Inserisci il raggio del cerchio superiore, quello del cerchio inferiore e l’altezza del tronco di cono (un solido come un secchio, con due cerchi paralleli e il lato che si restringe). Ottieni il volume e la conversione in litri (L).
Usa la stessa unità per le tre lunghezze e scrivi solo numeri (per 15 cm scrivi «15»). Il raggio superiore e quello inferiore possono essere in qualunque ordine. Se in uno dei due scrivi 0 ottieni un cono, se scrivi lo stesso valore ottieni il volume di un cilindro.
Risultato e figura
Inserisci i raggi dei due cerchi e l’altezza nei campi a sinistra e fai clic su «Calcola». Qui compare il risultato.
Indice
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Cosa puoi fare in questa pagina
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A cosa serve questo calcolo?
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Come si usa
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Formule e figure
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Simboli e termini
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Cosa conviene sapere prima
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Come calcolarlo con Excel
-
Come calcolarlo con Fogli Google
-
Come calcolarlo con Python
-
La formula in LaTeX e in altre notazioni matematiche (da copiare)
-
Come chiedere a ChatGPT di fare il calcolo
-
I punti di forza di DataChef
-
Funzioni correlate
-
Tutte le calcolatrici di NumberChef
Cosa puoi fare in questa pagina
- Inserisci il raggio del cerchio superiore, quello del cerchio inferiore e l’altezza e ottieni subito il volume del tronco di cono (la forma di un secchio o di un bicchierino per il budino)
- Mostra anche il volume convertito in litri (L), sia che inserisci i cm sia che inserisci i m
- Il tronco di cono calcolato è mostrato anche in una figura 3D che puoi ruotare trascinandola con il mouse
- Se in uno dei due raggi scrivi 0 ottieni un cono, se scrivi lo stesso raggio in alto e in basso ottieni un cilindro: la stessa calcolatrice funziona anche per il loro volume
- In questa stessa pagina trovi anche una spiegazione semplice della formula e le formule da copiare per Excel, Fogli Google e Python
Inserisci le tre lunghezze nella stessa unità (tutte in cm, per esempio). Qui l’«altezza» è la distanza perpendicolare tra il cerchio superiore e quello inferiore, non la lunghezza del lato inclinato.
A cosa serve questo calcolo?
Controllare quanti litri entrano in un secchio o in un contenitore di plastica (vita quotidiana)
Un secchio è quasi sempre un tronco di cono, largo in alto e stretto sul fondo. Per un secchio con raggio del bordo di 15 cm, raggio del fondo di 10 cm e profondità di 25 cm, il volume è di circa 12.435 cm³, cioè circa 12,4 L.
Se misuri un secchio con scritto «12 L», trovi più o meno queste misure. Il calcolo serve per stimare quanti secchi d’acqua ci vogliono per le pulizie o per annaffiare, o per sapere la capacità approssimativa di un contenitore senza indicazioni (un contenitore vero non si riempie fino all’orlo, quindi conviene considerare una quantità utile un po’ più piccola di quella calcolata).
Stimare la terra che serve per un vaso (giardinaggio)
Anche un vaso da fiori è un tipico tronco di cono. Per un vaso con raggio del bordo di 12 cm, raggio del fondo di 8 cm e altezza di 20 cm, il volume è di circa 6367 cm³, cioè circa 6,4 L. Il terriccio si vende in sacchi di capacità indicata in litri sulla confezione, quindi con il numero di vasi puoi calcolare quanti sacchi comprare prima di andare al negozio.
Non si riempie il vaso fino all’orlo (si lascia un po’ di spazio per l’acqua dell’annaffiatura), quindi la quantità che usi davvero è circa l’80-90% del valore calcolato.
Progettare la capacità di un bicchiere di carta o di un contenitore (alimenti e industria)
Un bicchiere di carta è un tronco di cono largo in alto. Per un bicchiere con raggio del bordo di 3,6 cm, raggio del fondo di 2,3 cm e altezza di 8 cm, il volume è di circa 222 cm³ (cioè circa 222 mL). Una bevanda si versa solo fino a sotto il bordo, quindi con una dicitura come «pieno 222 mL, capacità utile 205 mL» questa formula è alla base della progettazione e dell’indicazione della capacità del contenitore.
La capacità dei vasetti di yogurt, dei bicchierini per il budino, dei misurini e di tanti altri contenitori alimentari a forma di tronco di cono si calcola così.
Stimare un mucchio di sabbia o di terra (edilizia e cantieri)
Un mucchio di sabbia o di ghiaia scaricato da un camion ha quasi la forma di un cono (cioè un tronco di cono con raggio superiore uguale a 0). Per un mucchio di sabbia con raggio alla base di 2 m e altezza di 1,5 m, il volume è di circa 6,3 m³.
Nei cantieri e nel giardinaggio, da questa stima si decide «quanti camion servono» e «se la quantità acquistata basta». Un mucchio vero non è un cono perfetto, quindi si usa solo come stima.
Calcolare la capacità di una tramoggia (industria)
Nelle fabbriche la parte inferiore di una tramoggia, il serbatoio in cui si conservano polveri o cereali per farli uscire poco alla volta dal basso, è un tronco di cono capovolto. Per una parte con raggio superiore di 1 m, raggio inferiore di 0,2 m e altezza di 1,2 m, la capacità è di circa 1,56 m³ (circa 1560 L).
Nella progettazione degli impianti si calcola con questa formula la quantità che il serbatoio può contenere, per decidere le dimensioni e la frequenza dei rifornimenti. Silos, imbuti e pozzetti di scarico: il tronco di cono compare in ogni angolo degli impianti industriali.
Formule e figure
Formula del volume del tronco di cono
Figura
Notazione matematica
(la notazione abituale)
\(V\)
\(=\)
\((\)
\(r\)
\(2\)
\(+\)
\(r\)
\(\times\)
\(R\)
\(+\)
\(R\)
\(2\)
\()\)
\(\times\)
\(\pi\)
\(\times\)
\(h\)
\(\div 3\)
A parole
(i simboli sostituiti da parole)
⑦
\(V\): volume del tronco di cono
\(=\)
\((\)
①
\(r\): raggio del cerchio superiore
③
al quadrato (il numero moltiplicato per se stesso)
\(+\)
\(r\): raggio del cerchio superiore
\(\times\)
②
\(R\): raggio del cerchio inferiore
\(+\)
\(R\): raggio del cerchio inferiore
al quadrato
\()\)
\(\times\)
④
\(\pi\): pi greco
\(\times\)
⑤
\(h\): altezza
⑥
\(\div 3\)
La formula a parole
①
Prendi il
\(r\): raggio del cerchio superiore
e
②
il
\(R\): raggio del cerchio inferiore
,
③
calcola «tre prodotti»: ciascun raggio elevato
al quadrato (il numero moltiplicato per se stesso)
(\(r^2\) e \(R^2\)) e il prodotto dei due raggi \(rR\), e sommali tutti e tre.
④
Moltiplica per il
\(\pi\): pi greco (circa 3,14)
⑤
e per l’
\(h\): altezza
⑥
Infine dividi per 3 (in tre parti uguali) e
⑦
ottieni il
\(V\): volume del tronco di cono
Un esempio semplice
Il volume di un tronco di cono con raggio superiore di 1 cm, raggio inferiore di 2 cm e altezza di 3 cm (è più largo in basso, come un piccolo bicchierino per il budino) è
\(V\): volume del tronco di cono
\(=\)
\((\)
raggio superiore (1 cm)
al quadrato
\(+\)
raggio superiore (1 cm)
\(\times\)
raggio inferiore (2 cm)
\(+\)
raggio inferiore (2 cm)
al quadrato
\()\)
\(\times\)
\(\pi\): pi greco
\(\times\)
altezza (3 cm)
\(\div 3\)
\(1 \times 1 + 1 \times 2 + 2 \times 2 = 1 + 2 + 4 = 7\)
\(7 \times \pi \times 3 \div 3 = 7\pi\)
\(7\pi = 7 \times 3{,}14159\ldots \approx 21{,}99\,\mathrm{cm^3}\)
L’idea chiave
Per ricordare la formula: «somma i tre prodotti (\(r^2\), \(rR\) e \(R^2\)), moltiplica per il pi greco come nel calcolo dell’area del cerchio e dividi per 3 alla fine, perché è un parente dei solidi a punta».
Questa formula contiene anche il cono e il cilindro. Con \(r = 0\) diventa la formula del volume del cono \(V = \dfrac{1}{3}\pi R^2 h\), con \(r = R\) diventa esattamente quella del cilindro \(V = \pi R^2 h\). Se scambi il raggio superiore e quello inferiore il risultato non cambia (nella formula, scambiare \(r\) e \(R\) lascia la stessa espressione).
Come «cono grande − cono piccolo» (da dove nasce la formula)
Figura
Notazione matematica
(la notazione abituale)
\(V\)
\(=\)
\(V_{1}\)
\(-\)
\(V_{2}\)
A parole
(i simboli sostituiti da parole)
③
\(V\): volume del tronco di cono
\(=\)
①
\(V_1\): volume del cono grande di partenza
\(-\)
②
\(V_2\): volume del cono piccolo che viene tagliato via
La formula a parole
①
Parti dal
\(V_1\): volume del cono grande di partenza
②
togli il
\(V_2\): volume del cono piccolo che viene tagliato via
③
e ottieni il
\(V\): volume del tronco di cono
Un esempio semplice
Verifichiamo con lo stesso tronco di cono della formula 1, con raggio superiore di 1 cm, raggio inferiore di 2 cm e altezza di 3 cm. Prolungando il lato verso l’alto si ottiene un cono grande alto 6 cm, e il cono piccolo che viene tagliato via è alto 3 cm
\(V\): volume del tronco di cono
\(=\)
cono grande (raggio 2 cm, altezza 6 cm)
\(-\)
cono piccolo (raggio 1 cm, altezza 3 cm)
\(V_1 = 2 \times 2 \times \pi \times 6 \div 3 = 8\pi\)
\(V_2 = 1 \times 1 \times \pi \times 3 \div 3 = \pi\)
\(V = 8\pi - \pi = 7\pi \approx 21{,}99\,\mathrm{cm^3}\)
L’idea chiave
Il tronco di cono è «un cono tagliato da un piano parallelo alla base, con la parte vicina al vertice tolta». Quindi, se prolunghi il lato che si restringe fino a ottenere il cono grande e togli il cono piccolo che è stato tagliato via, trovi il volume.
«Fino a dove prolungare per arrivare al vertice» si capisce con la similitudine. In questo esempio il rapporto tra il raggio superiore e quello inferiore è \(1 : 2\), quindi anche il rapporto tra le altezze del cono piccolo e di quello grande è \(1 : 2\). L’altezza di 3 cm del tronco corrisponde alla differenza, quindi il cono piccolo è alto 3 cm e quello grande 6 cm. La formula 1 è questa sottrazione svolta con le lettere e semplificata, per questo il risultato coincide esattamente con la formula 1: \(7\pi\). Anche se dimentichi la formula, ricordando questo ragionamento sai ricavare il volume del tronco di cono.
Conversione di unità di volume (cm³ → L)
Figura
Notazione matematica
(la notazione abituale)
\(V_{\mathrm{L}}\)
\(=\)
\(V_{\mathrm{cm^3}}\)
\(\div\)
\(1000\)
A parole
(i simboli sostituiti da parole)
③
\(V_{\mathrm{L}}\): volume in litri
\(=\)
①
\(V_{\mathrm{cm^3}}\): volume in cm³
\(\div\)
②
\(1000\): cm³ in 1 litro
La formula a parole
①
Parti dal
\(V_{\mathrm{cm^3}}\): volume in cm³
②
dividilo per
\(1000\): cm³ in 1 litro
③
e ottieni il
\(V_{\mathrm{L}}\): volume in litri
Un esempio semplice
Il volume di un secchio (un tronco di cono) con raggio superiore di 15 cm, raggio inferiore di 10 cm e altezza di 25 cm, circa 12.435 cm³, in litri è
volume in litri
\(=\)
volume in cm³ (circa 12.435)
\(\div\)
cm³ in 1 litro (1000)
\(12435 \div 1000 = 12{,}435 \approx 12{,}4\,\mathrm{L}\)
L’idea chiave
1 L (litro) è il volume di un cubo di 10 cm di spigolo: \(10 \times 10 \times 10 = 1000\,\mathrm{cm^3}\). Per questo, per passare da cm³ a litri si divide per 1000.
Se inserisci i metri, invece, si moltiplica per 1000: \(1\,\mathrm{m^3}\) è un cubo di 1 m (cioè 100 cm) di spigolo, quindi \(100 \times 100 \times 100 = 1.000.000\,\mathrm{cm^3}\), cioè \(1\,\mathrm{m^3} = 1000\,\mathrm{L}\).
Il volume del tronco di cono è «(raggio superiore al quadrato + raggio superiore × raggio inferiore + raggio inferiore al quadrato) × pi greco × altezza ÷ 3». Se dimentichi la formula, il trucco è tornare alla sottrazione «cono grande − cono piccolo».
Simboli e termini
Simboli
| \(r\) | erre minuscola | Il raggio del cerchio superiore (la faccia superiore), dall’iniziale di «raggio». In questa pagina indica il raggio della faccia superiore, che non è necessariamente quella più piccola. |
| \(R\) | erre maiuscola | Il raggio del cerchio inferiore (la base). Si scrive maiuscolo per distinguerlo dal raggio superiore \(r\). |
| \(h\) | acca | L’altezza del tronco di cono. La lettera h viene dall’inglese «height» ed è quella che si usa nei libri di testo. È la distanza perpendicolare tra il cerchio superiore e quello inferiore, non la lunghezza del lato inclinato. |
| \(\pi\) | pi greco | Il pi greco: il numero che indica quante volte il diametro sta nella circonferenza. Vale \(3{,}14159265\ldots\) e i suoi decimali non finiscono mai. Nei calcoli a mano si usa 3,14. |
| \(r^2\) | erre al quadrato | Il numero \(r\) moltiplicato per se stesso (\(r \times r\)). Il piccolo 2 in alto a destra è un esponente che indica quante volte il numero compare come fattore. |
| \(V\) | vu | La lettera che si usa di solito per il volume, dall’iniziale di «volume». |
| \(\mathrm{cm^3}\) | centimetro cubo | Un’unità di volume. Un cubo di 1 cm di spigolo ha un volume di 1 cm³. |
| \(\mathrm{L}\) | litro | Un’unità di volume molto usata per le quantità (capacità) di acqua e simili. Vale \(1\,\mathrm{L} = 1000\,\mathrm{cm^3}\) e \(1\,\mathrm{m^3} = 1000\,\mathrm{L}\). |
Termini
| tronco di cono | Il solido che resta quando un cono viene tagliato da un piano parallelo alla base e si toglie la parte con il vertice. I due cerchi, sopra e sotto, sono paralleli e di grandezza diversa, e il lato si restringe. Secchi, vasi, bicchieri di carta e bicchierini per il budino hanno questa forma, molto frequente nella vita di tutti i giorni. |
| cono | Un solido con la base circolare che si restringe fino a un solo punto, il vertice. Ha la forma di un cono gelato. È il solido da cui nasce il tronco di cono. |
| base | La faccia che fa da fondo al solido. Nel tronco di cono è il cerchio inferiore (quello superiore si chiama faccia superiore). |
| volume | La grandezza di un solido (lo spazio che occupa), espressa con un numero. Si misura contando quanti cubi unitari (per esempio da 1 cm³) ci stanno dentro. |
| similitudine | Il rapporto tra due figure che hanno la stessa forma e grandezze diverse. Nella formula 2 serve per trovare l’altezza del cono grande, perché il rapporto tra i raggi è uguale al rapporto tra le altezze. |
| solido a punta | Un solido che si restringe dalla base verso un vertice, come il cono o la piramide. Nel volume di questi solidi compare sempre «area di base × altezza ÷ 3», e anche il «÷3» della formula del tronco di cono viene da qui. |
| pi greco | Il numero che indica quante volte il diametro sta nella lunghezza della circonferenza (circa 3,14). Compare in tutti i calcoli di figure che hanno un cerchio. |
Cosa conviene sapere prima
Ecco che cosa conviene sapere per usare il calcolo di questa pagina capendolo davvero, e non solo premendo il pulsante.
| Area del cerchio e pi greco (scuola secondaria di primo grado, 11-14 anni) |
|
| Che cos’è il volume e le sue unità (classi 3ª–5ª della primaria, 8-11 anni) |
|
| Potenze ed esponenti (scuola secondaria di primo grado, 11-14 anni) |
|
| Volume del cilindro e del cono (scuola secondaria di primo grado, 11-14 anni) |
|
| Figure simili (scuola secondaria di primo grado, 11-14 anni) |
|
Come calcolarlo con Excel
Copia tutta la tabella qui sotto e incollala nella cella A1 di Excel. Funziona così com’è.
Tabella per calcolare il volume del tronco di cono
| Raggio del cerchio superiore r | 15 |
| Raggio del cerchio inferiore R | 10 |
| Altezza h | 25 |
| Volume del tronco di cono | =(B1^2+B1*B2+B2^2)*PI.GRECO()*B3/3 |
Tabella per calcolarlo come «cono grande − cono piccolo»
| Raggio di base del cono grande | 2 |
| Altezza del cono grande | 6 |
| Raggio di base del cono piccolo | 1 |
| Altezza del cono piccolo | 3 |
| Volume del cono grande | =B1^2*PI.GRECO()*B2/3 |
| Volume del cono piccolo | =B3^2*PI.GRECO()*B4/3 |
| Volume del tronco di cono | =B5-B6 |
Tabella per convertire i cm³ in litri
| Volume in cm³ | 12435,47 |
| Volume in litri | =B1/1000 |
Dopo averla incollata, nella colonna A trovi i nomi e nella colonna B i numeri. Le righe in alto sono i tuoi dati, e la formula dell’ultima riga calcola il risultato in automatico con quei valori.
In una formula, «B1» e «B2» significano «usa il numero di quella cella», «*» è la moltiplicazione, «/» la divisione, «^2» il quadrato e «PI.GRECO()» è la funzione di Excel che restituisce il pi greco (3,14159…).
Nella prima tabella, per esempio, B4 mostra circa 12435,47 (in cm³, perché hai inserito i cm). La seconda tabella mostra circa 21,99 in B7 e la terza circa 12,44 in B2. Ti basta cambiare i dati con le tue misure.
In una formula, «B1» e «B2» significano «usa il numero di quella cella», «*» è la moltiplicazione, «/» la divisione, «^2» il quadrato e «PI.GRECO()» è la funzione di Excel che restituisce il pi greco (3,14159…).
Nella prima tabella, per esempio, B4 mostra circa 12435,47 (in cm³, perché hai inserito i cm). La seconda tabella mostra circa 21,99 in B7 e la terza circa 12,44 in B2. Ti basta cambiare i dati con le tue misure.
Come calcolarlo con Fogli Google
Copia tutta la tabella qui sotto e incollala nella cella A1 di Fogli Google. Funziona così com’è.
Tabella per calcolare il volume del tronco di cono
| Raggio del cerchio superiore r | 15 |
| Raggio del cerchio inferiore R | 10 |
| Altezza h | 25 |
| Volume del tronco di cono | =(B1^2+B1*B2+B2^2)*PI.GRECO()*B3/3 |
Tabella per calcolarlo come «cono grande − cono piccolo»
| Raggio di base del cono grande | 2 |
| Altezza del cono grande | 6 |
| Raggio di base del cono piccolo | 1 |
| Altezza del cono piccolo | 3 |
| Volume del cono grande | =B1^2*PI.GRECO()*B2/3 |
| Volume del cono piccolo | =B3^2*PI.GRECO()*B4/3 |
| Volume del tronco di cono | =B5-B6 |
Tabella per convertire i cm³ in litri
| Volume in cm³ | 12435,47 |
| Volume in litri | =B1/1000 |
Funzionano le stesse formule di Excel (compresa la funzione PI.GRECO()). Copia l’intera tabella, incollala nella cella A1 e cambia i dati con le tue misure.
Come calcolarlo con Python
import math
radius_top = 15 # raggio del cerchio superiore (la faccia superiore)
radius_bottom = 10 # raggio del cerchio inferiore (la base)
height = 25 # altezza (nella stessa unità dei raggi)
volume = (radius_top**2 + radius_top*radius_bottom + radius_bottom**2) * math.pi * height / 3
liter = volume / 1000 # se inserisci i cm, il volume in litri
print(f"Volume del tronco di cono: {volume} cm3")
print(f"In litri: {liter} L")
Funziona con la sola libreria standard. «math.pi» è il pi greco, «**2» è il quadrato, «*» la moltiplicazione e «/» la divisione. Cambia i tre valori in alto ed esegui il codice (l’esempio è per un inserimento in cm; se inserisci i m, per passare ai litri devi moltiplicare per 1000).
La formula in LaTeX e in altre notazioni matematiche (da copiare)
Formula del volume del tronco di cono
V = (1/3)πh(r² + rR + R²)
V = \frac{1}{3}\pi h \left( r^{2} + rR + R^{2} \right)
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>V</mi>
<mo>=</mo>
<mfrac><mn>1</mn><mn>3</mn></mfrac>
<mi>π</mi>
<mi>h</mi>
<mo>(</mo>
<msup><mi>r</mi><mn>2</mn></msup>
<mo>+</mo>
<mi>r</mi>
<mi>R</mi>
<mo>+</mo>
<msup><mi>R</mi><mn>2</mn></msup>
<mo>)</mo>
</mrow>
</math>
V = (1/3) pi h (r^2 + r R + R^2)
Pi*h*(r^2 + r*R + R^2)/3
V := Pi*h*(r^2 + r*R + R^2)/3;
V = pi*h*(r^2 + r*R + R^2)/3;
V = (1/3)πh(r^2 + rR + R^2)
Come «cono grande − cono piccolo» (da dove nasce la formula)
V = V₁ − V₂
V = V_{1} - V_{2}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>V</mi>
<mo>=</mo>
<msub><mi>V</mi><mn>1</mn></msub>
<mo>−</mo>
<msub><mi>V</mi><mn>2</mn></msub>
</mrow>
</math>
V = V_1 - V_2
v1 - v2
V := V1 - V2;
V = V1 - V2;
V = V_1 - V_2
Conversione di unità di volume (cm³ → L)
V[L] = V[cm³] ÷ 1000
V_{\mathrm{L}} = V_{\mathrm{cm^3}} \div 1000
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msub><mi>V</mi><mi mathvariant="normal">L</mi></msub>
<mo>=</mo>
<msub><mi>V</mi><mrow><msup><mi mathvariant="normal">cm</mi><mn>3</mn></msup></mrow></msub>
<mo>÷</mo>
<mn>1000</mn>
</mrow>
</math>
V_(L) = V_(cm^3) -: 1000
vCm3/1000
vL := vCm3/1000;
v_l = v_cm3/1000;
V(L) = V(cm³)/1000
Come chiedere a ChatGPT di fare il calcolo
Sei un assistente per i calcoli di matematica. Esegui il calcolo seguente eseguendo davvero codice Python e basa la risposta solo sui numeri del risultato dell’esecuzione (non calcolare a mente e non stimare). Un tronco di cono (a forma di secchio) ha il cerchio superiore con raggio di 15 cm, il cerchio inferiore con raggio di 10 cm e un’altezza di 25 cm. Calcola: 1. Il volume di questo tronco di cono in cm³ (con la formula V = (1/3)πh(r² + rR + R²)) 2. Quel volume in litri Mostra le formule che hai usato e i numeri del risultato dell’esecuzione.
Come si usa
-
1Inserisci i numeriScrivi nei campi i numeri con cui vuoi fare il calcolo
-
2CalcolaFai clic sul pulsante «Calcola»
-
3Guarda il risultatoIl risultato compare subito. Nella stessa pagina trovi anche lo svolgimento del calcolo e la spiegazione della formula
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Nessuna autorizzazione preventiva necessaria
Nessuna autorizzazione preventiva necessaria
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