変換の向きを選び、円の方程式の係数を入力してください。下の数式は入力欄と連動していて、係数の部分を直接書き換えても計算できます。円と直線の位置関係を調べるときは、一番下の選択欄で「直線 px + qy + s = 0 との位置関係も調べる」を選んでください。
数値は半角で入力してください。小数・負の数・3/4 のような分数が使えます。x や y が付く項の係数の空欄は 1（x は 1x の意味）、定数項と中心の座標の空欄は 0 として扱います。使わない項には 0 を入力してください。
計算結果・グラフ
左の入力欄に係数を入れて「計算する」を押すと、ここに結果と円の図が表示されます。
このページでできること
- 円の方程式の一般形 \(x^{2} + y^{2} + lx + my + n = 0\) を平方完成して標準形 \((x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}\) に直し、中心と半径を分数・\(\sqrt{\ }\) の厳密値で求められます（途中式付き）
- 逆に、中心と右辺（半径の2乗）から展開して一般形に直すこともできます
- 右辺の \(r^{2}\) が 0 以下になって「円にならない」ケース（1点だけを表す・図形なし）も、理由付きで判定します
- 直線 \(px + qy + s = 0\) との位置関係（異なる2点で交わる・接する・共有点なし）を、中心と直線の距離 \(d\) と半径 \(r\) の比較で判定し、共有点の座標も厳密値で求められます
- 計算機には手書きと同じ形の円の方程式が表示され、係数の部分を直接書き換えて計算することもできます。計算結果は円と直線の図でも確認できます
座標・係数には小数・負の数のほか、3/4 のような分数も入力できます。
この計算は何の役に立つ？
ゲームの当たり判定（円形の当たり判定エリア）
2Dゲームでは、キャラクターや弾の「当たり判定」を円で近似するのが定番の手法です。弾の軌道（直線）が敵の円に当たったかは、まさにこのページの「中心と直線の距離 \(d\) と半径 \(r\) の比較」で判定されています。2つの円が重なったかも、中心どうしの距離を半径の和と比べるという同じ発想の距離比較で判定されます。
円を使うのは、向きが変わっても形が変わらず、距離の計算1回で判定が済むからです。ゲームプログラミングを学ぶと、円の方程式が毎フレーム動いている現場に出会えます。
電波が届く範囲のモデル（携帯基地局・Wi-Fi）
携帯電話の基地局やWi-Fiルーターの電波が届く範囲は、障害物のない理想的な条件では「アンテナを中心とした円（半径＝届く距離）」でモデル化されます。「この場所は圏内か」は、中心からの距離と半径の比較、つまり円の内側か外側かの判定です。
実際の電波は地形や建物の影響を受けるのでこの通りにはなりませんが、基地局をどこに置けばエリアの穴がなくなるかを考える出発点として、円によるモデルが使われています。
位置測位の考え方（GPS・スマートフォンの現在地）
GPSの位置測位は「衛星からの距離がわかると、自分のいる場所の候補が球面（平面で考えると円）に絞られる」という考え方に基づいています。複数の衛星からの距離の円（球）を連立して交点を求めることで、現在地が計算されます。
実際には3次元で、時計の誤差の補正なども加わったもっと複雑な計算ですが、「距離が一定の点の集まり＝円」という円の方程式の考え方が土台になっています。
設計・製図・CAD（円弧や穴の位置の管理）
機械部品や建築の図面では、ボルト穴・円弧状の縁・配管の断面など、円だらけです。CADソフトは円を「中心の座標と半径」のデータ、つまり標準形の情報として管理していて、円と直線の交点や接線の計算が図形操作のたびに実行されています。
「この位置に穴をあけると縁からの距離が足りるか」のようなチェックも、中心からの距離の計算に帰着します。
道路や鉄道のカーブの設計（円曲線）
道路や鉄道のカーブの基本形は「円曲線」と呼ばれる円弧で、設計図では中心と半径で管理されます。半径が小さいほど急カーブになるため、道路の設計基準は設計速度ごとに使ってよい円曲線の最小半径を定めています。
直線区間とカーブをなめらかにつなぐ場面では「直線と円が接する」条件がそのまま使われており、接線の考え方が現実の道路の形を決めています。
式と図
円の方程式（標準形）
図
数学表記
（一般的な数式）
\((x - a)^{2}\)
\(+\)
\((y - b)^{2}\)
\(=\)
\(r^{2}\)
日本語表記
（記号を日本語に置き換えた式）
①
\(x\) 座標と中心の \(x\) 座標 \(a\) の差の2乗
\(+\)
②
\(y\) 座標と中心の \(y\) 座標 \(b\) の差の2乗
\(=\)
③
半径 \(r\) の2乗
式を日本語で読むと
①
円の上のどの点 \((x,\ y)\) をとっても、
中心との \(x\) 方向のずれ \(x - a\) の2乗
と
②
中心との \(y\) 方向のずれ \(y - b\) の2乗
の和は
③
半径 \(r\) の2乗
に等しい
簡単な例
中心 (1, 2)・半径 3 の円の方程式は
\((x - 1)^{2}\)
\(+\)
\((y - 2)^{2}\)
\(=\)
\(3^{2} = 9\)
\((x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} = 9\)
考え方のポイント
円とは「中心からの距離が一定（＝半径 \(r\)）の点の集まり」です。円の上の点 \((x,\ y)\) と中心 \((a,\ b)\) の距離を三平方の定理で書くと \(\sqrt{(x-a)^{2} + (y-b)^{2}} = r\) となり、両辺を2乗したものが標準形です。つまり標準形は「中心からの距離が \(r\)」という円の定義を、そのまま式にしたものです。
右辺が \(r^{2}\)（半径の2乗）である点に注意してください。\((x-1)^{2} + (y-2)^{2} = 9\) の半径は 9 ではなく \(\sqrt{9} = 3\) です。
一般形 → 標準形（平方完成で中心と半径を求める）
数学表記
（一般的な数式）
\(\mathrm{C}\)
\(=\)
\(\left(-\dfrac{l}{2},\ -\dfrac{m}{2}\right)\)
\(r^{2}\)
\(=\)
\(\dfrac{l^{2}}{4} + \dfrac{m^{2}}{4} - n\)
日本語表記
（記号を日本語に置き換えた式）
②
中心 \(\mathrm{C}\)
\(=\)
①
\(x\) の係数 \(l\) と \(y\) の係数 \(m\) それぞれの半分の、符号を変えた座標
④
半径の2乗 \(r^{2}\)
\(=\)
③
係数の半分の2乗の和から、定数項 \(n\) を引いた値
式を日本語で読むと
①
一般形 \(x^{2} + y^{2} + lx + my + n = 0\) を平方完成すると、
係数 \(l\)・\(m\) それぞれの半分の、符号を変えた座標
が
②
中心 \(\mathrm{C}\)
になり
③
係数の半分の2乗の和から定数項 \(n\) を引いた値
が
④
半径の2乗 \(r^{2}\)
になる
簡単な例
\(x^{2} + y^{2} - 4x - 6y + 9 = 0\) を平方完成すると
中心 \((2,\ 3)\)
\(,\)
\(r^{2} = 4 + 9 - 9 = 4\)
\(x^{2} - 4x = (x - 2)^{2} - 4\)
\(y^{2} - 6y = (y - 3)^{2} - 9\)
\((x - 2)^{2} + (y - 3)^{2} = 4 + 9 - 9 = 4\)
\(r = \sqrt{4} = 2\)
考え方のポイント
平方完成とは、\(x^{2} - 4x\) のような「2乗の項と1次の項」を、\((x - 2)^{2} - 4\) のように「（かたまり）の2乗と定数」の形に直す変形です。\(x\) の係数の半分（\(-4\) の半分の \(-2\)）を使って \((x - 2)^{2}\) を作ると、展開したときに余分な \(+4\) が出るので、その分を引いて帳尻を合わせます。
変形した結果の右辺が \(r^{2}\) にあたります。ここで必ず右辺の符号を確認してください。右辺が 0 なら式を満たす点は中心の1点だけ、負なら式を満たす点はどこにもありません（2乗の和が負になることはないため）。つまり、一般形の式がいつでも円を表すとは限りません。右辺が正のときだけ円になります。
円と直線の位置関係（中心と直線の距離 d と半径 r の比較）
図
数学表記
（一般的な数式）
\(d\)
\(=\)
\(\dfrac{\left|\,pa + qb + s\,\right|}{\sqrt{p^{2} + q^{2}}}\)
日本語表記
（記号を日本語に置き換えた式）
②
中心 \((a,\ b)\) と直線の距離 \(d\)
\(=\)
①
中心の座標を直線の式の左辺に代入した値の絶対値を、\(\sqrt{p^{2} + q^{2}}\) で割ったもの
式を日本語で読むと
①
直線 \(px + qy + s = 0\) について、
中心の座標 \((a,\ b)\) を左辺に代入した値の絶対値を \(\sqrt{p^{2} + q^{2}}\) で割ったもの
が
②
中心と直線の距離 \(d\)
になる。この \(d\) を半径 \(r\) と比べると、円と直線の位置関係がわかる
簡単な例
円 \((x - 2)^{2} + (y - 3)^{2} = 4\)（中心 \((2,\ 3)\)・半径 2）と直線 \(3x + 4y - 8 = 0\) では
距離 \(d = 2\)
\(=\)
半径 \(r = 2\)
\(d = \dfrac{|3 \times 2 + 4 \times 3 - 8|}{\sqrt{3^{2} + 4^{2}}} = \dfrac{10}{5} = 2\)
\(d = r\)
考え方のポイント
位置関係は距離 \(d\) と半径 \(r\) の大小で3通りに分かれます。\(d < r\) なら円と直線は異なる2点で交わり、\(d = r\) ならただ1点で接し（この直線を接線、共有点を接点といいます）、\(d > r\) なら共有点はありません。
\(\sqrt{\ }\) を含む数どうしの比較は間違えやすいので、この計算機は \(d^{2}\) と \(r^{2}\) を分数のまま比べて厳密に判定しています。手計算でも同じ工夫が使えます。
別解として、円と直線の式を連立して \(y\)（または \(x\)）を消去し、できた2次方程式の判別式 \(D\) の符号で判定する方法もあります（\(D > 0\) で2点・\(D = 0\) で接する・\(D < 0\) で共有点なし）。共有点の座標まで求めるときは、この連立方程式を解きます。
円の方程式は、中心と半径が読み取れる標準形 \((x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}\) と、展開した一般形 \(x^{2} + y^{2} + lx + my + n = 0\) の2つの形で書けます。一般形は平方完成で標準形に直せますが、右辺（\(r^{2}\) にあたる値）が正のときだけ円を表します。円と直線の位置関係は、中心と直線の距離 \(d\) と半径 \(r\) の大小で判定できます。
用語・記号の解説
記号
| \((x,\ y)\) | エックス・ワイ | 円の上を動く点の座標。円の方程式は「この式を満たす \((x,\ y)\) を全部集めると円になる」という意味の式です。 |
| \(a,\ b\) | エー・ビー | 円の中心の座標 \((a,\ b)\) を表す文字。「決まった数」を表すときはアルファベットの最初の方の文字 \(a,\ b,\ c\) を使う慣例があります。動く点の \(x,\ y\) と違って、1つの円では値が固定されています。 |
| \(r\) | アール | 円の半径。radius（半径）の頭文字です。標準形の右辺に現れるのは \(r\) そのものではなく2乗の \(r^{2}\) である点に注意してください。 |
| \(\mathrm{C}\) | シー | 円の中心を表すのによく使われる文字。center（中心）の頭文字です。円そのものを \(C\) と名付けることもあります。 |
| \(l,\ m,\ n\) | エル・エム・エヌ | 一般形 \(x^{2} + y^{2} + lx + my + n = 0\) の係数。教科書によっては \(A,\ B,\ C\) や \(D,\ E,\ F\) と書くこともありますが、意味は同じです。 |
| \(d\) | ディー | 中心と直線の距離。distance（距離）の頭文字です。半径 \(r\) との大小比較で、円と直線の位置関係が決まります。 |
| \(p,\ q,\ s\) | ピー・キュー・エス | このページで直線の式を \(px + qy + s = 0\) と書くときの係数。直線の式は \(ax + by + c = 0\) と書くのが普通ですが、このページでは円の中心 \((a,\ b)\) と文字が重ならないように別の文字を使っています。 |
| \(\sqrt{\ }\) | ルート（根号） | 2乗するとその数になる正の数（平方根）を表す記号。半径は \(r = \sqrt{r^{2}}\) として求めます。例えば \(r^{2} = 8\) なら \(r = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}\) です。 |
用語
| 円 | えん | 平面の上で、ある点（中心）からの距離が一定（半径）である点を全部集めてできる図形。この「距離が一定」という定義を式にしたものが円の方程式です。 |
| 円の方程式 | えんのほうていしき | 座標平面の上の円を表す式。式を満たす点 \((x,\ y)\) の集まりがちょうど円になります。高校では数学IIの「図形と方程式」で学びます。 |
| 標準形 | ひょうじゅんけい | \((x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}\) の形。中心 \((a,\ b)\) と半径 \(r\) が式を見ただけで読み取れるのが長所です。 |
| 一般形 | いっぱんけい | 標準形を展開して整理した \(x^{2} + y^{2} + lx + my + n = 0\) の形。中心や半径は直接読み取れませんが、展開済みなので計算の途中で扱いやすい形です。 |
| 平方完成 | へいほうかんせい | \(x^{2} + lx\) のような式を、\(\left(x + \dfrac{l}{2}\right)^{2} - \dfrac{l^{2}}{4}\) のように「（かたまり）の2乗＋定数」の形に直す変形。二次関数の頂点を求めるときにも使う、このページの計算の中心となる技術です。 |
| 中心 | ちゅうしん | 円の真ん中の点。円の上のどの点からも距離が等しい（＝半径）点です。標準形の \((a,\ b)\) がそのまま中心の座標です。 |
| 半径 | はんけい | 中心から円の上の点までの距離 \(r\) のこと。長さなので必ず正の数です。標準形の右辺 \(r^{2}\) の平方根をとって求めます。 |
| 三平方の定理 | さんへいほうのていり | 直角三角形で「斜辺の2乗＝他の2辺の2乗の和」が成り立つという定理（ピタゴラスの定理）。2点間の距離の計算のもとになっていて、円の方程式の標準形はこの定理を式にしたものです。中学3年で学びます。 |
| 共有点 | きょうゆうてん | 2つの図形の両方に含まれる点。円と直線なら、交わるとき2個・接するとき1個・離れているとき0個です。座標は2つの式を連立して求めます。 |
| 接する | せっする | 円と直線がただ1点だけを共有すること。このときの直線を接線（せっせん）、共有点を接点（せってん）といいます。中心と接線の距離はちょうど半径と等しくなります。 |
| 弦 | げん | 円と直線が2点で交わるとき、その2点を結ぶ線分。中心から弦に下ろした垂線は弦をちょうど半分に分けるので、弦の半分・中心と直線の距離 \(d\)・半径 \(r\) が三平方の定理で結ばれます。 |
| 点と直線の距離 | てんとちょくせんのきょり | 点から直線に下ろした垂線の長さ（点から直線への最短距離）。公式 \(d = \dfrac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}\) で計算でき、円と直線の位置関係の判定に使います。 |
| 判別式 | はんべつしき | 二次方程式 \(ax^{2} + bx + c = 0\) の解の個数を教えてくれる式 \(D = b^{2} - 4ac\) のこと。円と直線の式を連立してできる二次方程式の判別式でも、位置関係を判定できます（\(D > 0\) で2点・\(D = 0\) で接する・\(D < 0\) で共有点なし）。 |
| 座標平面 | ざひょうへいめん | 横の数直線（\(x\) 軸）と縦の数直線（\(y\) 軸）を直角に組み合わせ、点の位置を \((x,\ y)\) の数の組で表せるようにした平面。図形を式で扱う「図形と方程式」の舞台です。 |
前提として理解しておくといいこと
このページの計算を「意味がわかって」使えるようになるために、前提として理解しておくといいことをまとめました。
つまずいたら、この表の内容に戻って復習するのが近道です。
| 座標平面と点の座標（中学1年） |
|
| 三平方の定理と2点間の距離（中学3年） |
|
| 平方根（中学3年） |
|
| 展開・因数分解と平方完成（高校 数学I） |
|
| 点と直線の距離（高校 数学II） |
|
Excelで計算する方法
Excelファイルをダウンロード
式ごとにシートが分かれたExcelファイルです。貼り付け場所を気にせず、開いてすぐ使えます。
下の表を丸ごとコピーして、ExcelのA1セルに貼り付けるとそのまま使えます。
「一般形 → 標準形（中心と半径）」を求める表
| x の係数 l | -4 |
| y の係数 m | -6 |
| 定数項 n | 9 |
| 中心の x 座標（−l/2） | =-B1/2 |
| 中心の y 座標（−m/2） | =-B2/2 |
| 半径の2乗 r²（l²/4 + m²/4 − n） | =B1^2/4+B2^2/4-B3 |
| 半径 r（r²＞0 のときだけ円） | =IF(B6>0,SQRT(B6),"円にならない") |
「標準形 → 一般形」を求める表
| 中心の x 座標 a | 1 |
| 中心の y 座標 b | -2 |
| 右辺の値（半径の2乗 r²） | 9 |
| x の係数 l（−2a） | =-2*B1 |
| y の係数 m（−2b） | =-2*B2 |
| 定数項 n（a² + b² − r²） | =B1^2+B2^2-B3 |
「円と直線の位置関係」を判定する表
| 中心の x 座標 a | 2 |
| 中心の y 座標 b | 3 |
| 半径 r | 2 |
| 直線の x の係数 p | 3 |
| 直線の y の係数 q | 4 |
| 直線の定数項 s | -8 |
| 中心と直線の距離 d | =ABS(B4*B1+B5*B2+B6)/SQRT(B4^2+B5^2) |
| 位置関係の判定 | =IF(B7<B3,"異なる2点で交わる",IF(B7=B3,"接する","共有点なし")) |
貼り付けると、上の行（係数など）が入力欄になり、下の行が自動計算の結果になります。「^」はべき乗、SQRT は平方根、ABS は絶対値の関数です。
1つ目の表は x²+y²−4x−6y+9=0 の例で、中心 (2, 3)・r²=4・半径 2 になります。r² が 0 以下のときは円にならないので、「円にならない」と表示されます。
2つ目の表は中心 (1, −2)・r²=9 の例で、l=−2・m=4・n=−4、つまり x²+y²−2x+4y−4=0 になります。
3つ目の表は円 (x−2)²+(y−3)²=4 と直線 3x+4y−8=0 の例で、d=2 が半径 2 と等しいので「接する」になります。SQRT の計算は小数の誤差が出ることがあるため、接するかどうかの厳密な判定は d² と r² の比較（=(B4*B1+B5*B2+B6)^2/(B4^2+B5^2) と B3^2 の比較）で行うとより確実です。
1つ目の表は x²+y²−4x−6y+9=0 の例で、中心 (2, 3)・r²=4・半径 2 になります。r² が 0 以下のときは円にならないので、「円にならない」と表示されます。
2つ目の表は中心 (1, −2)・r²=9 の例で、l=−2・m=4・n=−4、つまり x²+y²−2x+4y−4=0 になります。
3つ目の表は円 (x−2)²+(y−3)²=4 と直線 3x+4y−8=0 の例で、d=2 が半径 2 と等しいので「接する」になります。SQRT の計算は小数の誤差が出ることがあるため、接するかどうかの厳密な判定は d² と r² の比較（=(B4*B1+B5*B2+B6)^2/(B4^2+B5^2) と B3^2 の比較）で行うとより確実です。
Googleスプレッドシートで計算する方法
Excelファイルをダウンロード
上のExcelファイルをダウンロードし、Googleドライブにアップロードして開くと、そのままスプレッドシートとして使えます。
下の表を丸ごとコピーして、GoogleスプレッドシートのA1セルに貼り付けるとそのまま使えます。
「一般形 → 標準形（中心と半径）」を求める表
| x の係数 l | -4 |
| y の係数 m | -6 |
| 定数項 n | 9 |
| 中心の x 座標（−l/2） | =-B1/2 |
| 中心の y 座標（−m/2） | =-B2/2 |
| 半径の2乗 r²（l²/4 + m²/4 − n） | =B1^2/4+B2^2/4-B3 |
| 半径 r（r²＞0 のときだけ円） | =IF(B6>0,SQRT(B6),"円にならない") |
「標準形 → 一般形」を求める表
| 中心の x 座標 a | 1 |
| 中心の y 座標 b | -2 |
| 右辺の値（半径の2乗 r²） | 9 |
| x の係数 l（−2a） | =-2*B1 |
| y の係数 m（−2b） | =-2*B2 |
| 定数項 n（a² + b² − r²） | =B1^2+B2^2-B3 |
「円と直線の位置関係」を判定する表
| 中心の x 座標 a | 2 |
| 中心の y 座標 b | 3 |
| 半径 r | 2 |
| 直線の x の係数 p | 3 |
| 直線の y の係数 q | 4 |
| 直線の定数項 s | -8 |
| 中心と直線の距離 d | =ABS(B4*B1+B5*B2+B6)/SQRT(B4^2+B5^2) |
| 位置関係の判定 | =IF(B7<B3,"異なる2点で交わる",IF(B7=B3,"接する","共有点なし")) |
Excelと同じ式がそのまま使えます。表を丸ごとコピーしてA1セルに貼り付け、係数を自分の数値に書き換えてください。
Pythonで計算する方法
from fractions import Fraction
import math
# 一般形 x² + y² + lx + my + n = 0 の係数（3/4 のような分数は Fraction(3, 4) と書ける）
coef_l = Fraction(-4)
coef_m = Fraction(-6)
coef_n = Fraction(9)
center_x = -coef_l / 2
center_y = -coef_m / 2
radius_squared = coef_l ** 2 / 4 + coef_m ** 2 / 4 - coef_n
print(f"中心: ({center_x}, {center_y})")
print(f"半径の2乗 r²: {radius_squared}")
if radius_squared > 0:
print(f"半径 r: {math.sqrt(radius_squared)}")
elif radius_squared == 0:
print("円にはならず、中心の1点だけを表します")
else:
print("円にはならず、この式を満たす点はありません")
# 直線 px + qy + s = 0 との位置関係（d² と r² を分数のまま比べるので誤差なしで判定できる）
line_p = Fraction(3)
line_q = Fraction(4)
line_s = Fraction(-8)
distance_squared = (line_p * center_x + line_q * center_y + line_s) ** 2 / (line_p ** 2 + line_q ** 2)
if distance_squared < radius_squared:
print("円と直線は異なる2点で交わる")
elif distance_squared == radius_squared:
print("円と直線は接する")
else:
print("円と直線に共有点はない")
標準ライブラリの fractions モジュールを使うと、小数の丸め誤差なしの厳密な分数のまま計算できます。この例は円 x²+y²−4x−6y+9=0 と直線 3x+4y−8=0 のもので、実行すると中心 (2, 3)・r²=4・半径 2.0 と「接する」が表示されます。距離と半径の比較を d² と r² のまま行っているのは、平方根の小数誤差で「接する」の判定がずれるのを防ぐためです。係数を書き換えて実行してください。
数式記述言語（LaTeX等）での書き方（コピペ可）
円の方程式（標準形）
(x − a)² + (y − b)² = r²
(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msup><mrow><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>−</mo><mi>a</mi><mo>)</mo></mrow><mn>2</mn></msup>
<mo>+</mo>
<msup><mrow><mo>(</mo><mi>y</mi><mo>−</mo><mi>b</mi><mo>)</mo></mrow><mn>2</mn></msup>
<mo>=</mo>
<msup><mi>r</mi><mn>2</mn></msup>
</mrow>
</math>
(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2
(x - a)^2 + (y - b)^2 == r^2
(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2;
(x - a)^2 + (y - b)^2 == r^2
(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2
一般形 → 標準形（平方完成で中心と半径を求める）
(x + l/2)² + (y + m/2)² = l²/4 + m²/4 − n
\left(x + \frac{l}{2}\right)^{2} + \left(y + \frac{m}{2}\right)^{2} = \frac{l^{2}}{4} + \frac{m^{2}}{4} - n
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msup><mrow><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>+</mo><mfrac><mi>l</mi><mn>2</mn></mfrac><mo>)</mo></mrow><mn>2</mn></msup>
<mo>+</mo>
<msup><mrow><mo>(</mo><mi>y</mi><mo>+</mo><mfrac><mi>m</mi><mn>2</mn></mfrac><mo>)</mo></mrow><mn>2</mn></msup>
<mo>=</mo>
<mfrac><msup><mi>l</mi><mn>2</mn></msup><mn>4</mn></mfrac>
<mo>+</mo>
<mfrac><msup><mi>m</mi><mn>2</mn></msup><mn>4</mn></mfrac>
<mo>−</mo>
<mi>n</mi>
</mrow>
</math>
(x + l/2)^2 + (y + m/2)^2 = l^2/4 + m^2/4 - n
Simplify[(x + l/2)^2 + (y + m/2)^2 - (l^2/4 + m^2/4 - n) == x^2 + y^2 + l x + m y + n]
Student:-Precalculus:-CompleteSquare(x^2 + y^2 + l*x + m*y + n, [x, y]);
expand((x + l/2)^2 + (y + m/2)^2 - (l^2/4 + m^2/4 - n))
(x + l/2)^2 + (y + m/2)^2 = l^2/4 + m^2/4 - n
円と直線の位置関係（中心と直線の距離 d と半径 r の比較）
d = |pa + qb + s| / √(p² + q²)
d = \frac{\left|pa + qb + s\right|}{\sqrt{p^{2} + q^{2}}}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>d</mi>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow><mo>|</mo><mi>p</mi><mi>a</mi><mo>+</mo><mi>q</mi><mi>b</mi><mo>+</mo><mi>s</mi><mo>|</mo></mrow>
<msqrt><mrow><msup><mi>p</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><msup><mi>q</mi><mn>2</mn></msup></mrow></msqrt>
</mfrac>
</mrow>
</math>
d = |p a + q b + s| / sqrt(p^2 + q^2)
d = Abs[p a + q b + s]/Sqrt[p^2 + q^2]
d := abs(p*a + q*b + s)/sqrt(p^2 + q^2);
d = abs(p*a + q*b + s)/sqrt(p^2 + q^2);
d = |pa + qb + s|/√(p^2 + q^2)
ChatGPT に聞いて計算してもらう方法
あなたは数学（図形と方程式）の計算アシスタントです。次の計算を、必ずPythonコードを実際に実行して行い、実行結果の数値だけを根拠に回答してください（暗算や推測で答えないでください）。 円の方程式 x² + y² − 4x − 6y + 9 = 0 について、次の内容をそれぞれ示してください。 1. 平方完成して標準形 (x−a)² + (y−b)² = r² に直した式 2. 中心の座標と半径（厳密値で） 3. 直線 3x + 4y − 8 = 0 との位置関係（異なる2点で交わる／接する／共有点なし）と、共有点があればその座標 Pythonでは標準ライブラリの fractions モジュール（または sympy）を使って厳密に計算し、距離と半径の比較は d² と r² の比較で行ってください。計算に使った式と実行結果の数値を示してください。
計算ドリル（演習問題）
このページの式を、自分の手で計算できるようになるための演習問題です。
答えと解説は解答ページにあります。
使い方
-
1数値を入力計算したい数値を入力欄に入力します
-
2計算「計算する」ボタンを押します
-
3結果を確認計算結果がその場に表示されます。計算の考え方や式の解説も同じページで確認できます
DataChefの特徴
簡単・無料
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専門知識不要、直感的で簡単な操作
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「ダウンロード」押下でファイルを自動削除
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商用利用許諾の連絡も不要です
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関連機能
平方完成 計算機（二次関数の頂点・軸・最大値/最小値）
y=ax²+bx+c を平方完成して標準形に直し、頂点・軸・最大値/最小値を途中式とグラフ付きで計算します
点と直線の距離 計算機（垂線の足・平行な2直線の距離に対応）
点と直線の距離 d = |ax₀+by₀+c|/√(a²+b²) を、有理化した厳密値と途中式・図付きで計算します
2点間の距離計算機（座標から距離・直線の式）
2点の座標から2点を結ぶ線分の長さと、その2点を通る直線の式を計算します
