Calculadora de seno, coseno y tangente (razones trigonométricas y ángulos con circunferencia goniométrica)
Elige «hallar el valor a partir de un ángulo» o «hallar el ángulo a partir de un valor» y escribe tus números. El resultado incluye un dibujo de la circunferencia goniométrica.
Escribe el ángulo en grados (°). Los ángulos negativos y los de más de 360° valen. Para el valor de la razón trigonométrica, puedes usar decimales o fracciones como 1/2.
Resultado y figura
Introduce un ángulo (o el valor de una razón trigonométrica) en los campos de la izquierda y haz clic en «Calcular». Aquí aparecerán el resultado y la circunferencia goniométrica.
Índice
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Qué puedes hacer en esta página
-
¿Para qué sirve este cálculo?
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Cómo usar
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Fórmulas y figuras
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Símbolos y términos
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Qué conviene saber de antemano
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Cómo calcularlo con Excel
-
Cómo calcularlo con Hojas de cálculo de Google
-
Cómo calcularlo con Python
-
La fórmula en LaTeX y otras notaciones matemáticas (para copiar)
-
Cómo pedirle a ChatGPT que haga el cálculo
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Las ventajas de DataChef
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Funciones relacionadas
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Todas las calculadoras de NumberChef
Qué puedes hacer en esta página
- Introduce un ángulo \(\theta\) en grados y obtén de una vez \(\sin\theta\), \(\cos\theta\) y \(\tan\theta\). Para los ángulos notables, como \(30^\circ\), \(45^\circ\), \(60^\circ\) y \(120^\circ\), la respuesta se muestra como valor exacto, como \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\), y en decimales
- También puedes hacerlo al revés y hallar el ángulo a partir del valor de una razón trigonométrica, como en «¿qué ángulo cumple \(\sin\theta = 0{,}5\)?» (en el intervalo de \(0^\circ\) a \(180^\circ\). Si coinciden dos ángulos, se muestran los dos)
- También funcionan los ángulos negativos y los de más de \(360^\circ\). Los ángulos se dan en grados, y la medida en radianes se muestra al lado
- El resultado incluye un dibujo de la circunferencia goniométrica, para que veas de un vistazo qué longitudes de la circunferencia son \(\sin\theta\) y \(\cos\theta\)
- En esta misma página también tienes una explicación sencilla de las fórmulas y fórmulas para copiar y pegar en Excel, Hojas de cálculo de Google y Python
Cuando un valor no está definido, como en \(\tan 90^\circ\), la página no se detiene con un error. Muestra el resultado con una explicación de por qué el valor no está definido.
¿Para qué sirve este cálculo?
Describir la inclinación de carreteras y rampas (carreteras y diseño accesible)
Una señal de tráfico de peligro «Bajada con fuerte pendiente» (P-16a) con un «10 %» avisa de que la carretera baja 10 m por cada 100 m en horizontal. Eso es exactamente \(\tan\theta = 0{,}10\) (unos \(5{,}7^\circ\)). En España, el Código Técnico de la Edificación (DB-SUA 1) limita la pendiente de las rampas accesibles de los edificios al 10 % en los tramos de menos de 3 m, al 8 % en los de menos de 6 m y al 6 % en el resto, y un 6 % es \(\tan\theta = 0{,}06\) (unos \(3{,}4^\circ\)).
El valor de la tangente es más fácil de usar en la obra que el ángulo, porque sale directamente de la subida y del avance horizontal. Por eso las pendientes se indican con esta razón trigonométrica tal cual.
Medir la altura de un árbol o de un edificio desde lejos (topografía)
Si no puedes llegar a lo alto de algo con una cinta métrica, puedes hallar su altura a partir de la distancia y del ángulo con que lo miras hacia arriba (el ángulo de elevación): altura = distancia × \(\tan\theta\). Por ejemplo, si estás a 20 m de un árbol y el ángulo de elevación es de \(30^\circ\), la parte que queda por encima de la altura de tus ojos es \(20 \times \tan 30^\circ \approx 11{,}5\) m.
La triangulación, que se usa en topografía y en cartografía, calcula distancias y posiciones a partir de ángulos medidos de la misma forma. Instrumentos topográficos como las estaciones totales también usan las razones trigonométricas para convertir ángulos y distancias medidos en coordenadas.
Descomponer las fuerzas en un plano inclinado (física y mecánica)
La gravedad tira hacia abajo, en vertical, de un objeto que está en un plano inclinado. En Física, esta fuerza se descompone en dos partes: la parte que intenta hacer deslizar el objeto por el plano (peso × \(\sin\theta\)) y la parte que lo aprieta contra el plano (peso × \(\cos\theta\)).
En un plano inclinado de \(30^\circ\), la fuerza que intenta hacer deslizar el objeto hacia abajo es \(\sin 30^\circ = \dfrac{1}{2}\) de su peso, es decir, la mitad. Lo bien que aguanta el freno de mano en una cuesta o lo deprisa que te deslizas por una pista de esquí con cierta inclinación: la física de las pendientes siempre parte de esta descomposición.
Mover un personaje en diagonal en videojuegos y gráficos por ordenador (programación)
Cuando un videojuego mueve algo «a velocidad \(v\) en la dirección del ángulo \(\theta\)», el ordenador desplaza su posición \(v \times \cos\theta\) en horizontal y \(v \times \sin\theta\) en vertical. Las trayectorias de las balas en un videojuego de disparos, los vértices de un gráfico de radar, las agujas de un reloj en la pantalla: toda tarea que convierte un ángulo en una posición usa sen y cos.
La propia definición con la circunferencia goniométrica (\(x = \cos\theta,\ y = \sin\theta\)) es el programa de la rotación y del movimiento circular en la pantalla.
Diseñar la pendiente de una cubierta (construcción y carpintería)
En la construcción en España, la inclinación de una cubierta se suele dar como una pendiente en porcentaje, como el «40 %» (sube 40 cm por cada metro en horizontal, así que \(\tan\theta = 0{,}4\), unos \(21{,}8^\circ\)). Fijada la pendiente, la longitud de cada par (la viga inclinada) de la cubierta es el avance horizontal ÷ \(\cos\theta\): un avance de 4 m necesita unos \(4 \div \cos 21{,}8^\circ \approx 4{,}31\) m. El desagüe del agua, el deslizamiento de la nieve y la cantidad de material se estiman a partir de este valor.
Trazar los ángulos de una cubierta con una escuadra de carpintero también usa las proporciones de los lados de un triángulo rectángulo, que es la idea misma de las razones trigonométricas.
Fórmulas y figuras
sen (seno) = cateto opuesto ÷ hipotenusa
Figura (un triángulo rectángulo y sus razones trigonométricas)
Notación matemática
(la notación habitual)
\(\sin\theta\)
\(=\)
\(a\)
\(\div\)
\(c\)
En palabras
(los símbolos sustituidos por palabras)
③
\(\sin\theta\): seno del ángulo \(\theta\)
\(=\)
①
\(a\): cateto opuesto (frente a \(\theta\))
\(\div\)
②
\(c\): hipotenusa
La fórmula en palabras
①
En un triángulo rectángulo, toma el
\(a\): cateto opuesto (el cateto que está frente al ángulo \(\theta\))
②
divídelo entre la
\(c\): hipotenusa (el lado más largo, frente al ángulo recto)
③
y obtienes el
\(\sin\theta\): seno del ángulo \(\theta\)
Un ejemplo sencillo
En un triángulo rectángulo con lados en proporción \(3 : 4 : 5\) (opuesto 3, contiguo 4, hipotenusa 5),
\(\sin\theta\)
\(=\)
opuesto 3
\(\div\)
hipotenusa 5
\(\sin\theta = \dfrac{3}{5} = 0{,}6\)
La idea clave
El seno es una razón: si tomas la hipotenusa como 1, ¿cuánto subes? Una vez fijado el ángulo \(\theta\), esta razón tiene un único valor sea cual sea el tamaño del triángulo (los triángulos con la misma forma son semejantes). Por eso se puede usar como función del ángulo solo.
Las tres razones se recuerdan así: seno = cateto opuesto ÷ hipotenusa, coseno = cateto contiguo ÷ hipotenusa, tangente = cateto opuesto ÷ cateto contiguo. Fíjate en que la tangente es el seno dividido entre el coseno.
cos (coseno) = cateto contiguo ÷ hipotenusa
Notación matemática
(la notación habitual)
\(\cos\theta\)
\(=\)
\(b\)
\(\div\)
\(c\)
En palabras
(los símbolos sustituidos por palabras)
③
\(\cos\theta\): coseno del ángulo \(\theta\)
\(=\)
①
\(b\): cateto contiguo (junto a \(\theta\))
\(\div\)
②
\(c\): hipotenusa
La fórmula en palabras
①
En un triángulo rectángulo, toma el
\(b\): cateto contiguo (el cateto que está junto al ángulo \(\theta\) y forma el ángulo recto)
②
divídelo entre la
\(c\): hipotenusa
③
y obtienes el
\(\cos\theta\): coseno del ángulo \(\theta\)
Un ejemplo sencillo
En un triángulo rectángulo con lados en proporción \(3 : 4 : 5\) (opuesto 3, contiguo 4, hipotenusa 5),
\(\cos\theta\)
\(=\)
contiguo 4
\(\div\)
hipotenusa 5
\(\cos\theta = \dfrac{4}{5} = 0{,}8\)
La idea clave
El coseno es una razón: si tomas la hipotenusa como 1, ¿cuánto avanzas en horizontal? Es la razón «cateto contiguo ÷ hipotenusa».
El «co» de coseno viene de «complementario» (el ángulo que suma \(90^\circ\) con \(\theta\)): \(\cos\theta = \sin(90^\circ - \theta)\). El coseno de un ángulo es igual al seno de su complementario. Por ejemplo, \(\cos 60^\circ = \sin 30^\circ = \dfrac{1}{2}\).
tg (tangente) = cateto opuesto ÷ cateto contiguo
Notación matemática
(la notación habitual)
\(\tan\theta\)
\(=\)
\(a\)
\(\div\)
\(b\)
En palabras
(los símbolos sustituidos por palabras)
③
\(\tan\theta\): tangente del ángulo \(\theta\)
\(=\)
①
\(a\): cateto opuesto (frente a \(\theta\))
\(\div\)
②
\(b\): cateto contiguo (junto a \(\theta\))
La fórmula en palabras
①
En un triángulo rectángulo, toma el
\(a\): cateto opuesto (el cateto que está frente al ángulo \(\theta\))
②
divídelo entre el
\(b\): cateto contiguo (el cateto que está junto al ángulo \(\theta\))
③
y obtienes la
\(\tan\theta\): tangente del ángulo \(\theta\)
Un ejemplo sencillo
En un triángulo rectángulo con lados en proporción \(3 : 4 : 5\) (opuesto 3, contiguo 4, hipotenusa 5),
\(\tan\theta\)
\(=\)
opuesto 3
\(\div\)
contiguo 4
\(\tan\theta = \dfrac{3}{4} = 0{,}75\)
La idea clave
La tangente te dice cuánto subes por cada 1 que avanzas en horizontal. Es decir, es la pendiente de la propia cuesta.
A partir de las definiciones, \(\tan\theta = \dfrac{a}{b} = \dfrac{a \div c}{b \div c} = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}\). El denominador es \(\cos\theta\), así que en \(\theta = 90^\circ\), donde \(\cos\theta = 0\), \(\tan 90^\circ\) no está definida (no se puede dividir entre 0).
Definición con la circunferencia goniométrica (para ángulos de 90° o más)
Figura (la circunferencia goniométrica y las razones trigonométricas)
Notación matemática
(la notación habitual)
\(\cos\theta\)
\(=\)
\(x\)
\(\sin\theta\)
\(=\)
\(y\)
En palabras
(los símbolos sustituidos por palabras)
②
\(\cos\theta\): coseno del ángulo \(\theta\)
\(=\)
①
\(x\): coordenada \(x\) del punto \(P\)
④
\(\sin\theta\): seno del ángulo \(\theta\)
\(=\)
③
\(y\): coordenada \(y\) del punto \(P\)
La fórmula en palabras
①
En la circunferencia de radio \(1\) con centro en el origen \(O\) (la circunferencia goniométrica), gira una semirrecta (el lado final) un ángulo \(\theta\) desde el semieje \(x\) positivo y llama \(P\) al punto en que corta la circunferencia. Entonces la
coordenada \(x\) del punto \(P\)
②
es el
\(\cos\theta\): coseno del ángulo \(\theta\)
③
y la
coordenada \(y\) del punto \(P\)
④
es el
\(\sin\theta\): seno del ángulo \(\theta\)
Un ejemplo sencillo
Cuando \(\theta = 120^\circ\) (un ángulo obtuso), el punto de la circunferencia goniométrica es \(P\left(-\dfrac{1}{2}\,;\,\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\), así que
\(\cos 120^\circ\)
\(=\)
coordenada \(x\) \(-\dfrac{1}{2}\)
\(\sin 120^\circ\)
\(=\)
coordenada \(y\) \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)
\(\cos 120^\circ = -\dfrac{1}{2}, \quad \sin 120^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2}, \quad \tan 120^\circ = \dfrac{\sin 120^\circ}{\cos 120^\circ} = -\sqrt{3}\)
La idea clave
La definición con el triángulo rectángulo solo sirve para ángulos mayores que \(0^\circ\) y menores que \(90^\circ\). Con la circunferencia goniométrica, las razones trigonométricas se extienden a \(0^\circ\), \(90^\circ\), los ángulos obtusos, \(180^\circ\) y cualquier ángulo hasta \(360^\circ\) y más allá. Esta calculadora usa esta definición.
Pasados los \(90^\circ\), el punto \(P\) se mueve a la izquierda del eje \(y\) y su coordenada \(x\) se vuelve negativa, así que \(\cos\theta\) y \(\tan\theta\) son negativos (\(\sin\theta\) sigue siendo 0 o mayor durante todo el recorrido de \(0^\circ\) a \(180^\circ\)).
\(\tan\theta\) es la pendiente de la recta \(OP\). Al hallar el ángulo a partir de un valor, \(\sin\theta = 0{,}5\) corresponde a dos ángulos, \(30^\circ\) y \(150^\circ\), mientras que \(\cos\theta\) y \(\tan\theta\) dan una sola respuesta. El dibujo explica por qué: los puntos que están a la misma altura vienen en parejas simétricas, pero solo un punto tiene una coordenada \(x\) dada, y solo un lado final tiene una pendiente dada. (La excepción es cuando el lado final está sobre el eje \(x\): \(\sin\theta = 0\) y \(\tan\theta = 0\) corresponden los dos a \(0^\circ\) y \(180^\circ\).)
En un triángulo rectángulo, las razones trigonométricas son \(\sin\theta = \dfrac{\text{cateto opuesto}}{\text{hipotenusa}},\ \cos\theta = \dfrac{\text{cateto contiguo}}{\text{hipotenusa}},\ \tan\theta = \dfrac{\text{cateto opuesto}}{\text{cateto contiguo}}\). En la circunferencia goniométrica, son la coordenada \(y\) del punto \(P\), su coordenada \(x\) y la pendiente de la recta \(OP\). Para los ángulos notables, como \(30^\circ\), \(45^\circ\) y \(60^\circ\), los valores exactos salen de las proporciones de los lados de la escuadra y el cartabón (\(1 : \sqrt{3} : 2\) y \(1 : 1 : \sqrt{2}\)).
Símbolos y términos
Símbolos
| \(\theta\) | theta | Una letra griega que se usa a menudo para los ángulos (no hay una explicación definitiva de por qué se usa \(\theta\)). Además de \(\theta\), también se usan \(\alpha\) (alfa) y \(\beta\) (beta) para los ángulos. |
| \(\sin\theta\) | seno de theta | El seno del ángulo \(\theta\): «cateto opuesto ÷ hipotenusa» en un triángulo rectángulo, y la coordenada \(y\) del punto \(P\) de la circunferencia goniométrica. Se escribe «sen» (en las calculadoras y los programas aparece como «sin», igual que en las fórmulas de esta página). Se dice que el nombre viene de la palabra latina sinus (bahía o pliegue). |
| \(\cos\theta\) | coseno de theta | El coseno del ángulo \(\theta\): «cateto contiguo ÷ hipotenusa» en un triángulo rectángulo, y la coordenada \(x\) del punto \(P\) de la circunferencia goniométrica. El «co» viene de «complementario»: es el seno del ángulo complementario \(90^\circ - \theta\). |
| \(\tan\theta\) | tangente de theta | La tangente del ángulo \(\theta\): «cateto opuesto ÷ cateto contiguo» en un triángulo rectángulo, que es la pendiente de una recta. Se escribe «tg» (o «tan» en las calculadoras y los programas). El nombre viene de la palabra latina que significa «que toca», porque aparece como una longitud sobre la recta tangente a la circunferencia goniométrica. |
| \(a,\ b,\ c\) | a, b, c | En esta página, los tres lados del triángulo rectángulo: \(a\) es el cateto opuesto (frente al ángulo \(\theta\)), \(b\) es el cateto contiguo (junto al ángulo \(\theta\)) y \(c\) es la hipotenusa. |
| \(P(x,\ y)\) | P de x y | El punto en que el lado final corta la circunferencia goniométrica. \(P\) viene de «punto». Su coordenada \(x\) es \(\cos\theta\) y su coordenada \(y\) es \(\sin\theta\). |
| \(O\) | O | El origen (el punto \((0\,;\,0)\)), de la primera letra de «origen». Es el centro de la circunferencia goniométrica y el punto alrededor del cual gira el lado final. |
| \(\sqrt{2},\ \sqrt{3}\) | raíz de 2, raíz de 3 | Los números positivos cuyos cuadrados son 2 y 3 (\(\sqrt{2} \approx 1{,}414,\ \sqrt{3} \approx 1{,}732\)). Aparecen en las proporciones de los lados de la escuadra y el cartabón, así que salen a menudo en los valores exactos de las razones trigonométricas de los ángulos notables. |
| \(^\circ\) (grados) | grados | La unidad de medida del tamaño de los ángulos en el sistema sexagesimal. Una vuelta completa son \(360^\circ\). Es la forma más conocida de expresar los ángulos y se usa también en la vida diaria. |
| \(\pi\) | pi | La razón entre la longitud de una circunferencia y su diámetro (\(\approx 3{,}14159\)). Se usa cuando los ángulos se dan en radianes: \(180^\circ = \pi\) radianes. Se dice que la letra viene de la primera letra de la palabra griega para «perímetro». |
Términos
| razón trigonométrica | La razón entre dos lados de un triángulo rectángulo. Las tres básicas son sen, cos y tg. Una vez fijado el ángulo, cada una tiene un único valor sea cual sea el tamaño del triángulo. En España se estudian en la ESO y se amplían en Bachillerato. |
| seno | El nombre completo de sen. Históricamente viene de la mitad de una cuerda (un segmento que une dos puntos de una circunferencia). |
| coseno | El nombre completo de cos. Es la forma abreviada de «seno del complementario»: el seno del ángulo complementario (el que suma 90°), \(\cos\theta = \sin(90^\circ - \theta)\). |
| tangente | El nombre completo de tg. El nombre viene de la recta tangente a una circunferencia: \(\tan\theta\) se puede dibujar como una longitud sobre la recta que toca la circunferencia goniométrica en \((1\,;\,0)\). |
| hipotenusa | El lado más largo de un triángulo rectángulo, frente al ángulo recto. En las definiciones de sen y cos, es el número entre el que se divide (el denominador). |
| cateto opuesto | El cateto que está frente al ángulo \(\theta\) que estás mirando. Ten en cuenta que qué cateto es el opuesto cambia según el ángulo que mires. |
| cateto contiguo | El cateto que está junto al ángulo \(\theta\) que estás mirando (el lado del ángulo recto que toca a \(\theta\), no la hipotenusa). También se llama cateto adyacente. Ten en cuenta que qué cateto es el contiguo cambia según el ángulo que mires. |
| circunferencia goniométrica | La circunferencia de radio 1 con centro en el origen (también llamada circunferencia unidad). Con el radio igual a 1, las coordenadas de un punto son directamente los valores de sen y cos, sin dividir entre la hipotenusa. Es la herramienta que extiende las razones trigonométricas a los ángulos de 90° o más. |
| lado final | La semirrecta que sale del origen y gira un ángulo \(\theta\) desde el semieje \(x\) positivo (el ángulo está en posición normal). Muestra en el dibujo la amplitud del ángulo. |
| ángulo obtuso | Un ángulo mayor que 90° y menor que 180°. Las razones trigonométricas de un ángulo obtuso no se pueden definir con un triángulo rectángulo, así que se usa la circunferencia goniométrica. En los ángulos obtusos, cos y tg son negativos. |
| triángulo rectángulo | Un triángulo con un ángulo recto (90°). Es donde se definieron por primera vez las razones trigonométricas. Los otros dos ángulos suman 90°. |
| escuadra y cartabón | La escuadra (el triángulo de 45°, 45° y 90°, con lados en proporción \(1 : 1 : \sqrt{2}\)) y el cartabón (el triángulo de 30°, 60° y 90°, con lados en proporción \(1 : \sqrt{3} : 2\)). Los valores exactos de las razones trigonométricas de los ángulos notables salen de las proporciones de los lados de estos dos triángulos. También son las formas de los dos triángulos clásicos del dibujo técnico. |
| racionalizar denominadores | Reescribir una fracción para que no haya una raíz cuadrada en el denominador. Al multiplicar el numerador y el denominador de \(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\) por \(\sqrt{2}\) se obtiene \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\). Los dos son el mismo valor. En los libros españoles se suele dar la forma racionalizada \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\). |
| sistema sexagesimal (grados) | Medir los ángulos con una vuelta completa igual a 360°. Es la unidad principal de entrada y de salida de esta página. El número 360 tiene muchos divisores (su mitad, su tercera parte, su cuarta parte … son números enteros) y se usa desde la Antigüedad. |
| medida en radianes (radián) | Medir un ángulo con la longitud del arco de una circunferencia de radio 1. \(180^\circ = \pi\) radianes, y los ángulos se escriben como fracciones de \(\pi\), como \(60^\circ = \dfrac{\pi}{3}\). Los radianes se usan en Bachillerato y son la unidad principal del cálculo, por eso esta página también los muestra. |
| función trigonométrica inversa | Una función que va hacia atrás, del valor de una razón trigonométrica al ángulo, como en «¿qué θ cumple sen θ = 0,5?». Algunos ejemplos son el arcoseno (\(\sin^{-1}\), arcsen), el arcocoseno y el arcotangente. Las calculadoras científicas y Excel las tienen. El modo «ángulo a partir de un valor» de esta página es este cálculo. |
| ángulo notable | Un ángulo como 30°, 45°, 60°, 90° o 120° cuyas razones trigonométricas se pueden escribir como valores exactos (con fracciones y raíces cuadradas). Son los ángulos de la escuadra y el cartabón y los que se obtienen a partir de ellos, como 180° − θ. |
Qué conviene saber de antemano
Esto es lo que te ayuda a usar el cálculo de esta página entendiendo de verdad lo que haces, y no solo pulsando el botón.
Si te atascas, repasar estos temas es el camino más rápido.
| Razones y proporciones (5.º y 6.º de Primaria, 10-12 años) |
|
| El plano cartesiano (1.º y 2.º de ESO, 12-14 años) |
|
| La circunferencia (1.º y 2.º de ESO, 12-14 años) |
|
| Semejanza de triángulos y teorema de Tales (2.º y 3.º de ESO, 13-15 años) |
|
| El teorema de Pitágoras (2.º de ESO, 13-14 años) |
|
| Raíces cuadradas (3.º de ESO, 14-15 años) |
|
Cómo calcularlo con Excel
Copia toda la tabla de abajo y pégala en la celda A1 de Excel. Funciona tal cual.
Tabla para hallar sen θ (cateto opuesto ÷ hipotenusa)
| Cateto opuesto a | 3 |
| Hipotenusa c | 5 |
| sen θ = a ÷ c | =B1/B2 |
Tabla para hallar cos θ (cateto contiguo ÷ hipotenusa)
| Cateto contiguo b | 4 |
| Hipotenusa c | 5 |
| cos θ = b ÷ c | =B1/B2 |
Tabla para hallar tg θ (cateto opuesto ÷ cateto contiguo)
| Cateto opuesto a | 3 |
| Cateto contiguo b | 4 |
| tg θ = a ÷ b | =B1/B2 |
Tabla para hallar sen, cos y tg a partir de un ángulo
| Ángulo θ (grados) | 60 |
| sen θ | =SENO(RADIANES(B1)) |
| cos θ | =COS(RADIANES(B1)) |
| tg θ | =TAN(RADIANES(B1)) |
Tabla para hallar el ángulo a partir de sen θ (0° a 180°)
| Valor de sen θ | 0,5 |
| Ángulo 1 (grados) | =GRADOS(ASENO(B1)) |
| Ángulo 2 (grados) | =180-B2 |
Las funciones SENO, COS y TAN de Excel toman el ángulo en radianes, así que, para trabajar en grados, primero conviértelo con la función RADIANES. Al revés, las respuestas de ASENO (arcoseno) y de funciones parecidas salen en radianes, así que conviértelas a grados con la función GRADOS.
Las tres primeras tablas usan un triángulo rectángulo con lados en proporción 3 : 4 : 5. Las respuestas son 0,6, 0,8 y 0,75.
La cuarta tabla usa un ángulo de 60°: sen θ = 0,8660…, cos θ = 0,5 y tg θ = 1,7320….
La quinta tabla halla los ángulos con sen θ = 0,5: el ángulo 1 es 30 y el ángulo 2 es 150 (entre 0° y 180°, dos ángulos simétricos tienen el mismo seno). Para el coseno, usa una sola fórmula, «=GRADOS(ACOS(B1))». Para la tangente, usa «=GRADOS(ATAN(B1))» y suma 180 si la respuesta es negativa.
Las tres primeras tablas usan un triángulo rectángulo con lados en proporción 3 : 4 : 5. Las respuestas son 0,6, 0,8 y 0,75.
La cuarta tabla usa un ángulo de 60°: sen θ = 0,8660…, cos θ = 0,5 y tg θ = 1,7320….
La quinta tabla halla los ángulos con sen θ = 0,5: el ángulo 1 es 30 y el ángulo 2 es 150 (entre 0° y 180°, dos ángulos simétricos tienen el mismo seno). Para el coseno, usa una sola fórmula, «=GRADOS(ACOS(B1))». Para la tangente, usa «=GRADOS(ATAN(B1))» y suma 180 si la respuesta es negativa.
Cómo calcularlo con Hojas de cálculo de Google
Copia toda la tabla de abajo y pégala en la celda A1 de Hojas de cálculo de Google. Funciona tal cual.
Tabla para hallar sen θ (cateto opuesto ÷ hipotenusa)
| Cateto opuesto a | 3 |
| Hipotenusa c | 5 |
| sen θ = a ÷ c | =B1/B2 |
Tabla para hallar cos θ (cateto contiguo ÷ hipotenusa)
| Cateto contiguo b | 4 |
| Hipotenusa c | 5 |
| cos θ = b ÷ c | =B1/B2 |
Tabla para hallar tg θ (cateto opuesto ÷ cateto contiguo)
| Cateto opuesto a | 3 |
| Cateto contiguo b | 4 |
| tg θ = a ÷ b | =B1/B2 |
Tabla para hallar sen, cos y tg a partir de un ángulo
| Ángulo θ (grados) | 60 |
| sen θ | =SENO(RADIANES(B1)) |
| cos θ | =COS(RADIANES(B1)) |
| tg θ | =TAN(RADIANES(B1)) |
Tabla para hallar el ángulo a partir de sen θ (0° a 180°)
| Valor de sen θ | 0,5 |
| Ángulo 1 (grados) | =GRADOS(ASENO(B1)) |
| Ángulo 2 (grados) | =180-B2 |
Sirven las mismas fórmulas de Excel tal cual. Copia la tabla entera, pégala en la celda A1 y cambia el ángulo o las longitudes de los lados por tus propios números.
Cómo calcularlo con Python
import math
# Hallar sen, cos y tg a partir de un ángulo
angle_degree = 60
angle_radian = math.radians(angle_degree) # las funciones trigonométricas del módulo math toman radianes
print(f"sen {angle_degree}° = {math.sin(angle_radian)}")
print(f"cos {angle_degree}° = {math.cos(angle_radian)}")
print(f"tg {angle_degree}° = {math.tan(angle_radian)}")
# Hallar el ángulo a partir del valor de una razón trigonométrica (0° a 180°)
sin_value = 0.5
angle_first = math.degrees(math.asin(sin_value)) # arcoseno; la respuesta está en radianes, así que se pasa a grados
angle_second = 180 - angle_first # sen(180° − θ) = sen θ da el otro ángulo
print(f"Ángulos con sen θ = {sin_value}: {angle_first}° y {angle_second}°")
Funciona solo con el módulo math de la biblioteca estándar. Las funciones trigonométricas (sin, cos, tan) toman el ángulo en radianes, así que lo importante es pasar antes los grados a radianes con math.radians(). Al ejecutar este ejemplo se muestran sen 60°, cos 60° y tg 60° (unos 0,866, 0,5 y 1,732; Python escribe los decimales con punto) y los ángulos 30° y 150° para los que sen θ = 0,5. Para hallar un ángulo con el coseno, usa math.acos() (una sola respuesta). Para la tangente, usa math.atan() y suma 180 si la respuesta es negativa.
La fórmula en LaTeX y otras notaciones matemáticas (para copiar)
sen (seno) = cateto opuesto ÷ hipotenusa
sin θ = a/c
\sin\theta = \dfrac{a}{c}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>sin</mi><mo>⁡</mo><mi>θ</mi>
<mo>=</mo>
<mfrac><mi>a</mi><mi>c</mi></mfrac>
</mrow>
</math>
sin theta = a/c
Sin[30 Degree]
sin(30*Pi/180);
sind(30)
sin θ = a/c
cos (coseno) = cateto contiguo ÷ hipotenusa
cos θ = b/c
\cos\theta = \dfrac{b}{c}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>cos</mi><mo>⁡</mo><mi>θ</mi>
<mo>=</mo>
<mfrac><mi>b</mi><mi>c</mi></mfrac>
</mrow>
</math>
cos theta = b/c
Cos[30 Degree]
cos(30*Pi/180);
cosd(30)
cos θ = b/c
tg (tangente) = cateto opuesto ÷ cateto contiguo
tan θ = a/b
\tan\theta = \dfrac{a}{b}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>tan</mi><mo>⁡</mo><mi>θ</mi>
<mo>=</mo>
<mfrac><mi>a</mi><mi>b</mi></mfrac>
</mrow>
</math>
tan theta = a/b
Tan[30 Degree]
tan(30*Pi/180);
tand(30)
tan θ = a/b
Definición con la circunferencia goniométrica (para ángulos de 90° o más)
cos θ = x, sin θ = y (punto P(x ; y) de la circunferencia goniométrica)
\cos\theta = x,\quad \sin\theta = y
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>cos</mi><mo>⁡</mo><mi>θ</mi><mo>=</mo><mi>x</mi>
<mo>,</mo>
<mi>sin</mi><mo>⁡</mo><mi>θ</mi><mo>=</mo><mi>y</mi>
</mrow>
</math>
cos theta = x, sin theta = y
{Cos[120 Degree], Sin[120 Degree]}
evalf([cos(120*Pi/180), sin(120*Pi/180)]);
[cosd(120), sind(120)]
cos θ = x, sin θ = y
Cómo pedirle a ChatGPT que haga el cálculo
Eres un asistente de cálculo de matemáticas para las razones trigonométricas. Haz el cálculo siguiente ejecutando realmente código de Python y responde basándote solo en los números del resultado de la ejecución (no respondas con cálculo mental ni con suposiciones). 1. Halla sen 135°, cos 135° y tg 135°. Da cada uno como valor exacto (con fracciones y raíces cuadradas) y en decimales. 2. Para 0° ≤ θ ≤ 180°, halla todos los ángulos θ en los que sen θ = 0,5. En Python, usa el módulo math y pasa los grados a radianes antes de calcular. Muestra las fórmulas que has usado y los números del resultado de la ejecución.
Cómo usar
-
1Introduce los númerosEscribe en los campos los números con los que quieres calcular
-
2CalculaHaz clic en el botón «Calcular»
-
3Consulta el resultadoEl resultado aparece al instante. En la misma página también encontrarás el desarrollo del cálculo y la explicación de la fórmula
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