Calculadora de probabilidad de pruebas repetidas (n seguidas, al menos una vez)

Escribe la probabilidad de una prueba y el número de pruebas. Se calculan a la vez los sucesos A y B, y también se muestran las probabilidades de sus combinaciones.

Probabilidad de A en una prueba

Número de pruebas de A

Probabilidad de B en una prueba

Número de pruebas de B

Escribe las probabilidades como números de 0 a 1 (por ejemplo, el 25 % es 0,25) y el número de pruebas como números enteros de 1 a 1000. Si solo necesitas un suceso, escribe de todos modos valores provisionales para el suceso B (por ejemplo, 0,5 y 1).

Resultado

Escribe las probabilidades y el número de pruebas en los campos de la izquierda y haz clic en «Calcular». El resultado aparecerá aquí.

Índice

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Qué puedes hacer en esta página
¿Para qué sirve este cálculo?
Cómo usar
Fórmula
Símbolos y términos
- Símbolos
- Términos
Qué conviene saber de antemano
Cómo calcularlo con Excel
Cómo calcularlo con Hojas de cálculo de Google
Cómo calcularlo con Python
La fórmula en LaTeX y otras notaciones matemáticas (para copiar)
Cómo pedirle a ChatGPT que haga el cálculo
Las ventajas de DataChef
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Qué puedes hacer en esta página

Escribe la probabilidad de una prueba y el número de pruebas y obtendrás al instante la probabilidad de que ocurra \(n\) veces seguidas
También calcula, todo de una vez, la probabilidad de que ocurra al menos una vez y la de que no ocurra nunca
Funciona con dos sucesos, A y B, a la vez, así que también puedes obtener combinaciones como «A ocurre al menos una vez y B no ocurre nunca»
En esta misma página encontrarás también una explicación sencilla de las fórmulas y las fórmulas listas para copiar en Excel, Hojas de cálculo de Google y Python

Solo sirve cuando la probabilidad es la misma cada vez y los resultados no se influyen entre sí (son independientes). Los dados, las monedas y las cajas de botín con probabilidades publicadas valen. No sirve cuando la probabilidad cambia de un intento a otro, como al «sacar papeletas sin devolverlas».

¿Para qué sirve este cálculo?

Estimar tus probabilidades con las cajas de botín y los sorteos de los videojuegos

«Si abro 100 veces una caja de botín con una probabilidad del 1 % de dar el objeto, lo conseguiré al menos una vez.» En realidad, la probabilidad de conseguir al menos uno es \(1 - 0{,}99^{100} \approx 0{,}634\) (el 63,4 %), así que aproximadamente 1 de cada 3 jugadores sigue sin nada tras 100 intentos.
Conocer la fórmula de «al menos una vez» te permite planificar tu gasto y el número de intentos con números y no con la intuición.

No alarmarse ante un «falso positivo» en una prueba de cribado (salud)

Una prueba puede dar «positivo» aunque no tengas la enfermedad (un falso positivo), y esto ocurre un pequeño porcentaje de las veces en cada prueba. Si es un 5 % por prueba, la probabilidad de tener al menos un falso positivo en 10 años de cribados anuales llega a \(1 - 0{,}95^{10} \approx 0{,}4\) (el 40 %).
Saber que un resultado señalado no es lo mismo que tener la enfermedad, y que casi cualquiera puede ver uno si repite una prueba muchas veces, ayuda a mantener la calma cuando te piden repetir una prueba. Es una de las formas más útiles en que esta fórmula ayuda a ordenar con números una gran preocupación.

Qué significa realmente «una inundación con periodo de retorno de 100 años» (prevención de desastres)

Una inundación con un periodo de retorno de 100 años (el escenario de probabilidad media que usa el Sistema Nacional de Cartografía de Zonas Inundables, SNCZI, del MITECO) es una inundación con una probabilidad del 1 % de producirse en un año cualquiera. Durante una hipoteca de 30 años, la probabilidad de que ocurra al menos una así es \(1 - 0{,}99^{30} \approx 0{,}26\) (el 26 %), más de 1 entre 4. (Las evaluaciones reales del riesgo de inundación usan modelos más detallados, pero la idea es la misma.)
Cuando entiendes esta fórmula, ves que «este año no ha pasado» no te pone a salvo, y que la probabilidad se va acumulando cuanto más largo es el periodo. Esto ayuda en decisiones como informarte del riesgo de inundación de tu vivienda o tener provisiones de emergencia.

Control de calidad (la probabilidad de que todas las piezas sean buenas)

En un producto con 10 piezas, cada una con un 0,5 % de defectos, la probabilidad de que ninguna pieza sea defectuosa es \((1 - 0{,}005)^{10} \approx 0{,}951\) (el 95,1 %).
Cuantas más piezas hay, menor es la probabilidad de que «todas las piezas sean buenas». Los fabricantes usan esta fórmula para estimar el porcentaje de productos que pasan la inspección y, al revés, para hallar la tasa de defectos permitida para cada pieza.

Cuántas veces participar en un sorteo para tener una probabilidad realista de ganar

Si participas 7 veces en un sorteo en el que tienes un 10 % de probabilidad de ganar, la probabilidad de ganar al menos una vez es \(1 - 0{,}9^{7} \approx 0{,}52\) (el 52 %), algo más de la mitad.
Saber calcular «cuántos intentos necesito para tener alrededor de un 50 % de probabilidad» facilita decidir en qué invertir tu tiempo y tu esfuerzo.

Fórmula

Probabilidad de que ocurra \(n\) veces seguidas

Notación matemática (la notación habitual)

En palabras (los símbolos sustituidos por palabras)

\(P\) \(=\) \(p\) \(n\)

③ \(P\): probabilidad de \(n\) veces seguidas \(=\) ① \(p\): probabilidad en una prueba ② \(n\): número de pruebas

La fórmula en palabras

① Toma la \(p\): probabilidad en una prueba

② multiplícala por sí misma tantas veces como indique el \(n\): número de pruebas

③ y obtendrás la \(P\): probabilidad de \(n\) veces seguidas

Un ejemplo sencillo

La probabilidad de sacar cara 3 veces seguidas al lanzar una moneda (probabilidad 0,5) es

\(P\): 3 veces seguidas \(=\) una prueba (0,5) pruebas (3)

\(0{,}5 \times 0{,}5 \times 0{,}5 = 0{,}125\ \ (12{,}5\,\%)\)

La idea clave

Esta fórmula solo vale cuando la probabilidad es la misma cada vez y no depende de los resultados anteriores (las pruebas son independientes). Los dados, las monedas y las cajas de botín con probabilidades publicadas valen. No vale cuando la probabilidad cambia de un intento a otro, como al «sacar papeletas sin devolverlas».

Probabilidad de que no ocurra nunca en \(n\) pruebas

Notación matemática (la notación habitual)

\(P\) \(=\) \((1-p)\) \(n\)

En palabras (los símbolos sustituidos por palabras)

③ \(P\): probabilidad de que no ocurra nunca \(=\) ① \((1-p)\): probabilidad de que no ocurra en una prueba ② \(n\): número de pruebas

La fórmula en palabras

① Toma la \((1-p)\): probabilidad de que no ocurra en una prueba

② multiplícala por sí misma tantas veces como indique el \(n\): número de pruebas

③ y obtendrás la \(P\): probabilidad de que no ocurra nunca

Un ejemplo sencillo

Si abres 4 veces una caja de botín con una probabilidad de 0,25 de dar un objeto raro, la probabilidad de no conseguirlo ninguna de las 4 veces es

\(P\): fallar las 4 veces \(=\) fallar una vez (0,75) pruebas (4)

\(0{,}75 \times 0{,}75 \times 0{,}75 \times 0{,}75 \approx 0{,}316\ \ (31{,}6\,\%)\)

La idea clave

La probabilidad de que no ocurra en una prueba sale del suceso contrario: 1 − (la probabilidad de que ocurra en una prueba). Si la probabilidad de un objeto raro es 0,25, la de fallar es \(1 - 0{,}25 = 0{,}75\).

Probabilidad de que ocurra al menos una vez en \(n\) pruebas

Notación matemática (la notación habitual)

\(P\) \(=\) \(1\) \(-\) \((1-p)\) \(n\)

En palabras (los símbolos sustituidos por palabras)

④ \(P\): probabilidad de al menos una vez \(=\) ③ \(1\): probabilidad total \(-\) ① \((1-p)\): probabilidad de que no ocurra en una prueba ② \(n\): número de pruebas

La fórmula en palabras

① Toma la \((1-p)\): probabilidad de que no ocurra en una prueba

② multiplícala por sí misma tantas veces como indique el \(n\): número de pruebas para obtener la probabilidad de que no ocurra nunca

③ réstala de la \(1\): probabilidad total

④ y obtendrás la \(P\): probabilidad de al menos una vez

Un ejemplo sencillo

Si abres 4 veces una caja de botín con una probabilidad de 0,25 de dar un objeto raro, la probabilidad de conseguir al menos un objeto raro es

\(P\): al menos un objeto raro \(=\) \(1\): probabilidad total \(-\) fallar una vez (0,75) pruebas (4)

\(0{,}75 \times 0{,}75 \times 0{,}75 \times 0{,}75 \approx 0{,}316\)

\(1 - 0{,}316 = 0{,}684\ \ (68{,}4\,\%)\)

La idea clave

Si intentas contar «al menos una vez» directamente, tienes que sumar «exactamente una vez», «exactamente dos veces», etc., y es mucho trabajo. El lado contrario (el suceso contrario), «nunca», solo necesita una fórmula. Por eso se calcula ese y se resta de la probabilidad total, 1. Esta es la idea clave de la fórmula. Además, añadir más pruebas solo acerca la probabilidad a 1 (100 %); nunca llega al 100 %. «Si abres 100 veces una caja de botín con una probabilidad del 1 %, la probabilidad de conseguir al menos un objeto raro es de solo un 63 % aproximadamente.»

En las pruebas repetidas, la regla básica es: multiplica la probabilidad de una prueba por sí misma tantas veces como pruebas haya. Para «al menos una vez», el truco es hallar el suceso contrario, «no ocurre nunca», y restarlo del total, 1.

Símbolos y términos

Símbolos

\(p\)	p	La probabilidad de que el suceso ocurra en una prueba. (Ejemplo: una caja de botín con una probabilidad de 0,25 de dar un objeto raro)
\(n\)	n	El número de pruebas. (Ejemplo: si intentas 4 veces, \(n = 4\))
\(p^n\)	p elevado a n	Es \(p\) multiplicado por sí mismo \(n\) veces. La \(n\) pequeña de arriba a la derecha es el exponente, que significa «multiplicar \(n\) veces». (Ejemplo: \(0{,}5^3 = 0{,}5 \times 0{,}5 \times 0{,}5 = 0{,}125\))
\(1-p\)	uno menos p	La probabilidad de que el suceso no ocurra en una prueba (la probabilidad del suceso contrario).
\(P\)	P mayúscula	La probabilidad que quieres hallar. En esta página representa cosas como la probabilidad de \(n\) veces seguidas o la probabilidad de al menos una vez.

Términos

suceso	Algo que ocurre o no ocurre, como «sacar un 6» o «ganar un sorteo». En probabilidad, estos resultados se llaman sucesos.
prueba (experimento aleatorio)	Una sola realización de una acción con resultado aleatorio, como un lanzamiento de un dado o una extracción de una papeleta. Las fórmulas de esta página sirven para repetir la misma prueba \(n\) veces.
independiente	Cuando un resultado anterior no cambia lo probable que es el siguiente. Los dados y las monedas tienen la misma probabilidad en cada lanzamiento, por muchas veces que los lances, así que los lanzamientos son independientes.
pruebas repetidas	Hacer muchas veces la misma prueba en las mismas condiciones. En los cursos de estadística, las pruebas repetidas independientes con dos resultados (ocurre o no ocurre) se llaman pruebas de Bernoulli, y son la base de la distribución binomial.
suceso contrario	El suceso opuesto, aquel en el que el suceso no ocurre. El suceso contrario de «ocurre al menos una vez» es «no ocurre nunca», y este cambio es la clave de la tercera fórmula de esta página.
potencia (exponente)	Multiplicar un mismo número por sí mismo varias veces. En \(0{,}5^3\), el número pequeño de arriba a la derecha (el exponente) indica cuántas veces se multiplica.

Qué conviene saber de antemano

Esto es lo que te ayuda a usar el cálculo de esta página entendiendo de verdad lo que haces, y no solo pulsando el botón.

Probabilidad básica (3.º de ESO, 14-15 años)	Saber que una probabilidad es un número de 0 a 1 y que la probabilidad de que algo ocurra y la de que no ocurra suman 1 Saber que la probabilidad de que ocurran uno tras otro varios sucesos independientes se calcula multiplicando
Potencias (1.º de ESO, 12-13 años)	Saber que «elevar a \(n\)» (potencia) significa multiplicar el mismo número \(n\) veces, como en \(0{,}5^3 = 0{,}5 \times 0{,}5 \times 0{,}5\)
El suceso contrario (de 3.º de ESO a Bachillerato, 14-18 años)	Saber ver que lo contrario de «ocurre al menos una vez» es «no ocurre nunca» Saber que, cuando una probabilidad es difícil de contar directamente, se puede calcular el lado contrario y restarlo de 1
Multiplicación de decimales (5.º–6.º de Primaria, 10-12 años)	Saber multiplicar decimales, como en \(0{,}75 \times 0{,}75\) Tener la sensación de que el resultado se hace cada vez más pequeño cada vez que multiplicas por un número menor que 1

Cómo calcularlo con Excel

Copia toda la tabla de abajo y pégala en la celda A1 de Excel. Funciona tal cual.

Tabla para calcular la probabilidad de n veces seguidas

Probabilidad en una prueba p	0,25
Número de pruebas n	4
Probabilidad de n veces seguidas	=B1^B2

Tabla para calcular la probabilidad de que no ocurra nunca en n pruebas

Probabilidad en una prueba p	0,25
Número de pruebas n	4
Probabilidad de que no ocurra nunca	=(1-B1)^B2

Tabla para calcular la probabilidad de que ocurra al menos una vez

Probabilidad en una prueba p	0,25
Número de pruebas n	4
Probabilidad de que ocurra al menos una vez	=1-(1-B1)^B2

Al pegar la tabla, B1 y B2 son tus datos y B3 se calcula automáticamente.
«^» es el símbolo de la potencia (cuántas veces se multiplica). «=B1^B2» significa «multiplica el valor de B1 por sí mismo B2 veces».
En la tercera tabla, por ejemplo, B3 muestra aproximadamente 0,684 (alrededor del 68 %). Solo tienes que cambiar B1 y B2 por tus propios números.

Cómo calcularlo con Hojas de cálculo de Google

Copia toda la tabla de abajo y pégala en la celda A1 de Hojas de cálculo de Google. Funciona tal cual.

Tabla para calcular la probabilidad de n veces seguidas

Probabilidad en una prueba p	0,25
Número de pruebas n	4
Probabilidad de n veces seguidas	=B1^B2

Tabla para calcular la probabilidad de que no ocurra nunca en n pruebas

Probabilidad en una prueba p	0,25
Número de pruebas n	4
Probabilidad de que no ocurra nunca	=(1-B1)^B2

Tabla para calcular la probabilidad de que ocurra al menos una vez

Probabilidad en una prueba p	0,25
Número de pruebas n	4
Probabilidad de que ocurra al menos una vez	=1-(1-B1)^B2

Puedes usar las mismas fórmulas que en Excel. Copia la tabla entera, pégala en la celda A1 y sustituye B1 y B2 por tus propios números.

Cómo calcularlo con Python

probability_per_trial = 0.25  # probabilidad en una prueba
number_of_trials = 4          # número de pruebas

p_every_time = probability_per_trial ** number_of_trials        # probabilidad de n veces seguidas
p_never = (1 - probability_per_trial) ** number_of_trials       # probabilidad de que no ocurra nunca
p_at_least_once = 1 - p_never                                   # probabilidad de que ocurra al menos una vez

print(f"Probabilidad de {number_of_trials} veces seguidas: {p_every_time}")
print(f"Probabilidad de que no ocurra nunca: {p_never}")
print(f"Probabilidad de que ocurra al menos una vez: {p_at_least_once}")

Funciona solo con la biblioteca estándar. «**» es el símbolo de la potencia (elevar a n). Cambia la probabilidad y el número de pruebas del principio y ejecútalo.

La fórmula en LaTeX y otras notaciones matemáticas (para copiar)

Probabilidad de que ocurra \(n\) veces seguidas

P = pⁿ

P = p^{n}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>P</mi>
    <mo>=</mo>
    <msup><mi>p</mi><mi>n</mi></msup>
  </mrow>
</math>

P = p^n

p^n

P := p^n;

P = p^n;

P = p^n

Probabilidad de que no ocurra nunca en \(n\) pruebas

P = (1 − p)ⁿ

P = (1-p)^{n}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>P</mi>
    <mo>=</mo>
    <msup>
      <mrow><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>&#x2212;</mo><mi>p</mi><mo>)</mo></mrow>
      <mi>n</mi>
    </msup>
  </mrow>
</math>

P = (1 - p)^n

(1 - p)^n

P := (1 - p)^n;

P = (1 - p)^n;

P = (1 - p)^n

Probabilidad de que ocurra al menos una vez en \(n\) pruebas

P = 1 − (1 − p)ⁿ

P = 1 - (1-p)^{n}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>P</mi>
    <mo>=</mo>
    <mn>1</mn>
    <mo>&#x2212;</mo>
    <msup>
      <mrow><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>&#x2212;</mo><mi>p</mi><mo>)</mo></mrow>
      <mi>n</mi>
    </msup>
  </mrow>
</math>

P = 1 - (1 - p)^n

1 - (1 - p)^n

P := 1 - (1 - p)^n;

P = 1 - (1 - p)^n;

P = 1 - (1 - p)^n

Cómo pedirle a ChatGPT que haga el cálculo

Eres un asistente de cálculo de probabilidades. Haz el siguiente cálculo ejecutando realmente código de Python y basa tu respuesta solo en los números del resultado de la ejecución (no respondas con cálculo mental ni suposiciones).

Abro una caja de botín 4 veces. Cada vez, la probabilidad de conseguir un objeto raro es 0,25. Los resultados son independientes.
Calcula cada uno de los valores siguientes:
1. La probabilidad de conseguir un objeto raro las 4 veces
2. La probabilidad de fallar las 4 veces
3. La probabilidad de conseguir al menos un objeto raro

Muestra las fórmulas que has usado y los números del resultado de la ejecución.

Cómo usar

1

Introduce los números

Escribe en los campos los números con los que quieres calcular
2

Calcula

Haz clic en el botón «Calcular»
3

Consulta el resultado

El resultado aparece al instante. En la misma página también encontrarás el desarrollo del cálculo y la explicación de la fórmula