicht von den Zuschauerplätzen planen (Theater und Stadien)

Je größer der Winkel zwischen den beiden Enden der Bühne, desto breiter wirkt die Bühne. Nach dem Umfangswinkelsatz liegen Plätze, die die Bühne unter demselben Winkel sehen, auf demselben Bogen – sind die Reihen bogenförmig angeordnet, bleibt die Sicht entlang einer Reihe ähnlich.
Vom halbrunden Theater der griechischen Antike bis zum modernen Konzertsaal nutzt die gebogene Sitzanordnung diese geometrische Eigenschaft (in der Praxis entscheiden auch Akustik, Fluchtwege und weitere Vorgaben mit).

Formeln und Abbildungen

Umfangswinkelsatz (der Umfangswinkel ist halb so groß wie der Mittelpunktswinkel)

Abbildung

Mathematische Schreibweise (die übliche Formel)

\(x\) \(=\) \(c\) \(\div\) \(2\)

In Worten (Symbole durch Wörter ersetzt)

③ \(x\): Umfangswinkel über Bogen AB \(=\) ① \(c\): Mittelpunktswinkel über demselben Bogen \(\div\) ② \(2\): halbiert

Die Formel in Worten

① Teilt man den \(c\): Mittelpunktswinkel über demselben Bogen

② durch \(2\): halbiert

③ erhält man den \(x\): Umfangswinkel über Bogen AB

Einfaches Beispiel

Ist der Mittelpunktswinkel über Bogen AB \(100^\circ\), so ist der Umfangswinkel über demselben Bogen

Umfangswinkel über Bogen AB \(=\) Mittelpunktswinkel (\(100^\circ\)) \(\div\) \(2\)

\(100^\circ \div 2 = 50^\circ\)

Der Grundgedanke

Umgekehrt gilt „Mittelpunktswinkel \(c = \) Umfangswinkel \(x \times 2\)“ (die Rechenart „Mittelpunktswinkel aus Umfangswinkel“ dieses Rechners). Warum genau die Hälfte? Nennen Sie den Mittelpunkt \(O\) und den Punkt auf dem Kreis \(P\), und zeichnen Sie die Gerade von \(P\) durch \(O\). Weil \(OA = OP\) und \(OB = OP\) (alles Radien), entstehen zwei gleichschenklige Dreiecke. Deren Basiswinkel sind gleich groß, und ein Außenwinkel eines Dreiecks ist so groß wie die Summe der beiden nicht anliegenden Innenwinkel. Daraus folgt: Der Mittelpunktswinkel ist genau \(2\)-mal so groß wie der Umfangswinkel. Der Satz gilt auch, wenn der Mittelpunktswinkel größer als \(180^\circ\) ist (der Bogen also länger als ein Halbkreis). Zu einem Mittelpunktswinkel von \(240^\circ\) gehört zum Beispiel der Umfangswinkel \(120^\circ\).

Umfangswinkel über demselben Bogen sind gleich groß

Abbildung

Mathematische Schreibweise (die übliche Formel)

In Worten (Symbole durch Wörter ersetzt)

\(\angle APB\) \(=\) \(\angle AQB\)

① \(\angle APB\): Umfangswinkel von Punkt \(P\) aus \(=\) ② \(\angle AQB\): Umfangswinkel von Punkt \(Q\) aus

Die Formel in Worten

① Solange beide auf denselben Bogen AB blicken, ist der \(\angle APB\): Umfangswinkel von Punkt \(P\) aus

② immer genauso groß wie der \(\angle AQB\): Umfangswinkel von Punkt \(Q\) aus

Einfaches Beispiel

Beträgt der Umfangswinkel über Bogen AB im Punkt \(P\) \(50^\circ\), dann gilt von jedem Punkt des Kreises aus

Umfangswinkel von \(P\) aus \(=\) Umfangswinkel von \(Q\) aus (\(50^\circ\))

\(\angle APB = \angle AQB = 50^\circ\)

Der Grundgedanke

Der Grund ist einfach: Beide Umfangswinkel sind die Hälfte desselben Mittelpunktswinkels. Zu Bogen AB gibt es nur einen Mittelpunktswinkel – also ist auch seine Hälfte, der Umfangswinkel, von überall gleich. Gleich sind sie allerdings nur, wenn \(P\) und \(Q\) auf derselben Seite von Bogen AB liegen (auf dem Kreis, aber nicht auf Bogen AB). Liegt der Punkt auf der anderen Seite (auf Bogen AB selbst), beträgt der Winkel \(180^\circ - x\). Das führt zur letzten Formel dieser Seite: Im Sehnenviereck ergänzen sich Gegenwinkel zu \(180^\circ\).

Der Umfangswinkel über einem Durchmesser ist 90° (Satz des Thales)

Abbildung

Mathematische Schreibweise (die übliche Formel)

In Worten (Symbole durch Wörter ersetzt)

\(\angle APB\) \(=\) \(90^\circ\)

① \(\angle APB\): Umfangswinkel über dem Durchmesser AB \(=\) ② \(90^\circ\): rechter Winkel

Die Formel in Worten

① Ist die Sehne AB ein Durchmesser (der Bogen ein Halbkreis), so ist der \(\angle APB\): Umfangswinkel über dem Durchmesser AB

② immer ein \(90^\circ\): rechter Winkel

Einfaches Beispiel

Der Mittelpunktswinkel über einem Durchmesser ist ein gestreckter Winkel von \(180^\circ\), der Umfangswinkel also die Hälfte davon

Umfangswinkel über einem Durchmesser \(=\) Mittelpunktswinkel (\(180^\circ\)) \(\div\) \(2\)

\(180^\circ \div 2 = 90^\circ\)

Der Grundgedanke

Dieser Sonderfall des Umfangswinkelsatzes heißt Satz des Thales – benannt nach dem griechischen Mathematiker Thales von Milet. Er gilt als einer der ältesten überlieferten Sätze der Mathematik; den Halbkreis über AB nennt man auch Thaleskreis. Auch die Umkehrung gilt: Ist \(\angle APB = 90^\circ\) für einen Punkt \(P\) auf dem Kreis, dann ist die Sehne AB immer ein Durchmesser. Damit finden Sie den Mittelpunkt runder Gegenstände: Legen Sie einen rechten Winkel (etwa einen Anschlagwinkel) mit der Ecke an den Rand und markieren Sie die zwei Punkte A und B, an denen die Schenkel den Rand schneiden. AB ist dann ein Durchmesser, und der Mittelpunkt liegt dort, wo sich zwei solche Durchmesser schneiden.

Bogenlänge und Umfangswinkel sind proportional

Abbildung

Mathematische Schreibweise (die übliche Formel)

\(x_1 : x_2\) \(=\) \(m : n\)

In Worten (Symbole durch Wörter ersetzt)

② \(x_1 : x_2\): Verhältnis der Umfangswinkel \(=\) ① \(m : n\): Verhältnis der Bogenlängen

Die Formel in Worten

① Im selben Kreis (oder in Kreisen mit gleichem Radius) gilt – ist das \(m : n\): Verhältnis der Bogenlängen gegeben, so steht

② auch das \(x_1 : x_2\): Verhältnis der Umfangswinkel über den einzelnen Bögen im selben Verhältnis

Einfaches Beispiel

Gilt Bogen AB : Bogen CD \(= 2 : 3\) und ist der Umfangswinkel über Bogen AB \(30^\circ\), so ist der Umfangswinkel über Bogen CD

Umfangswinkel über Bogen CD \(=\) Umfangswinkel über Bogen AB (\(30^\circ\)) \(\times\) Faktor aus dem Bogenverhältnis \(\dfrac{3}{2}\)

\(30^\circ \times \dfrac{3}{2} = 45^\circ\)

Der Grundgedanke

Wird ein Bogen doppelt oder dreimal so lang, wird auch sein Mittelpunktswinkel doppelt oder dreimal so groß (die Bogenlänge eines Kreisausschnitts ist proportional zum Mittelpunktswinkel). Der Umfangswinkel ist die Hälfte davon – also ist auch er proportional zur Bogenlänge. Vorsicht: Die Länge der Sehne ist nicht proportional zum Umfangswinkel. Bei Umfangswinkeln von \(30^\circ\) und \(60^\circ\) stehen die Bogenlängen genau im Verhältnis \(1 : 2\), die Sehnenlängen aber nicht (die Sehne nimmt die gerade Abkürzung und fällt kürzer aus). „Bogen“ und „Sehne“ zu verwechseln, ist eine klassische Falle in Klassenarbeiten.

Im Sehnenviereck ergänzen sich Gegenwinkel zu 180°

Abbildung

Mathematische Schreibweise (die übliche Formel)

\(\angle A\) \(+\) \(\angle C\) \(=\) \(180^\circ\)

In Worten (Symbole durch Wörter ersetzt)

① \(\angle A\): ein Innenwinkel \(+\) ② \(\angle C\): der Gegenwinkel \(=\) ③ \(180^\circ\): gestreckter Winkel

Die Formel in Worten

① Im Sehnenviereck ergeben \(\angle A\): ein Innenwinkel

② und \(\angle C\): der Gegenwinkel

③ zusammen immer einen \(180^\circ\): gestreckter Winkel

Einfaches Beispiel

Ist im Sehnenviereck ABCD \(\angle A = 110^\circ\), so ist der Gegenwinkel \(\angle C\)

Gegenwinkel \(\angle C\) \(=\) \(180^\circ\) \(-\) Innenwinkel \(\angle A\) (\(110^\circ\))

\(180^\circ - 110^\circ = 70^\circ\)

Der Grundgedanke

Auch das folgt aus dem Umfangswinkelsatz. \(\angle A\) ist der Umfangswinkel über dem Bogen BCD (auf der Seite mit der Ecke C), \(\angle C\) der Umfangswinkel über dem Bogen DAB (auf der Seite mit der Ecke A). Beide Bögen ergeben zusammen genau einen ganzen Kreis, ihre Mittelpunktswinkel also \(360^\circ\). Jeder Umfangswinkel ist die Hälfte seines Mittelpunktswinkels, zusammen also \(360^\circ \div 2 = 180^\circ\). Daraus folgt auch: Ein Außenwinkel des Sehnenvierecks ist so groß wie der gegenüberliegende Innenwinkel. Der Außenwinkel an der verlängerten Seite BC ist nämlich \(180^\circ - \angle C = \angle A\).

Der Umfangswinkelsatz besagt: Der Umfangswinkel ist halb so groß wie der Mittelpunktswinkel über demselben Bogen. Daraus folgen alle wichtigen Winkelsätze am Kreis – „Umfangswinkel über demselben Bogen sind gleich“, „der Umfangswinkel über einem Durchmesser ist \(90^\circ\)“ (Satz des Thales), „Umfangswinkel sind proportional zur Bogenlänge“ und „im Sehnenviereck ergänzen sich Gegenwinkel zu \(180^\circ\)“.

Symbole und Begriffe

Symbole

\(\angle\)	Winkel	Das Winkelzeichen. \(\angle APB\) ist der Winkel mit dem Scheitel \(P\), den die beiden Strecken von \(P\) nach \(A\) und nach \(B\) bilden. Der mittlere Buchstabe ist der Scheitel.
\(\overset{\frown}{AB}\)	Bogen A B	Das Zeichen für den Bogen AB, also das Stück des Kreises zwischen den Punkten \(A\) und \(B\). Der Bogen über den Buchstaben zeigt, dass der gekrümmte Bogen gemeint ist und nicht die gerade Strecke AB.
\(x,\ c\)	x, c	Diese Seite schreibt den Umfangswinkel als \(x\) und den Mittelpunktswinkel als \(c\) (vom englischen „center“, Mittelpunkt). In deutschen Schulbüchern stehen dafür oft griechische Buchstaben wie \(\alpha\) und \(\beta\) (\(\beta = 2\alpha\)).
\(O\)	O	Der Buchstabe für den Mittelpunkt des Kreises (in deutschen Büchern oft auch \(M\)). Er soll vom englischen „origin“ (Ursprung) kommen. Der Mittelpunktswinkel hat seinen Scheitel in \(O\).
\(P,\ Q\)	P, Q	Buchstaben für Punkte auf dem Kreis – \(P\) wie „Punkt“ und der nächste Buchstabe \(Q\). Der Umfangswinkel hat seinen Scheitel in \(P\) oder \(Q\).
\(m : n\)	m zu n	Das Verhältnis zweier Größen, hier der Längen von Bogen AB und Bogen CD. \(2 : 3\) bedeutet „Bogen CD ist \(\dfrac{3}{2}\)-mal so lang wie Bogen AB“.
\(^\circ\)	Grad	Das Zeichen für die Winkeleinheit Grad. Eine volle Umdrehung in 360 gleiche Teile geteilt ergibt \(1^\circ\). Die 360 wurde vermutlich gewählt, weil sie viele Teiler hat und sich gut teilen lässt.

Begriffe

Umfangswinkel	Der Winkel, den zwei Sehnen von einem Punkt des Kreises zu den Enden \(A\) und \(B\) eines Bogens bilden (auch Peripheriewinkel). Man nennt immer den Bogen dazu, etwa „Umfangswinkel über Bogen AB“. Wo auch immer der Scheitel auf dem Kreis liegt (außerhalb von Bogen AB) – die Größe bleibt gleich.
Mittelpunktswinkel	Der Winkel, den die beiden Radien vom Mittelpunkt \(O\) zu den Enden \(A\) und \(B\) eines Bogens bilden (auch Zentriwinkel). Zu jedem Bogen gibt es genau einen Mittelpunktswinkel, und er ist genau doppelt so groß wie der Umfangswinkel über demselben Bogen.
Umfangswinkelsatz	Der Satz „alle Umfangswinkel über demselben Bogen sind gleich groß“ (auch Peripheriewinkelsatz) zusammen mit „der Umfangswinkel ist halb so groß wie der Mittelpunktswinkel über demselben Bogen“ (oft Kreiswinkelsatz oder Mittelpunktswinkelsatz genannt). Er ist der zentrale Satz der Kreisgeometrie in Klasse 8–9 (13–15 Jahre); der Beweis nutzt gleichschenklige Dreiecke und den Außenwinkelsatz.
Kreisbogen	Das Stück des Kreises zwischen zwei Punkten auf ihm (kurz Bogen). Zwei Punkte teilen den Kreis in zwei Bögen: den kleinen und den großen Bogen. „Bogen AB“ meint ohne Zusatz meist den kürzeren.
großer Bogen	Teilen zwei Punkte den Kreis in zwei Bögen, ist das der Bogen, der länger als ein Halbkreis ist. Sein Mittelpunktswinkel ist größer als \(180^\circ\). Der Umfangswinkelsatz gilt für beide Bögen.
kleiner Bogen	Teilen zwei Punkte den Kreis in zwei Bögen, ist das der Bogen, der kürzer als ein Halbkreis ist. Sein Mittelpunktswinkel ist kleiner als \(180^\circ\). Der Umfangswinkelsatz gilt für beide Bögen.
Sehne	Die gerade Strecke zwischen zwei Punkten auf einem Kreis. Der Bogen ist der gekrümmte Weg am Kreis entlang, die Sehne der kürzeste, gerade Weg. Die Bogenlänge ist proportional zum Umfangswinkel, die Sehnenlänge nicht.
Durchmesser	Eine Sehne durch den Mittelpunkt des Kreises – die längste Sehne, doppelt so lang wie der Radius. Der Bogen über einem Durchmesser ist genau ein Halbkreis, und der Umfangswinkel darüber ist immer \(90^\circ\) (Satz des Thales).
Radius	Der Abstand (oder die Strecke) vom Mittelpunkt zu einem Punkt auf dem Kreis. Alle Radien eines Kreises sind gleich lang – die dadurch entstehenden gleichschenkligen Dreiecke sind der Schlüssel zum Beweis des Umfangswinkelsatzes.
Satz des Thales	Der Satz „der Umfangswinkel über einem Durchmesser ist \(90^\circ\)“ – ein Sonderfall des Umfangswinkelsatzes (Mittelpunktswinkel \(180^\circ\)). Er ist nach dem griechischen Mathematiker Thales benannt; auch die Umkehrung gilt (ist der Umfangswinkel \(90^\circ\), ist die Sehne ein Durchmesser).
Sehnenviereck	Ein Viereck, dessen vier Ecken alle auf einem Kreis liegen (der Kreis ist sein Umkreis, die Seiten sind Sehnen). Seine Gegenwinkel ergänzen sich jeweils zu \(180^\circ\).
Gegenwinkel	Gegenüberliegende Winkel eines Vierecks. Im Viereck ABCD sind \(\angle A\) und \(\angle C\) sowie \(\angle B\) und \(\angle D\) jeweils Gegenwinkel.
gleichschenkliges Dreieck	Ein Dreieck mit zwei gleich langen Seiten (Schenkeln). Die beiden Winkel an der Basis (Basiswinkel) sind gleich groß. Es taucht im Beweis des Umfangswinkelsatzes auf, weil alle Radien gleich lang sind.
proportional	Wird die eine Größe doppelt oder dreimal so groß, wird es auch die andere. Bogenlänge und Mittelpunktswinkel sind proportional, ebenso Bogenlänge und Umfangswinkel.

Das sollten Sie vorher wissen

Damit Sie die Berechnung auf dieser Seite nicht nur ausführen, sondern auch verstehen, hilft Ihnen dieses Vorwissen.
Wenn Sie nicht weiterkommen, ist es am schnellsten, diese Themen zu wiederholen.

Begriffe am Kreis (Klasse 3–7, 8–13 Jahre)	Mittelpunkt, Radius, Durchmesser und Kreisumfang kennen und wissen, dass alle Radien eines Kreises gleich lang sind Den Unterschied zwischen Bogen (Teil des Kreises) und Sehne (Strecke zwischen zwei Kreispunkten) kennen
Winkel und Drehungen (Klasse 5, 10–11 Jahre)	Wissen, dass eine volle Drehung \(360^\circ\), eine halbe Drehung (gestreckter Winkel) \(180^\circ\) und ein rechter Winkel \(90^\circ\) hat Eine Vorstellung von der Größe eines Winkels haben, wie man sie mit dem Geodreieck misst
Gleichschenklige Dreiecke (Klasse 7, 12–13 Jahre)	Wissen, dass in einem Dreieck mit zwei gleich langen Seiten die Basiswinkel gleich groß sind Im Beweis des Umfangswinkelsatzes heißt das – „Radien sind gleich lang, also entsteht ein gleichschenkliges Dreieck“
Innen- und Außenwinkel im Dreieck (Klasse 7, 12–13 Jahre)	Wissen, dass die Innenwinkel eines Dreiecks zusammen \(180^\circ\) ergeben und ein Außenwinkel so groß ist wie die Summe der beiden nicht anliegenden Innenwinkel Dieser Außenwinkelsatz ist der Kern dafür, dass der Mittelpunktswinkel doppelt so groß ist wie der Umfangswinkel
Verhältnisse und proportionale Zuordnungen (Klasse 6–7, 11–13 Jahre)	Wissen, was ein Verhältnis wie \(2 : 3\) bedeutet, und damit umrechnen können, etwa \(30 \times \dfrac{3}{2}\) Eine Vorstellung von proportionalen Zuordnungen haben – „verdoppelt sich das eine, verdoppelt sich das andere“
Dividieren und Brüche (Klasse 5–6, 10–12 Jahre)	Divisionen wie \(80 \div 2 = 40\) im Kopf oder schriftlich rechnen können Ein Ergebnis, das nicht aufgeht, als exakten Bruch wie \(\dfrac{250}{7}\) stehen lassen können

So berechnen Sie es in Excel

Kopieren Sie die ganze Tabelle und fügen Sie sie in Zelle A1 von Excel ein – dann funktioniert sie direkt.

Tabelle für Umfangswinkel → Mittelpunktswinkel

Umfangswinkel (Grad)	50
Mittelpunktswinkel (Grad)	=B1*2

Tabelle für Mittelpunktswinkel → Umfangswinkel

Mittelpunktswinkel (Grad)	100
Umfangswinkel (Grad)	=B1/2

Tabelle für Bogenverhältnis → Umfangswinkel

Verhältniszahl für Bogen AB, m	2
Verhältniszahl für Bogen CD, n	3
Umfangswinkel über Bogen AB (Grad)	30
Umfangswinkel über Bogen CD (Grad)	=B3*B2/B1

Tabelle für Gegenwinkel im Sehnenviereck

Viereckswinkel ∠A (Grad)	110
Gegenwinkel ∠C (Grad)	=180-B1

Nach dem Einfügen sind die oberen Zeilen die Eingaben, die unterste Zeile wird automatisch berechnet.
„*“ steht für Malnehmen, „/“ für Teilen.
Die erste Tabelle berechnet aus dem Umfangswinkel 50° den Mittelpunktswinkel 100, die zweite rechnet umgekehrt aus 100° den Umfangswinkel 50.
Die dritte Tabelle gilt für Bogen AB : Bogen CD = 2 : 3 mit dem Umfangswinkel 30° über Bogen AB. Umfangswinkel sind proportional zur Bogenlänge, also ergibt sich 30 · 3 : 2 = 45.
Die vierte Tabelle ist für das Sehnenviereck: Geben Sie 110 für ∠A ein, ist der Gegenwinkel ∠C gleich 70.

So berechnen Sie es in Google Tabellen

Kopieren Sie die ganze Tabelle und fügen Sie sie in Zelle A1 von Google Tabellen ein – dann funktioniert sie direkt.

Tabelle für Umfangswinkel → Mittelpunktswinkel

Umfangswinkel (Grad)	50
Mittelpunktswinkel (Grad)	=B1*2

Tabelle für Mittelpunktswinkel → Umfangswinkel

Mittelpunktswinkel (Grad)	100
Umfangswinkel (Grad)	=B1/2

Tabelle für Bogenverhältnis → Umfangswinkel

Verhältniszahl für Bogen AB, m	2
Verhältniszahl für Bogen CD, n	3
Umfangswinkel über Bogen AB (Grad)	30
Umfangswinkel über Bogen CD (Grad)	=B3*B2/B1

Tabelle für Gegenwinkel im Sehnenviereck

Viereckswinkel ∠A (Grad)	110
Gegenwinkel ∠C (Grad)	=180-B1

Dieselben Formeln wie in Excel funktionieren unverändert. Kopieren Sie die ganze Tabelle, fügen Sie sie in Zelle A1 ein und ersetzen Sie Winkel und Verhältnisse durch Ihre eigenen Zahlen.

So berechnen Sie es in Python

from fractions import Fraction

# Umfangswinkel -> Mittelpunktswinkel (der Mittelpunktswinkel ist doppelt so groß)
inscribed_angle = Fraction(250, 7)   # ein Bruch wie 250/7 Grad lässt sich direkt schreiben
central_angle = inscribed_angle * 2
print(f"Umfangswinkel {inscribed_angle}° -> Mittelpunktswinkel {central_angle}° ≈ {float(central_angle):.2f}°")

# Mittelpunktswinkel -> Umfangswinkel (der Umfangswinkel ist halb so groß)
central_angle = Fraction(100)
inscribed_angle = central_angle / 2
print(f"Mittelpunktswinkel {central_angle}° -> Umfangswinkel {inscribed_angle}°")

# Bogenverhältnis -> Umfangswinkel (Umfangswinkel sind proportional zur Bogenlänge)
arc_ab, arc_cd = Fraction(2), Fraction(3)   # Bogen AB : Bogen CD = 2 : 3
angle_ab = Fraction(30)                     # Umfangswinkel über Bogen AB
angle_cd = angle_ab * arc_cd / arc_ab
print(f"Bogenverhältnis {arc_ab}:{arc_cd}, Umfangswinkel {angle_ab}° -> anderer Umfangswinkel {angle_cd}°")

# Gegenwinkel im Sehnenviereck (sie ergänzen sich zu 180 Grad)
angle_a = Fraction(110)
angle_c = 180 - angle_a
print(f"∠A = {angle_a}° -> Gegenwinkel ∠C = {angle_c}°")

Mit dem Modul fractions aus der Standardbibliothek bleiben Winkel, die nicht aufgehen (etwa 250/7°), exakte Brüche ohne Rundungsfehler. Beim Ausführen erhalten Sie zuerst den Mittelpunktswinkel „500/7° ≈ 71,43°“ (Python schreibt den Dezimalpunkt), dann den Umfangswinkel 50°, den Umfangswinkel 45° über Bogen CD und zuletzt den Gegenwinkel 70°. Ändern Sie die Zahlen und führen Sie den Code aus.

So schreiben Sie die Formel in LaTeX und anderen Formelsprachen (zum Kopieren)

Umfangswinkelsatz (der Umfangswinkel ist halb so groß wie der Mittelpunktswinkel)

x = c / 2

x = \frac{c}{2}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>x</mi>
    <mo>=</mo>
    <mfrac>
      <mi>c</mi>
      <mn>2</mn>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

x = c/2

x = c/2

x := c/2;

x = c/2;

x = c/2

Umfangswinkel über demselben Bogen sind gleich groß

∠APB = ∠AQB

\angle APB = \angle AQB

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mo>&#x2220;</mo><mi>A</mi><mi>P</mi><mi>B</mi>
    <mo>=</mo>
    <mo>&#x2220;</mo><mi>A</mi><mi>Q</mi><mi>B</mi>
  </mrow>
</math>

/_ APB = /_ AQB

angleAPB == angleAQB

angleAPB = angleAQB;

angleAPB == angleAQB

∠APB = ∠AQB

Der Umfangswinkel über einem Durchmesser ist 90° (Satz des Thales)

∠APB = 90°

\angle APB = 90^{\circ}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mo>&#x2220;</mo><mi>A</mi><mi>P</mi><mi>B</mi>
    <mo>=</mo>
    <msup><mn>90</mn><mo>&#x00B0;</mo></msup>
  </mrow>
</math>

/_ APB = 90^circ

angleAPB == 90 Degree

angleAPB = 90;

angleAPB = 90;

∠APB = 90°

Bogenlänge und Umfangswinkel sind proportional

x₁ : x₂ = m : n

x_1 : x_2 = m : n

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <msub><mi>x</mi><mn>1</mn></msub>
    <mo>:</mo>
    <msub><mi>x</mi><mn>2</mn></msub>
    <mo>=</mo>
    <mi>m</mi>
    <mo>:</mo>
    <mi>n</mi>
  </mrow>
</math>

x_1 : x_2 = m : n

x1/x2 == m/n

x1/x2 = m/n;

x1/x2 == m/n

x_1 : x_2 = m : n

Im Sehnenviereck ergänzen sich Gegenwinkel zu 180°

∠A + ∠C = 180°

\angle A + \angle C = 180^{\circ}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mo>&#x2220;</mo><mi>A</mi>
    <mo>+</mo>
    <mo>&#x2220;</mo><mi>C</mi>
    <mo>=</mo>
    <msup><mn>180</mn><mo>&#x00B0;</mo></msup>
  </mrow>
</math>

/_ A + /_ C = 180^circ

angleA + angleC == 180 Degree

angleA + angleC = 180;

angleA + angleC == 180

∠A + ∠C = 180°

So lassen Sie ChatGPT rechnen

Sie sind ein Rechenassistent für Mathematik (ebene Geometrie und Kreiseigenschaften). Führen Sie die folgende Berechnung aus, indem Sie tatsächlich Python-Code ausführen, und stützen Sie Ihre Antwort nur auf die Zahlen aus dem Ausführungsergebnis (antworten Sie nicht durch Kopfrechnen oder Schätzen).

Zeigen Sie mit dem Umfangswinkelsatz (der Umfangswinkel ist halb so groß wie der Mittelpunktswinkel über demselben Bogen) Folgendes:
1. den Mittelpunktswinkel zum Umfangswinkel 250/7° (als gekürzten Bruch und als Dezimalzahl)
2. den Umfangswinkel zum Mittelpunktswinkel 100°
3. im selben Kreis bei Bogen AB : Bogen CD = 2 : 3 und einem Umfangswinkel von 30° über Bogen AB den Umfangswinkel über Bogen CD (Umfangswinkel sind proportional zur Bogenlänge)
4. im Sehnenviereck mit ∠A = 110° den Gegenwinkel ∠C (Gegenwinkel ergänzen sich zu 180°)

Rechnen Sie in Python mit dem Modul fractions der Standardbibliothek exakt, und zeigen Sie die verwendeten Formeln und die Zahlen aus dem Ausführungsergebnis.

Anleitung

1

Werte eingeben

Tragen Sie die Zahlen, mit denen Sie rechnen möchten, in die Eingabefelder ein
2

Berechnen

Klicken Sie auf die Schaltfläche „Berechnen“
3

Ergebnis ansehen

Das Ergebnis erscheint sofort. Auf derselben Seite finden Sie auch den Rechenweg und die Erklärung der Formel