Calcolatrice del metodo dell’angolo aggiunto (a sen θ + b cos θ come R sen(θ + α), con massimo e minimo)
Scrivi i coefficienti a e b dell’espressione a sen θ + b cos θ. La formula qui sotto è collegata ai campi, quindi puoi anche modificare direttamente i coefficienti al suo interno.
Vanno bene decimali, numeri negativi, frazioni come 3/4 e valori con radici quadrate come √3, √3/2 o 2√3 (nella formula qui sotto, scrivendo sqrt compare √). Un coefficiente lasciato vuoto vale 1 (sen θ significa 1 sen θ).
Risultato e grafico
Scrivi i coefficienti di sen θ e cos θ nei campi a sinistra e fai clic su «Calcola». Qui compariranno il risultato e un grafico.
Indice
-
Cosa puoi fare in questa pagina
-
A cosa serve questo calcolo?
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Come si usa
-
Formule e grafici
-
Simboli e termini
-
Cosa conviene sapere prima
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Come calcolarlo con Excel
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Come calcolarlo con Fogli Google
-
Come calcolarlo con Python
-
La formula in LaTeX e in altre notazioni matematiche (da copiare)
-
Come chiedere a ChatGPT di fare il calcolo
-
I punti di forza di DataChef
-
Funzioni correlate
-
Tutte le calcolatrici di NumberChef
Cosa puoi fare in questa pagina
- Riscrive un’espressione della forma \(a\sin\theta + b\cos\theta\) come un’unica sinusoide \(R\sin(\theta + \alpha)\) (metodo dell’angolo aggiunto)
- L’ampiezza \(R = \sqrt{a^{2} + b^{2}}\) è mostrata sia come valore esatto semplificato, per esempio \(\sqrt{2}\), sia come decimale. L’angolo \(\alpha\) è mostrato come frazione esatta di π quando è un angolo notevole come \(\dfrac{\pi}{4}\). Altrimenti è dato dai valori esatti di \(\cos\alpha\) e \(\sin\alpha\), con i valori approssimati in radianti e in gradi
- Mostra anche la forma con il coseno \(R\cos(\theta - \beta)\) (quando conviene usare una forma o l’altra è spiegato più sotto)
- Trova anche il massimo \(R\) e il minimo \(-R\) e i valori di \(\theta\) in cui si ottengono (una richiesta classica nei compiti)
- I coefficienti possono essere numeri interi, decimali, frazioni o valori con radici quadrate come √3 o √3/2. Un grafico mostra le due onde di partenza, l’onda risultante e la sua ampiezza
Il metodo vale per \(\sin\theta\) e \(\cos\theta\) dello stesso angolo \(\theta\), entrambi alla prima potenza (\(a\sin\theta + b\cos\theta\)). I termini con angoli diversi, come \(\sin 2\theta\) e \(\cos\theta\), o con potenze come \(\sin^{2}\theta\), non si possono combinare in questo modo.
A cosa serve questo calcolo?
Sommare le onde di tensione e di corrente nei circuiti in corrente alternata (elettricità)
La corrente alternata di una presa di casa in Italia è una tensione che oscilla come una sinusoide 50 volte al secondo (50 Hz). Nei calcoli dei circuiti, bobine e condensatori traslano le onde e la loro somma compare nella forma \(a\sin\theta + b\cos\theta\). Comporla ti dice qual è l’unica onda che hai davvero: la sua ampiezza (la tensione di picco) e di quanto è sfasata.
Questo calcolo è un classico dei corsi di elettrotecnica.
Sommare suoni della stessa altezza (suono e acustica)
Il suono è un’onda di vibrazioni dell’aria. Quando due suoni della stessa altezza (la stessa frequenza) si sovrappongono, la somma delle loro equazioni d’onda dà un’unica onda. Più grande è l’ampiezza \(R\) risultante, più forte è il suono. Quando le onde sono «in passo» (in fase) si rinforzano a vicenda, quando sono opposte si annullano.
Le cuffie con cancellazione del rumore riducono il rumore emettendo un’onda opposta a esso, e questo si basa proprio sull’idea di sommare le onde.
Analizzare le oscillazioni di edifici e macchine (ingegneria sismica e delle vibrazioni)
Nell’analisi dei terremoti o delle vibrazioni delle macchine, gli ingegneri spesso dividono il movimento in una parte con il seno e una parte con il coseno, calcolano ciascuna e alla fine le compongono per trovare la dimensione reale dell’oscillazione (l’ampiezza). Quando il moto si può trattare come una semplice vibrazione con un solo periodo, il movimento massimo si stima con l’ampiezza composta \(R\).
Le onde sismiche reali sono una miscela complessa di molti periodi, ma la base della loro analisi è questa somma di sinusoidi.
Perché l’intensità del segnale del cellulare cambia da un punto all’altro (telecomunicazioni)
Uno smartphone riceve l’onda radio che arriva direttamente dalla stazione radio base sovrapposta alle onde riflesse da edifici e altri oggetti. Le onde della stessa frequenza si combinano in un’unica onda e, a seconda della differenza dei percorsi, si rinforzano o si indeboliscono a vicenda (si chiama fading).
Basta spostarsi di poco per cambiare le tacche del segnale, perché questa ampiezza composta è diversa da un punto all’altro.
Formule e grafici
Metodo dell’angolo aggiunto (scrittura come seno)
Grafico
Notazione matematica
(la notazione abituale)
\(a\sin\theta\)
\(+\)
\(b\cos\theta\)
\(=\)
\(R\sin(\theta + \alpha)\)
A parole
(i simboli sostituiti da parole)
①
\(a\sin\theta\): il termine in \(\sin\theta\) con coefficiente \(a\)
\(+\)
②
\(b\cos\theta\): il termine in \(\cos\theta\) con coefficiente \(b\)
\(=\)
③
\(R\sin(\theta + \alpha)\): un’unica sinusoide di ampiezza \(R\) e angolo \(\alpha\)
La formula a parole
①
La somma del
termine in \(\sin\theta\) con coefficiente \(a\)
②
e del
termine in \(\cos\theta\) con coefficiente \(b\)
③
si può scrivere come
un’unica sinusoide di ampiezza \(R\) e angolo \(\alpha\)
Un esempio semplice
Composizione di \(\sin\theta + \cos\theta\) (\(a = 1;\ b = 1\)):
termine in \(\sin\theta\) (coefficiente 1)
\(+\)
termine in \(\cos\theta\) (coefficiente 1)
\(=\)
sinusoide di ampiezza \(\sqrt{2}\) e angolo \(\dfrac{\pi}{4}\)
\(R = \sqrt{1^{2} + 1^{2}} = \sqrt{2}\)
\(\cos\alpha = \dfrac{1}{\sqrt{2}},\ \ \sin\alpha = \dfrac{1}{\sqrt{2}} \ \Rightarrow\ \alpha = \dfrac{\pi}{4}\)
\(\sin\theta + \cos\theta = \sqrt{2}\,\sin\left(\theta + \dfrac{\pi}{4}\right)\)
L’idea chiave
Quando seno e coseno sono mescolati in un’unica espressione, non è facile capire quando assume il valore più grande o quali valori può assumere. Il metodo dell’angolo aggiunto riscrive le due onde come un’unica sinusoide di ampiezza \(R\), traslata dell’angolo \(\alpha\), così si vede che cosa rappresenta davvero l’espressione.
Funziona grazie alle formule di addizione \(\sin(\theta + \alpha) = \sin\theta\cos\alpha + \cos\theta\sin\alpha\), usate al contrario, da destra a sinistra. Se pensi \(a\) in \(a\sin\theta + b\cos\theta\) come \(R\cos\alpha\) e \(b\) come \(R\sin\alpha\), tutta l’espressione si raccoglie in \(R\sin(\theta + \alpha)\).
Si può scrivere anche come coseno, \(R\cos(\theta - \beta)\). Entrambe le forme sono corrette. Nei libri di matematica si usa spesso la forma con il seno, in fisica e in elettrotecnica spesso quella con il coseno. Se un esercizio chiede «la forma \(R\sin(\theta + \alpha)\)» o «la forma \(R\cos(\theta - \beta)\)», usa quella richiesta.
Come trovare l’ampiezza \(R\) e l’angolo \(\alpha\)
Notazione matematica
(la notazione abituale)
\(R\)
\(=\)
\(\sqrt{a^{2} + b^{2}}\)
\(\cos\alpha\)
\(=\)
\(\dfrac{a}{R}\)
\(\sin\alpha\)
\(=\)
\(\dfrac{b}{R}\)
A parole
(i simboli sostituiti da parole)
②
\(R\): ampiezza (l’altezza dell’onda risultante)
\(=\)
①
\(\sqrt{a^{2} + b^{2}}\): radice quadrata della somma dei quadrati di \(a\) e \(b\)
\(\cos\alpha\): coseno dell’angolo \(\alpha\)
\(=\)
③
\(\dfrac{a}{R}\): il coefficiente \(a\) di \(\sin\theta\) diviso per l’ampiezza \(R\)
\(\sin\alpha\): seno dell’angolo \(\alpha\)
\(=\)
④
\(\dfrac{b}{R}\): il coefficiente \(b\) di \(\cos\theta\) diviso per l’ampiezza \(R\)
La formula a parole
①
Eleva al quadrato i coefficienti \(a\) e \(b\), sommali e calcola la radice quadrata:
\(\sqrt{a^{2} + b^{2}}\)
②
Questo valore è
l’ampiezza \(R\)
③
Poi scegli l’angolo \(\alpha\) in modo che
il coefficiente \(a\) diviso per l’ampiezza \(R\)
sia il suo coseno
④
e che
il coefficiente \(b\) diviso per l’ampiezza \(R\)
sia il suo seno
Un esempio semplice
Per \(\sqrt{3}\sin\theta + \cos\theta\) (\(a = \sqrt{3};\ b = 1\)):
ampiezza \(R = 2\)
\(=\)
radice quadrata della somma dei quadrati di \(\sqrt{3}\) e \(1\), cioè \(\sqrt{4}\)
\(R = \sqrt{\left(\sqrt{3}\right)^{2} + 1^{2}} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2\)
\(\cos\alpha = \dfrac{\sqrt{3}}{2},\ \ \sin\alpha = \dfrac{1}{2} \ \Rightarrow\ \alpha = \dfrac{\pi}{6}\)
\(\sqrt{3}\sin\theta + \cos\theta = 2\sin\left(\theta + \dfrac{\pi}{6}\right)\)
L’idea chiave
L’ampiezza \(R = \sqrt{a^{2} + b^{2}}\) è la distanza dall’origine del punto \((a\,;\,b)\) del piano cartesiano, cioè è proprio il teorema di Pitagora. Se disegni il punto \((a\,;\,b)\), \(\alpha\) è l’angolo tra l’asse \(x\) e la freccia che va dall’origine a \((a\,;\,b)\). Se hai dubbi, disegna il punto \((a\,;\,b)\) e leggi la distanza e l’angolo.
È importante controllare sia \(\cos\alpha\) sia \(\sin\alpha\). Uno solo non basta a individuare l’angolo (per esempio, \(\cos\alpha = \dfrac{1}{2}\) da solo lascia due possibilità, \(\alpha = \dfrac{\pi}{3}\) e \(-\dfrac{\pi}{3}\)).
\(\alpha\) è un angolo notevole come \(\dfrac{\pi}{6}\) o \(\dfrac{\pi}{4}\) solo quando la coppia di coefficienti ha una forma particolare, come \((1\,;\,1)\) o \((\sqrt{3}\,;\,1)\). Se non è un angolo notevole, si scrive come condizione, per esempio «l’angolo \(\alpha\) con \(\cos\alpha = \dfrac{3}{5},\ \sin\alpha = \dfrac{4}{5}\)» (la calcolatrice lo mostra nello stesso modo).
Massimo e minimo dell’espressione composta
Grafico
Notazione matematica
(la notazione abituale)
\(-R\)
\(\le\)
\(a\sin\theta + b\cos\theta\)
\(\le\)
\(R\)
A parole
(i simboli sostituiti da parole)
②
\(-R\): minimo
\(\le\)
①
\(a\sin\theta + b\cos\theta\): l’espressione (\(= R\sin(\theta + \alpha)\))
\(\le\)
③
\(R\): massimo
La formula a parole
①
Il valore
dell’espressione \(a\sin\theta + b\cos\theta\)
②
varia tra il
minimo \(-R\)
③
e il
massimo \(R\)
(al variare di \(\theta\) su tutti i numeri reali)
Un esempio semplice
Per \(3\sin\theta + 4\cos\theta\) (\(R = \sqrt{3^{2} + 4^{2}} = 5\)):
minimo \(-5\)
\(\le\)
\(3\sin\theta + 4\cos\theta\)
\(\le\)
massimo \(5\)
\(R = \sqrt{3^{2} + 4^{2}} = \sqrt{25} = 5\)
\(-5 \le 3\sin\theta + 4\cos\theta \le 5\)
L’idea chiave
Dopo la composizione, \(a\sin\theta + b\cos\theta = R\sin(\theta + \alpha)\). Un seno sta sempre tra \(-1\) e \(1\), quindi l’intera espressione può assumere solo valori da \(-R\) a \(R\). Il classico esercizio «trova il massimo e il minimo di un’espressione che mescola seno e coseno» si risolve in questa riga, una volta che sai fare la composizione.
Il massimo si ha quando \(\sin(\theta + \alpha) = 1\), cioè quando \(\theta + \alpha = \dfrac{\pi}{2} + 2n\pi\) (\(n\) è un numero intero), quindi \(\theta = \dfrac{\pi}{2} - \alpha + 2n\pi\). Il minimo si ha dove il seno vale \(-1\), cioè per \(\theta = -\dfrac{\pi}{2} - \alpha + 2n\pi\).
Se \(\theta\) è limitato (per esempio \(0 \le \theta < 2\pi\)), prima trova l’intervallo di \(\theta + \alpha\), poi cerca in quell’intervallo gli angoli in cui il seno è massimo e minimo. Attenzione: il massimo o il minimo può trovarsi anche a un estremo dell’intervallo.
Il metodo dell’angolo aggiunto riscrive \(a\sin\theta + b\cos\theta\) come un’unica sinusoide \(R\sin(\theta + \alpha)\) di ampiezza \(R = \sqrt{a^{2} + b^{2}}\) e angolo \(\alpha\) (\(\cos\alpha = \dfrac{a}{R},\ \sin\alpha = \dfrac{b}{R}\)). Una volta composta, leggi subito il massimo \(R\) e il minimo \(-R\).
Simboli e termini
Simboli
| \(a,\ b\) | a, b | I coefficienti dell’espressione. \(a\) è il numero davanti a \(\sin\theta\) e \(b\) è il numero davanti a \(\cos\theta\). Per tradizione, le lettere dell’inizio dell’alfabeto, \(a,\ b,\ c\), indicano numeri fissati. |
| \(\theta\) | teta | Una lettera greca usata spesso per gli angoli. Non è la parola greca per «angolo»: è semplicemente diventata la consuetudine usarla per gli angoli. In questa pagina è l’angolo variabile dell’espressione. |
| \(R\) | erre | L’ampiezza (altezza) della sinusoide risultante. Si dice che la lettera venga da «raggio». È uguale a \(\sqrt{a^{2} + b^{2}}\), la distanza dall’origine del punto \((a\,;\,b)\), ed è il valore massimo dell’espressione. |
| \(\alpha\) | alfa | L’angolo di traslazione nella forma con il seno. È la prima lettera dell’alfabeto greco, secondo l’uso di indicare con lettere greche gli angoli aggiuntivi. Coincide con l’angolo tra l’asse \(x\) e la freccia che va dall’origine al punto \((a\,;\,b)\). |
| \(\beta\) | beta | L’angolo di traslazione nella forma con il coseno, la seconda lettera dell’alfabeto greco. Vale \(\beta = \dfrac{\pi}{2} - \alpha\) (angoli che differiscono di \(2\pi\), un giro intero, sono nella stessa posizione, quindi si può sommare o sottrarre \(2\pi\) per avere \(-\pi < \beta \le \pi\)). |
| \(\sin\) | seno | Una delle funzioni goniometriche, abbreviazione di seno. Sulla circonferenza goniometrica, \(\sin\theta\) è l’ordinata (la coordinata \(y\)) del punto all’angolo \(\theta\). |
| \(\cos\) | coseno | Una delle funzioni goniometriche, abbreviazione di coseno. Sulla circonferenza goniometrica, \(\cos\theta\) è l’ascissa (la coordinata \(x\)) del punto all’angolo \(\theta\). |
| \(\pi\) | pi greco | Il pi greco (circa 3,14). In radianti, \(\pi\) vale esattamente 180°, quindi \(\dfrac{\pi}{4}\) è 45° e \(\dfrac{\pi}{6}\) è 30°. |
| \(2n\pi\) | due enne pi greco | Un modo di scrivere «un multiplo intero di \(2\pi\) (un giro intero)». \(n\) è un numero intero. Un angolo torna nella stessa posizione dopo ogni giro intero (\(2\pi\)), quindi ci sono infiniti \(\theta\) che danno il massimo o il minimo, a distanza di \(2\pi\) l’uno dall’altro. |
| \(\sqrt{\phantom{2}}\) | radice quadrata | Il simbolo della radice quadrata. \(\sqrt{2}\) è il numero positivo che elevato al quadrato dà 2. Compare nell’ampiezza \(R = \sqrt{a^{2} + b^{2}}\). |
| \(\le\) | minore o uguale a | Il simbolo di «minore o uguale». \(-R \le f(\theta) \le R\) significa che \(f(\theta)\) è almeno \(-R\) e al massimo \(R\). |
Termini
| metodo dell’angolo aggiunto | Riscrivere un’espressione della forma \(a\sin\theta + b\cos\theta\) come un’unica sinusoide \(R\sin(\theta + \alpha)\). Funziona usando al contrario le formule di addizione. Si incontra nella goniometria della scuola secondaria di secondo grado. |
| sinusoide | Un’onda che sale e scende in modo regolare e ripetuto, come il grafico di \(y = \sin\theta\). Si dice anche onda sinusoidale. Molte onde intorno a noi, come il suono, la luce e la corrente alternata, hanno questa forma. |
| ampiezza | L’«altezza» di un’onda: la distanza dal centro dell’onda (0 in questa pagina) al suo punto più alto. L’ampiezza di \(y = R\sin(\theta + \alpha)\) è \(R\), e l’onda oscilla tra \(-R\) e \(R\). |
| periodo | La lunghezza che serve a un’onda per completare un ciclo e ricominciare. Il periodo di \(\sin\theta\) è \(2\pi\) (360°), e la composizione non lo cambia. |
| sfasamento | Di quanto un’onda è traslata in orizzontale. \(R\sin(\theta + \alpha)\) è l’onda \(R\sin\theta\) traslata di \(\alpha\) verso sinistra, e questa traslazione si chiama sfasamento. |
| formula di addizione | Una formula come \(\sin(\theta + \alpha) = \sin\theta\cos\alpha + \cos\theta\sin\alpha\) che scrive una funzione goniometrica di una somma di angoli con le funzioni goniometriche di ciascun angolo. Insieme alle formule di sottrazione si chiamano anche formule di addizione e sottrazione. Il metodo dell’angolo aggiunto le usa al contrario, da destra a sinistra. |
| angolo notevole | Un angolo come \(30°\) (\(\dfrac{\pi}{6}\)), \(45°\) (\(\dfrac{\pi}{4}\)) o \(60°\) (\(\dfrac{\pi}{3}\)) i cui valori goniometrici sono valori esatti semplici come \(\dfrac{1}{2}\) o \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\). Gli esercizi dei libri di testo su questo argomento sono quasi sempre costruiti in modo che \(\alpha\) sia un angolo notevole. |
| radiante | L’unità che misura un angolo con la lunghezza dell’arco su una circonferenza di raggio 1. \(180° = \pi\) radianti, quindi \(45°\) è \(\dfrac{\pi}{4}\). Per le funzioni goniometriche, dalla goniometria in poi si usano di norma i radianti e non i gradi. |
| circonferenza goniometrica | La circonferenza di raggio 1 con il centro nell’origine. Il punto all’angolo \(\theta\) ha coordinate \((\cos\theta\,;\,\sin\theta)\), e perciò è uno strumento per vedere i valori delle funzioni goniometriche. |
| massimo | Il valore più grande che una funzione può assumere. In \(R\sin(\theta + \alpha)\) il seno non supera \(1\), quindi il massimo \(R\) si vede subito. |
| minimo | Il valore più piccolo che una funzione può assumere. In \(R\sin(\theta + \alpha)\) il seno non scende sotto \(-1\), quindi il minimo \(-R\) si vede subito. |
| quadrante | Una delle quattro regioni in cui l’asse \(x\) e l’asse \(y\) dividono il piano cartesiano. In alto a destra c’è il primo quadrante, poi il secondo, il terzo e il quarto in senso antiorario. Il quadrante in cui si trova l’angolo (il punto sulla circonferenza goniometrica) decide i segni di \(\cos\) e \(\sin\). |
Cosa conviene sapere prima
Ecco cosa ti aiuta a usare il calcolo di questa pagina capendone il senso, non solo premendo il pulsante.
Se ti blocchi, tornare a questi argomenti è la via più rapida per andare avanti.
| Radici quadrate (classi 2ª–3ª della secondaria di primo grado, 12-14 anni) |
|
| Il teorema di Pitagora (classi 2ª–3ª della secondaria di primo grado, 12-14 anni) |
|
| Funzioni goniometriche nel triangolo rettangolo (scuola secondaria di secondo grado, 14-18 anni) |
|
| La circonferenza goniometrica e i radianti (scuola secondaria di secondo grado, 16-18 anni) |
|
| Grafici delle funzioni goniometriche (scuola secondaria di secondo grado, 16-18 anni) |
|
| Formule di addizione (scuola secondaria di secondo grado, 16-18 anni) |
|
Come calcolarlo con Excel
Copia tutta la tabella qui sotto e incollala nella cella A1 di Excel. Funziona così com’è.
Tabella per trovare l’ampiezza R e l’angolo α
| Coefficiente a di sen θ | 1 |
| Coefficiente b di cos θ | 1 |
| Ampiezza R | =RADQ(B1^2+B2^2) |
| Angolo α (radianti) | =ARCTAN.2(B1;B2) |
| Angolo α (gradi) | =GRADI(B4) |
Tabella per la forma con il coseno (angolo β)
| Coefficiente a di sen θ | 1 |
| Coefficiente b di cos θ | 1 |
| Ampiezza R | =RADQ(B1^2+B2^2) |
| Angolo β (radianti) | =ARCTAN.2(B2;B1) |
| Angolo β (gradi) | =GRADI(B4) |
Tabella per trovare il massimo, il minimo e il θ del massimo
| Coefficiente a di sen θ | 3 |
| Coefficiente b di cos θ | 4 |
| Ampiezza R | =RADQ(B1^2+B2^2) |
| Massimo | =B3 |
| Minimo | =-B3 |
| θ del massimo (radianti) | =PI.GRECO()/2-ARCTAN.2(B1;B2) |
Dopo aver incollato, le righe in alto (i coefficienti) sono i dati da inserire e le righe sotto si calcolano da sole.
«^» è la potenza, RADQ è la radice quadrata e ARCTAN.2(x; y) restituisce l’angolo della direzione del punto (x ; y). α è la direzione del punto (a ; b), quindi si scrive =ARCTAN.2(B1;B2), mentre β è la direzione del punto (b ; a), quindi si scrive =ARCTAN.2(B2;B1). Attenzione all’ordine scambiato degli argomenti.
La prima tabella è per sen θ + cos θ: R vale 1,41421… (= √2) e α vale 0,78539… (= π/4) = 45°.
La terza tabella è per 3 sen θ + 4 cos θ: il massimo è 5, il minimo è −5 e il massimo si ha per θ = 0,64350… (radianti).
«^» è la potenza, RADQ è la radice quadrata e ARCTAN.2(x; y) restituisce l’angolo della direzione del punto (x ; y). α è la direzione del punto (a ; b), quindi si scrive =ARCTAN.2(B1;B2), mentre β è la direzione del punto (b ; a), quindi si scrive =ARCTAN.2(B2;B1). Attenzione all’ordine scambiato degli argomenti.
La prima tabella è per sen θ + cos θ: R vale 1,41421… (= √2) e α vale 0,78539… (= π/4) = 45°.
La terza tabella è per 3 sen θ + 4 cos θ: il massimo è 5, il minimo è −5 e il massimo si ha per θ = 0,64350… (radianti).
Come calcolarlo con Fogli Google
Copia tutta la tabella qui sotto e incollala nella cella A1 di Fogli Google. Funziona così com’è.
Tabella per trovare l’ampiezza R e l’angolo α
| Coefficiente a di sen θ | 1 |
| Coefficiente b di cos θ | 1 |
| Ampiezza R | =RADQ(B1^2+B2^2) |
| Angolo α (radianti) | =ARCTAN.2(B1;B2) |
| Angolo α (gradi) | =GRADI(B4) |
Tabella per la forma con il coseno (angolo β)
| Coefficiente a di sen θ | 1 |
| Coefficiente b di cos θ | 1 |
| Ampiezza R | =RADQ(B1^2+B2^2) |
| Angolo β (radianti) | =ARCTAN.2(B2;B1) |
| Angolo β (gradi) | =GRADI(B4) |
Tabella per trovare il massimo, il minimo e il θ del massimo
| Coefficiente a di sen θ | 3 |
| Coefficiente b di cos θ | 4 |
| Ampiezza R | =RADQ(B1^2+B2^2) |
| Massimo | =B3 |
| Minimo | =-B3 |
| θ del massimo (radianti) | =PI.GRECO()/2-ARCTAN.2(B1;B2) |
Valgono le stesse formule di Excel. Copia tutta la tabella, incollala nella cella A1 e sostituisci i coefficienti con i tuoi numeri.
Come calcolarlo con Python
import math
sin_coefficient = 1 # a (coefficiente di sen θ)
cos_coefficient = 1 # b (coefficiente di cos θ)
# Ampiezza R = √(a² + b²) (hypot restituisce la radice quadrata della somma dei quadrati)
amplitude = math.hypot(sin_coefficient, cos_coefficient)
# Angolo α (la direzione del punto (a ; b), in radianti)
alpha = math.atan2(cos_coefficient, sin_coefficient)
print(f"Ampiezza R = {amplitude}")
print(f"Angolo α = {alpha} radianti = {math.degrees(alpha)} gradi")
print(f"Massimo = {amplitude}, minimo = {-amplitude}")
print(f"θ del massimo = {math.pi / 2 - alpha} radianti (+ 2nπ)")
Funziona con il solo modulo math della libreria standard. Questo esempio compone sen θ + cos θ. Eseguendolo si stampano l’ampiezza 1,4142… (= √2) e l’angolo 0,7853… radianti (= π/4 = 45 gradi). Non può dare valori esatti come √2, quindi per la forma esatta usa la calcolatrice di questa pagina. Cambia i coefficienti e riesegui.
La formula in LaTeX e in altre notazioni matematiche (da copiare)
Metodo dell’angolo aggiunto (scrittura come seno)
a·sinθ + b·cosθ = R·sin(θ + α)
a\sin\theta + b\cos\theta = R\sin(\theta + \alpha)
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>a</mi><mo>⁢</mo><mi>sin</mi><mo>⁡</mo><mi>θ</mi>
<mo>+</mo>
<mi>b</mi><mo>⁢</mo><mi>cos</mi><mo>⁡</mo><mi>θ</mi>
<mo>=</mo>
<mi>R</mi><mo>⁢</mo><mi>sin</mi><mo>⁡</mo>
<mo>(</mo><mi>θ</mi><mo>+</mo><mi>α</mi><mo>)</mo>
</mrow>
</math>
a sin(theta) + b cos(theta) = R sin(theta + alpha)
a Sin[t] + b Cos[t] == Sqrt[a^2 + b^2] Sin[t + ArcTan[a, b]]
a*sin(theta) + b*cos(theta) = sqrt(a^2 + b^2)*sin(theta + arctan(b, a));
R = sqrt(a^2 + b^2); alpha = atan2(b, a); f = R*sin(theta + alpha);
a sin(θ) + b cos(θ) = R sin(θ + α)
Come trovare l’ampiezza \(R\) e l’angolo \(\alpha\)
R = √(a² + b²), cosα = a/R, sinα = b/R
R = \sqrt{a^{2} + b^{2}},\quad \cos\alpha = \frac{a}{R},\quad \sin\alpha = \frac{b}{R}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>R</mi><mo>=</mo>
<msqrt><mrow><msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup></mrow></msqrt>
<mo>,</mo>
<mi>cos</mi><mo>⁡</mo><mi>α</mi><mo>=</mo>
<mfrac><mi>a</mi><mi>R</mi></mfrac>
<mo>,</mo>
<mi>sin</mi><mo>⁡</mo><mi>α</mi><mo>=</mo>
<mfrac><mi>b</mi><mi>R</mi></mfrac>
</mrow>
</math>
R = sqrt(a^2 + b^2), cos(alpha) = a/R, sin(alpha) = b/R
R = Sqrt[a^2 + b^2]; alpha = ArcTan[a, b]
R := sqrt(a^2 + b^2); alpha := arctan(b, a);
R = sqrt(a^2 + b^2); alpha = atan2(b, a);
R = √(a^2 + b^2), cos(α) = a/R, sin(α) = b/R
Massimo e minimo dell’espressione composta
−R ≤ a·sinθ + b·cosθ ≤ R
-R \le a\sin\theta + b\cos\theta \le R
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mo>−</mo><mi>R</mi>
<mo>≤</mo>
<mi>a</mi><mo>⁢</mo><mi>sin</mi><mo>⁡</mo><mi>θ</mi>
<mo>+</mo>
<mi>b</mi><mo>⁢</mo><mi>cos</mi><mo>⁡</mo><mi>θ</mi>
<mo>≤</mo>
<mi>R</mi>
</mrow>
</math>
-R <= a sin(theta) + b cos(theta) <= R
MaxValue[a Sin[t] + b Cos[t], t]
maximize(a*sin(theta) + b*cos(theta), theta = 0 .. 2*Pi);
[tmin, fneg] = fminbnd(@(t) -(a*sin(t) + b*cos(t)), 0, 2*pi); fmax = -fneg;
−R ≤ a sin(θ) + b cos(θ) ≤ R
Come chiedere a ChatGPT di fare il calcolo
Sei un assistente di calcolo per le funzioni goniometriche. Esegui il calcolo seguente eseguendo davvero del codice Python e basa la risposta solo sui numeri del risultato dell’esecuzione (non rispondere a mente né a intuito). Scrivi 3 sen θ + 4 cos θ nella forma R sen(θ + α). Mostra ciascuno dei punti seguenti: 1. L’ampiezza R (anche come valore esatto con una radice quadrata, se si può scrivere così) 2. I valori di cos α e sen α (come frazioni) e i valori approssimati di α (sia in radianti sia in gradi) 3. Il massimo e il minimo di questa espressione e il θ in cui è massima (in radianti) In Python usa math.hypot e math.atan2. Mostra le formule usate e i numeri del risultato dell’esecuzione.
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Calcola seno, coseno e tangente di un angolo θ come valori esatti e decimali, e ricava l’angolo da un valore. Mostra gradi e radianti affiancati
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