Wählen Sie die Größe der Matrix (2×2 bis 4×4) und tragen Sie die Elemente in das Raster ein. Eine Determinante gibt es nur für eine quadratische Matrix (Zeilenzahl = Spaltenzahl).
Geben Sie die Elemente als Zahlen ein (Dezimalzahlen und negative Zahlen sind erlaubt).
Ergebnis
Wählen Sie links die Größe der Matrix, geben Sie die Elemente ein und klicken Sie auf „Berechnen“. Der Wert der Determinante und der Rechenweg erscheinen dann hier.
Inhaltsverzeichnis
[
Schließen X
Öffnen
]
-
Das können Sie auf dieser Seite
-
Wofür braucht man diese Berechnung?
-
Anleitung
-
Formel
-
Symbole und Begriffe
-
Das sollten Sie vorher wissen
-
So berechnen Sie es in Excel
-
So berechnen Sie es in Google Tabellen
-
So berechnen Sie es in Python
-
So schreiben Sie die Formel in LaTeX und anderen Formelsprachen (zum Kopieren)
-
So lassen Sie ChatGPT rechnen
-
Die Vorteile von DataChef
-
Verwandte Funktionen
-
Alle Rechner von NumberChef
Das können Sie auf dieser Seite
- Berechnet sofort die Determinante \(\det(A)\) einer 2×2-, 3×3- oder 4×4-Matrix (quadratische Matrix)
- Der Rechenweg folgt den Verfahren aus dem Lehrbuch: „\(ad - bc\)“ bei 2×2, die Regel von Sarrus bei 3×3 und der Laplacesche Entwicklungssatz bei 4×4
- Außerdem erfahren Sie, ob die Matrix invertierbar ist: Bei \(\det(A) \neq 0\) gibt es eine inverse Matrix
- Dazu finden Sie eine leicht verständliche Erklärung der Formeln sowie Formeln zum Kopieren für Excel, Google Tabellen (MDET) und Python
Eine Determinante gibt es nur für eine quadratische Matrix (Zeilenzahl = Spaltenzahl). Addition, Multiplikation, Transponieren und mehr finden Sie auf der Schwesterseite „Matrizenrechner“.
Wofür braucht man diese Berechnung?
Prüfen, ob ein Gleichungssystem genau eine Lösung hat (Cramersche Regel)
Hat ein lineares Gleichungssystem gleich viele Gleichungen wie Unbekannte und ist die Determinante der quadratischen Matrix der Koeffizienten nicht 0, gibt es genau eine Lösung. Ist die Determinante 0, gibt es entweder keine oder unendlich viele Lösungen.
Mit der Cramerschen Regel lässt sich die Lösung sogar allein durch Quotienten von Determinanten angeben. Das gehört zur Theorie hinter technischen Berechnungen mit riesigen Gleichungssystemen, etwa in der Statik oder der Netzwerkberechnung von Stromkreisen.
Um welchen Faktor sich Fläche oder Volumen ändern (Streckfaktor einer linearen Abbildung)
Bildet man eine ebene Figur mit einer 2×2-Matrix ab (drehen, strecken oder stauchen, scheren), wird ihre Fläche genau mit \(|\det(A)|\) multipliziert. Bei einem Körper und einer 3×3-Matrix wird das Volumen mit \(|\det(A)|\) multipliziert.
Diese Rolle als Streckfaktor taucht in der Analysis im Studium wieder auf – als Korrekturfaktor bei der Substitution in Mehrfachintegralen (Jacobi- oder Funktionaldeterminante) – und wird überall in Naturwissenschaft und Technik genutzt.
„Umgeklappte“ Figuren in 3D-Grafik und Spielen erkennen
3D-Grafiksoftware und Spiel-Engines transformieren Modelle mit Matrizen. Ist die Determinante einer Transformationsmatrix negativ, spiegelt die Transformation das Modell, und Vorder- und Rückseite jeder Fläche (die Richtung ihres Normalenvektors) werden vertauscht.
Deshalb prüft Grafiksoftware das Vorzeichen der Determinante, erkennt so das Umklappen und korrigiert es, damit die Darstellung nicht kaputtgeht.
Fläche aus Koordinaten berechnen (Vermessung und Karten)
Kennt man die Koordinaten der Eckpunkte eines Dreiecks, ist seine Fläche die Hälfte des Betrags einer Determinante aus diesen Koordinaten. Auf Vielecke erweitert heißt das Gaußsche Trapezformel (gaußsche Flächenformel) – ein Standardverfahren für Grundstücksflächen in der Vermessung und in Kartensoftware (GIS).
Das Geheimnis hinter „Koordinaten eingeben, Fläche erhalten“ ist genau die Determinante.
Das Tor zu den Eigenwerten (Schwingungsanalyse und Datenanalyse)
Die Schwingungsanalyse, die untersucht, wie ein Gebäude oder eine Maschine zu schwingen neigt, und die Hauptkomponentenanalyse, die die wichtigsten Trends aus großen Datenmengen herausholt, nutzen beide besondere Werte einer Matrix, die Eigenwerte.
Eigenwerte bestimmt man aus der Gleichung „finde \(\lambda\) mit \(\det(A - \lambda E) = 0\)“ (dem charakteristischen Polynom; \(E\) ist die Einheitsmatrix). Die Determinante ist also auch das Tor zu diesem weiterführenden Werkzeug.
Formel
2×2-Determinante (ad − bc)
Mathematische Schreibweise
(die übliche Formel)
\(\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}\)
\(=\)
\(ad\)
\(-\)
\(bc\)
In Worten
(Symbole durch Wörter ersetzt)
③
\(\det(A)\): 2×2-Determinante
\(=\)
①
\(ad\): links oben × rechts unten
\(-\)
②
\(bc\): rechts oben × links unten
Die Formel in Worten
①
Zieht man vom
\(ad\): Produkt links oben × rechts unten
das
②
\(bc\): Produkt rechts oben × links unten
ab, erhält man die
③
\(\det(A)\): 2×2-Determinante
.
Einfaches Beispiel
Die Determinante der Matrix \(\begin{pmatrix} 4 & 7 \\ 2 & 6 \end{pmatrix}\) ist
\(\det(A)\): Determinante
\(=\)
links oben × rechts unten (\(4 \cdot 6\))
\(-\)
rechts oben × links unten (\(7 \cdot 2\))
\(\begin{vmatrix} 4 & 7 \\ 2 & 6 \end{vmatrix} = 4 \cdot 6 - 7 \cdot 2 = 24 - 14 = 10\)
Der Grundgedanke
Die Diagonale von links oben nach rechts unten (Hauptdiagonale) bekommt „+“, die Diagonale von rechts oben nach links unten (Nebendiagonale) bekommt „−“. Man multipliziert also nur über Kreuz und subtrahiert – leicht zu merken als „Hauptdiagonale minus Nebendiagonale“.
Statt \(\det(A)\) schreibt man die Determinante auch \(|A|\) (die Striche sehen aus wie beim Betrag, haben hier aber eine andere Aufgabe). Eine Matrix mit \(\det(A) = 0\) heißt „nicht invertierbar“ (singulär); sie hat keine inverse Matrix.
3×3-Determinante (Regel von Sarrus)
Mathematische Schreibweise
(die übliche Formel)
\(\det(A)\)
\(=\)
\(aei + bfg + cdh\)
\(-\)
\((ceg + afh + bdi)\)
In Worten
(Symbole durch Wörter ersetzt)
③
\(\det(A)\): 3×3-Determinante
\(=\)
①
Summe der Produkte auf den 3 Diagonalen nach rechts unten
\(-\)
②
Summe der Produkte auf den 3 Diagonalen nach rechts oben
Die Formel in Worten
①
Nennt man die Elemente \(A = \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix}\), so zieht man von der
Summe der Produkte auf den 3 Diagonalen nach rechts unten (\(aei + bfg + cdh\))
die
②
Summe der Produkte auf den 3 Diagonalen nach rechts oben (\(ceg + afh + bdi\))
ab und erhält die
③
\(\det(A)\): 3×3-Determinante
.
Einfaches Beispiel
Die Determinante von \(\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ -1 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}\) ist
\(1 \cdot 3 \cdot 1 + 0 \cdot 1 \cdot 1 + 2 \cdot (-1) \cdot 1 = 3 + 0 - 2 = 1\)
\(2 \cdot 3 \cdot 1 + 1 \cdot 1 \cdot 1 + 0 \cdot (-1) \cdot 1 = 6 + 1 + 0 = 7\)
\(\begin{vmatrix} 1 & 0 & 2 \\ -1 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = 1 - 7 = -6\)
Der Grundgedanke
Die Regel von Sarrus ist einfacher, wenn Sie die 1. und 2. Spalte noch einmal rechts neben die Matrix schreiben. Dann gibt es 3 Diagonalen von links oben nach rechts unten (\(aei\), \(bfg\), \(cdh\), alle „+“) und 3 Diagonalen von rechts oben nach links unten (\(ceg\), \(afh\), \(bdi\), alle „−“), insgesamt 6 Produkte. Wegen des Zickzackmusters dieser Linien heißt sie im Unterricht auch „Jägerzaunregel“.
Die Regel von Sarrus gilt aber nur bis 3×3 (die 2×2-Formel \(ad-bc\) folgt derselben Idee). Für 4×4 und größer funktioniert sie nicht – dann nehmen Sie den Laplaceschen Entwicklungssatz unten.
Laplacescher Entwicklungssatz (das allgemeine Verfahren, auch für 4×4 und größer)
Mathematische Schreibweise
(die übliche Formel)
\(\det(A)\)
\(=\)
\(\sum_{j=1}^{n}\)
\((-1)^{1+j}\)
\(a_{1j}\)
\(M_{1j}\)
In Worten
(Symbole durch Wörter ersetzt)
⑤
\(\det(A)\): \(n\)×\(n\)-Determinante
\(=\)
④
für \(j = 1\) bis \(n\) addieren
③
\((-1)^{1+j}\): Vorzeichen (abwechselnd + − + − …)
①
\(a_{1j}\): Element in Zeile 1, Spalte \(j\)
②
\(M_{1j}\): Unterdeterminante ohne Zeile 1 und Spalte \(j\)
Die Formel in Worten
①
Man multipliziert das
\(a_{1j}\): Element in Zeile 1, Spalte \(j\)
mit der
②
\(M_{1j}\): Unterdeterminante, also der Determinante, die nach dem Streichen von Zeile 1 und Spalte \(j\) übrig bleibt
, versieht das Produkt mit dem
③
\((-1)^{1+j}\): Vorzeichen (abwechselnd + − + − …)
und
④
addiert alles für \(j = 1\) bis \(n\)
– das ergibt die
⑤
\(\det(A)\): \(n\)×\(n\)-Determinante
.
Einfaches Beispiel
Entwickelt man das 3×3-Beispiel oben nach der 1. Zeile, ergibt sich (dasselbe Ergebnis wie mit der Regel von Sarrus)
\(\begin{vmatrix} 1 & 0 & 2 \\ -1 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} - 0 \cdot \begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} + 2 \cdot \begin{vmatrix} -1 & 3 \\ 1 & 1 \end{vmatrix}\)
\(= 1 \cdot 2 - 0 \cdot (-2) + 2 \cdot (-4) = 2 - 0 - 8 = -6\)
Der Grundgedanke
Der Laplacesche Entwicklungssatz (Laplace-Entwicklung) zerlegt eine große Determinante in eine Kombination von Determinanten, die eine Nummer kleiner sind (Unterdeterminanten). Aus einer 4×4-Determinante werden vier 3×3-Determinanten, und jede davon lässt sich mit der Regel von Sarrus (oder durch erneutes Entwickeln) berechnen. So zeigt dieser Rechner den Rechenweg bei 4×4-Matrizen.
Sie müssen nicht nach der 1. Zeile entwickeln; jede Zeile und jede Spalte liefert dasselbe Ergebnis. Wählen Sie eine Zeile oder Spalte mit vielen Nullen, fallen diese Summanden weg und die Rechnung wird kürzer. Die Vorzeichen \((-1)^{i+j}\) wechseln wie auf einem Schachbrett zwischen + und −, beginnend mit „+“ links oben (Schachbrettregel).
Eine Determinante ist „eine Zahl, die zu einer quadratischen Matrix gehört“. Bei 2×2 rechnet man \(ad - bc\), bei 3×3 mit der Regel von Sarrus und ab 4×4 mit dem Laplaceschen Entwicklungssatz. Ob \(\det(A) \neq 0\) ist, zeigt, ob es eine inverse Matrix gibt (und damit, ob das zugehörige Gleichungssystem genau eine Lösung hat).
Symbole und Begriffe
Symbole
| \(A\) | A | Der Name einer Matrix. Üblicherweise bezeichnet man Matrizen mit Großbuchstaben. |
| \(\det(A),\ |A|\) | Determinante von A | Die Determinante der Matrix \(A\). Die Schreibweise mit senkrechten Strichen \(|A|\) ist ebenso üblich (dasselbe Zeichen wie der Betrag einer Zahl, um eine Matrix bedeutet es aber die Determinante). |
| \(a_{ij}\) | a i j | Das Element der Matrix \(A\) in Zeile \(i\), Spalte \(j\) (die Zahl in der \(i\)-ten Zeile von oben und der \(j\)-ten Spalte von links). Die kleinen Buchstaben rechts unten (die Indizes) geben die Position an – „Zeile zuerst, Spalte später“. |
| \(M_{ij}\) | M i j | Eine Unterdeterminante: die Determinante der um eins kleineren Matrix, die nach dem Streichen von Zeile \(i\) und Spalte \(j\) aus \(A\) übrig bleibt. |
| \((-1)^{i+j}\) | minus 1 hoch i plus j | Das Vorzeichen beim Laplaceschen Entwicklungssatz. Es ist \(+1\), wenn \(i+j\) gerade ist, und \(-1\), wenn \(i+j\) ungerade ist – + und − wechseln wie auf einem Schachbrett, mit „+“ links oben. |
| \(\sum\) | Summenzeichen (Sigma) | Das Zeichen für „alles addieren“. \(\sum_{j=1}^{n}\) bedeutet: die Summanden für jedes \(j\) von 1 bis \(n\) addieren. |
Begriffe
| Determinante | Eine Zahl, die zu einer quadratischen Matrix gehört. Sie fasst wichtige Eigenschaften der Matrix in einer Zahl zusammen (ob es eine Inverse gibt, um welchen Faktor eine Abbildung Flächen oder Volumen verändert usw.). |
| quadratische Matrix | Eine Matrix mit gleich vielen Zeilen und Spalten (quadratisch). Determinanten und Inverse gibt es nur für quadratische Matrizen. |
| Regel von Sarrus | Ein Verfahren, eine 3×3-Determinante durch Addieren und Subtrahieren der Produkte entlang von 6 Diagonalen zu berechnen, im Unterricht auch „Jägerzaunregel“ genannt. Benannt nach dem französischen Mathematiker Pierre Frédéric Sarrus; sie gilt nur für 3×3-Matrizen. |
| Laplacescher Entwicklungssatz | Ein Verfahren, das eine Determinante in eine Summe aus „Element × Unterdeterminante × Vorzeichen“ (also „Element × Kofaktor“) zerlegt und so auf Determinanten zurückführt, die eine Nummer kleiner sind. Auch Laplace-Entwicklung oder Entwicklung nach einer Zeile (Spalte) genannt; damit berechnet man auch Determinanten ab 4×4. |
| Unterdeterminante (Minor) | Die Determinante der kleineren Matrix, die nach dem Streichen einer Zeile und einer Spalte übrig bleibt. Sie ist ein Baustein des Laplaceschen Entwicklungssatzes. |
| Kofaktor (algebraisches Komplement) | Eine Unterdeterminante \(M_{ij}\), multipliziert mit dem Vorzeichen \((-1)^{i+j}\). Die Laplace-Entwicklung ist genau die Summe „Element × Kofaktor“ entlang einer Zeile oder Spalte (im Englischen heißt sie deshalb cofactor expansion). |
| invertierbar (regulär) | Eine quadratische Matrix heißt invertierbar (oder regulär), wenn ihre Determinante nicht 0 ist; sie hat dann eine Inverse. Eine Matrix mit der Determinante 0 heißt singulär und hat keine Inverse. |
| inverse Matrix | Die Matrix, die multipliziert die Einheitsmatrix ergibt (1 auf der Hauptdiagonale, sonst 0). Sie ist das Gegenstück zum Kehrwert einer Zahl und wird \(A^{-1}\) geschrieben. Es gibt sie nur, wenn die Determinante nicht 0 ist. |
| lineare Algebra | Das Teilgebiet der Mathematik, das sich mit Matrizen und Vektoren beschäftigt. Im Studium ist es meist eine Pflichtvorlesung der ersten Semester und die Grundlage für Computergrafik, Statistik, KI und vieles mehr. |
Das sollten Sie vorher wissen
Hier steht, was Ihnen hilft, die Berechnung auf dieser Seite wirklich zu verstehen – nicht nur auf den Knopf zu drücken.
| Grundrechenarten mit negativen Zahlen (Klasse 6–7, 11–13 Jahre) |
|
| Variablen und Indizes (Klasse 5 bis Oberstufe, 10–18 Jahre) |
|
| Potenzen und Vorzeichen (Klasse 6–7, 11–13 Jahre) |
|
| Grundlagen der Matrizen (Oberstufe bzw. lineare Algebra im Studium) |
|
So berechnen Sie es in Excel
Kopieren Sie die ganze Tabelle und fügen Sie sie in Zelle A1 von Excel ein – dann funktioniert sie direkt.
Tabelle für eine 2×2-Determinante
| Zeile 1 von Matrix A | 4 | 7 |
| Zeile 2 von Matrix A | 2 | 6 |
| Determinante det(A) | =MDET(B1:C2) |
Tabelle für eine 3×3-Determinante
| Zeile 1 von Matrix A | 1 | 0 | 2 |
| Zeile 2 von Matrix A | -1 | 3 | 1 |
| Zeile 3 von Matrix A | 1 | 1 | 1 |
| Determinante det(A) | =MDET(B1:D3) |
Tabelle für eine 4×4-Determinante
| Zeile 1 von Matrix A | 1 | 2 | 0 | 1 |
| Zeile 2 von Matrix A | 0 | 1 | 3 | 2 |
| Zeile 3 von Matrix A | 2 | 0 | 1 | 1 |
| Zeile 4 von Matrix A | 1 | 1 | 0 | 2 |
| Determinante det(A) | =MDET(B1:E4) |
Die Funktion MDET allein liefert die Determinante. Geben Sie ihr nur den Bereich der quadratischen Matrix (in der ersten Tabelle B1:C2), und das Ergebnis steht in einer einzigen Zelle.
Die erste Tabelle ergibt 10, die zweite -6 und die dritte 18.
Liefert MDET den Wert 0, hat die Matrix keine Inverse (die Funktion MINV, die die Inverse berechnet, gibt dann einen Fehler aus).
Die erste Tabelle ergibt 10, die zweite -6 und die dritte 18.
Liefert MDET den Wert 0, hat die Matrix keine Inverse (die Funktion MINV, die die Inverse berechnet, gibt dann einen Fehler aus).
So berechnen Sie es in Google Tabellen
Kopieren Sie die ganze Tabelle und fügen Sie sie in Zelle A1 von Google Tabellen ein – dann funktioniert sie direkt.
Tabelle für eine 2×2-Determinante
| Zeile 1 von Matrix A | 4 | 7 |
| Zeile 2 von Matrix A | 2 | 6 |
| Determinante det(A) | =MDET(B1:C2) |
Tabelle für eine 3×3-Determinante
| Zeile 1 von Matrix A | 1 | 0 | 2 |
| Zeile 2 von Matrix A | -1 | 3 | 1 |
| Zeile 3 von Matrix A | 1 | 1 | 1 |
| Determinante det(A) | =MDET(B1:D3) |
Dieselbe Funktion MDET wie in Excel funktioniert unverändert. Kopieren Sie die ganze Tabelle und fügen Sie sie in Zelle A1 ein.
Die erste Tabelle ergibt 10, die zweite -6.
Die erste Tabelle ergibt 10, die zweite -6.
So berechnen Sie es in Python
A = [[1, 0, 2], [-1, 3, 1], [1, 1, 1]]
def determinant(matrix): # Laplace-Entwicklung (rekursiv nach der 1. Zeile)
n = len(matrix)
if n == 1:
return matrix[0][0]
total = 0
for j in range(n):
minor = [row[:j] + row[j + 1:] for row in matrix[1:]] # Untermatrix ohne Zeile 1 und Spalte j
total += (-1) ** j * matrix[0][j] * determinant(minor)
return total
print("det(A) =", determinant(A))
Der Code kommt mit der Standardbibliothek aus. Ersetzen Sie A oben durch Ihre eigene Matrix (jede quadratische Matrix, auch 4×4 oder größer) und führen Sie ihn aus. Dieses Beispiel ergibt det(A) = -6. Für ernsthafte numerische Arbeit ist die Bibliothek NumPy der Standard, die eigens für Matrizen gemacht ist (numpy.linalg.det(A)).
So schreiben Sie die Formel in LaTeX und anderen Formelsprachen (zum Kopieren)
2×2-Determinante (ad − bc)
|A| = ad − bc
\det(A) = \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>det</mi><mo>⁡</mo><mrow><mo>(</mo><mi>A</mi><mo>)</mo></mrow>
<mo>=</mo>
<mi>a</mi><mi>d</mi>
<mo>-</mo>
<mi>b</mi><mi>c</mi>
</mrow>
</math>
det(A) = |(a, b), (c, d)| = ad - bc
Det[{{a, b}, {c, d}}]
LinearAlgebra:-Determinant(Matrix([[a, b], [c, d]]));
d = det(A);
det(A) = ad − bc
3×3-Determinante (Regel von Sarrus)
|A| = aei + bfg + cdh − ceg − afh − bdi
\det(A) = aei + bfg + cdh - ceg - afh - bdi
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>det</mi><mo>⁡</mo><mrow><mo>(</mo><mi>A</mi><mo>)</mo></mrow>
<mo>=</mo>
<mi>a</mi><mi>e</mi><mi>i</mi>
<mo>+</mo>
<mi>b</mi><mi>f</mi><mi>g</mi>
<mo>+</mo>
<mi>c</mi><mi>d</mi><mi>h</mi>
<mo>-</mo>
<mi>c</mi><mi>e</mi><mi>g</mi>
<mo>-</mo>
<mi>a</mi><mi>f</mi><mi>h</mi>
<mo>-</mo>
<mi>b</mi><mi>d</mi><mi>i</mi>
</mrow>
</math>
det(A) = aei + bfg + cdh - ceg - afh - bdi
Det[{{a, b, c}, {d, e, f}, {g, h, i}}]
LinearAlgebra:-Determinant(Matrix([[a, b, c], [d, e, f], [g, h, i]]));
d = det(A);
det(A) = aei + bfg + cdh − ceg − afh − bdi
Laplacescher Entwicklungssatz (das allgemeine Verfahren, auch für 4×4 und größer)
det(A) = Σ (−1)¹⁺ʲ a₁ⱼ M₁ⱼ (j = 1 bis n)
\det(A) = \sum_{j=1}^{n} (-1)^{1+j} a_{1j} M_{1j}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>det</mi><mo>⁡</mo><mrow><mo>(</mo><mi>A</mi><mo>)</mo></mrow>
<mo>=</mo>
<munderover>
<mo>∑</mo>
<mrow><mi>j</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow>
<mi>n</mi>
</munderover>
<msup>
<mrow><mo>(</mo><mo>-</mo><mn>1</mn><mo>)</mo></mrow>
<mrow><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>j</mi></mrow>
</msup>
<msub><mi>a</mi><mrow><mn>1</mn><mi>j</mi></mrow></msub>
<msub><mi>M</mi><mrow><mn>1</mn><mi>j</mi></mrow></msub>
</mrow>
</math>
det(A) = sum_(j=1)^(n) (-1)^(1+j) a_(1j) M_(1j)
Det[A]
LinearAlgebra:-Determinant(A);
d = det(A);
det(A) = ∑_(j=1)^n (−1)^(1+j) a_1j M_1j
So lassen Sie ChatGPT rechnen
Sie sind ein Rechenassistent für Matrizen. Führen Sie die folgende Berechnung aus, indem Sie tatsächlich Python-Code ausführen, und stützen Sie Ihre Antwort nur auf die Zahlen aus dem Ausführungsergebnis (nicht im Kopf rechnen und nicht schätzen). Bestimmen Sie die Determinante (det) der folgenden beiden quadratischen Matrizen (zeilenweise geschrieben). 1. A = [[1, 0, 2], [-1, 3, 1], [1, 1, 1]] 2. B = [[1, 2], [2, 4]] Geben Sie jeweils den Wert der Determinante an und ob die Matrix invertierbar ist (ob die Determinante ungleich 0 ist, also ob es eine inverse Matrix gibt). Antworten Sie auf Deutsch.
Anleitung
-
1Werte eingebenTragen Sie die Zahlen, mit denen Sie rechnen möchten, in die Eingabefelder ein
-
2BerechnenKlicken Sie auf die Schaltfläche „Berechnen“
-
3Ergebnis ansehenDas Ergebnis erscheint sofort. Auf derselben Seite finden Sie auch den Rechenweg und die Erklärung der Formel
Die Vorteile von DataChef
Einfach und kostenlos
Kostenlose Umwandlung ohne Limit
Kein Fachwissen nötig – einfach und intuitiv
Kein Fachwissen nötig – einfach und intuitiv
Keine Anmeldung erforderlich
Sofort nach dem Öffnen der Seite nutzbar
Keine persönlichen Daten erforderlich
Keine persönlichen Daten erforderlich
Sicher und geschützt
Stark verschlüsselte Verbindung (SSL)
Die Datei wird nach dem Download automatisch gelöscht
Die Datei wird nach dem Download automatisch gelöscht
Schnell
Schnelle Anzeige und Umwandlung – ganz ohne Wartezeit
Keine Wasserzeichen
Kein Wasserzeichen
Keine Quellenangabe nötig
Keine Quellenangabe nötig
Kommerzielle Nutzung möglich
Kostenlos auch für die kommerzielle Nutzung
Keine vorherige Genehmigung erforderlich
Keine vorherige Genehmigung erforderlich
Verwandte Funktionen
Matrizenrechner – Matrizen addieren, multiplizieren, transponieren und potenzieren
Rechnen mit Matrizen selbst. Dort werden auch die Grundlagen wie Zeilen, Spalten und Elemente erklärt
Inverse Matrix berechnen (2×2, 3×3, 4×4)
Die inverse Matrix A⁻¹, die es nur bei det(A) ≠ 0 gibt – mit Prüfung, ob sie existiert, und Rechenweg
Flächeninhalt eines Dreiecks berechnen – aus drei Seiten mit dem Satz des Heron
Die Fläche eines Dreiecks aus drei Seitenlängen. Mit einer Determinante erhalten Sie die Fläche übrigens auch aus den Koordinaten der Eckpunkte
Quadratische Gleichung lösen – Mitternachtsformel (abc-Formel) mit Diskriminante und komplexen Lösungen
Eine verwandte Seite, die ebenfalls „anhand eines Werts entscheidet“ – an der Diskriminante b²−4ac sieht man, welche Lösungen es gibt
Ad 
