Calcolatrice di seno, coseno e tangente (rapporti trigonometrici e angoli con la circonferenza goniometrica)
Scegli «valore da un angolo» o «angolo da un valore» e scrivi i tuoi numeri. Il risultato è accompagnato da una figura della circonferenza goniometrica.
Scrivi l’angolo in gradi (°). Vanno bene angoli negativi e angoli oltre 360°. Per il valore del rapporto trigonometrico puoi usare decimali o frazioni come 1/2.
Risultato e figura
Scrivi un angolo (o il valore di un rapporto trigonometrico) nei campi a sinistra e fai clic su «Calcola». Qui compariranno il risultato e la figura della circonferenza goniometrica.
Indice
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Cosa puoi fare in questa pagina
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A cosa serve questo calcolo?
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Come si usa
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Formule e figure
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Simboli e termini
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Cosa conviene sapere prima
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Come calcolarlo con Excel
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Come calcolarlo con Fogli Google
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Come calcolarlo con Python
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La formula in LaTeX e in altre notazioni matematiche (da copiare)
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Come chiedere a ChatGPT di fare il calcolo
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I punti di forza di DataChef
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Funzioni correlate
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Tutte le calcolatrici di NumberChef
Cosa puoi fare in questa pagina
- Scrivi un angolo \(\theta\) in gradi e ottieni in un colpo solo \(\sin\theta\), \(\cos\theta\) e \(\tan\theta\). Per gli angoli notevoli come \(30^\circ\), \(45^\circ\), \(60^\circ\) e \(120^\circ\), la risposta è mostrata sia come valore esatto, per esempio \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\), sia in decimale
- Puoi anche fare il percorso inverso, con le funzioni trigonometriche inverse, e ricavare l’angolo dal valore di un rapporto trigonometrico, come in «per quale angolo \(\sin\theta = 0{,}5\)?» (nell’intervallo da \(0^\circ\) a \(180^\circ\). Se corrispondono due angoli, vengono mostrati entrambi)
- Vanno bene anche angoli negativi e angoli oltre \(360^\circ\). Gli angoli si danno in gradi, con la misura in radianti mostrata accanto
- Il risultato è accompagnato da una figura della circonferenza goniometrica, così vedi a colpo d’occhio quali lunghezze sulla circonferenza sono \(\sin\theta\) e \(\cos\theta\)
- In questa pagina trovi anche una spiegazione semplice delle formule e le formule da copiare e incollare per Excel, Fogli Google e Python
Quando un valore non è definito, come per \(\tan 90^\circ\), la pagina non si ferma con un errore. Mostra il risultato con una spiegazione del perché il valore non è definito.
A cosa serve questo calcolo?
Esprimere con un numero la pendenza di strade e rampe (strade e progettazione accessibile)
I cartelli stradali che segnalano una salita o una discesa riportano la pendenza in percentuale, per esempio «10%»: la strada sale di 10 m ogni 100 m in orizzontale. È proprio \(\tan\theta = 0{,}1\) (circa \(5{,}7^\circ\)). In Italia le rampe per le carrozzine non devono superare la pendenza dell’8% (DM 236/1989, art. 8.1.11), cioè \(\tan\theta = 0{,}08\) (circa \(4{,}6^\circ\)); per adeguare edifici esistenti la norma ammette in certi casi pendenze maggiori, fino al 12%.
Il valore della tangente è più comodo in cantiere dell’angolo, perché viene direttamente dal dislivello e dalla distanza orizzontale. Per questo le pendenze si indicano proprio con questo rapporto trigonometrico.
Misurare l’altezza di un albero o di un edificio a distanza (rilievo topografico)
Se non puoi arrivare in cima a qualcosa di alto con un metro, ne ricavi l’altezza dalla distanza e dall’angolo con cui lo guardi dal basso (l’angolo di elevazione): altezza = distanza × \(\tan\theta\). Per esempio, a 20 m da un albero con un angolo di elevazione di \(30^\circ\), la parte sopra l’altezza dei tuoi occhi è \(20 \times \tan 30^\circ \approx 11{,}5\) m.
La triangolazione, usata nel rilievo dei terreni e nella cartografia, ricava distanze e posizioni dagli angoli misurati nello stesso modo. Anche gli strumenti topografici come le stazioni totali usano i rapporti trigonometrici per trasformare angoli e distanze misurati in coordinate.
Scomporre le forze su un piano inclinato (fisica e meccanica)
La gravità tira un oggetto su un piano inclinato dritto verso il basso. In fisica questa forza si scompone in due parti: la parte che cerca di far scivolare l’oggetto lungo il piano (peso × \(\sin\theta\)) e la parte che lo preme contro il piano (peso × \(\cos\theta\)).
Su un piano inclinato di \(30^\circ\), la forza che cerca di far scivolare l’oggetto è \(\sin 30^\circ = \dfrac{1}{2}\) del suo peso, cioè la metà. Quanto bene tiene il freno a mano in salita, o quanto in fretta scivoli su una pista da sci di una data pendenza: la fisica dei piani inclinati parte sempre da questa scomposizione.
Muovere un personaggio in diagonale nei videogiochi e nella grafica (programmazione)
Quando un videogioco muove qualcosa «con velocità \(v\) nella direzione dell’angolo \(\theta\)», il computer sposta la sua posizione di \(v \times \cos\theta\) in orizzontale e di \(v \times \sin\theta\) in verticale. Le traiettorie dei proiettili in uno sparatutto, i vertici di un grafico radar, le lancette di un orologio sullo schermo: ogni compito che trasforma un angolo in una posizione usa sin e cos.
La stessa definizione con la circonferenza goniometrica (\(x = \cos\theta,\ y = \sin\theta\)) è il programma della rotazione e del moto circolare sullo schermo.
Progettare la pendenza di un tetto (edilizia e carpenteria)
La pendenza di una falda di tetto si può esprimere in percentuale, per esempio «35%» (sale di 35 cm ogni metro in orizzontale, quindi \(\tan\theta = 0{,}35\), circa \(19{,}3^\circ\)). Una volta fissata la pendenza, la lunghezza di un travetto è la proiezione orizzontale ÷ \(\cos\theta\): per una proiezione di 4 m servono circa \(4 \div \cos 19{,}3^\circ \approx 4{,}24\) m. Lo scorrimento dell’acqua, la neve che scivola via e la quantità di materiale si stimano tutti da questo valore.
Anche tracciare gli angoli di un tetto con la squadra del carpentiere usa i rapporti tra i lati di un triangolo rettangolo, che è proprio l’idea dei rapporti trigonometrici.
Formule e figure
sin (seno) = cateto opposto ÷ ipotenusa
Figura (un triangolo rettangolo e i suoi rapporti trigonometrici)
Notazione matematica
(la notazione abituale)
\(\sin\theta\)
\(=\)
\(a\)
\(\div\)
\(c\)
A parole
(i simboli sostituiti da parole)
③
\(\sin\theta\): seno dell’angolo \(\theta\)
\(=\)
①
\(a\): cateto opposto (di fronte a \(\theta\))
\(\div\)
②
\(c\): ipotenusa
La formula a parole
①
In un triangolo rettangolo, prendi il
\(a\): cateto opposto (il lato di fronte all’angolo \(\theta\))
②
dividilo per l’
\(c\): ipotenusa (il lato più lungo, di fronte all’angolo retto)
③
e ottieni il
\(\sin\theta\): seno dell’angolo \(\theta\)
Un esempio semplice
In un triangolo rettangolo con rapporto tra i lati \(3 : 4 : 5\) (cateto opposto 3, cateto adiacente 4, ipotenusa 5),
\(\sin\theta\)
\(=\)
cateto opposto 3
\(\div\)
ipotenusa 5
\(\sin\theta = \dfrac{3}{5} = 0{,}6\)
L’idea chiave
Il seno è un rapporto: se prendi l’ipotenusa come 1, a quale altezza sali? Una volta fissato l’angolo \(\theta\), questo rapporto ha un solo valore, per quanto grande sia il triangolo (i triangoli con la stessa forma sono simili). Per questo si può usare come funzione del solo angolo.
Per ricordare i tre rapporti: seno = cateto opposto ÷ ipotenusa, coseno = cateto adiacente ÷ ipotenusa, tangente = cateto opposto ÷ cateto adiacente.
cos (coseno) = cateto adiacente ÷ ipotenusa
Notazione matematica
(la notazione abituale)
\(\cos\theta\)
\(=\)
\(b\)
\(\div\)
\(c\)
A parole
(i simboli sostituiti da parole)
③
\(\cos\theta\): coseno dell’angolo \(\theta\)
\(=\)
①
\(b\): cateto adiacente (accanto a \(\theta\))
\(\div\)
②
\(c\): ipotenusa
La formula a parole
①
In un triangolo rettangolo, prendi il
\(b\): cateto adiacente (il lato accanto all’angolo \(\theta\) che forma l’angolo retto)
②
dividilo per l’
\(c\): ipotenusa
③
e ottieni il
\(\cos\theta\): coseno dell’angolo \(\theta\)
Un esempio semplice
In un triangolo rettangolo con rapporto tra i lati \(3 : 4 : 5\) (cateto opposto 3, cateto adiacente 4, ipotenusa 5),
\(\cos\theta\)
\(=\)
cateto adiacente 4
\(\div\)
ipotenusa 5
\(\cos\theta = \dfrac{4}{5} = 0{,}8\)
L’idea chiave
Il coseno è un rapporto: se prendi l’ipotenusa come 1, quanto avanzi in orizzontale?
Il «co» di coseno viene da «complementare» (l’angolo che sommato a \(\theta\) dà \(90^\circ\)): \(\cos\theta = \sin(90^\circ - \theta)\). Il coseno di un angolo è uguale al seno del suo complementare. Per esempio, \(\cos 60^\circ = \sin 30^\circ = \dfrac{1}{2}\).
tan (tangente) = cateto opposto ÷ cateto adiacente
Notazione matematica
(la notazione abituale)
\(\tan\theta\)
\(=\)
\(a\)
\(\div\)
\(b\)
A parole
(i simboli sostituiti da parole)
③
\(\tan\theta\): tangente dell’angolo \(\theta\)
\(=\)
①
\(a\): cateto opposto (di fronte a \(\theta\))
\(\div\)
②
\(b\): cateto adiacente (accanto a \(\theta\))
La formula a parole
①
In un triangolo rettangolo, prendi il
\(a\): cateto opposto (il lato di fronte all’angolo \(\theta\))
②
dividilo per il
\(b\): cateto adiacente (il lato accanto all’angolo \(\theta\))
③
e ottieni la
\(\tan\theta\): tangente dell’angolo \(\theta\)
Un esempio semplice
In un triangolo rettangolo con rapporto tra i lati \(3 : 4 : 5\) (cateto opposto 3, cateto adiacente 4, ipotenusa 5),
\(\tan\theta\)
\(=\)
cateto opposto 3
\(\div\)
cateto adiacente 4
\(\tan\theta = \dfrac{3}{4} = 0{,}75\)
L’idea chiave
La tangente dice di quanto sali per ogni 1 che avanzi in orizzontale. In altre parole, è il coefficiente angolare della salita stessa.
Dalle definizioni, \(\tan\theta = \dfrac{a}{b} = \dfrac{a \div c}{b \div c} = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}\). Il denominatore è \(\cos\theta\), quindi per \(\theta = 90^\circ\), dove \(\cos\theta = 0\), \(\tan 90^\circ\) non è definita (non si può dividere per 0).
Circonferenza goniometrica: definizione (per angoli di 90° o più)
Figura (la circonferenza goniometrica e i rapporti trigonometrici)
Notazione matematica
(la notazione abituale)
\(\cos\theta\)
\(=\)
\(x\)
\(\sin\theta\)
\(=\)
\(y\)
A parole
(i simboli sostituiti da parole)
②
\(\cos\theta\): coseno dell’angolo \(\theta\)
\(=\)
①
\(x\): ascissa del punto \(P\)
④
\(\sin\theta\): seno dell’angolo \(\theta\)
\(=\)
③
\(y\): ordinata del punto \(P\)
La formula a parole
①
Sulla circonferenza di raggio \(1\) con centro nell’origine \(O\) (la circonferenza goniometrica), ruota una semiretta (il lato terminale) dell’angolo \(\theta\) a partire dal semiasse positivo delle \(x\) e chiama \(P\) il punto in cui incontra la circonferenza. Allora
l’ascissa del punto \(P\)
②
è il
\(\cos\theta\): coseno dell’angolo \(\theta\)
③
e
l’ordinata del punto \(P\)
④
è il
\(\sin\theta\): seno dell’angolo \(\theta\)
Un esempio semplice
Quando \(\theta = 120^\circ\) (un angolo ottuso), il punto sulla circonferenza goniometrica è \(P\left(-\dfrac{1}{2}\,;\ \dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\), quindi
\(\cos 120^\circ\)
\(=\)
ascissa \(-\dfrac{1}{2}\)
\(\sin 120^\circ\)
\(=\)
ordinata \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)
\(\cos 120^\circ = -\dfrac{1}{2}, \quad \sin 120^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2}, \quad \tan 120^\circ = \dfrac{\sin 120^\circ}{\cos 120^\circ} = -\sqrt{3}\)
L’idea chiave
La definizione con il triangolo rettangolo vale solo per angoli maggiori di \(0^\circ\) e minori di \(90^\circ\). Con la circonferenza goniometrica, i rapporti trigonometrici si estendono a \(0^\circ\), \(90^\circ\), agli angoli ottusi, a \(180^\circ\) e poi a qualsiasi angolo fino a \(360^\circ\) e oltre. Questa calcolatrice usa questa definizione.
Oltre \(90^\circ\), il punto \(P\) passa a sinistra dell’asse \(y\) e la sua ascissa diventa negativa, quindi \(\cos\theta\) e \(\tan\theta\) sono negativi (\(\sin\theta\) resta 0 o maggiore da \(0^\circ\) fino a \(180^\circ\)).
\(\tan\theta\) è il coefficiente angolare della retta \(OP\). Quando si ricava l’angolo da un valore, \(\sin\theta = 0{,}5\) corrisponde a due angoli, \(30^\circ\) e \(150^\circ\), mentre \(\cos\theta\) e \(\tan\theta\) danno una sola risposta. La figura spiega il perché: i punti alla stessa altezza vengono in coppie simmetriche, ma una data ascissa corrisponde a un solo punto e un dato coefficiente angolare a un solo lato terminale. (L’eccezione è quando il lato terminale sta sull’asse \(x\): \(\sin\theta = 0\) e \(\tan\theta = 0\) corrispondono entrambi a \(0^\circ\) e a \(180^\circ\).)
In un triangolo rettangolo i rapporti trigonometrici sono \(\sin\theta = \dfrac{\text{cateto opposto}}{\text{ipotenusa}},\ \cos\theta = \dfrac{\text{cateto adiacente}}{\text{ipotenusa}},\ \tan\theta = \dfrac{\text{cateto opposto}}{\text{cateto adiacente}}\). Sulla circonferenza goniometrica sono l’ordinata del punto \(P\), la sua ascissa e il coefficiente angolare della retta \(OP\). Per gli angoli notevoli come \(30^\circ\), \(45^\circ\) e \(60^\circ\), i valori esatti vengono dai rapporti tra i lati dei triangoli notevoli (\(1 : \sqrt{3} : 2\) e \(1 : 1 : \sqrt{2}\)).
Simboli e termini
Simboli
| \(\theta\) | teta | Una lettera greca usata spesso per gli angoli (non c’è una spiegazione condivisa del perché si usi \(\theta\)). Oltre a \(\theta\), per gli angoli si usano anche \(\alpha\) (alfa) e \(\beta\) (beta). |
| \(\sin\theta\) | seno di teta | Il seno dell’angolo \(\theta\): «cateto opposto ÷ ipotenusa» in un triangolo rettangolo, e l’ordinata del punto \(P\) sulla circonferenza goniometrica. Il nome viene dalla parola latina sinus (insenatura, piega). |
| \(\cos\theta\) | coseno di teta | Il coseno dell’angolo \(\theta\): «cateto adiacente ÷ ipotenusa» in un triangolo rettangolo, e l’ascissa del punto \(P\) sulla circonferenza goniometrica. Il «co» sta per «complementare»: è il seno dell’angolo complementare \(90^\circ - \theta\). |
| \(\tan\theta\) | tangente di teta | La tangente dell’angolo \(\theta\): «cateto opposto ÷ cateto adiacente» in un triangolo rettangolo, che è il coefficiente angolare di una retta. Il nome viene dalla parola latina per «che tocca», perché compare come lunghezza su una retta tangente alla circonferenza goniometrica. |
| \(a,\ b,\ c\) | a, b, c | In questa pagina, i tre lati del triangolo rettangolo: \(a\) è il cateto opposto (di fronte all’angolo \(\theta\)), \(b\) è il cateto adiacente (accanto all’angolo \(\theta\)) e \(c\) è l’ipotenusa. |
| \(P(x\,;\,y)\) | P di x punto e virgola y | Il punto in cui il lato terminale incontra la circonferenza goniometrica. \(P\) sta per «punto». La sua ascissa è \(\cos\theta\) e la sua ordinata è \(\sin\theta\). |
| \(O\) | o | L’origine (il punto \((0\,;\,0)\)), dall’iniziale di «origine». È il centro della circonferenza goniometrica e il punto attorno a cui ruota il lato terminale. |
| \(\sqrt{2},\ \sqrt{3}\) | radice quadrata di 2, radice quadrata di 3 | I numeri positivi il cui quadrato è 2 e 3 (\(\sqrt{2} \approx 1{,}414,\ \sqrt{3} \approx 1{,}732\)). Compaiono nei rapporti tra i lati dei triangoli notevoli, quindi ricorrono spesso nei valori esatti dei rapporti trigonometrici degli angoli notevoli. |
| \(^\circ\) (gradi) | gradi | L’unità di misura dell’ampiezza di un angolo nella misura in gradi. Un giro completo è \(360^\circ\). È il modo più familiare di esprimere gli angoli, usato anche nella vita di tutti i giorni. |
| \(\pi\) | pi greco | Il rapporto tra la circonferenza e il diametro di un cerchio (\(\approx 3{,}14159\)). Si usa quando gli angoli sono dati in radianti: \(180^\circ = \pi\) radianti. |
Termini
| rapporto trigonometrico | Il rapporto tra due lati di un triangolo rettangolo. I tre fondamentali sono sin, cos e tan. Una volta fissato l’angolo, ciascuno ha un solo valore, per quanto grande sia il triangolo. In Italia la trigonometria si studia di solito nella scuola secondaria di secondo grado. |
| seno | Il nome per esteso di sin. Storicamente risale alla metà di una corda (un segmento che unisce due punti di una circonferenza). |
| coseno | Il nome per esteso di cos. È l’abbreviazione di «seno del complementare»: il seno dell’angolo complementare (l’angolo che sommato dà 90°), \(\cos\theta = \sin(90^\circ - \theta)\). |
| tangente | Il nome per esteso di tan. Il nome viene dalla retta tangente a una circonferenza: \(\tan\theta\) si può disegnare come una lunghezza sulla retta che tocca la circonferenza goniometrica in \((1\,;\,0)\). |
| ipotenusa | Il lato più lungo di un triangolo rettangolo, di fronte all’angolo retto. Nelle definizioni di sin e cos è il numero per cui si divide (il denominatore). |
| cateto opposto | Il lato di fronte all’angolo \(\theta\) che stai considerando. Nota che quale lato sia il cateto opposto cambia a seconda dell’angolo che consideri. |
| cateto adiacente | Il lato accanto all’angolo \(\theta\) che stai considerando (il cateto che tocca \(\theta\), non l’ipotenusa). Nota che quale lato sia il cateto adiacente cambia a seconda dell’angolo che consideri. |
| circonferenza goniometrica | La circonferenza di raggio 1 con centro nell’origine. Con il raggio posto uguale a 1, le coordinate di un punto sono direttamente i valori di sin e cos, senza dividere per l’ipotenusa. È lo strumento che estende i rapporti trigonometrici agli angoli di 90° o più. |
| lato terminale | La semiretta uscente dall’origine ruotata dell’angolo \(\theta\) a partire dal semiasse positivo delle \(x\) (l’angolo è in posizione standard). Mostra nella figura l’ampiezza dell’angolo. |
| angolo ottuso | Un angolo maggiore di 90° e minore di 180°. I rapporti trigonometrici di un angolo ottuso non si possono definire con un triangolo rettangolo, quindi si usa la circonferenza goniometrica. Per gli angoli ottusi, cos e tan sono negativi. |
| triangolo rettangolo | Un triangolo con un angolo retto (90°). È l’ambiente in cui i rapporti trigonometrici sono stati definiti per la prima volta. Gli altri due angoli sommano 90°. |
| triangoli notevoli | Il triangolo 45°-45°-90° (rapporto tra i lati \(1 : 1 : \sqrt{2}\), metà di un quadrato) e il triangolo 30°-60°-90° (rapporto tra i lati \(1 : \sqrt{3} : 2\), metà di un triangolo equilatero). I valori esatti di seno e coseno degli angoli notevoli vengono dai rapporti tra i lati di questi due triangoli. Sono anche le forme delle due squadre classiche da disegno. |
| razionalizzare il denominatore | Riscrivere una frazione in modo che non ci sia una radice quadrata al denominatore. Moltiplicando numeratore e denominatore di \(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\) per \(\sqrt{2}\) si ottiene \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\). Sono lo stesso valore. I libri di testo italiani di solito danno la forma razionalizzata \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\). |
| misura in gradi | Misurare gli angoli ponendo un giro completo uguale a 360°. È l’unità principale di input e output in questa pagina. Il numero 360 ha molti divisori (la metà, un terzo, un quarto … sono tutti numeri interi) ed è usato fin dall’antichità. |
| misura in radianti (radiante) | Misurare un angolo con la lunghezza dell’arco su una circonferenza di raggio 1. \(180^\circ = \pi\) radianti e gli angoli si scrivono come frazioni di \(\pi\), come \(60^\circ = \dfrac{\pi}{3}\). I radianti sono l’unità principale dell’analisi matematica, quindi questa pagina li mostra accanto ai gradi. |
| funzioni trigonometriche inverse | Una funzione che va all’indietro dal valore di un rapporto trigonometrico all’angolo, come in «per quale θ si ha sin θ = 0,5?». Esempi sono l’arcoseno (\(\sin^{-1}\), arcsin) e le sue compagne. Le hanno le calcolatrici scientifiche ed Excel. La modalità «angolo da un valore» di questa pagina è proprio questo calcolo. |
| angolo notevole | Un angolo come 30°, 45°, 60°, 90° o 120° i cui rapporti trigonometrici si possono scrivere come valori esatti (con frazioni e radici quadrate). Sono gli angoli dei triangoli notevoli e gli angoli ottenuti da essi, come 180° − θ. |
Cosa conviene sapere prima
Ecco cosa conviene sapere per usare il calcolo di questa pagina capendo davvero cosa fai, e non solo premendo il pulsante.
Se ti blocchi, tornare a rivedere questi argomenti è la strada più rapida.
| Rapporti e proporzioni (classi 5ª della primaria – 1ª della secondaria di primo grado, 10-12 anni) |
|
| Il piano cartesiano (scuola secondaria di primo grado) |
|
| La circonferenza (classe 1ª della secondaria di primo grado e oltre, dagli 11 anni) |
|
| Triangoli simili (classi 2ª–3ª della secondaria di primo grado, 12-14 anni) |
|
| Il teorema di Pitagora (classe 2ª della secondaria di primo grado, 12-13 anni) |
|
| Radici quadrate (scuola secondaria di primo e di secondo grado) |
|
Come calcolarlo con Excel
Copia tutta la tabella qui sotto e incollala nella cella A1 di Excel. Funziona così com’è.
Tabella per ricavare sin θ (cateto opposto ÷ ipotenusa)
| Cateto opposto a | 3 |
| Ipotenusa c | 5 |
| sin θ = a ÷ c | =B1/B2 |
Tabella per ricavare cos θ (cateto adiacente ÷ ipotenusa)
| Cateto adiacente b | 4 |
| Ipotenusa c | 5 |
| cos θ = b ÷ c | =B1/B2 |
Tabella per ricavare tan θ (cateto opposto ÷ cateto adiacente)
| Cateto opposto a | 3 |
| Cateto adiacente b | 4 |
| tan θ = a ÷ b | =B1/B2 |
Tabella per ricavare sin, cos e tan da un angolo
| Angolo θ (gradi) | 60 |
| sin θ | =SEN(RADIANTI(B1)) |
| cos θ | =COS(RADIANTI(B1)) |
| tan θ | =TAN(RADIANTI(B1)) |
Tabella per ricavare l’angolo da sin θ (da 0° a 180°)
| Valore di sin θ | 0,5 |
| Angolo 1 (gradi) | =GRADI(ARCSEN(B1)) |
| Angolo 2 (gradi) | =180-B2 |
Le funzioni SEN, COS e TAN di Excel prendono l’angolo in radianti, quindi per lavorare in gradi converti prima con la funzione RADIANTI. Al contrario, le risposte di ARCSEN (arcoseno) e delle funzioni simili tornano in radianti, quindi convertile in gradi con la funzione GRADI.
Le prime tre tabelle usano un triangolo rettangolo con rapporto tra i lati 3 : 4 : 5. Le risposte sono 0,6, 0,8 e 0,75.
La quarta tabella usa un angolo di 60°: sin θ = 0,8660…, cos θ = 0,5 e tan θ = 1,7320….
La quinta tabella trova gli angoli in cui sin θ = 0,5: l’angolo 1 è 30 e l’angolo 2 è 150 (tra 0° e 180°, due angoli simmetrici hanno lo stesso seno). Per il coseno basta una sola formula, «=GRADI(ARCCOS(B1))». Per la tangente usa «=GRADI(ARCTAN(B1))» e somma 180 se la risposta è negativa.
Le prime tre tabelle usano un triangolo rettangolo con rapporto tra i lati 3 : 4 : 5. Le risposte sono 0,6, 0,8 e 0,75.
La quarta tabella usa un angolo di 60°: sin θ = 0,8660…, cos θ = 0,5 e tan θ = 1,7320….
La quinta tabella trova gli angoli in cui sin θ = 0,5: l’angolo 1 è 30 e l’angolo 2 è 150 (tra 0° e 180°, due angoli simmetrici hanno lo stesso seno). Per il coseno basta una sola formula, «=GRADI(ARCCOS(B1))». Per la tangente usa «=GRADI(ARCTAN(B1))» e somma 180 se la risposta è negativa.
Come calcolarlo con Fogli Google
Copia tutta la tabella qui sotto e incollala nella cella A1 di Fogli Google. Funziona così com’è.
Tabella per ricavare sin θ (cateto opposto ÷ ipotenusa)
| Cateto opposto a | 3 |
| Ipotenusa c | 5 |
| sin θ = a ÷ c | =B1/B2 |
Tabella per ricavare cos θ (cateto adiacente ÷ ipotenusa)
| Cateto adiacente b | 4 |
| Ipotenusa c | 5 |
| cos θ = b ÷ c | =B1/B2 |
Tabella per ricavare tan θ (cateto opposto ÷ cateto adiacente)
| Cateto opposto a | 3 |
| Cateto adiacente b | 4 |
| tan θ = a ÷ b | =B1/B2 |
Tabella per ricavare sin, cos e tan da un angolo
| Angolo θ (gradi) | 60 |
| sin θ | =SEN(RADIANTI(B1)) |
| cos θ | =COS(RADIANTI(B1)) |
| tan θ | =TAN(RADIANTI(B1)) |
Tabella per ricavare l’angolo da sin θ (da 0° a 180°)
| Valore di sin θ | 0,5 |
| Angolo 1 (gradi) | =GRADI(ARCSEN(B1)) |
| Angolo 2 (gradi) | =180-B2 |
Valgono le stesse formule di Excel. Copia l’intera tabella, incollala nella cella A1 e sostituisci l’angolo o le lunghezze dei lati con i tuoi numeri.
Come calcolarlo con Python
import math
# Ricava sin, cos e tan da un angolo
angle_degree = 60
angle_radian = math.radians(angle_degree) # le funzioni trigonometriche del modulo math prendono i radianti
print(f"sin {angle_degree}° = {math.sin(angle_radian)}")
print(f"cos {angle_degree}° = {math.cos(angle_radian)}")
print(f"tan {angle_degree}° = {math.tan(angle_radian)}")
# Ricava l’angolo dal valore di un rapporto trigonometrico (da 0° a 180°)
sin_value = 0.5
angle_first = math.degrees(math.asin(sin_value)) # arcoseno; la risposta è in radianti, quindi si converte in gradi
angle_second = 180 - angle_first # sin(180° − θ) = sin θ dà l’altro angolo
print(f"Angoli in cui sin θ = {sin_value}: {angle_first}° e {angle_second}°")
Funziona con il solo modulo math della libreria standard. Le funzioni trigonometriche (sin, cos, tan) prendono l’angolo in radianti, quindi la chiave è convertire prima i gradi in radianti con math.radians(). Eseguendo questo esempio stampa sin 60° = 0,8660…, cos 60° = 0,5000… e tan 60° = 1,7320… (Python scrive i decimali con il punto), e gli angoli di circa 30° e 150° in cui sin θ = 0,5. Per ricavare un angolo dal coseno usa math.acos() (una sola risposta). Per la tangente usa math.atan() e somma 180 se la risposta è negativa.
La formula in LaTeX e in altre notazioni matematiche (da copiare)
sin (seno) = cateto opposto ÷ ipotenusa
sin θ = a/c
\sin\theta = \dfrac{a}{c}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>sin</mi><mo>⁡</mo><mi>θ</mi>
<mo>=</mo>
<mfrac><mi>a</mi><mi>c</mi></mfrac>
</mrow>
</math>
sin theta = a/c
Sin[30 Degree]
sin(30*Pi/180);
sind(30)
sin θ = a/c
cos (coseno) = cateto adiacente ÷ ipotenusa
cos θ = b/c
\cos\theta = \dfrac{b}{c}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>cos</mi><mo>⁡</mo><mi>θ</mi>
<mo>=</mo>
<mfrac><mi>b</mi><mi>c</mi></mfrac>
</mrow>
</math>
cos theta = b/c
Cos[30 Degree]
cos(30*Pi/180);
cosd(30)
cos θ = b/c
tan (tangente) = cateto opposto ÷ cateto adiacente
tan θ = a/b
\tan\theta = \dfrac{a}{b}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>tan</mi><mo>⁡</mo><mi>θ</mi>
<mo>=</mo>
<mfrac><mi>a</mi><mi>b</mi></mfrac>
</mrow>
</math>
tan theta = a/b
Tan[30 Degree]
tan(30*Pi/180);
tand(30)
tan θ = a/b
Circonferenza goniometrica: definizione (per angoli di 90° o più)
cos θ = x, sin θ = y (punto P(x ; y) sulla circonferenza goniometrica)
\cos\theta = x,\quad \sin\theta = y
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>cos</mi><mo>⁡</mo><mi>θ</mi><mo>=</mo><mi>x</mi>
<mo>,</mo>
<mi>sin</mi><mo>⁡</mo><mi>θ</mi><mo>=</mo><mi>y</mi>
</mrow>
</math>
cos theta = x, sin theta = y
{Cos[120 Degree], Sin[120 Degree]}
evalf([cos(120*Pi/180), sin(120*Pi/180)]);
[cosd(120), sind(120)]
cos θ = x, sin θ = y
Come chiedere a ChatGPT di fare il calcolo
Sei un assistente per il calcolo in matematica (rapporti trigonometrici). Esegui il calcolo seguente eseguendo davvero codice Python e rispondi basandoti soltanto sui numeri ottenuti dall’esecuzione (non rispondere a mente né a intuito). 1. Trova sin 135°, cos 135° e tan 135°. Dai ciascuno sia come valore esatto (con frazioni e radici quadrate) sia in decimale. 2. Per 0° ≤ θ ≤ 180°, trova tutti gli angoli θ in cui sin θ = 0,5. In Python usa il modulo math e converti i gradi in radianti prima di calcolare. Mostra le formule che hai usato e i numeri ottenuti dall’esecuzione.
Come si usa
-
1Inserisci i numeriScrivi nei campi i numeri con cui vuoi fare il calcolo
-
2CalcolaFai clic sul pulsante «Calcola»
-
3Guarda il risultatoIl risultato compare subito. Nella stessa pagina trovi anche lo svolgimento del calcolo e la spiegazione della formula
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