Inserisci il lato di base e l’altezza della piramide quadrangolare (una piramide con la base quadrata). Ottieni il volume (lato × lato × altezza ÷ 3) e la conversione tra cm³, m³ e L.
Inserisci il lato di base e l’altezza nella stessa unità e solo con numeri, senza unità (per 5 cm scrivi «5»). L’altezza è la distanza verticale dalla base al vertice.
Risultato e figura
Inserisci il lato di base e l’altezza nei campi a sinistra e fai clic su «Calcola». Qui compaiono il risultato e la figura 3D.
Indice
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Cosa puoi fare in questa pagina
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A cosa serve questo calcolo?
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Come si usa
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Formule e figure
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Simboli e termini
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Cosa conviene sapere prima
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Come calcolarlo con Excel
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Come calcolarlo con Fogli Google
-
Come calcolarlo con Python
-
La formula in LaTeX e in altre notazioni matematiche (da copiare)
-
Come chiedere a ChatGPT di fare il calcolo
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I punti di forza di DataChef
-
Funzioni correlate
-
Tutte le calcolatrici di NumberChef
Cosa puoi fare in questa pagina
- Inserisci il lato di base e l’altezza e ottieni subito il volume della piramide quadrangolare (lato × lato × altezza ÷ 3)
- La piramide che hai inserito è mostrata in 3D (puoi ruotarla trascinandola)
- Mostra anche l’area di base e i passaggi, così vedi non solo il risultato, ma anche come si calcola
- Mostra insieme anche la conversione di unità del volume (in litri e m³ se inserisci i cm, e in cm³ se inserisci i m)
- In questa stessa pagina trovi anche una spiegazione semplice del perché si divide per 3 e le formule da copiare per Excel, Fogli Google e Python
Inserisci il lato di base e l’altezza nella stessa unità (entrambi in cm o entrambi in m). L’altezza è la distanza verticale dalla base al vertice (non la lunghezza di uno spigolo inclinato). Il volume di altri solidi, come il cono o la piramide triangolare, ha una pagina dedicata.
A cosa serve questo calcolo?
Farsi un’idea della grandezza delle piramidi d’Egitto (storia e turismo)
La Grande Piramide di Giza (la piramide di Cheope) è quasi una piramide quadrangolare regolare con un lato di base di circa 230 m e un’altezza di circa 147 m al momento della costruzione (146,6 m secondo le fonti). Il suo volume è circa \(230 \times 230 \times 147 \div 3 = 2.592.100\,\mathrm{m^3}\), cioè circa 2,6 milioni di m³. Equivale al volume di circa mille piscine olimpioniche (una piscina di 50 × 25 × 2 m ha 2500 m³ e \(2.592.100 \div 2500 \approx 1037\)).
Una piramide più vicina a noi è la Piramide Cestia a Roma, lungo la via Ostiense: ha la base quadrata di circa 29,5 m di lato e un’altezza di circa 36,4 m, quindi, come solido pieno, un volume di \(29{,}5 \times 29{,}5 \times 36{,}4 \div 3 \approx 10.559\,\mathrm{m^3}\).
Le piramidi vere hanno corridoi e camere all’interno e la loro superficie non è del tutto liscia, quindi è un’approssimazione, ma con una sola formula, quella del volume della piramide quadrangolare, puoi cogliere con i numeri la scala di un monumento patrimonio dell’umanità.
Stimare l’aria dentro una tenda a un palo (campeggio)
Una tenda a un solo palo centrale (tipo tipi) con la base quadrata ha quasi la forma di una piramide quadrangolare. Con una base di 3 m × 3 m e un palo di 2 m, lo spazio interno è di circa \(3 \times 3 \times 2 \div 3 = 6\,\mathrm{m^3}\).
Sapere il volume d’aria della tenda aiuta a farsi un’idea di quanto si può riscaldare in un campeggio invernale o di quanto è facile che si formi condensa (molte tende vere hanno le pareti rialzate alla base, quindi è un’approssimazione).
Calcolare il volume del sottotetto di un tetto a forma di piramide (edilizia)
Un tetto a padiglione (a quattro falde) su un edificio a pianta quadrata, come un chiosco, un gazebo o una torre, ha proprio la forma di una piramide quadrangolare. Con un tetto di 6 m × 6 m di base e 2 m di altezza, lo spazio del sottotetto è di circa \(6 \times 6 \times 2 \div 3 = 24\,\mathrm{m^3}\).
Il volume del sottotetto è un dato che serve per pianificare la grandezza delle aperture di ventilazione e per studiare l’isolamento. Molti dei «tetti a punta» della vita di tutti i giorni si possono stimare con questa formula.
Calcolare la capacità di una tramoggia, una piramide capovolta (industria e agricoltura)
Nelle fabbriche e nelle aziende agricole, le tramogge, i serbatoi a forma di imbuto in cui si conservano cereali, granuli di plastica o polveri e da cui si preleva poco alla volta dal basso, hanno spesso la forma di una piramide quadrangolare capovolta. Con 2 m di lato in alto e 1,5 m di profondità, la capacità è \(2 \times 2 \times 1{,}5 \div 3 = 2\,\mathrm{m^3}\) (2000 L).
Decisioni come «quante tonnellate ci stanno ancora?» o «ci sta il materiale di un giorno?» partono da questo calcolo del volume (gli impianti reali hanno spesso l’estremità inferiore tagliata, cioè sono un tronco di piramide; in quel caso si calcola come differenza tra due piramidi, una grande e una piccola).
Risolvere i problemi tipici delle prove di matematica (studio)
Il volume delle piramidi e dei coni si studia alla scuola secondaria ed è un classico delle prove di matematica. Per esempio, per «qual è il volume di una piramide quadrangolare regolare con lato di base di 6 cm e altezza di 8 cm?», si ottiene \(6 \times 6 \times 8 \div 3 = 96\,\mathrm{cm^3}\).
Dimenticare di dividere per 3 è l’errore più frequente, quindi conviene ricordare insieme che «un solido che finisce a punta (piramide o cono) è la terza parte di un prisma o di un cilindro con la stessa base e la stessa altezza».
Formule e figure
Formula del volume della piramide quadrangolare
Figura
Notazione matematica
(la notazione abituale)
\(V\)
\(=\)
\(a\)
\(2\)
\(\times\)
\(h\)
\(\div\)
\(3\)
A parole
(i simboli sostituiti da parole)
⑤
\(V\): volume della piramide
\(=\)
①
\(a\): lato di base
②
al quadrato (la lunghezza moltiplicata due volte)
\(\times\)
③
\(h\): altezza
\(\div\)
④
\(3\): il numero per cui si divide
La formula a parole
①
Parti dal
\(a\): lato di base
②
elevalo
al quadrato (la lunghezza moltiplicata due volte)
per ottenere l’area di base,
③
moltiplicala per l’
\(h\): altezza
,
④
dividi per
\(3\): il numero per cui si divide
e ottieni il
⑤
\(V\): volume della piramide
Un esempio semplice
Il volume di una piramide quadrangolare con lato di base di 5 cm e altezza di 12 cm è
\(V\): volume della piramide
\(=\)
lato di base (5 cm)
al quadrato
\(\times\)
altezza (12 cm)
\(\div\)
il numero per cui si divide (3)
\(5 \times 5 = 25\)
\(25 \times 12 \div 3 = 300 \div 3 = 100\,\mathrm{cm^3}\)
L’idea chiave
Perché si divide per 3? Un cubo (la forma di un dado) si può tagliare, a partire da uno dei suoi vertici, in 3 «piramidi inclinate» quadrangolari identiche che combaciano esattamente. Cioè il volume di una piramide quadrangolare è esattamente \(\dfrac{1}{3}\) del volume del prisma (la scatola) che ha la stessa base e la stessa altezza. Questa formula è quel «\(\times \dfrac{1}{3}\)» scritto come «\(\div 3\)».
Attenzione: l’altezza \(h\) è la distanza verticale dalla base al vertice, non la lunghezza di uno spigolo inclinato. Inoltre, anche in una «piramide inclinata», il cui vertice non sta esattamente sopra il centro della base, il volume è lo stesso se l’area di base e l’altezza sono le stesse.
Formula del volume comune a piramidi e coni (dall’area di base)
Figura
Notazione matematica
(la notazione abituale)
\(V\)
\(=\)
\(S\)
\(\times\)
\(h\)
\(\div\)
\(3\)
A parole
(i simboli sostituiti da parole)
④
\(V\): volume della piramide o del cono
\(=\)
①
\(S\): area di base
\(\times\)
②
\(h\): altezza
\(\div\)
③
\(3\): il numero per cui si divide
La formula a parole
①
Parti dall’
\(S\): area di base
,
②
moltiplicala per l’
\(h\): altezza
,
③
dividi per
\(3\): il numero per cui si divide
e ottieni il
④
\(V\): volume della piramide o del cono
Un esempio semplice
Il volume di una piramide con area di base di 25 cm² e altezza di 12 cm è
\(V\): volume della piramide o del cono
\(=\)
area di base (25 cm²)
\(\times\)
altezza (12 cm)
\(\div\)
il numero per cui si divide (3)
\(25 \times 12 \div 3 = 300 \div 3 = 100\,\mathrm{cm^3}\)
L’idea chiave
Questa formula non vale solo per la piramide quadrangolare: serve per tutte le piramidi (triangolari, pentagonali…) e anche per i coni (tutti i solidi che finiscono a punta rispettano «area di base × altezza ÷ 3»).
Nella piramide quadrangolare la base è un quadrato, quindi l’area di base è \(S = a \times a\). Sostituendola si ottiene la prima formula, \(V = \dfrac{1}{3} a^{2} h\). In un cono, l’area di base è l’area di un cerchio, \(S = \pi r^{2}\).
Volume: conversione di unità (cm³ → L)
Figura
Notazione matematica
(la notazione abituale)
\(V_{\mathrm{L}}\)
\(=\)
\(V_{\mathrm{cm^3}}\)
\(\div\)
\(1000\)
A parole
(i simboli sostituiti da parole)
③
\(V_{\mathrm{L}}\): volume in litri
\(=\)
①
\(V_{\mathrm{cm^3}}\): volume in cm³
\(\div\)
②
\(1000\): cm³ in 1 litro
La formula a parole
①
Parti dal
\(V_{\mathrm{cm^3}}\): volume in cm³
②
dividilo per
\(1000\): cm³ in 1 litro
③
e ottieni il
\(V_{\mathrm{L}}\): volume in litri
Un esempio semplice
Il volume di una piramide quadrangolare con lato di base di 5 cm e altezza di 12 cm, 100 cm³, in litri è
volume in litri
\(=\)
volume in cm³ (100)
\(\div\)
cm³ in 1 litro (1000)
\(100 \div 1000 = 0{,}1\,\mathrm{L}\)
L’idea chiave
1 L è il volume di un cubo di 10 cm di spigolo, \(10 \times 10 \times 10 = 1000\,\mathrm{cm^3}\). Un cartone di latte da 1 litro contiene proprio 1 L = 1000 cm³.
Per passare ai m³ l’idea è la stessa: poiché \(1\,\mathrm{m} = 100\,\mathrm{cm}\), vale \(1\,\mathrm{m^3} = 100 \times 100 \times 100 = 1.000.000\,\mathrm{cm^3}\). Il fattore di conversione del volume è il cubo del fattore di conversione della lunghezza (quello dell’area è il quadrato e quello del volume il cubo; è facile confonderlo con «100 volte»).
Il volume di una piramide quadrangolare è «area di base (lato × lato) × altezza ÷ 3». Si divide per 3 perché il volume di una piramide (o di un cono) è esattamente la terza parte di quello di un prisma (una scatola) con la stessa base e la stessa altezza. Come altezza si usa la distanza verticale dalla base al vertice, e il risultato è nell’unità di lunghezza al cubo (cm³ se usi i cm).
Simboli e termini
Simboli
| \(V\) | vu | La lettera che si usa di solito per il volume, dall’iniziale di «volume». In questa pagina indica il volume della piramide quadrangolare. |
| \(a\) | a | La lunghezza del lato del quadrato di base. Poiché la lunghezza e la larghezza della base sono uguali, basta un solo simbolo. |
| \(a^2\) | a al quadrato | Il numero \(a\) moltiplicato per se stesso (\(a \times a\)). Il piccolo 2 in alto a destra è un esponente che indica quante volte il numero compare come fattore. In questa pagina indica l’area di base (l’area di un quadrato). |
| \(h\) | acca | L’altezza. La lettera h viene dall’inglese «height» ed è quella che si usa nei libri di testo. È la distanza misurata in linea retta (in verticale) dalla base al vertice, non la lunghezza di uno spigolo inclinato. |
| \(S\) | esse | La lettera che si usa di solito per l’area di base. Nella piramide quadrangolare è \(S = a \times a\). In molti libri di testo si scrive \(A_b\). |
| \(\mathrm{cm^3}\) | centimetro cubo | Un’unità di volume. Un cubo di 1 cm di spigolo ha un volume di 1 cm³. Non confonderlo con i cm² (centimetri quadrati), che sono un’unità di area. |
| \(\mathrm{m^3}\) | metro cubo | Un’unità di volume. Un cubo di 1 m di spigolo ha un volume di 1 m³, e vale \(1\,\mathrm{m^3} = 1.000.000\,\mathrm{cm^3}\). |
| \(\mathrm{L}\) | litro | Un’unità di volume (capacità). Un cubo di 10 cm di spigolo ha un volume di 1 L, e vale \(1\,\mathrm{L} = 1000\,\mathrm{cm^3}\). La conosci dai cartoni e dalle bottiglie delle bevande. (Si scrive l o L; qui si usa la L maiuscola perché la l minuscola si confonde facilmente con un 1.) |
Termini
| piramide quadrangolare | Un solido con una base quadrilatera e quattro facce triangolari che finiscono in un unico vertice. In questa pagina si tratta quella con la base quadrata (a forma di piramide). |
| piramide quadrangolare regolare | La piramide quadrangolare la cui base è un quadrato e il cui vertice sta esattamente sopra il centro della base. Le piramidi dell’Egitto hanno questa forma. Anche se il vertice non sta esattamente sopra, il volume non cambia se l’area di base e l’altezza sono le stesse. |
| piramide | Il nome generale dei solidi con una base poligonale (triangolo, quadrilatero, pentagono…) e facce triangolari che finiscono in un unico vertice. Se la base è un triangolo si chiama piramide triangolare, e se è un quadrilatero piramide quadrangolare. |
| cono | Il solido con una base circolare che finisce in un unico vertice. Insieme alle piramidi, tutti i solidi che finiscono a punta hanno un volume di «area di base × altezza ÷ 3». |
| area di base | L’area della faccia inferiore (la base) di un solido. Nella piramide quadrangolare è l’area del quadrato di base (lato × lato). |
| volume | La grandezza di un solido (lo spazio che occupa), espressa con un numero. Si misura contando quanti cubi unitari (per esempio da 1 cm³) ci stanno dentro. |
Cosa conviene sapere prima
Ecco che cosa conviene sapere per usare il calcolo di questa pagina capendolo davvero, e non solo premendo il pulsante.
| Moltiplicazione e divisione (classi 2ª–4ª della primaria, 7-10 anni) |
|
| Area del quadrato (classi 3ª–5ª della primaria, 8-11 anni) |
|
| Che cos’è il volume e le sue unità (classi 3ª–5ª della primaria, 8-11 anni) |
|
| La piramide come solido (scuola primaria e secondaria di primo grado, 8-14 anni) |
|
Come calcolarlo con Excel
Copia tutta la tabella qui sotto e incollala nella cella A1 di Excel. Funziona così com’è.
Tabella per calcolare il volume di una piramide quadrangolare
| Lato di base | 5 |
| Altezza | 12 |
| Volume della piramide | =B1^2*B2/3 |
Tabella per calcolare il volume comune a piramidi e coni (dall’area di base)
| Area di base | 25 |
| Altezza | 12 |
| Volume della piramide o del cono | =B1*B2/3 |
Tabella per convertire i cm³ in litri
| Volume in cm³ | 100 |
| Volume in litri | =B1/1000 |
Dopo averla incollata, nella colonna A trovi i nomi e nella colonna B i numeri. Le righe in alto sono i tuoi dati, e la formula dell’ultima riga calcola il risultato in automatico con quei valori.
«B1» e «B2» in una formula significano «usa il numero di quella cella», «*» è la moltiplicazione, «/» la divisione e «^» la potenza (quante volte si moltiplica).
Nella prima tabella, per esempio, B3 mostra 5 × 5 × 12 ÷ 3 = 100 (in cm³, perché hai inserito i cm). La seconda tabella mostra 100 in B3 e la terza mostra 0,1 in B2. Ti basta cambiare i dati con le tue lunghezze.
«B1» e «B2» in una formula significano «usa il numero di quella cella», «*» è la moltiplicazione, «/» la divisione e «^» la potenza (quante volte si moltiplica).
Nella prima tabella, per esempio, B3 mostra 5 × 5 × 12 ÷ 3 = 100 (in cm³, perché hai inserito i cm). La seconda tabella mostra 100 in B3 e la terza mostra 0,1 in B2. Ti basta cambiare i dati con le tue lunghezze.
Come calcolarlo con Fogli Google
Copia tutta la tabella qui sotto e incollala nella cella A1 di Fogli Google. Funziona così com’è.
Tabella per calcolare il volume di una piramide quadrangolare
| Lato di base | 5 |
| Altezza | 12 |
| Volume della piramide | =B1^2*B2/3 |
Tabella per calcolare il volume comune a piramidi e coni (dall’area di base)
| Area di base | 25 |
| Altezza | 12 |
| Volume della piramide o del cono | =B1*B2/3 |
Tabella per convertire i cm³ in litri
| Volume in cm³ | 100 |
| Volume in litri | =B1/1000 |
Funzionano le stesse formule di Excel. Copia l’intera tabella, incollala nella cella A1 e cambia i dati con le tue lunghezze.
Come calcolarlo con Python
a = 5 # lato di base (in questo esempio, in cm)
h = 12 # altezza (distanza verticale dalla base al vertice; nella stessa unità di a)
base_area = a ** 2 # area di base (l’area di un quadrato)
volume = base_area * h / 3 # volume della piramide (l’unità inserita al cubo; qui cm3)
volume_l = volume / 1000 # se inserisci i cm, il volume in litri
print(f"Area di base: {base_area} cm2")
print(f"Volume della piramide: {volume} cm3")
print(f"In litri: {volume_l} L")
Funziona con la sola libreria standard. «**» è la potenza (qui il quadrato), «*» la moltiplicazione e «/» la divisione. Cambia in alto il valore del lato e dell’altezza ed esegui il codice (l’esempio è per un inserimento in cm; se inserisci i m, per passare ai cm³ devi moltiplicare per 1.000.000).
La formula in LaTeX e in altre notazioni matematiche (da copiare)
Formula del volume della piramide quadrangolare
V = a² × h ÷ 3
V = \dfrac{a^{2} h}{3}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>V</mi>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow>
<msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup>
<mo>⁢</mo>
<mi>h</mi>
</mrow>
<mn>3</mn>
</mfrac>
</mrow>
</math>
V = (a^2 h)/3
a^2*h/3
V := a^2*h/3;
V = a^2*h/3;
V = (a^2 h)/3
Formula del volume comune a piramidi e coni (dall’area di base)
V = S × h ÷ 3
V = \dfrac{S h}{3}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>V</mi>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow>
<mi>S</mi>
<mo>⁢</mo>
<mi>h</mi>
</mrow>
<mn>3</mn>
</mfrac>
</mrow>
</math>
V = (S h)/3
S*h/3
V := S*h/3;
V = S*h/3;
V = (S h)/3
Volume: conversione di unità (cm³ → L)
V[L] = V[cm³] ÷ 1000
V_{\mathrm{L}} = V_{\mathrm{cm^3}} \div 1000
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msub><mi>V</mi><mi>L</mi></msub>
<mo>=</mo>
<msub><mi>V</mi><mrow><msup><mi>cm</mi><mn>3</mn></msup></mrow></msub>
<mo>÷</mo>
<mn>1000</mn>
</mrow>
</math>
V_(L) = V_(cm^3) -: 1000
vCm3/1000
vL := vCm3/1000;
v_L = v_cm3/1000;
V(L) = V(cm³)/1000
Come chiedere a ChatGPT di fare il calcolo
Sei un assistente per i calcoli di matematica. Esegui il calcolo seguente eseguendo davvero codice Python e basa la risposta solo sui numeri del risultato dell’esecuzione (non calcolare a mente e non stimare). Una piramide quadrangolare ha come base un quadrato di 5 cm di lato e un’altezza di 12 cm. Calcola: 1. L’area di base di questa piramide in cm² 2. Il volume di questa piramide in cm³ (volume = area di base × altezza ÷ 3) 3. Quel volume in litri Mostra le formule che hai usato e i numeri del risultato dell’esecuzione.
Come si usa
-
1Inserisci i numeriScrivi nei campi i numeri con cui vuoi fare il calcolo
-
2CalcolaFai clic sul pulsante «Calcola»
-
3Guarda il risultatoIl risultato compare subito. Nella stessa pagina trovi anche lo svolgimento del calcolo e la spiegazione della formula
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Sicuro e affidabile
Connessione fortemente crittografata (SSL)
Il file viene eliminato automaticamente dopo il download
Il file viene eliminato automaticamente dopo il download
Veloce
Visualizzazione e conversione rapide, senza attese
Senza filigrana
Nessuna filigrana
Nessun obbligo di attribuzione
Nessun obbligo di attribuzione
Uso commerciale consentito
Uso commerciale gratuito
Nessuna autorizzazione preventiva necessaria
Nessuna autorizzazione preventiva necessaria
Funzioni correlate
Calcolatrice dell’area del rettangolo (lunghezza × larghezza, base × altezza)
Calcola l’«area di un quadrato o di un rettangolo (base × altezza)», cioè l’area di base di una piramide quadrangolare
