Calcolatrice di proporzioni e rapporti (risolvi A:B = C:D, ingrandisci un rapporto)

Trova l’unico termine mancante della proporzione A:B = C:D, oppure ingrandisci o riduci il rapporto A:B. Compila i campi in base al calcolo che vuoi fare.

Primo termine A

Secondo termine B

Primo termine C

Secondo termine D

Ingrandisci di (× k)

Riduci a 1/k (÷ k)

[Risolvere una proporzione] Compila tre termini tra A e D e lascia vuoto solo quello che vuoi trovare. [Ingrandire o ridurre un rapporto] Scrivi il rapporto di partenza in A e B e compila uno solo dei due fattori di scala (lascia vuoti C e D).

Risultato

Inserisci i termini del rapporto nei campi a sinistra e fai clic su «Calcola». Qui compare il risultato.

Indice

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Cosa puoi fare in questa pagina
A cosa serve questo calcolo?
Come si usa
Formula
Simboli e termini
- Simboli
- Termini
Cosa conviene sapere prima
Come calcolarlo con Excel
Come calcolarlo con Fogli Google
Come calcolarlo con Python
La formula in LaTeX e in altre notazioni matematiche (da copiare)
Come chiedere a ChatGPT di fare il calcolo
I punti di forza di DataChef
Funzioni correlate
Tutte le calcolatrici di NumberChef

Cosa puoi fare in questa pagina

Inserisci tre qualsiasi dei quattro termini della proporzione \(A:B=C:D\) e il termine mancante (per esempio, la \(x\) in 3:4 = 600:\(x\)) viene calcolato subito
Il risultato viene mostrato anche nelle forme «1 : n» e «m : 1» e come percentuale che il primo termine rappresenta sul totale
Ingrandisci o riduci un rapporto scrivendo solo il fattore di scala (per esempio, 3:4 ingrandito 5 volte è 15:20 e 250:280 ridotto a 1/2,5 è 100:112)
In questa pagina trovi anche una spiegazione semplice delle formule e le formule da copiare e incollare in Excel, Fogli Google e Python

Una combinazione in cui il termine per cui si divide è 0 non si può calcolare (si dovrebbe dividere per 0). Puoi scrivere anche numeri negativi, ma di norma i rapporti si usano con numeri positivi.

A cosa serve questo calcolo?

Adattare una ricetta al numero di persone

Se una ricetta usa 320 g di pasta per 4 persone, per 6 persone la proporzione 4:320 = 6:\(x\) dà \(x = 320 \times 6 \div 4 = 480\), cioè 480 g.
In pratica moltiplichi ogni ingrediente per lo stesso fattore (\(6 \div 4 = 1{,}5\)), cioè fai proprio un ingrandimento di un rapporto. È il calcolo con i rapporti che si usa più spesso nella cucina di tutti i giorni.

Trovare le distanze reali da una carta in scala (escursionismo e sicurezza)

Su una carta escursionistica in scala 1:25.000, un sentiero lungo 4 cm sulla carta è lungo nella realtà \(4 \times 25.000 = 100.000\) cm, cioè 1 km.
La scala di una carta è uno degli usi più comuni dei rapporti, sia che tu stia pianificando un’escursione sia che tu voglia stimare la distanza da un punto di raccolta in caso di emergenza.

Calcolare il rapporto d’aspetto di schermi e video (16:9)

Il rapporto tra larghezza e altezza della maggior parte dei televisori e dei monitor è 16:9. Per uno schermo largo 1920 pixel, 16:9 = 1920:\(x\) dà un’altezza di \(x = 9 \times 1920 \div 16 = 1080\) pixel (Full HD).
Chi monta video o prepara presentazioni lo usa per trovare l’altezza giusta una volta fissata la larghezza.

Diluire bevande, detergenti e prodotti per il giardino

Per uno sciroppo da diluire «1 parte di concentrato e 4 di acqua», a 50 mL di concentrato corrisponde 1:4 = 50:\(x\), quindi \(x = 4 \times 50 \div 1 = 200\), cioè 200 mL di acqua.
Lo stesso calcolo vale per i prodotti per il giardino e per i disinfettanti, dove una miscela troppo forte o troppo debole conta per la sicurezza (segui sempre la diluizione indicata sull’etichetta del prodotto).

Convertire una valuta (viaggi e acquisti)

Supponi che 1 euro valga 1,10 dollari USA (un cambio scelto solo come esempio). Un acquisto da 55 dollari corrisponde a 1:1,10 = \(x\):55, quindi \(x = 1 \times 55 \div 1{,}10 = 50\), cioè 50 euro.
Un tasso di cambio è una proporzione in cui si conosce la quantità per 1. Aiuta a farsi un’idea dei prezzi quando viaggi o compri da negozi esteri (il pagamento reale può includere commissioni).

Calcolare le dimensioni di un modellino in scala

Un modellino in scala 1:72 di un aereo lungo 36 metri è lungo \(36 \text{ m} = 3600 \text{ cm}\), e \(3600 \div 72 = 50\), cioè 50 cm.
Ogni misura si riduce dello stesso fattore di scala. Questa riduzione è alla base del modellismo e dei disegni architettonici.

Formula

Proprietà delle proporzioni (il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi)

Notazione matematica (la notazione abituale)

\(A\) \(\times\) \(D\) \(=\) \(B\) \(\times\) \(C\)

A parole (i simboli sostituiti da parole)

① \(A\): estremo \(\times\) ② \(D\): estremo \(=\) ③ \(B\): medio \(\times\) ④ \(C\): medio

La formula a parole

① Nella proporzione \(A:B=C:D\), prendi l’estremo \(A\): estremo ,

② moltiplicalo per l’altro estremo \(D\): estremo (il prodotto degli estremi).

③ Questo è sempre uguale al medio \(B\): medio

④ per l’altro medio \(C\): medio (il prodotto dei medi).

Un esempio semplice

Verifichiamo con la proporzione 3:4 = 600:800 (i due prodotti sono entrambi 2400)

estremo (3) \(\times\) estremo (800) \(=\) medio (4) \(\times\) medio (600)

\(3 \times 800 = 2400\)

\(4 \times 600 = 2400\)

L’idea chiave

Perché vale? \(A:B=C:D\) dice che i due rapporti sono uguali. Scritta con le frazioni, è \(\dfrac{A}{B} = \dfrac{C}{D}\). Moltiplica entrambi i membri per \(B \times D\) e ottieni \(A \times D = B \times C\). È il «prodotto in croce» che forse conosci dalla scuola. Questa sola uguaglianza è il punto di partenza per trovare qualsiasi termine mancante di una proporzione.

Trovare il termine mancante (quando manca \(D\))

Notazione matematica (la notazione abituale)

\(D\) \(=\) \(B\) \(\times\) \(C\) \(\div\) \(A\)

A parole (i simboli sostituiti da parole)

④ \(D\): estremo mancante \(=\) ① \(B\): medio \(\times\) ② \(C\): medio \(\div\) ③ \(A\): estremo

La formula a parole

① Moltiplica il medio \(B\): medio

② per l’altro medio \(C\): medio per ottenere il prodotto dei medi,

③ poi dividilo per l’estremo noto \(A\): estremo

④ e ottieni l’ \(D\): estremo mancante

Un esempio semplice

La \(x\) (cioè \(D\)) in 3:4 = 600:\(x\) è

\(D\): estremo mancante \(=\) medio (4) \(\times\) medio (600) \(\div\) estremo (3)

\(D = 4 \times 600 \div 3 = 2400 \div 3 = 800\)

L’idea chiave

Il ragionamento è lo stesso qualunque termine manchi. Scrivi «prodotto dei medi = prodotto degli estremi», poi dividi il prodotto dell’altro lato per il termine che è in coppia con quello mancante. I casi sono quattro: \(A = B \times C \div D\), \(B = A \times D \div C\), \(C = A \times D \div B\) e \(D = B \times C \div A\). Se il termine per cui si divide è 0, non si può calcolare, perché si dovrebbe dividere per 0.

Ingrandire un rapporto (moltiplicare per \(k\))

Notazione matematica (la notazione abituale)

\(a'\) \(=\) \(a\) \(\times\) \(k\)

\(b'\) \(=\) \(b\) \(\times\) \(k\)

A parole (i simboli sostituiti da parole)

③ \(a'\): nuovo primo termine \(=\) ① \(a\): primo termine di partenza \(\times\) ② \(k\): fattore di scala

\(b'\): nuovo secondo termine \(=\) \(b\): secondo termine di partenza \(\times\) \(k\): fattore di scala

La formula a parole

① Prendi il \(a\): primo termine di partenza

② moltiplicalo per il \(k\): fattore di scala (moltiplica allo stesso modo anche il secondo termine \(b\)),

③ e ottieni il \(a'\): nuovo primo termine del rapporto ingrandito \(a' : b'\).

Un esempio semplice

Ingrandendo 3:4 di 5 volte (il risultato è 15:20)

nuovo primo termine (15) \(=\) primo termine di partenza (3) \(\times\) fattore di scala (5)

\(3 \times 5 = 15\)

\(4 \times 5 = 20\)

L’idea chiave

Moltiplicando entrambi i termini di un rapporto per lo stesso numero (diverso da 0) si ottiene un rapporto equivalente: la relazione resta la stessa. Sia per 3:4 sia per 15:20 il valore del rapporto (primo ÷ secondo) è 0,75. Aumentare una ricetta per più persone o riportare le misure di un modellino alla grandezza reale è proprio questo tipo di ingrandimento.

Ridurre un rapporto (a \(1/k\))

Notazione matematica (la notazione abituale)

\(a'\) \(=\) \(a\) \(\div\) \(k\)

\(b'\) \(=\) \(b\) \(\div\) \(k\)

A parole (i simboli sostituiti da parole)

③ \(a'\): nuovo primo termine \(=\) ① \(a\): primo termine di partenza \(\div\) ② \(k\): fattore di scala

\(b'\): nuovo secondo termine \(=\) \(b\): secondo termine di partenza \(\div\) \(k\): fattore di scala

La formula a parole

① Prendi il \(a\): primo termine di partenza

② dividilo per il \(k\): fattore di scala (dividi allo stesso modo anche il secondo termine \(b\)),

③ e ottieni il \(a'\): nuovo primo termine del rapporto \(a' : b'\) ridotto a \(1/k\).

Un esempio semplice

Riducendo 250:280 a 1/2,5 (il risultato è 100:112)

nuovo primo termine (100) \(=\) primo termine di partenza (250) \(\div\) fattore di scala (2,5)

\(250 \div 2{,}5 = 100\)

\(280 \div 2{,}5 = 112\)

L’idea chiave

Dividere per \(k\) equivale a moltiplicare per \(1/k\), quindi anche un rapporto ridotto è equivalente a quello di partenza. Se la divisione non è esatta si ottiene un rapporto con i decimali (per esempio, 7:9 ridotto a 1/3 è 2,33…:3). Quando ti serve un rapporto di numeri interi, usa un rapporto approssimato, arrotondato. Tieni presente che un rapporto arrotondato non è esattamente uguale a quello di partenza.

Tutti i calcoli con i rapporti si fondano su un solo fatto, cioè che moltiplicando entrambi i termini per lo stesso numero, o dividendoli per lo stesso numero diverso da 0, si ottiene un rapporto equivalente. Per risolvere una proporzione si risale da «prodotto dei medi = prodotto degli estremi». Per ingrandire o ridurre un rapporto si moltiplicano (o si dividono) entrambi i termini per lo stesso fattore di scala.

Simboli e termini

Simboli

\(A:B\)	A sta a B	Un rapporto. Indica come si confrontano due quantità, scritto con i due punti (:) tra di esse. (Esempio: 3:4 si legge «3 sta a 4»)
\(A:B=C:D\)	A sta a B come C sta a D	Una proporzione. Un’uguaglianza che dice che i due rapporti a sinistra e a destra sono uguali.
\(A \times D = B \times C\)	A per D uguale B per C	Il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi. Ogni proporzione ha questa proprietà ed è il punto di partenza per trovare un termine mancante.
\(k\)	k	Il fattore di scala. Il numero che dice di quante volte ingrandire un rapporto (o a quanto ridurlo, \(1/k\)). (Esempio: per 2,5 volte, \(k = 2{,}5\))
\(a'\)	a primo	Un termine del rapporto dopo l’ingrandimento o la riduzione. Il piccolo segno in alto a destra (l’apice, «primo») indica «il valore dopo la variazione».

Termini

rapporto	Un confronto tra due quantità scritte una accanto all’altra, come «3:4». È utile perché isola la sola relazione, qualunque sia la quantità totale.
proporzione	Un’uguaglianza che dice che due rapporti sono uguali. Si scrive \(A:B=C:D\) e il prodotto degli estremi è uguale al prodotto dei medi.
medi (termini medi)	In una proporzione \(A:B=C:D\), i due termini interni (\(B\) e \(C\)). Il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi.
estremi (termini estremi)	In una proporzione \(A:B=C:D\), i due termini esterni (\(A\) e \(D\)). Il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi.
valore del rapporto	Per un rapporto \(A:B\), il numero \(A \div B\). Due rapporti con lo stesso valore sono rapporti equivalenti. La \(m\) nella forma «m : 1» di questa pagina è proprio il valore del rapporto.
rapporto equivalente	Rapporti che descrivono la stessa relazione. Moltiplicando entrambi i termini per lo stesso numero, o dividendoli per lo stesso numero diverso da 0, si ottiene un rapporto equivalente. (Esempio: 3:4 e 15:20)
ingrandimento	Rendere qualcosa più grande di un certo numero di volte senza cambiarne la forma (le proporzioni). Per un rapporto significa moltiplicare entrambi i termini per lo stesso numero.
riduzione	Rendere qualcosa più piccolo di una certa frazione senza cambiarne la forma (le proporzioni). Per un rapporto significa dividere entrambi i termini per lo stesso numero.

Cosa conviene sapere prima

Ecco che cosa conviene sapere per usare il calcolo di questa pagina capendo davvero che cosa fai, e non solo premendo il pulsante.

Rapporti (scuola secondaria di primo grado, 11-14 anni)	Saper scrivere un rapporto come «3:4» e leggerlo «3 sta a 4» Sapere che moltiplicando entrambi i termini per lo stesso numero, o dividendoli per lo stesso numero diverso da 0, si ottiene un rapporto equivalente Saper trovare il valore di un rapporto (primo termine ÷ secondo termine)
Ingrandimenti e riduzioni in scala (scuola secondaria di primo grado, 11-14 anni)	Sapere che per cambiare la grandezza senza cambiare la forma si moltiplica ogni lunghezza per lo stesso fattore di scala Sapere che «ridurre a 1/2,5» è la stessa cosa che «dividere per 2,5»
Proporzioni (scuola secondaria di primo grado, 11-14 anni)	Sapere che in una proporzione \(A:B=C:D\) il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi (\(A \times D = B \times C\)) Saper chiamare \(x\) il numero incognito e scrivere un’equazione
Moltiplicare e dividere numeri decimali e frazioni (classi 4ª e 5ª della primaria, 9-11 anni)	Saper dividere con i numeri decimali, come in \(250 \div 2{,}5\) Sapere che la moltiplicazione e la divisione sono una l’inversa dell’altra

Come calcolarlo con Excel

Copia tutta la tabella qui sotto e incollala nella cella A1 di Excel. Funziona così com’è.

Tabella per verificare «il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi»

Estremo A	3
Medio B	4
Medio C	600
Estremo D	800
Prodotto degli estremi A×D	=B1*B4
Prodotto dei medi B×C	=B2*B3

Tabella per trovare il termine mancante D di una proporzione

Estremo A	3
Medio B	4
Medio C	600
Estremo mancante D	=B2*B3/B1

Tabella per ingrandire un rapporto

Primo termine di partenza	3
Secondo termine di partenza	4
Fattore di scala k	5
Primo termine ingrandito	=B1*B3
Secondo termine ingrandito	=B2*B3

Tabella per ridurre un rapporto

Primo termine di partenza	250
Secondo termine di partenza	280
Fattore di scala k	2,5
Primo termine ridotto	=B1/B3
Secondo termine ridotto	=B2/B3

Dopo averla incollata, le celle in alto della colonna B sono i tuoi dati e le celle con le formule sotto si calcolano da sole.
Nella prima tabella il prodotto degli estremi (B5) e il prodotto dei medi (B6) sono entrambi 2400, e questo conferma che la proporzione è valida.
La seconda tabella mostra in B4 il termine mancante D = 800. La terza tabella mostra il rapporto ingrandito (15 e 20) e la quarta il rapporto ridotto (100 e 112).
Basta sostituire i numeri della colonna B con i tuoi.

Come calcolarlo con Fogli Google

Copia tutta la tabella qui sotto e incollala nella cella A1 di Fogli Google. Funziona così com’è.

Tabella per verificare «il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi»

Estremo A	3
Medio B	4
Medio C	600
Estremo D	800
Prodotto degli estremi A×D	=B1*B4
Prodotto dei medi B×C	=B2*B3

Tabella per trovare il termine mancante D di una proporzione

Estremo A	3
Medio B	4
Medio C	600
Estremo mancante D	=B2*B3/B1

Tabella per ingrandire un rapporto

Primo termine di partenza	3
Secondo termine di partenza	4
Fattore di scala k	5
Primo termine ingrandito	=B1*B3
Secondo termine ingrandito	=B2*B3

Tabella per ridurre un rapporto

Primo termine di partenza	250
Secondo termine di partenza	280
Fattore di scala k	2,5
Primo termine ridotto	=B1/B3
Secondo termine ridotto	=B2/B3

Le stesse formule di Excel funzionano così come sono. Copia l’intera tabella, incollala nella cella A1 e sostituisci i numeri della colonna B con i tuoi.

Come calcolarlo con Python

# Trova D nella proporzione A:B = C:D (prodotto dei medi ÷ A)
ratio_a = 3
ratio_b = 4
ratio_c = 600

ratio_d = ratio_b * ratio_c / ratio_a
print(f"D = {ratio_d}")  # 800.0

# Ingrandire o ridurre un rapporto (esempio: riduci 250:280 a 1/2,5)
left_term = 250
right_term = 280
scale_factor = 2.5

print(f"Rapporto ridotto = {left_term / scale_factor} : {right_term / scale_factor}")  # 100.0 : 112.0

Funziona solo con la libreria standard. «*» è la moltiplicazione e «/» è la divisione. Per ingrandire invece di ridurre, cambia «/ scale_factor» in «* scale_factor». Sostituisci i numeri all’inizio con i tuoi ed eseguilo.

La formula in LaTeX e in altre notazioni matematiche (da copiare)

Proprietà delle proporzioni (il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi)

A × D = B × C

A \times D = B \times C

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>A</mi><mo>&#x00D7;</mo><mi>D</mi>
    <mo>=</mo>
    <mi>B</mi><mo>&#x00D7;</mo><mi>C</mi>
  </mrow>
</math>

A xx D = B xx C

a d == b c

a * d = b * c;  # D è riservata in Maple (l’operatore differenziale), quindi tutte le variabili sono minuscole

A * D == B * C;

A×D=B×C

Trovare il termine mancante (quando manca \(D\))

D = B × C ÷ A

D = \dfrac{B \times C}{A}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>D</mi>
    <mo>=</mo>
    <mfrac>
      <mrow><mi>B</mi><mo>&#x00D7;</mo><mi>C</mi></mrow>
      <mi>A</mi>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

D = (B xx C)/A

b c / a

d := b * c / a;  # D è riservata in Maple (l’operatore differenziale), quindi tutte le variabili sono minuscole

D = B * C / A;

D=(B×C)/A

Ingrandire un rapporto (moltiplicare per \(k\))

a′ = a × k,  b′ = b × k

a' = a \times k,\quad b' = b \times k

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <msup><mi>a</mi><mo>&#x2032;</mo></msup>
    <mo>=</mo>
    <mi>a</mi><mo>&#x00D7;</mo><mi>k</mi>
    <mo>,</mo>
    <msup><mi>b</mi><mo>&#x2032;</mo></msup>
    <mo>=</mo>
    <mi>b</mi><mo>&#x00D7;</mo><mi>k</mi>
  </mrow>
</math>

a' = a xx k, b' = b xx k

{a k, b k}

aNew := a * k; bNew := b * k;

aNew = a * k; bNew = b * k;

a′=a×k, b′=b×k

Ridurre un rapporto (a \(1/k\))

a′ = a ÷ k,  b′ = b ÷ k

a' = \dfrac{a}{k},\quad b' = \dfrac{b}{k}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <msup><mi>a</mi><mo>&#x2032;</mo></msup>
    <mo>=</mo>
    <mfrac><mi>a</mi><mi>k</mi></mfrac>
    <mo>,</mo>
    <msup><mi>b</mi><mo>&#x2032;</mo></msup>
    <mo>=</mo>
    <mfrac><mi>b</mi><mi>k</mi></mfrac>
  </mrow>
</math>

a' = a/k, b' = b/k

{a/k, b/k}

aNew := a / k; bNew := b / k;

aNew = a / k; bNew = b / k;

a′=a/k, b′=b/k

Come chiedere a ChatGPT di fare il calcolo

Sei un assistente per i calcoli con i rapporti. Fai i calcoli seguenti eseguendo davvero del codice Python e basa la risposta solo sui numeri del risultato dell’esecuzione (non rispondere con calcoli a mente né a occhio).

1. Trova D nella proporzione 3:4 = 600:D, usando «il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi» (A×D = B×C).
2. Riduci il rapporto 250:280 a 1/2,5 e scrivi il rapporto che ottieni.

Mostra le formule che hai usato e i numeri del risultato dell’esecuzione.

Come si usa

1

Inserisci i numeri

Scrivi nei campi i numeri con cui vuoi fare il calcolo
2

Calcola

Fai clic sul pulsante «Calcola»
3

Guarda il risultato

Il risultato compare subito. Nella stessa pagina trovi anche lo svolgimento del calcolo e la spiegazione della formula