Inserisci i tre valori che conosci tra valore iniziale, valore finale, periodo e CAGR (%), lascia vuoto quello che vuoi trovare e fai clic su «Calcola». Il valore vuoto viene calcolato e compaiono una tabella anno per anno e una curva di crescita.
Inserisci esattamente tre valori (con tutti e quattro compilati non può calcolare). Scrivi il CAGR in percentuale (per il 10%, scrivi «10»; scrivi un numero negativo per un calo). Inserisci il periodo in anni (vanno bene i decimali come 2,5) o in mesi; i mesi si convertono con anni = mesi ÷ 12. I valori possono essere in qualsiasi unità (euro, persone, pezzi e così via).
Risultato e grafico
Compila tre dei campi a sinistra e fai clic su «Calcola». Qui compaiono il risultato, una tabella anno per anno e un grafico.
Indice
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Cosa puoi fare in questa pagina
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A cosa serve questo calcolo?
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Come si usa
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Formule e grafici
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Formula del tasso di crescita annuo composto (CAGR)
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Formula del valore finale (il valore dopo n anni)
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Formula del valore iniziale (quanto serve oggi per raggiungere un obiettivo)
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Formula degli anni necessari per raggiungere un obiettivo
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Per confronto: il tasso di crescita medio semplice (in che cosa differisce dal CAGR)
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Simboli e termini
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Cosa conviene sapere prima
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Come calcolarlo con Excel
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Come calcolarlo con Fogli Google
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Come calcolarlo con Python
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La formula in LaTeX e in altre notazioni matematiche (da copiare)
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Come chiedere a ChatGPT di fare il calcolo
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I punti di forza di DataChef
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Funzioni correlate
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Tutte le calcolatrici di NumberChef
Cosa puoi fare in questa pagina
- Da un valore iniziale, un valore finale e il numero di anni ricava il tasso di crescita annuo composto (CAGR). Per esempio, «i ricavi sono passati da 1 milione a 1,61 milioni di euro in 5 anni» è circa il 10% di crescita all’anno. Il CAGR trasforma una crescita irregolare in «la stessa percentuale ogni anno» che darebbe lo stesso risultato
- Inserisci tre qualsiasi dei quattro campi (valore iniziale, valore finale, anni, CAGR) e il quarto viene calcolato. «In quanti anni raddoppiano i ricavi con una crescita del 10% all’anno?» (anni), «quanto saranno tra 5 anni con il 15% all’anno?» (valore finale) e «quanto dobbiamo valere oggi per raggiungere l’obiettivo?» (valore iniziale) funzionano tutti
- Inserisci il periodo in anni, anche con i decimali come 2,5, o in mesi, come 18. Gli anni per raggiungere un obiettivo sono mostrati sia come numero decimale sia arrotondati per eccesso (l’anno in cui lo raggiungi)
- Una tabella anno per anno e un grafico che sovrappone la curva di crescita (valore iniziale × (1 + CAGR) elevato agli anni) alla retta «lo stesso importo ogni anno» mostrano a colpo d’occhio la differenza dal tasso di crescita medio semplice
Il CAGR dipende solo da due valori, il valore iniziale e quello finale. Gli alti e bassi degli anni intermedi non entrano nel calcolo (per il CAGR sono invisibili). Per lisciare i rendimenti di un investimento quando conosci il rendimento di ogni anno, è più adatta la calcolatrice del rendimento medio. Per una variazione di un solo anno («di quanti punti percentuali è salito rispetto all’anno scorso?»), è più rapida la calcolatrice della variazione percentuale.
A cosa serve questo calcolo?
«CAGR del X%» nei business plan e nelle presentazioni agli investitori
I business plan delle startup e le presentazioni dei risultati delle società quotate descrivono la crescita di ricavi o utenti, per esempio, come «un CAGR a 3 anni del 25%». Se i ricavi sono passati da 2 milioni a 3,9 milioni di euro in 3 anni, il CAGR è \((3{,}9 \div 2)^{1/3} - 1 \approx 0{,}249\), cioè circa il 25%.
Anche quando la crescita è irregolare da un anno all’altro, un solo numero mostra quanto in fretta è cresciuta una grandezza, quindi puoi confrontare aziende di dimensioni diverse su periodi diversi. Ma il CAGR guarda solo due punti, quindi nasconde che cosa è successo nel mezzo, come un balzo solo nell’ultimo anno. Quando leggi una relazione, controlla anche i dati anno per anno.
Risalire a «in quanti anni raddoppiano i ricavi?» (fissare gli obiettivi aziendali)
Alla domanda «se continuiamo a crescere del 10% all’anno, quando raddoppieranno i ricavi?» risponde la formula degli anni: \(\log 2 \div \log 1{,}1 \approx 7{,}27\) anni, quindi i ricavi superano il doppio entro la fine dell’8º anno. All’inverso, se l’obiettivo è raddoppiare in 5 anni, il CAGR necessario è \(2^{1/5} - 1 \approx 0{,}149\), cioè una crescita di circa il 14,9% all’anno.
Quando «quanti punti percentuali all’anno ci portano all’obiettivo» è un numero, lo puoi scomporre in un obiettivo di ricavi per ogni anno (la tabella anno per anno).
Confrontare la crescita degli utenti di un’app o degli iscritti (gestire un servizio web)
Se gli utenti mensili di un’app sono passati da 50.000 a 200.000 (4 volte) in 2 anni, il CAGR è \(4^{1/2} - 1 = 1\): 100% all’anno (raddoppiano ogni anno). Se un’altra app è cresciuta di 4 volte in 4 anni, è \(4^{1/4} - 1 \approx 0{,}414\), circa il 41% all’anno. Lo stesso «4 volte» è cresciuto a velocità molto diverse e il CAGR lo rende visibile.
La stessa formula funziona così com’è per le grandezze non misurate in euro, come il numero di utenti.
Prevedere le dimensioni di un mercato (dietro a «il mercato raggiungerà X miliardi di euro entro il 2030»)
Se si prevede che un mercato cresca in media dell’8% all’anno, un mercato che oggi vale 1 miliardo di euro si può stimare tra 5 anni a \(1 \times 1{,}08^5 \approx 1{,}469\), cioè circa 1,47 miliardi di euro (la formula del valore finale). Molte cifre del tipo «dimensioni del mercato tra X anni» nei rapporti di settore sono costruite con un calcolo di questo tipo.
Tieni presente che il numero presuppone che il tasso di crescita resti uguale da adesso in poi. Controlla le ipotesi della previsione (quale percentuale, per quanti anni) prima di usarla.
Guardare la variazione della popolazione come tasso annuo (statistiche locali)
Se la popolazione di un comune è scesa da 50.000 a 40.000 abitanti in 10 anni, il CAGR è \((4 \div 5)^{1/10} - 1 \approx -0{,}0221\), un calo di circa il 2,2% all’anno. Dividere semplicemente «20% in meno in 10 anni» in «2% in meno all’anno» è un po’ sbagliato, perché anche il calo si compone (il calo di ogni anno si misura sulla popolazione rimasta dopo il calo precedente).
Un calo usa esattamente la stessa formula; il CAGR è semplicemente negativo. Con la formula degli anni puoi anche risalire a quanti anni servono perché la popolazione scenda sotto i 30.000 abitanti se il ritmo resta lo stesso.
Di quanti punti percentuali all’anno sono saliti il tuo stipendio o i prezzi (nozioni di base sul denaro)
Per esempio, se una persona guadagnava 40.000 € lordi all’anno (RAL) 20 anni fa e oggi ne guadagna 60.000, il CAGR è \((60 \div 40)^{1/20} - 1 \approx 0{,}0205\), una crescita di circa il 2% all’anno. Anche l’aumento dei prezzi (l’inflazione, per esempio quella misurata dall’ISTAT con l’indice NIC) si può trasformare in una percentuale media annua con la stessa formula, così puoi confrontare con lo stesso metro la crescita del tuo stipendio e quella dei prezzi.
Trasformare un cambiamento di lungo periodo in un tasso annuo è ciò che il CAGR fa meglio. «50% in più in 20 anni» sembra tanto, ma come tasso annuo è circa il 2%, un numero con cui ci si può confrontare.
Formule e grafici
Formula del tasso di crescita annuo composto (CAGR)
Grafico
Notazione matematica
(la notazione abituale)
\(G\)
\(=\)
\(V_n\)
\(\div\)
\(V_0\)
\(r\)
\(=\)
\(G\)
\(1/n\)
\(-\)
\(1\)
A parole
(i simboli sostituiti da parole)
③
\(G\): fattore di crescita
\(=\)
①
\(V_n\): valore finale
\(\div\)
②
\(V_0\): valore iniziale
⑤
\(r\): CAGR
\(=\)
\(G\): fattore di crescita
④
elevato alla \(1/n\) (\(n\) = anni)
\(-\)
\(1\)
La formula a parole
①
Dividi il
\(V_n\): valore finale
②
per il
\(V_0\): valore iniziale
③
per ottenere il
\(G\): fattore di crescita (quante volte è diventato più grande)
④
eleva il risultato
alla \(1/n\) (\(n\) = anni)
per trasformarlo nel fattore annuo,
⑤
poi sottrai 1 (la quantità di partenza) e ottieni il
\(r\): CAGR
(moltiplica per 100 per averlo in percentuale)
Un esempio semplice
Se i ricavi sono passati da 1.000.000 € a 1.210.000 € in 2 anni, il CAGR è (in migliaia di euro)
\(G\): fattore di crescita
\(=\)
valore finale (1210)
\(\div\)
valore iniziale (1000)
\(r\): CAGR
\(=\)
fattore di crescita (1,21)
elevato alla \(1/2\) (2 anni)
\(-\)
\(1\)
\(1210 \div 1000 = 1{,}21\)
\(1{,}21^{1/2} = \sqrt{1{,}21} = 1{,}1\)
\(1{,}1 - 1 = 0{,}1\ \ (10\%)\)
L’idea chiave
Il CAGR è la percentuale all’anno che, se restasse uguale ogni anno, porterebbe dal valore iniziale al valore finale. Nell’esempio sopra, 1.000.000 € che crescono del 10% ogni anno (×1,1, poi ×1,1) diventano esattamente 1.210.000 € dopo 2 anni. Anche se i ricavi reali fossero balzati nel primo anno e fossero rimasti fermi nel secondo, il CAGR sarebbe comunque il 10%. Il CAGR guarda solo i due estremi, quindi gli alti e bassi nel mezzo non entrano nel calcolo.
«Elevato alla \(1/n\)» è il numero che, elevato alla \(n\)-esima, restituisce il numero di partenza (la radice n-esima). Per 2 anni è la radice quadrata (\(\sqrt{\ }\)) e per 3 anni la radice cubica. Su una calcolatrice o in Excel, scrivi «^(1/n)».
Formula del valore finale (il valore dopo n anni)
Notazione matematica
(la notazione abituale)
\(V_n\)
\(=\)
\(V_0\)
\(\times\)
\((1 + r)\)
\(n\)
A parole
(i simboli sostituiti da parole)
④
\(V_n\): valore finale
\(=\)
①
\(V_0\): valore iniziale
\(\times\)
②
\((1 + r)\): fattore annuo
③
\(n\): anni
La formula a parole
①
Prendi il
\(V_0\): valore iniziale
②
moltiplicalo per il
\((1 + r)\): fattore annuo
③
più volte, una per ciascuno degli
\(n\): anni
④
e ottieni il
\(V_n\): valore finale
Un esempio semplice
Se ricavi di 1.000.000 € crescono a un CAGR del 10%, i ricavi dopo 3 anni sono (in migliaia di euro)
\(V_3\): valore finale
\(=\)
valore iniziale (1000)
\(\times\)
\((1 + 0{,}1)\)
3 anni
\(1{,}1^{3} = 1{,}1 \times 1{,}1 \times 1{,}1 = 1{,}331\)
\(1000 \times 1{,}331 = 1331\)
L’idea chiave
Questa formula ha esattamente la stessa forma dell’interesse composto. «Crescita del 10% ogni anno» è «×1,1 ogni anno», quindi dopo 3 anni il valore è \(1{,}1 \times 1{,}1 \times 1{,}1 = 1{,}331\) volte più grande. È un aumento del 33,1%, non «10% × 3 anni = 30%», perché dal secondo anno in poi il 10% si aggiunge al valore già cresciuto (come gli interessi che producono altri interessi nella capitalizzazione composta).
Gli anni \(n\) possono essere un numero decimale come 2,5. Allora un calcolo come \(1{,}1^{2{,}5}\) si può fare con «^» su una calcolatrice o in Excel.
Formula del valore iniziale (quanto serve oggi per raggiungere un obiettivo)
Notazione matematica
(la notazione abituale)
\(V_0\)
\(=\)
\(V_n\)
\(\div\)
\((1 + r)\)
\(n\)
A parole
(i simboli sostituiti da parole)
④
\(V_0\): valore iniziale
\(=\)
①
\(V_n\): valore finale
\(\div\)
②
\((1 + r)\): fattore annuo
③
\(n\): anni
La formula a parole
①
Dividi il
\(V_n\): valore finale
②
per il
\((1 + r)\): fattore annuo
③
elevato al numero di
\(n\): anni
④
e ottieni il
\(V_0\): valore iniziale
Un esempio semplice
Per arrivare a ricavi di 1.331.000 € in 3 anni a un CAGR del 10%, i ricavi che ti servono oggi sono (in migliaia di euro)
\(V_0\): valore iniziale
\(=\)
valore finale (1331)
\(\div\)
\((1 + 0{,}1)\)
3 anni
\(1{,}1^{3} = 1{,}331\)
\(1331 \div 1{,}331 = 1000\)
L’idea chiave
È semplicemente la formula del valore finale riscritta come «valore iniziale = ...». Una grandezza cresciuta moltiplicando torna al punto di partenza se la dividi per lo stesso fattore. Usala per risalire a quanto devi valere oggi per raggiungere un obiettivo tra \(n\) anni.
Formula degli anni necessari per raggiungere un obiettivo
Grafico
Notazione matematica
(la notazione abituale)
\(G\)
\(=\)
\(V_n\)
\(\div\)
\(V_0\)
\(n\)
\(=\)
\(\log G\)
\(\div\)
\(\log(1 + r)\)
A parole
(i simboli sostituiti da parole)
③
\(G\): fattore di crescita
\(=\)
①
\(V_n\): valore finale
\(\div\)
②
\(V_0\): valore iniziale
⑤
\(n\): anni
\(=\)
\(\log G\): log del fattore di crescita
\(\div\)
④
\(\log(1 + r)\): log del fattore annuo
La formula a parole
①
Dividi il
\(V_n\): valore finale
②
per il
\(V_0\): valore iniziale
③
per ottenere il
\(G\): fattore di crescita
, poi calcolane il logaritmo \(\log G\),
④
dividilo per il
\(\log(1 + r)\): log del fattore annuo
⑤
e ottieni gli
\(n\): anni
(la base del log può essere 10 oppure \(e\); purché sopra e sotto si usi la stessa base, il risultato è lo stesso)
Un esempio semplice
Gli anni che servono perché ricavi di 1.000.000 € arrivino a 2.000.000 € (il doppio) a un CAGR del 10% sono (in migliaia di euro)
\(n\): anni
\(=\)
\(\log 2\) (fattore di crescita \(2000 \div 1000 = 2\))
\(\div\)
\(\log(1 + 0{,}1)\)
\(\log 2 \approx 0{,}30103,\ \ \log 1{,}1 \approx 0{,}041393\)
\(0{,}30103 \div 0{,}041393 \approx 7{,}27\)
L’idea chiave
Il logaritmo (\(\log\)) risponde a «a quale potenza va elevato 1,1 per ottenere 2?». La risposta è circa 7,27 anni, quindi con una crescita del 10% all’anno i ricavi superano il doppio entro la fine dell’8º anno (alla fine del 7º sono solo \(1{,}1^7 \approx 1{,}949\) volte più grandi, quindi non ci siamo ancora). La calcolatrice mostra sia questo numero decimale di anni sia quello arrotondato per eccesso.
A proposito, la regola del 72, «anni per raddoppiare ≈ 72 ÷ tasso di crescita (%)», dà a mente \(72 \div 10 = 7{,}2\) anni, molto vicino al calcolo sopra.
Per confronto: il tasso di crescita medio semplice (in che cosa differisce dal CAGR)
Grafico
Notazione matematica
(la notazione abituale)
\(g\)
\(=\)
\(\left(\dfrac{V_n}{V_0} - 1\right)\)
\(\div\)
\(n\)
A parole
(i simboli sostituiti da parole)
③
\(g\): tasso di crescita medio semplice
\(=\)
①
crescita totale \(\left(\dfrac{\text{valore finale } V_n}{\text{valore iniziale } V_0} - 1\right)\)
\(\div\)
②
\(n\): anni
La formula a parole
①
Dividi la
crescita totale (di quanti punti percentuali è cresciuto sull’intero periodo)
②
per gli
\(n\): anni
③
e ottieni il
\(g\): tasso di crescita medio semplice
(moltiplica per 100 per averlo in percentuale)
Un esempio semplice
Se i ricavi sono passati da 1.000.000 € a 1.210.000 € in 2 anni (21% di crescita in totale), il tasso di crescita medio semplice è
\(g\): tasso di crescita medio semplice
\(=\)
crescita totale (0,21)
\(\div\)
2 anni
\(1210 \div 1000 - 1 = 0{,}21\)
\(0{,}21 \div 2 = 0{,}105\ \ (10{,}5\%)\)
L’idea chiave
Per lo stesso «1.000.000 € → 1.210.000 € in 2 anni», il tasso di crescita medio semplice è il 10,5% ma il CAGR è il 10%. La media semplice è la visione lineare, «è cresciuto dello stesso importo (105.000 €) ogni anno». Il CAGR è la visione curva, «è cresciuto della stessa percentuale (×1,1) ogni anno».
Se dalla media semplice dici «10,5% di crescita all’anno», crescere davvero del 10,5% ogni anno darebbe \(1{,}105^2 = 1{,}221\) volte, che sembra più del 1,21 effettivo. Più il periodo è lungo e più la crescita è alta, più questo scarto si allarga. Quando parli di crescita come tasso annuo, lo standard è il CAGR.
tasso di crescita annuo composto (CAGR) è «valore finale ÷ valore iniziale» elevato alla \(1/n\), meno 1: la percentuale all’anno se la crescita restasse uguale ogni anno. Per trovare invece il valore finale, il valore iniziale o gli anni basta riscrivere la formula, quindi, se conosci tre dei quattro dati, il quarto si può sempre calcolare.
Simboli e termini
Simboli
| CAGR | ci-a-gi-erre | Il tasso di crescita annuo composto - la percentuale all’anno se la crescita restasse uguale ogni anno. In questa pagina si scrive con il simbolo \(r\). |
| \(V_0\) | V con zero a pedice | Il valore iniziale (il valore all’inizio del periodo). \(V\) sta per «valore» e il piccolo 0 in basso a destra sta per anno 0. (Esempio: ricavi di 1.000.000 € di cinque anni fa) |
| \(V_n\) | V con n a pedice | Il valore finale (il valore dopo \(n\) anni). La piccola \(n\) in basso a destra sta per anno \(n\). (Esempio: ricavi di 1.610.510 € di quest’anno) |
| \(G\) | G | Il fattore di crescita: valore finale ÷ valore iniziale (\(V_n \div V_0\)), quante volte è diventato più grande sull’intero periodo. Sta per «growth» (crescita). (Esempio: 1.000.000 € → 1.210.000 € dà \(G = 1{,}21\)) |
| \(n\) | n | Il numero di anni dal valore iniziale al valore finale. Sta per «numero». Può essere un decimale come 2,5 (18 mesi sono \(18 \div 12 = 1{,}5\) anni). |
| \(r\) | r | Il CAGR scritto in forma decimale. Sta per «rate» (tasso). Per il 10%, \(r = 0{,}1\); moltiplica per 100 per mostrarlo in percentuale. |
| \(1 + r\) | uno più r | Il fattore annuo. Per una crescita del 10% è \(1 + 0{,}1 = 1{,}1\). È l’1 di partenza più la crescita \(r\) e in \(n\) anni si moltiplica fino a \((1 + r)^n\). |
| \(x^{1/n}\) | x alla uno su n | \(x\) elevato alla \(1/n\): il numero che, elevato alla \(n\)-esima, dà \(x\) (la radice n-esima \(\sqrt[n]{x}\)). Per 2 anni è la radice quadrata e per 3 anni la radice cubica. (Esempio: \(1{,}21^{1/2} = \sqrt{1{,}21} = 1{,}1\)) |
| \(\log\) | log | Logaritmo: il simbolo di «a quale potenza va elevato un numero per ottenere questo valore?». Questa pagina lo usa per risalire agli anni, come in «a quale potenza va elevato 1,1 per ottenere 2?». La base può essere 10 (log decimale) oppure \(e\) (log naturale, \(\ln\)); purché sopra e sotto si usi la stessa base, la risposta è la stessa. |
| \(g\) | g | Il tasso di crescita medio semplice: solo la crescita totale divisa per gli anni, per confronto. Ha una lettera propria per tenerlo distinto dal CAGR \(r\) (ed è una grandezza diversa dalla \(G\) maiuscola, il fattore di crescita). |
Termini
| tasso di crescita annuo composto (CAGR) | La crescita su più anni trasformata nella percentuale all’anno che, mantenuta uguale ogni anno, dà lo stesso risultato. Dipende solo dal valore iniziale, dal valore finale e dal numero di anni; gli alti e bassi nel mezzo non entrano nel calcolo. È la misura standard per confrontare come tasso annuo la crescita di ricavi, utenti, dimensioni di un mercato, popolazione e così via. In italiano si trova anche l’abbreviazione TCAC. |
| capitalizzazione composta | Una crescita in cui la stessa percentuale si aggiunge anche a quanto è già stato aggiunto. Due anni di crescita del 10% danno \(1{,}1 \times 1{,}1 = 1{,}21\) volte (21% in più), non «10% + 10% = 20% in più». Il CAGR uniforma la crescita con questa visione composta. |
| media geometrica | La media che si ottiene moltiplicando tra loro \(n\) numeri ed elevando alla \(1/n\). Il CAGR è la media geometrica dei fattori annui meno 1, ed è diverso dalla media usuale (si somma e si divide, la media aritmetica). Per grandezze legate da una moltiplicazione, come i fattori, si usa la media geometrica. |
| tasso di crescita medio semplice (media aritmetica) | Solo la crescita totale sul periodo divisa per il numero di anni. È la visione lineare, «lo stesso importo ogni anno», e ignora la capitalizzazione composta, quindi per una crescita su più di un anno risulta più grande del CAGR (per un calo, il calo annuo risulta più piccolo del CAGR). Quando parli di tasso annuo, lo standard è il CAGR. |
| fattore di crescita | Valore finale ÷ valore iniziale, quante volte è diventato più grande sull’intero periodo. 1.000.000 € che arrivano a 1.610.510 € sono circa 1,61 volte. Sottrai 1 e moltiplica per 100 per ottenere la crescita totale (circa il 61% in più). |
| radice n-esima | Il numero che, elevato alla \(n\)-esima, dà un numero, scritto \(\sqrt[n]{x}\) o \(x^{1/n}\). Se qualcosa è cresciuto di 1,21 volte in 2 anni, il fattore annuo è \(\sqrt{1{,}21} = 1{,}1\), e questo è il cuore del calcolo del CAGR. |
| logaritmo (log) | Il numero che dà la potenza in «a quale potenza va elevato \(a\) per ottenere \(b\)?», scritto \(\log_{a} b\). Trova un esponente (quante volte si moltiplica), quindi serve per risalire agli anni, come in «in quanti anni si raddoppia con una crescita del 10% all’anno?». |
| regola del 72 | Una regola pratica per il calcolo a mente - «anni per raddoppiare ≈ 72 ÷ tasso annuo (%)». Al 10% all’anno servono circa 7,2 anni per raddoppiare e al 5% circa 14,4 anni. Si avvicina molto al valore esatto ricavato con i logaritmi. |
| crescita anno su anno (YoY) | La variazione dall’anno scorso a quest’anno, come in «+10% anno su anno». Il CAGR è il valore che questa variazione annua avrebbe se fosse uguale ogni anno. |
Cosa conviene sapere prima
Ecco che cosa ti aiuta a usare il calcolo di questa pagina capendolo davvero, e non solo premendo il pulsante.
Se ti blocchi, ripassare questi argomenti è la via più rapida per andare avanti.
| Percentuali (classe 5ª della primaria, 10-11 anni) |
|
| Potenze (scuola secondaria di primo grado, 11-14 anni) |
|
| Interesse composto (primo biennio delle superiori e educazione finanziaria, 14-16 anni) |
|
| Radici n-esime ed esponenti razionali (scuola secondaria di secondo grado, 14-19 anni) |
|
| Logaritmi (triennio della scuola secondaria di secondo grado, 16-19 anni) |
|
| Espressioni letterali e formule inverse (scuola secondaria di primo grado, 11-14 anni) |
|
Come calcolarlo con Excel
Copia tutta la tabella qui sotto e incollala nella cella A1 di Excel. Funziona così com’è.
Tabella per trovare il CAGR
| Valore iniziale V0 | 1000 |
| Valore finale Vn | 1610,51 |
| Anni n | 5 |
| CAGR r (%) | =((B2/B1)^(1/B3)-1)*100 |
Tabella per trovare il valore finale
| Valore iniziale V0 | 1000 |
| CAGR r (%) | 10 |
| Anni n | 3 |
| Valore finale Vn | =B1*(1+B2/100)^B3 |
Tabella per trovare il valore iniziale
| Valore finale Vn | 1331 |
| CAGR r (%) | 10 |
| Anni n | 3 |
| Valore iniziale V0 | =B1/(1+B2/100)^B3 |
Tabella per trovare gli anni necessari per raggiungere un obiettivo
| Valore iniziale V0 | 1000 |
| Valore finale Vn (obiettivo) | 2000 |
| CAGR r (%) | 10 |
| Anni n | =LN(B2/B1)/LN(1+B3/100) |
| Anni arrotondati per eccesso | =ARROTONDA.PER.ECC(B4;0) |
Tabella per trovare il tasso di crescita medio semplice (per confronto)
| Valore iniziale V0 | 1000 |
| Valore finale Vn | 1210 |
| Anni n | 2 |
| Tasso di crescita medio semplice g (%) | =(B2/B1-1)/B3*100 |
Dopo l’incolla, da B1 a B3 sono i tuoi dati e B4 si calcola da sola.
Per esempio, la prima tabella mostra 10 in B4 (un CAGR del 10%), la seconda mostra 1331 in B4 (il valore dopo 3 anni), la terza mostra 1000 in B4 (il valore iniziale necessario), la quarta mostra circa 7,27 in B4 (anni) e 8 in B5 (anni arrotondati per eccesso) e la quinta mostra 10,5 in B4 (il tasso di crescita medio semplice).
«^(1/B3)» è «elevato alla 1/n» e «LN» è il logaritmo naturale (log in base \(e\)). La formula degli anni dà lo stesso risultato con «LOG10» o con «LOG», purché sopra e sotto si usi la stessa funzione.
Per esempio, la prima tabella mostra 10 in B4 (un CAGR del 10%), la seconda mostra 1331 in B4 (il valore dopo 3 anni), la terza mostra 1000 in B4 (il valore iniziale necessario), la quarta mostra circa 7,27 in B4 (anni) e 8 in B5 (anni arrotondati per eccesso) e la quinta mostra 10,5 in B4 (il tasso di crescita medio semplice).
«^(1/B3)» è «elevato alla 1/n» e «LN» è il logaritmo naturale (log in base \(e\)). La formula degli anni dà lo stesso risultato con «LOG10» o con «LOG», purché sopra e sotto si usi la stessa funzione.
Come calcolarlo con Fogli Google
Copia tutta la tabella qui sotto e incollala nella cella A1 di Fogli Google. Funziona così com’è.
Tabella per trovare il CAGR
| Valore iniziale V0 | 1000 |
| Valore finale Vn | 1610,51 |
| Anni n | 5 |
| CAGR r (%) | =((B2/B1)^(1/B3)-1)*100 |
Tabella per trovare il valore finale
| Valore iniziale V0 | 1000 |
| CAGR r (%) | 10 |
| Anni n | 3 |
| Valore finale Vn | =B1*(1+B2/100)^B3 |
Tabella per trovare il valore iniziale
| Valore finale Vn | 1331 |
| CAGR r (%) | 10 |
| Anni n | 3 |
| Valore iniziale V0 | =B1/(1+B2/100)^B3 |
Tabella per trovare gli anni necessari per raggiungere un obiettivo
| Valore iniziale V0 | 1000 |
| Valore finale Vn (obiettivo) | 2000 |
| CAGR r (%) | 10 |
| Anni n | =LN(B2/B1)/LN(1+B3/100) |
| Anni arrotondati per eccesso | =ARROTONDA.PER.ECC(B4;0) |
Tabella per trovare il tasso di crescita medio semplice (per confronto)
| Valore iniziale V0 | 1000 |
| Valore finale Vn | 1210 |
| Anni n | 2 |
| Tasso di crescita medio semplice g (%) | =(B2/B1-1)/B3*100 |
Le stesse formule di Excel funzionano così come sono. Copia l’intera tabella, incollala nella cella A1 e sostituisci da B1 a B3 con i tuoi numeri.
Come calcolarlo con Python
import math
start_value = 1000 # valore iniziale (per esempio i ricavi di 5 anni fa, in migliaia di euro)
end_value = 1610.51 # valore finale (per esempio i ricavi di quest’anno)
years = 5 # anni
# CAGR = (valore finale / valore iniziale)^(1/anni) - 1
cagr = (end_value / start_value) ** (1 / years) - 1
print(f"CAGR: {cagr * 100:.2f}%")
# Per confronto: tasso di crescita medio semplice = crescita totale / anni
simple_avg = (end_value / start_value - 1) / years
print(f"Tasso di crescita medio semplice: {simple_avg * 100:.2f}%")
# Calcolo inverso 1: il valore dopo n anni dal valore iniziale e dal CAGR
rate = 0.10 # CAGR (10%)
future_value = start_value * (1 + rate) ** 3
print(f"Valore dopo 3 anni: {future_value:.2f}")
# Calcolo inverso 2: gli anni per raggiungere un obiettivo dal valore iniziale, dall’obiettivo e dal CAGR
target_value = 2000
years_needed = math.log(target_value / start_value) / math.log(1 + rate)
print(f"Anni per raddoppiare: {years_needed:.2f} (arrotondati per eccesso: {math.ceil(years_needed)})")
Funziona solo con la libreria standard. In questo esempio il CAGR è 10,00%, il tasso di crescita medio semplice è 12,21%, il valore dopo 3 anni è 1331,00 e gli anni per raddoppiare sono circa 7,27 (8 arrotondati per eccesso). «** (1 / years)» è «elevato alla 1/n» e math.log è il logaritmo naturale. Cambia in alto il valore iniziale, il valore finale e gli anni ed esegui il codice.
La formula in LaTeX e in altre notazioni matematiche (da copiare)
Formula del tasso di crescita annuo composto (CAGR)
r = (Vₙ ÷ V₀)^(1/n) − 1
r = \left(\dfrac{V_n}{V_0}\right)^{1/n} - 1
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>r</mi>
<mo>=</mo>
<msup>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mfrac><msub><mi>V</mi><mi>n</mi></msub><msub><mi>V</mi><mn>0</mn></msub></mfrac>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mrow><mn>1</mn><mo>/</mo><mi>n</mi></mrow>
</msup>
<mo>−</mo>
<mn>1</mn>
</mrow>
</math>
r = (V_n/V_0)^(1/n) - 1
(vn/v0)^(1/n) - 1
r := (V_n/V_0)^(1/n) - 1;
r = (V_n/V_0)^(1/n) - 1;
r = (V_n/V_0)^(1/n) - 1
Formula del valore finale (il valore dopo n anni)
Vₙ = V₀ × (1 + r)ⁿ
V_n = V_0 (1 + r)^{n}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msub><mi>V</mi><mi>n</mi></msub>
<mo>=</mo>
<msub><mi>V</mi><mn>0</mn></msub>
<msup>
<mrow><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>r</mi><mo>)</mo></mrow>
<mi>n</mi>
</msup>
</mrow>
</math>
V_n = V_0 (1 + r)^n
v0 (1 + r)^n
V_n := V_0*(1 + r)^n;
V_n = V_0*(1 + r)^n;
V_n = V_0 (1 + r)^n
Formula del valore iniziale (quanto serve oggi per raggiungere un obiettivo)
V₀ = Vₙ ÷ (1 + r)ⁿ
V_0 = \dfrac{V_n}{(1 + r)^{n}}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msub><mi>V</mi><mn>0</mn></msub>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<msub><mi>V</mi><mi>n</mi></msub>
<msup>
<mrow><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>r</mi><mo>)</mo></mrow>
<mi>n</mi>
</msup>
</mfrac>
</mrow>
</math>
V_0 = V_n/(1 + r)^n
vn/(1 + r)^n
V_0 := V_n/(1 + r)^n;
V_0 = V_n/(1 + r)^n;
V_0 = V_n/(1 + r)^n
Formula degli anni necessari per raggiungere un obiettivo
n = log(Vₙ ÷ V₀) ÷ log(1 + r)
n = \dfrac{\log\left(V_n / V_0\right)}{\log(1 + r)}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>n</mi>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow><mi>log</mi><mo>(</mo><msub><mi>V</mi><mi>n</mi></msub><mo>/</mo><msub><mi>V</mi><mn>0</mn></msub><mo>)</mo></mrow>
<mrow><mi>log</mi><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>r</mi><mo>)</mo></mrow>
</mfrac>
</mrow>
</math>
n = log(V_n/V_0)/log(1 + r)
Log[vn/v0]/Log[1 + r]
n := log(V_n/V_0)/log(1 + r);
n = log(V_n/V_0)/log(1 + r);
n = log(V_n/V_0)/log(1 + r)
Per confronto: il tasso di crescita medio semplice (in che cosa differisce dal CAGR)
g = (Vₙ ÷ V₀ − 1) ÷ n
g = \dfrac{V_n / V_0 - 1}{n}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>g</mi>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow><msub><mi>V</mi><mi>n</mi></msub><mo>/</mo><msub><mi>V</mi><mn>0</mn></msub><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow>
<mi>n</mi>
</mfrac>
</mrow>
</math>
g = (V_n/V_0 - 1)/n
(vn/v0 - 1)/n
g := (V_n/V_0 - 1)/n;
g = (V_n/V_0 - 1)/n;
g = (V_n/V_0 - 1)/n
Come chiedere a ChatGPT di fare il calcolo
Sei un assistente per la pianificazione aziendale. Fai il calcolo seguente eseguendo davvero del codice Python e basa la risposta solo sui numeri del risultato dell’esecuzione (non rispondere con calcoli a mente o a intuito). I ricavi annui di un’azienda erano 1.000.000 € cinque anni fa e 1.610.510 € quest’anno. Trova ciascuno dei dati seguenti: 1. Il tasso di crescita annuo composto, CAGR ((valore finale ÷ valore iniziale)^(1/anni) − 1, in percentuale con 2 decimali) 2. Per confronto, il tasso di crescita medio semplice ((valore finale ÷ valore iniziale − 1) ÷ anni, in percentuale) e, in 1 o 2 frasi, perché è diverso dal CAGR 3. I ricavi dopo 3 anni dall’inizio se questo CAGR continua (valore iniziale × (1 + CAGR)^3) 4. Partendo dai ricavi di quest’anno, gli anni necessari perché i ricavi raddoppino allo stesso CAGR (log(2) ÷ log(1 + CAGR), sia in forma decimale sia arrotondati per eccesso) Mostra le formule usate e i numeri del risultato dell’esecuzione.
Come si usa
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Funzioni correlate
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Ricava il tasso annuo lisciato quando conosci il rendimento di ogni periodo (+10%, −2%, +15% ...). Serve per gli investimenti di cui conosci i valori intermedi
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La capitalizzazione composta su cui si basa il CAGR. Ricava a quanto cresce un capitale a un tasso di interesse fisso
