Scegli cosa calcolare e scrivi le probabilità. La formula qui sotto è collegata ai campi di input, quindi puoi anche calcolare modificando direttamente i numeri nella formula.
Puoi scrivere una probabilità come «0,3», «30%» o «3/10».
Risultato e grafico
Scrivi le probabilità nei campi a sinistra e fai clic su «Calcola». Il risultato e una figura compaiono qui.
Indice
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Cosa puoi fare in questa pagina
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A cosa serve questo calcolo?
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Come si usa
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Formule e figure
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Simboli e termini
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Cosa conviene sapere prima
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Come calcolarlo con Excel
-
Come calcolarlo con Fogli Google
-
Come calcolarlo con Python
-
La formula in LaTeX e in altre notazioni matematiche (da copiare)
-
Come chiedere a ChatGPT di fare il calcolo
-
I punti di forza di DataChef
-
Funzioni correlate
-
Tutte le calcolatrici di NumberChef
Cosa puoi fare in questa pagina
- Scrivi \(P(A)\) e \(P(A \cap B)\) e ottieni subito la probabilità condizionata \(P(B \mid A) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)}\)
- Nella modalità teorema di Bayes parti dalla probabilità di una causa, \(P(A)\), e dalla probabilità di un risultato B con e senza quella causa, \(P(B \mid A)\) e \(P(B \mid A')\). Da questi risali a «la probabilità che la causa fosse A, dato che B è accaduto», \(P(A \mid B)\)
- Puoi seguire come si costruisce \(P(B)\) con il teorema della probabilità totale, in passaggi con i tuoi numeri e in un diagramma ad albero o in un modello ad aree
- Le risposte compaiono sia come frazione ridotta ai minimi termini (il valore esatto), per esempio \(\dfrac{10}{109}\), sia come numero decimale e come percentuale
- Puoi scrivere una probabilità come 0,3, 30% o 3/10. Ci sono anche una spiegazione semplice delle formule e le formule pronte da copiare per Excel, Fogli Google e Python
La probabilità condizionata funziona anche quando i due eventi non sono indipendenti. Anzi, è proprio lo strumento che serve quando il risultato di uno cambia la probabilità dell’altro.
A cosa serve questo calcolo?
Leggere correttamente il risultato di un esame (positivo non vuol dire quasi certo)
«Positivo a un esame accurato al 90%» fa pensare a una probabilità del 90% di avere la condizione. Ma se ipotizzi, per esempio, che l’1% di tutte le persone ce l’abbia, la probabilità di averla davvero dopo un risultato positivo (il valore predittivo positivo) è solo circa il 9%. I pochi veri positivi si perdono tra i falsi positivi che vengono dal grande gruppo di persone che non ce l’hanno.
È l’esempio più famoso del teorema di Bayes e in medicina la regola di base è leggere il risultato di un esame insieme alla probabilità a priori. (Le probabilità reali cambiano da esame a esame e da situazione a situazione, quindi questi numeri sono solo un calcolo d’esempio.)
Filtri antispam (filtri bayesiani)
La base classica del rilevamento dello spam nelle app di posta è un filtro bayesiano. Da «la probabilità che questa parola compaia nello spam» e «la probabilità che compaia nella posta normale» usa il teorema di Bayes per risalire a «la probabilità che una e-mail con questa parola sia spam».
Stimare «risultato → causa» a partire dalle statistiche su «causa (spam) → risultato (la parola compare)» è un’applicazione da manuale del teorema di Bayes.
Controllo qualità nell’industria (da quale linea viene il pezzo difettoso?)
Una fabbrica ha la macchina X, che produce il 60% dei prodotti (2% difettosi), e la macchina Y, che ne produce il 40% (5% difettosi). La probabilità che un prodotto difettoso trovato al controllo venga dalla macchina X è, per il teorema di Bayes, \(\dfrac{0{,}6 \times 0{,}02}{0{,}6 \times 0{,}02 + 0{,}4 \times 0{,}05} = \dfrac{3}{8}\) (37,5%).
Decidere «quale linea controllare per prima quando compare un difetto» si può allora basare sui numeri invece che sull’intuito.
Probabilità «dopo l’estrazione» in lotterie e giochi di carte (teorema del prodotto)
Se estrai 2 biglietti senza rimetterli dentro da 10 biglietti di cui 3 vincenti, la probabilità che entrambi siano vincenti è \(\dfrac{3}{10} \times \dfrac{2}{9} = \dfrac{1}{15}\). Il primo risultato cambia la probabilità del secondo (non sono indipendenti), quindi è un lavoro per la probabilità condizionata e il teorema del prodotto.
Calcolare le probabilità delle carte rimaste nel mazzo a partire da «le carte già scoperte» a poker, a blackjack o in altri giochi di carte è esattamente lo stesso calcolo.
Valutazione del rischio nelle assicurazioni e nei finanziamenti (il rischio scomposto per condizione)
Quando fissano il premio dell’assicurazione auto (RC auto), le compagnie non guardano «la probabilità di un incidente» come un unico numero per tutti. La stimano come probabilità condizionata per ogni condizione, come l’età, la storia degli incidenti (da cui dipende la classe di merito, il sistema bonus-malus) e la zona in cui vivi, e la riflettono in premi diversi.
L’idea di probabilità condizionata, cioè che «la probabilità cambia una volta che conosci la condizione», sostiene sistemi finanziari come le assicurazioni, la concessione dei prestiti e la valutazione del merito creditizio.
Formule e figure
Probabilità condizionata
Modello dell’area
Notazione matematica
(la notazione abituale)
\(P(B \mid A)\)
\(=\)
\(P(A \cap B)\)
\(\div\)
\(P(A)\)
A parole
(i simboli sostituiti da parole)
③
\(P(B \mid A)\): probabilità di B dato A
\(=\)
①
\(P(A \cap B)\): probabilità che accadano sia A sia B
\(\div\)
②
\(P(A)\): probabilità di A
La formula a parole
①
Parti dalla
\(P(A \cap B)\): probabilità che accadano sia A sia B
②
dividila per la
\(P(A)\): probabilità di A
③
e ottieni la
\(P(B \mid A)\): probabilità di B dato A
Un esempio semplice
Lanci un dado una volta. Sapendo che il numero è pari (probabilità \(\dfrac{1}{2}\)), la probabilità che sia 4 o più è (i numeri pari maggiori o uguali a 4 sono 4 e 6, con probabilità \(\dfrac{1}{3}\))
\(P(B \mid A)\): 4 o più, dato che è pari
\(=\)
pari e 4 o più \(\dfrac{1}{3}\)
\(\div\)
pari \(\dfrac{1}{2}\)
\(\dfrac{1}{3} \div \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{3} \times 2 = \dfrac{2}{3}\)
L’idea chiave
Una probabilità ordinaria è «la quota del totale (probabilità 1) occupata da B». Con la probabilità condizionata, una volta saputo che A è accaduto, il mondo che stai guardando si restringe dal totale alla sola A. Quindi sostituisci il denominatore 1 con \(P(A)\). La probabilità condizionata è «la quota di A occupata da B».
Un errore comune è confonderla con la probabilità che accadano entrambi, \(P(A \cap B)\) (la probabilità congiunta). Nell’esempio del dado qui sopra, la probabilità di «pari e 4 o più» sul totale è \(\dfrac{1}{3}\), mentre la probabilità condizionata sui soli numeri pari è \(\dfrac{2}{3}\). Le formule si somigliano, ma sono probabilità diverse perché usano un totale diverso come denominatore.
La barra verticale in \(P(B \mid A)\) si legge «dato», quindi si legge «la probabilità di B dato A». L’evento a destra della barra è la condizione che sai già essersi verificata. Attenzione a non scambiare i due lati: \(P(B \mid A)\) e \(P(A \mid B)\) di solito sono numeri diversi. In alcuni libri la stessa probabilità si scrive anche \(P_{A}(B)\).
Teorema del prodotto (probabilità che accadano entrambi)
Notazione matematica
(la notazione abituale)
\(P(A \cap B)\)
\(=\)
\(P(A)\)
\(\times\)
\(P(B \mid A)\)
A parole
(i simboli sostituiti da parole)
③
\(P(A \cap B)\): probabilità che accadano sia A sia B
\(=\)
①
\(P(A)\): probabilità di A
\(\times\)
②
\(P(B \mid A)\): probabilità di B dato A
La formula a parole
①
Parti dalla
\(P(A)\): probabilità di A
②
moltiplicala per la
\(P(B \mid A)\): probabilità di B dato A
③
e ottieni la
\(P(A \cap B)\): probabilità che accadano sia A sia B
Un esempio semplice
In una scatola ci sono 10 biglietti della lotteria e 3 sono vincenti. Estrai 2 biglietti uno dopo l’altro senza rimettere dentro il primo. Il primo è vincente con probabilità \(\dfrac{3}{10}\). Se lo è, tra i 9 biglietti rimasti 2 sono vincenti, quindi anche il secondo è vincente con probabilità \(\dfrac{2}{9}\). La probabilità che entrambi siano vincenti è
\(P(A \cap B)\): entrambi vincenti
\(=\)
il primo vince \(\dfrac{3}{10}\)
\(\times\)
il secondo vince, dato che il primo ha vinto \(\dfrac{2}{9}\)
\(\dfrac{3}{10} \times \dfrac{2}{9} = \dfrac{6}{90} = \dfrac{1}{15}\)
L’idea chiave
È semplicemente la formula della probabilità condizionata con entrambi i lati moltiplicati per il denominatore \(P(A)\), quindi dice la stessa cosa in un’altra forma. Pensala come una moltiplicazione di probabilità in ordine di tempo: «prima accade A e poi, dato questo, accade anche B».
Se A e B sono indipendenti (un risultato non influenza l’altro), allora \(P(B \mid A) = P(B)\) e questa formula torna alla familiare \(P(A \cap B) = P(A) \times P(B)\). In altre parole, la moltiplicazione valida per gli eventi indipendenti è un caso particolare del teorema del prodotto.
Teorema della probabilità totale (somma dei percorsi che portano a B)
Notazione matematica
(la notazione abituale)
\(P(B)\)
\(=\)
\(P(A \cap B)\)
\(+\)
\(P(A' \cap B)\)
A parole
(i simboli sostituiti da parole)
③
\(P(B)\): probabilità di B
\(=\)
①
\(P(A \cap B)\): arrivare a B passando per A
\(+\)
②
\(P(A' \cap B)\): arrivare a B passando per non A
La formula a parole
①
Parti dalla
\(P(A \cap B)\): arrivare a B passando per A
②
aggiungi la
\(P(A' \cap B)\): arrivare a B passando per non A
③
e ottieni la
\(P(B)\): probabilità di B
Un esempio semplice
Supponi che tutti facciano un certo esame. Ipotizza che l’1% delle persone abbia la condizione (e risulti positivo il 90% delle volte) e che il 99% non la abbia (e risulti positivo per errore il 9% delle volte). Con il teorema del prodotto, \(P(A \cap B) = 0{,}01 \times 0{,}9 = 0{,}009\) e \(P(A' \cap B) = 0{,}99 \times 0{,}09 = 0{,}0891\), quindi la probabilità di un esame positivo è
\(P(B)\): esame positivo
\(=\)
ha la condizione ed è positivo (0,009)
\(+\)
non ha la condizione ma è positivo (0,0891)
\(0{,}009 + 0{,}0891 = 0{,}0981\ \ (9{,}81\%)\)
L’idea chiave
Ci sono solo due percorsi per arrivare a B: passando per A o passando per non A (l’evento contrario \(A'\)). Questi due percorsi non possono verificarsi insieme (sono incompatibili). Quindi basta sommare la probabilità di ciascun percorso per ottenere \(P(B)\).
La probabilità di ciascun percorso viene dal teorema del prodotto: \(P(A \cap B) = P(A) \times P(B \mid A)\) e \(P(A' \cap B) = P(A') \times P(B \mid A')\). Scritto tutto insieme, \(P(B) = P(A)\,P(B \mid A) + P(A')\,P(B \mid A')\). In un diagramma ad albero significa «somma tutti i rami che finiscono in B».
Teorema di Bayes (risalire da un risultato alla sua causa)
Diagramma ad albero
Notazione matematica
(la notazione abituale)
\(P(A \mid B)\)
\(=\)
\(P(A \cap B)\)
\(\div\)
\(P(B)\)
A parole
(i simboli sostituiti da parole)
③
\(P(A \mid B)\): probabilità che la causa sia A, dato B
\(=\)
①
\(P(A \cap B)\): arrivare a B passando per A
\(\div\)
②
\(P(B)\): probabilità di B
La formula a parole
①
Parti dalla
\(P(A \cap B)\): arrivare a B passando per A
②
dividila per la
\(P(B)\): probabilità di B (dal teorema della probabilità totale)
③
e ottieni la
\(P(A \mid B)\): probabilità che la causa sia A, dato B
Un esempio semplice
Continua l’esempio del teorema della probabilità totale qui sopra. Quando l’esame è positivo (B), la probabilità che la persona abbia davvero la condizione (A) è
\(P(A \mid B)\): ha davvero la condizione, dato che è positivo
\(=\)
ha la condizione ed è positivo (0,009)
\(\div\)
esame positivo (0,0981)
\(\dfrac{0{,}009}{0{,}0981} = \dfrac{90}{981} = \dfrac{10}{109} \approx 0{,}092\ \ (9{,}2\%)\)
L’idea chiave
La forma è semplicemente la formula della probabilità condizionata con la condizione scambiata da A a B. Ma si usa nella direzione opposta. Quello che sai è la probabilità da causa a risultato (\(P(B \mid A)\): 90% di positivi se la persona ha la condizione). Quello che vuoi è la probabilità da risultato a causa (\(P(A \mid B)\): la probabilità che la persona abbia davvero la condizione, dato un esame positivo). Il teorema di Bayes fa per te questo cambio di direzione.
Spesso si scrive con il denominatore \(P(B)\) sviluppato con il teorema della probabilità totale, \(P(A \mid B) = \dfrac{P(A)\,P(B \mid A)}{P(A)\,P(B \mid A) + P(A')\,P(B \mid A')}\), ma il contenuto è lo stesso.
La risposta dell’esempio, «solo circa il 9% anche dopo un esame positivo con il 90% di accuratezza», è sorprendentemente piccola. Succede perché solo l’1% delle persone ha la condizione in partenza, quindi i pochi veri positivi si perdono tra i tanti falsi positivi. La probabilità prima di vedere il risultato, \(P(A)\), si chiama probabilità a priori e la probabilità dopo aver visto il risultato, \(P(A \mid B)\), si chiama probabilità a posteriori.
La probabilità condizionata \(P(B \mid A)\) è «la quota di B dentro A», che si ottiene sostituendo il denominatore 1 (il totale) con \(P(A)\) (l’evento dato). Il teorema di Bayes si basa su di essa e risale dalla probabilità «causa → risultato» alla probabilità «risultato → causa». Il suo denominatore \(P(B)\) si costruisce con il teorema della probabilità totale (sommando i percorsi).
Simboli e termini
Simboli
| \(P(A)\) | P di A | La probabilità che l’evento A accada. P è l’iniziale di «probabilità». |
| \(P(B \mid A)\) | P di B dato A | La probabilità che accada B, sapendo che A è accaduto (la probabilità condizionata). Alcuni libri la scrivono anche \(P_{A}(B)\), con la condizione come piccolo pedice. |
| \(\mid\) | dato | La barra verticale dentro \(P(\ \ )\). L’evento alla sua destra è la condizione (ciò che sai già essere accaduto) e si legge «dato». \(P(B \mid A)\) e \(P(A \mid B)\) hanno significati diversi. |
| \(A'\) | non A (evento contrario) | L’evento «A non accade», detto evento contrario di A. Si scrive anche \(A^c\) o \(\overline{A}\). Si ricava con \(P(A') = 1 - P(A)\). |
| \(\cap\) | intersezione | Il simbolo di «e». \(A \cap B\) è l’evento «accadono sia A sia B». In un diagramma di Venn è la parte in cui i due cerchi si sovrappongono. |
| \(P(A \cap B)\) | P di A intersecato B | La probabilità che accadano sia A sia B (la probabilità congiunta). È il numeratore della probabilità condizionata. Non può mai essere maggiore di \(P(A)\), perché «accadono entrambi» è una parte di A. |
Termini
| evento | Qualcosa che accade oppure no, per esempio «esce un numero pari» o «l’esame risulta positivo». In probabilità questi risultati si chiamano eventi e si indicano con nomi come A e B. |
| probabilità condizionata | La probabilità che un evento B accada, nella condizione che un altro evento A sia già accaduto. Si calcola come \(P(B \mid A) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)}\). È «la quota di B in un mondo ridotto dal totale alla sola A». |
| teorema del prodotto | La formula \(P(A \cap B) = P(A) \times P(B \mid A)\). È la formula della probabilità condizionata con il denominatore eliminato e trova la probabilità di «prima A e poi anche B» moltiplicando in ordine. Si chiama anche regola della moltiplicazione o teorema delle probabilità composte. |
| teorema della probabilità totale | Una regola che trova la probabilità di B dividendola in «il percorso che passa per A» e «il percorso che passa per non A» e sommandoli. La formula è \(P(B) = P(A)\,P(B \mid A) + P(A')\,P(B \mid A')\). Serve a costruire il denominatore del teorema di Bayes. |
| teorema di Bayes | Una regola che risale dalla probabilità «causa → risultato» alla probabilità «risultato → causa». La formula è \(P(A \mid B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}\). Prende il nome da Thomas Bayes, un ministro di culto inglese del Settecento, e sta alla base di tecnologie moderne come i filtri antispam. |
| probabilità a priori | La probabilità della causa A, \(P(A)\), stimata prima di vedere il risultato (i dati). Nell’esempio dell’esame è «quante persone hanno la condizione in partenza». |
| probabilità a posteriori | La probabilità della causa A dopo averla aggiornata vedendo il risultato B, \(P(A \mid B)\). Il teorema di Bayes si può descrivere come una regola che «aggiorna la probabilità a priori nella probabilità a posteriori usando ciò che hai osservato». |
| evento contrario | L’evento opposto: quello in cui l’evento non accade. Il simbolo è \(A'\) e la sua probabilità è \(1 - P(A)\). Nel teorema della probabilità totale si occupa del «percorso che non passa per A». |
| incompatibile | Due eventi che non possono accadere insieme. «Arrivare a B passando per A» e «arrivare a B passando per non A» sono incompatibili, quindi nel teorema della probabilità totale si possono semplicemente sommare. |
| indipendente | Quando il risultato di uno non cambia la probabilità dell’altro. In termini di probabilità condizionata, A e B sono indipendenti quando \(P(B \mid A) = P(B)\) (sapere che A è accaduto non cambia la probabilità di B). |
| falso positivo | Un risultato che dice «positivo» anche se la persona non ha davvero la condizione. Anche quando il tasso di falsi positivi è piccolo, se la maggior parte delle persone non ha la condizione, il numero dei falsi positivi può superare quello dei veri positivi. |
| diagramma ad albero | Un diagramma che mostra i casi possibili come i rami di un albero. Scrivi una probabilità su ogni ramo e, moltiplicando lungo un percorso, ottieni la probabilità di quel percorso. È il diagramma migliore per seguire a occhio la probabilità condizionata e il teorema di Bayes. |
Cosa conviene sapere prima
Ecco cosa ti aiuta a usare il calcolo di questa pagina capendolo davvero, e non solo premendo il pulsante.
Se ti blocchi, ripassare gli argomenti di questo elenco è la via più rapida per andare avanti.
| Probabilità di base (scuola secondaria di primo grado, 11-14 anni) |
|
| Percentuali e numeri decimali (classi 4ª–5ª della primaria, 9-11 anni) |
|
| Moltiplicazione e divisione di frazioni (classe 5ª della primaria e 1ª della secondaria di primo grado, 10-12 anni) |
|
| Conteggio dei casi e diagrammi ad albero (scuola secondaria di primo grado, 11-14 anni) |
|
| Insiemi e diagrammi di Venn (scuola secondaria di secondo grado, biennio) |
|
Come calcolarlo con Excel
Copia tutta la tabella qui sotto e incollala nella cella A1 di Excel. Funziona così com’è.
Tabella per trovare la probabilità condizionata P(B|A)
| Probabilità di A, P(A) | 0,5 |
| Accadono sia A sia B, P(A∩B) | 0,2 |
| Probabilità condizionata P(B|A) | =B2/B1 |
Tabella per trovare la probabilità che accadano entrambi, P(A∩B) (teorema del prodotto)
| Probabilità di A, P(A) | 0,5 |
| B dato A, P(B|A) | 0,4 |
| Accadono sia A sia B, P(A∩B) | =B1*B2 |
Tabella per trovare la probabilità di B, P(B) (teorema della probabilità totale)
| Probabilità della causa A, P(A) | 0,01 |
| B dato A, P(B|A) | 0,9 |
| B dato non A, P(B|A') | 0,09 |
| Probabilità di B, P(B) | =B1*B2+(1-B1)*B3 |
Tabella per trovare la probabilità della causa, P(A|B) (teorema di Bayes)
| Probabilità della causa A, P(A) | 0,01 |
| B dato A, P(B|A) | 0,9 |
| B dato non A, P(B|A') | 0,09 |
| Accadono sia A sia B, P(A∩B) | =B1*B2 |
| Probabilità di B, P(B) | =B4+(1-B1)*B3 |
| La causa è A, dato B, P(A|B) | =B4/B5 |
Dopo aver incollato, nella colonna A trovi le etichette e nella colonna B i numeri. Le righe in alto sono i tuoi dati e le formule delle righe in basso calcolano a partire da essi.
Nelle formule «B1» e «B2» vogliono dire «usa il numero di quella cella», «*» è la moltiplicazione e «/» è la divisione.
La prima tabella dà 0,2 ÷ 0,5 = 0,4 e la seconda dà 0,5 × 0,4 = 0,2.
La terza tabella dà 0,01 × 0,9 + 0,99 × 0,09 = 0,0981, sommando la probabilità di un esame positivo percorso per percorso.
Nella quarta tabella B4 è 0,009 e B5 è 0,0981, e l’ultima cella, B6, è 0,009 ÷ 0,0981 ≈ 0,0917 (circa il 9,2%).
Nelle formule «B1» e «B2» vogliono dire «usa il numero di quella cella», «*» è la moltiplicazione e «/» è la divisione.
La prima tabella dà 0,2 ÷ 0,5 = 0,4 e la seconda dà 0,5 × 0,4 = 0,2.
La terza tabella dà 0,01 × 0,9 + 0,99 × 0,09 = 0,0981, sommando la probabilità di un esame positivo percorso per percorso.
Nella quarta tabella B4 è 0,009 e B5 è 0,0981, e l’ultima cella, B6, è 0,009 ÷ 0,0981 ≈ 0,0917 (circa il 9,2%).
Come calcolarlo con Fogli Google
Copia tutta la tabella qui sotto e incollala nella cella A1 di Fogli Google. Funziona così com’è.
Tabella per trovare la probabilità condizionata P(B|A)
| Probabilità di A, P(A) | 0,5 |
| Accadono sia A sia B, P(A∩B) | 0,2 |
| Probabilità condizionata P(B|A) | =B2/B1 |
Tabella per trovare la probabilità che accadano entrambi, P(A∩B) (teorema del prodotto)
| Probabilità di A, P(A) | 0,5 |
| B dato A, P(B|A) | 0,4 |
| Accadono sia A sia B, P(A∩B) | =B1*B2 |
Tabella per trovare la probabilità di B, P(B) (teorema della probabilità totale)
| Probabilità della causa A, P(A) | 0,01 |
| B dato A, P(B|A) | 0,9 |
| B dato non A, P(B|A') | 0,09 |
| Probabilità di B, P(B) | =B1*B2+(1-B1)*B3 |
Tabella per trovare la probabilità della causa, P(A|B) (teorema di Bayes)
| Probabilità della causa A, P(A) | 0,01 |
| B dato A, P(B|A) | 0,9 |
| B dato non A, P(B|A') | 0,09 |
| Accadono sia A sia B, P(A∩B) | =B1*B2 |
| Probabilità di B, P(B) | =B4+(1-B1)*B3 |
| La causa è A, dato B, P(A|B) | =B4/B5 |
Le stesse formule di Excel funzionano così come sono. Copia l’intera tabella e incollala nella cella A1. Le righe in alto sono i tuoi dati e le righe in basso sono i risultati calcolati.
Basta sostituire i numeri con le tue probabilità.
Basta sostituire i numeri con le tue probabilità.
Come calcolarlo con Python
from fractions import Fraction
# ===== Probabilità condizionata P(B|A) = P(A∩B) ÷ P(A) =====
p_a = Fraction(1, 2) # P(A): probabilità dell’evento dato A
p_a_and_b = Fraction(1, 3) # P(A∩B): probabilità che accadano entrambi
p_b_given_a = p_a_and_b / p_a
print(f"Probabilità condizionata P(B|A): {p_b_given_a} = {float(p_b_given_a):.4f}")
# ===== Teorema di Bayes (il denominatore si costruisce con il teorema della probabilità totale) =====
prior = Fraction(1, 100) # P(A): probabilità della causa A (probabilità a priori)
p_b_given_a2 = Fraction(90, 100) # P(B|A): probabilità di B dato A
p_b_given_not_a = Fraction(9, 100) # P(B|A'): probabilità di B dato non A
p_joint = prior * p_b_given_a2 # P(A∩B)
p_b = p_joint + (1 - prior) * p_b_given_not_a # P(B) (teorema della probabilità totale)
posterior = p_joint / p_b # P(A|B) (probabilità a posteriori)
print(f"Probabilità di B, P(B): {p_b} = {float(p_b):.4f}")
print(f"Probabilità che la causa sia A, P(A|B): {posterior} = {float(posterior):.4f}")
Con il modulo fractions della libreria standard puoi calcolare con frazioni esatte, senza errori di arrotondamento dei decimali. Quando lo avvii, la probabilità condizionata compare come «2/3» e l’esempio del teorema di Bayes mostra P(B) = 981/10000 (0,0981) e P(A|B) = 10/109 (circa 0,0917). Cambia i valori delle probabilità e avvia il codice (0,5 si può scrivere come frazione, per esempio Fraction(5, 10)).
La formula in LaTeX e in altre notazioni matematiche (da copiare)
Probabilità condizionata
P(B|A) = P(A∩B) / P(A)
P(B \mid A) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>P</mi><mo>(</mo><mi>B</mi><mo>∣</mo><mi>A</mi><mo>)</mo>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow><mi>P</mi><mo>(</mo><mi>A</mi><mo>∩</mo><mi>B</mi><mo>)</mo></mrow>
<mrow><mi>P</mi><mo>(</mo><mi>A</mi><mo>)</mo></mrow>
</mfrac>
</mrow>
</math>
P(B | A) = P(A nn B) / P(A)
pAandB/pA
pBgivenA := pAandB/pA;
p_b_given_a = p_a_and_b/p_a;
P(B|A) = P(A∩B)/P(A)
Teorema del prodotto (probabilità che accadano entrambi)
P(A∩B) = P(A) × P(B|A)
P(A \cap B) = P(A) \times P(B \mid A)
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>P</mi><mo>(</mo><mi>A</mi><mo>∩</mo><mi>B</mi><mo>)</mo>
<mo>=</mo>
<mi>P</mi><mo>(</mo><mi>A</mi><mo>)</mo>
<mo>×</mo>
<mi>P</mi><mo>(</mo><mi>B</mi><mo>∣</mo><mi>A</mi><mo>)</mo>
</mrow>
</math>
P(A nn B) = P(A) xx P(B | A)
pA*pBgivenA
pAandB := pA*pBgivenA;
p_a_and_b = p_a*p_b_given_a;
P(A∩B) = P(A) × P(B|A)
Teorema della probabilità totale (somma dei percorsi che portano a B)
P(B) = P(A) × P(B|A) + P(A′) × P(B|A′)
P(B) = P(A)\,P(B \mid A) + P(A')\,P(B \mid A')
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>P</mi><mo>(</mo><mi>B</mi><mo>)</mo>
<mo>=</mo>
<mi>P</mi><mo>(</mo><mi>A</mi><mo>)</mo>
<mi>P</mi><mo>(</mo><mi>B</mi><mo>∣</mo><mi>A</mi><mo>)</mo>
<mo>+</mo>
<mi>P</mi><mo>(</mo>
<msup><mi>A</mi><mo>′</mo></msup>
<mo>)</mo>
<mi>P</mi><mo>(</mo><mi>B</mi><mo>∣</mo>
<msup><mi>A</mi><mo>′</mo></msup>
<mo>)</mo>
</mrow>
</math>
P(B) = P(A) xx P(B | A) + P(A') xx P(B | A')
pA*pBgivenA + (1 - pA)*pBgivenNotA
pB := pA*pBgivenA + (1 - pA)*pBgivenNotA;
p_b = p_a*p_b_given_a + (1 - p_a)*p_b_given_not_a;
P(B) = P(A)P(B|A) + P(A′)P(B|A′)
Teorema di Bayes (risalire da un risultato alla sua causa)
P(A|B) = P(A∩B) / P(B)
P(A \mid B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)} = \dfrac{P(A)\,P(B \mid A)}{P(A)\,P(B \mid A) + P(A')\,P(B \mid A')}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>P</mi><mo>(</mo><mi>A</mi><mo>∣</mo><mi>B</mi><mo>)</mo>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow><mi>P</mi><mo>(</mo><mi>A</mi><mo>∩</mo><mi>B</mi><mo>)</mo></mrow>
<mrow><mi>P</mi><mo>(</mo><mi>B</mi><mo>)</mo></mrow>
</mfrac>
</mrow>
</math>
P(A | B) = P(A nn B) / P(B)
pA*pBgivenA/(pA*pBgivenA + (1 - pA)*pBgivenNotA)
pAgivenB := pAandB/pB;
p_a_given_b = p_a_and_b/p_b;
P(A|B) = P(A∩B)/P(B)
Come chiedere a ChatGPT di fare il calcolo
Sei un assistente per il calcolo delle probabilità (probabilità condizionata e teorema di Bayes). Fai il calcolo seguente eseguendo davvero codice Python e basa la risposta solo sui numeri del risultato dell’esecuzione (non rispondere con calcoli a mente o a caso). La probabilità della causa A (la probabilità a priori) è l’1%. La probabilità del risultato B quando A accade, P(B|A), è il 90%. La probabilità di B quando A non accade, P(B|A'), è il 9%. Trova ciascuna delle probabilità seguenti: 1. La probabilità che accadano sia A sia B, P(A∩B) 2. La probabilità di B, P(B) (con il teorema della probabilità totale, mostrando anche la scomposizione per percorso) 3. La probabilità che la causa sia A, dato che B è accaduto, P(A|B) (teorema di Bayes; mostrala sia come frazione ridotta ai minimi termini sia come numero decimale) In Python usa il modulo fractions della libreria standard per calcolare in modo esatto e mostra in una tabella le formule che hai usato e i numeri del risultato dell’esecuzione.
Come si usa
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1Inserisci i numeriScrivi nei campi i numeri con cui vuoi fare il calcolo
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2CalcolaFai clic sul pulsante «Calcola»
-
3Guarda il risultatoIl risultato compare subito. Nella stessa pagina trovi anche lo svolgimento del calcolo e la spiegazione della formula
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Funzioni correlate
Probabilità di due eventi indipendenti (e, o, nessuno dei due)
Calcola la probabilità che accadano entrambi, che ne accada almeno uno e altro, a partire da due probabilità
Probabilità di prove ripetute (n volte di fila, almeno una volta)
Calcola la probabilità che qualcosa accada n volte di fila, o almeno una volta in n tentativi
