展開したい式 (Ax+B)ⁿ の A・B・n を入力してください。下の数式は入力欄と連動していて、数式のほうを直接書き換えても計算できます。全部の項を展開するか、特定の1項だけを求めるかは「求めるもの」で選べます。
数値は半角で入力してください。小数・負の数・3/4 のような分数が使えます。指数 n は 0 以上 12 以下の整数です。
計算結果・図形
左の入力欄に係数と指数を入れて「計算する」を押すと、ここに展開した式とパスカルの三角形が表示されます。
このページでできること
- \((Ax+B)^{n}\)（\(n\) は 0〜12）を二項定理で展開し、降べきの順に並べた式をその場で表示できます
- \(x^{3}\) の係数だけ知りたいときは、\(x\) の指数（または先頭から何番目の項か）を指定して、その1項だけを求められます
- 1項だけを求めるときは、二項係数 \({}_n\mathrm{C}_k\) の値と、\(\dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}\) に当てはめた途中式も表示します
- パスカルの三角形を \(n\) の段まで描き、使った段に色を付けて示します
- \(A\)・\(B\) には小数・負の数のほか、3/4 のような分数も入力できます。係数は分数のまま約分して厳密に計算します
- 式のやさしい解説・Excel/Googleスプレッドシート/Python用のコピペ数式・計算ドリル（演習問題）もこのページにまとまっています
扱えるのは \((Ax+B)^{n}\) の形（\(n\) は 0 以上 12 以下の整数）です。指数が分数や負の数の場合（一般二項定理）、および3つ以上の項の展開（多項定理）には対応していません。
この計算は何の役に立つ？
「n回中k回起こる確率」を求める（品質管理・世論調査・臨床試験）
1回あたりの確率が \(p\) で毎回変わらず、1回ごとの結果が互いに影響し合わない試行を \(n\) 回くり返したとき、あることが \(k\) 回起こる確率は \({}_n\mathrm{C}_k p^{k}(1-p)^{n-k}\) で求められます。これは \((p + (1-p))^n\) を二項定理で展開した各項そのもので、この形の確率分布を二項分布と呼びます。
例えば不良率が常に3%の工程から10個を抜き取ったとき、1個も不良が出ない確率は \(k = 0\) の項 \(0.97^{10} \fallingdotseq 0.737\)、つまり約74%です。逆にいえば、10個検査すれば約26%の確率で不良が見つかります。抜き取り検査の個数を決めるとき、世論調査の誤差を見積もるとき、新薬の効き目を統計的に判定するときなど、確率が絡む判断の土台になっています。
遺伝の「子どもに現れる割合」を計算する（生物・農業）
両親がどちらも \(\mathrm{Aa}\) という遺伝子の組み合わせのとき、子どもの遺伝子型は \(\mathrm{AA} : \mathrm{Aa} : \mathrm{aa} = 1 : 2 : 1\) の割合で現れます。この 1・2・1 は、父親も母親も \(\mathrm{A}\) と \(\mathrm{a}\) を \(\dfrac{1}{2}\) ずつの確率で渡すことから \(\left(\dfrac{1}{2}\mathrm{A} + \dfrac{1}{2}\mathrm{a}\right)^{2} = \dfrac{1}{4}\left(\mathrm{AA} + 2\,\mathrm{Aa} + \mathrm{aa}\right)\) と展開したときの二項係数で、パスカルの三角形の \(n = 2\) の段と同じ数です。
注目する形質が増えたり、きょうだいの人数で場合分けしたりすると手計算では追えなくなりますが、二項定理を使えば「4人きょうだいのうち2人だけがある形質になる確率」のような計算も一度に片付きます。品種改良や遺伝カウンセリングでは、この考え方で期待される割合を見積もっています。
複利や成長率を「ざっくり」見積もる（お金・経済）
年利 \(r\) で \(n\) 年運用したときの倍率 \((1+r)^{n}\) を二項定理で展開すると \(1 + nr + {}_n\mathrm{C}_2 r^{2} + \cdots\) となり、先頭の \(1 + nr\) が単利の考え方、その後ろが「利息にも利息が付く分」にあたります。
例えば年利1%で10年なら \(1.01^{10} = 1.10462\cdots\) ですが、展開の最初の3項 \(1 + 0.1 + 0.0045\) だけでも 1.1045 と、ほぼ同じ値が出ます。細かい項ほど小さくなるので、暗算でおおよその見当を付けたいときに便利です。金利・物価上昇率・人口増加率のように「毎年同じ割合で増える量」は、すべてこの形になります。
微小な変化の影響を見積もる（工学・物理・測定）
設計や測定の現場では「わずかに変わったとき、結果はどれだけ変わるか」を素早く知りたい場面が多くあります。二項定理で展開して、2乗以上の小さい項を切り捨てると \((1+x)^{n} \fallingdotseq 1 + nx\) という近似式が得られます。
例えば立方体の1辺が1%長くなったときの体積は \((1+0.01)^{3} = 1.030301\) 倍、つまり約3%増です。近似式でも \(1 + 3 \times 0.01 = 1.03\) と、ほぼ同じ答えになります。「長さの誤差が1%なら、体積の誤差はおよそ3%」という感覚は、部品の公差設計や測定誤差の見積もりでそのまま使われています。
選択肢の総数を数える（組合せ・場合の数）
\(n\) 種類のものから「選ぶ・選ばない」を自由に決めるときの組み合わせの総数は \(2^{n}\) 通りです。これは二項定理で \(a = b = 1\) とした式 \(\sum_{k=0}^{n} {}_n\mathrm{C}_k = 2^{n}\) にあたり、パスカルの三角形の各段を全部足した値でもあります。
例えばトッピングが5種類あるラーメンなら、何も乗せない場合も含めて \(2^{5} = 32\) 通りの注文ができます。しかも段の中身を見れば「ちょうど2種類だけ乗せる注文は \({}_5\mathrm{C}_2 = 10\) 通り」と内訳まで分かります。メニューの組み合わせ数、アンケートの選択パターン、テストケースの数え上げなど、選択肢を数える場面で広く使われる考え方です。
式と図
二項定理
図
数学表記
（一般的な数式）
\((a+b)^{n}\)
\(=\)
\(\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\)
\({}_{n}\mathrm{C}_{k}\)
\(a^{n-k}\)
\(b^{k}\)
日本語表記
（記号を日本語に置き換えた式）
⑤
\((a+b)\) を \(n\) 個掛け合わせたもの \((a+b)^n\)
\(=\)
④
\(b\) を選ぶ個数 \(k\) を 0 個から \(n\) 個まで変えて全部足す
①
\(n\) 個から \(k\) 個選ぶ選び方の数 \({}_n\mathrm{C}_k\)
②
\(a\) を \((n-k)\) 個掛けたもの \(a^{n-k}\)
③
\(b\) を \(k\) 個掛けたもの \(b^{k}\)
式を日本語で読むと
①
\(n\) 個から \(k\) 個選ぶ選び方の数 \({}_n\mathrm{C}_k\)
に
②
\(a\) を \((n-k)\) 個掛けたもの \(a^{n-k}\)
と
③
\(b\) を \(k\) 個掛けたもの \(b^{k}\)
を掛けたものを
④
\(b\) を選ぶ個数 \(k\) を 0 個から \(n\) 個まで変えて全部足す
と
⑤
\((a+b)\) を \(n\) 個掛け合わせたもの \((a+b)^n\)
になる
簡単な例
\((a+b)^{3}\) を展開すると（係数の 1・3・3・1 は \({}_3\mathrm{C}_0\) から \({}_3\mathrm{C}_3\) の値）
\((a+b)\) を3個掛け合わせたもの
\(=\)
\(b\) を選ぶ個数 \(k\) を 0 個から 3 個まで変えて全部足す
3個から \(k\) 個選ぶ選び方の数
\(a\) を \((3-k)\) 個掛けたもの
\(b\) を \(k\) 個掛けたもの
\((a+b)^{3} = {}_{3}\mathrm{C}_{0}a^{3} + {}_{3}\mathrm{C}_{1}a^{2}b + {}_{3}\mathrm{C}_{2}ab^{2} + {}_{3}\mathrm{C}_{3}b^{3}\)
\(= a^{3} + 3a^{2}b + 3ab^{2} + b^{3}\)
考え方のポイント
\((a+b)^n\) は「\((a+b)\) というかっこを \(n\) 個並べて掛け算する」という意味です。かっこを展開するときは、それぞれのかっこから \(a\) か \(b\) のどちらか一方を選んで掛け合わせ、選び方を全部足します。
このとき「\(n\) 個のかっこのうち、どの \(k\) 個から \(b\) を選ぶか」の選び方は \({}_n\mathrm{C}_k\) 通りあります。だから \(a^{n-k}b^{k}\) という同じ形の項が \({}_n\mathrm{C}_k\) 個できて、まとめると係数が \({}_n\mathrm{C}_k\) になるのです。これが二項定理の中身です。
上の図は \((a+b)^2\) を正方形の面積で表したものです。\(ab\) の長方形が2個できるので \(2ab\) になり、係数の 1・2・1 が目で確かめられます。
一般項（第 \(k+1\) 項）
図
数学表記
（一般的な数式）
\(T_{k+1}\)
\(=\)
\({}_{n}\mathrm{C}_{k}\)
\(a^{n-k}\)
\(b^{k}\)
日本語表記
（記号を日本語に置き換えた式）
④
展開した式の第 \(k+1\) 項 \(T_{k+1}\)
\(=\)
①
\(n\) 個から \(k\) 個選ぶ選び方の数 \({}_n\mathrm{C}_k\)
②
\(a\) を \((n-k)\) 個掛けたもの \(a^{n-k}\)
③
\(b\) を \(k\) 個掛けたもの \(b^{k}\)
式を日本語で読むと
①
\(n\) 個から \(k\) 個選ぶ選び方の数 \({}_n\mathrm{C}_k\)
に
②
\(a\) を \((n-k)\) 個掛けたもの \(a^{n-k}\)
と
③
\(b\) を \(k\) 個掛けたもの \(b^{k}\)
を掛けると
④
展開した式の第 \(k+1\) 項 \(T_{k+1}\)
になる
簡単な例
\((2x+3)^{5}\) の第3項（\(k = 2\)）は、\(a = 2x\)、\(b = 3\) として
第3項 \(T_{3}\)
\(=\)
5個から2個選ぶ選び方の数
\(2x\) を3個掛けたもの
3を2個掛けたもの
\(T_{3} = {}_{5}\mathrm{C}_{2}(2x)^{3}\cdot 3^{2} = 10 \times 8x^{3} \times 9 = 720x^{3}\)
考え方のポイント
番号と \(k\) が1つずれるのが、二項定理で最も間違えやすいところです。\(k = 0\) の項が第1項なので、第 \(k+1\) 項の \(k\) は「番号から1を引いた数」になります。第3項なら \(k = 2\) です。
「\(x^{3}\) の係数を求めよ」と聞かれたときは、番号ではなく \(x\) の指数から \(k\) を決めます。\((Ax+B)^n\) では \(x\) の指数が \(n-k\) なので、\(n-k = 3\) を解いて \(k = n-3\) とします。
\(a\) や \(b\) が \(2x\) のようなかたまりのときは、\((2x)^{3} = 8x^{3}\) のようにかっこ全体を3乗します。\(2x^{3}\) と書き間違えないよう、必ずかっこを付けてから計算してください。
二項係数（組合せの数）の計算
数学表記
（一般的な数式）
\({}_{n}\mathrm{C}_{k}\)
\(=\)
\(\dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}\)
日本語表記
（記号を日本語に置き換えた式）
②
\(n\) 個から \(k\) 個選ぶ選び方の数 \({}_n\mathrm{C}_k\)
\(=\)
①
\(\dfrac{\text{全部（}n\text{ 個）を1列に並べる並べ方 }n!}{\text{選ぶ }k\text{ 個の並べ替え }k!\ \times\ \text{選ばない }(n-k)\text{ 個の並べ替え }(n-k)!}\)
式を日本語で読むと
①
\(\dfrac{\text{全部（}n\text{ 個）を1列に並べる並べ方 }n!}{\text{選ぶ }k\text{ 個の並べ替え }k!\ \times\ \text{選ばない }(n-k)\text{ 個の並べ替え }(n-k)!}\)
が
②
\(n\) 個から \(k\) 個選ぶ選び方の数 \({}_n\mathrm{C}_k\)
になる
簡単な例
5個から2個選ぶ選び方の数 \({}_5\mathrm{C}_2\) は
5個から2個選ぶ選び方の数
\(=\)
\(\dfrac{\text{5個全部を1列に並べる並べ方 }5!}{\text{選ぶ2個の並べ替え }2!\ \times\ \text{選ばない3個の並べ替え }3!}\)
\({}_{5}\mathrm{C}_{2} = \dfrac{5!}{2!\,(5-2)!} = \dfrac{120}{2 \times 6} = 10\)
\({}_{5}\mathrm{C}_{2} = \dfrac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10\)
考え方のポイント
階乗とは、1からその数までを全部掛けたものです（\(5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120\)）。定義から \(0! = 1\) と決められているので、\({}_n\mathrm{C}_0 = {}_n\mathrm{C}_n = 1\) になります。
なぜ割り算をするのかは、並べ方から考えると見えてきます。\(n\) 個全部を1列に並べて、前の \(k\) 個を「選んだもの」、後ろの \((n-k)\) 個を「選ばなかったもの」と決めることにすると、\(n!\) 通りの並べ方がそのまま選び方に対応します。ただし、選んだ \(k\) 個どうしを並べ替えても（\(k!\) 通り）、選ばなかった \((n-k)\) 個どうしを並べ替えても（\((n-k)!\) 通り）、選んだ顔ぶれは変わりません。同じ選び方を \(k!\,(n-k)!\) 回ずつ重複して数えているので、その分で割ると選び方の数だけが残ります。
手計算では、上の2番目の書き方（分子は \(n\) から1ずつ減らして \(k\) 個、分母は \(k!\)）のほうが速く求められます。\({}_5\mathrm{C}_2\) なら \(\dfrac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10\) です。
二項係数には \({}_n\mathrm{C}_k = {}_n\mathrm{C}_{n-k}\) という対称性があります（\(k\) 個を選ぶことは、残す \((n-k)\) 個を選ぶことと同じだからです）。例えば \({}_7\mathrm{C}_5\) は \({}_7\mathrm{C}_2 = 21\) と計算したほうが速くなります。展開した式の係数が左右対称に並ぶのも、この性質があるためです。
パスカルの三角形（隣り合う2数の和）
図
数学表記
（一般的な数式）
\({}_{n-1}\mathrm{C}_{k-1}\)
\(+\)
\({}_{n-1}\mathrm{C}_{k}\)
\(=\)
\({}_{n}\mathrm{C}_{k}\)
日本語表記
（記号を日本語に置き換えた式）
①
1つ上の段の、左どなりの数 \({}_{n-1}\mathrm{C}_{k-1}\)
\(+\)
②
1つ上の段の、右どなりの数 \({}_{n-1}\mathrm{C}_{k}\)
\(=\)
③
その真下にある数 \({}_n\mathrm{C}_k\)
式を日本語で読むと
①
1つ上の段の、左どなりの数 \({}_{n-1}\mathrm{C}_{k-1}\)
と
②
1つ上の段の、右どなりの数 \({}_{n-1}\mathrm{C}_{k}\)
を足すと
③
その真下にある数 \({}_n\mathrm{C}_k\)
になる
簡単な例
\(n = 3\) の段の 3 と 3 を足すと、\(n = 4\) の段の 6 になります
左どなりの \({}_3\mathrm{C}_1 = 3\)
\(+\)
右どなりの \({}_3\mathrm{C}_2 = 3\)
\(=\)
真下の \({}_4\mathrm{C}_2 = 6\)
\({}_{3}\mathrm{C}_{1} + {}_{3}\mathrm{C}_{2} = 3 + 3 = 6 = {}_{4}\mathrm{C}_{2}\)
考え方のポイント
二項係数を上の段から順に三角形に並べたものが、パスカルの三角形です。両端は必ず 1 で、内側の数は「すぐ上の左どなりの数」と「すぐ上の右どなりの数」を足すだけで求められます。階乗の計算をしなくても、足し算だけで係数が並べられるのが強みです。
この足し算が成り立つ理由も、選び方で説明できます。\(n\) 個から \(k\) 個選ぶとき、特定の1個に注目して「その1個を選ぶ場合（残り \((n-1)\) 個から \((k-1)\) 個選ぶ）」と「選ばない場合（残り \((n-1)\) 個から \(k\) 個選ぶ）」に分けると、ちょうど上の2数の和になります。
各段の数を全部足すと \(2^n\) になります（\(n = 4\) の段なら \(1+4+6+4+1 = 16 = 2^4\)）。これは二項定理で \(a = b = 1\) とした式そのものです。
二項定理は \((a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} {}_n\mathrm{C}_k a^{n-k} b^{k}\)、つまり「展開したときの \(a^{n-k}b^{k}\) の係数は \({}_n\mathrm{C}_k\) になる」という定理です。1項だけ知りたいときは一般項 \({}_n\mathrm{C}_k a^{n-k} b^{k}\) を使い、\(x\) の指数から \(k\) を決めます。係数の並びはパスカルの三角形の \(n\) の段と一致します。
用語・記号の解説
記号
| \({}_n\mathrm{C}_k\) | エヌ・シー・ケー | \(n\) 個のものから \(k\) 個を選ぶ選び方の数（組合せの数）。二項定理では展開したときの係数になるため、二項係数とも呼びます。\(\mathrm{C}\) は combination（組合せ）の頭文字です。 |
| \(n!\) | エヌの階乗 | 1から \(n\) までの整数を全部掛けたもの（\(4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24\)）。ビックリマークのような記号ですが、驚いているわけではなく「階乗」を表す数学記号です。定義により \(0! = 1\) とします。 |
| \(a,\ b\) | エー・ビー | 二項定理でかっこの中に入る2つの項。「二項」とはこの2つのことです。「決まったもの」を表すときはアルファベットの最初の方の文字 \(a,\ b,\ c\) を使う慣例があります。 |
| \(n\) | エヌ | 同じかっこをいくつ掛け合わせるかを表す数（指数）。回数や個数を表す文字には number（数）の頭文字 \(n\) がよく使われます。このページでは 0 以上 12 以下の整数です。 |
| \(k\) | ケー | 「\(b\) を何個選んだか」を表す番号で、0 から \(n\) まで動きます。\(k = 0\) の項が第1項なので、第 \(k+1\) 項という言い方をします。整数の番号を表す文字にはドイツ語の Kardinalzahl（基数）に由来して \(k\) がよく使われるといわれます。 |
| \(\displaystyle\sum\) | シグマ | 「全部足す」ことを表す記号。ギリシャ文字の大文字シグマで、英語の Sum（合計）の頭文字 S にあたります。\(\sum_{k=0}^{n}\) は「\(k\) を 0 から \(n\) まで変えながら、後ろの式を全部足す」という意味です。 |
| \(T_{k+1}\) | ティー・ケー・プラス・イチ | 展開した式を降べきの順に並べたときの、先頭から \(k+1\) 番目の項。\(T\) は term（項）の頭文字です。一般項と呼びます。 |
| \(A,\ B\) | エー・ビー（大文字） | この計算機の入力欄で使っている文字。\((Ax+B)^n\) の \(A\) が \(x\) に掛かる係数、\(B\) が \(x\) の付かない定数項です。二項定理の \(a\)・\(b\) に当てはめると \(a = Ax\)、\(b = B\) になります。 |
| \(x\) | エックス | 値が決まっていない文字（変数）。この計算機では \((Ax+B)^n\) の形の式を展開するので、答えは \(x\) の多項式になります。 |
用語
| 二項定理 | にこうていり | \((a+b)^n\) を展開したときの各項の係数が、組合せの数 \({}_n\mathrm{C}_k\) になるという定理。高校では数学IIの「式と証明」で学びます。 |
| 二項係数 | にこうけいすう | 二項定理で現れる係数 \({}_n\mathrm{C}_k\) のこと。組合せの数と同じものですが、展開式の係数という役割に注目するときこう呼びます。 |
| 組合せ | くみあわせ | いくつかのものの中から、順番を考えずに何個か選ぶ選び方。\(n\) 個から \(k\) 個選ぶ選び方の数を \({}_n\mathrm{C}_k\) と書きます。順番まで区別する「順列」とは違い、選んだ顔ぶれが同じなら1通りと数えます。 |
| 階乗 | かいじょう | 1からその数までの整数を全部掛けたもの。\(5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120\) です。組合せの数を計算するときに使います。 |
| 一般項 | いっぱんこう | 展開した式の「\(k\) 番目はこういう形になる」とまとめて表した項のこと。二項定理では第 \(k+1\) 項 \({}_n\mathrm{C}_k a^{n-k} b^{k}\) が一般項です。1つの項だけを求めたいときは、これに値を入れます。 |
| 展開 | てんかい | かっこの付いた式を計算して、かっこのない足し算・引き算の形に直すこと。因数分解とはちょうど逆の操作です。 |
| 降べきの順 | こうべきのじゅん | 式の項を、文字の指数が大きいほうから順に並べる書き方。\(x^3 + 2x^2 - x + 5\) のような並べ方です。答えは通常この順に書きます。 |
| パスカルの三角形 | ぱすかるのさんかっけい | 二項係数を段ごとに三角形に並べたもの。両端は 1 で、内側の数は上の段の隣り合う2数の和になります。フランスの数学者ブレーズ・パスカルの名前が付いていますが、中国ではパスカルより500年以上前から知られていて「楊輝三角」と呼ばれ、日本でも江戸時代の和算で使われていました。 |
| 多項式 | たこうしき | \(2x^3 - x + 5\) のように、\(x\) のべき乗に係数を掛けた項を足し合わせた式。整式とも呼びます。二項定理で展開した結果も多項式です。 |
| 項 | こう | 式を足し算・引き算の区切りで分けた、1つ1つのかたまり。\(x^3 - 2x + 3\) の項は \(x^3\)・\(-2x\)・\(3\) の3つです。 |
| 係数 | けいすう | 文字の前に付いている数。\(3x^2\) の 3 が係数です。\(x^2\) のように数が書かれていない項の係数は 1 と考えます。 |
| 指数 | しすう | \(x^3\) の右上に小さく書く 3 のこと。同じものを掛け合わせる回数を表します（\(x^3 = x \times x \times x\)）。 |
| 定数項 | ていすうこう | \(x^2 + 3x + 5\) の 5 のように、\(x\) を含まない「数字だけの項」。この計算機では、かっこの中の \(B\) と、展開した式の最後の項が定数項にあたります。 |
| 二項分布 | にこうぶんぷ | 同じ試行を \(n\) 回くり返したとき、成功が \(k\) 回起こる確率の分布。その確率 \({}_n\mathrm{C}_k p^{k}(1-p)^{n-k}\) は、\((p + (1-p))^n\) を二項定理で展開した各項そのものです。名前の「二項」も二項定理に由来します。 |
| 一般二項定理 | いっぱんにこうていり | 指数が分数や負の数のときにも使えるように拡張した二項定理。項が無限に続く式（無限級数）になります。この計算機が扱うのは指数が 0 以上の整数の場合だけです。 |
前提として理解しておくといいこと
このページの計算を「意味がわかって」使えるようになるために、前提として理解しておくといいことをまとめました。
つまずいたら、この表の内容に戻って復習するのが近道です。
| 文字式の展開（中学2〜3年） |
|
| 累乗・指数法則（中学1年〜高校 数学I） |
|
| 負の数の計算（中学1年） |
|
| 組合せ・階乗（高校 数学A） |
|
| 総和の記号（高校 数学B） |
|
| 分数の計算（小学5年〜中学1年） |
|
Excelで計算する方法
Excelファイルをダウンロード
式ごとにシートが分かれたExcelファイルです。貼り付け場所を気にせず、開いてすぐ使えます。
下の表を丸ごとコピーして、ExcelのA1セルに貼り付けるとそのまま使えます。
「二項定理」で展開した各項の係数を求める表
| x の係数 A | 2 |
| 定数項 B | 3 |
| 指数 n | 5 |
| k=0 の項の係数（x の n−0 乗） | =IFERROR(COMBIN($B$3,0)*$B$1^($B$3-0)*$B$2^0,0) |
| k=1 の項の係数（x の n−1 乗） | =IFERROR(COMBIN($B$3,1)*$B$1^($B$3-1)*$B$2^1,0) |
| k=2 の項の係数（x の n−2 乗） | =IFERROR(COMBIN($B$3,2)*$B$1^($B$3-2)*$B$2^2,0) |
| k=3 の項の係数（x の n−3 乗） | =IFERROR(COMBIN($B$3,3)*$B$1^($B$3-3)*$B$2^3,0) |
| k=4 の項の係数（x の n−4 乗） | =IFERROR(COMBIN($B$3,4)*$B$1^($B$3-4)*$B$2^4,0) |
| k=5 の項の係数（x の n−5 乗） | =IFERROR(COMBIN($B$3,5)*$B$1^($B$3-5)*$B$2^5,0) |
| k=6 の項の係数（x の n−6 乗） | =IFERROR(COMBIN($B$3,6)*$B$1^($B$3-6)*$B$2^6,0) |
「一般項（第 k+1 項）」の係数を求める表
| x の係数 A | 2 |
| 定数項 B | 3 |
| 指数 n | 5 |
| 項の番号（先頭から） | 3 |
| k（番号から1を引いた数） | =B4-1 |
| x の指数（n−k） | =B3-B5 |
| 二項係数 nCk | =COMBIN(B3,B5) |
| その項の係数 | =B7*B1^B6*B2^B5 |
「二項係数（組合せの数）」を求める表
| n | 5 |
| k | 2 |
| 二項係数 nCk | =COMBIN(B1,B2) |
| 階乗の式で確かめる | =FACT(B1)/(FACT(B2)*FACT(B1-B2)) |
「パスカルの三角形」を作る表
| n = 0 の段 | 1 | |||||
| n = 1 の段 | 1 | 1 | ||||
| n = 2 の段 | 1 | =B2+C2 | 1 | |||
| n = 3 の段 | 1 | =B3+C3 | =C3+D3 | 1 | ||
| n = 4 の段 | 1 | =B4+C4 | =C4+D4 | =D4+E4 | 1 | |
| n = 5 の段 | 1 | =B5+C5 | =C5+D5 | =D5+E5 | =E5+F5 | 1 |
貼り付けると、上の行（A・B・n など）が入力欄になり、下の行が自動計算の結果になります。
COMBIN(n, k) が二項係数 nCk、FACT(n) が n の階乗、「^」がべき乗の記号です。
1つ目の表は (2x+3)⁵ を展開する例で、k=0 から順に 32・240・720・1080・810・243 と並びます（k 番目の行が x の n−k 乗の係数です）。A・B・n を書き換えれば、そのまま自分の式の係数が出ます。n が 6 より小さいときは、その式に無い項の行が 0 になります（IFERROR で 0 に置き換えているためです）。逆に n を 7 以上にするときは、一番下の行を下にコピーして、式の中の 6 の部分を 7・8… と増やした行を足してください。
2つ目の表は「第3項だけ」を求める例で、k は 2、x の指数は 3、二項係数は 10、その項の係数は 720 になります。
3つ目の表は 5個から2個選ぶ選び方の数で、どちらの式でも 10 になります。
4つ目の表は、両端の 1 だけを自分で入れて、内側は「すぐ上の隣り合う2つのセルを足す」式にしたものです。n = 5 の段が 1・5・10・10・5・1 と並びます。
COMBIN(n, k) が二項係数 nCk、FACT(n) が n の階乗、「^」がべき乗の記号です。
1つ目の表は (2x+3)⁵ を展開する例で、k=0 から順に 32・240・720・1080・810・243 と並びます（k 番目の行が x の n−k 乗の係数です）。A・B・n を書き換えれば、そのまま自分の式の係数が出ます。n が 6 より小さいときは、その式に無い項の行が 0 になります（IFERROR で 0 に置き換えているためです）。逆に n を 7 以上にするときは、一番下の行を下にコピーして、式の中の 6 の部分を 7・8… と増やした行を足してください。
2つ目の表は「第3項だけ」を求める例で、k は 2、x の指数は 3、二項係数は 10、その項の係数は 720 になります。
3つ目の表は 5個から2個選ぶ選び方の数で、どちらの式でも 10 になります。
4つ目の表は、両端の 1 だけを自分で入れて、内側は「すぐ上の隣り合う2つのセルを足す」式にしたものです。n = 5 の段が 1・5・10・10・5・1 と並びます。
Googleスプレッドシートで計算する方法
Excelファイルをダウンロード
上のExcelファイルをダウンロードし、Googleドライブにアップロードして開くと、そのままスプレッドシートとして使えます。
下の表を丸ごとコピーして、GoogleスプレッドシートのA1セルに貼り付けるとそのまま使えます。
「二項定理」で展開した各項の係数を求める表
| x の係数 A | 2 |
| 定数項 B | 3 |
| 指数 n | 5 |
| k=0 の項の係数（x の n−0 乗） | =IFERROR(COMBIN($B$3,0)*$B$1^($B$3-0)*$B$2^0,0) |
| k=1 の項の係数（x の n−1 乗） | =IFERROR(COMBIN($B$3,1)*$B$1^($B$3-1)*$B$2^1,0) |
| k=2 の項の係数（x の n−2 乗） | =IFERROR(COMBIN($B$3,2)*$B$1^($B$3-2)*$B$2^2,0) |
| k=3 の項の係数（x の n−3 乗） | =IFERROR(COMBIN($B$3,3)*$B$1^($B$3-3)*$B$2^3,0) |
| k=4 の項の係数（x の n−4 乗） | =IFERROR(COMBIN($B$3,4)*$B$1^($B$3-4)*$B$2^4,0) |
| k=5 の項の係数（x の n−5 乗） | =IFERROR(COMBIN($B$3,5)*$B$1^($B$3-5)*$B$2^5,0) |
| k=6 の項の係数（x の n−6 乗） | =IFERROR(COMBIN($B$3,6)*$B$1^($B$3-6)*$B$2^6,0) |
「一般項（第 k+1 項）」の係数を求める表
| x の係数 A | 2 |
| 定数項 B | 3 |
| 指数 n | 5 |
| 項の番号（先頭から） | 3 |
| k（番号から1を引いた数） | =B4-1 |
| x の指数（n−k） | =B3-B5 |
| 二項係数 nCk | =COMBIN(B3,B5) |
| その項の係数 | =B7*B1^B6*B2^B5 |
「二項係数（組合せの数）」を求める表
| n | 5 |
| k | 2 |
| 二項係数 nCk | =COMBIN(B1,B2) |
| 階乗の式で確かめる | =FACT(B1)/(FACT(B2)*FACT(B1-B2)) |
「パスカルの三角形」を作る表
| n = 0 の段 | 1 | |||||
| n = 1 の段 | 1 | 1 | ||||
| n = 2 の段 | 1 | =B2+C2 | 1 | |||
| n = 3 の段 | 1 | =B3+C3 | =C3+D3 | 1 | ||
| n = 4 の段 | 1 | =B4+C4 | =C4+D4 | =D4+E4 | 1 | |
| n = 5 の段 | 1 | =B5+C5 | =C5+D5 | =D5+E5 | =E5+F5 | 1 |
Excelと同じ式がそのまま使えます（COMBIN・FACT はGoogleスプレッドシートにも同じ名前であります）。表を丸ごとコピーしてA1セルに貼り付け、A・B・n を自分の数値に書き換えてください。
Pythonで計算する方法
from fractions import Fraction
from math import comb
# (Ax + B) の n 乗を展開する（3/4 のような分数は Fraction(3, 4) と書ける）
coef_x = Fraction(2) # x の係数 A
const = Fraction(3) # 定数項 B
power = 5 # 指数 n
# k = 0 から n まで。x の指数は n - k、係数は nCk × A^(n-k) × B^k
for k in range(power + 1):
exponent = power - k
coefficient = comb(power, k) * coef_x ** exponent * const ** k
print(f"x の {exponent} 乗の係数: {coefficient}")
# x の 3 乗の係数だけを求める（k = n - 3）
target = 3
k = power - target
coefficient = comb(power, k) * coef_x ** target * const ** k
print(f"二項係数: {comb(power, k)}")
print(f"x の {target} 乗の係数: {coefficient}")
標準ライブラリの math.comb が二項係数 nCk を、fractions.Fraction が分数のままの厳密計算を受け持ちます（math.comb は Python 3.8 以降で使えます）。この例は (2x+3)⁵ を展開するもので、実行すると係数が 32・240・720・1080・810・243 の順に表示され、最後に x の3乗の係数 720 が出ます。A・B・n を書き換えて実行してください。
数式記述言語（LaTeX等）での書き方（コピペ可）
二項定理
(a+b)ⁿ = ₙC₀aⁿ + ₙC₁aⁿ⁻¹b + ⋯ + ₙCₙbⁿ
(a+b)^{n} = \sum_{k=0}^{n} {}_{n}\mathrm{C}_{k}\, a^{n-k} b^{k}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msup>
<mrow><mo>(</mo><mi>a</mi><mo>+</mo><mi>b</mi><mo>)</mo></mrow>
<mi>n</mi>
</msup>
<mo>=</mo>
<munderover>
<mo>∑</mo>
<mrow><mi>k</mi><mo>=</mo><mn>0</mn></mrow>
<mi>n</mi>
</munderover>
<mmultiscripts><mi mathvariant="normal">C</mi><mi>k</mi><none/><mprescripts/><mi>n</mi><none/></mmultiscripts>
<msup><mi>a</mi><mrow><mi>n</mi><mo>−</mo><mi>k</mi></mrow></msup>
<msup><mi>b</mi><mi>k</mi></msup>
</mrow>
</math>
(a+b)^n = sum_(k=0)^n C(n,k) a^(n-k) b^k
Sum[Binomial[n, k] a^(n - k) b^k, {k, 0, n}]
sum(binomial(n, k)*a^(n-k)*b^k, k = 0 .. n);
symsum(nchoosek(n, k)*a^(n-k)*b^k, k, 0, n)
(a+b)^n = ∑_(k=0)^n C(n,k) a^(n-k) b^k
一般項（第 \(k+1\) 項）
Tₖ₊₁ = ₙCₖ aⁿ⁻ᵏ bᵏ
T_{k+1} = {}_{n}\mathrm{C}_{k}\, a^{n-k} b^{k}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msub><mi>T</mi><mrow><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msub>
<mo>=</mo>
<mmultiscripts><mi mathvariant="normal">C</mi><mi>k</mi><none/><mprescripts/><mi>n</mi><none/></mmultiscripts>
<msup><mi>a</mi><mrow><mi>n</mi><mo>−</mo><mi>k</mi></mrow></msup>
<msup><mi>b</mi><mi>k</mi></msup>
</mrow>
</math>
T_(k+1) = C(n,k) a^(n-k) b^k
Binomial[n, k] a^(n - k) b^k
T := binomial(n, k)*a^(n-k)*b^k;
T = nchoosek(n, k)*a^(n-k)*b^k;
T_(k+1) = C(n,k) a^(n-k) b^k
二項係数（組合せの数）の計算
ₙCₖ = n! ÷ (k!(n−k)!)
{}_{n}\mathrm{C}_{k} = \frac{n!}{k!\,(n-k)!}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mmultiscripts><mi mathvariant="normal">C</mi><mi>k</mi><none/><mprescripts/><mi>n</mi><none/></mmultiscripts>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow><mi>n</mi><mo>!</mo></mrow>
<mrow><mi>k</mi><mo>!</mo><mo>(</mo><mi>n</mi><mo>−</mo><mi>k</mi><mo>)</mo><mo>!</mo></mrow>
</mfrac>
</mrow>
</math>
C(n,k) = (n!)/(k!(n-k)!)
Binomial[n, k]
binomial(n, k);
nchoosek(n, k)
C(n,k) = n!/(k!(n-k)!)
パスカルの三角形（隣り合う2数の和）
ₙ₋₁Cₖ₋₁ + ₙ₋₁Cₖ = ₙCₖ
{}_{n-1}\mathrm{C}_{k-1} + {}_{n-1}\mathrm{C}_{k} = {}_{n}\mathrm{C}_{k}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mmultiscripts><mi mathvariant="normal">C</mi><mrow><mi>k</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow><none/><mprescripts/><mrow><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow><none/></mmultiscripts>
<mo>+</mo>
<mmultiscripts><mi mathvariant="normal">C</mi><mi>k</mi><none/><mprescripts/><mrow><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow><none/></mmultiscripts>
<mo>=</mo>
<mmultiscripts><mi mathvariant="normal">C</mi><mi>k</mi><none/><mprescripts/><mi>n</mi><none/></mmultiscripts>
</mrow>
</math>
C(n-1,k-1) + C(n-1,k) = C(n,k)
Binomial[n - 1, k - 1] + Binomial[n - 1, k] == Binomial[n, k]
binomial(n-1, k-1) + binomial(n-1, k) = binomial(n, k);
nchoosek(n-1, k-1) + nchoosek(n-1, k)
C(n-1,k-1) + C(n-1,k) = C(n,k)
ChatGPT に聞いて計算してもらう方法
あなたは数学（式と証明）の計算アシスタントです。次の計算を、必ずPythonコードを実際に実行して行い、実行結果の数値だけを根拠に回答してください（暗算や推測で答えないでください）。 二項定理を使って (2x+3)^5 を展開してください。 次の内容をそれぞれ示してください。 1. 一般項（第 k+1 項）の式 2. k = 0 から 5 までの二項係数 5Ck の値 3. 展開した式（降べきの順に、各項の係数を約分済みの分数または整数で） 4. x^3 の係数と、その求め方（k をどう決めたか） Pythonでは標準ライブラリの math.comb と fractions.Fraction を使って厳密に計算し、計算に使った式と実行結果の数値を示してください。
計算ドリル（演習問題）
このページの式を、自分の手で計算できるようになるための演習問題です。
答えと解説は解答ページにあります。
使い方
-
1数値を入力計算したい数値を入力欄に入力します
-
2計算「計算する」ボタンを押します
-
3結果を確認計算結果がその場に表示されます。計算の考え方や式の解説も同じページで確認できます
DataChefの特徴
簡単・無料
無料で回数無制限の変換
専門知識不要、直感的で簡単な操作
専門知識不要、直感的で簡単な操作
会員登録不要
アクセス直後に利用可能
個人情報を登録することなく使用できます
個人情報を登録することなく使用できます
安全・安心
通信を高度に暗号化
「ダウンロード」押下でファイルを自動削除
「ダウンロード」押下でファイルを自動削除
高速
ストレスのない快適な表示速度・変換速度
透かしなし
ウォーターマークなし
クレジット表記不要
クレジット表記不要
商用利用可能
無料で商用利用可能
商用利用許諾の連絡も不要です
商用利用許諾の連絡も不要です
関連機能
順列・組合せ（nPr・nCr）
並べ方（順列）と選び方（組合せ）の場合の数を計算します
因数分解計算機（二次式・たすき掛けの筆算表示）
二次式 ax²+bx+c を、たすき掛けの筆算レイアウトと途中式付きで因数分解します
べき乗（指数計算）
底と指数からべき乗を計算します。2の10乗など「桁の重み」の確認にも使えます
