順列・組み合わせ（nPr・nCr）

全体の個数 n と選ぶ個数 r を入力してください。順番を区別して選ぶ「順列 nPr」と、順番を区別せずに選ぶ「組み合わせ nCr」を同時に計算します。下の数式は入力欄と連動していて、n・r の部分を直接書き換えても計算できます。

全体の個数 n

選ぶ個数 r

n・r は0以上の整数（r は n 以下）で入力してください。n は10000まで対応し、答えが何十桁になっても全桁を正確に表示します。

計算結果

左の入力欄に全体の個数 n と選ぶ個数 r を入れて「計算する」を押すと、ここに結果が表示されます。

このページでできること
この計算は何の役に立つ？
使い方
式
用語・記号の解説
- 記号
- 用語
前提として理解しておくといいこと
Excelで計算する方法
Googleスプレッドシートで計算する方法
Pythonで計算する方法
数式記述言語（LaTeX等）での書き方（コピペ可）
ChatGPTに聞いて計算してもらう方法
計算ドリル（演習問題）
DataChefの特徴
関連機能
NumberChef 機能一覧

このページでできること

「全体の個数 \(n\)」と「選ぶ個数 \(r\)」を入れるだけで、順列 \({}_{n}\mathrm{P}_{r}\)（順番を区別して選ぶ場合の数）と組み合わせ \({}_{n}\mathrm{C}_{r}\)（順番を区別せずに選ぶ場合の数）が同時にわかります
「11人のサッカーチームからキャプテンとゴールキーパーを選ぶと何通り？」「フォワード2人を選ぶと何通り？」のような場合の数の計算が一発でできます
答えが何十桁・何百桁になる大きな \(n\) でも、丸めずに全桁を正確に表示します
式のやさしい解説・Excel/Googleスプレッドシート/Python用のコピペ数式・計算ドリル（演習問題）もこのページにまとまっています

このページで扱うのは「一度選んだものはもう選ばない（繰り返しなし）」場合の順列・組み合わせです。サイコロの目のように同じものを何回でも選べる場合（重複順列・重複組合せ）は式が異なるため、この計算機では扱いません。

この計算は何の役に立つ？

宝くじ（ロト6）の「当たりにくさ」を数字で知る

ロト6は、1〜43の43個の数字から6個を選ぶくじです。選び方は順番を区別しない組み合わせなので、全部で \({}_{43}\mathrm{C}_{6} = 6{,}096{,}454\) 通り。1等（6個すべて一致）はそのうち1通りなので、当せん確率は約609万分の1です。
組み合わせの式は、宝くじや懸賞の「当たりにくさ」を感覚ではなく具体的な数字で確かめるための土台になっています。

委員決め・当番決めの「何通りあるか」を数える

30人のクラスで学級委員長と副委員長を1人ずつ決めるのは、役割を区別するので順列で \({}_{30}\mathrm{P}_{2} = 30 \times 29 = 870\) 通り。一方、掃除当番を2人選ぶだけなら順番は関係ないので組み合わせで \({}_{30}\mathrm{C}_{2} = 435\) 通りです。
「役割や順番を区別するかどうかで数が変わる」ことを知っていると、くじ引きや選挙の場面で正しく数えられます。

リーグ戦（総当たり戦）の試合数を求める

総当たり戦の試合数は「対戦する2チームの選び方」なので、\(n\) チームなら \({}_{n}\mathrm{C}_{2}\) 試合です。10チームなら \({}_{10}\mathrm{C}_{2} = 45\) 試合になります。
スポーツ大会の運営や日程作りでは、この計算で必要な試合数・日数・会場数を見積もります。

暗証番号・ダイヤル錠のパターン数（セキュリティ）

0〜9の10種類の数字から、同じ数字を使わずに4桁の番号を作ると、順番を区別するので \({}_{10}\mathrm{P}_{4} = 5{,}040\) 通りです。パターン数が多いほど総当たりで破られにくく、桁数を増やすことがどれだけ効くかも順列で見積もれます。
ちなみに英語で「combination lock（組み合わせ錠）」と呼ばれるダイヤル錠は、順番が違うと開かないので、数学的には組み合わせではなく順列です。

品質管理の抜き取り検査（製造業）

100個の製品から検査用に5個を抜き取るとき、その選び方は \({}_{100}\mathrm{C}_{5} = 75{,}287{,}520\) 通りあります。
統計的な抜き取り検査（サンプリング検査）の理論は、この組み合わせの数を土台にして「不良品が混ざっていたとき検査で見つかる確率」を計算しており、工場の品質保証に欠かせない仕組みになっています。

式

階乗 \(n!\)（\(n\) 個すべての並べ方）

数学表記（一般的な数式）

\(n!\) \(=\) \(n \times (n-1) \times \cdots \times 2 \times 1\)

日本語表記（記号を日本語に置き換えた式）

② \(n\) 個すべての並べ方 \(n!\) \(=\) ① \(n\) から \(1\) までの整数の掛け算

式を日本語で読むと

① \(n\) から \(1\) までの整数をすべてかけ合わせると

② \(n\) 個すべての並べ方 \(n!\) になる

簡単な例

4人（A・B・C・D）を1列に並べる並べ方は

4人すべての並べ方 \(4!\) \(=\) 4から1までの掛け算

\(4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24\)

考え方のポイント

先頭に置く人は \(n\) 通り、その次は残った \((n-1)\) 通り……と、選べる数が1つずつ減っていくので、全部かけ合わせた数が「すべての並べ方」になります。なお \(0! = 1\) と約束します（「何も並べない」並べ方が1通り、と考えます）。この約束のおかげで、下の順列・組み合わせの式が \(r = n\) や \(r = 0\) のときもそのまま使えます。

順列 \({}_{n}\mathrm{P}_{r}\)（順番を区別して選ぶ）

数学表記（一般的な数式）

\({}_{n}P_{r}\) \(=\) \(n!\) \(\div\) \((n-r)!\)

日本語表記（記号を日本語に置き換えた式）

③ 並べる方法の数 \({}_{n}\mathrm{P}_{r}\) \(=\) ① \(n\) 個すべての並べ方 \(n!\) \(\div\) ② 残りの並べ方 \((n-r)!\)

式を日本語で読むと

① \(n\) 個すべての並べ方 \(n!\) を

② 選ばなかった \((n-r)\) 個の並べ方 \((n-r)!\) で割ると

③ \(n\) 個から \(r\) 個選んで並べる方法の数 \({}_{n}\mathrm{P}_{r}\) になる

簡単な例

サッカーチームの11人から、キャプテンとゴールキーパーを1人ずつ選ぶ（役割＝順番を区別する）方法は

11人から2人選んで並べる \({}_{11}\mathrm{P}_{2}\) \(=\) 11人すべての並べ方（11!） \(\div\) 残り9人の並べ方（9!）

\({}_{11}P_{2} = \dfrac{11!}{(11-2)!} = \dfrac{11!}{9!} = 11 \times 10 = 110\)

考え方のポイント

\(n\) 個全部の並べ方 \(n!\) のうち、選ばれなかった \((n-r)\) 個の並び方の違いは関係ないので、その分 \((n-r)!\) で割る——これがこの式の意味です。実際に手計算するときは、約分すると「大きい方から \(r\) 個掛けるだけ」になります。\({}_{11}\mathrm{P}_{2}\) なら \(11 \times 10 = 110\) です。「キャプテンA・GK B」と「キャプテンB・GK A」を別の選び方として数えるのが順列です。

組み合わせ \({}_{n}\mathrm{C}_{r}\)（順番を区別せずに選ぶ）

数学表記（一般的な数式）

\({}_{n}C_{r}\) \(=\) \({}_{n}P_{r}\) \(\div\) \(r!\)

日本語表記（記号を日本語に置き換えた式）

③ 選ぶ方法の数 \({}_{n}\mathrm{C}_{r}\) \(=\) ① 順番を区別した選び方 \({}_{n}\mathrm{P}_{r}\) \(\div\) ② 選んだ \(r\) 個の並べ替え方 \(r!\)

式を日本語で読むと

① 順番を区別した選び方 \({}_{n}\mathrm{P}_{r}\) を

② 選んだ \(r\) 個の並べ替え方 \(r!\) で割って順番のダブりを消すと

③ \(n\) 個から \(r\) 個選ぶ方法の数 \({}_{n}\mathrm{C}_{r}\) になる

簡単な例

サッカーチームの11人から、フォワード2人を選ぶ（2人の順番は区別しない）方法は

11人から2人選ぶ \({}_{11}\mathrm{C}_{2}\) \(=\) 順番を区別した選び方（110通り） \(\div\) 2人の並べ替え方（2! = 2通り）

\({}_{11}C_{2} = \dfrac{{}_{11}P_{2}}{2!} = \dfrac{110}{2} = 55\)

考え方のポイント

順列の110通りの中では、「AとB」「BとA」のように同じ2人組が並び順違いで \(2! = 2\) 回ずつ数えられています。だから \(r!\) で割ればダブりが消えて、「選び方だけ」の数になります。順列の式 \({}_{n}\mathrm{P}_{r} = \dfrac{n!}{(n-r)!}\) を代入すると、教科書でおなじみの \({}_{n}\mathrm{C}_{r} = \dfrac{n!}{r!\,(n-r)!}\) という形になります。\({}_{n}\mathrm{C}_{r}\) は「二項係数」とも呼ばれ、\(\binom{n}{r}\) と書くこともあります。

順列 nPr は「順番を区別して選ぶ」、組み合わせ nCr は「順番を区別せずに選ぶ」場合の数です。まず順列を求め、順番のダブりの分 \(r!\) で割れば組み合わせになる——この関係で覚えるのがコツです。

用語・記号の解説

記号

\(n\)	エヌ	選ぶもとになる全体の個数。（例：11人から選ぶなら \(n = 11\)）
\(r\)	アール	全体の中から選ぶ個数。（例：2人選ぶなら \(r = 2\)）
\(n!\)	エヌの階乗	\(n\) から \(1\) までの整数をすべてかけ合わせた数。\(n\) 個すべてを1列に並べる並べ方の総数を表します。ただし \(0! = 1\) と約束します。（例：\(4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24\)）
\({}_{n}\mathrm{P}_{r}\)	エヌ・ピー・アール	\(n\) 個から \(r\) 個選んで順番に並べる方法の総数（順列）。Pは順列を意味する英語 permutation の頭文字です。
\({}_{n}\mathrm{C}_{r}\)	エヌ・シー・アール	\(n\) 個から \(r\) 個選ぶ方法の総数（組み合わせ）。Cは組み合わせを意味する英語 combination の頭文字です。
\(\binom{n}{r}\)	エヌ・シー・アール（二項係数）	\({}_{n}\mathrm{C}_{r}\) の別の書き方。大学以降の数学や海外の教科書ではこちらの記法がよく使われます。

用語

場合の数	ばあいのかず	起こりうるパターンが全部で何通りあるかを数えた数。順列も組み合わせも、場合の数を数えるための道具です。
順列	じゅんれつ	\(n\) 個から \(r\) 個選んで、順番を区別して1列に並べる並べ方。「キャプテンと副キャプテン」のように役割や順位の違いを別物として数えます。
組み合わせ（組合せ）	くみあわせ	\(n\) 個から \(r\) 個選ぶだけで、順番を区別しない選び方。「掃除当番の2人」のように、選ばれた顔ぶれが同じなら1通りと数えます。数学の用語としては「組合せ」と送りがなを省いて書くのが正式です。
階乗	かいじょう	\(n\) から \(1\) までの整数をすべてかけ合わせる計算。記号は \(n!\) で、\(n\) 個すべてを並べる並べ方の総数を表します。
二項係数	にこうけいすう	\({}_{n}\mathrm{C}_{r}\) の別名。\((a+b)^n\) を展開したときの各項の係数がちょうど \({}_{n}\mathrm{C}_{r}\) になることからこう呼ばれます。
樹形図	じゅけいず	場合の数をもれなく・重複なく数えるために、枝分かれの図で全パターンを書き出す方法。順列・組み合わせの式は、樹形図の数え上げを計算で一気に行うものです。
重複順列	ちょうふくじゅんれつ	同じものを何回でも選べる場合の順列で、\(n^r\) 通りになります。このページの計算機が扱うのは「繰り返しなし」の場合だけです。
重複組合せ	ちょうふくくみあわせ	同じものを何回でも選べる場合の組み合わせ。このページの計算機が扱うのは「繰り返しなし」の場合だけです。

前提として理解しておくといいこと

このページの計算を「意味がわかって」使えるようになるために、前提として理解しておくといいことをまとめました。

掛け算・割り算（小学3〜5年）	\(11 \times 10\) のような整数の掛け算と、\(110 \div 2\) のような割り算ができること
場合の数と樹形図（小学6年〜中学2年）	起こりうるパターンを、樹形図などでもれなく・重複なく数え上げられること「並べ方（順番あり）」と「選び方（順番なし）」が別の数え方だと区別できること
階乗の記号（高校数学A）	\(n!\) が「\(n\) から \(1\) までを全部掛ける」という意味の記号だとわかること \(0! = 1\) という約束があることを知っていること
順列・組み合わせ（高校数学A）	「順番を区別するなら順列 nPr、区別しないなら組み合わせ nCr」と使い分けられること組み合わせは「順列を \(r!\) で割って順番のダブりを消したもの」と説明できること

Excelで計算する方法

Excelファイルをダウンロード

式ごとにシートが分かれたExcelファイルです。貼り付け場所を気にせず、開いてすぐ使えます。

下の表を丸ごとコピーして、ExcelのA1セルに貼り付けるとそのまま使えます。

「階乗 n!」を求める表

並べる個数 n	4
すべての並べ方 n!	=FACT(B1)

「順列 nPr」を求める表

全体の個数 n	11
選ぶ個数 r	2
順列 nPr	=PERMUT(B1,B2)

「組み合わせ nCr」を求める表

全体の個数 n	11
選ぶ個数 r	2
組み合わせ nCr	=COMBIN(B1,B2)

貼り付けると、B1（とB2）が入力欄になり、最後の行が自動計算の結果になります。
FACTが階乗、PERMUTが順列、COMBINが組み合わせを計算するExcelの関数です。
例えば2つ目の表ならB3に110、3つ目の表ならB3に55と表示されます。B1とB2を自分の数値に書き換えるだけで使えます。
なお、Excelの数値は有効15桁までなので、n が大きく答えが何十桁にもなる場合は末尾の桁が丸められます。

Googleスプレッドシートで計算する方法

Excelファイルをダウンロード

上のExcelファイルをダウンロードし、Googleドライブにアップロードして開くと、そのままスプレッドシートとして使えます。

下の表を丸ごとコピーして、GoogleスプレッドシートのA1セルに貼り付けるとそのまま使えます。

「階乗 n!」を求める表

並べる個数 n	4
すべての並べ方 n!	=FACT(B1)

「順列 nPr」を求める表

全体の個数 n	11
選ぶ個数 r	2
順列 nPr	=PERMUT(B1,B2)

「組み合わせ nCr」を求める表

全体の個数 n	11
選ぶ個数 r	2
組み合わせ nCr	=COMBIN(B1,B2)

Excelと同じ式がそのまま使えます（FACT・PERMUT・COMBINはGoogleスプレッドシートにも同じ名前であります）。
表を丸ごとコピーしてA1セルに貼り付け、B1とB2を自分の数値に書き換えてください。

Pythonで計算する方法

import math

total_items = 11    # 全体の個数 n
chosen_items = 2    # 選ぶ個数 r

permutations = math.perm(total_items, chosen_items)   # 順列 nPr
combinations = math.comb(total_items, chosen_items)   # 組み合わせ nCr

print(f"順列 nPr（順番を区別して選ぶ）: {permutations}")
print(f"組み合わせ nCr（順番を区別せずに選ぶ）: {combinations}")

標準ライブラリのmathだけで動きます（math.perm・math.combはPython 3.8以降）。Pythonの整数には桁数の上限がないので、答えが何百桁になっても正確に計算できます。先頭の2つの数値を書き換えて実行してください。

数式記述言語（LaTeX等）での書き方（コピペ可）

階乗 \(n!\)（\(n\) 個すべての並べ方）

n! = n × (n − 1) × ⋯ × 2 × 1

n! = n \times (n-1) \times \cdots \times 2 \times 1

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>n</mi><mo>!</mo>
    <mo>=</mo>
    <mi>n</mi>
    <mo>&#xD7;</mo>
    <mo>(</mo><mi>n</mi><mo>&#x2212;</mo><mn>1</mn><mo>)</mo>
    <mo>&#xD7;</mo>
    <mo>&#x22EF;</mo>
    <mo>&#xD7;</mo>
    <mn>2</mn>
    <mo>&#xD7;</mo>
    <mn>1</mn>
  </mrow>
</math>

n! = n xx (n-1) xx cdots xx 2 xx 1

Factorial[n]

nFactorial := factorial(n);

n_factorial = factorial(n);

n! = n × (n − 1) × ⋯ × 2 × 1

順列 \({}_{n}\mathrm{P}_{r}\)（順番を区別して選ぶ）

ₙPᵣ = n! ÷ (n − r)!

{}_{n}P_{r} = \dfrac{n!}{(n-r)!}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mmultiscripts>
      <mi>P</mi>
      <mi>r</mi><none/>
      <mprescripts/>
      <mi>n</mi><none/>
    </mmultiscripts>
    <mo>=</mo>
    <mfrac>
      <mrow><mi>n</mi><mo>!</mo></mrow>
      <mrow><mo>(</mo><mi>n</mi><mo>&#x2212;</mo><mi>r</mi><mo>)</mo><mo>!</mo></mrow>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

P(n, r) = (n!)/((n-r)!)

n!/(n - r)!

nPr := factorial(n)/factorial(n - r);

npr = factorial(n)/factorial(n - r);

P(n,r) = n!/(n − r)!

組み合わせ \({}_{n}\mathrm{C}_{r}\)（順番を区別せずに選ぶ）

ₙCᵣ = n! ÷ (r! × (n − r)!)

{}_{n}C_{r} = \dfrac{n!}{r!\,(n-r)!}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mmultiscripts>
      <mi>C</mi>
      <mi>r</mi><none/>
      <mprescripts/>
      <mi>n</mi><none/>
    </mmultiscripts>
    <mo>=</mo>
    <mfrac>
      <mrow><mi>n</mi><mo>!</mo></mrow>
      <mrow>
        <mi>r</mi><mo>!</mo>
        <mo>(</mo><mi>n</mi><mo>&#x2212;</mo><mi>r</mi><mo>)</mo><mo>!</mo>
      </mrow>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

C(n, r) = (n!)/(r!(n-r)!)

Binomial[n, r]

nCr := binomial(n, r);

ncr = nchoosek(n, r);

C(n,r) = n!/(r!(n − r)!)

ChatGPT に聞いて計算してもらう方法

あなたは場合の数（順列・組み合わせ）の計算アシスタントです。次の計算を、必ずPythonコードを実際に実行して行い、実行結果の数値だけを根拠に回答してください（暗算や推測で答えないでください）。

11人のサッカーチームがあります。
1. キャプテンとゴールキーパーを1人ずつ選ぶ方法は何通りありますか（役割を区別するので順列）。
2. フォワード2人を選ぶ方法は何通りありますか（2人の順番は区別しないので組み合わせ）。

それぞれについて、順列 nPr と組み合わせ nCr のどちらを使ったかと、実行結果の数値を示してください。