Conversor de coordenadas polares a cartesianas y al revés (r y θ, con pasos y gráfica)

Elige el sentido de la conversión y escribe los números. Para «cartesianas → polares», escribe las coordenadas x e y. Para «polares → cartesianas», escribe el radio r y el ángulo θ (y elige su unidad).

Conversión

Coordenada x

Coordenada y

Radio r

Ángulo θ

Unidad del ángulo

Escribe solo números. Se admiten decimales, números negativos y fracciones como 3/4. Una x o una y en blanco cuenta como 0.

Resultado y figura

Escribe los números en los campos de la izquierda y haz clic en «Calcular». Aquí aparecerán el resultado y una figura del plano de coordenadas.

Índice

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Qué puedes hacer en esta página
¿Para qué sirve este cálculo?
Cómo usar
Fórmulas y figuras
Símbolos y términos
- Símbolos
- Términos
Qué conviene saber de antemano
Cómo calcularlo con Excel
Cómo calcularlo con Hojas de cálculo de Google
Cómo calcularlo con Python
La fórmula en LaTeX y otras notaciones matemáticas (para copiar)
Cómo pedirle a ChatGPT que haga el cálculo
Las ventajas de DataChef
Funciones relacionadas
Todas las calculadoras de NumberChef

Qué puedes hacer en esta página

Convierte al instante unas coordenadas cartesianas \(P(x\,;\,y)\) en coordenadas polares \(P(r\,;\,\theta)\). El radio se da como valor exacto con la raíz simplificada, como \(\sqrt{8} = 2\sqrt{2}\), y, si es uno de los ángulos notables, el ángulo se da exactamente como una fracción de π
El ángulo \(\theta\) se da sobre todo en el intervalo \([0\,;\,2\pi[\), y también se muestra el valor en \(]-\pi\,;\,\pi]\), para que puedas comprobar tu respuesta con el intervalo que use tu libro
También puedes hacer la conversión inversa (polares → cartesianas). Escribe el radio \(r\) y el ángulo \(\theta\) (en grados, como fracción de π o en radianes como decimal) y obtienes \(x = r\cos\theta\) e \(y = r\sin\theta\) como valores exactos, por ejemplo \(\left(-2\,;\,2\sqrt{3}\right)\)
Los pasos muestran, uno a uno, cómo se decide el ángulo a partir de \(\tan\theta = \dfrac{y}{x}\) y del cuadrante en el que está el punto (el ajuste por cuadrante)
Puedes comprobar el resultado en una figura del plano de coordenadas. Unas circunferencias concéntricas tenues (una escala para el radio) y unas semirrectas (una escala para el ángulo) muestran de un vistazo dónde están el radio \(r\) y el ángulo \(\theta\)

Esta página trata las coordenadas polares en el plano. Para x e y cartesianas puedes escribir fracciones y decimales (números racionales), pero no números irracionales como √3. Con esos datos, el ángulo sale como fracción exacta de π solo cuando el punto está sobre un eje o en un ángulo de la familia de 45°. (Para los ángulos de 30° y 60°, tan θ es irracional, como 1/√3, así que no pueden salir de x e y racionales.) En el sentido contrario, de polares a cartesianas, se calculan con exactitud todos los ángulos notables que son múltiplos de 30° o de 45°.

¿Para qué sirve este cálculo?

Control del tráfico aéreo y radar de barcos (la posición como distancia y rumbo)

El radar de un aeropuerto o de un barco mide «la distancia desde aquí» por el tiempo que tarda un pulso de radio en volver, y «el rumbo» por la dirección en que apunta la antena. Es decir, lo que miden son desde el principio coordenadas polares \(\left(r\,;\,\theta\right)\).
Pero la pantalla del controlador y las cartas náuticas se construyen con coordenadas horizontales y verticales, así que dentro del equipo la distancia y el rumbo medidos se convierten en coordenadas cartesianas con \(x = r\cos\theta\) e \(y = r\sin\theta\). La conversión de esta página es lo que une un aparato que mide por distancia y dirección con una pantalla que dibuja hacia un lado y hacia arriba.

Sensores de distancia de los coches autónomos y de los robots aspiradora

Los sensores láser de distancia (LiDAR) de los coches autónomos y de los robots aspiradora giran y toman una cantidad enorme de medidas del tipo «algo ha reflejado el haz a esta distancia en esta dirección». Cada medida es un par de dirección (ángulo) y distancia, es decir, coordenadas polares.
Para construir un mapa con los puntos recogidos, todos los puntos se convierten a coordenadas cartesianas y después se combinan. Hacer el mapa del entorno y luego planificar una ruta es el esquema básico de la conducción autónoma, y esta conversión de coordenadas es donde empieza.

Radar meteorológico y mapas de trayectoria de borrascas

El radar meteorológico también gira su antena mientras emite ondas de radio, y recibe los reflejos de la lluvia y de la nieve como «rumbo y distancia». Las imágenes de lluvia de los mapas del tiempo de la televisión son estos datos polares convertidos a las coordenadas horizontales y verticales de un mapa.
Dar la posición de una borrasca como «a 150 km al sur-sureste del cabo de Palos» es también pensar en polares, y la conversión a coordenadas cartesianas se produce cuando se sitúa el punto en un mapa.

Diseño de máquinas y atracciones que giran

En las cosas que giran alrededor de un centro, como las cabinas de una noria, los dientes de un engranaje o las aspas de un ventilador, el diseño se simplifica si piensas «la distancia al centro es fija y solo cambia la dirección». En coordenadas polares basta fijar la distancia \(r\) y cambiar el ángulo \(\theta\), lo que hace muy fácil colocar las piezas.
Pero los planos y las máquinas de control numérico (CNC) trabajan con coordenadas horizontales y verticales, así que al final todas las posiciones se convierten a coordenadas cartesianas antes de entregarlas.

Disposiciones y movimientos circulares en gráficos por ordenador y videojuegos

Colocar enemigos a intervalos regulares alrededor del héroe, disparar balas en todas las direcciones, hacer orbitar una cámara alrededor de un objetivo: todo esto se piensa de la forma más natural con «distancia al centro» y «ángulo», y repartir el ángulo a partes iguales decide la disposición.
La pantalla se dibuja con coordenadas horizontales y verticales, así que en cada fotograma las posiciones se convierten con \(x = r\cos\theta\) e \(y = r\sin\theta\). Esta conversión es la razón por la que es fácil programar el movimiento circular.

Fórmulas y figuras

De polares a cartesianas (dos maneras de dar la posición de un punto)

Figura

Notación matemática (la notación habitual)

\(x\) \(=\) \(r\) \(\cos\theta\)

\(y\) \(=\) \(r\) \(\sin\theta\)

En palabras (los símbolos sustituidos por palabras)

③ coordenada \(x\) \(=\) ① \(r\): radio ② coseno del ángulo \(\theta\)

④ coordenada \(y\) \(=\) \(r\): radio seno del ángulo \(\theta\)

La fórmula en palabras

① Toma la distancia al polo (el origen), el radio \(r\)

② multiplícalo por el coseno del ángulo \(\theta\), \(\cos\theta\)

③ y obtienes la coordenada \(x\)

④ Si multiplicas ese mismo radio por el seno \(\sin\theta\), obtienes la coordenada \(y\)

Un ejemplo sencillo

Pasar las coordenadas polares \(P\left(2\,;\,\dfrac{\pi}{3}\right)\) (distancia 2 al polo, dirección de 60° respecto del eje polar) a coordenadas cartesianas da

coordenada \(x\) \(=\) radio \(2\) \(\cos 60^{\circ} = \dfrac{1}{2}\)

coordenada \(y\) \(=\) radio \(2\) \(\sin 60^{\circ} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\)

\(x = 2\cos\dfrac{\pi}{3} = 2 \times \dfrac{1}{2} = 1\)

\(y = 2\sin\dfrac{\pi}{3} = 2 \times \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}\)

\(P\left(2\,;\,\dfrac{\pi}{3}\right) \rightarrow P\left(1\,;\,\sqrt{3}\right)\)

La idea clave

Son dos maneras de describir la posición del mismo punto. «Ve \(x\) a la derecha e \(y\) hacia arriba» son las coordenadas cartesianas \((x\,;\,y)\). «Ve una distancia \(r\) desde un punto de referencia, en la dirección que forma un ángulo \(\theta\) con una dirección de referencia» son las coordenadas polares \((r\,;\,\theta)\). Al quedar con un amigo, es la diferencia entre «300 m al este y 400 m al norte de la estación» y «a 500 m de la estación, más o menos hacia el noreste». El punto de referencia de las coordenadas polares se llama polo, y la dirección de referencia (la semirrecta que sale del polo hacia la derecha) se llama eje polar. Al superponer las coordenadas polares al plano de coordenadas, el polo se coloca en el origen y el eje polar sobre el semieje \(x\) positivo. Para ver por qué \(x = r\cos\theta\) e \(y = r\sin\theta\), piensa en la circunferencia de radio 1 (la circunferencia goniométrica). En ella, el punto en la dirección del ángulo \(\theta\) tiene posición horizontal \(\cos\theta\) y posición vertical \(\sin\theta\). Si el radio es \(r\), todo el dibujo se amplía \(r\) veces, así que las dos posiciones se multiplican por \(r\).

Radio \(r\) (distancia al polo)

Notación matemática (la notación habitual)

En palabras (los símbolos sustituidos por palabras)

\(r\) \(=\) \(\sqrt{x^{2} + y^{2}}\)

② \(r\): radio \(=\) ① raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de \(x\) e \(y\)

La fórmula en palabras

① La raíz cuadrada de \(x\) al cuadrado más \(y\) al cuadrado, \(\sqrt{x^2 + y^2}\),

② es el radio \(r\)

Un ejemplo sencillo

El radio del punto \(P\left(3\,;\,4\right)\) es

radio \(r\) \(=\) \(\sqrt{3^2 + 4^2}\)

\(r = \sqrt{3^{2} + 4^{2}} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\)

La idea clave

Es exactamente el teorema de Pitágoras. Une el origen, el punto \((x\,;\,0)\) y \(P\) y obtienes un triángulo rectángulo con catetos \(x\) e \(y\). La distancia del origen a \(P\) (la hipotenusa) es \(\sqrt{x^2 + y^2}\). La raíz de la respuesta suele escribirse simplificada, sacando fuera los factores cuadrados, como en \(\sqrt{8} = 2\sqrt{2}\). Esta calculadora también muestra la forma simplificada. En coordenadas polares, el radio \(r\) se toma mayor o igual que 0. Una distancia nunca es negativa, así que el \(r\) que sale de la conversión nunca es negativo.

Ángulo \(\theta\) (a partir de tan θ y del cuadrante)

Notación matemática (la notación habitual)

En palabras (los símbolos sustituidos por palabras)

\(\tan\theta\) \(=\) \(\dfrac{y}{x}\)

② tangente del ángulo \(\theta\) \(=\) ① \(y\) dividida entre \(x\)

La fórmula en palabras

① La coordenada \(y\) dividida entre la coordenada \(x\)

② es la tangente del ángulo \(\theta\), \(\tan\theta\) (pero esto solo no fija \(\theta\), así que se acota según el cuadrante en el que está \(P\))

Un ejemplo sencillo

El ángulo del punto \(P\left(-1\,;\,1\right)\) (\(x\) es negativa e \(y\) es positiva, así que el punto está en el cuadrante II) es

tangente \(\tan\theta\) \(=\) \(\dfrac{1}{-1} = -1\)

\(\tan\theta = \dfrac{1}{-1} = -1\)

\(\theta = \dfrac{3}{4}\pi \quad \left(x < 0,\ y > 0\right)\)

La idea clave

En el intervalo \([0\,;\,2\pi[\) hay dos ángulos con \(\tan\theta = -1\): \(\dfrac{3}{4}\pi\) (135°) y \(\dfrac{7}{4}\pi\) (315°). Cuál es el correcto depende del cuadrante del punto \(P\). \(P(-1\,;\,1)\) tiene \(x\) negativa e \(y\) positiva, así que está en el cuadrante II (arriba a la izquierda), y elegimos \(\theta = \dfrac{3}{4}\pi\). Esto es el ajuste por cuadrante. El \(\arctan\) (arcotangente) de una calculadora o de una hoja de cálculo solo devuelve ángulos entre \(-\dfrac{\pi}{2}\) y \(\dfrac{\pi}{2}\), así que para los puntos de los cuadrantes II y III no da directamente el ángulo. Hay que ajustar el ángulo obtenido con \(\arctan\), por ejemplo sumando \(\pi\) según el cuadrante. (Esta calculadora muestra este ajuste en los pasos.) En un punto con \(x = 0\) (sobre el eje \(y\)) no se puede calcular \(\dfrac{y}{x}\). En ese caso, decide con la figura que \(\theta = \dfrac{\pi}{2}\) o \(\dfrac{3}{2}\pi\). Si quieres un método que sirva para todos los puntos, elige el \(\theta\) que cumple a la vez \(\cos\theta = \dfrac{x}{r}\) y \(\sin\theta = \dfrac{y}{r}\). Así no necesitas separar casos por cuadrantes.

Un mismo punto tiene más de una expresión en coordenadas polares

Notación matemática (la notación habitual)

\(P\left(r\,;\,\theta\right)\) \(=\) \(P\left(r\,;\,\theta + 2n\pi\right)\)

En palabras (los símbolos sustituidos por palabras)

① punto \(P\) de coordenadas polares \(\left(r\,;\,\theta\right)\) \(=\) ② punto con \(n\) vueltas completas \(2\pi\) añadidas al ángulo

La fórmula en palabras

① El punto \(P\) de coordenadas polares \(\left(r\,;\,\theta\right)\)

② y el punto con \(n\) vueltas completas \(2\pi\) añadidas al ángulo son el mismo punto (\(n\) es un número entero)

Un ejemplo sencillo

Otras coordenadas polares del mismo punto que \(P\left(2\,;\,\dfrac{\pi}{3}\right)\) son

\(P\left(2\,;\,\dfrac{\pi}{3}\right)\) \(=\) \(P\left(2\,;\,\dfrac{7}{3}\pi\right)\) \(=\) \(P\left(2\,;\,-\dfrac{5}{3}\pi\right)\)

\(\dfrac{\pi}{3} + 2\pi = \dfrac{\pi}{3} + \dfrac{6}{3}\pi = \dfrac{7}{3}\pi\)

\(\dfrac{\pi}{3} - 2\pi = \dfrac{\pi}{3} - \dfrac{6}{3}\pi = -\dfrac{5}{3}\pi\)

La idea clave

En coordenadas cartesianas, cada punto tiene exactamente un par \((x\,;\,y)\), pero con las coordenadas polares no ocurre así. Tras una vuelta completa (\(2\pi\) = 360°) vuelves a mirar en la misma dirección, así que sumar o restar \(2\pi\) al ángulo cualquier número de veces da el mismo punto. Como la respuesta no queda fijada así, al dar una respuesta se acuerda un intervalo. Los dos más habituales son \([0\,;\,2\pi[\) (0° o más y menos de 360°) y \(]-\pi\,;\,\pi]\) (más de −180° y hasta 180°), y los libros difieren en cuál usan. Esta calculadora muestra las dos respuestas. El polo (el origen) es especial. Su distancia es 0, así que \(r = 0\), pero no tiene dirección, así que el ángulo no queda fijado. Las coordenadas polares del polo se escriben \(\left(0\,;\,\theta\right)\) (\(\theta\) es cualquier valor), normalmente \(\left(0\,;\,0\right)\).

Un punto del plano se puede escribir en coordenadas cartesianas \(\left(x\,;\,y\right)\) (posición horizontal y vertical) o en coordenadas polares \(\left(r\,;\,\theta\right)\) (distancia al polo y dirección respecto del eje polar). De polares a cartesianas se usa \(x = r\cos\theta\) e \(y = r\sin\theta\). En sentido contrario se usa \(r = \sqrt{x^2 + y^2}\) y \(\tan\theta = \dfrac{y}{x}\), más el ajuste por cuadrante, que elige el ángulo según el cuadrante del punto. Un ángulo desplazado en vueltas completas da el mismo punto, así que las respuestas se dan en un intervalo fijo, como \([0\,;\,2\pi[\).

Símbolos y términos

Símbolos

\(P\)	pe	Una letra que se usa a menudo para un punto del plano (\(P\) es la inicial de «punto»). Las coordenadas del punto se escriben entre paréntesis a continuación, como en \(P\left(1\,;\,2\right)\).
\(O\)	o	La letra del origen (el polo; \(O\) es la inicial de «origen»). En coordenadas polares, las distancias se miden desde este punto.
\(x,\ y\)	equis, i griega	Las posiciones horizontal (en la dirección del eje \(x\)) y vertical (en la dirección del eje \(y\)) en coordenadas cartesianas. Las dos pueden ser negativas.
\(r\)	erre	La letra del radio (la distancia del polo al punto; \(r\) es la inicial de «radio»). En coordenadas polares es un número real mayor o igual que 0.
\(\theta\)	zeta	La letra griega que se usa para el ángulo. En matemáticas es la letra habitual para un ángulo.
\(\left(r\,;\,\theta\right)\)	erre, zeta	Cómo se escriben las coordenadas polares: primero la distancia (el radio) y después la dirección (el ángulo). Se parece mucho a las coordenadas cartesianas \(\left(x\,;\,y\right)\), así que di siempre de qué tipo de coordenadas hablas.
\(\cos\theta,\ \sin\theta\)	coseno de zeta, seno de zeta	Razones trigonométricas (funciones trigonométricas). En la circunferencia de radio 1 (la circunferencia goniométrica), el punto en la dirección del ángulo \(\theta\) tiene posición horizontal \(\cos\theta\) y posición vertical \(\sin\theta\). Son la clave para pasar de polares a cartesianas. (En España el seno se escribe «sen».)
\(\tan\theta\)	tangente de zeta	Una de las razones trigonométricas, definida como \(\tan\theta = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}\). En el plano de coordenadas, \(\tan\theta = \dfrac{y}{x}\) (lo que se sube entre lo que se avanza, la pendiente de la recta que pasa por el origen y el punto), que es la pista para hallar el ángulo.
\(\arctan\)	arcotangente	La operación inversa de la tangente (también escrita \(\tan^{-1}\)). Devuelve el ángulo \(\theta\) con \(\tan\theta = k\). Los ángulos que devuelve están limitados a valores entre \(-\dfrac{\pi}{2}\) y \(\dfrac{\pi}{2}\), así que hace falta un ajuste por cuadrante para los ángulos de los cuadrantes II y III.
\(\pi\)	pi	La razón entre la longitud de una circunferencia y su diámetro (aproximadamente 3,14159). En la medida en radianes, media vuelta, \(180^{\circ}\), es exactamente \(\pi\).
\(n\)	ene	Una letra que se usa a menudo para un número entero (\(n\) es la inicial de «número»). En esta página es el número de vueltas completas que se desplaza el ángulo, incluidos los enteros negativos (girar en sentido contrario) y el 0 (ninguna vuelta).

Términos

coordenadas cartesianas	Una forma de dar la posición de un punto como un par \(\left(x\,;\,y\right)\): cuánto hacia un lado y cuánto hacia arriba. Son las coordenadas de siempre, que se usan desde 1.º de ESO, y también se llaman coordenadas rectangulares.
coordenadas polares	Una forma de dar la posición de un punto como un par \(\left(r\,;\,\theta\right)\): la distancia \(r\) a un punto de referencia y el ángulo \(\theta\) respecto de una dirección de referencia. Aparecen en Bachillerato (por ejemplo, en la forma polar de los números complejos) y se amplían en la universidad.
polo	El punto de referencia desde el que se miden las distancias en coordenadas polares. En el plano de coordenadas se coloca en el origen \(O\).
eje polar	La semirrecta de referencia desde la que se miden los ángulos en coordenadas polares. Sale del polo y, en el plano de coordenadas, va sobre el semieje \(x\) positivo.
radio	La distancia \(r\) del polo al punto \(P\) (también llamado radio vector o coordenada radial; en los números complejos se llama módulo). En rigor, también se entiende por radio el segmento (o la semirrecta) que une el polo con \(P\), de longitud \(r\). Es mayor o igual que 0.
ángulo θ	El ángulo \(\theta\) de la dirección del polo al punto \(P\), medido en sentido contrario a las agujas del reloj desde el eje polar (también llamado ángulo polar o, en los números complejos, argumento). Al añadir una vuelta completa (\(2\pi\)) se obtiene la misma dirección, así que las respuestas se dan normalmente en un intervalo como \([0\,;\,2\pi[\) o \(]-\pi\,;\,\pi]\).
cuadrante	Cada una de las cuatro regiones en que los dos ejes dividen el plano de coordenadas. Arriba a la derecha está el cuadrante I y, contando en sentido contrario a las agujas del reloj, vienen los cuadrantes II, III y IV. Saber en qué cuadrante está un punto es la pista para fijar el ángulo.
ajuste por cuadrante	En una vuelta completa hay dos ángulos que cumplen \(\tan\theta = \dfrac{y}{x}\), así que hay que elegir el que corresponde al cuadrante del punto (por ejemplo, sumando \(\pi\) al ángulo agudo obtenido con \(\arctan\)). Esta corrección es el ajuste por cuadrante.
circunferencia goniométrica	La circunferencia de radio 1 con centro en el origen (también llamada circunferencia unidad). El punto de ella que está en la dirección del ángulo \(\theta\) es \(\left(\cos\theta\,;\,\sin\theta\right)\), que es la base de las fórmulas de conversión de las coordenadas polares.
medida en radianes	Medir un ángulo por la longitud del arco en una circunferencia de radio 1. \(180^{\circ} = \pi\) radianes. En trigonometría de Bachillerato y en los cursos posteriores, el radián es la unidad habitual en lugar del grado.
ángulos notables	\(30^{\circ}\), \(45^{\circ}\), \(60^{\circ}\) y los ángulos relacionados con ellos (estos más múltiplos de \(90^{\circ}\)). Sus razones trigonométricas se pueden escribir con exactitud, como \(\dfrac{1}{2}\), \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) y \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\), y la mayoría de los problemas de libros y de exámenes los usan.
ecuación polar	Una ecuación de una curva escrita como una relación entre \(r\) y \(\theta\). Por ejemplo, \(r = 2\) es la circunferencia de radio 2 con centro en el origen, y \(\theta = \dfrac{\pi}{4}\) es la semirrecta que sale del origen con pendiente 1. Las figuras determinadas por la distancia a un centro, como las circunferencias y las espirales, tienen ecuaciones mucho más sencillas que en coordenadas cartesianas.

Qué conviene saber de antemano

Esto es lo que te ayuda a usar el cálculo de esta página entendiendo lo que haces, y no solo pulsando el botón.
Si te atascas, repasar estos temas es el camino más rápido.

El plano de coordenadas (1.º–2.º de ESO, 12-14 años)	Saber escribir la posición de un punto como un par \(\left(x\,;\,y\right)\) Saber dónde están los cuadrantes I a IV y los signos de \(x\) e \(y\) en cada uno
Raíces cuadradas y radicales (2.º–3.º de ESO, 13-15 años)	Saber que \(\sqrt{2}\) es el número positivo cuyo cuadrado es 2 Saber simplificar una raíz sacando fuera del radical los factores cuadrados, como en \(\sqrt{8} = 2\sqrt{2}\)
El teorema de Pitágoras (2.º–3.º de ESO, 13-15 años)	Saber que la hipotenusa de un triángulo rectángulo de catetos \(a\) y \(b\) mide \(\sqrt{a^2 + b^2}\) Saber que la distancia del origen a un punto del plano de coordenadas se puede calcular con el teorema de Pitágoras
Razones trigonométricas y circunferencia goniométrica (4.º de ESO y 1.º de Bachillerato, 15-17 años)	Saber que \(\sin\), \(\cos\) y \(\tan\) son la posición vertical, la posición horizontal y la pendiente de un punto de la circunferencia goniométrica Saber los valores de las razones trigonométricas de \(30^{\circ}\), \(45^{\circ}\) y \(60^{\circ}\) (\(\dfrac{1}{2}\), \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\), \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)) Saber hallar las razones trigonométricas de ángulos de más de \(90^{\circ}\) con la circunferencia goniométrica (por ejemplo, \(\cos 135^{\circ} = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}\))
Medida en radianes (1.º de Bachillerato, 16-17 años)	Saber pasar de grados a radianes y al revés con \(180^{\circ} = \pi\) radianes (por ejemplo, \(60^{\circ} = \dfrac{\pi}{3}\))
Coordenadas polares (Bachillerato)	Saber a qué se refieren el polo, el eje polar, el radio y el ángulo Saber que un mismo punto tiene más de una expresión en coordenadas polares (desplazar el ángulo \(2\pi\) da el mismo punto)

Cómo calcularlo con Excel

Copia toda la tabla de abajo y pégala en la celda A1 de Excel. Funciona tal cual.

Tabla de cartesianas → polares

Coordenada x	3
Coordenada y	4
Radio r	=RAIZ(B1^2+B2^2)
Ángulo θ (radianes, 0 ≤ θ < 2π)	=RESIDUO(ATAN2(B1;B2);2*PI())
Ángulo θ (grados)	=GRADOS(RESIDUO(ATAN2(B1;B2);2*PI()))

Tabla de polares → cartesianas

Radio r	2
Ángulo θ (grados)	60
Coordenada x = r cosθ	=B1*COS(RADIANES(B2))
Coordenada y = r senθ	=B1*SENO(RADIANES(B2))

Tabla de otro ángulo para el mismo punto

Ángulo θ (grados)	60
Número de vueltas n (entero, puede ser negativo)	1
Ángulo desplazado (grados)	=B1+360*B2

Al pegar, las filas de arriba son tus datos de entrada y las filas de abajo se calculan solas.
En la primera tabla, ATAN2(coordenada x; coordenada y) devuelve el ángulo con el ajuste por cuadrante ya hecho (más de −π y hasta π). Al aplicar RESIDUO con 2π se convierte en un ángulo desde 0 hasta 2π sin incluirlo. Para el punto del ejemplo (3 ; 4), r = 5 y θ ≈ 0,9273 (unos 53,13 grados).
En la segunda tabla, RADIANES convierte grados en radianes. Para el ejemplo r = 2 y θ = 60 grados, x = 1 e y ≈ 1,7320508 (= √3). Excel da respuestas decimales, así que usa la calculadora de esta página cuando quieras valores exactos como √3 o fracciones de π.
La tercera tabla construye otras coordenadas polares del mismo punto. Al sumar una vuelta completa, 360 grados, a los 60 grados del ejemplo se obtienen 420 grados. Con n = −1 se obtienen −300 grados, y todos son el mismo punto.

Cómo calcularlo con Hojas de cálculo de Google

Copia toda la tabla de abajo y pégala en la celda A1 de Hojas de cálculo de Google. Funciona tal cual.

Tabla de cartesianas → polares

Coordenada x	3
Coordenada y	4
Radio r	=RAIZ(B1^2+B2^2)
Ángulo θ (radianes, 0 ≤ θ < 2π)	=RESIDUO(ATAN2(B1;B2);2*PI())
Ángulo θ (grados)	=GRADOS(RESIDUO(ATAN2(B1;B2);2*PI()))

Tabla de polares → cartesianas

Radio r	2
Ángulo θ (grados)	60
Coordenada x = r cosθ	=B1*COS(RADIANES(B2))
Coordenada y = r senθ	=B1*SENO(RADIANES(B2))

Tabla de otro ángulo para el mismo punto

Ángulo θ (grados)	60
Número de vueltas n (entero, puede ser negativo)	1
Ángulo desplazado (grados)	=B1+360*B2

Sirven las mismas fórmulas que en Excel (ATAN2 también toma los argumentos en el mismo orden, «coordenada x; coordenada y»). Copia toda la tabla, pégala en la celda A1 y sustituye los números por los tuyos.

Cómo calcularlo con Python

import math

# Cartesianas → polares
x_coordinate = 3
y_coordinate = 4
radius = math.sqrt(x_coordinate ** 2 + y_coordinate ** 2)
argument = math.atan2(y_coordinate, x_coordinate)   # incluye el ajuste por cuadrante (−π < θ ≤ π)
if argument < 0:
    argument += 2 * math.pi                         # pasa al intervalo 0 ≤ θ < 2π
print(f"Radio r = {radius}")
print(f"Ángulo θ = {argument} rad ({math.degrees(argument)} grados)")

# Polares → cartesianas
r = 2
theta_degree = 60
theta = math.radians(theta_degree)
print(f"Coordenada x = {r * math.cos(theta)}")
print(f"Coordenada y = {r * math.sin(theta)}")

math.atan2(y, x) devuelve el ángulo con el ajuste por cuadrante ya hecho, así que, a diferencia de arctan, da la dirección correcta también para los puntos de los cuadrantes II y III. Sus argumentos van en el orden «y, x», el contrario al de escribir las coordenadas, un sitio donde es fácil equivocarse. La primera mitad de este ejemplo convierte el punto (3 ; 4); al ejecutarlo se obtiene r = 5 y θ ≈ 0,9273 rad (unos 53,13 grados), y Python lo muestra con más decimales y con punto decimal. La segunda mitad es la conversión inversa con r = 2 y θ = 60°, que da x ≈ 1 e y ≈ 1,7320508 (= √3). x no sale exactamente 1 por el error de redondeo de los números decimales (de coma flotante); para obtener valores exactos hay que calcular con símbolos, como hace la calculadora de esta página. Con el módulo cmath de la biblioteca estándar, cmath.polar(complex(3, 4)) también da el radio y el ángulo (−π < θ ≤ π) de una vez.

La fórmula en LaTeX y otras notaciones matemáticas (para copiar)

De polares a cartesianas (dos maneras de dar la posición de un punto)

x = r cosθ, y = r senθ

x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mtable columnalign="left">
    <mtr><mtd>
      <mi>x</mi><mo>=</mo><mi>r</mi><mi>cos</mi><mi>&#x3B8;</mi>
    </mtd></mtr>
    <mtr><mtd>
      <mi>y</mi><mo>=</mo><mi>r</mi><mi>sin</mi><mi>&#x3B8;</mi>
    </mtd></mtr>
  </mtable>
</math>

x = r cos theta, y = r sin theta

{x, y} = {r Cos[theta], r Sin[theta]}

x := r*cos(theta); y := r*sin(theta);

[x, y] = pol2cart(theta, r);

x = r cos θ, y = r sin θ

Radio \(r\) (distancia al polo)

r = √(x² + y²)

r = \sqrt{x^{2} + y^{2}}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>r</mi>
    <mo>=</mo>
    <msqrt>
      <mrow>
        <msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup>
        <mo>+</mo>
        <msup><mi>y</mi><mn>2</mn></msup>
      </mrow>
    </msqrt>
  </mrow>
</math>

r = sqrt(x^2 + y^2)

r = Sqrt[x^2 + y^2]

r := sqrt(x^2 + y^2);

r = hypot(x, y);

r = √(x^2 + y^2)

Ángulo \(\theta\) (a partir de tan θ y del cuadrante)

tanθ = y/x

\tan\theta = \dfrac{y}{x}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>tan</mi><mi>&#x3B8;</mi>
    <mo>=</mo>
    <mfrac><mi>y</mi><mi>x</mi></mfrac>
  </mrow>
</math>

tan theta = y/x

theta = ArcTan[x, y]

theta := arctan(y, x);

theta = atan2(y, x);

tan θ = y/x

Un mismo punto tiene más de una expresión en coordenadas polares

(r ; θ) = (r ; θ + 2nπ)

\left(r\,;\,\theta\right) = \left(r\,;\,\theta + 2n\pi\right)

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mo>(</mo><mi>r</mi><mo>,</mo><mi>&#x3B8;</mi><mo>)</mo>
    <mo>=</mo>
    <mo>(</mo><mi>r</mi><mo>,</mo>
    <mi>&#x3B8;</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>n</mi><mi>&#x3C0;</mi>
    <mo>)</mo>
  </mrow>
</math>

(r, theta) = (r, theta + 2 n pi)

theta + 2 n Pi

theta + 2*n*Pi;

theta2 = theta + 2*n*pi;

(r ; θ) = (r ; θ + 2nπ)

Cómo pedirle a ChatGPT que haga el cálculo

Eres un asistente de cálculo matemático para coordenadas polares en el plano. Haz el siguiente cálculo ejecutando realmente código de Python y basa tu respuesta solo en los números del resultado de la ejecución (no respondas con cálculo mental ni a ojo).

1. Convierte el punto (3 ; 4) en coordenadas cartesianas a coordenadas polares (r ; θ). Muestra el radio r y el ángulo θ (en el intervalo 0 ≤ θ < 2π, en radianes y en grados).
2. Convierte el punto (2 ; 60°) en coordenadas polares a coordenadas cartesianas (x ; y). Muestra x e y como decimales y, si es posible, como valores exactos con √.

En Python, usa math.atan2 y math.sqrt, y muestra las fórmulas que has usado y los números del resultado de la ejecución.

Cómo usar

1

Introduce los números

Escribe en los campos los números con los que quieres calcular
2

Calcula

Haz clic en el botón «Calcular»
3

Consulta el resultado

El resultado aparece al instante. En la misma página también encontrarás el desarrollo del cálculo y la explicación de la fórmula