Calculadora de módulo (a mod n, congruencias y potencias modulares)

Elige un modo y escribe números enteros. «Resto» también vale con números negativos y muestra en qué se diferencia el resto matemático (0 o más) del operador % de la programación.

Qué quieres calcular

Entero a

Entero b (con el que comparar)

Exponente k (potencia)

Módulo n (divisor)

Escribe solo números enteros (no decimales ni fracciones). a, b y n pueden tener hasta 30 cifras, el exponente k es 0 o más con hasta 9 cifras, y el módulo n es 1 o más.

Resultado y figura

Elige un modo a la izquierda, escribe números enteros y haz clic en «Calcular». El resultado aparecerá aquí (si el módulo n está entre 2 y 24, también verás un reloj que muestra dónde cae el resto).

Índice

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Qué puedes hacer en esta página
¿Para qué sirve este cálculo?
Cómo usar
Fórmulas y figuras
Símbolos y términos
- Símbolos
- Términos
Qué conviene saber de antemano
Cómo calcularlo con Excel
Cómo calcularlo con Hojas de cálculo de Google
Cómo calcularlo con Python
La fórmula en LaTeX y otras notaciones matemáticas (para copiar)
Cómo pedirle a ChatGPT que haga el cálculo
Las ventajas de DataChef
Funciones relacionadas
Todas las calculadoras de NumberChef

Qué puedes hacer en esta página

Halla el resto de dividir un número entero $a$ entre $n$. También vale con números negativos (por ejemplo, $-7$ entre $3$): la página muestra el resto matemático ($0 \le r < n$) junto al resultado del operador % de C, Java, JavaScript y otros lenguajes (que puede ser negativo)
Comprueba si se cumple la congruencia $a \equiv b \pmod{n}$, con la razón: si la diferencia $a - b$ es múltiplo de $n$
Obtén el resto exacto de una potencia enorme, como $7^{100}$ entre $13$, con los pasos de la exponenciación por cuadrados sucesivos (los números que no caben en una calculadora normal no son un problema)
Mira el resto en un reloj (la circunferencia de mod $n$) y comprende cómo los restos dan vueltas y vueltas por las mismas posiciones (el reloj aparece cuando el módulo $n$ está entre 2 y 24)
En esta misma página tienes una explicación sencilla de las fórmulas y fórmulas para copiar y pegar en Excel, Hojas de cálculo de Google y Python

El módulo $n$ es un número entero mayor o igual que 1. Escribe $a$, $b$ y $n$ con hasta 30 cifras, y el exponente $k$ como un entero mayor o igual que 0 con hasta 9 cifras.

¿Para qué sirve este cálculo?

Cálculos de reloj y calendario (¿qué día de la semana será dentro de N días?)

En un reloj, «las 14:00 son las 2 de la tarde» es justo el cálculo de resto 14 mod 12 = 2. Los días de la semana funcionan igual, en un reloj que da una vuelta cada 7 días. Por ejemplo, si hoy es lunes, como 100 mod 7 = 2, el día que llega dentro de 100 días es «2 días después del lunes», es decir, el miércoles.
Las agendas de papel y las aplicaciones de calendario relacionan las fechas con los días de la semana con este cálculo de resto.

Los dígitos de control que detectan números equivocados (códigos de barras, ISBN y la letra del DNI)

La última cifra del código de barras de un producto (EAN-13) o del ISBN de un libro es un dígito de control calculado con las demás cifras mediante un resto. En un EAN-13, por ejemplo, las cifras se multiplican alternativamente por 1 y por 3, se suman, y el dígito de control es el que completa esa suma hasta el siguiente múltiplo de 10 (se obtiene a partir del resto de la suma entre 10).
Si se teclea mal una cifra, el resto ya no cuadra, y las cajas de los supermercados y las tiendas online pueden detectar el error al momento. El dígito de control de los números de tarjeta de crédito funciona con la misma idea. La letra del DNI es otro ejemplo: se divide el número entre 23 y el resto (de 0 a 22) indica la letra en la tabla TRWAGMYFPDXBNJZSQVHLCKE. Con 12345678, el resto es 14 y la letra es Z.

El cifrado que protege internet (RSA)

RSA, el cifrado de clave pública más conocido para enviar datos como el número de una tarjeta de crédito con seguridad, usa directamente en sus cálculos «el resto de una potencia enorme». Una potencia modular se puede calcular con rapidez, pero volver atrás desde el resultado hasta el número original es extremadamente difícil. Esa propiedad de un solo sentido es lo que lo hace seguro.
La exponenciación por cuadrados sucesivos, cuyos pasos muestra el modo «Potencia modular» de esta página, es el cálculo que ejecuta a diario el software de cifrado.

Programación de todos los días (par o impar, turnos en bucle)

En programación, el operador % se usa constantemente: i % 2 distingue lo par de lo impar, e i % n crea un orden que vuelve a empezar cada n elementos (elegir al siguiente jugador en un juego por turnos, volver a la primera diapositiva después de la última, etc.).
Cuando hay números negativos, % da resultados distintos según el lenguaje, así que saber «el resto matemático frente a % en C y Java» ayuda a la hora de buscar errores.

Repartir en partes iguales y contar lo que sobra (repartir, empaquetar)

Reparte 63 lápices a partes iguales entre 12 personas: cada una recibe 5 y sobran 3 (63 = 12 × 5 + 3). Empaquetar existencias en cajas (cuántas cajas completas de n y cuántas unidades sobran) o dividir a la gente en grupos para una fiesta: toda situación de «repartir a partes iguales y ver qué sobra» es este cálculo.
La igualdad básica de la división a = n × q + r reúne todas estas situaciones cotidianas en una sola fórmula.

Fórmulas y figuras

La igualdad básica de la división (qué es un resto)

Reloj (mod 12)

Notación matemática (la notación habitual)

$a$ $=$ $n$ $\times$ $q$ $+$ $r$

En palabras (los símbolos sustituidos por palabras)

④ $a$: dividendo $=$ ① $n$: divisor (módulo) $\times$ ② $q$: cociente $+$ ③ $r$: resto

La fórmula en palabras

① Toma el $n$: divisor (módulo)

② multiplícalo por el $q$: cociente

③ y suma el $r$: resto (elegido de modo que $0 \le r < n$)

④ y obtienes el $a$: dividendo . Solo hay una manera de escribirlo con esta forma, y $r$ es «el resto de dividir $a$ entre $n$» ($a \bmod n$)

Un ejemplo sencillo

Divide 38 entre 12 (es el mismo cálculo que convierte la «hora 38» en las 2 en un reloj)

dividendo 38 $=$ divisor 12 $\times$ cociente 3 $+$ resto 2

$38 = 12 \times 3 + 2$

$38 \bmod 12 = 2$

La idea clave

En matemáticas, el resto $r$ se elige siempre en el intervalo $0 \le r < n$. Con números negativos ocurre lo mismo. Para dividir $-7$ entre $3$, se escribe $-7 = 3 \times (-3) + 2$: el cociente se baja al entero menor ($-3$) para que el resto sea $2$ (división con redondeo hacia abajo). En cambio, el operador % de la programación funciona de manera distinta según el lenguaje. En C, Java y JavaScript, -7 % 3 redondea el cociente hacia 0 (a $-2$), así que el resultado es $-1$ (el resto toma el signo del dividendo). El operador % de Python y Ruby y la función RESIDUO de Excel dan al resto el signo del divisor, así que devuelven $2$, igual que en matemáticas. En los programas que manejan restos de números negativos, esta diferencia es una fuente habitual de errores, así que ten cuidado.

Definición de congruencia (qué significa a ≡ b (mod n))

Notación matemática (la notación habitual)

$a - b$ $=$ $n$ $\times$ $m$

En palabras (los símbolos sustituidos por palabras)

③ $a - b$: diferencia de los dos enteros $=$ ① $n$: módulo $\times$ ② $m$: un número entero

La fórmula en palabras

① Cuando el $n$: módulo

② multiplicado por $m$: un número entero

③ es exactamente igual a la $a - b$: diferencia de los dos enteros (es decir, cuando la diferencia es múltiplo de $n$), se escribe $a \equiv b \pmod{n}$ y se dice que «$a$ y $b$ son congruentes módulo $n$»

Un ejemplo sencillo

38 y 14 son congruentes módulo 12 ($38 \equiv 14 \pmod{12}$)

diferencia (38 − 14 = 24) $=$ módulo 12 $\times$ entero 2

$38 - 14 = 24 = 12 \times 2$

$38 \equiv 14 \pmod{12}$

La idea clave

«La diferencia es múltiplo de $n$» y «los restos al dividir entre $n$ son iguales» dicen lo mismo de dos maneras (en efecto, $38 \bmod 12 = 2$ y $14 \bmod 12 = 2$, así que los restos coinciden). Por eso puedes leer una congruencia como «una ecuación que solo mira los restos». Imagina un reloj: la hora 38, la hora 14 y la hora 2 señalan el mismo punto de la esfera. El mundo de mod $n$ es una esfera de reloj que da una vuelta cada $n$, y los números congruentes son los que caen en el mismo punto de esa esfera.

La multiplicación y los restos (la base de la potencia modular)

Notación matemática (la notación habitual)

$(a \times b) \bmod n$ $=$ $\{(a \bmod n) \times (b \bmod n)\} \bmod n$

En palabras (los símbolos sustituidos por palabras)

② resto del producto $=$ ① resto tras multiplicar los dos restos

La fórmula en palabras

① El resto tras multiplicar los dos restos

② es igual que el resto del producto (puedes convertir primero cada número en su resto y multiplicar después)

Un ejemplo sencillo

El resto de 38 × 15 entre 12 se puede hallar solo a partir de los dos restos, 2 y 3

resto del producto (38 × 15 = 570) $=$ resto 2 × resto 3 = 6

$38 \bmod 12 = 2,\quad 15 \bmod 12 = 3$

$2 \times 3 = 6$

$(38 \times 15) \bmod 12 = 570 \bmod 12 = 6$

La idea clave

Gracias a esta propiedad, nunca tienes que terminar una multiplicación grande: puedes convertir los números en restos primero y multiplicar estos. Una potencia es una multiplicación repetida, así que puedes hallar el resto de algo como $7^{100}$ siguiendo solo los restos, sin construir nunca el número gigante. Esa es la base de la exponenciación por cuadrados sucesivos (elevar al cuadrado una y otra vez tomando el resto cada vez, descomponer el exponente en una suma de potencias de 2 y multiplicar las piezas). El modo «Potencia modular» de esta calculadora muestra sus pasos de esa manera. Además, una potencia tiene solo $n$ restos posibles, así que tiene que volver a un resto que ya tuvo y repetirse en ciclo. Por ejemplo, la última cifra de $7^{k}$ (su resto mod $10$) recorre 7, 9, 3, 1 por turnos. Encontrar un ciclo así es una técnica clásica de las olimpiadas de matemáticas.

Propiedades de las congruencias (sumar, restar y multiplicar los dos miembros)

Notación matemática (la notación habitual)

$a + c$ $\equiv$ $b + d$ $\pmod{n}$

$a - c$ $\equiv$ $b - d$ $\pmod{n}$

$a \times c$ $\equiv$ $b \times d$ $\pmod{n}$

En palabras (los símbolos sustituidos por palabras)

① $a + c$: suma de los miembros de la izquierda $\equiv$ ② $b + d$: suma de los miembros de la derecha $\pmod{n}$

$a - c$: diferencia de los miembros de la izquierda $\equiv$ $b - d$: diferencia de los miembros de la derecha $\pmod{n}$

$a \times c$: producto de los miembros de la izquierda $\equiv$ $b \times d$: producto de los miembros de la derecha $\pmod{n}$

La fórmula en palabras

① Si $a \equiv b$ y $c \equiv d \pmod{n}$, entonces la suma, diferencia o producto de los miembros de la izquierda

② sigue siendo congruente con la suma, diferencia o producto de los miembros de la derecha (las congruencias se pueden sumar, restar y multiplicar igual que las ecuaciones normales)

Un ejemplo sencillo

Con $38 \equiv 2$ y $15 \equiv 3 \pmod{12}$:

38 + 15 = 53 $\equiv$ 2 + 3 = 5 $\pmod{12}$

$38 + 15 = 53 \equiv 5,\quad 2 + 3 = 5 \pmod{12}$

$38 \times 15 = 570 \equiv 6,\quad 2 \times 3 = 6 \pmod{12}$

La idea clave

Lo práctico de esta propiedad es que, incluso con números grandes, puedes convertirlos primero en restos y luego sumar, restar o multiplicar. La división es lo único que no puedes hacer libremente. Por ejemplo, $6 \equiv 12 \pmod{6}$ es cierto, pero al dividir los dos miembros entre 2 queda $3 \equiv 6 \pmod{6}$, que es falso (la diferencia 3 no es múltiplo de 6). Solo puedes dividir los dos miembros cuando el número por el que divides y el módulo son primos entre sí (su máximo común divisor es 1).

El resto de dividir un número entero $a$ entre $n$ es la $r$ de la única manera de escribir $a = n \times q + r$ con $0 \le r < n$. La congruencia $a \equiv b \pmod{n}$ dice que la diferencia entre $a$ y $b$ es múltiplo de $n$ (dicho de otro modo, tienen el mismo resto al dividir entre $n$), y las congruencias se pueden sumar, restar y multiplicar igual que las ecuaciones. Gracias a esto, incluso el resto de una potencia enorme se halla con rapidez mediante la exponenciación por cuadrados sucesivos, que sigue solo los restos.

Símbolos y términos

Símbolos

$\equiv$	es congruente con	El símbolo de la congruencia. Es un signo igual con tres rayas en lugar de dos, y dice «igual en el mundo de los restos», algo más flexible que «exactamente igual».
$\bmod$ (mod)	mod	Abreviatura de «módulo», del latín modulus (una medida pequeña). «$a \bmod n$» significa «el resto de dividir $a$ entre $n$», y «$\pmod{n}$» escrito detrás de una igualdad declara «estamos trabajando módulo $n$».
$a,\ b$	a, b	Los números enteros cuyos restos miras. En una congruencia, son los dos enteros de la izquierda y la derecha. Por costumbre, las letras del principio del alfabeto se usan para números fijos.
$n$	n	El módulo (el número entre el que divides). Se usa a menudo la letra $n$, de «número». En esta página es un número entero mayor o igual que 1.
$q$	q	El cociente (del inglés «quotient»). Al dividir un número negativo, el cociente se redondea hacia abajo, al entero menor, para que el resto sea 0 o más (división con redondeo hacia abajo).
$r$	r	El resto (la «r» viene de «resto»). En matemáticas se elige siempre en el intervalo $0 \le r < n$.
$m$	m	El número entero de la definición de congruencia que indica cuántas veces cabe el módulo en la diferencia. Puede ser negativo o 0.
$a^{k}$	a elevado a k	$a$ multiplicado por sí mismo $k$ veces (una potencia). El número pequeño $k$ de arriba a la derecha es el exponente, que indica cuántas veces se multiplica.
%	por ciento (como operador, módulo)	El operador módulo que halla un resto en muchos lenguajes de programación. Es el mismo signo que el del porcentaje, pero con otra función. En C, Java y JavaScript, su resultado con números negativos puede diferir del resto matemático (mira la idea clave de la tarjeta de fórmula 1).

Términos

resto (residuo)	Lo que sobra cuando una división no es exacta. «Residuo» es una palabra algo más formal para lo mismo. En matemáticas se toma siempre mayor o igual que $0$ y menor que el divisor.
cociente	El número entero que indica cuántas veces se puede quitar el divisor. Es la $q$ de la igualdad básica de la división $a = n \times q + r$.
módulo	El número $n$ entre el que divides para obtener los restos con los que trabajas. En la esfera de un reloj es el número de marcas de una vuelta completa. «Módulo 12» es una forma abreviada de decir «mirando los restos al dividir entre 12».
congruente	Dos números enteros son congruentes módulo $n$ cuando tienen el mismo resto al dividir entre $n$. Es un término sobre números enteros, distinto de las figuras congruentes de la geometría (de la misma forma y tamaño).
congruencia	Una expresión de la forma $a \equiv b \pmod{n}$. Las congruencias se pueden sumar, restar y multiplicar igual que las ecuaciones, así que los problemas de restos se resuelven reescribiendo. Es una herramienta básica de la teoría de números, que se usa en olimpiadas de matemáticas y en informática.
múltiplo	El número que se obtiene al multiplicar un entero por otro entero. «La diferencia es múltiplo del módulo» es la definición de congruencia.
división con redondeo hacia abajo	Una forma de dividir que redondea el cociente hacia abajo, al entero menor (en inglés, «floor division»). Cuando el divisor es positivo, el resto es 0 o más incluso con un dividendo negativo. El operador // de Python y la función ENTERO de Excel funcionan así.
operador módulo	El operador % que halla un resto en programación. C, Java y JavaScript redondean el cociente hacia 0 (el resto toma el signo del dividendo). Python y Ruby usan la división con redondeo hacia abajo (el resto toma el signo del divisor, así que es 0 o más cuando el módulo es positivo).
exponenciación por cuadrados sucesivos	Una forma de hallar el resto de una potencia enorme con pocas multiplicaciones: elevar al cuadrado una y otra vez tomando el resto, descomponer el exponente en una suma de potencias de 2 y multiplicar las piezas. También se llama exponenciación rápida (en inglés, «square-and-multiply») y se usa, entre otras cosas, en las implementaciones del cifrado RSA.
clase de restos	La idea de agrupar los números enteros según su resto al dividir entre $n$. En el mundo de mod $n$, todo entero cae en uno de $n$ grupos, los restos $0$ a $n-1$. Los números pares e impares son la clasificación por el resto al dividir entre 2.
periodicidad	La forma en que los restos de las potencias repiten el mismo patrón. Solo hay $n$ restos posibles, así que tienen que volver a uno que ya tuvieron. Encontrar el ciclo en los problemas de la última cifra (mod 10) es un clásico de las olimpiadas de matemáticas.
primos entre sí (coprimos)	Dos números enteros son primos entre sí (o coprimos) cuando su máximo común divisor es 1. Aparece en la condición para dividir los dos miembros de una congruencia entre el mismo número.

Qué conviene saber de antemano

Esto es lo que te ayuda a usar el cálculo de esta página entendiendo lo que haces, y no solo pulsando el botón.
Si te atascas, volver a estos temas es el camino más rápido.

División con resto (3.º–4.º de Primaria, 8-10 años)	Saber calcular $17 \div 5 = 3$ con resto $2$ Saber comprobarlo con «divisor × cociente + resto = dividendo»
Múltiplos y divisores (5.º–6.º de Primaria, 10-12 años)	Saber que $24$ es múltiplo de $12$ Saber qué es el máximo común divisor (se usa en la condición «primos entre sí» para dividir una congruencia)
Números negativos (1.º de ESO, 12-13 años)	Saber sumar, restar y multiplicar con números negativos (por ejemplo, $3 \times (-3) = -9$) Saber que $-3$ es menor que $-2$ (está a su izquierda) en la recta numérica
Potencias y exponentes (1.º de ESO–1.º de Bachillerato, 12-17 años)	Saber que el exponente de arriba a la derecha indica cuántas veces se multiplica, como en $3^{4} = 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 81$ Saber usar las propiedades de las potencias $a^{m} \times a^{n} = a^{m+n}$ y $(a^{m})^{n} = a^{mn}$ (son la razón por la que funciona la exponenciación por cuadrados sucesivos)
La división entera y el algoritmo de la división (Bachillerato, 16-18 años)	Saber que al dividir un número entero $a$ entre un entero positivo $n$ se puede escribir $a = nq + r$ (con $0 \le r < n$) de una única manera Haber visto la idea de agrupar los números enteros según sus restos (los pares y los impares son la clasificación por el resto al dividir entre 2)

Cómo calcularlo con Excel

Copia toda la tabla de abajo y pégala en la celda A1 de Excel. Funciona tal cual.

Tabla para hallar a mod n (el resto)

Dividendo a	-7
Módulo (divisor) n	3
Resto matemático (0 o más)	=RESIDUO(B1;B2)
Cociente (división con redondeo hacia abajo)	=ENTERO(B1/B2)
Comprobación n × cociente + resto	=B2*B4+B3
Resto al estilo de C y Java (redondeado hacia 0)	=B1-B2*TRUNCAR(B1/B2)

Tabla para comprobar a ≡ b (mod n)

Entero a	38
Entero b	14
Módulo n	12
Diferencia a − b	=B1-B2
Resto de la diferencia ÷ n	=RESIDUO(B4;B3)
Resultado (VERDADERO = congruentes)	=RESIDUO(B4;B3)=0

Tabla para hallar una potencia mod n (exponenciación por cuadrados sucesivos)

Base a	7
Exponente k	100
Módulo n	13
Resto de a^1	=RESIDUO(B1;B3)
Resto de a^2 (eleva al cuadrado la fila de arriba y toma el resto)	=RESIDUO(B4^2;$B$3)
Resto de a^4	=RESIDUO(B5^2;$B$3)
Resto de a^8	=RESIDUO(B6^2;$B$3)
Resto de a^16	=RESIDUO(B7^2;$B$3)
Resto de a^32	=RESIDUO(B8^2;$B$3)
Resto de a^64	=RESIDUO(B9^2;$B$3)
Resto combinado para 100 = 64 + 32 + 4	=RESIDUO(RESIDUO(B10B9;$B$3)B6;$B$3)

Al pegar la tabla, solo tienes que cambiar las filas de arriba (los datos) y las de abajo se calculan solas.
La función RESIDUO de Excel devuelve el mismo «resto matemático» (0 o más) que esta calculadora. Incluso con números negativos, =RESIDUO(-7;3) es 2. Si necesitas el resto al estilo de C y Java, usa la última fila de la primera tabla, que usa TRUNCAR para redondear el cociente hacia 0.
La primera tabla divide −7 entre 3: el resto es 2 y el cociente es −3.
La segunda tabla comprueba 38 ≡ 14 (mod 12). El resto de la diferencia 24 es 0, así que muestra VERDADERO (congruentes).
La tercera tabla halla el resto de 7 elevado a 100 entre 13 mediante la exponenciación por cuadrados sucesivos. La respuesta es 9. «^» es el signo de la potencia. Excel solo maneja con exactitud unas 15 cifras, así que cuando el módulo n tiene más de 7 cifras, los valores elevados al cuadrado pierden precisión. En ese caso, usa la calculadora de esta página o Python.

Cómo calcularlo con Hojas de cálculo de Google

Copia toda la tabla de abajo y pégala en la celda A1 de Hojas de cálculo de Google. Funciona tal cual.

Tabla para hallar a mod n (el resto)

Dividendo a	-7
Módulo (divisor) n	3
Resto matemático (0 o más)	=RESIDUO(B1;B2)
Cociente (división con redondeo hacia abajo)	=ENTERO(B1/B2)
Comprobación n × cociente + resto	=B2*B4+B3
Resto al estilo de C y Java (redondeado hacia 0)	=B1-B2*TRUNCAR(B1/B2)

Tabla para comprobar a ≡ b (mod n)

Entero a	38
Entero b	14
Módulo n	12
Diferencia a − b	=B1-B2
Resto de la diferencia ÷ n	=RESIDUO(B4;B3)
Resultado (VERDADERO = congruentes)	=RESIDUO(B4;B3)=0

Tabla para hallar una potencia mod n (exponenciación por cuadrados sucesivos)

Base a	7
Exponente k	100
Módulo n	13
Resto de a^1	=RESIDUO(B1;B3)
Resto de a^2 (eleva al cuadrado la fila de arriba y toma el resto)	=RESIDUO(B4^2;$B$3)
Resto de a^4	=RESIDUO(B5^2;$B$3)
Resto de a^8	=RESIDUO(B6^2;$B$3)
Resto de a^16	=RESIDUO(B7^2;$B$3)
Resto de a^32	=RESIDUO(B8^2;$B$3)
Resto de a^64	=RESIDUO(B9^2;$B$3)
Resto combinado para 100 = 64 + 32 + 4	=RESIDUO(RESIDUO(B10B9;$B$3)B6;$B$3)

Las mismas fórmulas de Excel (RESIDUO, ENTERO, TRUNCAR) funcionan tal cual en las Hojas de cálculo de Google en español. Copia la tabla entera, pégala en la celda A1 y sustituye los datos por tus propios números.

Cómo calcularlo con Python

a = -7
n = 3

# el % de Python devuelve el mismo «resto matemático» que esta calculadora (0 o más cuando el módulo es positivo)
print(a % n)                 # 2

# divmod devuelve a la vez el cociente de la división con redondeo hacia abajo y el resto (a = n × cociente + resto)
quotient, remainder = divmod(a, n)
print(quotient, remainder)   # -3 2

# comprobación de congruencia: ¿38 ≡ 14 (mod 12)? (comprueba si la diferencia es múltiplo de 12)
print((38 - 14) % 12 == 0)   # True

# potencia modular: resto de 7 elevado a 100 entre 13
# el pow de 3 argumentos usa la exponenciación por cuadrados sucesivos, así que termina al instante incluso con exponentes enormes
print(pow(7, 100, 13))       # 9

def c_style_mod(x, m):
    # mismo resultado que % en C, Java y JavaScript (cociente redondeado hacia 0)
    r = x % m
    if r != 0 and x < 0:
        r -= m
    return r

print(c_style_mod(-7, 3))    # -1

El operador % de Python coincide con el resto matemático. Cuando el divisor es positivo, devuelve un valor de 0 o más incluso con números negativos (-7 % 3 es 2). Para la potencia modular, la forma de 3 argumentos pow(base, exponente, módulo) ejecuta por dentro la exponenciación por cuadrados sucesivos, así que halla solo el resto con rapidez incluso para potencias de decenas de miles de cifras. Cuando necesites el mismo resultado que % en C, Java y JavaScript, añade una corrección que redondee el cociente hacia 0, como en la última función.

La fórmula en LaTeX y otras notaciones matemáticas (para copiar)

La igualdad básica de la división (qué es un resto)

a = n × q + r (0 ≤ r < n)

a = nq + r \quad (0 \le r < n)

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>a</mi><mo>=</mo><mi>n</mi><mi>q</mi><mo>+</mo><mi>r</mi>
    <mo>,</mo>
    <mn>0</mn><mo>&#x2264;</mo><mi>r</mi><mo>&lt;</mo><mi>n</mi>
  </mrow>
</math>

a = n q + r, \ 0 <= r < n

{Quotient[a, n], Mod[a, n]}

q := floor(a/n); r := a mod n;

q = floor(a/n); r = mod(a, n);

a = nq + r (0 ≤ r < n)

Definición de congruencia (qué significa a ≡ b (mod n))

a ≡ b (mod n)  ⇔  a − b = n × m

a \equiv b \pmod{n} \iff a - b = nm

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>a</mi><mo>&#x2261;</mo><mi>b</mi>
    <mspace width="0.3em"/>
    <mo>(</mo><mi>mod</mi><mspace width="0.3em"/><mi>n</mi><mo>)</mo>
    <mo>&#x21D4;</mo>
    <mi>a</mi><mo>&#x2212;</mo><mi>b</mi><mo>=</mo><mi>n</mi><mi>m</mi>
  </mrow>
</math>

a -= b (mod n) iff a - b = n m

Mod[a - b, n] == 0

(a - b) mod n = 0;

mod(a - b, n) == 0

a ≡ b (mod n)

La multiplicación y los restos (la base de la potencia modular)

(a × b) mod n = {(a mod n) × (b mod n)} mod n

(a \times b) \bmod n = \{(a \bmod n)(b \bmod n)\} \bmod n

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mo>(</mo><mi>a</mi><mo>&#xD7;</mo><mi>b</mi><mo>)</mo>
    <mspace width="0.3em"/><mi>mod</mi><mspace width="0.3em"/><mi>n</mi>
    <mo>=</mo>
    <mo>{</mo>
    <mo>(</mo><mi>a</mi><mspace width="0.3em"/><mi>mod</mi><mspace width="0.3em"/><mi>n</mi><mo>)</mo>
    <mo>&#xD7;</mo>
    <mo>(</mo><mi>b</mi><mspace width="0.3em"/><mi>mod</mi><mspace width="0.3em"/><mi>n</mi><mo>)</mo>
    <mo>}</mo>
    <mspace width="0.3em"/><mi>mod</mi><mspace width="0.3em"/><mi>n</mi>
  </mrow>
</math>

(a * b) mod n = ((a mod n) * (b mod n)) mod n

Mod[a b, n] == Mod[Mod[a, n] Mod[b, n], n]

(a * b) mod n = ((a mod n) * (b mod n)) mod n;

mod(a*b, n) == mod(mod(a, n)*mod(b, n), n)

(a×b) mod n = ((a mod n)×(b mod n)) mod n

Propiedades de las congruencias (sumar, restar y multiplicar los dos miembros)

a ≡ b, c ≡ d (mod n) ⇒ a+c ≡ b+d, a−c ≡ b−d, a×c ≡ b×d (mod n)

a \equiv b,\ c \equiv d \pmod{n} \Rightarrow a + c \equiv b + d,\ a - c \equiv b - d,\ ac \equiv bd \pmod{n}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>a</mi><mo>+</mo><mi>c</mi><mo>&#x2261;</mo><mi>b</mi><mo>+</mo><mi>d</mi>
    <mo>,</mo>
    <mi>a</mi><mo>&#x2212;</mo><mi>c</mi><mo>&#x2261;</mo><mi>b</mi><mo>&#x2212;</mo><mi>d</mi>
    <mo>,</mo>
    <mi>a</mi><mi>c</mi><mo>&#x2261;</mo><mi>b</mi><mi>d</mi>
    <mspace width="0.3em"/>
    <mo>(</mo><mi>mod</mi><mspace width="0.3em"/><mi>n</mi><mo>)</mo>
  </mrow>
</math>

a + c -= b + d, \ a - c -= b - d, \ a c -= b d (mod n)

Mod[a + c, n] == Mod[b + d, n] && Mod[a - c, n] == Mod[b - d, n] && Mod[a c, n] == Mod[b d, n]

(a + c) mod n = (b + d) mod n;

mod(a + c, n) == mod(b + d, n)

a + c ≡ b + d (mod n)

Cómo pedirle a ChatGPT que haga el cálculo

Eres un asistente de cálculo para la teoría de números (propiedades de los números enteros). Haz el siguiente cálculo ejecutando realmente código de Python y basa tu respuesta únicamente en los números del resultado de la ejecución (no respondas con cálculo mental ni a ojo).

Calcula estos 3 problemas.
1. El resto matemático de −7 entre 3 (elegido para que sea 0 o más) y el cociente
2. Si se cumple 38 ≡ 14 (mod 12) (muestra también si la diferencia es múltiplo de 12)
3. El resto de 7 elevado a 100 entre 13 (usa pow(7, 100, 13))

Usa %, divmod y pow(base, exponente, módulo) de Python, y muestra las fórmulas que has usado y los números del resultado de la ejecución.

Cómo usar

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\(\equiv\)	es congruente con	El símbolo de la congruencia. Es un signo igual con tres rayas en lugar de dos, y dice «igual en el mundo de los restos», algo más flexible que «exactamente igual».
\(\bmod\) (mod)	mod	Abreviatura de «módulo», del latín modulus (una medida pequeña). «\(a \bmod n\)» significa «el resto de dividir \(a\) entre \(n\)», y «\(\pmod{n}\)» escrito detrás de una igualdad declara «estamos trabajando módulo \(n\)».
\(a,\ b\)	a, b	Los números enteros cuyos restos miras. En una congruencia, son los dos enteros de la izquierda y la derecha. Por costumbre, las letras del principio del alfabeto se usan para números fijos.
\(n\)	n	El módulo (el número entre el que divides). Se usa a menudo la letra \(n\), de «número». En esta página es un número entero mayor o igual que 1.
\(q\)	q	El cociente (del inglés «quotient»). Al dividir un número negativo, el cociente se redondea hacia abajo, al entero menor, para que el resto sea 0 o más (división con redondeo hacia abajo).
\(r\)	r	El resto (la «r» viene de «resto»). En matemáticas se elige siempre en el intervalo \(0 \le r < n\).
\(m\)	m	El número entero de la definición de congruencia que indica cuántas veces cabe el módulo en la diferencia. Puede ser negativo o 0.
\(a^{k}\)	a elevado a k	\(a\) multiplicado por sí mismo \(k\) veces (una potencia). El número pequeño \(k\) de arriba a la derecha es el exponente, que indica cuántas veces se multiplica.
%	por ciento (como operador, módulo)	El operador módulo que halla un resto en muchos lenguajes de programación. Es el mismo signo que el del porcentaje, pero con otra función. En C, Java y JavaScript, su resultado con números negativos puede diferir del resto matemático (mira la idea clave de la tarjeta de fórmula 1).

División con resto (3.º–4.º de Primaria, 8-10 años)	Saber calcular \(17 \div 5 = 3\) con resto \(2\) Saber comprobarlo con «divisor × cociente + resto = dividendo»
Múltiplos y divisores (5.º–6.º de Primaria, 10-12 años)	Saber que \(24\) es múltiplo de \(12\) Saber qué es el máximo común divisor (se usa en la condición «primos entre sí» para dividir una congruencia)
Números negativos (1.º de ESO, 12-13 años)	Saber sumar, restar y multiplicar con números negativos (por ejemplo, \(3 \times (-3) = -9\)) Saber que \(-3\) es menor que \(-2\) (está a su izquierda) en la recta numérica
Potencias y exponentes (1.º de ESO–1.º de Bachillerato, 12-17 años)	Saber que el exponente de arriba a la derecha indica cuántas veces se multiplica, como en \(3^{4} = 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 81\) Saber usar las propiedades de las potencias \(a^{m} \times a^{n} = a^{m+n}\) y \((a^{m})^{n} = a^{mn}\) (son la razón por la que funciona la exponenciación por cuadrados sucesivos)
La división entera y el algoritmo de la división (Bachillerato, 16-18 años)	Saber que al dividir un número entero \(a\) entre un entero positivo \(n\) se puede escribir \(a = nq + r\) (con \(0 \le r < n\)) de una única manera Haber visto la idea de agrupar los números enteros según sus restos (los pares y los impares son la clasificación por el resto al dividir entre 2)

Calculadora de módulo (a mod n, congruencias y potencias modulares)

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