Calcolatrice del valore atteso (media, varianza, deviazione standard)

Seguendo la tua tabella della distribuzione di probabilità, scrivi ogni valore possibile x e la sua probabilità p, una riga alla volta. L’esempio in grigio chiaro è il premio di un biglietto della lotteria (0 € con il 70%, 1 € con il 20%, 5 € con il 9% e 100 € con l’1%).

Numero di righe (coppie di valore e probabilità)

Valore x₁

Probabilità p₁

Valore x₂

Probabilità p₂

Valore x₃

Probabilità p₃

Valore x₄

Probabilità p₄

Valore x₅

Probabilità p₅

Valore x₆

Probabilità p₆

Valore x₇

Probabilità p₇

Valore x₈

Probabilità p₈

Valore x₉

Probabilità p₉

Valore x₁₀

Probabilità p₁₀

Scrivi solo numeri. Una probabilità si può scrivere come 0,2, 20% o 1/5 e le probabilità di tutte le righe devono sommare 1. I valori possono anche essere negativi (una perdita). Lascia vuoti sia «valore» sia «probabilità» nelle righe che non usi.

Risultato e grafico

Scrivi le coppie di valori e probabilità nei campi a sinistra e fai clic su «Calcola». Il risultato e un grafico compaiono qui.

Indice

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Cosa puoi fare in questa pagina
A cosa serve questo calcolo?
Come si usa
Formule e grafico
Simboli e termini
- Simboli
- Termini
Cosa conviene sapere prima
Come calcolarlo con Excel
Come calcolarlo con Fogli Google
Come calcolarlo con Python
La formula in LaTeX e in altre notazioni matematiche (da copiare)
Come chiedere a ChatGPT di fare il calcolo
I punti di forza di DataChef
Funzioni correlate
Tutte le calcolatrici di NumberChef

Cosa puoi fare in questa pagina

Scrivi una tabella della distribuzione di probabilità (coppie di un valore possibile \(x\) e della sua probabilità \(p\), da 2 a 10 righe) e ottieni subito il valore atteso \(E(X)\), la varianza \(\mathrm{Var}(X)\) e la deviazione standard \(\sigma(X)\)
Le risposte compaiono sia come frazione ridotta ai minimi termini (il valore esatto), per esempio \(\dfrac{7}{2}\), sia come numero decimale. Puoi vedere anche i passaggi, con i tuoi numeri inseriti in \(E(X) = x_1 p_1 + x_2 p_2 + \cdots\)
Controlla in automatico che le probabilità sommino esattamente 1. Se non è così, ti dice quanto vale la somma attuale
Puoi scrivere una probabilità come 0,2, 20% o 1/5. I valori possono anche essere negativi (una perdita)
Il risultato include un grafico a barre della distribuzione di probabilità, con il valore atteso \(E(X)\) segnato da una linea verticale tratteggiata

Questa pagina tratta le variabili casuali con un numero finito di valori possibili (variabili casuali discrete). Non tratta le variabili casuali che assumono valori continui, come l’altezza.

A cosa serve questo calcolo?

Dare un numero a «quanto ottieni in media per biglietto» nelle lotterie e nelle loot box

Il valore atteso, cioè «premio × probabilità di vincerlo» sommato su tutti i premi, è proprio il rendimento medio per biglietto. Nelle grandi lotterie nazionali come il SuperEnalotto, per regolamento circa il 60% delle giocate va a formare il montepremi, quindi il valore atteso di una giocata è ben inferiore al suo prezzo.
Puoi fare lo stesso calcolo per le loot box dei videogiochi. Con le probabilità di ottenimento dichiarate, è la base per stimare «circa quanto costerà ottenere l’oggetto che vuoi».

Fissare i premi delle assicurazioni (la base di come le compagnie stabiliscono i prezzi)

I premi delle assicurazioni sulla vita e dell’auto partono dall’importo atteso da pagare: «ogni indennizzo × la probabilità di quell’incidente o malattia», sommato. Poi si aggiungono i costi di gestione e altre voci. Esiste un’intera professione, l’attuario, specializzata in questo tipo di calcolo.
Dal punto di vista del cliente, l’assicurazione è un accordo in cui paghi più di quanto ricevi in media (in termini di valore atteso). Ciò che compri è la tranquillità contro una perdita rara ma grande.

Confrontare rendimento e rischio di un investimento con lo stesso metro

Negli investimenti è comune trattare il valore atteso del rendimento come «il guadagno che puoi aspettarti» e la deviazione standard come «il rischio (la grandezza delle oscillazioni)». Se due investimenti hanno lo stesso rendimento atteso, quello con la deviazione standard minore sale e scende in modo più dolce.
L’idea di questa pagina, guardare «quanto è alto il valore atteso» e «quanto è grande la dispersione» come due numeri separati, vale direttamente anche nella finanza reale.

Bilanciare i giochi (progettare ricompense e danni)

Chi progetta giochi da tavolo e videogiochi calcola valori attesi, come «la somma di due dadi», «il danno per attacco» e «il valore di un oggetto in uno scrigno», per bilanciare forza e ricompense.
Per esempio, «100 di danno con il 50% di probabilità» e «sempre 50 di danno» hanno entrambi un valore atteso di 50, ma le loro varianze sono diverse, quindi le due mosse si giocano in modo diverso. Chi progetta regola sia il valore atteso sia la dispersione per creare l’esperienza che vuole.

Formule e grafico

Valore atteso (media di una variabile casuale)

Grafico

Notazione matematica (la notazione abituale)

\(E(X)\) \(=\) \(x_1\) \(\times\) \(p_1\) \(+\) \(\cdots\) \(+\) \(x_n\) \(\times\) \(p_n\)

A parole (i simboli sostituiti da parole)

③ \(E(X)\): valore atteso \(=\) ① \(x_1\): primo valore \(\times\) ② \(p_1\): la sua probabilità \(+\) \(\cdots\) \(+\) \(x_n\): ultimo valore \(\times\) \(p_n\): la sua probabilità

La formula a parole

① Prendi ciascuno dei \(x_1,\ x_2,\ \dots,\ x_n\): valori possibili

② moltiplicalo per la sua \(p_1,\ p_2,\ \dots,\ p_n\): probabilità di quei valori e somma tutto

③ e ottieni il \(E(X)\): valore atteso

Un esempio semplice

Il valore atteso del numero \(X\) che esce lanciando un dado una volta (ogni numero ha probabilità \(\dfrac{1}{6}\)) è

\(E(X)\): numero atteso \(=\) esce 1 \(\times\) probabilità \(\frac{1}{6}\) \(+\) \(\cdots\) \(+\) esce 6 \(\times\) probabilità \(\frac{1}{6}\)

\(E(X) = 1 \times \dfrac{1}{6} + 2 \times \dfrac{1}{6} + 3 \times \dfrac{1}{6} + 4 \times \dfrac{1}{6} + 5 \times \dfrac{1}{6} + 6 \times \dfrac{1}{6}\)

\(E(X) = \dfrac{1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6}{6} = \dfrac{21}{6} = \dfrac{7}{2} = 3{,}5\)

L’idea chiave

Il valore atteso ti dice «in media, quanto ottieni a ogni tentativo». È una media pesata con le probabilità (la somma di ogni valore × quanto è probabile). Se lanci un dado migliaia o decine di migliaia di volte e fai la media dei numeri usciti, la media si avvicina sempre più a questo 3,5 (la legge dei grandi numeri). Non potrai mai ottenere davvero un 3,5. L’importante è pensare al valore atteso non come a «una previsione del prossimo risultato» ma come a «la media per tentativo quando ripeti molte volte». Come mostra il grafico qui sopra, se pensi alla distribuzione di probabilità come a dei pesi messi lungo una retta, il valore atteso è il punto di equilibrio.

Varianza (quanto sono dispersi i valori)

Notazione matematica (la notazione abituale)

\(\mathrm{Var}(X)\) \(=\) \(E(X^{2})\) \(-\) \([E(X)]^{2}\)

A parole (i simboli sostituiti da parole)

③ \(\mathrm{Var}(X)\): varianza \(=\) ① \(E(X^2)\): media dei quadrati \(-\) ② \([E(X)]^2\): quadrato del valore atteso

La formula a parole

① Prendi la \(E(X^2)\): prima elevi al quadrato, poi fai la media

② sottrai la \([E(X)]^2\): prima fai la media, poi elevi al quadrato

③ e ottieni la \(\mathrm{Var}(X)\): varianza

Un esempio semplice

La varianza del numero \(X\) che esce lanciando un dado (valore atteso \(E(X) = \dfrac{7}{2}\)) è

\(\mathrm{Var}(X)\): varianza del lancio \(=\) \(E(X^2)\): media dei quadrati dei lanci \(-\) quadrato del valore atteso \(\left(\frac{7}{2}\right)^2\)

\(E(X^{2}) = 1^{2} \times \dfrac{1}{6} + 2^{2} \times \dfrac{1}{6} + 3^{2} \times \dfrac{1}{6} + 4^{2} \times \dfrac{1}{6} + 5^{2} \times \dfrac{1}{6} + 6^{2} \times \dfrac{1}{6} = \dfrac{91}{6}\)

\(\mathrm{Var}(X) = \dfrac{91}{6} - \left(\dfrac{7}{2}\right)^{2} = \dfrac{182}{12} - \dfrac{147}{12} = \dfrac{35}{12}\)

L’idea chiave

La varianza ti dice quanto sono dispersi i valori attorno al valore atteso. La sua definizione originale eleva al quadrato ogni distanza dal valore atteso \(\mu = E(X)\) (lo scarto) e ne fa la media: \(\mathrm{Var}(X) = (x_1 - \mu)^2 p_1 + (x_2 - \mu)^2 p_2 + \cdots + (x_n - \mu)^2 p_n\). Dalla formula si legge subito il significato, «la media dei quadrati degli scarti». Però la definizione richiede una sottrazione di \(\mu\) per ogni riga, e sono molti calcoli. Riordinandola si ottiene la forma più semplice qui sopra, \(\mathrm{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2\) («la media dei quadrati meno il quadrato della media»), spesso chiamata formula abbreviata. I libri di testo la usano per quasi tutti i calcoli concreti e anche questa calcolatrice mostra i passaggi con questa formula. Anche con lo stesso valore atteso, una varianza più grande vuol dire una distribuzione con oscillazioni maggiori tra vincita e perdita. Per esempio, «un biglietto che paga sempre 100 €» e «un biglietto che paga 0 € o 200 € con la stessa probabilità» hanno entrambi un valore atteso di 100 €, ma il secondo ha una varianza maggiore.

Deviazione standard

Notazione matematica (la notazione abituale)

A parole (i simboli sostituiti da parole)

\(\sigma(X)\) \(=\) \(\sqrt{\mathrm{Var}(X)}\)

② \(\sigma(X)\): deviazione standard \(=\) ① radice quadrata positiva della varianza \(\mathrm{Var}(X)\)

La formula a parole

① Prendi la radice quadrata positiva della \(\mathrm{Var}(X)\): varianza

② e ottieni la \(\sigma(X)\): deviazione standard

Un esempio semplice

La deviazione standard del numero \(X\) che esce lanciando un dado (varianza \(\mathrm{Var}(X) = \dfrac{35}{12}\)) è

\(\sigma(X)\): deviazione standard del lancio \(=\) radice quadrata positiva della varianza \(\frac{35}{12}\)

\(\sigma(X) = \sqrt{\dfrac{35}{12}} \approx 1{,}71\)

L’idea chiave

La varianza è la media degli «scarti al quadrato», quindi anche le sue unità sono al quadrato (se il premio è in euro, la varianza è in euro × euro). Così è difficile farsi un’idea della grandezza della dispersione, perciò si fa la radice quadrata per tornare alle unità originali. Questa è la deviazione standard. Guardandola insieme al valore atteso, come in «un biglietto della lotteria con valore atteso di 1,65 € e deviazione standard di circa 9,99 €», puoi confrontare nelle stesse unità «quanto sono grandi le oscillazioni attorno alla media».

Il valore atteso \(E(X) = x_1 p_1 + x_2 p_2 + \cdots + x_n p_n\) è una media pesata con le probabilità: somma «ogni valore × la sua probabilità». La dispersione si misura con la varianza \(\mathrm{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2\) e con la sua radice quadrata, la deviazione standard \(\sigma(X)\).

Simboli e termini

Simboli

\(X\)	X maiuscola	Una variabile casuale: una variabile il cui valore è deciso dal risultato di una prova, come il numero che esce lanciando un dado. Essendo un «contenitore di un risultato» il cui contenuto non è ancora deciso, si scrive con la maiuscola per distinguerla dalle variabili ordinarie.
\(x_1,\ x_2,\ \dots,\ x_n\)	x con 1, x con 2, ..., x con n	Ciascuno dei valori possibili della variabile casuale \(X\). Il piccolo numero in basso a destra (il pedice) dice solo quale valore è nell’elenco; non ha niente a che fare con il valore stesso.
\(p_1,\ p_2,\ \dots,\ p_n\)	p con 1, p con 2, ..., p con n	La probabilità di ciascun valore. \(p\) è l’iniziale di «probabilità». La loro somma è sempre 1.
\(n\)	n	Il numero di valori possibili (il numero di righe della tabella della distribuzione di probabilità). Per indicare una quantità si usa spesso la lettera \(n\), da «numero».
\(E(X)\)	E di X	Il valore atteso della variabile casuale \(X\). \(E\) è l’iniziale di «expectation» (valore atteso). Indica un solo numero, «il valore atteso di \(X\)»; non è \(E\) per \(X\).
\(\mu\)	mi	La lettera greca usata spesso per il valore atteso (la media). Corrisponde alla «m» di «media». I libri di testo pongono \(\mu = E(X)\) per scrivere in modo più compatto la definizione della varianza.
\(\mathrm{Var}(X)\)	varianza di X	La varianza della variabile casuale \(X\). È la media dei quadrati delle distanze dal valore atteso (gli scarti) e mostra quanto sono dispersi i valori. Alcuni libri la scrivono \(V(X)\) o \(\sigma^2\).
\(\sigma(X)\)	sigma di X	La deviazione standard della variabile casuale \(X\). \(\sigma\) è la lettera greca minuscola sigma, la «s» greca di «deviazione standard». È la radice quadrata positiva della varianza. Si scrive anche \(\sigma\) o SD(X).
\(X^2\)	X al quadrato	Una nuova variabile casuale ottenuta elevando al quadrato il valore di \(X\). \(E(X^2)\) è «eleva al quadrato ogni valore possibile e poi fai la media pesata con le probabilità».
\(\sqrt{\phantom{0}}\)	radice quadrata (segno di radice)	Il simbolo del numero (0 o più) che, elevato al quadrato, dà il numero che sta sotto, cioè la radice quadrata positiva. Per esempio, \(\sqrt{9} = 3\). La deviazione standard si ricava mettendo la varianza sotto questo simbolo.

Termini

variabile casuale	Una variabile il cui valore è deciso dal risultato di una prova (un esperimento o un’osservazione il cui risultato è deciso dal caso), come il numero uscito lanciando un dado o il premio di un biglietto della lotteria. Di solito si scrive con la \(X\) maiuscola.
distribuzione di probabilità	L’elenco che associa a ogni valore possibile di una variabile casuale la sua probabilità. Scritta come tabella è una tabella della distribuzione di probabilità e i campi di questa pagina accolgono quella tabella così com’è.
prova	Un esperimento o un’osservazione che si può ripetere nelle stesse condizioni e il cui risultato è deciso dal caso, come lanciare un dado o estrarre un biglietto della lotteria.
valore atteso	La media di una variabile casuale. È ogni valore per la sua probabilità, tutto sommato, e si avvicina alla «media per tentativo» quando la prova viene ripetuta molte volte. Il simbolo è \(E(X)\) o \(\mu\). Si chiama anche speranza matematica.
media ponderata	Una media in cui ogni valore viene moltiplicato per un «peso» prima di sommare, invece di sommare e dividere per il numero dei valori. Il valore atteso è una media ponderata con le probabilità come pesi.
varianza	Una misura di quanto sono dispersi i valori. Eleva al quadrato le distanze dal valore atteso (gli scarti) e ne fa la media, pesata con le probabilità. Il simbolo è \(\mathrm{Var}(X)\).
deviazione standard	La radice quadrata positiva della varianza. A differenza della varianza, ha le stesse unità dei valori originali, quindi è più facile confrontare quanto sono dispersi i dati. Il simbolo è \(\sigma(X)\). Si chiama anche scarto quadratico medio.
scarto	La distanza di un valore dal valore atteso, \(x - \mu\). Gli scarti sono un misto di numeri positivi e negativi e la loro media semplice è sempre 0, quindi la varianza li eleva al quadrato prima di fare la media.
legge dei grandi numeri	La regola per cui, ripetendo una prova sempre più volte, la media dei risultati effettivi si avvicina sempre di più al valore atteso. È la base per leggere il valore atteso come «la media per tentativo su molte ripetizioni».
variabile casuale discreta	Una variabile casuale i cui valori possibili sono punti separati (un numero finito di valori, o numeri interi), come i numeri di un dado (da 1 a 6). Questa pagina tratta questo tipo. Una variabile casuale che assume valori continui, come l’altezza, si chiama variabile casuale continua e il suo valore atteso si trova con un integrale.

Cosa conviene sapere prima

Ecco cosa ti aiuta a usare il calcolo di questa pagina capendolo davvero, e non solo premendo il pulsante.
Se ti blocchi, ripassare gli argomenti di questo elenco è la via più rapida per andare avanti.

Probabilità di base (scuola secondaria di primo grado, 11-14 anni)	Sapere che una probabilità è un numero da 0 a 1 che indica quanto è probabile qualcosa (probabilità \(\dfrac{1}{6}\) = succede circa una volta su 6) Saper trovare le probabilità elencando i risultati possibili, in situazioni come dadi, monete e lotterie Sapere che le probabilità di tutti i risultati possibili sommano sempre 1
Frazioni e numeri decimali (classi 4ª–5ª della primaria e 1ª della secondaria di primo grado, 9-12 anni)	Saper moltiplicare e sommare frazioni (con un denominatore comune), per esempio \(1 \times \dfrac{1}{6} + 2 \times \dfrac{1}{6} = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}\) Saper passare da frazioni a numeri decimali e percentuali e viceversa (\(\dfrac{1}{5} = 0{,}2 = 20\%\))
La media (scuola primaria e secondaria di primo grado, 10-14 anni)	Sapere che media = somma ÷ numero dei valori Saper immaginare la differenza tra una media semplice, come la media dei voti di una classe, e una media ponderata, in cui i valori più probabili contano di più
Quadrati e radici quadrate (scuola secondaria di primo grado, 11-14 anni)	Sapere che cosa significano elevare al quadrato (moltiplicare un numero per se stesso) e il suo contrario, la radice quadrata \(\sqrt{\phantom{0}}\) (per esempio, \(\sqrt{9} = 3\)) Sapere che il quadrato di un numero negativo è positivo (\((-2)^{2} = 4\))
Descrizione dei dati (statistica nella scuola secondaria di secondo grado)	Aver già calcolato la media, la varianza e la deviazione standard di un insieme di dati (questa pagina è la «versione con la distribuzione di probabilità» di quel calcolo, che si incontra nei corsi di statistica delle scuole superiori e dell’università) Sapere che la varianza e la deviazione standard misurano quanto sono dispersi i valori

Come calcolarlo con Excel

Copia tutta la tabella qui sotto e incollala nella cella A1 di Excel. Funziona così com’è.

Tabella per trovare il valore atteso E(X) (esempio della lotteria)

Valore x₁ (biglietto perdente, 0 €)	0
Probabilità p₁	0,7
Valore x₂ (premio da 1 €)	1
Probabilità p₂	0,2
Valore x₃ (premio da 5 €)	5
Probabilità p₃	0,09
Valore x₄ (premio da 100 €)	100
Probabilità p₄	0,01
Somma delle probabilità (verifica che sia 1)	=B2+B4+B6+B8
Valore atteso E(X)	=B1B2+B3B4+B5B6+B7B8

Tabella per trovare la varianza Var(X) (esempio della lotteria)

Valore x₁	0
Probabilità p₁	0,7
Valore x₂	1
Probabilità p₂	0,2
Valore x₃	5
Probabilità p₃	0,09
Valore x₄	100
Probabilità p₄	0,01
Valore atteso E(X)	=B1B2+B3B4+B5B6+B7B8
Media dei quadrati E(X²)	=B1^2B2+B3^2B4+B5^2B6+B7^2B8
Varianza Var(X) = E(X²) − [E(X)]²	=B10-B9^2

Tabella per trovare la deviazione standard σ(X)

Varianza Var(X)	99,7275
Deviazione standard σ(X) = √Var(X)	=RADQ(B1)

Dopo aver incollato, le righe in alto (valori e probabilità) sono i tuoi dati e le righe in basso si calcolano da sole. «*» è la moltiplicazione, «^2» vuol dire «al quadrato» e RADQ è la funzione della radice quadrata.
La prima tabella è l’esempio della lotteria (0 € con il 70%, 1 € con il 20%, 5 € con il 9% e 100 € con l’1%). La somma delle probabilità è 1 e il valore atteso è 1,65 (euro).
La seconda tabella è la varianza della stessa lotteria: la media dei quadrati, 102,45, meno il quadrato del valore atteso, 2,7225, cioè 99,7275.
La terza tabella ricava la deviazione standard da quella varianza, circa 9,99 (euro). Per aggiungere righe, aggiungi altre coppie di valore e probabilità ed estendi la parte «B1*B2+…» delle formule con lo stesso schema.

Come calcolarlo con Fogli Google

Copia tutta la tabella qui sotto e incollala nella cella A1 di Fogli Google. Funziona così com’è.

Tabella per trovare il valore atteso E(X) (esempio della lotteria)

Valore x₁ (biglietto perdente, 0 €)	0
Probabilità p₁	0,7
Valore x₂ (premio da 1 €)	1
Probabilità p₂	0,2
Valore x₃ (premio da 5 €)	5
Probabilità p₃	0,09
Valore x₄ (premio da 100 €)	100
Probabilità p₄	0,01
Somma delle probabilità (verifica che sia 1)	=B2+B4+B6+B8
Valore atteso E(X)	=B1B2+B3B4+B5B6+B7B8

Tabella per trovare la varianza Var(X) (esempio della lotteria)

Valore x₁	0
Probabilità p₁	0,7
Valore x₂	1
Probabilità p₂	0,2
Valore x₃	5
Probabilità p₃	0,09
Valore x₄	100
Probabilità p₄	0,01
Valore atteso E(X)	=B1B2+B3B4+B5B6+B7B8
Media dei quadrati E(X²)	=B1^2B2+B3^2B4+B5^2B6+B7^2B8
Varianza Var(X) = E(X²) − [E(X)]²	=B10-B9^2

Tabella per trovare la deviazione standard σ(X)

Varianza Var(X)	99,7275
Deviazione standard σ(X) = √Var(X)	=RADQ(B1)

Le stesse formule di Excel funzionano così come sono. Copia l’intera tabella, incollala nella cella A1 e sostituisci i valori e le probabilità con i tuoi numeri.

Come calcolarlo con Python

from fractions import Fraction

# Tabella della distribuzione di probabilità (coppie di valore e probabilità). Esempio della lotteria: il premio e la probabilità di vincerlo
# Una probabilità frazionaria si può scrivere come Fraction(1, 6)
values = [Fraction(0), Fraction(1), Fraction(5), Fraction(100)]
probabilities = [Fraction("0.7"), Fraction("0.2"), Fraction("0.09"), Fraction("0.01")]

# Verifica che le probabilità sommino 1
total = sum(probabilities)
if total != 1:
    raise ValueError(f"Le probabilità non sommano 1 (somma: {total})")

# Valore atteso E(X) = Σ x_i p_i
mean = sum(x * p for x, p in zip(values, probabilities))
# Media dei quadrati E(X²) e varianza Var(X) = E(X²) − [E(X)]²
mean_of_squares = sum(x * x * p for x, p in zip(values, probabilities))
variance = mean_of_squares - mean * mean
# Deviazione standard σ(X) = √Var(X)
std_dev = float(variance) ** 0.5

print(f"Valore atteso E(X): {mean} = {float(mean)}")
print(f"Varianza Var(X): {variance} = {float(variance)}")
print(f"Deviazione standard σ(X): {std_dev}")

Con il modulo fractions della libreria standard puoi calcolare con frazioni esatte, senza errori di arrotondamento dei decimali. Questo esempio è la lotteria (0 € con il 70%, 1 € con il 20%, 5 € con il 9% e 100 € con l’1%). Quando lo avvii, mostra il valore atteso 33/20 = 1,65, la varianza 39891/400 = 99,7275 e la deviazione standard di circa 9,9864. Cambia i valori e le probabilità e avvia il codice.

La formula in LaTeX e in altre notazioni matematiche (da copiare)

Valore atteso (media di una variabile casuale)

E(X) = x₁p₁ + x₂p₂ + … + xₙpₙ

E(X) = x_1 p_1 + x_2 p_2 + \cdots + x_n p_n

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>E</mi><mo>(</mo><mi>X</mi><mo>)</mo>
    <mo>=</mo>
    <msub><mi>x</mi><mn>1</mn></msub><msub><mi>p</mi><mn>1</mn></msub>
    <mo>+</mo>
    <msub><mi>x</mi><mn>2</mn></msub><msub><mi>p</mi><mn>2</mn></msub>
    <mo>+</mo><mo>&#x22EF;</mo><mo>+</mo>
    <msub><mi>x</mi><mi>n</mi></msub><msub><mi>p</mi><mi>n</mi></msub>
  </mrow>
</math>

E(X) = x_1 p_1 + x_2 p_2 + cdots + x_n p_n

Total[x*p]

EX := add(x[i]*p[i], i = 1..n);

EX = sum(x .* p);

E(X) = x_1 p_1 + x_2 p_2 + … + x_n p_n

Varianza (quanto sono dispersi i valori)

Var(X) = E(X²) − [E(X)]²

\mathrm{Var}(X) = E(X^{2}) - [E(X)]^{2}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>Var</mi><mo>(</mo><mi>X</mi><mo>)</mo>
    <mo>=</mo>
    <mi>E</mi><mo>(</mo><msup><mi>X</mi><mn>2</mn></msup><mo>)</mo>
    <mo>&#x2212;</mo>
    <msup><mrow><mo>[</mo><mi>E</mi><mo>(</mo><mi>X</mi><mo>)</mo><mo>]</mo></mrow><mn>2</mn></msup>
  </mrow>
</math>

Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2

Total[x^2*p] - Total[x*p]^2

VX := add(x[i]^2*p[i], i = 1..n) - EX^2;

VX = sum(x.^2 .* p) - EX^2;

Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2

Deviazione standard

σ(X) = √Var(X)

\sigma(X) = \sqrt{\mathrm{Var}(X)}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>&#x3C3;</mi><mo>(</mo><mi>X</mi><mo>)</mo>
    <mo>=</mo>
    <msqrt><mi>Var</mi><mo>(</mo><mi>X</mi><mo>)</mo></msqrt>
  </mrow>
</math>

sigma(X) = sqrt(Var(X))

Sqrt[Total[x^2*p] - Total[x*p]^2]

sigmaX := sqrt(VX);

sigmaX = sqrt(VX);

σ(X) = √(Var(X))

Come chiedere a ChatGPT di fare il calcolo

Sei un assistente per il calcolo di matematica (probabilità e statistica). Fai il calcolo seguente eseguendo davvero codice Python e basa la risposta solo sui numeri del risultato dell’esecuzione (non rispondere con calcoli a mente o a caso).

La distribuzione di probabilità di una variabile casuale X è data da questa tabella.
Valore x: 0, 1, 5, 100
Probabilità p: 0,7, 0,2, 0,09, 0,01

Mostra ciascuna delle cose seguenti:
1. Una verifica che le probabilità sommino 1
2. Il valore atteso E(X) (sia come frazione ridotta ai minimi termini o numero intero, sia come numero decimale)
3. La varianza Var(X) (usa la formula E(X²) − [E(X)]² e mostra anche il valore di E(X²))
4. La deviazione standard σ(X) (come numero decimale)

In Python usa il modulo fractions della libreria standard per calcolare in modo esatto e mostra le formule che hai usato e i numeri del risultato dell’esecuzione.

Come si usa

1

Inserisci i numeri

Scrivi nei campi i numeri con cui vuoi fare il calcolo
2

Calcola

Fai clic sul pulsante «Calcola»
3

Guarda il risultato

Il risultato compare subito. Nella stessa pagina trovi anche lo svolgimento del calcolo e la spiegazione della formula