正規分布の確率

平均・標準偏差と、知りたい範囲の下限・上限を入力してください。範囲に入る確率と、信頼区間の一覧表を計算します。

平均 μ

標準偏差 σ

範囲の下限

範囲の上限

下限を指定しない場合は「-inf」、上限を指定しない場合は「inf」と入力してください（マイナス無限大・プラス無限大の意味です）。

計算結果・グラフ

左の入力欄に平均・標準偏差・範囲を入れて「計算する」を押すと、ここに結果が表示されます。

このページでできること
この計算は何の役に立つ？
使い方
式とグラフ
- 範囲に入る確率（累積分布関数 \(\Phi\) を使う）
- 正規分布の曲線の式（確率密度関数）
用語・記号の解説
- 記号
- 用語
前提として理解しておくといいこと
Excelで計算する方法
Googleスプレッドシートで計算する方法
Pythonで計算する方法
数式記述言語（LaTeX等）での書き方（コピペ可）
ChatGPTに聞いて計算してもらう方法
計算ドリル（演習問題）
DataChefの特徴
関連機能
NumberChef 機能一覧

このページでできること

「平均 \(\mu\)」と「ばらつき（標準偏差 \(\sigma\)）」を入れるだけで、値が指定した範囲に入る確率がその場でわかります
「80点以上は上位何%？」のような、ある値以上（以下）になる確率もまとめて計算します
統計でよく使う信頼区間（全体の95%が入る範囲など）の一覧表も同時に表示します
正規分布のやさしい解説・Excel/Googleスプレッドシート/Python用のコピペ数式・計算ドリル（演習問題）もこのページにまとまっています

使えるのは、データの散らばりが正規分布（平均の周りに左右対称の釣り鐘型で散らばる分布）に近い場合です。テストの点数・身長・製品の重さのばらつきなど、世の中の多くのデータがこの形に近くなることが知られています。

この計算は何の役に立つ？

偏差値のしくみを正しく理解する（テスト・受験）

偏差値は「平均を50、標準偏差1つ分を10」として点数を置き直したものです。正規分布では平均 \(+1\sigma\) 以上（＝偏差値60以上）は全体の約16%、\(+2\sigma\) 以上（＝偏差値70以上）は約2.3%しかいません。
この対応がわかると、「偏差値が5上がる」ことの重み、模試の判定や順位の意味を、感覚ではなく数字で読み取れるようになります。

健康診断の「基準範囲」を冷静に読む（医療）

血液検査などの「基準範囲」は、健康な人の測定値の分布から、中央の95%が入る範囲（およそ平均 \(\pm 2\sigma\)）として決められることが多いです。
つまりどの検査項目でも、健康な人の約5%（20人に1人）は基準範囲を外れます。項目数が多い健診では、健康でもどこか1つは引っかかる人がむしろ珍しくありません。この事実を知っていると、「基準値を少し外れた＝即異常」ではないことを理解したうえで、医師の説明を落ち着いて聞けます。検査結果に一喜一憂しがちな人ほど役に立つ知識です。

工場の品質規格：規格外れがどれくらい出るかを見積もる

製品の重さや寸法のばらつきは正規分布に近くなります。例えば「内容量の平均102g・標準偏差1g、規格の下限100g」なら、規格を下回るのは \(-2\sigma\) より外側の約2.3%と見積もれます。
工場では、この計算で不良率を予測し、平均をどこに設定すれば（＝どれだけ多めに入れれば）クレームと原価のバランスが取れるかを決めています。

WebサイトやアプリのABテストの判断（マーケティング）

デザインAとBのどちらのクリック率が高いかを比べるとき、「この差は偶然の範囲か、本物の差か」を正規分布（信頼区間）で判定します。
結果に表示される信頼区間の表の「0.95」の行が、まさに実務で最もよく使われる「95%信頼区間」です。広告費のような大きなお金を動かす判断の裏側で、この計算が毎日使われています。

保険という仕組みの数学的な土台（保険数理）

アクチュアリー（保険数理人）と呼ばれる専門職は、保険金の支払いリスクを確率で見積もって保険料を決めています。
個々の事故は予測できなくても、大勢の契約者の合計は正規分布に近づく性質（中心極限定理）があるため、全体の支払額は驚くほど正確に予測できます。私たちが手頃な保険料で大きな保障を得られるのは、この数学のおかげです。

式とグラフ

範囲に入る確率（累積分布関数 \(\Phi\) を使う）

グラフ

数学表記（一般的な数式）

\(P(a \le X \le b)\) \(=\) \(\Phi\!\left(\dfrac{b-\mu}{\sigma}\right)\) \(-\) \(\Phi\!\left(\dfrac{a-\mu}{\sigma}\right)\)

日本語表記（記号を日本語に置き換えた式）

③ 範囲 \(a\)〜\(b\) に入る確率 \(=\) ① 上限 \(b\) までに入る割合 \(-\) ② 下限 \(a\) までに入る割合

式を日本語で読むと

① 上限 \(b\) までに入る割合を、累積分布関数 \(\Phi\)（ファイ）で求め（\(\Phi\) のカッコの中は「平均 \(\mu\) からのずれを標準偏差 \(\sigma\) で割った \(z\) 値」です）

② 下限 \(a\) までに入る割合も同じように求めて、引き算すると

③ 範囲 \(a\)〜\(b\) に入る確率になる

簡単な例

平均62点・標準偏差14点のテストで、50点から80点の間に入る割合は

50点〜80点に入る確率 \(=\) 80点までに入る割合 \(\Phi((80-62)/14)\) \(-\) 50点までに入る割合 \(\Phi((50-62)/14)\)

\(\Phi(1.29) - \Phi(-0.86) \fallingdotseq 0.90 - 0.20 = 0.70\ \ (70\%)\)

考え方のポイント

「平均 \(\mu\) からのずれを標準偏差 \(\sigma\) で割る」ことを標準化（\(z\) 値に直す）といいます。どんな平均・標準偏差の正規分布でも、\(z = (x - \mu) \div \sigma\) に直せば、平均0・標準偏差1の標準正規分布1つ（共通のものさし）で確率が求められます。この計算機も内部でこの変換をしてから計算しています。テストの偏差値も同じ考え方で、偏差値 \(= 50 + 10 \times z\) です。

正規分布の曲線の式（確率密度関数）

グラフ

数学表記（一般的な数式）

\(f(x)\) \(=\) \(\dfrac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\) \(\times\) \(e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}\)

日本語表記（記号を日本語に置き換えた式）

③ \(x\) での曲線の高さ \(f(x)\) \(=\) ② 高さを揃える係数（面積の合計を1にする） \(\times\) ① 平均から離れるほど小さくなる部分

式を日本語で読むと

① 平均から離れるほど小さくなる部分が、\(x\) が平均 \(\mu\) から離れるほど急激に小さくなって釣り鐘型を作り

② 高さを揃える係数（面積の合計を1にする）が曲線の下の面積をちょうど1に揃えて

③ \(x\) での曲線の高さ \(f(x)\) が決まる（曲線とヨコ軸で囲まれた面積が確率を表します）

簡単な例

この式を直接手計算することはほとんどなく、普通は式1のように \(z\) 値に直して求めるか、このページの計算機やExcelを使います。

考え方のポイント

正規分布では、平均 \(\pm 1\sigma\)（標準偏差1つ分）に約68.3%、\(\pm 2\sigma\) に約95.4%、\(\pm 3\sigma\) に約99.7%のデータが入ります（68–95–99.7ルール）。例えば平均62点・標準偏差14点なら、48〜76点に約68%の人が入ります。この目安を覚えておくと、曲線の形と確率の対応が感覚的につかめます。

正規分布の確率計算のコツは、どんな平均・標準偏差のデータでも「平均から標準偏差いくつ分離れているか（\(z\) 値）」に直せば、共通のものさしで確率が求められることです。

用語・記号の解説

記号

\(\mu\)	ミュー	平均。分布の山の中心の位置です。ギリシャ文字で、英語のmにあたります。
\(\sigma\)	シグマ	標準偏差。データの散らばりの大きさで、山の幅を決めます。大きいほど山は低く広くなります。ギリシャ文字で、英語のsにあたります。
\(X\)	エックス（確率変数）	テストの点数や身長のような、「測るたびに値が変わりうる量」を表す文字です。
\(\Phi\)	ファイ（大文字）	標準正規分布（平均0・標準偏差1）の累積分布関数。「その値以下になる確率」を返す関数です。
\(z\)	ゼット（z値・zスコア）	値が平均から標準偏差いくつ分離れているかを表す数。\(z = (x - \mu) \div \sigma\) で求めます。
\(e\)	イー（自然対数の底、ネイピア数）	約2.71828…の定数。指数関数の土台になる特別な数です。
\(\pi\)	パイ（円周率）	約3.14159…の定数。正規分布の式では、曲線の下の面積の合計をちょうど1にするために現れます。

用語

正規分布	せいきぶんぷ	平均の周りに左右対称の釣り鐘型（ベル型）で散らばる分布。「平均くらいの値が一番よく出て、平均から離れるほど珍しくなる」性質を持つデータ——身長・テストの点数・製品の重さのばらつきなど——のモデルとして使われます。
標準偏差	ひょうじゅんへんさ	データの散らばりの大きさを一つの数で表したもの。同じ平均でも散らばりが大きいデータと小さいデータがあり、標準偏差が大きいほど分布の山は低く広くなります。
標準化（z値）	ひょうじゅんか	値を「平均から標準偏差いくつ分離れているか（\(z\) 値）」に直すこと。どんな正規分布も標準化すれば、平均0・標準偏差1の標準正規分布1つで確率を求められます。テストの偏差値も同じ考え方で、偏差値 \(= 50 + 10 \times z\) です。
累積分布関数	るいせきぶんぷかんすう	「その値以下になる確率」を返す関数。標準正規分布のものは記号 \(\Phi\)（ファイ）で表し、範囲に入る確率は「上限までの \(\Phi\)」から「下限までの \(\Phi\)」を引いて求めます。
確率密度関数	かくりつみつどかんすう	分布の曲線そのものの式。曲線の高さは確率ではなく「確率の密度」で、曲線とヨコ軸で囲まれた範囲の面積が確率を表します。正規分布では釣り鐘型の曲線になります。
信頼区間	しんらいくかん	結果に表示される一覧表は、平均を中心に分布全体の◯%が入る範囲（\(\mu \pm z \times \sigma\)）と倍率 \(z\) の対応表です。なお統計学で「95%信頼区間」というときは、本来は標本データから母平均などの真の値を推定した区間を指しますが、正規分布を仮定すると同じ \(z\) 値（95%なら1.96）を使うため、この表の \(z\) 値がそのまま役立ちます。アンケートや検査結果の「誤差の幅」の計算によく使われます。
68–95–99.7ルール	ろくはち・きゅうご・きゅうきゅうてんななルール	正規分布では、平均 \(\pm 1\sigma\) に約68.3%、\(\pm 2\sigma\) に約95.4%、\(\pm 3\sigma\) に約99.7%のデータが入る、という覚えておくと便利な目安です。
中心極限定理	ちゅうしんきょくげんていり	たくさんの小さな偶然が重なってできる量（合計や平均）は、元の分布によらず正規分布に近づく、という数学的な性質。世の中の多くのデータが正規分布に近くなる背景にある定理です。

前提として理解しておくといいこと

このページの計算を「意味がわかって」使えるようになるために、前提として理解しておくといいことをまとめました。

平均（小学5年）	データをすべて足して個数で割ると平均が求められること平均が「分布の真ん中あたり」を表す代表の値だとわかること
データの分析・標準偏差（高校数学I）	同じ平均でも「散らばりが大きいデータ」と「小さいデータ」があること標準偏差が、その散らばりの大きさを一つの数で表したものだとわかること
割合と面積の見方（小学5年〜中学）	グラフの面積の大きさが「全体に対する割合」を表す、という見方ができることヒストグラム（柱のグラフ）で分布の形を読み取れること
標準化・z値（高校数学B／統計）	「平均から標準偏差いくつ分離れているか」で、単位の違うデータ同士を比べられること偏差値がこの考え方（偏差値 \(= 50 + 10 \times z\)）でできていること

Excelで計算する方法

Excelファイルをダウンロード

式ごとにシートが分かれたExcelファイルです。貼り付け場所を気にせず、開いてすぐ使えます。

下の表を丸ごとコピーして、ExcelのA1セルに貼り付けるとそのまま使えます。

「範囲に入る確率」を求める表

平均 μ	62
標準偏差 σ	14
範囲の下限	50
範囲の上限	80
下限〜上限の間に入る確率	=NORM.DIST(B4,B1,B2,TRUE)-NORM.DIST(B3,B1,B2,TRUE)

「ある値以上になる確率（上位何%か）」を求める表

平均 μ	62
標準偏差 σ	14
この値以上の割合を知りたい	80
その値以上になる確率	=1-NORM.DIST(B3,B1,B2,TRUE)

「ある位置での曲線の高さ（確率密度）」を求める表

平均 μ	62
標準偏差 σ	14
高さを知りたい位置 x	80
その位置での曲線の高さ	=NORM.DIST(B3,B1,B2,FALSE)

NORM.DISTは正規分布の関数で、NORM.DIST(x, 平均, 標準偏差, TRUE) が「x以下になる確率」を返します。
「範囲に入る確率」は、「上限以下の確率」から「下限以下の確率」を引いて求めます。
最後の引数をFALSEにすると、確率ではなくその位置での曲線の高さ（確率密度関数の値）が返ります。
貼り付けるとB列が入力欄になり、最後の行の数式が自動計算します。1つ目の表なら約0.70（約70%）、2つ目の表なら約0.10（約10%＝上位約10%）と表示されます。

Googleスプレッドシートで計算する方法

Excelファイルをダウンロード

上のExcelファイルをダウンロードし、Googleドライブにアップロードして開くと、そのままスプレッドシートとして使えます。

下の表を丸ごとコピーして、GoogleスプレッドシートのA1セルに貼り付けるとそのまま使えます。

「範囲に入る確率」を求める表

平均 μ	62
標準偏差 σ	14
範囲の下限	50
範囲の上限	80
下限〜上限の間に入る確率	=NORMDIST(B4,B1,B2,TRUE)-NORMDIST(B3,B1,B2,TRUE)

「ある値以上になる確率（上位何%か）」を求める表

平均 μ	62
標準偏差 σ	14
この値以上の割合を知りたい	80
その値以上になる確率	=1-NORMDIST(B3,B1,B2,TRUE)

「ある位置での曲線の高さ（確率密度）」を求める表

平均 μ	62
標準偏差 σ	14
高さを知りたい位置 x	80
その位置での曲線の高さ	=NORMDIST(B3,B1,B2,FALSE)

GoogleスプレッドシートではNORMDIST関数を使います（ExcelのNORM.DISTと同じ働きです）。
NORMDIST(x, 平均, 標準偏差, TRUE) が「x以下になる確率」を返すので、上限の分から下限の分を引くと範囲内の確率になります。
最後の引数をFALSEにすると、確率ではなくその位置での曲線の高さ（確率密度）が返ります。

Pythonで計算する方法

from statistics import NormalDist

mean = 62               # 平均
standard_deviation = 14 # 標準偏差
lower_bound = 50        # 範囲の下限
upper_bound = 80        # 範囲の上限

distribution = NormalDist(mean, standard_deviation)
p_between = distribution.cdf(upper_bound) - distribution.cdf(lower_bound)

print(f"{lower_bound}から{upper_bound}の間に入る確率: {p_between}")

Python 3.8以降なら標準ライブラリのstatisticsだけで計算できます（追加インストール不要）。cdf(x)が「x以下になる確率」を返すので、上限の分から下限の分を引いています。

数式記述言語（LaTeX等）での書き方（コピペ可）

範囲に入る確率（累積分布関数 \(\Phi\) を使う）

P(a ≤ X ≤ b) = Φ((b − μ)/σ) − Φ((a − μ)/σ)

P(a \le X \le b) = \Phi\!\left(\frac{b-\mu}{\sigma}\right) - \Phi\!\left(\frac{a-\mu}{\sigma}\right)

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>P</mi><mo>(</mo><mi>a</mi><mo>&#x2264;</mo><mi>X</mi><mo>&#x2264;</mo><mi>b</mi><mo>)</mo>
    <mo>=</mo>
    <mi>&#x3A6;</mi>
    <mrow>
      <mo>(</mo>
      <mfrac><mrow><mi>b</mi><mo>&#x2212;</mo><mi>&#x3BC;</mi></mrow><mi>&#x3C3;</mi></mfrac>
      <mo>)</mo>
    </mrow>
    <mo>&#x2212;</mo>
    <mi>&#x3A6;</mi>
    <mrow>
      <mo>(</mo>
      <mfrac><mrow><mi>a</mi><mo>&#x2212;</mo><mi>&#x3BC;</mi></mrow><mi>&#x3C3;</mi></mfrac>
      <mo>)</mo>
    </mrow>
  </mrow>
</math>

P(a <= X <= b) = Phi((b - mu)/sigma) - Phi((a - mu)/sigma)

CDF[NormalDistribution[mu, sigma], b] - CDF[NormalDistribution[mu, sigma], a]

with(Statistics): CDF(RandomVariable(Normal(mu, sigma)), b) - CDF(RandomVariable(Normal(mu, sigma)), a);

p = normcdf(b, mu, sigma) - normcdf(a, mu, sigma);

P(a ≤ X ≤ b) = Φ((b-μ)/σ) - Φ((a-μ)/σ)

正規分布の曲線の式（確率密度関数）

f(x) = 1/(σ√(2π)) · e^(−(x − μ)²/(2σ²))

f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\, e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>f</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo>
    <mo>=</mo>
    <mfrac>
      <mn>1</mn>
      <mrow><mi>&#x3C3;</mi><msqrt><mrow><mn>2</mn><mi>&#x3C0;</mi></mrow></msqrt></mrow>
    </mfrac>
    <msup>
      <mi>e</mi>
      <mrow>
        <mo>&#x2212;</mo>
        <mfrac>
          <msup><mrow><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>&#x2212;</mo><mi>&#x3BC;</mi><mo>)</mo></mrow><mn>2</mn></msup>
          <mrow><mn>2</mn><msup><mi>&#x3C3;</mi><mn>2</mn></msup></mrow>
        </mfrac>
      </mrow>
    </msup>
  </mrow>
</math>

f(x) = 1/(sigma sqrt(2 pi)) e^(-(x - mu)^2 / (2 sigma^2))

PDF[NormalDistribution[mu, sigma], x]

with(Statistics): PDF(RandomVariable(Normal(mu, sigma)), x);

y = normpdf(x, mu, sigma);

f(x) = 1/(σ√(2π)) e^(-(x-μ)^2/(2σ^2))

ChatGPT に聞いて計算してもらう方法

あなたは確率の計算アシスタントです。次の計算を、必ずPythonコードを実際に実行して行い、実行結果の数値だけを根拠に回答してください（暗算や推測で答えないでください）。

あるテストの点数は、平均62点・標準偏差14点の正規分布に従うとします。
次の値をそれぞれ求めてください。
1. 点数が50点から80点の間に入る確率
2. 80点以上になる確率（上位何%か）
3. 50点以下になる確率

Pythonのstatistics.NormalDistを使い、計算に使ったコードと実行結果の数値を示してください。