Calcolatrice del completamento del quadrato (vertice della parabola, asse di simmetria, massimo e minimo)
Scrivi i coefficienti a, b e c della funzione quadratica y = ax² + bx + c. L’equazione qui sotto è collegata ai campi, quindi puoi anche modificare i coefficienti direttamente nell’equazione.
Scrivi solo numeri. Vanno bene numeri decimali, numeri negativi e frazioni come 3/4. Il valore a lasciato vuoto vale 1 (x² equivale a 1x²) e un valore b o c lasciato vuoto vale 0.
Risultato e grafico
Scrivi i coefficienti a, b e c nei campi a sinistra e fai clic su «Calcola». Qui compaiono i passaggi del completamento del quadrato, il vertice e un grafico.
Indice
-
Cosa puoi fare in questa pagina
-
A cosa serve questo calcolo?
-
Come si usa
-
Formule e grafici
-
Simboli e termini
-
Cosa conviene sapere prima
-
Come calcolarlo con Excel
-
Come calcolarlo con Fogli Google
-
Come calcolarlo con Python
-
La formula in LaTeX e in altre notazioni matematiche (da copiare)
-
Come chiedere a ChatGPT di fare il calcolo
-
I punti di forza di DataChef
-
Funzioni correlate
-
Tutte le calcolatrici di NumberChef
Cosa puoi fare in questa pagina
- Scrivi i coefficienti: la funzione quadratica \(y = ax^{2} + bx + c\) viene riscritta nella forma \(y = a(x - p)^{2} + q\) (forma canonica) con il completamento del quadrato
- I passaggi seguono il metodo del libro riga per riga: raccogli il coefficiente di \(x^{2}\), aggiungi e sottrai il quadrato della metà del coefficiente di \(x\), poi scrivi il quadrato di un binomio
- Ottieni anche il vertice \((p ;\ q)\), l’asse di simmetria \(x = p\), il verso in cui si apre il grafico (verso l’alto o verso il basso) e il valore massimo o valore minimo, insieme al grafico della parabola
- Le risposte sono mostrate sia come frazioni ridotte (valori esatti), come \(-\dfrac{5}{4}\), sia come numeri decimali. I coefficienti possono essere numeri decimali, numeri negativi o frazioni come 3/4
- La calcolatrice mostra l’equazione come la scriveresti a mano e puoi modificare i coefficienti direttamente nell’equazione
- In questa pagina trovi anche la spiegazione chiara delle formule e le formule da copiare e incollare per Excel, Fogli Google e Python
Questa pagina riguarda le funzioni quadratiche (il coefficiente a di x² non è 0). Per risolvere un’equazione della forma ax²+bx+c = 0 usa il risolutore di equazioni di secondo grado tra le pagine correlate.
A cosa serve questo calcolo?
Trovare il punto più alto di una palla o di una fontana (fisica e sport)
L’altezza di una palla lanciata verso l’alto, o dell’acqua di una fontana, si modella spesso con una funzione quadratica del tempo. Per esempio, se l’altezza è \(h = -5t^{2} + 20t\) (in metri, con \(t\) in secondi, trascurando la resistenza dell’aria), il completamento del quadrato dà \(h = -5(t - 2)^{2} + 20\). Si legge subito che la palla raggiunge il punto più alto, 20 metri, dopo 2 secondi.
Estrarre il vertice, «il punto più alto e quando succede», direttamente dall’equazione è il punto di forza del completamento del quadrato, e i problemi di moto dei proiettili in fisica ne sono un uso classico.
Trovare il prezzo che massimizza il profitto (economia e impresa)
Quando «alzare il prezzo aumenta il guadagno per ogni articolo ma riduce il numero di articoli venduti», il profitto si può a volte modellare come una funzione quadratica del prezzo con la concavità verso il basso. Il prezzo che dà il massimo profitto è esattamente il vertice della parabola. Per esempio, se il profitto è \(y = -x^{2} + 60x - 500\) euro (con \(x\) il prezzo in euro), il vertice \(x = 30\) è il prezzo che massimizza il profitto: 30 €, per un profitto di 400 €.
I mercati reali sono più complicati, ma «cercare il valore migliore nel vertice» è un punto di partenza per ragionare sui prezzi e su come ripartire un budget pubblicitario.
Costruire l’aiuola più grande con una lunghezza fissa di recinzione (progettazione e fai da te)
Per un rettangolo con perimetro fissato, l’area è una funzione quadratica della lunghezza del lato. Per esempio, con 20 metri di recinzione, se la larghezza è \(x\) metri, la lunghezza è \(10 - x\) metri e l’area è \(y = x(10 - x) = -x^{2} + 10x\). Il completamento del quadrato dà \(y = -(x - 5)^{2} + 25\), quindi l’area massima è 25 metri quadrati quando \(x = 5\) (un quadrato).
Questa è la forma più elementare di un problema di ottimizzazione: ottenere il massimo da materiali o da un budget limitati.
Progettare antenne e riflettori di luce (ingegneria)
Le antenne paraboliche e i riflettori dei fari delle auto e delle torce hanno la forma di una parabola fatta ruotare attorno al suo asse (un paraboloide). Sfruttano una proprietà della parabola: le onde radio o la luce che arrivano parallele all’asse rimbalzano tutte in un punto dell’asse (il fuoco), e la luce emessa dal fuoco esce dritta parallela all’asse.
Nella progettazione una parabola si descrive con la posizione del suo vertice e con quanto si apre in quale direzione, quindi l’idea della forma canonica \(y = a(x - p)^{2} + q\), costruita attorno al vertice, ne è il fondamento.
Formule e grafici
Completamento del quadrato (passaggio alla forma canonica)
Grafico
Notazione matematica
(la notazione abituale)
\(y\)
\(=\)
\(a\)
\(\left(x - p\right)^{2}\)
\(+\)
\(q\)
A parole
(i simboli sostituiti da parole)
④
\(y\): valore della funzione quadratica
\(=\)
①
\(a\): coefficiente di \(x^{2}\)
②
quadrato di \(x\) meno l’ascissa \(p\) del vertice
\(+\)
③
\(q\): ordinata del vertice
La formula a parole
①
Prendi il
coefficiente \(a\) di \(x^{2}\)
②
moltiplicalo per il
quadrato di \(x\) meno l’ascissa \(p\) del vertice
③
aggiungi l’
ordinata \(q\) del vertice
④
e ottieni il
valore della funzione quadratica \(y\)
(in questa forma si vedono a colpo d’occhio il vertice \((p ;\ q)\) e l’asse \(x = p\))
Un esempio semplice
Completando il quadrato in \(y = 2x^{2} - 8x + 3\) si ottiene \(y = 2(x - 2)^{2} - 5\) (vertice \((2 ;\ -5)\))
valore della funzione \(y\)
\(=\)
coefficiente di \(x^{2}\) (2)
quadrato di \(x\) meno 2
\(+\)
ordinata del vertice (−5)
\(y = 2x^{2} - 8x + 3 = 2\left(x^{2} - 4x\right) + 3\)
\(y = 2\left(x^{2} - 4x + 4 - 4\right) + 3 = 2\left\{\left(x - 2\right)^{2} - 4\right\} + 3\)
\(y = 2\left(x - 2\right)^{2} - 8 + 3 = 2\left(x - 2\right)^{2} - 5\)
L’idea chiave
Il completamento del quadrato riscrive una funzione quadratica come «una parte al quadrato più una costante». Poiché \((x - p)^{2}\) è un quadrato, è sempre maggiore o uguale a 0 ed è 0 solo quando \(x = p\). Quindi se \(a > 0\), \(y\) è minima per \(x = p\) (valore minimo \(q\)) e se \(a < 0\) è massima lì (valore massimo \(q\)). Il vantaggio di questa riscrittura è che puoi leggere il vertice e il massimo o il minimo dalla sola forma dell’equazione.
La forma \(y = ax^{2} + bx + c\) si chiama forma generale e \(y = a(x - p)^{2} + q\) si chiama forma canonica (il vertice si vede a colpo d’occhio). Quando disegni una parabola o cerchi il suo massimo o minimo, passare alla forma canonica è di solito la prima mossa. (Molti testi italiani indicano il vertice con \(\mathrm{V}(x_V ;\ y_V)\) e scrivono la forma canonica come \(y = a(x - x_V)^{2} + y_V\).)
Ascissa del vertice (l’asse di simmetria)
Notazione matematica
(la notazione abituale)
\(p\)
\(=\)
\(-b\)
\(\div\)
\((\)
\(2a\)
\()\)
A parole
(i simboli sostituiti da parole)
③
\(p\): ascissa del vertice
\(=\)
①
\(-b\): coefficiente di \(x\) con il segno cambiato
\(\div\)
\((\)
②
\(2a\): il doppio del coefficiente di \(x^{2}\)
\()\)
La formula a parole
①
Prendi il
coefficiente di \(x\) con il segno cambiato, \(-b\)
②
dividilo per
il doppio del coefficiente di \(x^{2}\), \(2a\)
③
e ottieni l’
ascissa \(p\) del vertice
(l’asse di simmetria è la retta \(x = p\))
Un esempio semplice
L’ascissa del vertice di \(y = 2x^{2} - 8x + 3\) (\(a = 2,\ b = -8\)) è
ascissa \(p\) del vertice
\(=\)
\(b\) con il segno cambiato (8)
\(\div\)
\((\)
il doppio di \(a\) (4)
\()\)
\(p = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{-8}{2 \times 2} = \dfrac{8}{4} = 2\)
L’idea chiave
È la formula del vertice che si ottiene facendo il completamento del quadrato fino in fondo con le lettere invece che con i numeri. Senza riscrivere ogni volta l’equazione, puoi trovare l’ascissa del vertice direttamente da \(a\) e da \(b\). (Anche questa calcolatrice trova \(p\) con questa formula.)
Una parabola è simmetrica rispetto al suo asse (la retta \(x = p\)), quindi \(p\) è anche il punto in cui il grafico si ripiega. Ha la stessa forma di \(-\dfrac{b}{2a}\), la parte prima del «±» nella formula risolutiva \(x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}\). Questo mostra che l’asse sta esattamente a metà tra le due soluzioni.
Ordinata del vertice (massimo o valore minimo)
Grafico
Notazione matematica
(la notazione abituale)
\(q\)
\(=\)
\(c\)
\(-\)
\(b^{2}\)
\(\div\)
\((\)
\(4a\)
\()\)
A parole
(i simboli sostituiti da parole)
④
\(q\): ordinata del vertice
\(=\)
①
\(c\): termine noto
\(-\)
②
\(b^{2}\): quadrato del coefficiente di \(x\)
\(\div\)
\((\)
③
\(4a\): 4 volte il coefficiente di \(x^{2}\)
\()\)
La formula a parole
①
Parti dal
termine noto \(c\)
②
sottrai il
quadrato del coefficiente \(b\) di \(x\)
③
diviso per
4 volte il coefficiente di \(x^{2}\), \(4a\)
④
e ottieni l’
ordinata \(q\) del vertice
(il valore minimo se \(a > 0\), il valore massimo se \(a < 0\))
Un esempio semplice
L’ordinata del vertice di \(y = 2x^{2} - 8x + 3\) (\(a = 2,\ b = -8,\ c = 3\)) è
ordinata \(q\) del vertice
\(=\)
termine noto (3)
\(-\)
\(b\) al quadrato (64)
\(\div\)
\((\)
4 volte \(a\) (8)
\()\)
\(q = c - \dfrac{b^{2}}{4a} = 3 - \dfrac{(-8)^{2}}{4 \times 2} = 3 - \dfrac{64}{8} = 3 - 8 = -5\)
L’idea chiave
\(q\) è il valore di \(y\) quando \(x = p\), quindi sostituendo \(x = p\) nell’equazione di partenza si ottiene la stessa risposta. È un modo comodo per controllare il lavoro.
Una parabola con la concavità verso l’alto (\(a > 0\)) ha il punto più basso nel vertice, quindi \(q\) è il valore minimo. Una parabola con la concavità verso il basso (\(a < 0\)) ha il punto più alto nel vertice, quindi \(q\) è il valore massimo. Ma quando il dominio (i valori che \(x\) può assumere) è limitato, il vertice può cadere fuori e devi confrontare con i valori agli estremi del dominio.
Con il completamento del quadrato, la funzione quadratica \(y = ax^{2} + bx + c\) si può riscrivere in forma canonica \(y = a(x - p)^{2} + q\), dove \(p = -\dfrac{b}{2a}\) e \(q = c - \dfrac{b^{2}}{4a}\). Il vertice è \((p ;\ q)\) e l’asse di simmetria è la retta \(x = p\). Se \(a > 0\), il valore minimo è \(q\) per \(x = p\); se \(a < 0\), il valore massimo è \(q\).
Simboli e termini
Simboli
| \(a,\ b,\ c\) | a, b, c | I coefficienti della funzione quadratica \(y = ax^{2} + bx + c\). \(a\) è il coefficiente di \(x^{2}\) (diverso da 0), \(b\) è il coefficiente di \(x\) e \(c\) è il termine noto. Di solito per i numeri fissati si usano le lettere di inizio alfabeto, \(a,\ b,\ c\). |
| \(x,\ y\) | ics, ipsilon | Le variabili. \(x\) è l’ingresso e \(y\) è l’uscita. Di solito per i numeri che possono assumere molti valori si usano le lettere di fine alfabeto, \(x,\ y,\ z\). |
| \(p\) | pi | L’ascissa del vertice, che è anche la posizione dell’asse di simmetria (la retta \(x = p\)). Molti testi italiani usano \(x_V\) per questa. |
| \(q\) | qu | L’ordinata del vertice. È il valore minimo se \(a > 0\) e il valore massimo se \(a < 0\). È la lettera dopo \(p\), quindi le due si usano in coppia. Molti testi italiani usano \(y_V\) per questa. |
| \((x - p)^{2}\) | x meno pi, al quadrato | La parte al quadrato costruita con il completamento del quadrato. Essendo un quadrato, è sempre maggiore o uguale a 0 ed è 0 solo quando \(x = p\). È proprio per questo che il massimo o il minimo si trova nel vertice. |
| \(x^{2}\) | x al quadrato | \(x\) moltiplicato per se stesso (\(x^{2} = x \times x\)). Il piccolo numero in alto (l’esponente) indica quante volte viene moltiplicato. |
Termini
| funzione quadratica | Una funzione della forma \(y = ax^{2} + bx + c\) (\(a \neq 0\)). Il suo grafico è una parabola. Si studia nella scuola secondaria di secondo grado (14-19 anni). |
| parabola | La curva a U simmetrica che è il grafico di una funzione quadratica. Ha la stessa forma della traiettoria di una palla lanciata. |
| vertice | Il punto di svolta di una parabola: il punto più basso se ha la concavità verso l’alto, il punto più alto se ha la concavità verso il basso. Le sue coordinate sono \((p ;\ q)\). |
| asse di simmetria | La retta verticale \(x = p\) rispetto a cui una parabola è simmetrica. La parabola è l’immagine speculare di se stessa rispetto a questa retta e il vertice sta su di essa. |
| completamento del quadrato | Riscrivere \(y = ax^{2} + bx + c\) nella forma \(y = a(x - p)^{2} + q\). Il nome viene da «costruire un quadrato di un binomio». È lo strumento di base per trovare il vertice, l’asse e il massimo o il minimo, e con esso si ricava la stessa formula risolutiva delle equazioni di secondo grado. |
| quadrato di un binomio | Un’espressione che è qualcosa elevato al quadrato, come \((x - 2)^{2} = x^{2} - 4x + 4\). Un quadrato è un numero per se stesso: il quadrato di \(3\) è \(3^{2} = 9\). Fa parte dei prodotti notevoli. |
| forma generale | La forma \(y = ax^{2} + bx + c\). È la solita forma sviluppata e permette di leggere facilmente dove incontra l’asse \(y\) (\(y = c\) per \(x = 0\)). |
| forma canonica | La forma \(y = a(x - p)^{2} + q\) (nei testi italiani spesso \(y = a(x - x_V)^{2} + y_V\)). Si vede a colpo d’occhio il vertice \((p ;\ q)\). Il completamento del quadrato trasforma la forma generale in forma canonica. |
| concavità verso l’alto | Il grafico si apre come una valle. Succede quando \(a > 0\), e il vertice è il punto più basso. |
| concavità verso il basso | Il grafico si apre come una collina. Succede quando \(a < 0\), e il vertice è il punto più alto. |
| valore massimo | Il valore più grande che la funzione \(y\) può assumere. Per una funzione quadratica con la concavità verso il basso, l’ordinata del vertice \(q\) è il valore massimo. |
| valore minimo | Il valore più piccolo che la funzione \(y\) può assumere. Per una funzione quadratica con la concavità verso l’alto, l’ordinata del vertice \(q\) è il valore minimo. |
| coefficiente | Il numero scritto davanti a una lettera. In \(2x^{2}\) il coefficiente è 2. Un termine in cui non è scritto nessun numero, come \(x^{2}\), ha coefficiente 1. |
| termine noto | Un termine fatto solo di un numero, senza \(x\), come il 3 in \(2x^{2} - 8x + 3\). Si dice «noto» perché non cambia qualunque sia il valore di \(x\). |
| simmetrico | Che coincide esattamente quando viene ripiegato. Se pieghi una parabola lungo il suo asse, la parte sinistra e quella destra coincidono esattamente (simmetria assiale). |
| dominio | L’insieme dei valori che \(x\) può assumere. Quando il dominio è limitato (per esempio \(0 \le x \le 3\)), il massimo o il minimo può trovarsi a un estremo del dominio invece che nel vertice. |
| traslazione | Far scorrere una figura senza cambiarne la forma. Il grafico di \(y = a(x - p)^{2} + q\) è il grafico di \(y = ax^{2}\) traslato di \(p\) nella direzione \(x\) e di \(q\) nella direzione \(y\). |
Cosa conviene sapere prima
Ecco che cosa ti aiuta a usare il calcolo di questa pagina capendolo davvero, e non solo premendo il pulsante.
Se ti blocchi, tornare a ripassare questi argomenti è la strada più veloce.
| Funzioni e grafici (scuola secondaria di primo grado e primo biennio della secondaria di secondo grado, 13-16 anni) |
|
| Prodotti notevoli e scomposizione (scuola secondaria di primo grado, 11-14 anni) |
|
| Numeri relativi ed espressioni letterali (scuola secondaria di primo grado, 11-14 anni) |
|
| Calcoli con le frazioni (scuola primaria e scuola secondaria di primo grado, 9-14 anni) |
|
| Grafici delle funzioni quadratiche (scuola secondaria di secondo grado, 14-19 anni) |
|
Come calcolarlo con Excel
Copia tutta la tabella qui sotto e incollala nella cella A1 di Excel. Funziona così com’è.
Tabella per completare il quadrato (vertice p, q)
| Coefficiente a di x² | 2 |
| Coefficiente b di x | -8 |
| Termine noto c | 3 |
| Ascissa p del vertice | =-B2/(2*B1) |
| Ordinata q del vertice | =B3-B2^2/(4*B1) |
Tabella per trovare l’ascissa del vertice (asse di simmetria)
| Coefficiente a di x² | 1 |
| Coefficiente b di x | -6 |
| Ascissa p del vertice = −b/(2a) | =-B2/(2*B1) |
Tabella per trovare l’ordinata del vertice (massimo o minimo)
| Coefficiente a di x² | 1 |
| Coefficiente b di x | -6 |
| Termine noto c | 5 |
| Ordinata q del vertice = c − b²/(4a) | =B3-B2^2/(4*B1) |
Tabella per controllare che la forma canonica coincida con l’originale
| Coefficiente a di x² | 2 |
| Coefficiente b di x | -8 |
| Termine noto c | 3 |
| Valore di x da controllare | 1 |
| Ascissa p del vertice | =-B2/(2*B1) |
| Ordinata q del vertice | =B3-B2^2/(4*B1) |
| Valore di ax²+bx+c | =B1*B4^2+B2*B4+B3 |
| Valore di a(x−p)²+q | =B1*(B4-B5)^2+B6 |
Dopo averla incollata, le righe in alto (i coefficienti) sono i dati da inserire e le righe in basso si calcolano da sole.
«^» è la potenza, «*» è la moltiplicazione e «/» è la divisione.
La prima tabella è l’esempio y = 2x² − 8x + 3. p è 2 e q è −5 (quindi y = 2(x − 2)² − 5).
La seconda e la terza tabella sono l’esempio y = x² − 6x + 5. p è 3 e q è −4.
La quarta tabella è un controllo. Per lo stesso x (1 nell’esempio), «valore di ax²+bx+c» e «valore di a(x−p)²+q» sono entrambi −3, quindi le due forme coincidono.
«^» è la potenza, «*» è la moltiplicazione e «/» è la divisione.
La prima tabella è l’esempio y = 2x² − 8x + 3. p è 2 e q è −5 (quindi y = 2(x − 2)² − 5).
La seconda e la terza tabella sono l’esempio y = x² − 6x + 5. p è 3 e q è −4.
La quarta tabella è un controllo. Per lo stesso x (1 nell’esempio), «valore di ax²+bx+c» e «valore di a(x−p)²+q» sono entrambi −3, quindi le due forme coincidono.
Come calcolarlo con Fogli Google
Copia tutta la tabella qui sotto e incollala nella cella A1 di Fogli Google. Funziona così com’è.
Tabella per completare il quadrato (vertice p, q)
| Coefficiente a di x² | 2 |
| Coefficiente b di x | -8 |
| Termine noto c | 3 |
| Ascissa p del vertice | =-B2/(2*B1) |
| Ordinata q del vertice | =B3-B2^2/(4*B1) |
Tabella per trovare l’ascissa del vertice (asse di simmetria)
| Coefficiente a di x² | 1 |
| Coefficiente b di x | -6 |
| Ascissa p del vertice = −b/(2a) | =-B2/(2*B1) |
Tabella per trovare l’ordinata del vertice (massimo o minimo)
| Coefficiente a di x² | 1 |
| Coefficiente b di x | -6 |
| Termine noto c | 5 |
| Ordinata q del vertice = c − b²/(4a) | =B3-B2^2/(4*B1) |
Tabella per controllare che la forma canonica coincida con l’originale
| Coefficiente a di x² | 2 |
| Coefficiente b di x | -8 |
| Termine noto c | 3 |
| Valore di x da controllare | 1 |
| Ascissa p del vertice | =-B2/(2*B1) |
| Ordinata q del vertice | =B3-B2^2/(4*B1) |
| Valore di ax²+bx+c | =B1*B4^2+B2*B4+B3 |
| Valore di a(x−p)²+q | =B1*(B4-B5)^2+B6 |
Le formule sono le stesse di Excel e funzionano così come sono. Copia tutta la tabella, incollala nella cella A1 e sostituisci i coefficienti con i tuoi numeri.
Come calcolarlo con Python
from fractions import Fraction
# Coefficienti della funzione quadratica y = ax² + bx + c (una frazione come 3/4 si scrive Fraction(3, 4))
coef_a = Fraction(2) # coefficiente di x² (diverso da 0)
coef_b = Fraction(-8) # coefficiente di x
coef_c = Fraction(3) # termine noto
vertex_x = -coef_b / (2 * coef_a) # ascissa del vertice p = −b/(2a)
vertex_y = coef_c - coef_b ** 2 / (4 * coef_a) # ordinata del vertice q = c − b²/(4a)
print(f"Ascissa p del vertice: {vertex_x}")
print(f"Ordinata q del vertice: {vertex_y}")
print(f"Forma canonica: y = {coef_a} * (x - ({vertex_x}))**2 + ({vertex_y})")
if coef_a > 0:
print(f"Concavità verso l’alto, quindi il minimo è {vertex_y} per x = {vertex_x}")
else:
print(f"Concavità verso il basso, quindi il massimo è {vertex_y} per x = {vertex_x}")
Con il modulo fractions della libreria standard il calcolo resta in frazioni esatte, senza errori di arrotondamento. Questo esempio completa il quadrato in y = 2x² − 8x + 3. Eseguendolo, mostra p = 2 e q = −5 (quindi y = 2(x − 2)² − 5, con minimo −5). Cambia i coefficienti ed eseguilo di nuovo.
La formula in LaTeX e in altre notazioni matematiche (da copiare)
Completamento del quadrato (passaggio alla forma canonica)
y = a(x − p)² + q
y = a(x - p)^{2} + q
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>y</mi>
<mo>=</mo>
<mi>a</mi>
<msup>
<mrow><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>−</mo><mi>p</mi><mo>)</mo></mrow>
<mn>2</mn>
</msup>
<mo>+</mo>
<mi>q</mi>
</mrow>
</math>
y = a(x - p)^2 + q
a*(x - p)^2 + q
y := a*(x - p)^2 + q;
y = a*(x - p)^2 + q;
y = a(x - p)^2 + q
Ascissa del vertice (l’asse di simmetria)
p = −b/(2a)
p = -\frac{b}{2a}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>p</mi>
<mo>=</mo>
<mo>−</mo>
<mfrac>
<mi>b</mi>
<mrow><mn>2</mn><mi>a</mi></mrow>
</mfrac>
</mrow>
</math>
p = -b/(2a)
-b/(2*a)
p := -b/(2*a);
p = -b/(2*a);
p = −b/(2a)
Ordinata del vertice (massimo o valore minimo)
q = c − b²/(4a)
q = c - \frac{b^{2}}{4a}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>q</mi>
<mo>=</mo>
<mi>c</mi>
<mo>−</mo>
<mfrac>
<msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup>
<mrow><mn>4</mn><mi>a</mi></mrow>
</mfrac>
</mrow>
</math>
q = c - b^2/(4a)
c - b^2/(4*a)
q := c - b^2/(4*a);
q = c - b^2/(4*a);
q = c − b^2/(4a)
Come chiedere a ChatGPT di fare il calcolo
Sei un assistente di matematica per le funzioni quadratiche. Esegui il calcolo seguente eseguendo davvero codice Python e basa la risposta solo sui numeri del risultato dell’esecuzione (non rispondere con il calcolo a mente né a intuito). Completa il quadrato nella funzione quadratica y = 2x² − 8x + 3. Mostra ciascuno dei punti seguenti: 1. I passaggi del completamento del quadrato (raccogli il coefficiente di x² → aggiungi e sottrai il quadrato della metà del coefficiente di x → scrivi il quadrato di un binomio) 2. La forma canonica y = a(x − p)² + q, il vertice (p ; q) e l’asse di simmetria (come frazioni ridotte) 3. In quale verso si apre il grafico (verso l’alto o verso il basso) e il valore massimo o minimo In Python usa il modulo fractions della libreria standard per calcolare in modo esatto. Mostra le formule usate e i numeri del risultato dell’esecuzione.
Come si usa
-
1Inserisci i numeriScrivi nei campi i numeri con cui vuoi fare il calcolo
-
2CalcolaFai clic sul pulsante «Calcola»
-
3Guarda il risultatoIl risultato compare subito. Nella stessa pagina trovi anche lo svolgimento del calcolo e la spiegazione della formula
I punti di forza di DataChef
Semplice e gratuito
Conversioni gratuite e illimitate
Nessuna competenza richiesta, semplice e intuitivo
Nessuna competenza richiesta, semplice e intuitivo
Senza registrazione
Pronto all'uso appena apri la pagina
Nessun dato personale richiesto
Nessun dato personale richiesto
Sicuro e affidabile
Connessione fortemente crittografata (SSL)
Il file viene eliminato automaticamente dopo il download
Il file viene eliminato automaticamente dopo il download
Veloce
Visualizzazione e conversione rapide, senza attese
Senza filigrana
Nessuna filigrana
Nessun obbligo di attribuzione
Nessun obbligo di attribuzione
Uso commerciale consentito
Uso commerciale gratuito
Nessuna autorizzazione preventiva necessaria
Nessuna autorizzazione preventiva necessaria
Funzioni correlate
Calcolatrice di equazioni di secondo grado (formula risolutiva, discriminante e soluzioni complesse)
Scrivi a, b e c per risolvere l’equazione di secondo grado ax²+bx+c=0, con il discriminante e i passaggi
Calcolatrice dell’equazione della circonferenza (forma generale e forma centro-raggio, centro, raggio, circonferenza e retta)
Riscrive l’equazione di una circonferenza in forma canonica completando il quadrato, trova centro e raggio esatti e controlla come una retta incontra la circonferenza
