Geben Sie A, B und n des auszumultiplizierenden Terms (Ax+B)ⁿ ein. Die Formel darunter ist mit den Eingabefeldern verknüpft, Sie können die Formel also auch direkt ändern. Mit „Gesucht“ wählen Sie, ob alle Glieder ausmultipliziert oder nur ein Glied bestimmt werden soll.
Sie können Dezimalzahlen, negative Zahlen und Brüche wie 3/4 verwenden. Der Exponent n ist eine ganze Zahl von 0 bis 12.
Ergebnis und Figur
Geben Sie links die Koeffizienten und den Exponenten ein und klicken Sie auf „Berechnen“. Hier erscheinen dann der ausmultiplizierte Term und das Pascalsche Dreieck.
Inhaltsverzeichnis
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Was Sie auf dieser Seite tun können
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Wofür ist diese Berechnung nützlich?
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Anleitung
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Formeln und Abbildungen
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Symbole und Begriffe
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Was Sie vorab wissen sollten
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Mit Excel berechnen
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Mit Google Tabellen berechnen
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Mit Python berechnen
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Die Formel in LaTeX und anderen mathematischen Schreibweisen (zum Kopieren)
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Die Berechnung von ChatGPT ausführen lassen
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Was Sie auf dieser Seite tun können
- Multiplizieren Sie \((Ax+B)^{n}\) (\(n\) von 0 bis 12) mit dem binomischen Lehrsatz aus und sehen Sie das Ergebnis sofort nach fallenden Potenzen von \(x\) geordnet
- Brauchen Sie nur den Koeffizienten von \(x^{3}\), geben Sie die Potenz von \(x\) (oder die Position des Glieds) an und bestimmen Sie nur dieses eine Glied
- Bei einem einzelnen Glied werden auch der Wert des Binomialkoeffizienten \({}_n\mathrm{C}_k\) (in deutschen Schulbüchern \(\binom{n}{k}\), „n über k“) und der Rechenweg mit \(\dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}\) angezeigt
- Das Pascalsche Dreieck wird bis zur Zeile \(n\) gezeichnet, die verwendete Zeile ist hervorgehoben
- \(A\) und \(B\) dürfen Dezimalzahlen, negative Zahlen oder Brüche wie 3/4 sein. Die Koeffizienten werden exakt als gekürzte Brüche berechnet
- Eine leicht verständliche Erklärung der Formeln sowie Formeln zum Kopieren für Excel, Google Tabellen und Python finden Sie ebenfalls auf dieser Seite
Diese Seite verarbeitet die Form \((Ax+B)^{n}\) (\(n\) ist eine ganze Zahl von 0 bis 12). Gebrochene oder negative Exponenten (der verallgemeinerte binomische Lehrsatz) und Terme mit drei oder mehr Gliedern (der Polynomialsatz) werden nicht unterstützt.
Wofür ist diese Berechnung nützlich?
Die Wahrscheinlichkeit für k Erfolge bei n Versuchen (Qualitätskontrolle, Umfragen, klinische Studien)
Wiederholen Sie einen Versuch \(n\)-mal, wobei die Wahrscheinlichkeit \(p\) jedes Mal gleich ist und ein Ergebnis das andere nicht beeinflusst. Die Wahrscheinlichkeit, dass genau \(k\)-mal etwas eintritt, ist \({}_n\mathrm{C}_k p^{k}(1-p)^{n-k}\). Das ist genau ein Glied von \((p + (1-p))^n\), ausmultipliziert mit dem binomischen Lehrsatz, und diese Art von Wahrscheinlichkeitsverteilung heißt Binomialverteilung.
Hat eine Produktionslinie zum Beispiel immer 3 % Ausschuss und Sie ziehen 10 Stück, ist die Wahrscheinlichkeit für gar keinen Ausschuss das \(k = 0\)-Glied, \(0{,}97^{10} \approx 0{,}737\), also etwa 74 %. Umgekehrt findet man bei 10 geprüften Stück in etwa 26 % der Fälle Ausschuss. Derselbe Gedanke steckt dahinter, wie viele Stück man prüfen sollte, wie groß die Fehlermarge einer Umfrage ist und ob ein neues Medikament wirkt.
Merkmale bei Nachkommen vorhersagen (Biologie und Landwirtschaft)
Haben beide Eltern das Genpaar \(\mathrm{Aa}\), treten die Genotypen ihrer Kinder im Verhältnis \(\mathrm{AA} : \mathrm{Aa} : \mathrm{aa} = 1 : 2 : 1\) auf (die Mendelschen Regeln, die Sie aus dem Biologieunterricht kennen). Die 1, 2, 1 entstehen, weil jeder Elternteil \(\mathrm{A}\) oder \(\mathrm{a}\) mit der Wahrscheinlichkeit \(\dfrac{1}{2}\) weitergibt: \(\left(\dfrac{1}{2}\mathrm{A} + \dfrac{1}{2}\mathrm{a}\right)^{2} = \dfrac{1}{4}\left(\mathrm{AA} + 2\,\mathrm{Aa} + \mathrm{aa}\right)\). Das sind die Binomialkoeffizienten, dieselben Zahlen wie in der Zeile \(n = 2\) des Pascalschen Dreiecks.
Bei mehr Merkmalen oder wenn Sie nach der Anzahl der Kinder aufschlüsseln, lässt es sich von Hand nicht mehr überblicken. Der binomische Lehrsatz beantwortet Fragen wie „die Wahrscheinlichkeit, dass genau 2 von 4 Geschwistern ein Merkmal haben“ in einem Schritt. Pflanzen- und Tierzüchter und genetische Berater schätzen erwartete Verhältnisse auf diese Weise ab.
Schnelle Schätzungen für Zinseszins und Wachstum (Geld und Wirtschaft)
Geld, das \(n\) Jahre lang mit dem Jahreszins \(r\) wächst, wird mit \((1+r)^{n}\) multipliziert. Multipliziert man das mit dem binomischen Lehrsatz aus, erhält man \(1 + nr + {}_n\mathrm{C}_2 r^{2} + \cdots\). Der erste Teil, \(1 + nr\), sind die einfachen Zinsen, und der Rest sind „Zinsen auf Zinsen“.
Bei 1 % im Jahr über 10 Jahre gilt zum Beispiel \(1{,}01^{10} = 1{,}10462\cdots\), aber schon die ersten drei Glieder allein, \(1 + 0{,}1 + 0{,}0045\), ergeben 1,1045, fast denselben Wert. Die späteren Glieder werden immer kleiner, das ist also praktisch für eine grobe Schätzung im Kopf. Zinssätze, Inflationsraten und Bevölkerungswachstum, alles, was jedes Jahr um denselben Prozentsatz wächst, hat diese Form.
Die Wirkung kleiner Änderungen abschätzen (Technik, Physik, Messtechnik)
In Konstruktion und Messtechnik muss man oft schnell wissen, wie stark sich ein Ergebnis ändert, wenn sich etwas leicht ändert. Multiplizieren Sie mit dem binomischen Lehrsatz aus und lassen Sie die kleinen quadratischen und höheren Glieder weg, erhalten Sie die Näherung \((1+x)^{n} \approx 1 + nx\).
Wird zum Beispiel jede Kante eines Würfels um 1 % länger, wird das Volumen \((1+0{,}01)^{3} = 1{,}030301\)-mal so groß, eine Zunahme von etwa 3 %. Die Näherung ergibt \(1 + 3 \times 0{,}01 = 1{,}03\), fast dieselbe Antwort. Die Faustregel „1 % Fehler bei der Länge bedeutet etwa 3 % Fehler beim Volumen“ wird direkt beim Festlegen von Bauteiltoleranzen und beim Abschätzen von Messfehlern benutzt.
Alle möglichen Auswahlen zählen (Kombinationen und Zählen)
Wenn Sie bei jeder von \(n\) Optionen frei „ja oder nein“ entscheiden, ist die Gesamtzahl der Kombinationen \(2^{n}\). Das ist der binomische Lehrsatz mit \(a = b = 1\), \(\sum_{k=0}^{n} {}_n\mathrm{C}_k = 2^{n}\), und auch die Summe jeder Zeile des Pascalschen Dreiecks.
Eine Pizza mit 5 zur Auswahl stehenden Belägen lässt sich zum Beispiel auf \(2^{5} = 32\) Arten bestellen, einschließlich einer einfachen Käsepizza ohne Belag. Die Zeile liefert auch die Aufteilung: Genau 2 Beläge lassen sich auf \({}_5\mathrm{C}_2 = 10\) Arten bestellen. Dieser Gedanke wird überall benutzt, wo man Auswahlen zählt, etwa bei Menükombinationen, Antwortmustern in Umfragen und Testfällen für Software.
Formeln und Abbildungen
Der binomische Lehrsatz
Abbildung
Mathematische Schreibweise
(die übliche Schreibweise)
\((a+b)^{n}\)
\(=\)
\(\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\)
\({}_{n}\mathrm{C}_{k}\)
\(a^{n-k}\)
\(b^{k}\)
In Worten
(die Symbole durch Wörter ersetzt)
⑤
\((a+b)^n\): \(n\) Klammern \((a+b)\) miteinander multipliziert
\(=\)
④
alles addieren, wobei \(k\), die Anzahl der gewählten \(b\), von 0 bis \(n\) läuft
①
\({}_n\mathrm{C}_k\): Möglichkeiten, \(k\) von \(n\) auszuwählen
②
\(a^{n-k}\): \((n-k)\)-mal \(a\) multipliziert
③
\(b^{k}\): \(k\)-mal \(b\) multipliziert
Die Formel in Worten
①
Multiplizieren Sie die
\({}_n\mathrm{C}_k\): Möglichkeiten, \(k\) von \(n\) auszuwählen
②
mit
\(a^{n-k}\): \((n-k)\)-mal \(a\) multipliziert
③
und mit
\(b^{k}\): \(k\)-mal \(b\) multipliziert
④
addieren Sie dann
alles auf, wobei \(k\), die Anzahl der gewählten \(b\), von 0 bis \(n\) läuft
⑤
und Sie erhalten
\((a+b)^n\): \(n\) Klammern \((a+b)\) miteinander multipliziert
Einfaches Beispiel
Beim Ausmultiplizieren von \((a+b)^{3}\) (die Koeffizienten 1, 3, 3, 1 sind die Werte von \({}_3\mathrm{C}_0\) bis \({}_3\mathrm{C}_3\)) erhält man
3 Klammern \((a+b)\) miteinander multipliziert
\(=\)
alles addieren, wobei die Anzahl der \(b\), \(k\), von 0 bis 3 läuft
Möglichkeiten, \(k\) von 3 auszuwählen
\((3-k)\)-mal \(a\) multipliziert
\(k\)-mal \(b\) multipliziert
\((a+b)^{3} = {}_{3}\mathrm{C}_{0}a^{3} + {}_{3}\mathrm{C}_{1}a^{2}b + {}_{3}\mathrm{C}_{2}ab^{2} + {}_{3}\mathrm{C}_{3}b^{3}\)
\(= a^{3} + 3a^{2}b + 3ab^{2} + b^{3}\)
Der Kerngedanke
\((a+b)^n\) bedeutet „schreibe die Klammer \((a+b)\) \(n\)-mal hin und multipliziere sie“. Beim Ausmultiplizieren wählen Sie aus jeder Klammer entweder \(a\) oder \(b\), multiplizieren Ihre Wahl miteinander und addieren die Ergebnisse aller möglichen Auswahlen.
Die Anzahl der Möglichkeiten, auszuwählen, welche \(k\) der \(n\) Klammern ein \(b\) liefern, ist \({}_n\mathrm{C}_k\) (in deutschen Schulbüchern \(\binom{n}{k}\), gelesen „n über k“). Also kommt dasselbe Glied \(a^{n-k}b^{k}\) genau \({}_n\mathrm{C}_k\)-mal vor, und beim Zusammenfassen ist der Koeffizient \({}_n\mathrm{C}_k\). Mehr sagt der binomische Lehrsatz nicht. Für \(n = 2\) ist er die erste binomische Formel \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\), die Sie aus Klasse 8 kennen.
Die Abbildung oben zeigt \((a+b)^2\) als Fläche eines Quadrats. Es gibt zwei \(ab\)-Rechtecke, was \(2ab\) ergibt, sodass Sie die Koeffizienten 1, 2, 1 mit eigenen Augen sehen.
Das allgemeine Glied (das \((k+1)\)-te Glied)
Abbildung
Mathematische Schreibweise
(die übliche Schreibweise)
\(T_{k+1}\)
\(=\)
\({}_{n}\mathrm{C}_{k}\)
\(a^{n-k}\)
\(b^{k}\)
In Worten
(die Symbole durch Wörter ersetzt)
④
\(T_{k+1}\): das \((k+1)\)-te Glied des ausmultiplizierten Terms
\(=\)
①
\({}_n\mathrm{C}_k\): Möglichkeiten, \(k\) von \(n\) auszuwählen
②
\(a^{n-k}\): \((n-k)\)-mal \(a\) multipliziert
③
\(b^{k}\): \(k\)-mal \(b\) multipliziert
Die Formel in Worten
①
Multiplizieren Sie die
\({}_n\mathrm{C}_k\): Möglichkeiten, \(k\) von \(n\) auszuwählen
②
mit
\(a^{n-k}\): \((n-k)\)-mal \(a\) multipliziert
③
und mit
\(b^{k}\): \(k\)-mal \(b\) multipliziert
④
und Sie erhalten
\(T_{k+1}\): das \((k+1)\)-te Glied des ausmultiplizierten Terms
Einfaches Beispiel
Das 3. Glied (\(k = 2\)) von \((2x+3)^{5}\), mit \(a = 2x\) und \(b = 3\), ist
3. Glied \(T_{3}\)
\(=\)
Möglichkeiten, 2 von 5 auszuwählen
3-mal \(2x\) multipliziert
2-mal 3 multipliziert
\(T_{3} = {}_{5}\mathrm{C}_{2}(2x)^{3}\cdot 3^{2} = 10 \times 8x^{3} \times 9 = 720x^{3}\)
Der Kerngedanke
Der häufigste Fehler beim binomischen Lehrsatz ist, dass Gliednummer und \(k\) um eins verschoben sind. Das Glied mit \(k = 0\) ist das 1. Glied, also ist \(k\) beim \((k+1)\)-ten Glied „die Gliednummer minus 1“. Für das 3. Glied ist \(k = 2\).
Fragt eine Aufgabe nach „dem Koeffizienten von \(x^{3}\)“, bestimmen Sie \(k\) aus der Potenz von \(x\) und nicht aus der Gliednummer. In \((Ax+B)^n\) ist die Potenz von \(x\) gleich \(n-k\), lösen Sie also \(n-k = 3\), um \(k = n-3\) zu erhalten.
Ist \(a\) oder \(b\) eine Gruppe wie \(2x\), potenzieren Sie die ganze Gruppe, wie in \((2x)^{3} = 8x^{3}\). Um nicht versehentlich \(2x^{3}\) zu schreiben, setzen Sie vor dem Rechnen immer Klammern darum.
Einen Binomialkoeffizienten berechnen (die Anzahl der Kombinationen)
Mathematische Schreibweise
(die übliche Schreibweise)
\({}_{n}\mathrm{C}_{k}\)
\(=\)
\(\dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}\)
In Worten
(die Symbole durch Wörter ersetzt)
②
\({}_n\mathrm{C}_k\): Möglichkeiten, \(k\) von \(n\) auszuwählen
\(=\)
①
\(\dfrac{\text{alle }n\text{ Dinge anordnen }n!}{\text{Reihenfolgen der }k\text{ gewählten }k!\ \times\ \text{Reihenfolgen der }(n-k)\text{ übrigen }(n-k)!}\)
Die Formel in Worten
①
Der Bruch
\(\dfrac{\text{alle }n\text{ Dinge anordnen }n!}{\text{Reihenfolgen der }k\text{ gewählten }k!\ \times\ \text{Reihenfolgen der }(n-k)\text{ übrigen }(n-k)!}\)
②
ist die Zahl
\({}_n\mathrm{C}_k\): Möglichkeiten, \(k\) von \(n\) auszuwählen
Einfaches Beispiel
Die Anzahl der Möglichkeiten, 2 von 5 auszuwählen, \({}_5\mathrm{C}_2\), ist
Möglichkeiten, 2 von 5 auszuwählen
\(=\)
\(\dfrac{\text{alle 5 anordnen }5!}{\text{Reihenfolgen der 2 gewählten }2!\ \times\ \text{Reihenfolgen der 3 übrigen }3!}\)
\({}_{5}\mathrm{C}_{2} = \dfrac{5!}{2!\,(5-2)!} = \dfrac{120}{2 \times 6} = 10\)
\({}_{5}\mathrm{C}_{2} = \dfrac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10\)
Der Kerngedanke
Die Fakultät ist das Produkt aller ganzen Zahlen von 1 bis zu dieser Zahl (\(5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120\)). Per Definition gilt \(0! = 1\), also ist \({}_n\mathrm{C}_0 = {}_n\mathrm{C}_n = 1\).
Warum teilt man? Denken Sie ans Anordnen. Stellen Sie alle \(n\) Dinge in eine Reihe und sagen Sie, die ersten \(k\) sind „gewählt“ und die übrigen \((n-k)\) „nicht gewählt“. Dann liefert jede der \(n!\) Reihenfolgen eine Auswahl. Aber das Umordnen der \(k\) gewählten Dinge (\(k!\) Möglichkeiten) oder der \((n-k)\) übrigen (\((n-k)!\) Möglichkeiten) ändert nichts daran, wer gewählt wurde. Jede Auswahl wird \(k!\,(n-k)!\)-mal gezählt, und die Division dadurch lässt nur die Anzahl der Auswahlen übrig.
Von Hand geht die zweite Form oben schneller: Der Zähler zählt \(k\) Zahlen von \(n\) abwärts, und der Nenner ist \(k!\). Für \({}_5\mathrm{C}_2\) ist das \(\dfrac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10\). In deutschen Schulbüchern schreibt man \(\binom{5}{2}\) und liest „5 über 2“.
Binomialkoeffizienten sind symmetrisch: \({}_n\mathrm{C}_k = {}_n\mathrm{C}_{n-k}\) (\(k\) Dinge zu wählen ist dasselbe, wie die \((n-k)\) Dinge zu wählen, die man weglässt). Zum Beispiel geht \({}_7\mathrm{C}_5\) schneller als \({}_7\mathrm{C}_2 = 21\). Deshalb lesen sich auch die Koeffizienten eines ausmultiplizierten Terms von beiden Enden gleich.
Das Pascalsche Dreieck (die Summe zweier Nachbarn)
Abbildung
Mathematische Schreibweise
(die übliche Schreibweise)
\({}_{n-1}\mathrm{C}_{k-1}\)
\(+\)
\({}_{n-1}\mathrm{C}_{k}\)
\(=\)
\({}_{n}\mathrm{C}_{k}\)
In Worten
(die Symbole durch Wörter ersetzt)
①
\({}_{n-1}\mathrm{C}_{k-1}\): die Zahl links oben in der Zeile darüber
\(+\)
②
\({}_{n-1}\mathrm{C}_{k}\): die Zahl rechts oben in der Zeile darüber
\(=\)
③
\({}_n\mathrm{C}_k\): die Zahl direkt darunter
Die Formel in Worten
①
Addieren Sie die
\({}_{n-1}\mathrm{C}_{k-1}\): die Zahl links oben in der Zeile darüber
②
und die
\({}_{n-1}\mathrm{C}_{k}\): die Zahl rechts oben in der Zeile darüber
③
und Sie erhalten
\({}_n\mathrm{C}_k\): die Zahl direkt darunter
Einfaches Beispiel
Addiert man die 3 und die 3 in der Zeile \(n = 3\), erhält man die 6 in der Zeile \(n = 4\)
links oben \({}_3\mathrm{C}_1 = 3\)
\(+\)
rechts oben \({}_3\mathrm{C}_2 = 3\)
\(=\)
direkt darunter \({}_4\mathrm{C}_2 = 6\)
\({}_{3}\mathrm{C}_{1} + {}_{3}\mathrm{C}_{2} = 3 + 3 = 6 = {}_{4}\mathrm{C}_{2}\)
Der Kerngedanke
Das Pascalsche Dreieck sind die Binomialkoeffizienten, Zeile für Zeile von oben als Dreieck angeordnet. Beide Enden jeder Zeile sind 1, und jede Zahl innen ist einfach die Summe der beiden Zahlen direkt darüber (links oben und rechts oben). Sie können die Koeffizienten allein durch Addition aufbauen, ganz ohne Fakultäten.
Der Auswahlgedanke erklärt auch, warum diese Addition funktioniert. Um \(k\) von \(n\) Dingen zu wählen, schauen Sie auf ein bestimmtes Ding. Entweder Sie wählen es (dann wählen Sie noch \((k-1)\) aus den anderen \((n-1)\)), oder Sie wählen es nicht (dann wählen Sie alle \(k\) aus den anderen \((n-1)\)). Die beiden Fälle sind genau die beiden Zahlen darüber.
Die Zahlen jeder Zeile ergeben zusammen \(2^n\) (Zeile \(n = 4\): \(1+4+6+4+1 = 16 = 2^4\)). Das ist der binomische Lehrsatz mit \(a = b = 1\).
Der binomische Lehrsatz besagt \((a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} {}_n\mathrm{C}_k a^{n-k} b^{k}\): Im ausmultiplizierten Term ist der Koeffizient von \(a^{n-k}b^{k}\) gleich \({}_n\mathrm{C}_k\). Um nur ein Glied zu bestimmen, nutzen Sie das allgemeine Glied \({}_n\mathrm{C}_k a^{n-k} b^{k}\) und wählen \(k\) aus der Potenz von \(x\). Die Koeffizienten stimmen mit der Zeile \(n\) des Pascalschen Dreiecks überein.
Symbole und Begriffe
Symbole
| \({}_n\mathrm{C}_k\) | n C k, oder n über k | Die Anzahl der Möglichkeiten, \(k\) Dinge aus \(n\) auszuwählen (die Anzahl der Kombinationen). Im binomischen Lehrsatz wird sie zum Koeffizienten des ausmultiplizierten Terms und heißt deshalb auch Binomialkoeffizient. \(\mathrm{C}\) ist der Anfangsbuchstabe von „Combination“. In deutschen Schulbüchern schreibt man \(\binom{n}{k}\) („n über k“), außerdem nCk oder C(n, k). |
| \(n!\) | n Fakultät | Das Produkt aller ganzen Zahlen von 1 bis \(n\) (\(4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24\)). Es sieht aus wie ein Ausrufezeichen, ist aber das mathematische Zeichen für „Fakultät“. Per Definition gilt \(0! = 1\). |
| \(a,\ b\) | a, b | Die beiden Glieder in der Klammer des binomischen Lehrsatzes. „Binom“ bedeutet „zweigliedrig“, und das sind die beiden. Üblicherweise stehen Buchstaben vom Anfang des Alphabets, \(a,\ b,\ c\), für feste Werte. |
| \(n\) | n | Wie oft dieselbe Klammer multipliziert wird (der Exponent). Der Buchstabe \(n\), von „Anzahl“, steht oft für eine Anzahl. Auf dieser Seite ist er eine ganze Zahl von 0 bis 12. |
| \(k\) | k | Ein Zähler für „wie viele \(b\) gewählt wurden“. Er läuft von 0 bis \(n\). Das Glied mit \(k = 0\) ist das 1. Glied, deshalb sagt man „das \((k+1)\)-te Glied“. Der Buchstabe \(k\) ist eine übliche Wahl für einen Zähler ganzer Zahlen. |
| \(\displaystyle\sum\) | Summenzeichen (Sigma) | Das Zeichen für „alles addieren“. Es ist der große griechische Buchstabe Sigma, passend zu S wie „Summe“. \(\sum_{k=0}^{n}\) bedeutet „addiere den Ausdruck dahinter, wobei \(k\) von 0 bis \(n\) läuft“. |
| \(T_{k+1}\) | T k plus 1 | Das Glied an der Position \(k+1\) von vorn, wenn der ausmultiplizierte Term nach fallenden Potenzen geschrieben ist. \(T\) ist der Anfangsbuchstabe von „Term“. Es heißt allgemeines Glied. |
| \(A,\ B\) | großes A, großes B | Die Buchstaben in den Eingabefeldern dieses Rechners. In \((Ax+B)^n\) ist \(A\) der Koeffizient von \(x\) und \(B\) das konstante Glied ohne \(x\). Im binomischen Lehrsatz ist \(a = Ax\) und \(b = B\). |
| \(x\) | x | Ein Buchstabe, dessen Wert nicht festgelegt ist (eine Variable). Dieser Rechner multipliziert Terme der Form \((Ax+B)^n\) aus, die Antwort ist also ein Polynom in \(x\). |
Begriffe
| binomischer Lehrsatz | Der Satz, dass die Koeffizienten beim Ausmultiplizieren von \((a+b)^n\) die Anzahlen der Kombinationen \({}_n\mathrm{C}_k\) sind. In Deutschland wird er meist in der Oberstufe (Klasse 11–12, 16–18 Jahre) behandelt; für \(n = 2\) und \(n = 3\) kennt man ihn schon früher als binomische Formeln. |
| Binomialkoeffizient | Der Koeffizient \({}_n\mathrm{C}_k\) (\(\binom{n}{k}\), „n über k“), der im binomischen Lehrsatz vorkommt. Er ist dasselbe wie die Anzahl der Kombinationen, aber dieser Name wird benutzt, wenn man ihn als Koeffizienten eines ausmultiplizierten Terms betrachtet. |
| Kombination | Eine Art, einige Dinge aus einer Gruppe auszuwählen, ohne auf die Reihenfolge zu achten. Die Anzahl der Möglichkeiten, \(k\) von \(n\) auszuwählen, schreibt man \({}_n\mathrm{C}_k\). Anders als bei einer Permutation, bei der die Reihenfolge zählt, gilt dieselbe Menge von Dingen als eine Möglichkeit. |
| Fakultät | Das Produkt aller ganzen Zahlen von 1 bis zu dieser Zahl. \(5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120\). Man braucht sie, um die Anzahl der Kombinationen zu berechnen. |
| allgemeines Glied | Eine einzige Formel, die jedes Glied eines ausmultiplizierten Terms über seine Position beschreibt. Im binomischen Lehrsatz ist das \((k+1)\)-te Glied \({}_n\mathrm{C}_k a^{n-k} b^{k}\) das allgemeine Glied. Um ein Glied zu bestimmen, setzen Sie Werte ein. |
| Ausmultiplizieren (Entwicklung) | Einen Term mit Klammern ausmultiplizieren, um ihn als Summe von Gliedern ohne Klammern zu schreiben. Es ist genau das Gegenteil des Faktorisierens. |
| nach fallenden Potenzen geordnet | Die Glieder eines Terms von der höchsten Potenz der Variablen abwärts schreiben, wie in \(x^3 + 2x^2 - x + 5\). Ergebnisse schreibt man meist in dieser Reihenfolge. |
| Pascalsches Dreieck | Die Binomialkoeffizienten, Zeile für Zeile als Dreieck angeordnet. Beide Enden sind 1, und jede Zahl innen ist die Summe der beiden Zahlen darüber. Es ist nach dem französischen Mathematiker Blaise Pascal benannt, war aber Jahrhunderte früher in Persien, Indien und China bekannt, wo es Yang-Hui-Dreieck heißt. |
| Polynom | Ein Term, der Glieder aus einem Koeffizienten mal einer Potenz von \(x\) addiert, wie \(2x^3 - x + 5\). Auch das Ergebnis des Ausmultiplizierens mit dem binomischen Lehrsatz ist ein Polynom. |
| Glied | Jeder durch Plus- und Minuszeichen getrennte Teil eines Terms. \(x^3 - 2x + 3\) hat drei Glieder: \(x^3\), \(-2x\) und \(3\). |
| Koeffizient | Die Zahl vor einer Variablen. In \(3x^2\) ist der Koeffizient 3. Steht keine Zahl da, wie in \(x^2\), ist der Koeffizient 1. |
| Exponent | Die kleine 3 rechts oben bei \(x^3\). Sie zeigt, wie oft dasselbe multipliziert wird (\(x^3 = x \times x \times x\)). Man nennt sie auch Hochzahl. |
| konstantes Glied | Ein Glied ohne \(x\), nur eine Zahl, wie die 5 in \(x^2 + 3x + 5\). In diesem Rechner sind \(B\) in der Klammer und das letzte Glied des ausmultiplizierten Terms konstante Glieder. |
| Binomialverteilung | Die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Anzahl der Erfolge \(k\), wenn derselbe Versuch \(n\)-mal wiederholt wird. Ihre Wahrscheinlichkeiten \({}_n\mathrm{C}_k p^{k}(1-p)^{n-k}\) sind genau die Glieder von \((p + (1-p))^n\), ausmultipliziert mit dem binomischen Lehrsatz, daher kommt der Name „Binomial“. |
| verallgemeinerter binomischer Lehrsatz | Der binomische Lehrsatz, erweitert auf gebrochene und negative Exponenten. Das Ergebnis ist ein Term mit unendlich vielen Gliedern (eine unendliche Reihe). Dieser Rechner behandelt nur ganzzahlige Exponenten von 0 oder mehr. |
Was Sie vorab wissen sollten
Hier steht, was Ihnen hilft, die Berechnung auf dieser Seite wirklich zu verstehen und nicht nur den Knopf zu drücken.
Wenn Sie nicht weiterkommen, ist es der schnellste Weg, diese Themen zu wiederholen.
| Ausmultiplizieren (Klasse 8, 13–14 Jahre) |
|
| Potenzen und Potenzgesetze (Klasse 8–9, 13–15 Jahre) |
|
| Rechnen mit negativen Zahlen (Klasse 6–7, 11–13 Jahre) |
|
| Kombinationen und Fakultäten (Klasse 11, 16–17 Jahre) |
|
| Summenzeichen (Klasse 11, 16–17 Jahre) |
|
| Bruchrechnung (Klasse 5–6, 10–12 Jahre) |
|
Mit Excel berechnen
Kopieren Sie die gesamte Tabelle unten und fügen Sie sie in Zelle A1 von Excel ein. Sie funktioniert unverändert.
Tabelle für jeden Koeffizienten des ausmultiplizierten Terms mit dem binomischen Lehrsatz
| Koeffizient von x, A | 2 |
| Konstantes Glied B | 3 |
| Exponent n | 5 |
| Koeffizient für k=0 (x hoch n−0) | =WENNFEHLER(KOMBINATIONEN($B$3;0)*$B$1^($B$3-0)*$B$2^0;0) |
| Koeffizient für k=1 (x hoch n−1) | =WENNFEHLER(KOMBINATIONEN($B$3;1)*$B$1^($B$3-1)*$B$2^1;0) |
| Koeffizient für k=2 (x hoch n−2) | =WENNFEHLER(KOMBINATIONEN($B$3;2)*$B$1^($B$3-2)*$B$2^2;0) |
| Koeffizient für k=3 (x hoch n−3) | =WENNFEHLER(KOMBINATIONEN($B$3;3)*$B$1^($B$3-3)*$B$2^3;0) |
| Koeffizient für k=4 (x hoch n−4) | =WENNFEHLER(KOMBINATIONEN($B$3;4)*$B$1^($B$3-4)*$B$2^4;0) |
| Koeffizient für k=5 (x hoch n−5) | =WENNFEHLER(KOMBINATIONEN($B$3;5)*$B$1^($B$3-5)*$B$2^5;0) |
| Koeffizient für k=6 (x hoch n−6) | =WENNFEHLER(KOMBINATIONEN($B$3;6)*$B$1^($B$3-6)*$B$2^6;0) |
Tabelle für den Koeffizienten des allgemeinen Glieds (das (k+1)-te Glied)
| Koeffizient von x, A | 2 |
| Konstantes Glied B | 3 |
| Exponent n | 5 |
| Gliednummer (von vorn) | 3 |
| k (Gliednummer minus 1) | =B4-1 |
| Potenz von x (n−k) | =B3-B5 |
| Binomialkoeffizient nCk | =KOMBINATIONEN(B3;B5) |
| Koeffizient des Glieds | =B7*B1^B6*B2^B5 |
Tabelle für einen Binomialkoeffizienten (Anzahl der Kombinationen)
| n | 5 |
| k | 2 |
| Binomialkoeffizient nCk | =KOMBINATIONEN(B1;B2) |
| Kontrolle mit Fakultäten | =FAKULTÄT(B1)/(FAKULTÄT(B2)*FAKULTÄT(B1-B2)) |
Tabelle zum Aufbau des Pascalschen Dreiecks
| Zeile n = 0 | 1 | |||||
| Zeile n = 1 | 1 | 1 | ||||
| Zeile n = 2 | 1 | =B2+C2 | 1 | |||
| Zeile n = 3 | 1 | =B3+C3 | =C3+D3 | 1 | ||
| Zeile n = 4 | 1 | =B4+C4 | =C4+D4 | =D4+E4 | 1 | |
| Zeile n = 5 | 1 | =B5+C5 | =C5+D5 | =D5+E5 | =E5+F5 | 1 |
Nach dem Einfügen sind die oberen Zeilen (A, B, n und so weiter) Ihre Eingaben, und die unteren Zeilen werden automatisch berechnet.
KOMBINATIONEN(n; k) ist der Binomialkoeffizient nCk, FAKULTÄT(n) ist n Fakultät, und „^“ ist eine Potenz.
Die erste Tabelle multipliziert (2x+3)⁵ aus. Ab k=0 zeigt sie 32, 240, 720, 1080, 810, 243 (die Zeile für k ist der Koeffizient von x hoch n−k). Ändern Sie A, B und n, dann erhalten Sie die Koeffizienten Ihres eigenen Terms. Ist n kleiner als 6, zeigen die Zeilen für nicht vorhandene Glieder 0 (WENNFEHLER macht daraus 0). Ist n gleich 7 oder mehr, kopieren Sie die letzte Zeile nach unten und ändern die 6 in der Formel zu 7, 8 und so weiter.
Die zweite Tabelle bestimmt nur das 3. Glied: k ist 2, die Potenz von x ist 3, der Binomialkoeffizient ist 10, und der Koeffizient des Glieds ist 720.
Die dritte Tabelle ist die Anzahl der Möglichkeiten, 2 von 5 auszuwählen, und beide Formeln ergeben 10.
In der vierten Tabelle sind nur die Einsen an beiden Enden eingetippt. Jede Zahl innen ist eine Formel, die die beiden Zellen direkt darüber addiert. Zeile n = 5 zeigt 1, 5, 10, 10, 5, 1.
KOMBINATIONEN(n; k) ist der Binomialkoeffizient nCk, FAKULTÄT(n) ist n Fakultät, und „^“ ist eine Potenz.
Die erste Tabelle multipliziert (2x+3)⁵ aus. Ab k=0 zeigt sie 32, 240, 720, 1080, 810, 243 (die Zeile für k ist der Koeffizient von x hoch n−k). Ändern Sie A, B und n, dann erhalten Sie die Koeffizienten Ihres eigenen Terms. Ist n kleiner als 6, zeigen die Zeilen für nicht vorhandene Glieder 0 (WENNFEHLER macht daraus 0). Ist n gleich 7 oder mehr, kopieren Sie die letzte Zeile nach unten und ändern die 6 in der Formel zu 7, 8 und so weiter.
Die zweite Tabelle bestimmt nur das 3. Glied: k ist 2, die Potenz von x ist 3, der Binomialkoeffizient ist 10, und der Koeffizient des Glieds ist 720.
Die dritte Tabelle ist die Anzahl der Möglichkeiten, 2 von 5 auszuwählen, und beide Formeln ergeben 10.
In der vierten Tabelle sind nur die Einsen an beiden Enden eingetippt. Jede Zahl innen ist eine Formel, die die beiden Zellen direkt darüber addiert. Zeile n = 5 zeigt 1, 5, 10, 10, 5, 1.
Mit Google Tabellen berechnen
Kopieren Sie die gesamte Tabelle unten und fügen Sie sie in Zelle A1 von Google Tabellen ein. Sie funktioniert unverändert.
Tabelle für jeden Koeffizienten des ausmultiplizierten Terms mit dem binomischen Lehrsatz
| Koeffizient von x, A | 2 |
| Konstantes Glied B | 3 |
| Exponent n | 5 |
| Koeffizient für k=0 (x hoch n−0) | =WENNFEHLER(KOMBINATIONEN($B$3;0)*$B$1^($B$3-0)*$B$2^0;0) |
| Koeffizient für k=1 (x hoch n−1) | =WENNFEHLER(KOMBINATIONEN($B$3;1)*$B$1^($B$3-1)*$B$2^1;0) |
| Koeffizient für k=2 (x hoch n−2) | =WENNFEHLER(KOMBINATIONEN($B$3;2)*$B$1^($B$3-2)*$B$2^2;0) |
| Koeffizient für k=3 (x hoch n−3) | =WENNFEHLER(KOMBINATIONEN($B$3;3)*$B$1^($B$3-3)*$B$2^3;0) |
| Koeffizient für k=4 (x hoch n−4) | =WENNFEHLER(KOMBINATIONEN($B$3;4)*$B$1^($B$3-4)*$B$2^4;0) |
| Koeffizient für k=5 (x hoch n−5) | =WENNFEHLER(KOMBINATIONEN($B$3;5)*$B$1^($B$3-5)*$B$2^5;0) |
| Koeffizient für k=6 (x hoch n−6) | =WENNFEHLER(KOMBINATIONEN($B$3;6)*$B$1^($B$3-6)*$B$2^6;0) |
Tabelle für den Koeffizienten des allgemeinen Glieds (das (k+1)-te Glied)
| Koeffizient von x, A | 2 |
| Konstantes Glied B | 3 |
| Exponent n | 5 |
| Gliednummer (von vorn) | 3 |
| k (Gliednummer minus 1) | =B4-1 |
| Potenz von x (n−k) | =B3-B5 |
| Binomialkoeffizient nCk | =KOMBINATIONEN(B3;B5) |
| Koeffizient des Glieds | =B7*B1^B6*B2^B5 |
Tabelle für einen Binomialkoeffizienten (Anzahl der Kombinationen)
| n | 5 |
| k | 2 |
| Binomialkoeffizient nCk | =KOMBINATIONEN(B1;B2) |
| Kontrolle mit Fakultäten | =FAKULTÄT(B1)/(FAKULTÄT(B2)*FAKULTÄT(B1-B2)) |
Tabelle zum Aufbau des Pascalschen Dreiecks
| Zeile n = 0 | 1 | |||||
| Zeile n = 1 | 1 | 1 | ||||
| Zeile n = 2 | 1 | =B2+C2 | 1 | |||
| Zeile n = 3 | 1 | =B3+C3 | =C3+D3 | 1 | ||
| Zeile n = 4 | 1 | =B4+C4 | =C4+D4 | =D4+E4 | 1 | |
| Zeile n = 5 | 1 | =B5+C5 | =C5+D5 | =D5+E5 | =E5+F5 | 1 |
Die Formeln funktionieren wie in Excel (Google Tabellen kennt bei deutschen Spracheinstellungen ebenfalls KOMBINATIONEN und FAKULTÄT). Kopieren Sie die gesamte Tabelle, fügen Sie sie in Zelle A1 ein und ersetzen Sie A, B und n durch Ihre eigenen Zahlen.
Mit Python berechnen
from fractions import Fraction
from math import comb
# (Ax + B) hoch n ausmultiplizieren (ein Bruch wie 3/4 wird als Fraction(3, 4) geschrieben)
coef_x = Fraction(2) # Koeffizient von x, A
const = Fraction(3) # konstantes Glied B
power = 5 # Exponent n
# k läuft von 0 bis n. Die Potenz von x ist n - k, und der Koeffizient ist nCk × A^(n-k) × B^k
for k in range(power + 1):
exponent = power - k
coefficient = comb(power, k) * coef_x ** exponent * const ** k
print(f"Koeffizient von x^{exponent}: {coefficient}")
# Nur den Koeffizienten von x^3 bestimmen (k = n - 3)
target = 3
k = power - target
coefficient = comb(power, k) * coef_x ** target * const ** k
print(f"Binomialkoeffizient: {comb(power, k)}")
print(f"Koeffizient von x^{target}: {coefficient}")
In der Standardbibliothek liefert math.comb den Binomialkoeffizienten nCk, und fractions.Fraction behält exakte Brüche (math.comb braucht Python 3.8 oder neuer). Dieses Beispiel multipliziert (2x+3)⁵ aus. Beim Ausführen erscheinen die Koeffizienten in der Reihenfolge 32, 240, 720, 1080, 810, 243, und zuletzt der Koeffizient von x hoch 3, 720. Ändern Sie A, B und n und führen Sie den Code aus.
Die Formel in LaTeX und anderen mathematischen Schreibweisen (zum Kopieren)
Der binomische Lehrsatz
(a+b)ⁿ = ₙC₀aⁿ + ₙC₁aⁿ⁻¹b + ⋯ + ₙCₙbⁿ
(a+b)^{n} = \sum_{k=0}^{n} {}_{n}\mathrm{C}_{k}\, a^{n-k} b^{k}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msup>
<mrow><mo>(</mo><mi>a</mi><mo>+</mo><mi>b</mi><mo>)</mo></mrow>
<mi>n</mi>
</msup>
<mo>=</mo>
<munderover>
<mo>∑</mo>
<mrow><mi>k</mi><mo>=</mo><mn>0</mn></mrow>
<mi>n</mi>
</munderover>
<mmultiscripts><mi mathvariant="normal">C</mi><mi>k</mi><none/><mprescripts/><mi>n</mi><none/></mmultiscripts>
<msup><mi>a</mi><mrow><mi>n</mi><mo>−</mo><mi>k</mi></mrow></msup>
<msup><mi>b</mi><mi>k</mi></msup>
</mrow>
</math>
(a+b)^n = sum_(k=0)^n C(n,k) a^(n-k) b^k
Sum[Binomial[n, k] a^(n - k) b^k, {k, 0, n}]
sum(binomial(n, k)*a^(n-k)*b^k, k = 0 .. n);
symsum(nchoosek(n, k)*a^(n-k)*b^k, k, 0, n)
(a+b)^n = ∑_(k=0)^n C(n,k) a^(n-k) b^k
Das allgemeine Glied (das \((k+1)\)-te Glied)
Tₖ₊₁ = ₙCₖ aⁿ⁻ᵏ bᵏ
T_{k+1} = {}_{n}\mathrm{C}_{k}\, a^{n-k} b^{k}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msub><mi>T</mi><mrow><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msub>
<mo>=</mo>
<mmultiscripts><mi mathvariant="normal">C</mi><mi>k</mi><none/><mprescripts/><mi>n</mi><none/></mmultiscripts>
<msup><mi>a</mi><mrow><mi>n</mi><mo>−</mo><mi>k</mi></mrow></msup>
<msup><mi>b</mi><mi>k</mi></msup>
</mrow>
</math>
T_(k+1) = C(n,k) a^(n-k) b^k
Binomial[n, k] a^(n - k) b^k
T := binomial(n, k)*a^(n-k)*b^k;
T = nchoosek(n, k)*a^(n-k)*b^k;
T_(k+1) = C(n,k) a^(n-k) b^k
Einen Binomialkoeffizienten berechnen (die Anzahl der Kombinationen)
ₙCₖ = n! ÷ (k!(n−k)!)
{}_{n}\mathrm{C}_{k} = \frac{n!}{k!\,(n-k)!}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mmultiscripts><mi mathvariant="normal">C</mi><mi>k</mi><none/><mprescripts/><mi>n</mi><none/></mmultiscripts>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow><mi>n</mi><mo>!</mo></mrow>
<mrow><mi>k</mi><mo>!</mo><mo>(</mo><mi>n</mi><mo>−</mo><mi>k</mi><mo>)</mo><mo>!</mo></mrow>
</mfrac>
</mrow>
</math>
C(n,k) = (n!)/(k!(n-k)!)
Binomial[n, k]
binomial(n, k);
nchoosek(n, k)
C(n,k) = n!/(k!(n-k)!)
Das Pascalsche Dreieck (die Summe zweier Nachbarn)
ₙ₋₁Cₖ₋₁ + ₙ₋₁Cₖ = ₙCₖ
{}_{n-1}\mathrm{C}_{k-1} + {}_{n-1}\mathrm{C}_{k} = {}_{n}\mathrm{C}_{k}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mmultiscripts><mi mathvariant="normal">C</mi><mrow><mi>k</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow><none/><mprescripts/><mrow><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow><none/></mmultiscripts>
<mo>+</mo>
<mmultiscripts><mi mathvariant="normal">C</mi><mi>k</mi><none/><mprescripts/><mrow><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow><none/></mmultiscripts>
<mo>=</mo>
<mmultiscripts><mi mathvariant="normal">C</mi><mi>k</mi><none/><mprescripts/><mi>n</mi><none/></mmultiscripts>
</mrow>
</math>
C(n-1,k-1) + C(n-1,k) = C(n,k)
Binomial[n - 1, k - 1] + Binomial[n - 1, k] == Binomial[n, k]
binomial(n-1, k-1) + binomial(n-1, k) = binomial(n, k);
nchoosek(n-1, k-1) + nchoosek(n-1, k)
C(n-1,k-1) + C(n-1,k) = C(n,k)
Die Berechnung von ChatGPT ausführen lassen
Sie sind ein Rechenassistent für Algebra. Führen Sie die folgende Berechnung durch, indem Sie tatsächlich Python-Code ausführen, und stützen Sie Ihre Antwort nur auf die Zahlen aus dem Ergebnis der Ausführung (antworten Sie nicht durch Kopfrechnen oder Raten). Multiplizieren Sie (2x+3)^5 mit dem binomischen Lehrsatz aus. Zeigen Sie jeweils: 1. Das allgemeine Glied (das (k+1)-te Glied) 2. Die Binomialkoeffizienten 5 über k für k = 0 bis 5 3. Den ausmultiplizierten Term (nach fallenden Potenzen von x geordnet, jeder Koeffizient als gekürzter Bruch oder ganze Zahl) 4. Den Koeffizienten von x^3 und wie Sie ihn gefunden haben (wie Sie k gewählt haben) Rechnen Sie in Python exakt mit math.comb und fractions.Fraction aus der Standardbibliothek und zeigen Sie die verwendeten Formeln und die Zahlen aus dem Ergebnis der Ausführung.
Anleitung
-
1Zahlen eingebenGeben Sie die Zahlen, mit denen Sie rechnen möchten, in die Eingabefelder ein
-
2BerechnenKlicken Sie auf die Schaltfläche „Berechnen“
-
3Ergebnis ablesenDas Ergebnis erscheint sofort. Auf derselben Seite finden Sie auch den Rechenweg und die Erklärung der Formel
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