Peripheriewinkelsatz berechnen (Mittelpunktswinkel, Bogenverhältnis, Sehnenviereck)

Wählen Sie einen Modus und geben Sie den Winkel (oder das Verhältnis der Bogenlängen) ein.

Modus

Peripheriewinkel (Grad)

Mittelpunktswinkel (Grad)

Verhältnis für Bogen AB, m

Verhältnis für Bogen CD, n

Peripheriewinkel über Bogen AB (Grad)

Ein Winkel des Vierecks ∠A (Grad)

Geben Sie nur Zahlen ein. Für Winkel und Verhältnisse sind Dezimalzahlen und Brüche wie 250/7 möglich.

Ergebnis und Figur

Wählen Sie links einen Modus, geben Sie den Winkel ein und klicken Sie auf „Berechnen“. Das Ergebnis und eine Zeichnung des Kreises erscheinen hier.

Inhaltsverzeichnis

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Was Sie auf dieser Seite tun können
Wofür ist diese Berechnung nützlich?
Anleitung
Formeln und Zeichnungen
Symbole und Begriffe
- Symbole
- Begriffe
Was Sie vorab wissen sollten
Mit Excel berechnen
Mit Google Tabellen berechnen
Mit Python berechnen
Die Formel in LaTeX und anderen mathematischen Schreibweisen (zum Kopieren)
Die Berechnung von ChatGPT ausführen lassen
Die Vorteile von DataChef
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Was Sie auf dieser Seite tun können

Mit dem Peripheriewinkelsatz (ein Peripheriewinkel ist halb so groß wie der Mittelpunktswinkel über demselben Kreisbogen) berechnen Sie sofort den Mittelpunktswinkel aus einem Peripheriewinkel (doppelt so groß) oder den Peripheriewinkel aus einem Mittelpunktswinkel (halb so groß). Winkel, bei denen die Rechnung nicht aufgeht, etwa \(\dfrac{250}{7}^\circ\), werden sowohl exakt (als Bruch) als auch als Dezimalzahl angezeigt
Im selben Kreis gilt: Ist Bogen AB : Bogen CD \(= m : n\), stehen auch die Peripheriewinkel im selben Verhältnis (Peripheriewinkel sind proportional zur Bogenlänge). Damit berechnen Sie aus dem einen Peripheriewinkel den anderen
Die gegenüberliegenden Winkel eines Sehnenvierecks ergeben zusammen \(180^\circ\). Damit berechnen Sie aus einem Winkel den gegenüberliegenden
Zum Ergebnis wird eine Zeichnung des Kreises angezeigt. An ihr sehen Sie, wo Bogen, Mittelpunktswinkel und Peripheriewinkel liegen, und können prüfen, dass Peripheriewinkel über demselben Bogen von überall aus gleich groß sind (im Modus für das Bogenverhältnis wird die Zeichnung nur dann weggelassen und nur die Zahl angezeigt, wenn beide Bögen zu groß für einen gemeinsamen Kreis sind)
Die Zeichnungen bei den Formeln erklären, warum die Sätze gelten, etwa „Ein Winkel im Halbkreis ist \(90^\circ\)“ (Satz des Thales)

Auf dieser Seite sind Peripheriewinkel und Mittelpunktswinkel die Winkel über einem Kreisbogen (der Peripheriewinkel ist größer als 0° und kleiner als 180°, der Mittelpunktswinkel größer als 0° und kleiner als 360°).

Wofür ist diese Berechnung nützlich?

Die Position eines Schiffs bestimmen (Navigation und Küstenvermessung)

Ein Schiff in Küstennähe kann seine Position bestimmen, indem es den Winkel zwischen zwei Landmarken an Land (etwa Leuchttürmen) misst. Nach der Umkehrung des Peripheriewinkelsatzes liegen alle Punkte, von denen aus man zwei Landmarken unter demselben Winkel sieht, auf einem Kreisbogen. Messen Sie die Winkel für zwei Paare von Landmarken, so liegt das Schiff in dem einen Punkt, in dem sich die beiden Bögen schneiden (ein klassisches Verfahren der Positionsbestimmung durch zwei gemessene Horizontalwinkel, das mit einem Dreiarmwinkelmesser eingezeichnet wird).
Es wird als Rückfallmethode für den Fall, dass GPS nicht zur Verfügung steht, bis heute in der Ausbildung von Nautikern gelehrt.

Wissen, wo ein Torschuss am leichtesten ist (Fußball und Basketball)

Im Fußball zeigt der Winkel zwischen den beiden Torpfosten, vom Schützen aus gesehen, wie breit das Tor wirkt. Nach dem Peripheriewinkelsatz liegen alle Stellen mit demselben Winkel auf einem Kreisbogen durch die beiden Pfosten. Bewegen Sie sich auf diesem Bogen seitlich von der Mitte des Tors weg, bleibt der Winkel gleich.
In der Sportanalyse wird dieser „Torschusswinkel“ tatsächlich als eine der wichtigsten Kennzahlen verwendet, um die Erfolgsquote von Schüssen zu erklären.

Den Mittelpunkt eines runden Gegenstands finden (Schreinern, Basteln und Zerspanen)

Mit der Umkehrung des Satzes des Thales (ist der Peripheriewinkel 90°, so ist die Sehne ein Durchmesser) finden Sie leicht den Mittelpunkt einer runden Platte oder eines Zylinders. Legen Sie die Ecke eines Anschlagwinkels an den Rand des Kreises; die Verbindungslinie der beiden Punkte, in denen seine Schenkel den Rand schneiden, ist ein Durchmesser. Wiederholen Sie das aus einer anderen Richtung, dann liegt der Mittelpunkt dort, wo sich die beiden Durchmesser schneiden.
Der Zentrierwinkel („Mittelpunktfinder“) der Holzwerker ist dieser Satz, zu einem Werkzeug gemacht.

Planen, wie die Bühne von den Sitzplätzen aussieht (Theater und Stadien)

Je größer der Winkel zwischen den beiden Enden der Bühne ist, desto breiter erscheint die Bühne im Blickfeld. Nach dem Peripheriewinkelsatz liegen Sitze, von denen aus die Bühne unter demselben Winkel erscheint, auf demselben Bogen. Ordnet man die Sitze in Bögen an, bleibt der Blick in jeder Reihe ähnlich.
Von den halbkreisförmigen Theatern des antiken Griechenlands bis zu modernen Konzertsälen nutzt jede Sitzanordnung in Bögen diese geometrische Eigenschaft (bei echten Planungen spielen auch Akustik, Fluchtwege und andere Faktoren eine Rolle).

Formeln und Zeichnungen

Peripheriewinkelsatz (ein Peripheriewinkel ist halb so groß wie der Mittelpunktswinkel)

Zeichnung

Mathematische Schreibweise (die übliche Schreibweise)

\(x\) \(=\) \(c\) \(\div\) \(2\)

In Worten (die Symbole durch Wörter ersetzt)

③ \(x\): Peripheriewinkel über dem Bogen AB \(=\) ① \(c\): Mittelpunktswinkel über demselben Bogen \(\div\) ② \(2\): halbiert

Die Formel in Worten

① Nehmen Sie den \(c\): Mittelpunktswinkel über demselben Bogen

② teilen Sie ihn durch \(2\): halbiert

③ und Sie erhalten den \(x\): Peripheriewinkel über dem Bogen AB

Einfaches Beispiel

Beträgt der Mittelpunktswinkel über dem Bogen AB \(100^\circ\), so ist der Peripheriewinkel über demselben Bogen

Peripheriewinkel über dem Bogen AB \(=\) Mittelpunktswinkel (\(100^\circ\)) \(\div\) \(2\)

\(100^\circ \div 2 = 50^\circ\)

Der Kerngedanke

Die Formel lässt sich auch umgekehrt verwenden: „Mittelpunktswinkel \(c = \) Peripheriewinkel \(x \times 2\)“ (der Modus „Peripheriewinkel → Mittelpunktswinkel“ dieses Rechners). Warum ist er halb so groß? Nennen Sie den Mittelpunkt des Kreises \(O\) und den Punkt auf dem Kreis \(P\), und ziehen Sie die Gerade von \(P\) durch \(O\). Wegen \(OA = OP\) und \(OB = OP\) (alles Radien) entstehen zwei gleichschenklige Dreiecke. Die Basiswinkel eines gleichschenkligen Dreiecks sind gleich groß, und ein Außenwinkel eines Dreiecks ist so groß wie die Summe der beiden nicht anliegenden Innenwinkel. Der Mittelpunktswinkel ist also genau \(2\)-mal so groß wie der Peripheriewinkel. Der Satz gilt auch, wenn der Mittelpunktswinkel über \(180^\circ\) liegt (wenn der Bogen länger als ein Halbkreis ist). Zum Beispiel gehört zu einem Mittelpunktswinkel von \(240^\circ\) ein Peripheriewinkel von \(120^\circ\).

Peripheriewinkel über demselben Bogen sind gleich groß

Zeichnung

Mathematische Schreibweise (die übliche Schreibweise)

In Worten (die Symbole durch Wörter ersetzt)

\(\angle APB\) \(=\) \(\angle AQB\)

① \(\angle APB\): Peripheriewinkel, vom Punkt \(P\) aus gesehen \(=\) ② \(\angle AQB\): Peripheriewinkel, vom Punkt \(Q\) aus gesehen

Die Formel in Worten

① Solange beide auf denselben Bogen AB blicken, ist der \(\angle APB\): Peripheriewinkel, vom Punkt \(P\) aus gesehen

② immer gleich groß wie der \(\angle AQB\): Peripheriewinkel, vom Punkt \(Q\) aus gesehen

Einfaches Beispiel

Ist der Peripheriewinkel über dem Bogen AB im Punkt \(P\) \(50^\circ\), dann ist er von jedem Punkt des Kreises aus gesehen

Peripheriewinkel von \(P\) aus \(=\) Peripheriewinkel von \(Q\) aus (\(50^\circ\))

\(\angle APB = \angle AQB = 50^\circ\)

Der Kerngedanke

Der Grund ist einfach: Beide Peripheriewinkel sind die Hälfte desselben Mittelpunktswinkels. Zum Bogen AB gibt es nur einen Mittelpunktswinkel, also ist auch der Peripheriewinkel, der halb so groß ist, von überall aus gesehen derselbe. Gleich groß sind sie aber nur, wenn \(P\) und \(Q\) auf derselben Seite des Bogens AB liegen (auf dem Kreis, aber nicht auf dem Bogen AB). Setzen Sie den Punkt auf die andere Seite (auf den Bogen AB selbst), wird der Winkel zu \(180^\circ - x\). Das führt zur letzten Formel dieser Seite: „Die gegenüberliegenden Winkel eines Sehnenvierecks ergeben zusammen \(180^\circ\)“.

Ein Winkel im Halbkreis ist 90° (Satz des Thales)

Zeichnung

Mathematische Schreibweise (die übliche Schreibweise)

In Worten (die Symbole durch Wörter ersetzt)

\(\angle APB\) \(=\) \(90^\circ\)

① \(\angle APB\): Peripheriewinkel über dem Durchmesser AB \(=\) ② \(90^\circ\): rechter Winkel

Die Formel in Worten

① Ist die Sehne AB ein Durchmesser (der Bogen ist ein Halbkreis), so ist der \(\angle APB\): Peripheriewinkel über dem Durchmesser AB

② immer ein \(90^\circ\): rechter Winkel

Einfaches Beispiel

Der Mittelpunktswinkel über einem Durchmesser ist ein gestreckter Winkel, \(180^\circ\), also ist der Peripheriewinkel halb so groß, nämlich

Peripheriewinkel über einem Durchmesser \(=\) Mittelpunktswinkel (\(180^\circ\)) \(\div\) \(2\)

\(180^\circ \div 2 = 90^\circ\)

Der Kerngedanke

Das ist ein Spezialfall des Peripheriewinkelsatzes, der Satz des Thales heißt. Er ist nach dem antiken griechischen Mathematiker Thales benannt und gilt als einer der ältesten überlieferten Sätze. Auch die Umkehrung gilt: Ist \(\angle APB = 90^\circ\) in einem Punkt \(P\) auf dem Kreis, dann ist die Sehne AB immer ein Durchmesser. Mit dieser Umkehrung finden Sie den Mittelpunkt eines runden Gegenstands. Legen Sie einen rechten Winkel (etwa einen Anschlagwinkel) so an den Kreis, dass Sie zwei Punkte A und B markieren können; AB ist dann ein Durchmesser, und der Mittelpunkt liegt dort, wo sich zwei solche Durchmesser schneiden.

Peripheriewinkel sind proportional zur Bogenlänge

Zeichnung

Mathematische Schreibweise (die übliche Schreibweise)

\(x_1 : x_2\) \(=\) \(m : n\)

In Worten (die Symbole durch Wörter ersetzt)

② \(x_1 : x_2\): Verhältnis der Peripheriewinkel \(=\) ① \(m : n\): Verhältnis der Bogenlängen

Die Formel in Worten

① Im selben Kreis (oder in Kreisen mit gleichem Radius) gilt, ist das \(m : n\): Verhältnis der Bogenlängen gegeben,

② dann ist auch das \(x_1 : x_2\): Verhältnis der Peripheriewinkel über den beiden Bögen dasselbe

Einfaches Beispiel

Ist Bogen AB : Bogen CD \(= 2 : 3\) und der Peripheriewinkel über dem Bogen AB \(30^\circ\), so ist der Peripheriewinkel über dem Bogen CD

Peripheriewinkel über dem Bogen CD \(=\) Peripheriewinkel über dem Bogen AB (\(30^\circ\)) \(\times\) Faktor aus dem Bogenverhältnis \(\dfrac{3}{2}\)

\(30^\circ \times \dfrac{3}{2} = 45^\circ\)

Der Kerngedanke

Wird ein Bogen 2-mal oder 3-mal so lang, wird auch sein Mittelpunktswinkel 2-mal oder 3-mal so groß (die Bogenlänge eines Kreissektors ist proportional zum Mittelpunktswinkel). Der Peripheriewinkel ist die Hälfte dieses Mittelpunktswinkels, also sind Peripheriewinkel ebenfalls proportional zur Bogenlänge. Aufpassen: Die Länge einer Sehne ist nicht proportional zum Peripheriewinkel. Bei Peripheriewinkeln von \(30^\circ\) und \(60^\circ\) verhalten sich die Bogenlängen zum Beispiel genau wie \(1 : 2\), die Sehnenlängen aber nicht wie \(1 : 2\) (eine Sehne nimmt die gerade Abkürzung und fällt daher kürzer aus, als es proportional wäre). „Bogen“ und „Sehne“ zu verwechseln, ist eine klassische Falle in Klassenarbeiten.

Gegenüberliegende Winkel eines Sehnenvierecks ergeben zusammen 180°

Zeichnung

Mathematische Schreibweise (die übliche Schreibweise)

\(\angle A\) \(+\) \(\angle C\) \(=\) \(180^\circ\)

In Worten (die Symbole durch Wörter ersetzt)

① \(\angle A\): ein Winkel \(+\) ② \(\angle C\): der gegenüberliegende Winkel \(=\) ③ \(180^\circ\): gestreckter Winkel

Die Formel in Worten

① Addieren Sie in einem Sehnenviereck \(\angle A\): ein Winkel

② und \(\angle C\): der gegenüberliegende Winkel

③ und Sie erhalten immer einen \(180^\circ\): gestreckter Winkel

Einfaches Beispiel

In einem Sehnenviereck ABCD mit \(\angle A = 110^\circ\) beträgt der gegenüberliegende Winkel \(\angle C\)

gegenüberliegender Winkel \(\angle C\) \(=\) \(180^\circ\) \(-\) Winkel \(\angle A\) (\(110^\circ\))

\(180^\circ - 110^\circ = 70^\circ\)

Der Kerngedanke

Auch das folgt aus dem Peripheriewinkelsatz. \(\angle A\) ist der Peripheriewinkel über dem Bogen BCD (auf der Seite, die den Eckpunkt C enthält), und \(\angle C\) ist der Peripheriewinkel über dem Bogen DAB (auf der Seite, die den Eckpunkt A enthält). Die beiden Bögen ergeben zusammen genau einen ganzen Kreis, ihre Mittelpunktswinkel ergeben also zusammen \(360^\circ\). Jeder Peripheriewinkel ist halb so groß wie sein Mittelpunktswinkel, also ergeben beide zusammen \(360^\circ \div 2 = 180^\circ\). Daraus lässt sich auch zeigen, dass ein Außenwinkel eines Sehnenvierecks so groß ist wie der gegenüberliegende Innenwinkel. Der Außenwinkel, der durch Verlängern der Seite BC entsteht, ist \(180^\circ - \angle C = \angle A\).

Der Peripheriewinkelsatz besagt: „Ein Peripheriewinkel ist halb so groß wie der Mittelpunktswinkel über demselben Bogen“. Daraus folgen alle wichtigen Aussagen über Winkel am Kreis: „Peripheriewinkel über demselben Bogen sind alle gleich groß“, „ein Winkel im Halbkreis ist \(90^\circ\)“ (Satz des Thales), „Peripheriewinkel sind proportional zur Bogenlänge“ und „die gegenüberliegenden Winkel eines Sehnenvierecks ergeben zusammen \(180^\circ\)“.

Symbole und Begriffe

Symbole

\(\angle\)	Winkel	Das Symbol für einen Winkel. \(\angle APB\) ist der Winkel mit dem Scheitelpunkt \(P\), den die beiden Strecken von \(P\) nach \(A\) und \(B\) bilden. Der mittlere Buchstabe ist der Scheitelpunkt.
\(\overset{\frown}{AB}\)	Bogen A B	Das Symbol für den Bogen AB, den Teil des Kreises zwischen zwei Punkten \(A\) und \(B\) auf ihm. Das gebogene Zeichen über den Buchstaben zeigt, dass es der gekrümmte Bogen ist und nicht die gerade Strecke AB.
\(x,\ c\)	x, ze	Auf dieser Seite steht \(x\) für den Peripheriewinkel und \(c\) für den Mittelpunktswinkel. Eine unbekannte Zahl \(x\) zu nennen, ist aus Schulbüchern vertraut, und \(c\) ist der Anfangsbuchstabe von „center“ (Mittelpunkt). Deutsche Schulbücher schreiben für Winkel meist griechische Buchstaben wie \(\alpha\) und \(\beta\) oder \(\gamma\).
\(O\)	O	Der Buchstabe für den Mittelpunkt des Kreises. Er soll vom Anfangsbuchstaben von „Origo“ (Ursprung) stammen. Der Mittelpunktswinkel ist der Winkel mit dem Scheitelpunkt \(O\).
\(P,\ Q\)	Pe, Ku	Buchstaben für Punkte auf dem Kreis, nach der Gewohnheit, \(P\) für „Punkt“ und den nächsten Buchstaben \(Q\) zu verwenden. Der Peripheriewinkel ist der Winkel mit dem Scheitelpunkt \(P\) oder \(Q\).
\(m : n\)	m zu n	Das Verhältnis zweier Größen. Auf dieser Seite ist es das Verhältnis der Längen von Bogen AB und Bogen CD. \(2 : 3\) besagt, dass der Bogen CD \(\dfrac{3}{2}\)-mal so lang ist wie der Bogen AB.
\(^\circ\)	Grad	Das Symbol für das Grad, eine Einheit für Winkel. Teilt man eine volle Umdrehung in 360 gleiche Teile, ist ein Teil \(1^\circ\). Man sagt, 360 sei für eine Umdrehung gewählt worden, weil die Zahl viele Teiler hat und sich gut gleichmäßig teilen lässt.

Begriffe

Peripheriewinkel	Der Winkel, den zwei Sehnen bilden, die von einem Punkt auf dem Kreis zu den Enden \(A\) und \(B\) eines Bogens gezogen werden (auch Umfangswinkel genannt). Er gehört immer zu dem Bogen, auf den er blickt, wie in „der Peripheriewinkel über dem Bogen AB“. Wohin Sie den Scheitelpunkt auf dem Kreis auch verschieben (außerhalb des Bogens AB), seine Größe bleibt gleich.
Mittelpunktswinkel	Der Winkel, den zwei Radien bilden, die vom Mittelpunkt \(O\) zu den Enden \(A\) und \(B\) eines Bogens gezogen werden (auch Zentriwinkel genannt). Zu jedem Bogen gibt es nur einen Mittelpunktswinkel, und er ist genau doppelt so groß wie der Peripheriewinkel über demselben Bogen.
Peripheriewinkelsatz	Der Satz, dass „ein Peripheriewinkel halb so groß ist wie der Mittelpunktswinkel über demselben Bogen“ und dass „Peripheriewinkel über demselben Bogen alle gleich groß sind“ (auch Umfangswinkelsatz genannt). Er ist der zentrale Satz des Themas Kreis in der Sekundarstufe I (etwa Klasse 9–10), und sein Beweis nutzt gleichschenklige Dreiecke und den Außenwinkel eines Dreiecks.
Kreisbogen	Der Teil eines Kreises zwischen zwei Punkten auf ihm. Zwei Punkte teilen den Kreis in zwei Bögen; der kürzere ist der kleinere Kreisbogen, der längere der größere Kreisbogen. Steht nur „Bogen AB“, ist meist der kürzere gemeint.
größerer Kreisbogen	Wenn zwei Punkte einen Kreis in zwei Teile teilen, der Bogen, der länger als ein Halbkreis ist. Sein Mittelpunktswinkel liegt über \(180^\circ\). Der Peripheriewinkelsatz gilt für beide Bögen.
kleinerer Kreisbogen	Wenn zwei Punkte einen Kreis in zwei Teile teilen, der Bogen, der kürzer als ein Halbkreis ist. Sein Mittelpunktswinkel liegt unter \(180^\circ\). Der Peripheriewinkelsatz gilt für beide Bögen.
Sehne	Eine gerade Strecke, die zwei Punkte auf einem Kreis verbindet. Ein Bogen ist der gekrümmte Weg am Kreis entlang, eine Sehne dagegen der geradlinige kürzeste Weg zwischen den beiden Punkten. Die Bogenlänge ist proportional zum Peripheriewinkel, die Sehnenlänge aber nicht.
Durchmesser	Eine Sehne durch den Mittelpunkt eines Kreises. Sie ist die längste Sehne und doppelt so lang wie der Radius. Der Bogen über einem Durchmesser ist genau ein Halbkreis, und der Peripheriewinkel darüber ist immer \(90^\circ\) (Satz des Thales).
Radius	Der Abstand (oder die Strecke) vom Mittelpunkt eines Kreises zu einem Punkt auf ihm. Alle Radien eines Kreises sind gleich lang, und die gleichschenkligen Dreiecke, die dadurch entstehen, sind der Schlüssel zum Beweis des Peripheriewinkelsatzes.
Satz des Thales	Der Satz, dass „ein Winkel im Halbkreis \(90^\circ\) ist“. Er ist ein Spezialfall des Peripheriewinkelsatzes (wenn der Mittelpunktswinkel \(180^\circ\) beträgt). Er ist nach dem antiken griechischen Mathematiker Thales benannt, und auch seine Umkehrung (ist der Peripheriewinkel \(90^\circ\), so ist die Sehne ein Durchmesser) gilt.
Sehnenviereck	Ein Viereck, dessen vier Eckpunkte alle auf einem Kreis liegen (der Kreis heißt Umkreis). Seine gegenüberliegenden Winkel haben die besondere Eigenschaft, dass sie zusammen \(180^\circ\) ergeben.
gegenüberliegende Winkel	Winkel, die sich in einem Viereck gegenüberliegen. Im Viereck ABCD sind \(\angle A\) und \(\angle C\) ein Paar gegenüberliegender Winkel und \(\angle B\) und \(\angle D\) das andere.
gleichschenkliges Dreieck	Ein Dreieck mit zwei gleich langen Seiten. Die beiden Winkel an der dritten Seite (die Basiswinkel) sind gleich groß. Es taucht im Beweis des Peripheriewinkelsatzes auf, weil alle Radien gleich lang sind.
proportional	Eine Beziehung, bei der die eine Größe 2-mal oder 3-mal so groß wird, wenn die andere 2-mal oder 3-mal so groß wird. Bogenlänge und Mittelpunktswinkel sowie Bogenlänge und Peripheriewinkel sind beide proportional.

Was Sie vorab wissen sollten

Hier steht, was hilfreich ist, damit Sie die Berechnung dieser Seite wirklich verstehen und nicht nur den Knopf drücken.
Wenn Sie nicht weiterkommen, ist es der schnellste Weg, zu diesen Themen zurückzugehen.

Begriffe am Kreis (Klasse 3–7, 8–13 Jahre)	Die Wörter Mittelpunkt, Radius, Durchmesser und Umfang kennen und wissen, dass alle Radien eines Kreises gleich lang sind Den Unterschied zwischen einem Kreisbogen (einem Teil des Kreises) und einer Sehne (einer Strecke zwischen zwei Punkten auf dem Kreis) kennen
Winkel und Drehungen (Klasse 4–5, 9–11 Jahre)	Wissen, dass eine volle Drehung \(360^\circ\), eine halbe Drehung (ein gestreckter Winkel) \(180^\circ\) und ein rechter Winkel \(90^\circ\) ist Eine Vorstellung von der Größe eines Winkels haben, wie man ihn mit einem Geodreieck misst
Gleichschenklige Dreiecke (Klasse 7, 12–13 Jahre)	Wissen, dass in einem Dreieck mit zwei gleich langen Seiten die Basiswinkel (die beiden Winkel gegenüber den gleich langen Seiten) gleich groß sind Im Beweis des Peripheriewinkelsatzes wird das so verwendet: „Radien sind gleich lang, also entsteht ein gleichschenkliges Dreieck“
Innen- und Außenwinkel im Dreieck (Klasse 7, 12–13 Jahre)	Wissen, dass die Winkel eines Dreiecks zusammen \(180^\circ\) ergeben und ein Außenwinkel so groß ist wie die Summe der beiden nicht anliegenden Innenwinkel Diese Eigenschaft des Außenwinkels ist der Kern der Erklärung, warum der Mittelpunktswinkel doppelt so groß ist wie der Peripheriewinkel
Verhältnisse und Proportionalität (Klasse 6–7, 11–13 Jahre)	Wissen, was ein Verhältnis wie \(2 : 3\) bedeutet, und mit einem Verhältnis rechnen können, etwa \(30 \times \dfrac{3}{2}\) Eine Vorstellung von proportionalen Beziehungen haben: „Verdoppelt sich das eine, verdoppelt sich auch das andere“
Division und Brüche (Klasse 5–7, 10–13 Jahre)	Eine Division wie \(80 \div 2 = 40\) im Kopf oder schriftlich ausführen können Ein Ergebnis, bei dem die Division nicht aufgeht, als exakten Bruch behandeln können, etwa \(\dfrac{250}{7}\)

Mit Excel berechnen

Kopieren Sie die gesamte Tabelle unten und fügen Sie sie in Zelle A1 von Excel ein. Sie funktioniert unverändert.

Tabelle für Peripheriewinkel → Mittelpunktswinkel

Peripheriewinkel (Grad)	50
Mittelpunktswinkel (Grad)	=B1*2

Tabelle für Mittelpunktswinkel → Peripheriewinkel

Mittelpunktswinkel (Grad)	100
Peripheriewinkel (Grad)	=B1/2

Tabelle für Verhältnis der Bogenlängen → Peripheriewinkel

Verhältnis für Bogen AB, m	2
Verhältnis für Bogen CD, n	3
Peripheriewinkel über Bogen AB (Grad)	30
Peripheriewinkel über Bogen CD (Grad)	=B3*B2/B1

Tabelle für gegenüberliegende Winkel eines Sehnenvierecks

Winkel des Vierecks ∠A (Grad)	110
Gegenüberliegender Winkel ∠C (Grad)	=180-B1

Nach dem Einfügen sind die oberen Zeilen Ihre Eingaben, und die untere Zeile wird automatisch berechnet.
„*“ ist die Multiplikation und „/“ die Division.
Die erste Tabelle bestimmt aus einem Peripheriewinkel von 50° den Mittelpunktswinkel; das Ergebnis ist 100. Die zweite geht den umgekehrten Weg und bestimmt aus einem Mittelpunktswinkel von 100° den Peripheriewinkel 50.
Die dritte Tabelle gilt für Bogen AB : Bogen CD = 2 : 3 bei einem Peripheriewinkel von 30° über dem Bogen AB. Peripheriewinkel sind proportional zur Bogenlänge, das Ergebnis ist also 30 × 3 ÷ 2 = 45.
Die vierte Tabelle gilt für ein Sehnenviereck: Geben Sie für ∠A 110 ein, dann ist der gegenüberliegende Winkel ∠C gleich 70.

Mit Google Tabellen berechnen

Kopieren Sie die gesamte Tabelle unten und fügen Sie sie in Zelle A1 von Google Tabellen ein. Sie funktioniert unverändert.

Tabelle für Peripheriewinkel → Mittelpunktswinkel

Peripheriewinkel (Grad)	50
Mittelpunktswinkel (Grad)	=B1*2

Tabelle für Mittelpunktswinkel → Peripheriewinkel

Mittelpunktswinkel (Grad)	100
Peripheriewinkel (Grad)	=B1/2

Tabelle für Verhältnis der Bogenlängen → Peripheriewinkel

Verhältnis für Bogen AB, m	2
Verhältnis für Bogen CD, n	3
Peripheriewinkel über Bogen AB (Grad)	30
Peripheriewinkel über Bogen CD (Grad)	=B3*B2/B1

Tabelle für gegenüberliegende Winkel eines Sehnenvierecks

Winkel des Vierecks ∠A (Grad)	110
Gegenüberliegender Winkel ∠C (Grad)	=180-B1

Es funktionieren dieselben Formeln wie in Excel. Kopieren Sie die ganze Tabelle, fügen Sie sie in Zelle A1 ein und ersetzen Sie die Winkel und Verhältnisse durch Ihre eigenen Zahlen.

Mit Python berechnen

from fractions import Fraction

# Peripheriewinkel -> Mittelpunktswinkel (der Mittelpunktswinkel ist doppelt so groß wie der Peripheriewinkel)
inscribed_angle = Fraction(250, 7)   # ein Bruch wie 250/7 Grad lässt sich direkt schreiben
central_angle = inscribed_angle * 2
print(f"Peripheriewinkel {inscribed_angle}° -> Mittelpunktswinkel {central_angle}° ≈ {float(central_angle):.2f}°")

# Mittelpunktswinkel -> Peripheriewinkel (der Peripheriewinkel ist halb so groß wie der Mittelpunktswinkel)
central_angle = Fraction(100)
inscribed_angle = central_angle / 2
print(f"Mittelpunktswinkel {central_angle}° -> Peripheriewinkel {inscribed_angle}°")

# Verhältnis der Bogenlängen -> Peripheriewinkel (Peripheriewinkel sind proportional zur Bogenlänge)
arc_ab, arc_cd = Fraction(2), Fraction(3)   # Bogen AB : Bogen CD = 2 : 3
angle_ab = Fraction(30)                     # Peripheriewinkel über dem Bogen AB
angle_cd = angle_ab * arc_cd / arc_ab
print(f"Bogenverhältnis {arc_ab}:{arc_cd}, Peripheriewinkel {angle_ab}° -> anderer Peripheriewinkel {angle_cd}°")

# Gegenüberliegende Winkel eines Sehnenvierecks (sie ergeben zusammen 180 Grad)
angle_a = Fraction(110)
angle_c = 180 - angle_a
print(f"∠A = {angle_a}° -> gegenüberliegender Winkel ∠C = {angle_c}°")

Mit dem Modul fractions aus der Standardbibliothek bleiben Winkel, bei denen die Rechnung nicht aufgeht, etwa 250/7°, exakte Brüche ohne Rundungsfehler. Beim Ausführen erhalten Sie zuerst den Mittelpunktswinkel „500/7°“ mit dem auf zwei Stellen gerundeten Dezimalwert dahinter, dann den Peripheriewinkel 50°, dann den Peripheriewinkel 45° über dem Bogen CD und zuletzt den gegenüberliegenden Winkel 70°. Ändern Sie die Zahlen und starten Sie den Code.

Die Formel in LaTeX und anderen mathematischen Schreibweisen (zum Kopieren)

Peripheriewinkelsatz (ein Peripheriewinkel ist halb so groß wie der Mittelpunktswinkel)

x = c / 2

x = \frac{c}{2}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>x</mi>
    <mo>=</mo>
    <mfrac>
      <mi>c</mi>
      <mn>2</mn>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

x = c/2

x = c/2

x := c/2;

x = c/2;

x = c/2

Peripheriewinkel über demselben Bogen sind gleich groß

∠APB = ∠AQB

\angle APB = \angle AQB

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mo>&#x2220;</mo><mi>A</mi><mi>P</mi><mi>B</mi>
    <mo>=</mo>
    <mo>&#x2220;</mo><mi>A</mi><mi>Q</mi><mi>B</mi>
  </mrow>
</math>

/_ APB = /_ AQB

angleAPB == angleAQB

angleAPB = angleAQB;

angleAPB == angleAQB

∠APB = ∠AQB

Ein Winkel im Halbkreis ist 90° (Satz des Thales)

∠APB = 90°

\angle APB = 90^{\circ}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mo>&#x2220;</mo><mi>A</mi><mi>P</mi><mi>B</mi>
    <mo>=</mo>
    <msup><mn>90</mn><mo>&#x00B0;</mo></msup>
  </mrow>
</math>

/_ APB = 90^circ

angleAPB == 90 Degree

angleAPB = 90;

angleAPB = 90;

∠APB = 90°

Peripheriewinkel sind proportional zur Bogenlänge

x₁ : x₂ = m : n

x_1 : x_2 = m : n

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <msub><mi>x</mi><mn>1</mn></msub>
    <mo>:</mo>
    <msub><mi>x</mi><mn>2</mn></msub>
    <mo>=</mo>
    <mi>m</mi>
    <mo>:</mo>
    <mi>n</mi>
  </mrow>
</math>

x_1 : x_2 = m : n

x1/x2 == m/n

x1/x2 = m/n;

x1/x2 == m/n

x_1 : x_2 = m : n

Gegenüberliegende Winkel eines Sehnenvierecks ergeben zusammen 180°

∠A + ∠C = 180°

\angle A + \angle C = 180^{\circ}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mo>&#x2220;</mo><mi>A</mi>
    <mo>+</mo>
    <mo>&#x2220;</mo><mi>C</mi>
    <mo>=</mo>
    <msup><mn>180</mn><mo>&#x00B0;</mo></msup>
  </mrow>
</math>

/_ A + /_ C = 180^circ

angleA + angleC == 180 Degree

angleA + angleC = 180;

angleA + angleC == 180

∠A + ∠C = 180°

Die Berechnung von ChatGPT ausführen lassen

Sie sind ein Assistent für Berechnungen in der Mathematik (ebene Geometrie und Eigenschaften des Kreises). Führen Sie die folgende Berechnung aus, indem Sie tatsächlich Python-Code ausführen, und stützen Sie Ihre Antwort ausschließlich auf die Zahlen aus dem Ergebnis der Ausführung (rechnen Sie nicht im Kopf und schätzen Sie nicht).

Zeigen Sie mit dem Peripheriewinkelsatz (ein Peripheriewinkel ist halb so groß wie der Mittelpunktswinkel über demselben Bogen) jeweils Folgendes.
1. Den Mittelpunktswinkel, wenn der Peripheriewinkel 250/7° beträgt (sowohl als gekürzter Bruch als auch als Dezimalzahl)
2. Den Peripheriewinkel, wenn der Mittelpunktswinkel 100° beträgt
3. Im selben Kreis mit Bogen AB : Bogen CD = 2 : 3 und einem Peripheriewinkel von 30° über dem Bogen AB den Peripheriewinkel über dem Bogen CD (nutzen Sie, dass Peripheriewinkel proportional zur Bogenlänge sind)
4. In einem Sehnenviereck mit ∠A = 110° den gegenüberliegenden Winkel ∠C (nutzen Sie, dass gegenüberliegende Winkel zusammen 180° ergeben)

Verwenden Sie in Python das Modul fractions aus der Standardbibliothek, um exakt zu rechnen, und zeigen Sie die verwendeten Formeln und die Zahlen aus dem Ergebnis der Ausführung.

Anleitung

1

Zahlen eingeben

Geben Sie die Zahlen, mit denen Sie rechnen möchten, in die Eingabefelder ein
2

Berechnen

Klicken Sie auf die Schaltfläche „Berechnen“
3

Ergebnis ablesen

Das Ergebnis erscheint sofort. Auf derselben Seite finden Sie auch den Rechenweg und die Erklärung der Formel