Calculadora de descomposición en factores primos (factorizar un número)

Escribe el número entero que quieres descomponer en factores primos. Verás a la vez el producto de primos, la forma con potencias, los pasos de las divisiones sucesivas y el número de divisores.

Número que quieres descomponer

Escribe un número entero desde 2 hasta 100 billones (100.000.000.000.000).

Resultado

Escribe un número entero en el campo de la izquierda y haz clic en «Calcular». El resultado aparecerá aquí.

Índice

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Qué puedes hacer en esta página
¿Para qué sirve este cálculo?
Cómo usar
Fórmula
Símbolos y términos
- Símbolos
- Términos
Qué conviene saber de antemano
Cómo calcularlo con Excel
Cómo calcularlo con Hojas de cálculo de Google
Cómo calcularlo con Python
La fórmula en LaTeX y otras notaciones matemáticas (para copiar)
Cómo pedirle a ChatGPT que haga el cálculo
Las ventajas de DataChef
Funciones relacionadas
Todas las calculadoras de NumberChef

Qué puedes hacer en esta página

Escribe un número entero mayor o igual que 2 y obtén al instante su descomposición en factores primos, escrita como un producto, por ejemplo \(2 \times 2 \times 5 \times 5\)
También muestra la forma con potencias (\(2^{2} \times 5^{2}\)), con el exponente de cada factor, y los pasos de las divisiones sucesivas
Como aplicación de la descomposición en factores primos, calcula además cuántos divisores tiene el número
Si escribes un número primo (un número que no se puede descomponer más), te dice que es primo, así que también sirve para comprobar si un número es primo
En esta misma página tienes una explicación sencilla de las fórmulas y fórmulas para copiar y pegar en Excel, Hojas de cálculo de Google y Python

Puedes usar números enteros desde 2 hasta 100 billones (100.000.000.000.000). El 1 es un número especial que no es primo ni compuesto, así que no tiene descomposición en factores primos.

¿Para qué sirve este cálculo?

Simplificar fracciones con el MCD (clase de mates y cálculo diario)

Incluso una fracción grande como \(\frac{84}{126}\) se puede simplificar paso a paso con la descomposición en factores primos. \(84 = 2^{2} \times 3 \times 7\) y \(126 = 2 \times 3^{2} \times 7\), así que la parte común \(2 \times 3 \times 7 = 42\) es el máximo común divisor (MCD). Divide los dos números entre 42 y obtienes \(\frac{2}{3}\).
Simplificar fracciones, reducir a común denominador y hallar el mínimo común múltiplo (MCM) se apoyan en la descomposición en factores primos, así que con ella cualquier cálculo con fracciones se ve con más claridad.

El cifrado RSA, que protege las compras y la banca por internet

El cifrado RSA, que protege datos como el número de la tarjeta de crédito, se basa en que descomponer en factores un número muy grande lleva muchísimo tiempo, incluso a los ordenadores. De hecho, descomponer un número de 232 cifras (RSA-768) llevó unos dos años con cientos de ordenadores.
Un ordenador descompone en un instante un número de unos 100 billones (15 cifras), pero la dificultad se dispara al aumentar el número de cifras. Esa diferencia es lo que mantiene segura internet.

Diseño de engranajes y de ciclos repetidos (fabricación)

Un engranaje de 12 dientes y otro de 18 vuelven a la posición de partida cuando han pasado 36 dientes, el mínimo común múltiplo de \(12 = 2^{2} \times 3\) y \(18 = 2 \times 3^{2}\) (3 vueltas del engranaje pequeño y 2 del grande).
La descomposición en factores primos es una herramienta fiable para hallar mínimos comunes múltiplos, así que se usa en diseños que reparten el desgaste de los engranajes por igual y para calcular cuándo coinciden varios ciclos.

Contar las formas de repartir un grupo en partes iguales (equipos y clases)

¿De cuántas formas se pueden repartir 36 personas en grupos del mismo tamaño? Como \(36 = 2^{2} \times 3^{2}\), el número de divisores es \((2+1) \times (2+1) = 9\), así que hay 9 formas, desde «36 grupos de 1» hasta «1 grupo de 36».
Para formar equipos, embaldosar o empaquetar productos en cajas, siempre que quieras repartir en partes iguales, puedes contar las opciones sin tener que enumerarlas todas.

Las cigarras periódicas, los números primos en la naturaleza

En el este de EE. UU., algunas cigarras salen todas a la vez de la tierra cada 13 o 17 años (las cigarras periódicas). Un ciclo primo rara vez coincide con otros ciclos. Por ejemplo, las cigarras de 13 años y un depredador con un ciclo de 12 años coinciden en el mismo año una sola vez cada 156 años, su mínimo común múltiplo.
Una de las hipótesis principales es que tener un ciclo primo les ayudó a sobrevivir. Calculando con la descomposición en factores primos lo poco que coinciden los ciclos, puedes comprobar esta idea tú mismo.

Fórmula

Descomposición en factores primos (escribir un número como producto de primos)

Notación matemática (la notación habitual)

\(n\) \(=\) \(p_1 \times p_2 \times \cdots \times p_k\)

En palabras (los símbolos sustituidos por palabras)

① \(n\): número original \(=\) ② producto de los factores primos \(p_1, p_2, \ldots, p_k\)

La fórmula en palabras

① El \(n\): número original se puede escribir como el

② producto de los factores primos \(p_1, p_2, \ldots, p_k\) de una única manera, salvo el orden de los factores

Un ejemplo sencillo

Al descomponer 100 con las divisiones sucesivas, dividiendo primero entre los primos más pequeños (100 ÷ 2 = 50, 50 ÷ 2 = 25, 25 ÷ 5 = 5), se obtiene

número original (100) \(=\) producto de factores primos (2 × 2 × 5 × 5)

\(100 = 2 \times 2 \times 5 \times 5\)

La idea clave

Los números primos (2, 3, 5, 7, 11, …) no tienen más divisores que el 1 y ellos mismos. Son los «ladrillos» de los números enteros: las piezas que ya no se pueden partir más. La descomposición en factores primos descompone un número entero en esos ladrillos y, para cualquier entero mayor o igual que 2, el resultado es siempre el mismo salvo el orden de los factores (el teorema fundamental de la aritmética). Cuando descompones a mano, lo más seguro es dividir entre los primos más pequeños en orden (2 → 3 → 5 → …), cada uno tantas veces como quepa exactamente (división por tentativa). El árbol de factores, que parte el número en dos factores cualesquiera y sigue partiendo, llega al final a los mismos primos.

Forma con potencias (agrupar los factores primos iguales)

Notación matemática (la notación habitual)

\(n\) \(=\) \(p\) \(a\) \(\times\) \(q\) \(b\) \(\times \cdots\)

En palabras (los símbolos sustituidos por palabras)

⑤ \(n\): número original \(=\) ① \(p\): primer factor primo ② \(a\): número de veces \(\times\) ③ \(q\): segundo factor primo ④ \(b\): número de veces \(\times \cdots\)

La fórmula en palabras

① Multiplica el \(p\): primer factor primo

② por sí mismo \(a\): número de veces (exponente)

③ y haz lo mismo con el \(q\): segundo factor primo

④ por sí mismo \(b\): número de veces (exponente) y multiplica todo

⑤ para recuperar el \(n\): número original

Un ejemplo sencillo

Al agrupar los factores primos iguales de 100 = 2 × 2 × 5 × 5 y escribirlos con exponentes, se obtiene

número original (100) \(=\) factor primo 2 2 veces \(\times\) factor primo 5 2 veces

\(100 = 2 \times 2 \times 5 \times 5 = 2^{2} \times 5^{2}\)

La idea clave

Cuando el mismo factor primo aparece 2 o más veces, se agrupa escribiendo arriba a la derecha un número pequeño (el exponente) que indica cuántas veces se multiplica. Es la forma con potencias. Escribe los factores primos de menor a mayor. Un factor primo que aparece una sola vez no lleva exponente. Por ejemplo, en \(360 = 2^{3} \times 3^{2} \times 5\), el 5 se escribe tal cual, sin exponente.

Número de divisores (una aplicación de la descomposición en factores primos)

Notación matemática (la notación habitual)

\(d\) \(=\) \((a+1)\) \(\times\) \((b+1)\)

En palabras (los símbolos sustituidos por palabras)

③ \(d\): número de divisores \(=\) ① \((a+1)\): exponente de \(p\) más 1 \(\times\) ② \((b+1)\): exponente de \(q\) más 1

La fórmula en palabras

① Multiplica el \((a+1)\): exponente del factor primo \(p\) más 1

② por el \((b+1)\): exponente del factor primo \(q\) más 1

③ y obtienes el \(d\): número de divisores

Un ejemplo sencillo

La descomposición en factores primos de 100 es \(2^{2} \times 5^{2}\). Por tanto, el número de divisores de 100 es

\(d\): número de divisores \(=\) exponente de 2 más 1 (2 + 1) \(\times\) exponente de 5 más 1 (2 + 1)

\((2+1) \times (2+1) = 3 \times 3 = 9\)

La idea clave

Si escribes uno a uno los divisores de 100, salen 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50 y 100: 9 divisores, igual que con la fórmula. ¿Por qué se suma 1 a cada exponente? Cada divisor de 100 se forma eligiendo el factor primo 2 cero, una o dos veces (3 opciones) y el factor primo 5 cero, una o dos veces (3 opciones), y multiplicando. Elegir un primo cero veces también cuenta, así que hay una opción más que el exponente. Si hay 3 o más factores primos distintos, se multiplican todos los valores (exponente + 1) de la misma manera.

La descomposición en factores primos escribe un número entero como un producto formado solo por primos, y el resultado es único. Cuando lo haces a mano, lo más seguro son las divisiones sucesivas, dividiendo entre los primos más pequeños en orden.

Símbolos y términos

Símbolos

\(n\)	n	El número entero original que quieres descomponer (2 o más). Ejemplo: 100
\(p, q\)	p, q	Los factores primos (primos que dividen exactamente a \(n\)). Se escriben de menor a mayor. Ejemplo: los factores primos de 100 son 2 y 5
\(p^{a}\)	p elevado a a	El factor primo \(p\) multiplicado por sí mismo \(a\) veces. La \(a\) pequeña de arriba a la derecha es el exponente, que indica que se multiplica \(a\) veces. Ejemplo: \(2^{2} = 2 \times 2 = 4\)
\(d\)	d	El número de divisores. La letra viene de «divisores». Ejemplo: para 100, \(d = 9\)

Términos

número primo	Un número entero mayor o igual que 2 cuyos únicos divisores son el 1 y él mismo, como 2, 3, 5, 7, 11, 13, … El 1 no es un número primo, y el 2 es el único número primo par.
número compuesto	Un número entero mayor o igual que 2 que no es primo. Dicho de otro modo, un número que se puede formar multiplicando 2 o más primos (por ejemplo, 100 = 2 × 2 × 5 × 5).
factor primo	Un número primo que divide exactamente a un número entero. Los factores primos de 100 son 2 y 5.
descomposición en factores primos	Escribir un número entero como un producto formado solo por primos. El resultado es siempre el mismo, salvo el orden de los factores. También se llama factorización.
divisor	Un número entero que divide exactamente a otro número. El 12 tiene 6 divisores: 1, 2, 3, 4, 6 y 12.
exponente	El número pequeño que se escribe arriba a la derecha e indica cuántas veces se multiplica. \(2^{3}\) significa multiplicar el 2 tres veces (\(2 \times 2 \times 2 = 8\)).
teorema fundamental de la aritmética	El teorema que dice que todo número entero mayor o igual que 2 se puede escribir de una sola manera como producto de primos. Es la razón por la que una descomposición en factores primos tiene una única respuesta.
divisiones sucesivas	Un método escrito que consiste en dividir una y otra vez entre primos pequeños. Anota a la izquierda el primo por el que divides y debajo el cociente, y termina cuando el cociente es un primo. Al multiplicar todos los primos de la izquierda y el último cociente, vuelves al número original. En clase también se usa el árbol de factores, que llega a los mismos primos.
división por tentativa	Una forma de descomponer un número en factores primos que prueba si es divisible entre los primos más pequeños, en orden: 2, 3, 5, … Si ninguno hasta \(\sqrt{n}\) lo divide exactamente, el número que queda es primo.

Qué conviene saber de antemano

Esto es lo que te ayuda a usar el cálculo de esta página entendiendo lo que haces, y no solo pulsando el botón.
Si te atascas, repasar estos temas es el camino más rápido.

Tablas de multiplicar y división (3.º de Primaria, 8-9 años)	Saber dividir un número de 2 cifras entre uno de 1 cifra y distinguir si la división es exacta o no
Números pares e impares, divisores y múltiplos (5.º de Primaria, 10-11 años)	Saber qué son los divisores (números que dividen exactamente a un número) y los múltiplos Los criterios de divisibilidad aceleran el cálculo: un número es divisible entre 2 si su última cifra es par, y entre 3 si la suma de sus cifras es múltiplo de 3
Números primos y descomposición en factores primos (6.º de Primaria y 1.º de ESO, 11-13 años)	Saber que un número primo es un número entero mayor o igual que 2 sin más divisores que el 1 y él mismo (el 1 no es primo) Saber que, dividiendo entre los primos más pequeños en orden, cualquier número entero se descompone en un producto de primos
Potencias y exponentes (1.º de ESO, 12-13 años)	Saber que el número pequeño de arriba a la derecha (el exponente) indica cuántas veces se multiplica, como en \(2^{3} = 2 \times 2 \times 2\)

Cómo calcularlo con Excel

Copia toda la tabla de abajo y pégala en la celda A1 de Excel. Funciona tal cual.

Tabla para comprobar que los factores primos multiplicados dan el número original

Factor primo 1	2
Factor primo 2	2
Factor primo 3	5
Factor primo 4	5
Número original n	=B1B2B3*B4

Tabla para obtener el número original a partir de la forma con potencias

Factor primo p	2
Exponente de p, a	2
Factor primo q	5
Exponente de q, b	2
Número original n	=B1^B2*B3^B4

Tabla para calcular el número de divisores

Exponente de p, a	2
Exponente de q, b	2
Número de divisores d	=(B1+1)*(B2+1)

Excel no tiene ninguna función que haga la descomposición en factores primos de una sola vez, así que estas tablas sirven para comprobar si una descomposición es correcta. La descomposición en sí hazla con la calculadora de esta página o con Python.
La primera tabla comprueba que, al multiplicar todos los factores primos, se recupera el número original. B5 muestra 2 × 2 × 5 × 5 = 100.
La segunda tabla parte de la forma con potencias (2² × 5²). «^» es el símbolo de la potencia (cuántas veces se multiplica). B5 muestra 100.
La tercera tabla calcula el número de divisores. B3 muestra (2+1) × (2+1) = 9. Solo tienes que sustituir los factores primos y los exponentes por los de tu resultado.

Cómo calcularlo con Hojas de cálculo de Google

Copia toda la tabla de abajo y pégala en la celda A1 de Hojas de cálculo de Google. Funciona tal cual.

Tabla para comprobar que los factores primos multiplicados dan el número original

Factor primo 1	2
Factor primo 2	2
Factor primo 3	5
Factor primo 4	5
Número original n	=B1B2B3*B4

Tabla para obtener el número original a partir de la forma con potencias

Factor primo p	2
Exponente de p, a	2
Factor primo q	5
Exponente de q, b	2
Número original n	=B1^B2*B3^B4

Tabla para calcular el número de divisores

Exponente de p, a	2
Exponente de q, b	2
Número de divisores d	=(B1+1)*(B2+1)

Las mismas fórmulas de Excel funcionan tal cual. Copia la tabla entera, pégala en la celda A1 y sustituye los factores primos y los exponentes por los de tu resultado.

Cómo calcularlo con Python

number = 100  # el número entero que quieres descomponer (2 o más)

prime_factors = []   # lista de factores primos, de menor a mayor
remaining = number
divisor = 2
while divisor * divisor <= remaining:
    while remaining % divisor == 0:   # sigue dividiendo entre el mismo número mientras la división sea exacta
        prime_factors.append(divisor)
        remaining //= divisor
    divisor += 1
if remaining > 1:                     # lo que quede mayor que 1 es un primo
    prime_factors.append(remaining)

print(f"Factores primos de {number}: {prime_factors}")

Funciona solo con la biblioteca estándar. Es la división por tentativa escrita como código, probando si cada número, desde el más pequeño, divide exactamente. «%» da el resto de una división y «//=» divide y descarta la parte decimal. Cambia number al principio y ejecútalo. Para 100 muestra [2, 2, 5, 5].

La fórmula en LaTeX y otras notaciones matemáticas (para copiar)

Descomposición en factores primos (escribir un número como producto de primos)

n = p₁ × p₂ × ⋯ × pₖ

n = p_1 \times p_2 \times \cdots \times p_k

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>n</mi>
    <mo>=</mo>
    <msub><mi>p</mi><mn>1</mn></msub>
    <mo>&#xD7;</mo>
    <msub><mi>p</mi><mn>2</mn></msub>
    <mo>&#xD7;</mo>
    <mo>&#x22EF;</mo>
    <mo>&#xD7;</mo>
    <msub><mi>p</mi><mi>k</mi></msub>
  </mrow>
</math>

n = p_1 xx p_2 xx cdots xx p_k

FactorInteger[n]

ifactor(n);

factor(n)

n = p_1 × p_2 × ⋯ × p_k

Forma con potencias (agrupar los factores primos iguales)

n = pᵃ × qᵇ × ⋯

n = p^{a} \times q^{b} \times \cdots

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>n</mi>
    <mo>=</mo>
    <msup><mi>p</mi><mi>a</mi></msup>
    <mo>&#xD7;</mo>
    <msup><mi>q</mi><mi>b</mi></msup>
    <mo>&#xD7;</mo>
    <mo>&#x22EF;</mo>
  </mrow>
</math>

n = p^a xx q^b xx cdots

p^a * q^b

n := p^a * q^b;

n = p^a * q^b;

n = p^a × q^b × ⋯

Número de divisores (una aplicación de la descomposición en factores primos)

d = (a + 1) × (b + 1)

d = (a+1) \times (b+1)

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mo>=</mo>
    <mo>(</mo><mi>a</mi><mo>+</mo><mn>1</mn><mo>)</mo>
    <mo>&#xD7;</mo>
    <mo>(</mo><mi>b</mi><mo>+</mo><mn>1</mn><mo>)</mo>
  </mrow>
</math>

d = (a + 1) xx (b + 1)

(a + 1)*(b + 1)

d := (a + 1)*(b + 1);

d = (a + 1)*(b + 1);

d = (a + 1) × (b + 1)

Cómo pedirle a ChatGPT que haga el cálculo

Eres un asistente de cálculo con números enteros. Haz el siguiente cálculo ejecutando realmente código de Python y basa tu respuesta únicamente en los números del resultado de la ejecución (no respondas con cálculo mental ni a ojo).

Halla la descomposición en factores primos de 360.
1. Enumera todos los factores primos de menor a mayor (repite un factor primo tantas veces como aparezca)
2. Escríbela con potencias (por ejemplo, con una forma como 2^3 × 3^2 × 5)
3. Calcula también el número de divisores de 360

Muestra el código que has usado y los números del resultado de la ejecución.

Cómo usar

1

Introduce los números

Escribe en los campos los números con los que quieres calcular
2

Calcula

Haz clic en el botón «Calcular»
3

Consulta el resultado

El resultado aparece al instante. En la misma página también encontrarás el desarrollo del cálculo y la explicación de la fórmula