Calcolatrice di logaritmi (base a scelta, logaritmo decimale e naturale)

Dei tre valori di «y = log_a(x)» (base a, argomento x e valore del logaritmo y), scrivi i due che conosci e fai clic su «Calcola». Quello lasciato vuoto viene calcolato. L’equazione qui sotto è collegata ai campi, quindi puoi anche scrivere la base, l’argomento o il valore del logaritmo direttamente al suo interno.

Argomento x (dentro il log)

Base a

Valore del logaritmo y

Lascia vuoto il valore che vuoi trovare (scrivine esattamente due). Oltre ai numeri, la base può essere «e» per il logaritmo naturale (usa 10 per il logaritmo decimale). L’argomento deve essere maggiore di 0 e la base maggiore di 0 e diversa da 1.

Risultato

Scrivi due valori nei campi a sinistra e fai clic su «Calcola». Qui compare il risultato.

Indice

[ Chiudi X ]

Cosa puoi fare in questa pagina
A cosa serve questo calcolo?
Come si usa
Formula
Simboli e termini
- Simboli
- Termini
Cosa conviene sapere prima
Come calcolarlo con Excel
Come calcolarlo con Fogli Google
Come calcolarlo con Python
La formula in LaTeX e in altre notazioni matematiche (da copiare)
Come chiedere a ChatGPT di fare il calcolo
I punti di forza di DataChef
Funzioni correlate
Tutte le calcolatrici di NumberChef

Cosa puoi fare in questa pagina

Per il logaritmo \(y = \log_a x\), scrivi i due che conosci tra la base \(a\), l’argomento \(x\) e il valore del logaritmo \(y\), e il terzo compare subito
Puoi usare una base qualsiasi. Scrivi «10» come base per il logaritmo decimale o «e» per il logaritmo naturale (\(\ln\))
Oltre ai valori dei logaritmi come \(\log_2 8 = 3\), risponde anche a «quanto fa 2 elevato a 10?» (si ricava l’argomento, \(2^{10} = 1024\)) e a «quale numero alla quarta dà 81?» (si ricava la base)
In questa pagina trovi anche una spiegazione semplice delle formule e le formule da copiare e incollare in Excel, Fogli Google e Python

Un logaritmo ha due regole. L’argomento deve essere maggiore di 0 (la condizione di esistenza) e la base deve essere maggiore di 0 e diversa da 1 (le condizioni sulla base). I dati che non rispettano queste regole danno un errore.

A cosa serve questo calcolo?

Che cosa sono davvero i decibel (dB) (audio e rumore)

Il decibel, l’unità di misura del livello sonoro, è definito con il logaritmo decimale di un rapporto di energie sonore. Anche quando l’energia diventa 100 volte più grande, il livello sale di soli \(10 \times \log_{10} 100 = 20\) dB.
Il nostro orecchio percepisce il suono in base a «quante volte più forte», quindi un’unità logaritmica gli si adatta perfettamente. I livelli di ascolto sicuri per le cuffiette e i limiti di rumore (in Italia il DPCM del 14 novembre 1997 fissa per le aree prevalentemente residenziali, classe II, 55 dB(A) di giorno e 45 dB(A) di notte) si basano tutti su questa formula con i logaritmi.

Leggere correttamente la magnitudo dei terremoti (protezione civile)

La magnitudo si basa sul logaritmo dell’energia di un terremoto. Un gradino in più di magnitudo libera circa 32 volte (\(10^{1{,}5}\) volte) l’energia, quindi un terremoto di magnitudo 7 ha circa 1000 volte l’energia di uno di magnitudo 5.
Conoscere i logaritmi ti permette di leggerlo come «3 cifre in più di energia» e non «solo 2 in più», e questo incide direttamente su come ci si prepara alle calamità.

Il pH (acido o basico) è una scala logaritmica (scienze e vita quotidiana)

Il pH, che misura quanto è acida una soluzione, è definito con il logaritmo decimale della concentrazione degli ioni idrogeno (\(\mathrm{pH} = -\log_{10}[\mathrm{H}^+]\)). Tra il succo di limone a pH 2 e l’acqua a pH 7, la concentrazione non differisce di «5» ma di un fattore \(10^5\) (100.000).
Trasformare quantità che coprono molte potenze di dieci in numeri comodi da 0 a 14 circa è ciò che i logaritmi sanno fare meglio. I numeri del pH su detersivi, kit per l’acqua della piscina e analisi del terreno del giardino si basano tutti su questo.

Quanti anni servono per raddoppiare il denaro (interesse composto e investimenti)

Con un interesse del 3% composto ogni anno, il capitale raddoppia quando \(1{,}03^y = 2\), cioè \(y = \log_{1{,}03} 2 \approx 23{,}4\) anni (supponendo lo stesso rendimento ogni anno).
La famosa «regola del 72» (72 ÷ tasso d’interesse in % ≈ anni per raddoppiare) è in realtà un’approssimazione di questo logaritmo. È una base solida per i piani di denaro a lungo termine, come gli studi dei figli e la previdenza complementare, con i numeri al posto delle sensazioni.

I bit dei dati si ricavano con i logaritmi (informatica)

Il numero di bit necessari per distinguere \(n\) cose diverse è \(\log_2 n\). Per esempio, 256 valori diversi stanno in \(\log_2 256 = 8\) bit (1 byte).
Anche la robustezza di una password (all’incirca quanti tentativi richiede un attacco a forza bruta) si misura come «quanti bit», un logaritmo. Questo calcolo sostiene l’intero mondo digitale.

Gli intervalli musicali sono logaritmi della frequenza (musica)

I tasti vicini del pianoforte (un semitono) hanno tutti lo stesso rapporto di frequenza, \(2^{1/12} \approx 1{,}0595\) (temperamento equabile). Se il rapporto di frequenza di due note è \(r\), il numero di semitoni tra di esse è \(12 \times \log_2 r\).
Per il la a 440 Hz e il la a 880 Hz si ha \(12 \times \log_2 2 = 12\) semitoni, esattamente un’ottava. Gli accordatori degli strumenti e il cambio di altezza nei programmi di musica funzionano con questo logaritmo.

Formula

Definizione di logaritmo (che cosa dice \(y = \log_a x\))

Notazione matematica (la notazione abituale)

\(x\) \(=\) \(a\) \(y\)

A parole (i simboli sostituiti da parole)

③ \(x\): argomento \(=\) ① \(a\): base ② \(y\): valore del logaritmo

La formula a parole

① Eleva la \(a\): base

② alla potenza del \(y\): valore del logaritmo

③ e ottieni l’ \(x\): argomento . Questo numero \(y\) del «a quale potenza» si scrive \(y = \log_a x\)

Un esempio semplice

Riscrivendo «2 elevato a 3 fa 8» (2 × 2 × 2 = 8) come logaritmo si ottiene

argomento 8 \(=\) base 2 valore del logaritmo 3

\(2^{3} = 2 \times 2 \times 2 = 8\)

\(\log_{2} 8 = 3\)

L’idea chiave

Un logaritmo annulla una potenza (un esponente). Se «quanto fa \(2^3\)?» ha come risposta 8, allora «2 elevato a quale potenza dà 8?» ha come risposta \(\log_2 8 = 3\). La stessa uguaglianza permette anche di trovare l’argomento: se conosci la base e il valore del logaritmo, l’argomento è \(x = a^y\). Qualunque potenza di un numero positivo \(a\) è sempre positiva, quindi l’argomento \(x\) deve essere maggiore di 0 (la condizione di esistenza del logaritmo). Inoltre, qualunque potenza di 1 è ancora 1, quindi 1 non può essere una base, e non possono esserlo nemmeno 0 e i numeri negativi (la base deve essere maggiore di 0 e diversa da 1).

Trovare il valore del logaritmo (formula del cambiamento di base)

Notazione matematica (la notazione abituale)

\(\log_{a} x\) \(=\) \(\ln x\) \(\div\) \(\ln a\)

A parole (i simboli sostituiti da parole)

③ \(\log_a x\): valore del logaritmo da trovare \(=\) ① \(\ln x\): logaritmo naturale dell’argomento \(\div\) ② \(\ln a\): logaritmo naturale della base

La formula a parole

① Prendi il \(\ln x\): logaritmo naturale dell’argomento

② dividilo per il \(\ln a\): logaritmo naturale della base

③ e ottieni il \(\log_a x\): valore del logaritmo da trovare

Un esempio semplice

Il logaritmo di 8 in base 2 (2 elevato a quale potenza dà 8) è

valore del logaritmo \(\log_2 8\) \(=\) logaritmo naturale di 8 \(\ln 8\) \(\div\) logaritmo naturale di 2 \(\ln 2\)

\(\log_{2} 8 = \ln 8 \div \ln 2 = 2{,}0794\cdots \div 0{,}6931\cdots = 3\)

L’idea chiave

Calcolatrici e linguaggi di programmazione di solito offrono solo il logaritmo naturale \(\ln\) (base \(e\)) e il logaritmo decimale \(\log_{10}\) (base 10). Un logaritmo con una base qualsiasi si può trovare come «logaritmo dell’argomento ÷ logaritmo della base». È la formula del cambiamento di base e questa calcolatrice la usa al suo interno. Usare il logaritmo decimale al posto di quello naturale dà la stessa risposta (\(\log_a x = \log_{10} x \div \log_{10} a\)). L’unica regola è usare lo stesso tipo di logaritmo sopra e sotto.

Trovare la base (dall’argomento e dal valore del logaritmo)

Notazione matematica (la notazione abituale)

\(a\) \(=\) \(x\) \(1/y\)

A parole (i simboli sostituiti da parole)

③ \(a\): base \(=\) ① \(x\): argomento ② \(1/y\): 1 fratto il valore del logaritmo

La formula a parole

① Eleva l’ \(x\): argomento

② alla potenza \(1/y\): 1 fratto il valore del logaritmo (cioè fai la radice \(y\)-esima)

③ e ottieni la \(a\): base

Un esempio semplice

«Il numero la cui quarta potenza è 81» (la base quando l’argomento è 81 e il valore del logaritmo è 4) è

\(a\): base \(=\) argomento 81 un quarto

\(a = 81^{1/4} = \sqrt[4]{81} = 3\)

\(3 \times 3 \times 3 \times 3 = 81\)

L’idea chiave

«Elevare alla potenza \(\frac{1}{y}\)» significa «fare la radice \(y\)-esima» (trovare il numero la cui potenza \(y\)-esima è quel numero). Questa formula non funziona quando il valore del logaritmo è \(y = 0\) (qualunque numero elevato a 0 dà 1, quindi se l’argomento è 1 va bene qualsiasi base e la base non è unica, e se l’argomento non è 1 non esiste nessuna base) o quando l’argomento è \(x = 1\) (la base dovrebbe essere 1, il che non è ammesso). In questi casi la calcolatrice dà un errore.

Logaritmo di un prodotto (il logaritmo di un prodotto è una somma)

Notazione matematica (la notazione abituale)

\(\log_{a} MN\) \(=\) \(\log_{a} M\) \(+\) \(\log_{a} N\)

A parole (i simboli sostituiti da parole)

③ \(\log_a MN\): logaritmo del prodotto \(MN\) \(=\) ① \(\log_a M\): logaritmo di \(M\) \(+\) ② \(\log_a N\): logaritmo di \(N\)

La formula a parole

① Somma il \(\log_a M\): logaritmo di \(M\)

② e il \(\log_a N\): logaritmo di \(N\)

③ e ottieni il \(\log_a MN\): logaritmo del prodotto \(MN\)

Un esempio semplice

In base 10, il logaritmo del prodotto di 4 e 25 (4 × 25 = 100) è

logaritmo del prodotto 4 × 25 \(=\) logaritmo di 4 (circa 0,6021) \(+\) logaritmo di 25 (circa 1,3979)

\(\log_{10}(4 \times 25) = \log_{10} 4 + \log_{10} 25 \approx 0{,}6021 + 1{,}3979 = 2\)

\(\log_{10} 100 = 2\)

L’idea chiave

Passando ai logaritmi, la moltiplicazione diventa un’addizione. È la proprietà più importante dei logaritmi. Prima delle calcolatrici, gli astronomi usavano le tavole dei logaritmi per trasformare il prodotto di numeri enormi in una somma. Il regolo calcolatore funziona con lo stesso principio.

Logaritmo di un quoziente (il logaritmo di un quoziente è una differenza)

Notazione matematica (la notazione abituale)

\(\log_{a} \dfrac{M}{N}\) \(=\) \(\log_{a} M\) \(-\) \(\log_{a} N\)

A parole (i simboli sostituiti da parole)

③ \(\log_a \frac{M}{N}\): logaritmo del quoziente \(\frac{M}{N}\) \(=\) ① \(\log_a M\): logaritmo di \(M\) \(-\) ② \(\log_a N\): logaritmo di \(N\)

La formula a parole

① Dal \(\log_a M\): logaritmo di \(M\)

② sottrai il \(\log_a N\): logaritmo di \(N\)

③ e ottieni il \(\log_a \frac{M}{N}\): logaritmo del quoziente \(\frac{M}{N}\)

Un esempio semplice

In base 10, il logaritmo del quoziente di 1000 diviso 10 (1000 ÷ 10 = 100) è

logaritmo del quoziente 1000 ÷ 10 \(=\) logaritmo di 1000 (3) \(-\) logaritmo di 10 (1)

\(\log_{10}\dfrac{1000}{10} = \log_{10} 1000 - \log_{10} 10 = 3 - 1 = 2\)

\(\log_{10} 100 = 2\)

L’idea chiave

È la «versione con la divisione» della regola del prodotto. Per lo stesso motivo per cui la moltiplicazione diventa un’addizione, la divisione diventa una sottrazione. È facile da ricordare come la proprietà degli esponenti \(a^{m} \div a^{n} = a^{m-n}\) riscritta nel linguaggio dei logaritmi.

Logaritmo di una potenza (l’esponente passa davanti)

Notazione matematica (la notazione abituale)

\(\log_{a} M^{k}\) \(=\) \(k\) \(\times\) \(\log_{a} M\)

A parole (i simboli sostituiti da parole)

③ \(\log_a M^k\): logaritmo della potenza \(M^k\) \(=\) ① \(k\): esponente \(\times\) ② \(\log_a M\): logaritmo di \(M\)

La formula a parole

① Moltiplica l’ \(k\): esponente

② per il \(\log_a M\): logaritmo di \(M\)

③ e ottieni il \(\log_a M^k\): logaritmo della potenza \(M^k\)

Un esempio semplice

In base 10, il logaritmo di 2 elevato a 10 (\(2^{10} = 1024\)) è

logaritmo di \(2^{10}\) \(=\) esponente 10 \(\times\) logaritmo di 2 (circa 0,3010)

\(\log_{10} 2^{10} = 10 \times \log_{10} 2 \approx 10 \times 0{,}3010 = 3{,}010\)

\(\log_{10} 1024 \approx 3{,}010\)

L’idea chiave

Il logaritmo di una potenza (moltiplicare \(k\) volte) diventa un’unica moltiplicazione: \(k\) volte il logaritmo. In questo esempio, \(\log_{10} 2^{10} \approx 3{,}010\) ti dice che «\(2^{10}\) è grande circa \(10^{3{,}010}\)», e ciò è in perfetto accordo con il fatto che \(2^{10} = 1024\) ha 4 cifre (la parte intera del logaritmo decimale più 1 è il numero delle cifre). Anche domande come «quante cifre ha \(2^{100}\)?» si risolvono con questa regola.

Il logaritmo \(y = \log_a x\) è il numero che dice «la base \(a\) elevata a quale potenza dà l’argomento \(x\)». È esattamente l’operazione inversa dell’elevamento a potenza. Con la formula del cambiamento di base, un logaritmo con una base qualsiasi si può calcolare dal logaritmo naturale \(\ln\) o dal logaritmo decimale \(\log_{10}\).

Simboli e termini

Simboli

\(\log_a x\)	log in base a di x	«Il logaritmo di \(x\) in base \(a\)». Il numero che dice a quale potenza va elevata la base \(a\) per ottenere l’argomento \(x\). (Esempio - \(\log_2 8 = 3\))
\(a\)	a (la base)	Il numero su cui si costruisce il logaritmo, scritto in piccolo in basso in \(\log_a x\). Deve essere maggiore di 0 e diverso da 1.
\(x\)	x (l’argomento)	Il numero dentro il log. Deve essere maggiore di 0 (la condizione di esistenza).
\(y\)	y (il valore del logaritmo)	Il risultato del logaritmo. È proprio l’esponente: «la base elevata a \(y\) dà l’argomento».
\(\log_{10} x\)	log in base 10 di x (logaritmo decimale)	Il logaritmo in base 10. È legato direttamente al numero di cifre (\(\log_{10} 1000 = 3\)) ed è molto usato in scienze e ingegneria. A volte la base si omette e si scrive \(\log x\) o \(\mathrm{Log}\,x\).
\(\ln x\)	logaritmo naturale di x	Il logaritmo in base \(e\) (il numero di Nepero). Si adatta meglio all’analisi ed è lo standard in matematica, fisica e finanza.
\(e\)	e (numero di Nepero)	Un numero speciale, circa 2,71828…, le cui cifre non finiscono mai. È la base del logaritmo naturale. In questa calcolatrice scrivi «e» nel campo della base per usarlo.
\(M,\ N\)	M, N	Gli argomenti usati per spiegare le proprietà dei logaritmi (prodotto, quoziente e potenza). Entrambi sono maggiori di 0.
\(\sqrt[n]{x}\)	radice n-esima di x	Il numero la cui potenza \(n\)-esima è \(x\). È la stessa cosa di \(x^{1/n}\) (la potenza 1 fratto \(n\)). (Esempio - \(\sqrt[4]{81} = 3\))

Termini

logaritmo	Il numero che dice a quale potenza va elevata la base per ottenere l’argomento. È l’operazione inversa dell’elevamento a potenza e si studia nel secondo biennio della scuola secondaria di secondo grado (16-18 anni). Il simbolo log è l’abbreviazione di «logaritmo».
base	Il numero su cui si costruisce il logaritmo. In \(\log_2 8\), la base è 2. Solo i numeri maggiori di 0 e diversi da 1 possono essere una base.
argomento	Il numero dentro il log. In \(\log_2 8\), l’argomento è 8. Solo i numeri maggiori di 0 possono essere un argomento.
condizione di esistenza	L’insieme dei numeri che un logaritmo accetta. L’argomento deve essere maggiore di 0, perché qualunque potenza di un numero positivo è sempre positiva, quindi non esiste il logaritmo di 0 né di un numero negativo. È la prima cosa da controllare (la C.E.) quando si risolvono equazioni o disequazioni con i logaritmi.
condizioni sulla base	La regola per cui la base deve essere maggiore di 0 e diversa da 1. Qualunque potenza di 1 è ancora 1, quindi il logaritmo non sarebbe definito, e le potenze di 0 o di un numero negativo non sono definite per ogni esponente.
logaritmo decimale	Il logaritmo in base 10. È legato direttamente al numero di cifre di un numero, e la maggior parte dei logaritmi della vita quotidiana, come pH, decibel e magnitudo dei terremoti, sono logaritmi decimali.
logaritmo naturale	Il logaritmo in base \(e\) (circa 2,718). Il suo simbolo è \(\ln\). È il logaritmo più comodo da usare nell’analisi e serve per i calcoli degli interessi e per lo studio dei fenomeni naturali.
numero di Nepero	Il numero \(e = 2{,}71828\ldots\), le cui cifre non finiscono mai. Compare in modo naturale ogni volta che c’è una crescita continua. Come \(\pi\), è un famoso numero irrazionale. Si chiama anche numero di Eulero.
potenza	Moltiplicare lo stesso numero per se stesso più volte. Come in \(2^3 = 2 \times 2 \times 2\), il piccolo numero in alto a destra (l’esponente) dice quante volte. Un logaritmo è l’operazione inversa di una potenza.
esponente	Il piccolo numero in alto a destra di una potenza che dice a quale potenza elevare. In \(2^3\), l’esponente è 3. Il valore di un logaritmo è l’esponente che stai cercando.
formula del cambiamento di base	La formula che riscrive un logaritmo con una base qualsiasi come «logaritmo dell’argomento ÷ logaritmo della base». Anche se una calcolatrice o un programma ha solo \(\ln\) e \(\log_{10}\), questa formula permette di calcolare un logaritmo con una base qualsiasi.
radice n-esima	Il numero la cui potenza \(n\)-esima è il numero dato. Come in «il numero la cui quarta potenza è 81 è 3», ricavare la base vuol dire trovare questa radice.

Cosa conviene sapere prima

Ecco che cosa ti aiuta a usare il calcolo di questa pagina capendolo davvero, e non solo premendo il pulsante.
Se ti blocchi, tornare a ripassare questi argomenti è la strada più veloce.

Potenze ed esponenti (scuola secondaria di primo grado, 11-14 anni)	Sapere che il piccolo numero in alto a destra (l’esponente) è «quante volte si moltiplica», come in \(2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8\)
Estensione degli esponenti (secondo biennio della scuola secondaria di secondo grado, 16-18 anni)	Sapere che gli esponenti si estendono a 0 e ai numeri negativi, come in \(a^0 = 1\) e \(a^{-n} = \frac{1}{a^n}\) Sapere che \(a^{1/n}\) (la potenza 1 fratto \(n\)) è la stessa cosa di fare la radice \(n\)-esima
Radici quadrate e radici n-esime (scuola secondaria di primo grado e secondo biennio della secondaria di secondo grado, 11-18 anni)	Saper rispondere a una domanda sulla potenza al contrario, come «il numero positivo il cui quadrato è 9 è 3»
L’idea di operazione inversa (scuola primaria e secondaria di primo grado)	Saper vedere che un logaritmo annulla una potenza, come la divisione annulla la moltiplicazione

Come calcolarlo con Excel

Copia tutta la tabella qui sotto e incollala nella cella A1 di Excel. Funziona così com’è.

Tabella per trovare il valore del logaritmo y

Argomento x	100
Base a	10
Valore del logaritmo y	=LOG(B1;B2)

Tabella per trovare l’argomento x

Base a	2
Valore del logaritmo y	10
Argomento x	=B1^B2

Tabella per trovare la base a

Argomento x	81
Valore del logaritmo y	4
Base a	=B1^(1/B2)

Tabella per verificare la regola del prodotto

Argomento M	4
Argomento N	25
log M + log N (base 10)	=LOG(B1;10)+LOG(B2;10)
log del prodotto M×N (base 10)	=LOG(B1*B2;10)

Tabella per verificare la regola del quoziente

Argomento M	1000
Argomento N	10
log M − log N (base 10)	=LOG(B1;10)-LOG(B2;10)
log del quoziente M÷N (base 10)	=LOG(B1/B2;10)

Tabella per verificare la regola della potenza

Argomento M	2
Esponente k	10
k × (log M) (base 10)	=B2*LOG(B1;10)
log della potenza M^k (base 10)	=LOG(B1^B2;10)

Dopo averla incollata, le righe in alto sono i dati da inserire e le ultime righe (le formule in verde) mostrano i risultati calcolati da soli.
La funzione LOG di Excel si scrive «=LOG(numero; base)» (se ometti la base, usa il logaritmo decimale, cioè la base 10). Il logaritmo naturale (base e) è «=LN(numero)».
Nella prima tabella, per esempio, in B3 compare 2 (perché 10 elevato a 2 fa 100). Per calcolare un logaritmo naturale, cambia B3 della prima tabella in «=LN(B1)».
Dalla quarta alla sesta tabella si verificano le proprietà dei logaritmi. Le due formule in fondo danno sempre lo stesso valore.

Come calcolarlo con Fogli Google

Copia tutta la tabella qui sotto e incollala nella cella A1 di Fogli Google. Funziona così com’è.

Tabella per trovare il valore del logaritmo y

Argomento x	100
Base a	10
Valore del logaritmo y	=LOG(B1;B2)

Tabella per trovare l’argomento x

Base a	2
Valore del logaritmo y	10
Argomento x	=B1^B2

Tabella per trovare la base a

Argomento x	81
Valore del logaritmo y	4
Base a	=B1^(1/B2)

Tabella per verificare la regola del prodotto

Argomento M	4
Argomento N	25
log M + log N (base 10)	=LOG(B1;10)+LOG(B2;10)
log del prodotto M×N (base 10)	=LOG(B1*B2;10)

Tabella per verificare la regola del quoziente

Argomento M	1000
Argomento N	10
log M − log N (base 10)	=LOG(B1;10)-LOG(B2;10)
log del quoziente M÷N (base 10)	=LOG(B1/B2;10)

Tabella per verificare la regola della potenza

Argomento M	2
Esponente k	10
k × (log M) (base 10)	=B2*LOG(B1;10)
log della potenza M^k (base 10)	=LOG(B1^B2;10)

Anche Fogli Google ha le stesse funzioni LOG e LN di Excel, quindi si possono usare esattamente le stesse formule.
Copia tutta la tabella, incollala nella cella A1 e sostituisci i numeri da inserire con i tuoi.

Come calcolarlo con Python

import math

x = 100   # argomento (un numero maggiore di 0)
a = 10    # base (maggiore di 0 e diversa da 1; usa math.e per il logaritmo naturale)

y = math.log(x, a)   # valore del logaritmo y = log_a(x)
print(f"Logaritmo di {x} in base {a}: {y}")

# Anche il logaritmo decimale (base 10) e quello naturale (base e) hanno le loro funzioni
print(f"Logaritmo decimale log10({x}) = {math.log10(x)}")
print(f"Logaritmo naturale ln({x}) = {math.log(x)}")

# Si può anche fare il calcolo inverso
true_number = a ** y        # ricava l’argomento (eleva la base alla y)
base_number = x ** (1 / y)  # ricava la base (eleva l’argomento alla 1/y)
print(f"Argomento: {true_number}, base: {base_number}")

Funziona con il solo modulo math della libreria standard. math.log(argomento, base) dà il valore del logaritmo (se ometti la base, dà il logaritmo naturale). Cambia x e a all’inizio con i tuoi numeri ed eseguilo.

La formula in LaTeX e in altre notazioni matematiche (da copiare)

Definizione di logaritmo (che cosa dice \(y = \log_a x\))

y = logₐ x ⇔ x = aʸ

y = \log_{a} x \iff x = a^{y}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>y</mi>
    <mo>=</mo>
    <msub><mi>log</mi><mi>a</mi></msub>
    <mi>x</mi>
    <mo>&#x21D4;</mo>
    <mi>x</mi>
    <mo>=</mo>
    <msup><mi>a</mi><mi>y</mi></msup>
  </mrow>
</math>

y = log_a x iff x = a^y

Log[a, x]

y := log[a](x);

y = log(x)/log(a);

y = log_a(x)

Trovare il valore del logaritmo (formula del cambiamento di base)

logₐ x = ln x ÷ ln a

\log_{a} x = \dfrac{\ln x}{\ln a}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <msub><mi>log</mi><mi>a</mi></msub>
    <mi>x</mi>
    <mo>=</mo>
    <mfrac>
      <mrow><mi>ln</mi><mo>&#x2061;</mo><mi>x</mi></mrow>
      <mrow><mi>ln</mi><mo>&#x2061;</mo><mi>a</mi></mrow>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

log_a x = (ln x)/(ln a)

Log[x]/Log[a]

y := ln(x)/ln(a);

y = log(x)/log(a);

log_a(x) = ln(x)/ln(a)

Trovare la base (dall’argomento e dal valore del logaritmo)

a = x^{1/y}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>a</mi>
    <mo>=</mo>
    <msup>
      <mi>x</mi>
      <mrow><mn>1</mn><mo>/</mo><mi>y</mi></mrow>
    </msup>
  </mrow>
</math>

a = x^(1/y)

x^(1/y)

a := x^(1/y);

a = x^(1/y);

a = x^(1/y)

Logaritmo di un prodotto (il logaritmo di un prodotto è una somma)

logₐ(MN) = logₐ M + logₐ N

\log_{a} MN = \log_{a} M + \log_{a} N

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <msub><mi>log</mi><mi>a</mi></msub>
    <mrow><mi>M</mi><mi>N</mi></mrow>
    <mo>=</mo>
    <msub><mi>log</mi><mi>a</mi></msub>
    <mi>M</mi>
    <mo>+</mo>
    <msub><mi>log</mi><mi>a</mi></msub>
    <mi>N</mi>
  </mrow>
</math>

log_a (MN) = log_a M + log_a N

Log[a, M*n] == Log[a, M] + Log[a, n]  (* N (valutazione numerica) è una parola riservata di Mathematica, quindi si usa n *)

log[a](M*N) = log[a](M) + log[a](N);

log(M*N)/log(a) == log(M)/log(a) + log(N)/log(a)

log_a(MN) = log_a(M) + log_a(N)

Logaritmo di un quoziente (il logaritmo di un quoziente è una differenza)

logₐ(M ÷ N) = logₐ M − logₐ N

\log_{a} \dfrac{M}{N} = \log_{a} M - \log_{a} N

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <msub><mi>log</mi><mi>a</mi></msub>
    <mfrac><mi>M</mi><mi>N</mi></mfrac>
    <mo>=</mo>
    <msub><mi>log</mi><mi>a</mi></msub>
    <mi>M</mi>
    <mo>&#x2212;</mo>
    <msub><mi>log</mi><mi>a</mi></msub>
    <mi>N</mi>
  </mrow>
</math>

log_a (M/N) = log_a M - log_a N

Log[a, M/n] == Log[a, M] - Log[a, n]  (* N (valutazione numerica) è una parola riservata di Mathematica, quindi si usa n *)

log[a](M/N) = log[a](M) - log[a](N);

log(M/N)/log(a) == log(M)/log(a) - log(N)/log(a)

log_a(M/N) = log_a(M) - log_a(N)

Logaritmo di una potenza (l’esponente passa davanti)

logₐ(Mᵏ) = k logₐ M

\log_{a} M^{k} = k \log_{a} M

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <msub><mi>log</mi><mi>a</mi></msub>
    <msup><mi>M</mi><mi>k</mi></msup>
    <mo>=</mo>
    <mi>k</mi>
    <msub><mi>log</mi><mi>a</mi></msub>
    <mi>M</mi>
  </mrow>
</math>

log_a (M^k) = k log_a M

Log[a, M^k] == k*Log[a, M]

log[a](M^k) = k*log[a](M);

log(M^k)/log(a) == k*log(M)/log(a)

log_a(M^k) = k log_a(M)

Come chiedere a ChatGPT di fare il calcolo

Sei un assistente di calcolo per i logaritmi. Esegui i calcoli seguenti eseguendo davvero codice Python e basa la risposta solo sui numeri del risultato dell’esecuzione (non rispondere con il calcolo a mente né a intuito).

Trova ciascuno dei valori seguenti:
1. Il logaritmo di 100 in base 10 (log10(100))
2. Il logaritmo naturale di 7 (ln 7)
3. L’argomento quando la base è 2 e il valore del logaritmo è 10 (2 elevato a 10)
4. Il numero la cui quarta potenza è 81 (la base quando l’argomento è 81 e il valore del logaritmo è 4)

Mostra le formule usate e i numeri del risultato dell’esecuzione.

Come si usa

1

Inserisci i numeri

Scrivi nei campi i numeri con cui vuoi fare il calcolo
2

Calcola

Fai clic sul pulsante «Calcola»
3

Guarda il risultato

Il risultato compare subito. Nella stessa pagina trovi anche lo svolgimento del calcolo e la spiegazione della formula