Geben Sie A, B und n des Terms (Ax+B)ⁿ ein. Die Formel darunter ist mit den Eingabefeldern verknüpft; Sie können sie auch direkt ändern. Unter „Gesucht“ wählen Sie, ob alle Glieder ausmultipliziert oder nur ein Glied bestimmt werden soll.
Dezimalzahlen, negative Zahlen und Brüche wie 3/4 sind möglich. Der Exponent n ist eine ganze Zahl von 0 bis 12.
Ergebnis und Figur
Geben Sie links die Zahlen und den Exponenten ein und klicken Sie auf „Berechnen“. Hier erscheinen dann der ausmultiplizierte Term und das Pascalsche Dreieck.
Inhaltsverzeichnis
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Das können Sie auf dieser Seite
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Wofür braucht man diese Berechnung?
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Anleitung
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Formeln und Abbildungen
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Symbole und Begriffe
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Das sollten Sie vorher wissen
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So berechnen Sie es in Excel
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So berechnen Sie es in Google Tabellen
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So berechnen Sie es in Python
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So schreiben Sie die Formel in LaTeX und anderen Formelsprachen (zum Kopieren)
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So lassen Sie ChatGPT rechnen
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Das können Sie auf dieser Seite
- Sie multiplizieren \((Ax+B)^{n}\) (\(n\) von 0 bis 12) mit dem binomischen Lehrsatz aus und sehen das Ergebnis sofort nach absteigenden Potenzen von \(x\) geordnet
- Brauchen Sie nur den Koeffizienten von \(x^{3}\), geben Sie den Exponenten von \(x\) (oder die Nummer des Glieds) an und bestimmen nur dieses eine Glied
- Bei einem einzelnen Glied sehen Sie auch den Wert des Binomialkoeffizienten \(\binom{n}{k}\) und den Rechenweg mit \(\dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}\)
- Das Pascalsche Dreieck wird bis zur Zeile \(n\) gezeichnet, die verwendete Zeile ist farbig markiert
- Für \(A\) und \(B\) sind Dezimalzahlen, negative Zahlen und Brüche wie 3/4 möglich. Die Koeffizienten werden exakt als gekürzte Brüche berechnet
- Außerdem finden Sie hier eine leicht verständliche Erklärung und Formeln zum Kopieren für Excel, Google Tabellen und Python
Möglich ist die Form \((Ax+B)^{n}\) (\(n\) ganze Zahl von 0 bis 12). Gebrochene oder negative Exponenten (binomische Reihe) und Terme mit drei oder mehr Gliedern (Multinomialsatz) werden nicht unterstützt.
Wofür braucht man diese Berechnung?
Die Wahrscheinlichkeit für k Treffer bei n Versuchen (Qualitätskontrolle, Umfragen, klinische Studien)
Wiederholt man ein Zufallsexperiment \(n\)-mal mit immer derselben Trefferwahrscheinlichkeit \(p\), ohne dass sich die Durchgänge beeinflussen, dann ist die Wahrscheinlichkeit für genau \(k\) Treffer \(\binom{n}{k} p^{k}(1-p)^{n-k}\). Das ist genau ein Glied von \((p + (1-p))^n\), ausmultipliziert mit dem binomischen Lehrsatz, und diese Verteilung heißt Binomialverteilung.
Hat eine Fertigung zum Beispiel immer 3 % Ausschuss und Sie ziehen 10 Teile, ist die Wahrscheinlichkeit für kein einziges fehlerhaftes Teil das Glied mit \(k = 0\): \(0{,}97^{10} \approx 0{,}737\), also etwa 74 %. Umgekehrt findet eine Stichprobe von 10 Teilen nur in etwa 26 % der Fälle einen Fehler. Dieselbe Idee steckt hinter dem Stichprobenumfang bei Prüfungen, der Fehlerspanne von Umfragen und der Frage, ob ein neues Medikament wirkt.
Merkmale bei Nachkommen vorhersagen (Biologie und Landwirtschaft)
Haben beide Eltern die Genkombination \(\mathrm{Aa}\), treten bei den Kindern die Genotypen im Verhältnis \(\mathrm{AA} : \mathrm{Aa} : \mathrm{aa} = 1 : 2 : 1\) auf (Mendelsche Regeln). Das 1, 2, 1 entsteht, weil jedes Elternteil \(\mathrm{A}\) oder \(\mathrm{a}\) mit der Wahrscheinlichkeit \(\dfrac{1}{2}\) weitergibt: \(\left(\dfrac{1}{2}\mathrm{A} + \dfrac{1}{2}\mathrm{a}\right)^{2} = \dfrac{1}{4}\left(\mathrm{AA} + 2\,\mathrm{Aa} + \mathrm{aa}\right)\). Das sind die Binomialkoeffizienten, dieselben Zahlen wie in der Zeile \(n = 2\) des Pascalschen Dreiecks.
Bei mehreren Merkmalen oder wenn man nach der Zahl der Kinder aufschlüsselt, wird es von Hand schnell unübersichtlich. Fragen wie „Wie wahrscheinlich haben genau 2 von 4 Geschwistern das Merkmal?“ beantwortet der binomische Lehrsatz in einem Schritt. Pflanzen- und Tierzucht sowie die genetische Beratung schätzen erwartete Anteile auf diese Weise ab.
Zinseszins und Wachstum schnell abschätzen (Geld und Wirtschaft)
Geld, das \(n\) Jahre zum Zinssatz \(r\) angelegt wird, wächst um den Faktor \((1+r)^{n}\). Mit dem binomischen Lehrsatz ausmultipliziert ergibt das \(1 + nr + \binom{n}{2} r^{2} + \cdots\). Der erste Teil \(1 + nr\) ist der einfache Zins, der Rest sind die „Zinsen auf die Zinsen“.
Bei 1 % pro Jahr über 10 Jahre ist zum Beispiel \(1{,}01^{10} = 1{,}10462\ldots\), aber schon die ersten drei Glieder \(1 + 0{,}1 + 0{,}0045\) ergeben 1,1045 – fast denselben Wert. Die weiteren Glieder werden immer kleiner, deshalb eignet sich das gut zum Überschlagen im Kopf. Zinssätze, Inflationsraten und Bevölkerungswachstum – alles, was jedes Jahr um denselben Prozentsatz wächst – hat diese Form.
Die Wirkung kleiner Änderungen abschätzen (Technik, Physik, Messtechnik)
In Konstruktion und Messtechnik muss man oft schnell wissen, wie stark sich ein Ergebnis ändert, wenn sich etwas leicht ändert. Multipliziert man mit dem binomischen Lehrsatz aus und lässt die kleinen quadratischen und höheren Glieder weg, erhält man die Näherung \((1+x)^{n} \approx 1 + nx\).
Wird zum Beispiel jede Kante eines Würfels 1 % länger, wächst das Volumen auf das \((1+0{,}01)^{3} = 1{,}030301\)-Fache, also um etwa 3 %. Die Näherung liefert \(1 + 3 \cdot 0{,}01 = 1{,}03\), fast dasselbe. Die Faustregel „1 % Fehler bei der Länge bedeutet etwa 3 % Fehler beim Volumen“ nutzt man direkt, um Toleranzen festzulegen und Messfehler abzuschätzen.
Alle Auswahlmöglichkeiten zählen (Kombinationen und Abzählen)
Entscheiden Sie bei \(n\) Optionen jeweils frei „ja oder nein“, gibt es insgesamt \(2^{n}\) Kombinationen. Das ist der binomische Lehrsatz mit \(a = b = 1\), \(\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} = 2^{n}\), und zugleich die Summe jeder Zeile des Pascalschen Dreiecks.
Gibt es für eine Pizza zum Beispiel 5 Beläge zur Auswahl, kann man sie auf \(2^{5} = 32\) Arten bestellen – die Margherita ohne Extra-Belag mitgezählt. Die Zeile liefert auch die Aufteilung: Mit genau 2 Belägen gibt es \(\binom{5}{2} = 10\) Möglichkeiten. So zählt man Auswahlmöglichkeiten überall, etwa bei Menükombinationen, Antwortmustern in Umfragen und Testfällen für Software.
Formeln und Abbildungen
Der binomische Lehrsatz
Abbildung
Mathematische Schreibweise
(die übliche Formel)
\((a+b)^{n}\)
\(=\)
\(\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\)
\(\binom{n}{k}\)
\(a^{n-k}\)
\(b^{k}\)
In Worten
(Symbole durch Wörter ersetzt)
⑤
\((a+b)^n\): \(n\) Klammern \((a+b)\) miteinander multipliziert
\(=\)
④
alles addieren, wobei \(k\), die Anzahl der gewählten \(b\), von 0 bis \(n\) läuft
①
\(\binom{n}{k}\): Möglichkeiten, \(k\) aus \(n\) auszuwählen
②
\(a^{n-k}\): \((n-k)\)-mal \(a\) multipliziert
③
\(b^{k}\): \(k\)-mal \(b\) multipliziert
Die Formel in Worten
①
Man multipliziert
\(\binom{n}{k}\): Möglichkeiten, \(k\) aus \(n\) auszuwählen
②
mit
\(a^{n-k}\): \((n-k)\)-mal \(a\) multipliziert
③
und mit
\(b^{k}\): \(k\)-mal \(b\) multipliziert
④
und rechnet
alles addieren, wobei \(k\), die Anzahl der gewählten \(b\), von 0 bis \(n\) läuft
⑤
– so erhält man
\((a+b)^n\): \(n\) Klammern \((a+b)\) miteinander multipliziert
Einfaches Beispiel
\((a+b)^{3}\) ausmultipliziert ergibt (die Koeffizienten 1, 3, 3, 1 sind die Werte von \(\binom{3}{0}\) bis \(\binom{3}{3}\))
3 Klammern \((a+b)\) miteinander multipliziert
\(=\)
alles addieren, \(k\) (Anzahl der \(b\)) läuft von 0 bis 3
Möglichkeiten, \(k\) aus 3 auszuwählen
\((3-k)\)-mal \(a\) multipliziert
\(k\)-mal \(b\) multipliziert
\((a+b)^{3} = \binom{3}{0}a^{3} + \binom{3}{1}a^{2}b + \binom{3}{2}ab^{2} + \binom{3}{3}b^{3}\)
\(= a^{3} + 3a^{2}b + 3ab^{2} + b^{3}\)
Der Grundgedanke
\((a+b)^n\) bedeutet: „Schreibe die Klammer \((a+b)\) \(n\)-mal hin und multipliziere.“ Beim Ausmultiplizieren nimmt man aus jeder Klammer entweder \(a\) oder \(b\), multipliziert die gewählten Teile und addiert die Ergebnisse aller möglichen Auswahlen.
Für die Frage „Aus welchen \(k\) der \(n\) Klammern nehme ich \(b\)?“ gibt es \(\binom{n}{k}\) Möglichkeiten. Dasselbe Glied \(a^{n-k}b^{k}\) kommt also \(\binom{n}{k}\)-mal vor, und zusammengefasst ist sein Koeffizient \(\binom{n}{k}\). Mehr sagt der binomische Lehrsatz nicht. (\(\binom{n}{k}\) liest man „n über k“; auf dem Taschenrechner heißt die Taste nCr.)
Die Abbildung oben zeigt \((a+b)^2\) als Fläche eines Quadrats. Es gibt zwei Rechtecke \(ab\), also \(2ab\) – die Koeffizienten 1, 2, 1 sieht man direkt. Das ist die erste binomische Formel aus der Mittelstufe; der binomische Lehrsatz verallgemeinert sie auf jede Potenz \(n\).
Das allgemeine Glied (das \((k+1)\)-te Glied)
Abbildung
Mathematische Schreibweise
(die übliche Formel)
\(T_{k+1}\)
\(=\)
\(\binom{n}{k}\)
\(a^{n-k}\)
\(b^{k}\)
In Worten
(Symbole durch Wörter ersetzt)
④
\(T_{k+1}\): das \((k+1)\)-te Glied der ausmultiplizierten Form
\(=\)
①
\(\binom{n}{k}\): Möglichkeiten, \(k\) aus \(n\) auszuwählen
②
\(a^{n-k}\): \((n-k)\)-mal \(a\) multipliziert
③
\(b^{k}\): \(k\)-mal \(b\) multipliziert
Die Formel in Worten
①
Man multipliziert
\(\binom{n}{k}\): Möglichkeiten, \(k\) aus \(n\) auszuwählen
②
mit
\(a^{n-k}\): \((n-k)\)-mal \(a\) multipliziert
③
und mit
\(b^{k}\): \(k\)-mal \(b\) multipliziert
④
und erhält
\(T_{k+1}\): das \((k+1)\)-te Glied der ausmultiplizierten Form
Einfaches Beispiel
Das 3. Glied (\(k = 2\)) von \((2x+3)^{5}\) ist mit \(a = 2x\) und \(b = 3\)
3. Glied \(T_{3}\)
\(=\)
Möglichkeiten, 2 aus 5 auszuwählen
3-mal \(2x\) multipliziert
2-mal 3 multipliziert
\(T_{3} = \binom{5}{2}(2x)^{3}\cdot 3^{2} = 10 \cdot 8x^{3} \cdot 9 = 720x^{3}\)
Der Grundgedanke
Der häufigste Fehler beim binomischen Lehrsatz: Die Nummer des Glieds und \(k\) unterscheiden sich um 1. Das Glied mit \(k = 0\) ist das 1. Glied, deshalb ist im \((k+1)\)-ten Glied \(k\) „die Nummer minus 1“. Beim 3. Glied ist \(k = 2\).
Lautet die Aufgabe „Bestimme den Koeffizienten von \(x^{3}\)“, bestimmen Sie \(k\) aus dem Exponenten von \(x\), nicht aus der Nummer. In \((Ax+B)^n\) ist der Exponent von \(x\) gleich \(n-k\); aus \(n-k = 3\) folgt \(k = n-3\).
Ist \(a\) oder \(b\) ein zusammengesetzter Term wie \(2x\), wird die ganze Klammer potenziert: \((2x)^{3} = 8x^{3}\). Damit Sie nicht versehentlich \(2x^{3}\) schreiben, setzen Sie immer erst Klammern und rechnen dann.
Den Binomialkoeffizienten berechnen (Anzahl der Kombinationen)
Mathematische Schreibweise
(die übliche Formel)
\(\binom{n}{k}\)
\(=\)
\(\dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}\)
In Worten
(Symbole durch Wörter ersetzt)
②
\(\binom{n}{k}\): Möglichkeiten, \(k\) aus \(n\) auszuwählen
\(=\)
①
\(\dfrac{\text{Anordnungen aller }n\text{ Elemente }n!}{\text{Anordnungen der }k\text{ gewählten }k!\ \cdot\ \text{Anordnungen der }(n-k)\text{ übrigen }(n-k)!}\)
Die Formel in Worten
①
Der Bruch
\(\dfrac{\text{Anordnungen aller }n\text{ Elemente }n!}{\text{Anordnungen der }k\text{ gewählten }k!\ \cdot\ \text{Anordnungen der }(n-k)\text{ übrigen }(n-k)!}\)
②
ergibt
\(\binom{n}{k}\): Möglichkeiten, \(k\) aus \(n\) auszuwählen
Einfaches Beispiel
Die Anzahl der Möglichkeiten, 2 aus 5 auszuwählen, \(\binom{5}{2}\), ist
Möglichkeiten, 2 aus 5 auszuwählen
\(=\)
\(\dfrac{\text{Anordnungen aller 5 }5!}{\text{Anordnungen der 2 gewählten }2!\ \cdot\ \text{Anordnungen der 3 übrigen }3!}\)
\(\binom{5}{2} = \dfrac{5!}{2!\,(5-2)!} = \dfrac{120}{2 \cdot 6} = 10\)
\(\binom{5}{2} = \dfrac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = 10\)
Der Grundgedanke
Die Fakultät ist das Produkt aller ganzen Zahlen von 1 bis zu dieser Zahl (\(5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120\)). Per Definition ist \(0! = 1\), deshalb gilt \(\binom{n}{0} = \binom{n}{n} = 1\).
Warum wird geteilt? Denken Sie an Anordnungen. Stellen Sie alle \(n\) Elemente in eine Reihe und nennen Sie die ersten \(k\) „gewählt“ und die übrigen \((n-k)\) „nicht gewählt“. Jede der \(n!\) Reihenfolgen ergibt dann eine Auswahl. Vertauscht man aber die \(k\) gewählten (\(k!\) Möglichkeiten) oder die \((n-k)\) übrigen Elemente (\((n-k)!\) Möglichkeiten), ändert sich die Auswahl nicht. Jede Auswahl wird also \(k!\,(n-k)!\)-mal gezählt – teilt man dadurch, bleibt die Anzahl der Auswahlen.
Von Hand geht die zweite Form oben schneller: Oben zählt man von \(n\) aus \(k\) Zahlen abwärts, unten steht \(k!\). Für \(\binom{5}{2}\) also \(\dfrac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = 10\).
Binomialkoeffizienten sind symmetrisch: \(\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}\) (\(k\) Elemente auszuwählen ist dasselbe, wie die \((n-k)\) wegzulassenden auszuwählen). So rechnet man \(\binom{7}{5}\) schneller als \(\binom{7}{2} = 21\). Deshalb lesen sich auch die Koeffizienten der ausmultiplizierten Form von beiden Enden gleich.
Das Pascalsche Dreieck (Summe der beiden Nachbarn darüber)
Abbildung
Mathematische Schreibweise
(die übliche Formel)
\(\binom{n-1}{k-1}\)
\(+\)
\(\binom{n-1}{k}\)
\(=\)
\(\binom{n}{k}\)
In Worten
(Symbole durch Wörter ersetzt)
①
\(\binom{n-1}{k-1}\): Zahl links oben in der Zeile darüber
\(+\)
②
\(\binom{n-1}{k}\): Zahl rechts oben in der Zeile darüber
\(=\)
③
\(\binom{n}{k}\): die Zahl direkt darunter
Die Formel in Worten
①
Man addiert
\(\binom{n-1}{k-1}\): Zahl links oben in der Zeile darüber
②
und
\(\binom{n-1}{k}\): Zahl rechts oben in der Zeile darüber
③
und erhält
\(\binom{n}{k}\): die Zahl direkt darunter
Einfaches Beispiel
Addiert man die 3 und die 3 in der Zeile \(n = 3\), erhält man die 6 in der Zeile \(n = 4\)
links oben \(\binom{3}{1} = 3\)
\(+\)
rechts oben \(\binom{3}{2} = 3\)
\(=\)
direkt darunter \(\binom{4}{2} = 6\)
\(\binom{3}{1} + \binom{3}{2} = 3 + 3 = 6 = \binom{4}{2}\)
Der Grundgedanke
Das Pascalsche Dreieck sind die Binomialkoeffizienten, Zeile für Zeile von oben zu einem Dreieck angeordnet. An beiden Enden jeder Zeile steht 1, und jede Zahl dazwischen ist einfach die Summe der beiden Zahlen direkt darüber (links oben und rechts oben). Die Koeffizienten entstehen so allein durch Addieren, ganz ohne Fakultäten.
Warum diese Addition stimmt, erklärt wieder das Auswählen. Um \(k\) aus \(n\) Elementen auszuwählen, betrachtet man ein bestimmtes Element. Entweder man wählt es (dann noch \((k-1)\) aus den übrigen \((n-1)\)), oder man wählt es nicht (dann alle \(k\) aus den übrigen \((n-1)\)). Diese beiden Fälle sind genau die beiden Zahlen darüber.
Die Zahlen jeder Zeile ergeben zusammen \(2^n\) (Zeile \(n = 4\): \(1+4+6+4+1 = 16 = 2^4\)). Das ist der binomische Lehrsatz mit \(a = b = 1\).
Der binomische Lehrsatz lautet \((a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^{k}\): In der ausmultiplizierten Form ist der Koeffizient von \(a^{n-k}b^{k}\) gleich \(\binom{n}{k}\). Für ein einzelnes Glied nimmt man das allgemeine Glied \(\binom{n}{k} a^{n-k} b^{k}\) und bestimmt \(k\) aus dem Exponenten von \(x\). Die Koeffizienten stimmen mit der Zeile \(n\) des Pascalschen Dreiecks überein.
Symbole und Begriffe
Symbole
| \(\binom{n}{k}\) | n über k | Die Anzahl der Möglichkeiten, \(k\) aus \(n\) Elementen auszuwählen (Anzahl der Kombinationen). Im binomischen Lehrsatz ist sie ein Koeffizient der ausmultiplizierten Form und heißt deshalb Binomialkoeffizient. Andere Schreibweisen: \({}_n\mathrm{C}_k\), C(n, k) und auf dem Taschenrechner nCr. |
| \(n!\) | n Fakultät | Das Produkt aller ganzen Zahlen von 1 bis \(n\) (\(4! = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24\)). Es sieht aus wie ein Ausrufezeichen, ist aber das mathematische Zeichen für die „Fakultät“. Per Definition ist \(0! = 1\). |
| \(a,\ b\) | a, b | Die beiden Glieder in der Klammer des binomischen Lehrsatzes. Ein „Binom“ ist ein Term aus genau diesen zwei Gliedern. Für feste Größen nimmt man üblicherweise Buchstaben vom Anfang des Alphabets. |
| \(n\) | n | Wie viele gleiche Klammern miteinander multipliziert werden (der Exponent). Für Anzahlen nimmt man oft \(n\) (von lateinisch numerus, „Zahl“). Auf dieser Seite eine ganze Zahl von 0 bis 12. |
| \(k\) | k | Zählt, „wie viele \(b\) gewählt wurden“, und läuft von 0 bis \(n\). Das Glied mit \(k = 0\) ist das 1. Glied, deshalb spricht man vom „\((k+1)\)-ten Glied“. \(k\) ist ein üblicher Buchstabe für einen ganzzahligen Zähler. |
| \(\displaystyle\sum\) | Sigma (Summenzeichen) | Das Zeichen für „alles addieren“. Es ist das große griechische Sigma und entspricht dem S von „Summe“. \(\sum_{k=0}^{n}\) bedeutet: „Addiere den Ausdruck dahinter, während \(k\) von 0 bis \(n\) läuft.“ |
| \(T_{k+1}\) | T k plus 1 | Das \((k+1)\)-te Glied von vorn, wenn die ausmultiplizierte Form nach absteigenden Potenzen geordnet ist. \(T\) kommt vom englischen „term“ (Glied). Man nennt es das allgemeine Glied. |
| \(A,\ B\) | großes A, großes B | Die Buchstaben in den Eingabefeldern dieses Rechners. In \((Ax+B)^n\) ist \(A\) der Koeffizient von \(x\) und \(B\) das absolute Glied ohne \(x\). Im binomischen Lehrsatz ist dann \(a = Ax\) und \(b = B\). |
| \(x\) | x | Ein Buchstabe ohne festen Wert (eine Variable). Dieser Rechner multipliziert Terme der Form \((Ax+B)^n\) aus, das Ergebnis ist also ein Polynom in \(x\). |
Begriffe
| binomischer Lehrsatz | Der Satz, dass die Koeffizienten in der ausmultiplizierten Form von \((a+b)^n\) die Anzahlen der Kombinationen \(\binom{n}{k}\) sind. Er verallgemeinert die binomischen Formeln und kommt meist in der Oberstufe (Stochastik) vor, oft zusammen mit der Binomialverteilung. |
| Binomialkoeffizient | Der Koeffizient \(\binom{n}{k}\) im binomischen Lehrsatz, gelesen „n über k“. Er ist dasselbe wie die Anzahl der Kombinationen; der Name betont seine Rolle als Koeffizient der ausmultiplizierten Form. |
| Kombination | Eine Auswahl von Elementen aus einer Menge ohne Beachtung der Reihenfolge. Die Anzahl der Möglichkeiten, \(k\) aus \(n\) auszuwählen, ist \(\binom{n}{k}\). Anders als bei der Variation (mit Reihenfolge) zählt dieselbe Auswahl nur einmal. |
| Fakultät | Das Produkt aller ganzen Zahlen von 1 bis zu dieser Zahl, \(5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120\). Man braucht sie, um die Anzahl der Kombinationen zu berechnen. |
| allgemeines Glied | Eine einzige Formel, die jedes Glied der ausmultiplizierten Form über seine Position beschreibt. Beim binomischen Lehrsatz ist das \((k+1)\)-te Glied \(\binom{n}{k} a^{n-k} b^{k}\) das allgemeine Glied. Für ein einzelnes Glied setzt man Werte ein. |
| Ausmultiplizieren | Einen Term mit Klammern so ausrechnen, dass eine Summe von Gliedern ohne Klammern entsteht. Das genaue Gegenteil des Faktorisierens. |
| absteigende Potenzen | Die Glieder eines Terms von der höchsten Potenz der Variablen abwärts ordnen, wie in \(x^3 + 2x^2 - x + 5\). Ergebnisse schreibt man üblicherweise so. |
| Pascalsches Dreieck | Die Binomialkoeffizienten Zeile für Zeile zu einem Dreieck angeordnet. An den Enden steht 1, jede Zahl dazwischen ist die Summe der beiden Zahlen darüber. Benannt ist es nach dem französischen Mathematiker Blaise Pascal, bekannt war es aber schon Jahrhunderte früher in Persien, Indien und China; in Deutschland druckte Petrus Apianus es 1527 auf dem Titelblatt eines Rechenbuchs. |
| Polynom | Ein Term, der Glieder der Form „Koeffizient mal Potenz von \(x\)“ addiert, etwa \(2x^3 - x + 5\). Auch das Ergebnis des binomischen Lehrsatzes ist ein Polynom. |
| Glied | Jedes Teilstück eines Terms zwischen Plus- und Minuszeichen (auch Summand). \(x^3 - 2x + 3\) hat drei Glieder: \(x^3\), \(-2x\) und \(3\). |
| Koeffizient | Die Zahl vor einer Variablen. In \(3x^2\) ist 3 der Koeffizient. Steht keine Zahl davor, wie bei \(x^2\), ist der Koeffizient 1. |
| Exponent | Die kleine 3 rechts oben in \(x^3\). Sie gibt an, wie oft dasselbe multipliziert wird (\(x^3 = x \cdot x \cdot x\)), auch Hochzahl genannt. |
| absolutes Glied | Ein Glied ohne \(x\), nur eine Zahl, wie die 5 in \(x^2 + 3x + 5\). In diesem Rechner sind \(B\) in der Klammer und das letzte Glied der ausmultiplizierten Form absolute Glieder. |
| Binomialverteilung | Die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Anzahl \(k\) der Treffer, wenn dasselbe Zufallsexperiment \(n\)-mal wiederholt wird (Bernoulli-Kette). Ihre Wahrscheinlichkeiten \(\binom{n}{k} p^{k}(1-p)^{n-k}\) sind genau die Glieder von \((p + (1-p))^n\), ausmultipliziert mit dem binomischen Lehrsatz – daher der Name. |
| binomische Reihe | Die Erweiterung des binomischen Lehrsatzes auf gebrochene und negative Exponenten. Es entsteht ein Ausdruck mit unendlich vielen Gliedern (eine unendliche Reihe). Dieser Rechner verarbeitet nur ganzzahlige Exponenten ab 0. |
Das sollten Sie vorher wissen
Damit Sie die Berechnung auf dieser Seite nicht nur per Knopfdruck, sondern mit Verständnis nutzen, ist hier zusammengestellt, was Sie vorher wissen sollten.
Wenn Sie nicht weiterkommen, ist ein Blick zurück auf diese Themen der schnellste Weg.
| Terme ausmultiplizieren (Klasse 7–8, 12–14 Jahre) |
|
| Potenzen und Potenzgesetze (Klasse 8–10, 13–16 Jahre) |
|
| Rechnen mit negativen Zahlen (Klasse 6–7, 11–13 Jahre) |
|
| Kombinationen und Fakultäten (Oberstufe, Stochastik) |
|
| Das Summenzeichen (Oberstufe) |
|
| Bruchrechnung (Klasse 5–6, 10–12 Jahre) |
|
So berechnen Sie es in Excel
Kopieren Sie die ganze Tabelle und fügen Sie sie in Zelle A1 von Excel ein – dann funktioniert sie direkt.
Tabelle mit allen Koeffizienten nach dem binomischen Lehrsatz
| Koeffizient A von x | 2 |
| Absolutes Glied B | 3 |
| Exponent n | 5 |
| Koeffizient für k=0 (x hoch n−0) | =WENNFEHLER(KOMBINATIONEN($B$3;0)*$B$1^($B$3-0)*$B$2^0;0) |
| Koeffizient für k=1 (x hoch n−1) | =WENNFEHLER(KOMBINATIONEN($B$3;1)*$B$1^($B$3-1)*$B$2^1;0) |
| Koeffizient für k=2 (x hoch n−2) | =WENNFEHLER(KOMBINATIONEN($B$3;2)*$B$1^($B$3-2)*$B$2^2;0) |
| Koeffizient für k=3 (x hoch n−3) | =WENNFEHLER(KOMBINATIONEN($B$3;3)*$B$1^($B$3-3)*$B$2^3;0) |
| Koeffizient für k=4 (x hoch n−4) | =WENNFEHLER(KOMBINATIONEN($B$3;4)*$B$1^($B$3-4)*$B$2^4;0) |
| Koeffizient für k=5 (x hoch n−5) | =WENNFEHLER(KOMBINATIONEN($B$3;5)*$B$1^($B$3-5)*$B$2^5;0) |
| Koeffizient für k=6 (x hoch n−6) | =WENNFEHLER(KOMBINATIONEN($B$3;6)*$B$1^($B$3-6)*$B$2^6;0) |
Tabelle für den Koeffizienten des allgemeinen Glieds ((k+1)-tes Glied)
| Koeffizient A von x | 2 |
| Absolutes Glied B | 3 |
| Exponent n | 5 |
| Nummer des Glieds (von vorn) | 3 |
| k (Nummer minus 1) | =B4-1 |
| Exponent von x (n−k) | =B3-B5 |
| Binomialkoeffizient n über k | =KOMBINATIONEN(B3;B5) |
| Koeffizient des Glieds | =B7*B1^B6*B2^B5 |
Tabelle für einen Binomialkoeffizienten (Anzahl der Kombinationen)
| n | 5 |
| k | 2 |
| Binomialkoeffizient n über k | =KOMBINATIONEN(B1;B2) |
| Probe mit Fakultäten | =FAKULTÄT(B1)/(FAKULTÄT(B2)*FAKULTÄT(B1-B2)) |
Tabelle für das Pascalsche Dreieck
| Zeile n = 0 | 1 | |||||
| Zeile n = 1 | 1 | 1 | ||||
| Zeile n = 2 | 1 | =B2+C2 | 1 | |||
| Zeile n = 3 | 1 | =B3+C3 | =C3+D3 | 1 | ||
| Zeile n = 4 | 1 | =B4+C4 | =C4+D4 | =D4+E4 | 1 | |
| Zeile n = 5 | 1 | =B5+C5 | =C5+D5 | =D5+E5 | =E5+F5 | 1 |
Nach dem Einfügen sind die oberen Zeilen (A, B, n usw.) Ihre Eingaben, die unteren Zeilen werden automatisch berechnet.
KOMBINATIONEN(n; k) ist der Binomialkoeffizient „n über k“, FAKULTÄT(n) ist n Fakultät, und „^“ steht für eine Potenz.
Die erste Tabelle multipliziert (2x+3)⁵ aus. Ab k=0 erscheinen 32, 240, 720, 1080, 810, 243 (die Zeile für k ist der Koeffizient von x hoch n−k). Ändern Sie A, B und n, erhalten Sie die Koeffizienten Ihres eigenen Terms. Ist n kleiner als 6, zeigen die Zeilen für nicht vorhandene Glieder 0 (WENNFEHLER macht daraus 0). Ab n = 7 kopieren Sie die letzte Zeile nach unten und ändern die 6 in der Formel in 7, 8 usw.
Die zweite Tabelle bestimmt nur das 3. Glied: k ist 2, der Exponent von x ist 3, der Binomialkoeffizient ist 10 und der Koeffizient des Glieds 720.
Die dritte Tabelle ist die Anzahl der Möglichkeiten, 2 aus 5 auszuwählen; beide Formeln ergeben 10.
In der vierten Tabelle werden nur die Einsen an den Enden eingetippt. Jede Zahl dazwischen ist eine Formel, die die beiden Zellen direkt darüber addiert. Die Zeile n = 5 zeigt 1, 5, 10, 10, 5, 1.
KOMBINATIONEN(n; k) ist der Binomialkoeffizient „n über k“, FAKULTÄT(n) ist n Fakultät, und „^“ steht für eine Potenz.
Die erste Tabelle multipliziert (2x+3)⁵ aus. Ab k=0 erscheinen 32, 240, 720, 1080, 810, 243 (die Zeile für k ist der Koeffizient von x hoch n−k). Ändern Sie A, B und n, erhalten Sie die Koeffizienten Ihres eigenen Terms. Ist n kleiner als 6, zeigen die Zeilen für nicht vorhandene Glieder 0 (WENNFEHLER macht daraus 0). Ab n = 7 kopieren Sie die letzte Zeile nach unten und ändern die 6 in der Formel in 7, 8 usw.
Die zweite Tabelle bestimmt nur das 3. Glied: k ist 2, der Exponent von x ist 3, der Binomialkoeffizient ist 10 und der Koeffizient des Glieds 720.
Die dritte Tabelle ist die Anzahl der Möglichkeiten, 2 aus 5 auszuwählen; beide Formeln ergeben 10.
In der vierten Tabelle werden nur die Einsen an den Enden eingetippt. Jede Zahl dazwischen ist eine Formel, die die beiden Zellen direkt darüber addiert. Die Zeile n = 5 zeigt 1, 5, 10, 10, 5, 1.
So berechnen Sie es in Google Tabellen
Kopieren Sie die ganze Tabelle und fügen Sie sie in Zelle A1 von Google Tabellen ein – dann funktioniert sie direkt.
Tabelle mit allen Koeffizienten nach dem binomischen Lehrsatz
| Koeffizient A von x | 2 |
| Absolutes Glied B | 3 |
| Exponent n | 5 |
| Koeffizient für k=0 (x hoch n−0) | =WENNFEHLER(KOMBINATIONEN($B$3;0)*$B$1^($B$3-0)*$B$2^0;0) |
| Koeffizient für k=1 (x hoch n−1) | =WENNFEHLER(KOMBINATIONEN($B$3;1)*$B$1^($B$3-1)*$B$2^1;0) |
| Koeffizient für k=2 (x hoch n−2) | =WENNFEHLER(KOMBINATIONEN($B$3;2)*$B$1^($B$3-2)*$B$2^2;0) |
| Koeffizient für k=3 (x hoch n−3) | =WENNFEHLER(KOMBINATIONEN($B$3;3)*$B$1^($B$3-3)*$B$2^3;0) |
| Koeffizient für k=4 (x hoch n−4) | =WENNFEHLER(KOMBINATIONEN($B$3;4)*$B$1^($B$3-4)*$B$2^4;0) |
| Koeffizient für k=5 (x hoch n−5) | =WENNFEHLER(KOMBINATIONEN($B$3;5)*$B$1^($B$3-5)*$B$2^5;0) |
| Koeffizient für k=6 (x hoch n−6) | =WENNFEHLER(KOMBINATIONEN($B$3;6)*$B$1^($B$3-6)*$B$2^6;0) |
Tabelle für den Koeffizienten des allgemeinen Glieds ((k+1)-tes Glied)
| Koeffizient A von x | 2 |
| Absolutes Glied B | 3 |
| Exponent n | 5 |
| Nummer des Glieds (von vorn) | 3 |
| k (Nummer minus 1) | =B4-1 |
| Exponent von x (n−k) | =B3-B5 |
| Binomialkoeffizient n über k | =KOMBINATIONEN(B3;B5) |
| Koeffizient des Glieds | =B7*B1^B6*B2^B5 |
Tabelle für einen Binomialkoeffizienten (Anzahl der Kombinationen)
| n | 5 |
| k | 2 |
| Binomialkoeffizient n über k | =KOMBINATIONEN(B1;B2) |
| Probe mit Fakultäten | =FAKULTÄT(B1)/(FAKULTÄT(B2)*FAKULTÄT(B1-B2)) |
Tabelle für das Pascalsche Dreieck
| Zeile n = 0 | 1 | |||||
| Zeile n = 1 | 1 | 1 | ||||
| Zeile n = 2 | 1 | =B2+C2 | 1 | |||
| Zeile n = 3 | 1 | =B3+C3 | =C3+D3 | 1 | ||
| Zeile n = 4 | 1 | =B4+C4 | =C4+D4 | =D4+E4 | 1 | |
| Zeile n = 5 | 1 | =B5+C5 | =C5+D5 | =D5+E5 | =E5+F5 | 1 |
Die Formeln aus Excel funktionieren unverändert (KOMBINATIONEN und FAKULTÄT gibt es in Google Tabellen unter demselben Namen). Kopieren Sie die ganze Tabelle, fügen Sie sie in Zelle A1 ein und ersetzen Sie A, B und n durch Ihre eigenen Zahlen.
So berechnen Sie es in Python
from fractions import Fraction
from math import comb
# (Ax + B) hoch n ausmultiplizieren (ein Bruch wie 3/4 wird als Fraction(3, 4) geschrieben)
coef_x = Fraction(2) # Koeffizient A von x
const = Fraction(3) # absolutes Glied B
power = 5 # Exponent n
# k läuft von 0 bis n. Der Exponent von x ist n - k, der Koeffizient ist (n über k) × A^(n-k) × B^k
for k in range(power + 1):
exponent = power - k
coefficient = comb(power, k) * coef_x ** exponent * const ** k
print(f"Koeffizient von x^{exponent}: {coefficient}")
# Nur den Koeffizienten von x^3 bestimmen (k = n - 3)
target = 3
k = power - target
coefficient = comb(power, k) * coef_x ** target * const ** k
print(f"Binomialkoeffizient: {comb(power, k)}")
print(f"Koeffizient von x^{target}: {coefficient}")
In der Standardbibliothek liefert math.comb den Binomialkoeffizienten „n über k“, und fractions.Fraction rechnet exakt mit Brüchen (math.comb gibt es ab Python 3.8). Das Beispiel multipliziert (2x+3)⁵ aus. Beim Ausführen erscheinen die Koeffizienten in der Reihenfolge 32, 240, 720, 1080, 810, 243 und zum Schluss der Koeffizient von x³, 720. Ändern Sie A, B und n und führen Sie das Programm erneut aus.
So schreiben Sie die Formel in LaTeX und anderen Formelsprachen (zum Kopieren)
Der binomische Lehrsatz
(a+b)ⁿ = ₙC₀aⁿ + ₙC₁aⁿ⁻¹b + ⋯ + ₙCₙbⁿ
(a+b)^{n} = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^{k}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msup>
<mrow><mo>(</mo><mi>a</mi><mo>+</mo><mi>b</mi><mo>)</mo></mrow>
<mi>n</mi>
</msup>
<mo>=</mo>
<munderover>
<mo>∑</mo>
<mrow><mi>k</mi><mo>=</mo><mn>0</mn></mrow>
<mi>n</mi>
</munderover>
<mmultiscripts><mi mathvariant="normal">C</mi><mi>k</mi><none/><mprescripts/><mi>n</mi><none/></mmultiscripts>
<msup><mi>a</mi><mrow><mi>n</mi><mo>−</mo><mi>k</mi></mrow></msup>
<msup><mi>b</mi><mi>k</mi></msup>
</mrow>
</math>
(a+b)^n = sum_(k=0)^n C(n,k) a^(n-k) b^k
Sum[Binomial[n, k] a^(n - k) b^k, {k, 0, n}]
sum(binomial(n, k)*a^(n-k)*b^k, k = 0 .. n);
symsum(nchoosek(n, k)*a^(n-k)*b^k, k, 0, n)
(a+b)^n = ∑_(k=0)^n C(n,k) a^(n-k) b^k
Das allgemeine Glied (das \((k+1)\)-te Glied)
Tₖ₊₁ = ₙCₖ aⁿ⁻ᵏ bᵏ
T_{k+1} = \binom{n}{k} a^{n-k} b^{k}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msub><mi>T</mi><mrow><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msub>
<mo>=</mo>
<mmultiscripts><mi mathvariant="normal">C</mi><mi>k</mi><none/><mprescripts/><mi>n</mi><none/></mmultiscripts>
<msup><mi>a</mi><mrow><mi>n</mi><mo>−</mo><mi>k</mi></mrow></msup>
<msup><mi>b</mi><mi>k</mi></msup>
</mrow>
</math>
T_(k+1) = C(n,k) a^(n-k) b^k
Binomial[n, k] a^(n - k) b^k
T := binomial(n, k)*a^(n-k)*b^k;
T = nchoosek(n, k)*a^(n-k)*b^k;
T_(k+1) = C(n,k) a^(n-k) b^k
Den Binomialkoeffizienten berechnen (Anzahl der Kombinationen)
ₙCₖ = n! ÷ (k!(n−k)!)
\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!\,(n-k)!}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mmultiscripts><mi mathvariant="normal">C</mi><mi>k</mi><none/><mprescripts/><mi>n</mi><none/></mmultiscripts>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow><mi>n</mi><mo>!</mo></mrow>
<mrow><mi>k</mi><mo>!</mo><mo>(</mo><mi>n</mi><mo>−</mo><mi>k</mi><mo>)</mo><mo>!</mo></mrow>
</mfrac>
</mrow>
</math>
C(n,k) = (n!)/(k!(n-k)!)
Binomial[n, k]
binomial(n, k);
nchoosek(n, k)
C(n,k) = n!/(k!(n-k)!)
Das Pascalsche Dreieck (Summe der beiden Nachbarn darüber)
ₙ₋₁Cₖ₋₁ + ₙ₋₁Cₖ = ₙCₖ
\binom{n-1}{k-1} + \binom{n-1}{k} = \binom{n}{k}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mmultiscripts><mi mathvariant="normal">C</mi><mrow><mi>k</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow><none/><mprescripts/><mrow><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow><none/></mmultiscripts>
<mo>+</mo>
<mmultiscripts><mi mathvariant="normal">C</mi><mi>k</mi><none/><mprescripts/><mrow><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow><none/></mmultiscripts>
<mo>=</mo>
<mmultiscripts><mi mathvariant="normal">C</mi><mi>k</mi><none/><mprescripts/><mi>n</mi><none/></mmultiscripts>
</mrow>
</math>
C(n-1,k-1) + C(n-1,k) = C(n,k)
Binomial[n - 1, k - 1] + Binomial[n - 1, k] == Binomial[n, k]
binomial(n-1, k-1) + binomial(n-1, k) = binomial(n, k);
nchoosek(n-1, k-1) + nchoosek(n-1, k)
C(n-1,k-1) + C(n-1,k) = C(n,k)
So lassen Sie ChatGPT rechnen
Sie sind ein Rechenassistent für Mathematik. Führen Sie die folgende Berechnung aus, indem Sie tatsächlich Python-Code ausführen, und stützen Sie Ihre Antwort nur auf die Zahlen aus dem Ausführungsergebnis (nicht im Kopf rechnen und nicht schätzen). Multiplizieren Sie (2x+3)^5 mit dem binomischen Lehrsatz aus. Zeigen Sie jeweils: 1. Das allgemeine Glied (das (k+1)-te Glied) 2. Die Binomialkoeffizienten „5 über k“ für k = 0 bis 5 3. Den ausmultiplizierten Term (nach absteigenden Potenzen von x geordnet, jeder Koeffizient als gekürzter Bruch oder ganze Zahl) 4. Den Koeffizienten von x^3 und wie Sie ihn gefunden haben (wie k bestimmt wurde) Rechnen Sie in Python exakt mit math.comb und fractions.Fraction aus der Standardbibliothek und zeigen Sie die verwendeten Formeln und die Zahlen aus dem Ausführungsergebnis.
Anleitung
-
1Werte eingebenTragen Sie die Zahlen, mit denen Sie rechnen möchten, in die Eingabefelder ein
-
2BerechnenKlicken Sie auf die Schaltfläche „Berechnen“
-
3Ergebnis ansehenDas Ergebnis erscheint sofort. Auf derselben Seite finden Sie auch den Rechenweg und die Erklärung der Formel
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