Scrivi il numero totale di elementi n e il numero che scegli r. La calcolatrice trova nello stesso momento le disposizioni nPr (l’ordine conta, in inglese «permutations») e le combinazioni nCr (l’ordine non conta). La formula qui sotto è collegata ai campi di input, quindi puoi anche modificare n e r direttamente nella formula.
Scrivi n e r come numeri interi da 0 in su (r non deve essere maggiore di n). n può arrivare fino a 10000 e ogni cifra della risposta è mostrata in modo esatto, anche quando arriva a decine di cifre.
Risultato
Scrivi il numero totale di elementi n e il numero che scegli r nei campi a sinistra e fai clic su «Calcola». Il risultato compare qui.
Indice
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Cosa puoi fare in questa pagina
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A cosa serve questo calcolo?
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Come si usa
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Formula
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Simboli e termini
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Cosa conviene sapere prima
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Come calcolarlo con Excel
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Come calcolarlo con Fogli Google
-
Come calcolarlo con Python
-
La formula in LaTeX e in altre notazioni matematiche (da copiare)
-
Come chiedere a ChatGPT di fare il calcolo
-
I punti di forza di DataChef
-
Funzioni correlate
-
Tutte le calcolatrici di NumberChef
Cosa puoi fare in questa pagina
- Scrivi solo il numero totale di elementi \(n\) e il numero che scegli \(r\). Ottieni insieme le disposizioni \({}_{n}\mathrm{P}_{r}\) (modi di scegliere quando l’ordine conta) e le combinazioni \({}_{n}\mathrm{C}_{r}\) (modi di scegliere quando l’ordine non conta)
- Rispondi in un solo passaggio a domande di calcolo combinatorio come «In quanti modi una squadra di calcio di 11 giocatori può scegliere un capitano e un portiere?» o «In quanti modi può scegliere 2 attaccanti?»
- Anche per un \(n\) grande, con risposte di decine o centinaia di cifre, ogni cifra è mostrata in modo esatto, senza arrotondamenti
- In questa pagina trovi anche una spiegazione semplice delle formule e le formule pronte da copiare per Excel, Fogli Google e Python
Questa pagina tratta le disposizioni e le combinazioni semplici (senza ripetizione), in cui un elemento già scelto non si può scegliere di nuovo. Quando lo stesso elemento si può scegliere quante volte si vuole, come le facce di un dado (disposizioni con ripetizione o combinazioni con ripetizione), le formule sono diverse, quindi questa calcolatrice non le tratta.
A cosa serve questo calcolo?
Dare un numero alla difficoltà di vincere alla lotteria
Al SuperEnalotto scegli 6 numeri tra 1 e 90. L’ordine dei numeri non conta, quindi sono una combinazione: \({}_{90}\mathrm{C}_{6} = 622.614.630\) modi. Solo 1 di queste combinazioni vince il jackpot, quindi la probabilità è di circa 1 su 622 milioni.
La formula delle combinazioni ti permette di controllare con numeri reali, e non con una vaga sensazione, quanto è difficile vincere a una lotteria o a un’estrazione.
Il calcolo dei modi di scegliere rappresentanti e incaricati
In una classe di 30 studenti, scegliere un rappresentante di classe e un vice significa che i ruoli sono diversi, quindi è una disposizione: \({}_{30}\mathrm{P}_{2} = 30 \times 29 = 870\) modi. Scegliere invece solo 2 studenti per l’assemblea d’istituto non dipende dall’ordine, quindi è una combinazione: \({}_{30}\mathrm{C}_{2} = 435\) modi.
Una volta capito che il numero cambia a seconda che contino i ruoli o l’ordine, puoi contare correttamente nelle estrazioni e nelle elezioni.
Trovare il numero di partite di un girone all’italiana
In un girone all’italiana ogni squadra gioca una volta contro ogni altra. Ogni partita è una scelta di 2 squadre, quindi \(n\) squadre giocano \({}_{n}\mathrm{C}_{2}\) partite. Con 10 squadre sono \({}_{10}\mathrm{C}_{2} = 45\) partite. Con andata e ritorno si raddoppia: un campionato a 20 squadre come la Serie A ha \(2 \times {}_{20}\mathrm{C}_{2} = 2 \times 190 = 380\) partite.
Chi organizza i tornei usa questo calcolo per stimare quante partite, giorni e campi servono.
Il calcolo dei PIN e dei codici dei lucchetti (sicurezza)
Se fai un codice di 4 cifre con le 10 cifre da 0 a 9 senza usare nessuna cifra due volte, l’ordine conta, quindi i codici sono \({}_{10}\mathrm{P}_{4} = 5040\). Più codici ci sono, più è difficile forzare il lucchetto provandoli tutti, e le disposizioni mostrano anche quanto aiuta aggiungere una cifra.
A proposito, un «lucchetto a combinazione» si apre solo se i numeri sono inseriti nell’ordine giusto, quindi matematicamente è un lucchetto a disposizione, non a combinazione.
Controllo a campione per il controllo qualità (industria)
Quando si scelgono 5 prodotti da controllare da un lotto di 100, ci sono \({}_{100}\mathrm{C}_{5} = 75.287.520\) modi di sceglierli.
La teoria del controllo statistico a campione si fonda su conteggi come questo. Trova la probabilità che un controllo individui un prodotto difettoso nel lotto ed è una parte chiave della garanzia della qualità nelle fabbriche.
Formula
Fattoriale \(n!\) (modi di disporre tutti gli \(n\) elementi)
Notazione matematica
(la notazione abituale)
\(n!\)
\(=\)
\(n \times (n-1) \times \cdots \times 2 \times 1\)
A parole
(i simboli sostituiti da parole)
②
\(n!\): modi di disporre tutti gli \(n\) elementi
\(=\)
①
il prodotto dei numeri interi da \(n\) fino a \(1\)
La formula a parole
①
Moltiplica
tutti i numeri interi da \(n\) fino a \(1\)
tra loro
②
e ottieni
\(n!\): modi di disporre tutti gli \(n\) elementi
Un esempio semplice
Il numero di modi di mettere in fila 4 persone (A, B, C e D) è
modi di mettere in fila tutte e 4 le persone \(4!\)
\(=\)
il prodotto da 4 fino a 1
\(4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24\)
L’idea chiave
Ci sono \(n\) scelte per il primo posto, poi \((n-1)\) scelte per il posto successivo tra quelle rimaste, e così via. Il numero di scelte scende di 1 ogni volta, quindi moltiplicandole tutte si ottiene il numero di modi di disporre tutto (\(n!\) è anche il numero delle permutazioni di \(n\) elementi).
Per definizione \(0! = 1\) (c’è esattamente 1 modo di disporre niente). Grazie a questa regola le formule delle disposizioni e delle combinazioni qui sotto funzionano così come sono anche per \(r = n\) o \(r = 0\).
Disposizioni \({}_{n}\mathrm{P}_{r}\) (l’ordine conta)
Notazione matematica
(la notazione abituale)
\({}_{n}P_{r}\)
\(=\)
\(n!\)
\(\div\)
\((n-r)!\)
A parole
(i simboli sostituiti da parole)
③
\({}_{n}\mathrm{P}_{r}\): numero di disposizioni ordinate
\(=\)
①
\(n!\): modi di disporre tutti gli \(n\) elementi
\(\div\)
②
\((n-r)!\): modi di disporre gli elementi restanti
La formula a parole
①
Parti da
\(n!\): modi di disporre tutti gli \(n\) elementi
②
dividilo per
\((n-r)!\): modi di disporre i \((n-r)\) elementi non scelti
③
e ottieni
\({}_{n}\mathrm{P}_{r}\): numero di modi di scegliere \(r\) elementi su \(n\) in ordine
Un esempio semplice
Il numero di modi di scegliere un capitano e un portiere tra gli 11 giocatori di una squadra di calcio (i ruoli sono diversi, quindi l’ordine conta) è
2 su 11 persone in ordine \({}_{11}\mathrm{P}_{2}\)
\(=\)
modi di disporre tutti e 11 (11!)
\(\div\)
modi di disporre gli altri 9 (9!)
\({}_{11}P_{2} = \dfrac{11!}{(11-2)!} = \dfrac{11!}{9!} = 11 \times 10 = 110\)
L’idea chiave
Tra gli \(n!\) modi di disporre tutti gli \(n\) elementi, l’ordine dei \((n-r)\) elementi non scelti non conta, quindi dividiamo per \((n-r)!\). Questo è il significato di questa formula.
Quando fai il calcolo a mano, la frazione si semplifica in «moltiplica \(r\) numeri, scendendo da \(n\)». Per \({}_{11}\mathrm{P}_{2}\) è \(11 \times 10 = 110\). Una disposizione conta «capitano A, portiere B» e «capitano B, portiere A» come due scelte diverse. Nei libri di scuola italiani si scrive spesso \(D_{n,r}\) (disposizioni semplici).
Combinazioni \({}_{n}\mathrm{C}_{r}\) (l’ordine non conta)
Notazione matematica
(la notazione abituale)
\({}_{n}C_{r}\)
\(=\)
\({}_{n}P_{r}\)
\(\div\)
\(r!\)
A parole
(i simboli sostituiti da parole)
③
\({}_{n}\mathrm{C}_{r}\): numero di modi di scegliere
\(=\)
①
\({}_{n}\mathrm{P}_{r}\): scelte in ordine
\(\div\)
②
\(r!\): modi di riordinare gli \(r\) elementi scelti
La formula a parole
①
Parti da
\({}_{n}\mathrm{P}_{r}\): scelte in ordine
②
dividile per
\(r!\): modi di riordinare gli \(r\) elementi scelti
per eliminare i doppioni dovuti all’ordine
③
e ottieni
\({}_{n}\mathrm{C}_{r}\): numero di modi di scegliere \(r\) elementi su \(n\)
Un esempio semplice
Il numero di modi di scegliere 2 attaccanti tra gli 11 giocatori di una squadra di calcio (l’ordine dei 2 non conta) è
2 su 11 persone \({}_{11}\mathrm{C}_{2}\)
\(=\)
scelte in ordine (110 modi)
\(\div\)
modi di riordinare 2 persone (2! = 2 modi)
\({}_{11}C_{2} = \dfrac{{}_{11}P_{2}}{2!} = \dfrac{110}{2} = 55\)
L’idea chiave
Tra le 110 disposizioni, ogni coppia di persone è contata \(2! = 2\) volte, una volta come «A e B» e una come «B e A». Dividere per \(r!\) elimina questi doppioni e lascia solo il numero di gruppi diversi.
Sostituisci la formula delle disposizioni \({}_{n}\mathrm{P}_{r} = \dfrac{n!}{(n-r)!}\) e ottieni la forma familiare dei libri di testo \({}_{n}\mathrm{C}_{r} = \dfrac{n!}{r!\,(n-r)!}\). \({}_{n}\mathrm{C}_{r}\) si chiama anche coefficiente binomiale e si scrive spesso \(\binom{n}{r}\), che si legge «n su r» (in Italia si trova anche \(C_{n,r}\)).
Le disposizioni nPr contano i modi di scegliere quando l’ordine conta e le combinazioni nCr contano i modi di scegliere quando l’ordine non conta. Il modo più facile per ricordarle è questo legame: trova prima le disposizioni, poi dividi per \(r!\) per eliminare i doppioni dovuti all’ordine e hai le combinazioni.
Simboli e termini
Simboli
| \(n\) | enne | Il numero totale di elementi tra cui scegli. (Esempio: scegliendo tra 11 persone, \(n = 11\)) |
| \(r\) | erre | Il numero di elementi che scegli tra il totale. (Esempio: scegliendo 2 persone, \(r = 2\)) |
| \(n!\) | enne fattoriale | Il prodotto di tutti i numeri interi da \(n\) fino a \(1\). È il numero di modi di disporre tutti gli \(n\) elementi in fila. Per definizione, \(0! = 1\). (Esempio: \(4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24\)) |
| \({}_{n}\mathrm{P}_{r}\) | enne P erre | Il numero di modi di scegliere \(r\) elementi su \(n\) e metterli in ordine (disposizioni). P è l’iniziale dell’inglese «permutation». In Italia si scrive anche \(D_{n,r}\) (disposizioni semplici) o \(P(n, r)\). |
| \({}_{n}\mathrm{C}_{r}\) | enne C erre | Il numero di modi di scegliere \(r\) elementi su \(n\) (combinazioni). C è l’iniziale di «combinazione». Si scrive anche \(C_{n,r}\) o \(C(n, r)\). |
| \(\binom{n}{r}\) | n su r (coefficiente binomiale) | Un altro modo di scrivere \({}_{n}\mathrm{C}_{r}\). È la forma più usata nella matematica universitaria e in molti libri di testo. |
Termini
| calcolo combinatorio | Trovare quanti esiti possibili ci sono in tutto. Le disposizioni e le combinazioni sono entrambe strumenti del calcolo combinatorio. |
| disposizione | Un modo di scegliere \(r\) elementi su \(n\) e metterli in fila, dove l’ordine conta. Ruoli o posizioni diversi, come «capitano e vicecapitano», si contano come diversi. Si chiama anche disposizione semplice (senza ripetizione). |
| combinazione | Un modo di scegliere \(r\) elementi su \(n\) dove l’ordine non conta. Come per «2 studenti per l’assemblea d’istituto», lo stesso gruppo di persone conta come 1 modo. |
| fattoriale | Moltiplicare tutti i numeri interi da \(n\) fino a \(1\). Il simbolo è \(n!\) e dà il numero di modi di disporre tutti gli \(n\) elementi (il numero delle permutazioni di \(n\) elementi). |
| coefficiente binomiale | Un altro nome di \({}_{n}\mathrm{C}_{r}\). Il nome viene dal fatto che i coefficienti che si ottengono sviluppando \((a+b)^n\) sono proprio i valori di \({}_{n}\mathrm{C}_{r}\). |
| diagramma ad albero | Un diagramma ramificato che elenca ogni esito possibile, così conti ciascuno esattamente una volta. Le formule delle disposizioni e delle combinazioni fanno lo stesso lavoro di un diagramma ad albero in un solo calcolo. |
| disposizione con ripetizione | Una disposizione in cui lo stesso elemento si può scegliere quante volte si vuole. Ce ne sono \(n^r\). La calcolatrice di questa pagina tratta solo il caso senza ripetizione. |
| combinazione con ripetizione | Una combinazione in cui lo stesso elemento si può scegliere quante volte si vuole. La calcolatrice di questa pagina tratta solo il caso senza ripetizione. |
Cosa conviene sapere prima
Ecco cosa ti aiuta a usare il calcolo di questa pagina capendolo davvero, e non solo premendo il pulsante.
| Moltiplicazione e divisione (classi 3ª–5ª della primaria, 8-11 anni) |
|
| Conteggio dei casi e diagrammi ad albero (classe 5ª della primaria e secondaria di primo grado, 10-14 anni) |
|
| Notazione del fattoriale (scuola secondaria di secondo grado) |
|
| Disposizioni e combinazioni (scuola secondaria di secondo grado) |
|
Come calcolarlo con Excel
Copia tutta la tabella qui sotto e incollala nella cella A1 di Excel. Funziona così com’è.
Tabella per trovare il fattoriale n!
| Elementi da disporre n | 4 |
| Tutti i modi di disporli n! | =FATTORIALE(B1) |
Tabella per trovare le disposizioni nPr
| Elementi totali n | 11 |
| Elementi scelti r | 2 |
| Disposizioni nPr | =PERMUTAZIONE(B1;B2) |
Tabella per trovare le combinazioni nCr
| Elementi totali n | 11 |
| Elementi scelti r | 2 |
| Combinazioni nCr | =COMBINAZIONE(B1;B2) |
Dopo aver incollato, B1 (e B2) sono i tuoi dati e l’ultima riga si calcola da sola.
FATTORIALE, PERMUTAZIONE e COMBINAZIONE sono le funzioni di Excel per il fattoriale, le disposizioni e le combinazioni (in Excel la funzione delle disposizioni si chiama PERMUTAZIONE).
Per esempio, B3 mostra 110 nella seconda tabella e 55 nella terza. Basta sostituire B1 e B2 con i tuoi numeri.
Nota che Excel conserva solo 15 cifre significative, quindi quando n è grande e la risposta ha decine di cifre, le ultime cifre vengono arrotondate.
FATTORIALE, PERMUTAZIONE e COMBINAZIONE sono le funzioni di Excel per il fattoriale, le disposizioni e le combinazioni (in Excel la funzione delle disposizioni si chiama PERMUTAZIONE).
Per esempio, B3 mostra 110 nella seconda tabella e 55 nella terza. Basta sostituire B1 e B2 con i tuoi numeri.
Nota che Excel conserva solo 15 cifre significative, quindi quando n è grande e la risposta ha decine di cifre, le ultime cifre vengono arrotondate.
Come calcolarlo con Fogli Google
Copia tutta la tabella qui sotto e incollala nella cella A1 di Fogli Google. Funziona così com’è.
Tabella per trovare il fattoriale n!
| Elementi da disporre n | 4 |
| Tutti i modi di disporli n! | =FATTORIALE(B1) |
Tabella per trovare le disposizioni nPr
| Elementi totali n | 11 |
| Elementi scelti r | 2 |
| Disposizioni nPr | =PERMUTAZIONE(B1;B2) |
Tabella per trovare le combinazioni nCr
| Elementi totali n | 11 |
| Elementi scelti r | 2 |
| Combinazioni nCr | =COMBINAZIONE(B1;B2) |
Le stesse formule di Excel funzionano così come sono (FATTORIALE, PERMUTAZIONE e COMBINAZIONE hanno gli stessi nomi in Fogli Google).
Copia l’intera tabella, incollala nella cella A1 e sostituisci B1 e B2 con i tuoi numeri.
Copia l’intera tabella, incollala nella cella A1 e sostituisci B1 e B2 con i tuoi numeri.
Come calcolarlo con Python
import math
total_items = 11 # numero totale di elementi n
chosen_items = 2 # numero di elementi scelti r
permutations = math.perm(total_items, chosen_items) # disposizioni nPr
combinations = math.comb(total_items, chosen_items) # combinazioni nCr
print(f"Disposizioni nPr (l’ordine conta): {permutations}")
print(f"Combinazioni nCr (l’ordine non conta): {combinations}")
Funziona con la sola libreria standard math (math.perm e math.comb richiedono Python 3.8 o successivo). Gli interi di Python non hanno limiti di cifre, quindi la risposta resta esatta anche con centinaia di cifre. Cambia i primi due numeri e avvia il codice.
La formula in LaTeX e in altre notazioni matematiche (da copiare)
Fattoriale \(n!\) (modi di disporre tutti gli \(n\) elementi)
n! = n × (n − 1) × ⋯ × 2 × 1
n! = n \times (n-1) \times \cdots \times 2 \times 1
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>n</mi><mo>!</mo>
<mo>=</mo>
<mi>n</mi>
<mo>×</mo>
<mo>(</mo><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>1</mn><mo>)</mo>
<mo>×</mo>
<mo>⋯</mo>
<mo>×</mo>
<mn>2</mn>
<mo>×</mo>
<mn>1</mn>
</mrow>
</math>
n! = n xx (n-1) xx cdots xx 2 xx 1
Factorial[n]
nFactorial := factorial(n);
n_factorial = factorial(n);
n! = n × (n − 1) × ⋯ × 2 × 1
Disposizioni \({}_{n}\mathrm{P}_{r}\) (l’ordine conta)
ₙPᵣ = n! ÷ (n − r)!
{}_{n}P_{r} = \dfrac{n!}{(n-r)!}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mmultiscripts>
<mi>P</mi>
<mi>r</mi><none/>
<mprescripts/>
<mi>n</mi><none/>
</mmultiscripts>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow><mi>n</mi><mo>!</mo></mrow>
<mrow><mo>(</mo><mi>n</mi><mo>−</mo><mi>r</mi><mo>)</mo><mo>!</mo></mrow>
</mfrac>
</mrow>
</math>
P(n, r) = (n!)/((n-r)!)
n!/(n - r)!
nPr := factorial(n)/factorial(n - r);
npr = factorial(n)/factorial(n - r);
P(n,r) = n!/(n − r)!
Combinazioni \({}_{n}\mathrm{C}_{r}\) (l’ordine non conta)
ₙCᵣ = n! ÷ (r! × (n − r)!)
{}_{n}C_{r} = \dfrac{n!}{r!\,(n-r)!}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mmultiscripts>
<mi>C</mi>
<mi>r</mi><none/>
<mprescripts/>
<mi>n</mi><none/>
</mmultiscripts>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow><mi>n</mi><mo>!</mo></mrow>
<mrow>
<mi>r</mi><mo>!</mo>
<mo>(</mo><mi>n</mi><mo>−</mo><mi>r</mi><mo>)</mo><mo>!</mo>
</mrow>
</mfrac>
</mrow>
</math>
C(n, r) = (n!)/(r!(n-r)!)
Binomial[n, r]
nCr := binomial(n, r);
ncr = nchoosek(n, r);
C(n,r) = n!/(r!(n − r)!)
Come chiedere a ChatGPT di fare il calcolo
Sei un assistente per il calcolo combinatorio (disposizioni e combinazioni). Fai il calcolo seguente eseguendo davvero codice Python e basa la risposta solo sui numeri del risultato dell’esecuzione (non rispondere con calcoli a mente o a caso). Una squadra di calcio ha 11 giocatori. 1. In quanti modi si possono scegliere un capitano e un portiere? (I ruoli sono diversi, quindi è una disposizione.) 2. In quanti modi si possono scegliere 2 attaccanti? (L’ordine dei 2 non conta, quindi è una combinazione.) Per ogni domanda, di’ se hai usato le disposizioni nPr o le combinazioni nCr e mostra i numeri del risultato dell’esecuzione.
Come si usa
-
1Inserisci i numeriScrivi nei campi i numeri con cui vuoi fare il calcolo
-
2CalcolaFai clic sul pulsante «Calcola»
-
3Guarda il risultatoIl risultato compare subito. Nella stessa pagina trovi anche lo svolgimento del calcolo e la spiegazione della formula
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Nessuna competenza richiesta, semplice e intuitivo
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Visualizzazione e conversione rapide, senza attese
Senza filigrana
Nessuna filigrana
Nessun obbligo di attribuzione
Nessun obbligo di attribuzione
Uso commerciale consentito
Uso commerciale gratuito
Nessuna autorizzazione preventiva necessaria
Nessuna autorizzazione preventiva necessaria
Funzioni correlate
Probabilità di due eventi indipendenti (e, o, nessuno dei due)
Calcola la probabilità che accadano entrambi, che ne accada almeno uno e altro, a partire da due probabilità
Probabilità di prove ripetute (n volte di fila, almeno una volta)
Calcola la probabilità che qualcosa accada n volte di fila, almeno una volta o mai
Calcolatrice di probabilità della distribuzione normale
Dati media e deviazione standard, calcola la probabilità di cadere in un intervallo
