Scegli il tipo di curva e scrivi i denominatori (ellisse o iperbole) oppure il coefficiente del termine di primo grado (parabola). La calcolatrice trova i fuochi, i vertici e l’eccentricità, più gli asintoti di un’iperbole o la direttrice di una parabola.
Scrivi solo numeri. Vanno bene numeri decimali e frazioni come 3/4. Per i denominatori a² e b² scrivi il numero scritto sotto x² o y², non il valore di a o b (per x²/9 scrivi 9). Un campo vuoto vale 1 (un denominatore o un coefficiente che non è scritto vale 1).
Risultato e grafico
Scegli il tipo di curva nei campi a sinistra, scrivi i numeri e fai clic su «Calcola». Qui compaiono i fuochi, l’eccentricità e gli altri risultati con un grafico.
Indice
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Cosa puoi fare in questa pagina
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A cosa serve questo calcolo?
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Come si usa
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Formule e figure
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Simboli e termini
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Cosa conviene sapere prima
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Come calcolarlo con Excel
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Come calcolarlo con Fogli Google
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Come calcolarlo con Python
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La formula in LaTeX e in altre notazioni matematiche (da copiare)
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Come chiedere a ChatGPT di fare il calcolo
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I punti di forza di DataChef
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Funzioni correlate
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Tutte le calcolatrici di NumberChef
Cosa puoi fare in questa pagina
- Scrivi i denominatori o il coefficiente e ottieni subito i fuochi, i vertici e l’eccentricità dell’ellisse \(\dfrac{x^{2}}{a^{2}} + \dfrac{y^{2}}{b^{2}} = 1\), dell’iperbole \(\dfrac{x^{2}}{a^{2}} - \dfrac{y^{2}}{b^{2}} = \pm 1\) o della parabola \(y^{2} = 4px\) (e \(x^{2} = 4py\))
- Le risposte sono mostrate sia come valori esatti con \(\sqrt{\ }\), come \(\left(\pm\sqrt{5} ;\ 0\right)\), sia come numeri decimali. Puoi vedere anche i passaggi che trovano i fuochi da \(c^{2} = a^{2} - b^{2}\)
- Per un’iperbole ottieni anche gli asintoti e per una parabola la direttrice. La curva, i fuochi, gli asintoti, la direttrice e i vertici sono disegnati in un grafico
- Puoi controllare nel grafico le definizioni del libro: «la somma (o la differenza) delle distanze dai due fuochi è costante» e «la stessa distanza dal fuoco e dalla direttrice»
- In questa pagina trovi anche la spiegazione chiara delle formule e le formule da copiare e incollare per Excel, Fogli Google e Python
Questa pagina riguarda le forme canoniche con il centro nell’origine (per una parabola, con il vertice nell’origine). Le equazioni traslate, come \(\dfrac{(x-1)^{2}}{9} + \dfrac{y^{2}}{4} = 1\), non sono supportate. Sono supportate le ellissi larghe o alte, le iperboli che si aprono a destra e a sinistra o in alto e in basso e le parabole che si aprono a destra, a sinistra, in alto o in basso.
A cosa serve questo calcolo?
Prevedere le orbite dei pianeti e delle comete (astronomia e voli spaziali)
I pianeti percorrono orbite ellittiche con il Sole in un fuoco (prima legge di Keplero). L’orbita della Terra ha un’eccentricità di circa 0,017, molto vicina a una circonferenza, mentre la cometa di Halley segue un’ellisse lunga e sottile con un’eccentricità di circa 0,97 e torna verso il Sole circa ogni 76 anni.
La stessa matematica è alla base della progettazione delle traiettorie di satelliti e sonde spaziali, e la forma di un’orbita (ellisse, parabola o iperbole) si classifica con la sua eccentricità. Quando una sonda sfugge alla gravità di un pianeta e se ne va, la sua traiettoria è un’iperbole.
Progettare le antenne paraboliche e i fari delle auto (onde radio e ottica)
Una superficie ottenuta facendo ruotare una parabola attorno al suo asse (un paraboloide) ha questa proprietà: le onde radio o la luce che arrivano parallele all’asse si riflettono tutte nel fuoco. Un’antenna parabolica per la TV satellitare concentra i segnali deboli che arrivano dall’alto nel ricevitore posto nel fuoco.
I fari delle auto e i proiettori la usano al contrario: la luce di una sorgente nel fuoco si riflette in un fascio dritto parallelo all’asse. La posizione del fuoco (la \(p\) che calcola questa pagina) è la chiave del progetto.
Frantumare i calcoli renali con le onde d’urto (medicina)
Un’ellisse ha questa proprietà: un’onda che parte da un fuoco si riflette sull’ellisse e si concentra nell’altro fuoco. La litotrissia extracorporea a onde d’urto (ESWL) genera un’onda d’urto in un fuoco di un riflettore ellittico e allinea l’altro fuoco con il calcolo renale all’interno del corpo, frantumandolo senza intervento chirurgico.
Trovare la posizione esatta dei fuochi influisce direttamente sulla precisione della terapia.
Gli specchi secondari nei telescopi e nelle antenne (progettazione ottica)
Un telescopio riflettore di tipo Cassegrain combina uno specchio primario parabolico con uno specchio secondario iperbolico. Usa una proprietà dell’iperboloide, «la luce diretta verso un fuoco si riflette e si concentra nell’altro fuoco», per guidare la luce verso l’oculare in fondo al tubo.
I grandi radiotelescopi e le antenne per le comunicazioni satellitari usano per lo più lo stesso schema, quindi le proprietà dei fuochi di ellissi, iperboli e parabole lavorano insieme dentro un solo dispositivo.
Trovare una posizione dalle differenze dei tempi di arrivo dei segnali (navigazione)
Alcuni sistemi di localizzazione usano la definizione stessa di iperbole: «i punti le cui distanze da due punti fissi differiscono per una costante». Nella navigazione iperbolica come il LORAN, una nave o un aereo misurava la differenza dei tempi di arrivo dei segnali di due stazioni per trovare su quale iperbole si trovava, poi trovava la posizione dove quell’iperbole ne incrociava un’altra di una coppia diversa di stazioni.
Il GPS lo ha sostituito, ma l’idea di restringere una posizione con le differenze di tempo sopravvive, per esempio nella stima della posizione di un cellulare durante una chiamata di emergenza.
Strutture curve nell’edilizia e nell’ingegneria civile (torri di raffreddamento e cavi)
Molte delle enormi torri di raffreddamento delle centrali elettriche hanno la forma di un iperboloide, ottenuto facendo ruotare un’iperbole. Questa superficie curva si può costruire solo con elementi di acciaio dritti disposti in obliquo, eppure è resistente e fa risparmiare materiale.
Il cavo principale di un ponte sospeso è una parabola quando il peso dell’impalcato è distribuito in modo uniforme lungo l’orizzontale. (Un cavo appeso solo al proprio peso forma invece una curva diversa ma simile, la catenaria.) Nei disegni di progetto, equazioni in forma canonica come quelle di questa pagina definiscono queste forme.
Formule e figure
Fuochi di un’ellisse (\(\dfrac{x^{2}}{a^{2}} + \dfrac{y^{2}}{b^{2}} = 1\), \(a > b > 0\))
Figura
Notazione matematica
(la notazione abituale)
\(c^{2}\)
\(=\)
\(a^{2}\)
\(-\)
\(b^{2}\)
A parole
(i simboli sostituiti da parole)
③
\(c^{2}\): quadrato della distanza del centro da un fuoco
\(=\)
①
\(a^{2}\): denominatore di \(x^{2}\) (metà dell’asse maggiore, al quadrato)
\(-\)
②
\(b^{2}\): denominatore di \(y^{2}\) (metà dell’asse minore, al quadrato)
La formula a parole
①
Dal
denominatore \(a^{2}\) di \(x^{2}\)
②
sottrai il
denominatore \(b^{2}\) di \(y^{2}\)
③
e ottieni il
quadrato della distanza \(c\) del centro da un fuoco
(i fuochi sono i due punti \((\pm c ;\ 0)\) sull’asse \(x\))
Un esempio semplice
I fuochi di \(\dfrac{x^{2}}{25} + \dfrac{y^{2}}{9} = 1\) (\(a^{2} = 25,\ b^{2} = 9\)) sono
distanza da un fuoco \(c\), al quadrato
\(=\)
denominatore di \(x^{2}\) (25)
\(-\)
denominatore di \(y^{2}\) (9)
\(c^{2} = 25 - 9 = 16\)
\(c = \sqrt{16} = 4\)
\(F(4 ;\ 0),\quad F′(-4 ;\ 0)\)
L’idea chiave
Un’ellisse è l’insieme dei punti le cui distanze dai due fuochi hanno sempre la stessa somma (\(= 2a\)). Pianta due chiodi su una tavola, fai un anello con un filo attorno a loro, tieni il filo teso con una matita e muovila tutt’intorno: disegni un’ellisse. È esattamente la definizione.
Se il denominatore di \(x^{2}\) è maggiore, l’ellisse è larga e i fuochi sono in \((\pm c ;\ 0)\) sull’asse \(x\). Se il denominatore di \(y^{2}\) è maggiore, l’ellisse è alta, \(c^{2} = b^{2} - a^{2}\), e i fuochi passano in \((0 ;\ \pm c)\) sull’asse \(y\). Ricorda «denominatore maggiore meno denominatore minore» e non sbaglierai la direzione.
Se \(a^{2} = b^{2}\), allora \(c = 0\) e i due fuochi coincidono nel centro: l’ellisse è una circonferenza. Una circonferenza è un caso particolare di ellisse.
Fuochi e asintoti di un’iperbole (\(\dfrac{x^{2}}{a^{2}} - \dfrac{y^{2}}{b^{2}} = 1\))
Figura
Notazione matematica
(la notazione abituale)
\(c^{2}\)
\(=\)
\(a^{2}\)
\(+\)
\(b^{2}\)
A parole
(i simboli sostituiti da parole)
③
\(c^{2}\): quadrato della distanza del centro da un fuoco
\(=\)
①
\(a^{2}\): denominatore di \(x^{2}\) (distanza da un vertice, al quadrato)
\(+\)
②
\(b^{2}\): denominatore di \(y^{2}\)
La formula a parole
①
Al
denominatore \(a^{2}\) di \(x^{2}\)
②
somma il
denominatore \(b^{2}\) di \(y^{2}\)
③
e ottieni il
quadrato della distanza \(c\) del centro da un fuoco
(i fuochi sono i due punti \((\pm c ;\ 0)\) sull’asse \(x\))
Un esempio semplice
I fuochi di \(\dfrac{x^{2}}{9} - \dfrac{y^{2}}{16} = 1\) (\(a^{2} = 9,\ b^{2} = 16\)) sono
distanza da un fuoco \(c\), al quadrato
\(=\)
denominatore di \(x^{2}\) (9)
\(+\)
denominatore di \(y^{2}\) (16)
\(c^{2} = 9 + 16 = 25\)
\(c = \sqrt{25} = 5\)
\(F(5 ;\ 0),\quad F′(-5 ;\ 0)\)
L’idea chiave
Un’iperbole è l’insieme dei punti le cui distanze dai due fuochi differiscono sempre dello stesso numero (\(= 2a\)). Un’ellisse usa \(c^{2} = a^{2} - b^{2}\) (sottrazione) e un’iperbole usa \(c^{2} = a^{2} + b^{2}\) (somma): cambia solo un segno. Il motivo è che in un’ellisse i fuochi stanno dentro i vertici (\(c < a\)), mentre in un’iperbole i fuochi stanno fuori dai vertici (\(c > a\)), quindi \(c^{2}\) è maggiore di \(a^{2}\).
Un’iperbole ha due rette a cui la curva si avvicina sempre di più, dette asintoti: \(y = \pm\dfrac{b}{a}x\) (per l’iperbole dell’esempio, \(y = \pm\dfrac{4}{3}x\)). Quando disegni il grafico, il metodo usuale è tracciare prima gli asintoti e poi disegnare la curva lungo di essi.
Se il secondo membro è \(-1\) (\(\dfrac{x^{2}}{a^{2}} - \dfrac{y^{2}}{b^{2}} = -1\)), l’iperbole si apre in alto e in basso. I fuochi sono in \((0 ;\ \pm c)\) sull’asse \(y\), i vertici sono in \((0 ;\ \pm b)\) e la differenza delle distanze diventa \(2b\). Il modo di trovare \(c\) (somma) e gli asintoti restano gli stessi.
Fuoco e direttrice di una parabola (\(y^{2} = 4px\))
Figura
Notazione matematica
(la notazione abituale)
\(PF\)
\(=\)
\(PH\)
A parole
(i simboli sostituiti da parole)
②
\(PF\): distanza dal fuoco \(F\)
\(=\)
①
\(PH\): distanza dalla direttrice
La formula a parole
①
Una parabola è l’insieme dei punti \(P\) in cui la
distanza dalla direttrice \(PH\)
②
e la
distanza dal fuoco \(F\), \(PF\),
sono sempre uguali
Un esempio semplice
Confrontando \(y^{2} = 8x\) con la forma canonica \(y^{2} = 4px\) si ha \(4p = 8\), quindi
distanza dal fuoco \((2 ;\ 0)\)
\(=\)
distanza dalla direttrice \(x = -2\)
\(4p = 8\)
\(p = \dfrac{8}{4} = 2\)
L’idea chiave
Il fuoco di \(y^{2} = 4px\) è \((p ;\ 0)\) sull’asse \(x\) e la direttrice è la retta verticale \(x = -p\). Se \(p > 0\), la parabola si apre a destra; se \(p < 0\), si apre a sinistra.
Scambiando \(x\) e \(y\) si ottiene \(x^{2} = 4py\), una parabola che si apre in alto o in basso, con fuoco \((0 ;\ p)\) e direttrice orizzontale \(y = -p\). Il grafico familiare di \(y = ax^{2}\) è della stessa famiglia: riscrivilo come \(x^{2} = \dfrac{1}{a}y\) e ha il fuoco \(\left(0 ;\ \dfrac{1}{4a}\right)\) e una direttrice \(y = -\dfrac{1}{4a}\). Nei testi italiani la parabola con asse orizzontale si scrive spesso \(x = ay^{2}\), con fuoco \(\left(\dfrac{1}{4a} ;\ 0\right)\): qui \(p = \dfrac{1}{4a}\).
Il coefficiente si scrive \(4p\) perché così il fuoco e la direttrice vengono nelle forme pulite \((p ;\ 0)\) e \(x = -p\). Quando ti viene data una cosa come \(y^{2} = 8x\), il primo passo è trovare \(p\) da \(4p = 8\).
Eccentricità \(e\) (un numero che descrive la forma della curva)
Notazione matematica
(la notazione abituale)
\(e\)
\(=\)
\(c\)
\(\div\)
\(a\)
A parole
(i simboli sostituiti da parole)
③
\(e\): eccentricità
\(=\)
①
\(c\): distanza del centro da un fuoco
\(\div\)
②
\(a\): distanza del centro da un vertice
La formula a parole
①
Prendi la
distanza \(c\) del centro da un fuoco
②
dividila per la
distanza \(a\) del centro da un vertice (l’estremo dell’asse più lungo)
③
e ottieni l’
eccentricità \(e\)
Un esempio semplice
L’eccentricità di \(\dfrac{x^{2}}{25} + \dfrac{y^{2}}{9} = 1\) (\(a = 5,\ c = 4\)) è
eccentricità \(e\)
\(=\)
distanza da un fuoco (4)
\(\div\)
distanza da un vertice (5)
\(e = \dfrac{4}{5} = 0{,}8\)
L’idea chiave
L’eccentricità è un numero che dice quanto una curva è lontana dall’essere una circonferenza. Una circonferenza ha \(e = 0\), un’ellisse ha \(0 < e < 1\) (più vicino a 0 è più tondeggiante, più vicino a 1 è più lunga e sottile), una parabola ha esattamente \(e = 1\) e un’iperbole ha \(e > 1\).
Le ellissi, le iperboli e le parabole sembrano a prima vista curve senza relazione, ma questo solo numero le dispone in una sequenza continua: circonferenza → ellisse → parabola → iperbole. È uno dei motivi per cui le tre sono raggruppate come coniche.
Per un’ellisse alta o per un’iperbole che si apre in alto e in basso, l’asse più lungo è l’asse \(y\), quindi dividi invece per \(b\) (la distanza del centro da un vertice). Ricorda «distanza da un fuoco ÷ distanza da un vertice» e sbaglierai in qualsiasi direzione.
La distanza \(c\) del centro da un fuoco si trova con \(c^{2} = a^{2} - b^{2}\) per un’ellisse e con \(c^{2} = a^{2} + b^{2}\) per un’iperbole. La parabola \(y^{2} = 4px\) ha il fuoco \((p ;\ 0)\) e la direttrice \(x = -p\). Le tre curve sono una famiglia (le coniche) definita da distanze da un fuoco e le loro forme si ordinano con l’eccentricità \(e\): ellisse \(e < 1\), parabola \(e = 1\), iperbole \(e > 1\).
Simboli e termini
Simboli
| \(a,\ b\) | a, b | Numeri positivi nei denominatori delle forme canoniche dell’ellisse e dell’iperbole (come \(a^{2}\) e \(b^{2}\)). Per un’ellisse, \(a\) è il semiasse nella direzione \(x\) e \(b\) il semiasse nella direzione \(y\) (ciascuno è metà dell’asse maggiore o dell’asse minore). Per un’iperbole, \(a\) è la distanza del centro da un vertice. Nota: molti testi italiani usano sempre \(a\) per il semiasse più lungo e scrivono un’ellisse alta come \(\dfrac{x^{2}}{b^{2}} + \dfrac{y^{2}}{a^{2}} = 1\); in questa pagina \(a^{2}\) è sempre il denominatore di \(x^{2}\). |
| \(c\) | ci | La distanza del centro da un fuoco. I fuochi sono in \((\pm c ;\ 0)\) o in \((0 ;\ \pm c)\). Per un’ellisse, \(c^{2} = a^{2} - b^{2}\); per un’iperbole, \(c^{2} = a^{2} + b^{2}\). |
| \(F,\ F′\) | F, F primo | I nomi dei fuochi, dall’iniziale di «fuoco». Un’ellisse o un’iperbole ha due fuochi e il secondo si scrive \(F′\) (F primo). |
| \(P\) | pi | Il nome di un punto della curva, dall’iniziale di «punto». Si usa per enunciare le definizioni, come in «per ogni punto \(P\) la somma delle distanze è costante». |
| \(PF\) | P F | La lunghezza del segmento che unisce il punto \(P\) e il fuoco \(F\) (la distanza di \(P\) da \(F\)). Scrivere affiancati i nomi di due punti per la lunghezza di un segmento è la notazione usuale in geometria. |
| \(H\) | acca | Il nome del piede della perpendicolare dal punto \(P\) della parabola alla direttrice (dove incontra la direttrice). \(H\) è una lettera usata spesso per il piede di una perpendicolare. La distanza di \(P\) dalla direttrice si scrive \(PH\). |
| \(p\) | pi | Per la parabola \(y^{2} = 4px\), il numero che dà la distanza del vertice dal fuoco (un valore negativo dà il verso opposto). Il fuoco è \((p ;\ 0)\) e la direttrice è \(x = -p\). Si dice che la lettera derivi da «parametro». |
| \(e\) | e | L’eccentricità, dall’iniziale di «eccentricità». Una circonferenza ha \(e = 0\), un’ellisse \(0 < e < 1\), una parabola \(e = 1\) e un’iperbole \(e > 1\). (Non è il numero di Nepero e ≈ 2,718.) |
| \(\pm\) | più o meno | Un segno che comprende insieme il caso + e il caso −. I fuochi \((\pm 4 ;\ 0)\) sono i due punti \((4 ;\ 0)\) e \((-4 ;\ 0)\) scritti insieme. |
| \(\sqrt{\ }\) | radice quadrata | Il segno della radice quadrata (il numero positivo il cui quadrato è il numero sotto il segno). Si usa per ottenere \(c = \sqrt{5}\) da \(c^{2} = 5\). \(\sqrt{5}\) vale circa 2,236. |
Termini
| conica | Una curva che è il bordo che si ottiene tagliando un cono (come un cono gelato) con un piano. A seconda dell’inclinazione del taglio, il bordo è una circonferenza, un’ellisse, una parabola o un’iperbole. Si studiano nella geometria analitica della scuola secondaria di secondo grado (14-19 anni). |
| curva di secondo grado | Un altro modo di descrivere le coniche: curve date da un’equazione di secondo grado in \(x\) e \(y\). Ellissi, iperboli, parabole (e circonferenze) sono esattamente queste curve. |
| ellisse | L’insieme dei punti le cui distanze da due fuochi hanno somma costante. Sembra una circonferenza schiacciata in una direzione e la sua forma canonica è \(\dfrac{x^{2}}{a^{2}} + \dfrac{y^{2}}{b^{2}} = 1\). |
| iperbole | L’insieme dei punti le cui distanze da due fuochi differiscono per una costante. È una coppia di curve che si aprono a destra e a sinistra (o in alto e in basso) e la sua forma canonica è \(\dfrac{x^{2}}{a^{2}} - \dfrac{y^{2}}{b^{2}} = \pm 1\). |
| parabola | L’insieme dei punti alla stessa distanza da un fuoco e da una direttrice. È la forma della traiettoria di una palla lanciata. La sua forma canonica è \(y^{2} = 4px\) (o \(x^{2} = 4py\)). |
| fuoco | Un punto speciale che determina la forma di una conica (plurale: fuochi). Un’ellisse o un’iperbole ne ha due e una parabola uno. I fuochi concentrano luce e onde radio, e la parola «fuoco» viene dal latino «focus», cioè «focolare». |
| direttrice | La retta che serve a definire una parabola. Ogni punto della parabola ha la stessa distanza dal fuoco e dalla direttrice. La direttrice di \(y^{2} = 4px\) è \(x = -p\). |
| asintoto | Una retta a cui una curva si avvicina sempre di più senza mai raggiungerla. L’iperbole \(\dfrac{x^{2}}{a^{2}} - \dfrac{y^{2}}{b^{2}} = \pm 1\) ha due asintoti, \(y = \pm\dfrac{b}{a}x\). |
| eccentricità | Un solo numero \(e\) che dice quanto una curva è lontana dall’essere una circonferenza («eccentrico» significa «fuori dal centro»). Con circonferenza \(e = 0\), ellisse \(0 < e < 1\), parabola \(e = 1\) e iperbole \(e > 1\), questo solo numero ordina tutte le coniche. |
| asse maggiore | Il segmento più lungo che attraversa un’ellisse passando per il centro. Per un’ellisse larga la sua lunghezza è \(2a\) e i fuochi stanno sull’asse maggiore. |
| asse minore | Il segmento più corto che attraversa un’ellisse passando per il centro. Per un’ellisse larga la sua lunghezza è \(2b\) e incontra l’asse maggiore ad angolo retto. |
| vertice | Un punto in cui la curva incontra un asse di simmetria. Un’ellisse ne ha quattro (gli estremi dell’asse maggiore e dell’asse minore), un’iperbole ne ha due e una parabola ne ha uno (l’origine). |
| forma canonica | La forma più semplice dell’equazione, con il centro (per una parabola, il vertice) nell’origine, come \(\dfrac{x^{2}}{a^{2}} + \dfrac{y^{2}}{b^{2}} = 1\). Rende facili da leggere i fuochi e i vertici. |
| radice quadrata | Un numero il cui quadrato è il numero dato. Ottenere \(c = 4\) da \(c^{2} = 16\) è «fare la radice quadrata». Quando la radice quadrata non è un numero intero, il modo esatto di scriverla è con il segno di radice, come \(\sqrt{5}\). |
Cosa conviene sapere prima
Ecco che cosa ti aiuta a usare il calcolo di questa pagina capendolo davvero, e non solo premendo il pulsante.
Se ti blocchi, tornare a ripassare questi argomenti è la strada più veloce.
| Radici quadrate (scuola secondaria di primo grado, 11-14 anni) |
|
| Il piano cartesiano e la formula della distanza (scuola secondaria di primo grado e primo biennio della secondaria di secondo grado, 11-16 anni) |
|
| Grafici delle funzioni quadratiche (primo biennio della scuola secondaria di secondo grado, 14-16 anni) |
|
| Equazioni delle circonferenze (scuola secondaria di secondo grado, 14-19 anni) |
|
| Frazioni e rapporti (scuola primaria e scuola secondaria di primo grado, 9-14 anni) |
|
Come calcolarlo con Excel
Copia tutta la tabella qui sotto e incollala nella cella A1 di Excel. Funziona così com’è.
Tabella per trovare i fuochi e l’eccentricità di un’ellisse (larga, a² > b²)
| Denominatore di x², a² | 25 |
| Denominatore di y², b² | 9 |
| c² = a² − b² | =B1-B2 |
| Distanza da un fuoco c = √(c²) | =RADQ(B3) |
| Lunghezza dell’asse maggiore 2a | =2*RADQ(B1) |
| Lunghezza dell’asse minore 2b | =2*RADQ(B2) |
| Eccentricità e = c/a | =B4/RADQ(B1) |
Tabella per trovare i fuochi e gli asintoti di un’iperbole
| Denominatore di x², a² | 9 |
| Denominatore di y², b² | 16 |
| c² = a² + b² | =B1+B2 |
| Distanza da un fuoco c = √(c²) | =RADQ(B3) |
| Coefficiente angolare degli asintoti b/a | =RADQ(B2/B1) |
| Eccentricità e = c/a | =B4/RADQ(B1) |
Tabella per trovare il fuoco e la direttrice di una parabola (y² = cx)
| Coefficiente c di x | 8 |
| p = c ÷ 4 | =B1/4 |
| Ascissa del fuoco (il fuoco è (p ; 0)) | =B2 |
| Direttrice x = −p | =-B2 |
Dopo averla incollata, le righe in alto (denominatori o coefficiente) sono i dati da inserire e le righe in basso si calcolano da sole. RADQ dà la radice quadrata.
La prima tabella è l’ellisse x²/25 + y²/9 = 1: c² = 16, c = 4, asse maggiore 10, asse minore 6 ed eccentricità 0,8. Per un’ellisse alta (a² < b²) cambia la formula di c² in «=B2-B1» e l’eccentricità in «=B4/RADQ(B2)».
La seconda tabella è l’iperbole x²/9 − y²/16 = 1: c² = 25, c = 5, coefficiente angolare dell’asintoto 1,333… (= 4/3) ed eccentricità 1,666… (= 5/3).
La terza tabella è la parabola y² = 8x: p = 2, fuoco (2 ; 0) e direttrice x = −2. Per x² = cy (si apre in alto o in basso) leggi il fuoco come (0 ; p) e la direttrice come y = −p.
Excel dà risposte decimali, quindi usa la calcolatrice di questa pagina quando ti servono valori esatti come √5.
La prima tabella è l’ellisse x²/25 + y²/9 = 1: c² = 16, c = 4, asse maggiore 10, asse minore 6 ed eccentricità 0,8. Per un’ellisse alta (a² < b²) cambia la formula di c² in «=B2-B1» e l’eccentricità in «=B4/RADQ(B2)».
La seconda tabella è l’iperbole x²/9 − y²/16 = 1: c² = 25, c = 5, coefficiente angolare dell’asintoto 1,333… (= 4/3) ed eccentricità 1,666… (= 5/3).
La terza tabella è la parabola y² = 8x: p = 2, fuoco (2 ; 0) e direttrice x = −2. Per x² = cy (si apre in alto o in basso) leggi il fuoco come (0 ; p) e la direttrice come y = −p.
Excel dà risposte decimali, quindi usa la calcolatrice di questa pagina quando ti servono valori esatti come √5.
Come calcolarlo con Fogli Google
Copia tutta la tabella qui sotto e incollala nella cella A1 di Fogli Google. Funziona così com’è.
Tabella per trovare i fuochi e l’eccentricità di un’ellisse (larga, a² > b²)
| Denominatore di x², a² | 25 |
| Denominatore di y², b² | 9 |
| c² = a² − b² | =B1-B2 |
| Distanza da un fuoco c = √(c²) | =RADQ(B3) |
| Lunghezza dell’asse maggiore 2a | =2*RADQ(B1) |
| Lunghezza dell’asse minore 2b | =2*RADQ(B2) |
| Eccentricità e = c/a | =B4/RADQ(B1) |
Tabella per trovare i fuochi e gli asintoti di un’iperbole
| Denominatore di x², a² | 9 |
| Denominatore di y², b² | 16 |
| c² = a² + b² | =B1+B2 |
| Distanza da un fuoco c = √(c²) | =RADQ(B3) |
| Coefficiente angolare degli asintoti b/a | =RADQ(B2/B1) |
| Eccentricità e = c/a | =B4/RADQ(B1) |
Tabella per trovare il fuoco e la direttrice di una parabola (y² = cx)
| Coefficiente c di x | 8 |
| p = c ÷ 4 | =B1/4 |
| Ascissa del fuoco (il fuoco è (p ; 0)) | =B2 |
| Direttrice x = −p | =-B2 |
Le formule sono le stesse di Excel e funzionano così come sono. Copia tutta la tabella, incollala nella cella A1 e sostituisci i denominatori o il coefficiente con i tuoi numeri.
Come calcolarlo con Python
from fractions import Fraction
import math
# Denominatori dell’ellisse x²/a² + y²/b² = 1 (una frazione come 3/4 si scrive Fraction(3, 4))
x_denominator = Fraction(25) # a²
y_denominator = Fraction(9) # b²
# Ellisse: c² = denominatore maggiore − denominatore minore (per un’iperbole, si sommano)
c_squared = abs(x_denominator - y_denominator)
c = math.sqrt(c_squared)
semi_major = math.sqrt(max(x_denominator, y_denominator))
print(f"c² = {c_squared}")
print(f"c = √{c_squared} = {c}")
if x_denominator >= y_denominator:
print(f"Fuochi: (±{c}, 0)") # larga → fuochi sull’asse x
else:
print(f"Fuochi: (0, ±{c})") # alta → fuochi sull’asse y
print(f"Eccentricità e = c ÷ {semi_major} = {c / semi_major}")
Funziona solo con la libreria standard. Il modulo fractions tiene i denominatori come frazioni, quindi tutto fino a c² è esatto, senza errori di arrotondamento (solo la radice quadrata, math.sqrt, dà un numero decimale). Questo esempio è l’ellisse x²/25 + y²/9 = 1. Eseguendolo stampa quattro righe: «c² = 16», «c = √16» con il suo valore, i fuochi (±4, 0) e l’eccentricità e = c ÷ 5 = 0,8. Per l’iperbole x²/a² − y²/b² = 1 cambia la riga di c_squared in «x_denominator + y_denominator». Per la parabola y² = cx basta p = c/4, che si ottiene direttamente, come in Fraction(8) / 4.
La formula in LaTeX e in altre notazioni matematiche (da copiare)
Fuochi di un’ellisse (\(\dfrac{x^{2}}{a^{2}} + \dfrac{y^{2}}{b^{2}} = 1\), \(a > b > 0\))
c² = a² − b²
c^{2} = a^{2} - b^{2}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msup><mi>c</mi><mn>2</mn></msup>
<mo>=</mo>
<msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup>
<mo>−</mo>
<msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup>
</mrow>
</math>
c^2 = a^2 - b^2
c = Sqrt[a^2 - b^2]
c := sqrt(a^2 - b^2);
c = sqrt(a^2 - b^2);
c^2 = a^2 - b^2
Fuochi e asintoti di un’iperbole (\(\dfrac{x^{2}}{a^{2}} - \dfrac{y^{2}}{b^{2}} = 1\))
c² = a² + b²
c^{2} = a^{2} + b^{2}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msup><mi>c</mi><mn>2</mn></msup>
<mo>=</mo>
<msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup>
<mo>+</mo>
<msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup>
</mrow>
</math>
c^2 = a^2 + b^2
c = Sqrt[a^2 + b^2]
c := sqrt(a^2 + b^2);
c = sqrt(a^2 + b^2);
c^2 = a^2 + b^2
Fuoco e direttrice di una parabola (\(y^{2} = 4px\))
y² = 4px
y^{2} = 4px
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msup><mi>y</mi><mn>2</mn></msup>
<mo>=</mo>
<mn>4</mn><mi>p</mi><mi>x</mi>
</mrow>
</math>
y^2 = 4px
y^2 == 4 p x
y^2 = 4*p*x;
y^2 == 4*p*x
y^2 = 4px
Eccentricità \(e\) (un numero che descrive la forma della curva)
e = c/a
e = \dfrac{c}{a}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>e</mi>
<mo>=</mo>
<mfrac><mi>c</mi><mi>a</mi></mfrac>
</mrow>
</math>
e = c/a
e = c/a
e := c/a;
e = c/a;
e = c/a
Come chiedere a ChatGPT di fare il calcolo
Sei un assistente di matematica per le coniche. Esegui il calcolo seguente eseguendo davvero codice Python e basa la risposta solo sui numeri del risultato dell’esecuzione (non rispondere con il calcolo a mente né a intuito). Per l’ellisse x²/9 + y²/4 = 1, mostra ciascuno dei punti seguenti: 1. Il valore di c² = a² − b² 2. La distanza c del centro da un fuoco (sia come valore esatto con √ sia come numero decimale) 3. Le coordinate dei fuochi 4. La lunghezza dell’asse maggiore 2a e la lunghezza dell’asse minore 2b 5. L’eccentricità e = c/a (sia come valore esatto sia come numero decimale) In Python usa sympy (o fractions e math se sympy non è disponibile) e ottieni valori esatti come √5 con sympy.sqrt. Mostra le formule usate e i numeri del risultato dell’esecuzione.
Come si usa
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1Inserisci i numeriScrivi nei campi i numeri con cui vuoi fare il calcolo
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2CalcolaFai clic sul pulsante «Calcola»
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3Guarda il risultatoIl risultato compare subito. Nella stessa pagina trovi anche lo svolgimento del calcolo e la spiegazione della formula
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