Compila un solo campo, Z (la statistica test) oppure una delle cinque probabilità. Vengono calcolati tutti gli altri valori (la conversione funziona nei due sensi, da Z al p-value e dal p-value a Z).
Inserisci un solo valore. Scrivi le probabilità come numeri da 0 a 1 (per esempio, 0,05 per il 5%).
Risultato e grafico
Scrivi Z (o una probabilità) in uno dei campi a sinistra e fai clic su «Calcola». Qui compaiono il risultato e il grafico.
Indice
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Cosa puoi fare in questa pagina
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A cosa serve questo calcolo?
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Come si usa
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Formula e grafico
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Simboli e termini
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Cosa conviene sapere prima
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Come calcolarlo con Excel
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Come calcolarlo con Fogli Google
-
Come calcolarlo con Python
-
La formula in LaTeX e in altre notazioni matematiche (da copiare)
-
Come chiedere a ChatGPT di fare il calcolo
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I punti di forza di DataChef
-
Funzioni correlate
-
Tutte le calcolatrici di NumberChef
Cosa puoi fare in questa pagina
- Scrivi la statistica test Z ottenuta con uno z-test o un test simile e ottieni in un colpo solo i p-value per i test a coda sinistra, a coda destra e a due code
- Puoi anche fare il percorso inverso, dal p-value a Z (per esempio, trovare Z = 1,96 per un p-value a due code di 0,05). Serve anche per trovare il confine della regione di rifiuto (il valore critico)
- Compaiono anche le probabilità «tra 0 e Z» e «tra −Z e Z», quindi puoi usarla al posto della tavola della distribuzione normale standard
- In questa pagina trovi anche una spiegazione semplice delle formule e le formule da copiare e incollare in Excel, Fogli Google e Python
Questa calcolatrice trova i p-value quando la statistica test si può considerare distribuita secondo la distribuzione normale standard (media 0, deviazione standard 1), come in uno z-test. I test che usano un’altra distribuzione, come il test t per i campioni piccoli, danno p-value leggermente diversi.
A cosa serve questo calcolo?
Valutare se un nuovo farmaco o una nuova terapia funziona (ricerca medica)
Negli studi clinici su un nuovo farmaco si usa un test di ipotesi per capire se «la differenza tra il gruppo che ha preso il farmaco e quello che non lo ha preso rientra nel caso?», e il p-value è la prova su cui si decide. Per esempio, una statistica test di \(Z = 2{,}5\) dà un p-value a due code di circa 0,012, che si legge così: «se il farmaco non avesse effetto, la probabilità di vedere una differenza così grande sarebbe circa dell’1,2%».
Gli articoli medici di tutto il mondo riportano gli effetti in questo modo. Sapere che cos’è un p-value ti permette di leggere le notizie sulla salute un passo più a fondo (le vere decisioni mediche le prendono gli esperti, che valutano non solo il p-value ma anche l’entità dell’effetto e gli effetti collaterali).
Test A/B sui siti web (marketing)
«Abbiamo cambiato il colore del pulsante e la percentuale di clic è salita. Ma non sarà stato il caso?» È la domanda a cui risponde il test di un test A/B. Per esempio, una statistica test di \(Z = 2{,}17\) dà un p-value a due code di circa 0,03, minore del livello di significatività di 0,05, quindi puoi concludere che si tratta di «un miglioramento difficile da spiegare con il caso».
Le aziende online usano ogni giorno questo p-value per decidere se adottare modifiche al design e ai testi.
Controllo qualità in fabbrica: la media del processo si è spostata? (industria)
Con i dati di un controllo a campione si verifica se il peso medio o la dimensione media dei prodotti si è spostata rispetto al valore di riferimento. Per esempio, una statistica test di \(Z = 2\) dà un p-value a due code di circa 0,046, quindi con un livello di significatività del 5% concludi che «nel processo è cambiato qualcosa» e ne cerchi la causa.
Il punto di forza del p-value è che separa la «variazione casuale» da un «vero problema», così la decisione di fermare una macchina si prende con i numeri e non a sensazione.
Leggere «p < 0,05» negli articoli scientifici (psicologia, economia e altro)
Gli articoli scientifici sono pieni di espressioni come «significativo con p < 0,05» e «p = 0,003». In un test a due code, p < 0,05 corrisponde a «\(|Z|\) maggiore di 1,96» e p < 0,01 corrisponde a «maggiore di circa 2,58».
Conoscere questa corrispondenza ti aiuta a riportare correttamente i risultati statistici nella tesi di laurea e nelle relazioni, e a tenere a mente un’avvertenza importante quando leggi gli articoli: «significativo» non vuol dire sempre importante (l’entità della differenza è un’altra questione).
Capire se una variazione in un sondaggio è solo rumore
Con un test di ipotesi puoi anche controllare se una variazione come «il gradimento del governo è salito di 2 punti rispetto al mese scorso» è un cambiamento reale o solo la variabilità (l’errore) del sondaggio. Per esempio, una statistica test di \(Z = 1\) dà un p-value a due code di circa 0,32, cioè «circa 1 volta su 3 capita per caso anche senza una differenza reale», quindi è naturale parlare di variazione entro il margine di errore.
È un modo di ragionare con la statistica utile e vicino alla vita di tutti i giorni: prima di entusiasmarti o preoccuparti per i numeri del telegiornale, chiediti «quella differenza è significativa?».
Formula e grafico
p-value della coda sinistra (l’area usata in un test a coda sinistra)
Grafico
Notazione matematica
(la notazione abituale)
\(P(x<Z)\)
\(=\)
\(\Phi(Z)\)
A parole
(i simboli sostituiti da parole)
②
p-value della coda sinistra \(P(x<Z)\)
\(=\)
①
area a sinistra, \(\Phi(Z)\)
La formula a parole
①
Metti la statistica test \(Z\) nella funzione di ripartizione \(\Phi\) (fi) per ottenere il
valore \(\Phi(Z)\)
(\(\Phi(Z)\) è l’area sotto la curva normale standard a sinistra di \(Z\))
②
e questo è il
p-value della coda sinistra \(P(x<Z)\)
Un esempio semplice
Quando la statistica test è −1,5, il p-value della coda sinistra è
p-value della coda sinistra
\(=\)
area a sinistra, \(\Phi(-1{,}5)\)
\(\Phi(-1{,}5) \approx 0{,}066807\ \ (6{,}7\%)\)
L’idea chiave
Un test a una coda, cioè a coda sinistra, si usa quando vuoi controllare «non è troppo piccolo rispetto allo standard?» (per esempio, un sacchetto di patatine contiene meno di quanto dice l’etichetta?).
Più \(Z\) va verso il lato negativo, più il p-value della coda sinistra diventa piccolo. «Sarebbe raro ottenere per caso un valore così piccolo se l’ipotesi nulla fosse vera» è una prova forte contro l’ipotesi nulla.
p-value della coda destra (l’area usata in un test a coda destra)
Grafico
Notazione matematica
(la notazione abituale)
\(P(x>Z)\)
\(=\)
\(1\)
\(-\)
\(\Phi(Z)\)
A parole
(i simboli sostituiti da parole)
③
p-value della coda destra \(P(x>Z)\)
\(=\)
②
probabilità totale \(1\)
\(-\)
①
area a sinistra, \(\Phi(Z)\)
La formula a parole
①
Sottrai l’
area a sinistra, \(\Phi(Z)\)
②
dalla
probabilità totale \(1\)
③
e ottieni il
p-value della coda destra \(P(x>Z)\)
Un esempio semplice
Quando la statistica test è 2 (\(\Phi(2) \approx 0{,}97725\)), il p-value della coda destra è
p-value della coda destra
\(=\)
probabilità totale \(1\)
\(-\)
area a sinistra (0,97725)
\(1 - 0{,}97725 = 0{,}02275\ \ (2{,}3\%)\)
L’idea chiave
Un test a coda destra si usa quando vuoi controllare «non è troppo grande rispetto allo standard?» oppure «il miglioramento ha davvero fatto aumentare il valore?».
L’area totale sotto la curva normale standard è 1 (100%), quindi l’area a destra di \(Z\) si ricava come «il totale 1 − l’area a sinistra».
p-value a due code (l’area usata in un test a due code)
Grafico
Notazione matematica
(la notazione abituale)
\(P\)
\(=\)
\(2\)
\(\times\)
\((\)
\(1\)
\(-\)
\(\Phi(|Z|)\)
\()\)
A parole
(i simboli sostituiti da parole)
④
p-value a due code \(P\)
\(=\)
③
per 2 (le due code)
\(\times\)
\((\)
②
probabilità totale \(1\)
\(-\)
①
area a sinistra, \(\Phi(|Z|)\)
\()\)
La formula a parole
①
Sottrai l’
area a sinistra del valore assoluto \(|Z|\), \(\Phi(|Z|)\)
②
dalla
probabilità totale \(1\)
per ottenere l’area della coda destra
③
moltiplicala
per 2 (le due code, a sinistra e a destra)
④
e ottieni il
p-value a due code \(P\)
Un esempio semplice
Quando la statistica test è 1,96 (\(\Phi(1{,}96) \approx 0{,}975\)), il p-value a due code è
p-value a due code
\(=\)
per 2
\(\times\)
\((\)
probabilità totale \(1\)
\(-\)
area a sinistra (0,975)
\()\)
\(2 \times (1 - 0{,}975) = 2 \times 0{,}025 = 0{,}05\ \ (5\%)\)
L’idea chiave
Un test a due code considera una differenza significativa in entrambe le direzioni, troppo grande o troppo piccola. È il test usato più spesso nella ricerca e nelle indagini reali. Si usa il valore assoluto \(|Z|\) perché un \(Z\) negativo conti come «uno scarto della stessa entità», trattando i due lati in modo simmetrico.
Con \(Z = 1{,}96\), come nell’esempio, il p-value a due code è quasi esattamente 0,05. Da qui nasce il confine più famoso della statistica (il valore critico): in un test a due code con livello di significatività del 5%, «rifiuta l’ipotesi nulla se \(|Z|\) è maggiore di 1,96».
Il p-value è «la probabilità di ottenere un risultato estremo almeno quanto quello osservato, supponendo vera l’ipotesi nulla». Una volta noto Z, il p-value è un’area nelle code della distribuzione normale standard (a sinistra: \(\Phi(Z)\), a destra: \(1-\Phi(Z)\), a due code: \(2(1-\Phi(|Z|))\)). Se il p-value è minore o uguale al livello di significatività (come 0,05), rifiuta l’ipotesi nulla.
Simboli e termini
Simboli
| \(P\) | pi | Il p-value: la probabilità di ottenere per caso un risultato estremo almeno quanto quello osservato, supponendo vera l’ipotesi nulla. Più è piccolo, più è difficile spiegare il risultato con il caso. |
| \(Z\) | zeta | La statistica test (il valore z), calcolata dai dati e considerata distribuita secondo la distribuzione normale standard. Questa pagina ricava i p-value da Z. Il calcolo del punteggio z in sé è trattato nella pagina correlata, la calcolatrice del punteggio z. |
| \(\Phi(Z)\) | fi di zeta | La funzione di ripartizione della distribuzione normale standard (media 0, deviazione standard 1). Restituisce la probabilità di un valore minore di \(Z\), cioè l’area sotto la curva a sinistra di \(Z\). |
| \(\Phi^{-1}\) | fi alla meno uno (inversa di Φ) | La funzione che fa il percorso inverso di \(\Phi\). Prende una probabilità (un’area) e restituisce la Z che la produce. Questa calcolatrice la usa per risalire dal p-value a Z. (Esempio: \(\Phi^{-1}(0{,}975) \approx 1{,}96\)) |
| \(|Z|\) | valore assoluto di zeta | La grandezza di \(Z\) senza il segno. Un test a due code conta uno scarto dal lato positivo e uno dal lato negativo come la stessa «estremità», quindi usa il valore assoluto. (Esempio: \(|-1{,}5| = 1{,}5\)) |
| \(\alpha\) | alfa | Il livello di significatività: la probabilità soglia che fissi in anticipo, come in «rifiuta l’ipotesi nulla se il p-value è minore o uguale a questo valore». Per convenzione si usano spesso 0,05 (5%) e 0,01 (1%). |
Termini
| p-value | La probabilità di ottenere un risultato estremo almeno quanto quello osservato, supponendo vera l’ipotesi nulla. Più il p-value è piccolo, più è difficile credere che il risultato sia venuto fuori per caso e più forti sono i motivi per rifiutare l’ipotesi nulla. In italiano si dice anche «valore p». |
| test di ipotesi | Una procedura che prima suppone che «non ci sia differenza», misura con un p-value quanto sarebbero improbabili i dati reali sotto questa ipotesi e decide se scartarla a favore dell’ipotesi alternativa. Funziona in modo simile alla dimostrazione per assurdo, cioè se è successo qualcosa di molto raro, si mette in dubbio l’ipotesi di partenza. |
| ipotesi nulla | L’ipotesi di partenza che vuoi smentire, come «non c’è differenza tra i due gruppi» o «non c’è alcun effetto». Il p-value si calcola supponendo che l’ipotesi nulla sia vera. Si indica con H₀. |
| ipotesi alternativa | L’affermazione opposta all’ipotesi nulla («c’è una differenza», «c’è un effetto»). È l’ipotesi che si accetta quando l’ipotesi nulla viene rifiutata. Si indica con H₁. |
| livello di significatività | La probabilità soglia per rifiutare l’ipotesi nulla, indicata con \(\alpha\) (alfa). La regola è fissarla prima di fare il test, e 0,05 è il valore più usato. Se il p-value è minore o uguale al livello di significatività, il risultato si dice «statisticamente significativo». |
| rifiutare | Scartare l’ipotesi nulla perché «difficile da credere», in base al test (si dice anche «respingere»). Si rifiuta quando il p-value è minore o uguale al livello di significatività. Attenzione, se non si riesce a rifiutare, non significa «l’ipotesi nulla è vera» ma solo «non ci sono prove sufficienti per rifiutarla». |
| test a due code | Un test che considera una differenza in entrambe le direzioni, troppo grande o troppo piccola. Il p-value è la somma delle aree nelle due code della distribuzione. È la scelta standard quando non puoi decidere la direzione in anticipo. Si dice anche «test bilaterale». |
| test a una coda | Un test che guarda le differenze in una sola direzione, solo più grandi (coda destra) o solo più piccole (coda sinistra). Si usa quando la teoria stabilisce la direzione in anticipo, e il p-value è solo l’area di quella coda. Si dice anche «test unilaterale». |
| statistica test | Il valore calcolato dai dati per fare un test. In uno z-test viene messo in una forma considerata distribuita secondo la distribuzione normale standard (il valore z) e indica a quante deviazioni standard dalla media si trova il risultato. |
| distribuzione normale standard | La distribuzione normale con media 0 e deviazione standard 1 (a campana simmetrica). L’area sotto la curva rappresenta la probabilità e l’area totale è esattamente 1. Il p-value di uno z-test si calcola come l’area nelle code di questa distribuzione. |
| valore critico | Il valore di confine della statistica test oltre il quale si rifiuta l’ipotesi nulla. In un test a due code con livello di significatività del 5% è \(|Z| \approx 1{,}96\), con l’1% è \(|Z| \approx 2{,}576\). Puoi verificarlo con questa calcolatrice risalendo da un p-value a Z. |
Cosa conviene sapere prima
Ecco che cosa conviene sapere per usare il calcolo di questa pagina capendo davvero che cosa fai, e non solo premendo il pulsante.
| Nozioni di base di probabilità (scuola secondaria di primo grado, 11-14 anni) |
|
| Analisi dei dati e deviazione standard (scuola secondaria di secondo grado, 14-19 anni) |
|
| La distribuzione normale e la lettura delle aree (liceo scientifico, quinto anno, 18-19 anni) |
|
| L’idea del test di ipotesi (di solito si studia all’università) |
|
Come calcolarlo con Excel
Copia tutta la tabella qui sotto e incollala nella cella A1 di Excel. Funziona così com’è.
Tabella per trovare il p-value della coda sinistra
| Z (statistica test) | -1,5 |
| Coda sinistra P(x<Z) | =DISTRIB.NORM.ST.N(B1;VERO) |
Tabella per trovare il p-value della coda destra
| Z (statistica test) | 2 |
| Coda destra P(x>Z) | =1-DISTRIB.NORM.ST.N(B1;VERO) |
Tabella per trovare il p-value a due code
| Z (statistica test) | 1,96 |
| p-value a due code | =2*(1-DISTRIB.NORM.ST.N(ASS(B1);VERO)) |
Dopo averla incollata, B1 è la cella in cui scrivere Z e B2 mostra il p-value, calcolato in automatico.
«DISTRIB.NORM.ST.N(valore; VERO)» è la funzione della funzione di ripartizione \(\Phi\) (l’area a sinistra di Z), e VERO le dice di «restituire il valore cumulato (l’area a sinistra)». «ASS» restituisce il valore assoluto (la grandezza senza il segno).
La prima tabella mostra in B2 circa 0,0668 (circa il 6,7%), la seconda circa 0,02275 (circa il 2,3%) e la terza circa 0,05 (5%). Basta sostituire B1 con la tua Z.
Per fare il percorso inverso, «dal p-value a Z», usa «=INV.NORM.S(probabilità)» (esempio: la Z per un p-value a due code di 0,05 è `=INV.NORM.S(1-0,05/2)`, circa 1,95996).
«DISTRIB.NORM.ST.N(valore; VERO)» è la funzione della funzione di ripartizione \(\Phi\) (l’area a sinistra di Z), e VERO le dice di «restituire il valore cumulato (l’area a sinistra)». «ASS» restituisce il valore assoluto (la grandezza senza il segno).
La prima tabella mostra in B2 circa 0,0668 (circa il 6,7%), la seconda circa 0,02275 (circa il 2,3%) e la terza circa 0,05 (5%). Basta sostituire B1 con la tua Z.
Per fare il percorso inverso, «dal p-value a Z», usa «=INV.NORM.S(probabilità)» (esempio: la Z per un p-value a due code di 0,05 è `=INV.NORM.S(1-0,05/2)`, circa 1,95996).
Come calcolarlo con Fogli Google
Copia tutta la tabella qui sotto e incollala nella cella A1 di Fogli Google. Funziona così com’è.
Tabella per trovare il p-value della coda sinistra
| Z (statistica test) | -1,5 |
| Coda sinistra P(x<Z) | =DISTRIB.NORM.ST(B1) |
Tabella per trovare il p-value della coda destra
| Z (statistica test) | 2 |
| Coda destra P(x>Z) | =1-DISTRIB.NORM.ST(B1) |
Tabella per trovare il p-value a due code
| Z (statistica test) | 1,96 |
| p-value a due code | =2*(1-DISTRIB.NORM.ST(ASS(B1))) |
In Fogli Google calcoli la funzione di ripartizione \(\Phi\) con «DISTRIB.NORM.ST(valore)» (funziona come «DISTRIB.NORM.ST.N(valore; VERO)» di Excel, ma VERO non serve). Copia l’intera tabella, incollala nella cella A1 e cambia Z in B1.
I risultati sono gli stessi della versione Excel: circa 0,0668 nella prima tabella, circa 0,02275 nella seconda e circa 0,05 nella terza.
Per trovare Z da un p-value, usa «=INV.NORM.ST(probabilità)» (esempio: `=INV.NORM.ST(1-0,05/2)` è circa 1,95996).
I risultati sono gli stessi della versione Excel: circa 0,0668 nella prima tabella, circa 0,02275 nella seconda e circa 0,05 nella terza.
Per trovare Z da un p-value, usa «=INV.NORM.ST(probabilità)» (esempio: `=INV.NORM.ST(1-0,05/2)` è circa 1,95996).
Come calcolarlo con Python
import math
def phi(z):
# Funzione di ripartizione della distribuzione normale standard, Φ(z) (calcolata con la funzione degli errori erf)
return 0.5 * (1 + math.erf(z / math.sqrt(2)))
z = 1.96 # Z (statistica test)
p_left = phi(z) # p-value della coda sinistra P(x<Z)
p_right = 1 - phi(z) # p-value della coda destra P(x>Z)
p_two_sided = 2 * (1 - phi(abs(z))) # p-value a due code
print(f"p-value della coda sinistra: {p_left}")
print(f"p-value della coda destra: {p_right}")
print(f"p-value a due code: {p_two_sided}")
Basta math.erf (la funzione degli errori) della libreria standard per calcolare la funzione di ripartizione \(\Phi\). Cambia la Z all’inizio ed eseguilo.
Se ti serve il percorso inverso (dal p-value a Z), usa NormalDist().inv_cdf() del modulo statistics della libreria standard (esempio: la Z per un p-value a due code di 0,05 è `statistics.NormalDist().inv_cdf(1 - alpha/2)` con alpha uguale a 0,05, circa 1,95996). Nel codice Python i decimali si scrivono con il punto.
La formula in LaTeX e in altre notazioni matematiche (da copiare)
p-value della coda sinistra (l’area usata in un test a coda sinistra)
P = Φ(Z)
P = \Phi(Z)
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>P</mi>
<mo>=</mo>
<mi>Φ</mi><mo>(</mo><mi>Z</mi><mo>)</mo>
</mrow>
</math>
P = Phi(Z)
CDF[NormalDistribution[0, 1], z]
with(Statistics): CDF(RandomVariable(Normal(0, 1)), z);
p = normcdf(z);
P = Φ(Z)
p-value della coda destra (l’area usata in un test a coda destra)
P = 1 − Φ(Z)
P = 1 - \Phi(Z)
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>P</mi>
<mo>=</mo>
<mn>1</mn>
<mo>−</mo>
<mi>Φ</mi><mo>(</mo><mi>Z</mi><mo>)</mo>
</mrow>
</math>
P = 1 - Phi(Z)
1 - CDF[NormalDistribution[0, 1], z]
with(Statistics): 1 - CDF(RandomVariable(Normal(0, 1)), z);
p = 1 - normcdf(z);
P = 1 - Φ(Z)
p-value a due code (l’area usata in un test a due code)
P = 2(1 − Φ(|Z|))
P = 2\left(1 - \Phi(|Z|)\right)
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>P</mi>
<mo>=</mo>
<mn>2</mn>
<mo>(</mo>
<mn>1</mn>
<mo>−</mo>
<mi>Φ</mi><mo>(</mo><mo>|</mo><mi>Z</mi><mo>|</mo><mo>)</mo>
<mo>)</mo>
</mrow>
</math>
P = 2(1 - Phi(|Z|))
2 (1 - CDF[NormalDistribution[0, 1], Abs[z]])
with(Statistics): 2*(1 - CDF(RandomVariable(Normal(0, 1)), abs(z)));
p = 2*(1 - normcdf(abs(z)));
P = 2(1 - Φ(|Z|))
Come chiedere a ChatGPT di fare il calcolo
Sei un assistente per i calcoli di statistica. Fai il calcolo seguente eseguendo davvero del codice Python e basa la risposta solo sui numeri del risultato dell’esecuzione (non rispondere con calcoli a mente né a occhio). Uno z-test ha dato una statistica test Z = 2,5. Supponi che la statistica test segua la distribuzione normale standard (puoi usare la libreria standard di Python, per esempio math.erf o statistics.NormalDist). Trova: 1. Il p-value della coda sinistra P(x<Z) 2. Il p-value della coda destra P(x>Z) 3. Il p-value a due code P(x<−Z o x>Z) 4. Se l’ipotesi nulla si può rifiutare in un test a due code con livello di significatività 0,05 Mostra le formule che hai usato e i numeri del risultato dell’esecuzione.
Come si usa
-
1Inserisci i numeriScrivi nei campi i numeri con cui vuoi fare il calcolo
-
2CalcolaFai clic sul pulsante «Calcola»
-
3Guarda il risultatoIl risultato compare subito. Nella stessa pagina trovi anche lo svolgimento del calcolo e la spiegazione della formula
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Nessuna autorizzazione preventiva necessaria
Nessuna autorizzazione preventiva necessaria
Funzioni correlate
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