Scrivi 2 o più numeri separati da punto e virgola ( ; ). Puoi calcolare il mcm di 3 o più numeri in una volta, e vengono mostrati i passaggi con la scomposizione in fattori primi e il massimo comun divisore (MCD).
Scrivi 2 o più numeri interi positivi separati da punto e virgola (per esempio 4 ; 6). Non si possono usare 0, numeri decimali e numeri negativi.
Risultato
Scrivi i numeri separati da punto e virgola nel campo a sinistra e fai clic su «Calcola». Qui compare il risultato.
Indice
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Cosa puoi fare in questa pagina
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A cosa serve questo calcolo?
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Come si usa
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Formula
-
Simboli e termini
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Cosa conviene sapere prima
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Come calcolarlo con Excel
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Come calcolarlo con Fogli Google
-
Come calcolarlo con Python
-
La formula in LaTeX e in altre notazioni matematiche (da copiare)
-
Come chiedere a ChatGPT di fare il calcolo
-
I punti di forza di DataChef
-
Funzioni correlate
-
Tutte le calcolatrici di NumberChef
Cosa puoi fare in questa pagina
- Scrivi 2 o più numeri separati da punto e virgola ( ; ) e ottieni subito il minimo comune multiplo (mcm)
- Non solo «Qual è il mcm di 4 e 6?», ma anche 3 o più numeri insieme, come «Qual è il mcm di 12, 18 e 30?»
- I passaggi mostrano la scomposizione in fattori primi di ogni numero, così capisci perché la risposta è quella, non solo qual è
- Per riferimento viene mostrato anche il massimo comun divisore (MCD)
- In questa pagina trovi anche una spiegazione semplice delle formule e le formule da copiare e incollare in Excel, Fogli Google e Python
Si possono scrivere solo numeri interi positivi (1, 2, 3, …). Il minimo comune multiplo si definisce per numeri interi positivi, quindi non si possono usare 0, numeri decimali e numeri negativi.
A cosa serve questo calcolo?
Trovare il denominatore comune per sommare o sottrarre frazioni (l’uso più frequente)
Per calcolare \(\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{6}\) bisogna rendere uguali i denominatori 4 e 6. Il minimo comune denominatore è il mcm, \(\mathrm{mcm}(4,6) = 12\), quindi la somma è \(\dfrac{3}{12} + \dfrac{2}{12} = \dfrac{5}{12}\).
Anche moltiplicare i denominatori e ottenere 24 funziona, ma il mcm tiene piccoli i numeri e rende più facile semplificare alla fine. Dalla matematica della scuola a tutti i giorni, è qui che il mcm si usa di più.
Trovare quando due autobus o treni partiranno di nuovo insieme
Due linee di autobus partono insieme dalla stessa fermata, una ogni 12 minuti e una ogni 18 minuti. Partiranno di nuovo insieme dopo \(\mathrm{mcm}(12,18) = 36\) minuti.
Il momento in cui due cose che si ripetono con cicli diversi si ritrovano allineate lo dà il mcm. È un classico problema di matematica a scuola e uno strumento pratico per ragionare su orari e turni.
Comprare würstel e panini senza che ne avanzino
I würstel si vendono in confezioni da 10 e i panini in confezioni da 8. Per averne esattamente lo stesso numero, il minimo che puoi comprare è \(\mathrm{mcm}(10,8) = 40\) di ciascuno, cioè 4 confezioni di würstel e 5 confezioni di panini.
Far combaciare cose vendute in confezioni di taglia diversa capita ovunque, dalla spesa per una grigliata all’ordine di pezzi per una fabbrica.
Progettare gli ingranaggi (macchine e orologi)
Una ruota dentata con 12 denti ingrana con una con 18 denti. I due denti che si toccavano all’inizio si ritrovano dopo il passaggio di \(\mathrm{mcm}(12,18) = 36\) denti (3 giri della ruota piccola e 2 di quella grande).
Nella progettazione delle macchine si scelgono spesso numeri di denti primi tra loro per rendere grande il mcm, così le stesse coppie di denti non si colpiscono sempre e non si consumano in modo irregolare.
Turni che tornano insieme (vita di tutti i giorni)
Due amici si alternano a innaffiare le piante del palazzo: uno passa ogni 5 giorni e l’altro ogni 7 giorni. Saranno di turno nello stesso giorno ogni \(\mathrm{mcm}(5,7) = 35\) giorni.
Poiché 5 e 7 sono entrambi numeri primi, il loro mcm è semplicemente \(5 \times 7\). Quanto tempo ci vuole perché cose con cicli diversi si ritrovino allineate è esattamente ciò che dice il mcm.
Formula
mcm di due numeri (con il MCD)
Notazione matematica
(la notazione abituale)
\(\mathrm{mcm}(a,\,b)\)
\(=\)
\(a\)
\(\times\)
\(b\)
\(\div\)
\(\mathrm{MCD}(a,\,b)\)
A parole
(i simboli sostituiti da parole)
④
\(\mathrm{mcm}(a,b)\): minimo comune multiplo
\(=\)
①
\(a\): primo numero
\(\times\)
②
\(b\): secondo numero
\(\div\)
③
\(\mathrm{MCD}(a,b)\): massimo comun divisore
La formula a parole
①
Moltiplica il
\(a\): primo numero
②
per il
\(b\): secondo numero
③
dividi per il
\(\mathrm{MCD}(a,b)\): massimo comun divisore
④
e ottieni il
\(\mathrm{mcm}(a,b)\): minimo comune multiplo
Un esempio semplice
Il mcm di 4 e 6 (il loro MCD è 2) è
mcm di 4 e 6
\(=\)
primo numero (4)
\(\times\)
secondo numero (6)
\(\div\)
MCD (2)
\(4 \times 6 \div 2 = 24 \div 2 = 12\)
L’idea chiave
Se moltiplichi e basta i due numeri, la parte che hanno in comune (il massimo comun divisore) viene contata due volte. Dividendo una volta per questo si toglie la copia in più, e quello che resta è il minimo comune multiplo.
Quando il MCD è 1 (i numeri sono primi tra loro), dividere per 1 non cambia nulla, quindi il mcm è semplicemente il prodotto \(\mathrm{mcm}(a,b) = a \times b\) (per 8 e 9, \(8 \times 9 = 72\)).
Con la scomposizione in fattori primi (vale anche per 3 o più numeri)
Notazione matematica
(la notazione abituale)
\(L\)
\(=\)
\(p_1^{\,a_1} \times p_2^{\,a_2} \times \cdots \times p_k^{\,a_k}\)
A parole
(i simboli sostituiti da parole)
②
\(L\): minimo comune multiplo
\(=\)
①
prodotto delle potenze più alte di ogni numero primo che compare
La formula a parole
①
Scrivi ogni numero come prodotto di numeri primi e prendi il
prodotto delle potenze più alte di ogni numero primo che compare
②
per ottenere il
\(L\): minimo comune multiplo
Un esempio semplice
Per il mcm di 12, 18 e 30: le scomposizioni in fattori primi sono \(12 = 2^2 \times 3\), \(18 = 2 \times 3^2\) e \(30 = 2 \times 3 \times 5\), e le potenze più alte dei numeri primi 2, 3 e 5 sono \(2^2\), \(3^2\) e \(5\), quindi
mcm di 12, 18 e 30, \(L\)
\(=\)
prodotto delle potenze più alte \(2^2 \times 3^2 \times 5\)
\(2^2 \times 3^2 \times 5 = 4 \times 9 \times 5 = 180\)
L’idea chiave
Perché la potenza più alta? Perché il minimo comune multiplo deve essere un multiplo di tutti i numeri. Per esempio, per essere un multiplo di \(12 = 2^2 \times 3\) servono due fattori 2, quindi l’esponente di 2 si pone uguale a 2, il più grande che compare. Per ogni numero primo, si sceglie il numero che ne ha più bisogno: è tutta l’idea di questo metodo.
Anche i passaggi mostrati dalla calcolatrice di questa pagina usano questo metodo della scomposizione in fattori primi.
mcm di 3 o più numeri (due alla volta)
Notazione matematica
(la notazione abituale)
\(\mathrm{mcm}(a,\,b,\,c)\)
\(=\)
\(\mathrm{mcm}(m,\,c)\)
\(m\)
\(=\)
\(\mathrm{mcm}(a,\,b)\)
A parole
(i simboli sostituiti da parole)
③
mcm di tutti e tre i numeri
\(=\)
②
mcm di \(m\) e \(c\)
①
\(m\): mcm di \(a\) e \(b\)
\(=\)
\(\mathrm{mcm}(a,b)\): mcm di \(a\) e \(b\)
La formula a parole
①
Prima trova il
\(m\): mcm di \(a\) e \(b\)
②
poi trova il
mcm di \(m\) e \(c\)
③
e quello è il
mcm di tutti e tre i numeri
(per 4 o più numeri continua a ripetere lo stesso passaggio)
Un esempio semplice
Per il mcm di 12, 18 e 30, trova prima il mcm di 12 e 18 (36), poi il mcm di quel 36 e 30:
mcm di 12, 18 e 30
\(=\)
mcm di «il mcm di 12 e 18 (36)» e 30
\(\mathrm{mcm}(12,\,18) = 36\)
\(\mathrm{mcm}(36,\,30) = 180\)
L’idea chiave
Puoi cominciare da due numeri qualsiasi e la risposta è la stessa (l’ordine non cambia il risultato). Anche la calcolatrice di questa pagina usa questo metodo a due alla volta per gestire un numero qualsiasi di dati.
Il modo di base per trovare il minimo comune multiplo è scrivere ogni numero come prodotto di numeri primi, scegliere la potenza più alta di ciascun numero primo che compare e moltiplicarle. Per due numeri la scorciatoia è «il prodotto dei due numeri diviso il loro MCD». Per 3 o più numeri si trova il mcm due numeri alla volta.
Simboli e termini
Simboli
| \(\mathrm{mcm}(a,b)\) | mcm di a e b | Il minimo comune multiplo di \(a\) e \(b\). Si scrive anche m.c.m. e, nei testi internazionali, lcm (dall’inglese «least common multiple»). |
| \(\mathrm{MCD}(a,b)\) | MCD di a e b | Il massimo comun divisore di \(a\) e \(b\). Si scrive anche M.C.D. e, nei testi internazionali, gcd (dall’inglese «greatest common divisor»). |
| \(2^2\) | due al quadrato | Una potenza: il piccolo numero in alto (l’esponente) dice quante volte si moltiplica lo stesso numero. \(2^2 = 2 \times 2 = 4\) e \(3^2 = 3 \times 3 = 9\). |
| \(p_1, p_2, \ldots, p_k\) | p uno, p due | I numeri primi che compaiono nelle scomposizioni in fattori primi, dal più piccolo al più grande. Il piccolo numero in basso (il pedice) dice quale numero primo della lista è. |
| \(a_1, a_2, \ldots, a_k\) | a uno, a due | Per ogni numero primo, l’esponente più grande (il numero di volte che si moltiplica) che compare in una qualsiasi delle scomposizioni in fattori primi. |
| \(m\) | emme | Il mcm dei primi due numeri, trovato lungo il percorso. Si usa quando si trova il mcm di 3 o più numeri due alla volta. |
Termini
| multiplo | Un numero moltiplicato per 1, 2, 3 e così via. I multipli di 6 sono 6, 12, 18, 24, … |
| multiplo comune | Un multiplo in comune a due o più numeri. I multipli comuni di 4 e 6 sono 12, 24, 36, … e continuano all’infinito. |
| minimo comune multiplo (mcm) | Il più piccolo tra i multipli comuni. È il valore che trova questa pagina. |
| divisore | Un numero intero che divide esattamente un numero. I divisori di 12 sono 1, 2, 3, 4, 6 e 12. |
| massimo comun divisore (MCD) | Il più grande divisore in comune a due o più numeri. Va spesso a braccetto con il mcm, quindi questa pagina lo mostra per riferimento. |
| numero primo | Un numero intero maggiore o uguale a 2 che ha come divisori solo 1 e se stesso (2, 3, 5, 7, 11, …). L’1 non è un numero primo. |
| scomposizione in fattori primi | Scrivere un numero intero come prodotto di soli numeri primi. Esempio: \(12 = 2 \times 2 \times 3 = 2^2 \times 3\). |
| primi tra loro | Si dice di due numeri il cui MCD è 1 (non hanno nessun fattore primo in comune). Il mcm di due numeri primi tra loro è semplicemente il loro prodotto. |
| minimo comune denominatore | Il minimo comune multiplo dei denominatori. Per sommare o sottrarre frazioni con denominatori diversi le riscrivi con lo stesso denominatore, e il minimo comune denominatore è il più semplice da usare. È il caso in cui il mcm si usa più spesso. |
Cosa conviene sapere prima
Ecco che cosa conviene sapere per usare il calcolo di questa pagina capendo davvero che cosa fai, e non solo premendo il pulsante.
| Tabelline e divisione (classi 2ª–3ª della primaria, 7-9 anni) |
|
| Multipli e divisori (classi 4ª–5ª della primaria, 9-11 anni) |
|
| Denominatore comune (classi 4ª–5ª della primaria, 9-11 anni) |
|
| Numeri primi e scomposizione in fattori primi (scuola secondaria di primo grado, 11-14 anni) |
|
| Potenze (scuola secondaria di primo grado, 11-14 anni) |
|
Come calcolarlo con Excel
Copia tutta la tabella qui sotto e incollala nella cella A1 di Excel. Funziona così com’è.
Tabella per trovare il mcm di due numeri (con il MCD)
| Primo numero a | 4 |
| Secondo numero b | 6 |
| mcm(a; b) | =B1*B2/MCD(B1;B2) |
Tabella per trovare il mcm di 3 o più numeri
| Primo numero | 12 |
| Secondo numero | 18 |
| Terzo numero | 30 |
| mcm | =MCM(B1;B2;B3) |
Tabella per trovare il mcm due alla volta
| Primo numero | 12 |
| Secondo numero | 18 |
| Terzo numero | 30 |
| Prima, il mcm dei primi due, m | =MCM(B1;B2) |
| mcm di tutti e tre | =MCM(B4;B3) |
Dopo aver incollato la tabella, le celle in alto della colonna B sono i dati di ingresso e l’ultima riga si calcola da sola.
In Excel «MCD» trova il massimo comun divisore e «MCM» trova il minimo comune multiplo. La funzione MCM fa per te la scomposizione in fattori primi della formula 2.
La prima tabella mostra 12 in B3 e la seconda 180 in B4. Basta sostituire i numeri con i tuoi (la funzione MCM accetta più numeri, per esempio «=MCM(B1;B2;B3;B4)»).
In Excel «MCD» trova il massimo comun divisore e «MCM» trova il minimo comune multiplo. La funzione MCM fa per te la scomposizione in fattori primi della formula 2.
La prima tabella mostra 12 in B3 e la seconda 180 in B4. Basta sostituire i numeri con i tuoi (la funzione MCM accetta più numeri, per esempio «=MCM(B1;B2;B3;B4)»).
Come calcolarlo con Fogli Google
Copia tutta la tabella qui sotto e incollala nella cella A1 di Fogli Google. Funziona così com’è.
Tabella per trovare il mcm di due numeri (con il MCD)
| Primo numero a | 4 |
| Secondo numero b | 6 |
| mcm(a; b) | =B1*B2/MCD(B1;B2) |
Tabella per trovare il mcm di 3 o più numeri
| Primo numero | 12 |
| Secondo numero | 18 |
| Terzo numero | 30 |
| mcm | =MCM(B1;B2;B3) |
Tabella per trovare il mcm due alla volta
| Primo numero | 12 |
| Secondo numero | 18 |
| Terzo numero | 30 |
| Prima, il mcm dei primi due, m | =MCM(B1;B2) |
| mcm di tutti e tre | =MCM(B4;B3) |
Fogli Google ha le stesse funzioni MCM e MCD (con le impostazioni in italiano), quindi le formule di Excel funzionano così come sono. Copia l’intera tabella, incollala nella cella A1 e sostituisci i numeri con i tuoi.
Come calcolarlo con Python
import math
numbers = [330, 75, 450, 225] # numeri di cui trovare il mcm (2 o più)
least_common_multiple = math.lcm(*numbers)
greatest_common_divisor = math.gcd(*numbers)
print(f"Minimo comune multiplo (mcm): {least_common_multiple}")
print(f"(Per riferimento) massimo comun divisore (MCD): {greatest_common_divisor}")
Funziona solo con la libreria standard (math.lcm richiede Python 3.9 o successivo). «*numbers» passa alla funzione gli elementi della lista uno a uno, quindi va bene con un numero qualsiasi di valori. Cambia i numeri della lista all’inizio ed esegui il codice.
La formula in LaTeX e in altre notazioni matematiche (da copiare)
mcm di due numeri (con il MCD)
mcm(a, b) = a × b ÷ MCD(a, b)
\mathrm{mcm}(a, b) = \dfrac{a \times b}{\mathrm{MCD}(a, b)}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>mcm</mi><mo>⁡</mo>
<mrow><mo>(</mo><mi>a</mi><mo>,</mo><mi>b</mi><mo>)</mo></mrow>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow><mi>a</mi><mo>×</mo><mi>b</mi></mrow>
<mrow><mi>MCD</mi><mo>⁡</mo><mrow><mo>(</mo><mi>a</mi><mo>,</mo><mi>b</mi><mo>)</mo></mrow></mrow>
</mfrac>
</mrow>
</math>
mcm(a, b) = (a xx b) / (MCD(a, b))
a*b/GCD[a, b]
L := a*b/igcd(a, b);
L = a*b/gcd(a, b);
mcm(a, b) = (a × b)/MCD(a, b)
Con la scomposizione in fattori primi (vale anche per 3 o più numeri)
L = p_1^{a_1} \times p_2^{a_2} \times \cdots \times p_k^{a_k}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>L</mi>
<mo>=</mo>
<msubsup><mi>p</mi><mn>1</mn><msub><mi>a</mi><mn>1</mn></msub></msubsup>
<mo>×</mo>
<msubsup><mi>p</mi><mn>2</mn><msub><mi>a</mi><mn>2</mn></msub></msubsup>
<mo>×</mo>
<mo>⋯</mo>
<mo>×</mo>
<msubsup><mi>p</mi><mi>k</mi><msub><mi>a</mi><mi>k</mi></msub></msubsup>
</mrow>
</math>
L = p_1^(a_1) xx p_2^(a_2) xx cdots xx p_k^(a_k)
Product[p[i]^a[i], {i, 1, k}]
L := product(p[i]^a[i], i = 1 .. k);
L = prod(p.^a);
L = p_1^(a_1) × p_2^(a_2) × ⋯ × p_k^(a_k)
mcm di 3 o più numeri (due alla volta)
mcm(a, b, c) = mcm(mcm(a, b), c)
\mathrm{mcm}(a, b, c) = \mathrm{mcm}(\mathrm{mcm}(a, b),\ c)
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>mcm</mi><mo>⁡</mo>
<mrow><mo>(</mo><mi>a</mi><mo>,</mo><mi>b</mi><mo>,</mo><mi>c</mi><mo>)</mo></mrow>
<mo>=</mo>
<mi>mcm</mi><mo>⁡</mo>
<mrow><mo>(</mo><mi>mcm</mi><mo>⁡</mo><mrow><mo>(</mo><mi>a</mi><mo>,</mo><mi>b</mi><mo>)</mo></mrow><mo>,</mo><mi>c</mi><mo>)</mo></mrow>
</mrow>
</math>
mcm(a, b, c) = mcm(mcm(a, b), c)
LCM[LCM[a, b], c]
L := ilcm(ilcm(a, b), c);
L = lcm(lcm(a, b), c);
mcm(a, b, c) = mcm(mcm(a, b), c)
Come chiedere a ChatGPT di fare il calcolo
Sei un assistente per i calcoli con i numeri interi. Fai il calcolo seguente eseguendo davvero del codice Python e basa la risposta solo sui numeri del risultato dell’esecuzione (non rispondere con calcoli a mente né a occhio). Per i quattro numeri 330, 75, 450 e 225, trova ciascuno di questi valori: 1. Il minimo comune multiplo (mcm) 2. Il massimo comun divisore (MCD) 3. La scomposizione in fattori primi di ogni numero Mostra le formule che hai usato e i numeri del risultato dell’esecuzione.
Come si usa
-
1Inserisci i numeriScrivi nei campi i numeri con cui vuoi fare il calcolo
-
2CalcolaFai clic sul pulsante «Calcola»
-
3Guarda il risultatoIl risultato compare subito. Nella stessa pagina trovi anche lo svolgimento del calcolo e la spiegazione della formula
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Nessun obbligo di attribuzione
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Uso commerciale consentito
Uso commerciale gratuito
Nessuna autorizzazione preventiva necessaria
Nessuna autorizzazione preventiva necessaria
Funzioni correlate
Calcolatrice di frazioni (addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione)
Somma, sottrae, moltiplica e divide le frazioni con i passaggi (il minimo comune multiplo dà il denominatore comune)
