Elige el tipo de ordenación y escribe el número de elementos n. La calculadora cuenta las formas de colocarlos en un círculo, con pasos y una figura.
Escribe n como un número entero de 1 a 1000. El campo r solo se usa cuando eliges «r de n elementos en un círculo». Las respuestas se muestran con todas sus cifras, sin redondear.
Resultado y figura
Elige el tipo de ordenación y escribe el número de elementos en los campos de la izquierda; después haz clic en «Calcular». El resultado y una figura aparecerán aquí.
Índice
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Qué puedes hacer en esta página
-
¿Para qué sirve este cálculo?
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Cómo usar
-
Fórmulas y figuras
-
Permutaciones circulares \((n-1)!\) (los \(n\) elementos en un círculo)
-
Permutaciones circulares \(\dfrac{{}_{n}\mathrm{P}_{r}}{r}\) (\(r\) de \(n\) elementos en un círculo)
-
Permutaciones de collar \(\dfrac{(n-1)!}{2}\) (dar la vuelta cuenta como igual)
-
Permutaciones circulares con 2 elementos dados juntos, \(2 \times (n-2)!\)
-
Permutaciones circulares con 2 elementos dados separados, \((n-1)! - 2 \times (n-2)!\)
-
-
Símbolos y términos
-
Qué conviene saber de antemano
-
Cómo calcularlo con Excel
-
Cómo calcularlo con Hojas de cálculo de Google
-
Cómo calcularlo con Python
-
La fórmula en LaTeX y otras notaciones matemáticas (para copiar)
-
Cómo pedirle a ChatGPT que haga el cálculo
-
Las ventajas de DataChef
-
Funciones relacionadas
-
Todas las calculadoras de NumberChef
Qué puedes hacer en esta página
- Escribe el número de personas para hallar de cuántas formas se pueden sentar \(n\) personas alrededor de una mesa redonda (permutaciones circulares), \((n-1)!\)
- También sirve para elegir solo \(r\) de \(n\) elementos y colocarlos en un círculo, \(\dfrac{{}_{n}\mathrm{P}_{r}}{r}\)
- Halla las permutaciones de collar \(\dfrac{(n-1)!}{2}\), en las que las ordenaciones que coinciden al darles la vuelta cuentan como una sola, como en un collar (también trata bien los casos \(n = 1,\ 2\), en los que dividir sin más da una respuesta incorrecta)
- Cuenta las ordenaciones en las que 2 personas dadas se sientan juntas, o no, con pasos que tratan a las 2 como un bloque
- Las respuestas se muestran con todas sus cifras, sin redondear. En las respuestas largas se añade un valor aproximado como \(1{,}23\times10^{35}\) para que veas el tamaño de un vistazo
- Unas figuras de círculos que giran muestran por qué se divide \(n!\) entre \(n\). En esta misma página también encontrarás las fórmulas listas para copiar en Excel, Hojas de cálculo de Google y Python
Esta página supone que todos los elementos son distintos entre sí (sin elementos repetidos). Para las variaciones \({}_{n}\mathrm{P}_{r}\) y las combinaciones \({}_{n}\mathrm{C}_{r}\) de elementos en fila, consulta las páginas relacionadas del final.
¿Para qué sirve este cálculo?
Planificar la colocación en mesas redondas (comidas, reuniones y bodas)
En una mesa redonda, girar la mesa entera no cambia quién se sienta al lado de quién. Por eso el número de distribuciones no es el \(n!\) de una fila sino las permutaciones circulares \((n-1)!\). Son 120 formas para 6 personas y 5040 formas para 8 personas.
Peticiones como «sienta a estas 2 juntas (o separadas)» cambian mucho el recuento. Con 6 personas, hay 48 formas con 2 personas dadas juntas y 72 con ellas separadas. En lugar de adivinar, puedes saber exactamente entre cuántas distribuciones tiene que elegir quien organiza el evento.
Estimar el número de rutas de reparto (logística y problema del viajante)
Piensa en una ruta que visita \(n\) lugares una vez cada uno y vuelve al inicio, contando el almacén como una de las paradas. La misma ruta es el mismo anillo se empiece por donde se empiece (giro) y, si cada tramo mide lo mismo en los dos sentidos, recorrerla al revés da la misma distancia (vuelta). Por eso el número de rutas distintas es el de las permutaciones de collar, \(\dfrac{(n-1)!}{2}\).
Con 10 paradas incluido el almacén, hay 181.440 rutas y, con 15 paradas, unas \(4{,}36\times10^{10}\). Probarlas todas para hallar la más corta no es realista, así que el software de planificación de rutas usa atajos ingeniosos (métodos de optimización). Este recuento es la razón por la que «basta con comprobar todas las rutas» no funciona.
Diseñar pulseras y collares (joyería)
El número de diseños para ensartar \(n\) cuentas de distintos colores o formas en un aro es el de las permutaciones de collar, \(\dfrac{(n-1)!}{2}\). Un aro es la misma pieza tanto si lo giras como si le das la vuelta, así que las permutaciones circulares se dividen otra vez entre \(2\). Son 12 diseños para 5 cuentas y 60 para 6 cuentas.
Pero si la pieza tiene un anverso y un reverso que se distinguen y no se puede llevar del revés, por ejemplo cuentas con un dibujo solo por un lado, las vueltas no pueden contar como iguales. Entonces no se divide entre \(2\) y se cuentan las permutaciones circulares \((n-1)!\) (120 para 6 cuentas). Que se pueda dar la vuelta o no duplica por sí solo el número de diseños.
El orden de los turnos en juegos de mesa y de cartas
En muchos juegos, los turnos giran alrededor de la mesa en un sentido. El patrón de «quién juega después de quién» no cambia si giras todos los asientos, así que es una permutación circular, \((n-1)!\). Son 6 patrones para 4 jugadores y 24 para 5 jugadores.
En los juegos en los que empezar primero es una ventaja, quizá también quieras distinguir quién empieza. Entonces multiplica los \((n-1)!\) patrones de turnos por las \(n\) opciones de primer jugador para obtener \(n!\) (24 para 4 jugadores). Mantener separados «solo el orden de asientos» y «incluido el primer jugador» facilita pensar en formas justas de decidir.
Organizar turnos de tareas y de trabajo (colegio y empresa)
Un turno que recorre la lista en orden y vuelve al principio al final es el mismo ciclo empiece quien empiece, así que se cuenta como una permutación circular. Un turno de 5 personas tiene \((5-1)! = 24\) posibilidades.
Añade la condición «estas 2 no pueden ir seguidas (juntas)» y se restan del total los casos en que están juntas: \((n-1)! - 2 \times (n-2)!\). Para 5 personas, se queda en 24 − 12 = 12. La fórmula muestra con claridad cómo añadir una sola condición reduce las opciones a la mitad.
Fórmulas y figuras
Permutaciones circulares \((n-1)!\) (los \(n\) elementos en un círculo)
Figura
Notación matemática
(la notación habitual)
\(N\)
\(=\)
\(\dfrac{n!}{n}\)
\(=\)
\((n-1)!\)
En palabras
(los símbolos sustituidos por palabras)
③
\(N\): número de permutaciones circulares
\(=\)
①
\(\dfrac{\text{formas de ordenar }n\text{ elementos en fila, }n!}{\text{ordenaciones que coinciden al girar, }n}\)
\(=\)
②
\((n-1)!\): factorial de \(n-1\), uno menos
La fórmula en palabras
①
El número de
formas de ordenar \(n\) elementos en fila, \(n!\), dividido entre las \(n\) ordenaciones que coinciden al girar
es igual al
②
\((n-1)!\): factorial de \(n-1\), uno menos
③
y eso da el
\(N\): número de permutaciones circulares
Un ejemplo sencillo
El número de formas en que \(4\) personas se pueden sentar alrededor de una mesa redonda es
permutaciones circulares de 4 personas
\(=\)
\(\dfrac{\text{4 personas en fila, }24\text{ formas}}{\text{coinciden al girar, }4\text{ formas}}\)
\(=\)
factorial de \(3\), \(3!\)
\(4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24\)
\(\dfrac{24}{4} = 6\)
\((4-1)! = 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6\)
La idea clave
Cuando ordenas elementos en un círculo, la regla es que las ordenaciones que coinciden al girar cuentan como la misma. Si giras una mesa redonda con todos sentados, quién está al lado de quién no cambia en absoluto.
La forma más rápida de ver por qué se divide entre \(n\) es probar con \(4\) personas A, B, C y D. Las filas ABCD, BCDA, CDAB y DABC son todas distintas como cadenas de letras. Pero si colocas cada una en un círculo y la lees en sentido horario desde arriba, todas forman exactamente el mismo anillo: «B está a la derecha de A, C a la derecha de B, D a la derecha de C y A a la derecha de D». Cada una solo pasa la primera letra al final.
Así, cada anillo coincide exactamente con \(n\) filas (puedes desplazar \(n\) veces en una vuelta completa, ni más ni menos). Las \(n!\) filas cuentan cada anillo \(n\) veces, así que dividir entre \(n\) elimina las repeticiones y deja el número de anillos distintos.
Otra forma de pensarlo es fijar un elemento. Una vez que decides primero el asiento de una persona, ya no puedes girar la ordenación para convertirla en otra. Las \(n-1\) personas restantes simplemente se ordenan, y salen \((n-1)!\) formas. Llegas a la misma respuesta sin dividir.
Permutaciones circulares \(\dfrac{{}_{n}\mathrm{P}_{r}}{r}\) (\(r\) de \(n\) elementos en un círculo)
Figura
Notación matemática
(la notación habitual)
\(N\)
\(=\)
\(\dfrac{{}_{n}\mathrm{P}_{r}}{r}\)
En palabras
(los símbolos sustituidos por palabras)
②
\(N\): número de formas de ordenar en un círculo
\(=\)
①
\(\dfrac{r\text{ de }n\text{ elementos en fila, }{}_{n}\mathrm{P}_{r}}{\text{ordenaciones que coinciden al girar, }r}\)
La fórmula en palabras
①
El número de
formas de ordenar \(r\) de \(n\) elementos en fila, \({}_{n}\mathrm{P}_{r}\), dividido entre las \(r\) ordenaciones que coinciden al girar
es el
②
\(N\): número de formas de ordenar en un círculo
Un ejemplo sencillo
El número de formas de elegir \(3\) de \(8\) personas y sentarlas en una mesa redonda para 3 es
permutaciones circulares de 3 de 8 personas
\(=\)
\(\dfrac{\text{3 de 8 personas en fila, }336\text{ formas}}{\text{coinciden al girar, }3\text{ formas}}\)
\({}_{8}\mathrm{P}_{3} = 8 \times 7 \times 6 = 336\)
\(\dfrac{336}{3} = 112\)
La idea clave
Imagina una mesa redonda con solo \(r\) asientos, ocupados por personas elegidas entre \(n\) candidatas. Solo hay \(r\) elementos en el círculo, así que las ordenaciones que coinciden al girar se agrupan de \(r\) en \(r\). Ten cuidado de no dividir entre \(n\) por error.
Cuando \(r = n\), \({}_{n}\mathrm{P}_{n} = n!\), así que \(\dfrac{n!}{n} = (n-1)!\), que coincide exactamente con la fórmula anterior. Es decir, esta es la forma general, y \((n-1)!\) es un caso particular de ella.
Permutaciones de collar \(\dfrac{(n-1)!}{2}\) (dar la vuelta cuenta como igual)
Figura
Notación matemática
(la notación habitual)
\(M\)
\(=\)
\(\dfrac{(n-1)!}{2}\)
En palabras
(los símbolos sustituidos por palabras)
②
\(M\): número de permutaciones de collar
\(=\)
①
\(\dfrac{\text{permutaciones circulares, }(n-1)!}{\text{ordenaciones que coinciden al dar la vuelta, }2}\)
La fórmula en palabras
①
El número de
permutaciones circulares \((n-1)!\), dividido entre las \(2\) ordenaciones que coinciden al dar la vuelta
es el
②
\(M\): número de permutaciones de collar
(cuando \(n\) es \(3\) o más)
Un ejemplo sencillo
El número de formas de ensartar \(5\) cuentas de distintos colores en una pulsera es
permutaciones de collar de 5 cuentas
\(=\)
\(\dfrac{\text{circulares, 5 cuentas, }24\text{ formas}}{\text{coinciden al dar la vuelta, }2\text{ formas}}\)
\((5-1)! = 4! = 24\)
\(\dfrac{24}{2} = 12\)
La idea clave
Si das la vuelta a un collar o a una pulsera sobre una mesa, la izquierda y la derecha se intercambian. Tanto si giras el anillo como si le das la vuelta, sigue siendo la misma joya, así que se divide otra vez entre \(2\) las permutaciones circulares. También puedes pensarlo como «\(n\) coinciden por giro y \(2\) por vuelta, así que las ordenaciones se agrupan de \(2n\) en \(2n\)», y escribir \(\dfrac{n!}{2n}\). Es lo mismo.
Lo que separa las permutaciones circulares de las permutaciones de collar es si puedes coger el anillo y darle la vuelta. No puedes dar la vuelta a una mesa redonda con gente sentada, así que sentar personas es una permutación circular. Puedes coger una pulsera y darle la vuelta, así que es una permutación de collar. Si un problema habla de un anillo, un collar, una pulsera, un llavero o una guirnalda, comprueba si las vueltas cuentan. Ese hábito evita que las confundas.
Ojo con \(n = 1\) y \(n = 2\). Un anillo de 1 o 2 cuentas se ve exactamente igual al darle la vuelta. Las ordenaciones no se agrupan en parejas, así que usar la fórmula tal cual da \(\dfrac{1}{2}\) forma. La respuesta correcta es \(1\) forma en ambos casos (esta calculadora trata estos casos automáticamente).
Para \(n = 3\) o más, cada ordenación siempre forma pareja con su versión dada la vuelta, así que dividir entre \(2\) las cuenta correctamente.
Permutaciones circulares con 2 elementos dados juntos, \(2 \times (n-2)!\)
Figura
Notación matemática
(la notación habitual)
\(A\)
\(=\)
\((n-2)!\)
\(\times\)
\(2\)
En palabras
(los símbolos sustituidos por palabras)
③
\(A\): ordenaciones con los 2 juntos
\(=\)
①
\((n-2)!\): permutaciones circulares de \(n-1\) elementos, con el bloque como uno
\(\times\)
②
\(2\): órdenes de los 2 dentro del bloque
La fórmula en palabras
①
Toma las
\((n-2)!\): permutaciones circulares de \(n-1\) elementos, tratando a los 2 que deben estar juntos como un bloque
②
multiplícalas por
\(2\): órdenes de los 2 dentro del bloque
③
y obtendrás el
\(A\): ordenaciones con los 2 juntos
Un ejemplo sencillo
Cuando \(6\) personas se sientan alrededor de una mesa redonda, el número de formas en que Lucía y Pablo se sientan juntos es
formas con los 2 juntos
\(=\)
circulares, 5 elementos con los 2 como bloque, \(4!\)
\(\times\)
órdenes de los 2 en el bloque, \(2\)
\((6-2)! = 4! = 24\)
\(24 \times 2 = 48\)
La idea clave
Para la condición «deben estar juntos», lo habitual es atar a los 2 en un solo bloque. Si 2 de 6 personas se convierten en un bloque, hay 5 elementos que ordenar en el círculo, «el bloque más las otras 4 personas». Es una permutación circular de 5 elementos, así que \((5-1)! = 4!\) formas.
Por último, se multiplica por los \(2\) órdenes dentro del bloque, «Lucía y luego Pablo» o «Pablo y luego Lucía». La trampa más grande es olvidarse de multiplicar por el orden dentro del bloque una vez que lo has formado.
\(n = 2\) es la única excepción. Con solo 2 personas, siempre están juntas, así que la respuesta es \(1\) forma. Pero la fórmula del bloque tal cual da \(2 \times 0! = 2\) formas (esta calculadora trata este caso automáticamente).
Permutaciones circulares con 2 elementos dados separados, \((n-1)! - 2 \times (n-2)!\)
Figura
Notación matemática
(la notación habitual)
\(B\)
\(=\)
\((n-1)!\)
\(-\)
\((n-2)!\)
\(\times\)
\(2\)
En palabras
(los símbolos sustituidos por palabras)
④
\(B\): ordenaciones con los 2 separados
\(=\)
①
\((n-1)!\): permutaciones circulares sin condición
\(-\)
②
\((n-2)!\): permutaciones circulares de \(n-1\) elementos, con el bloque como uno
\(\times\)
③
\(2\): órdenes de los 2 dentro del bloque
La fórmula en palabras
①
De las
\((n-1)!\): permutaciones circulares sin condición
②
réstales las
\((n-2)!\): permutaciones circulares de \(n-1\) elementos, tratando a los 2 como un bloque
③
multiplicadas por los
\(2\): órdenes de los 2 dentro del bloque
(este producto es el número de ordenaciones con los 2 juntos)
④
y obtendrás el
\(B\): ordenaciones con los 2 separados
Un ejemplo sencillo
Cuando \(6\) personas se sientan alrededor de una mesa redonda, el número de formas en que Lucía y Pablo no se sientan juntos es
formas con los 2 separados
\(=\)
circulares, 6 personas, \(5!\)
\(-\)
circulares, 5 elementos con los 2 como bloque, \(4!\)
\(\times\)
órdenes de los 2 en el bloque, \(2\)
\((6-1)! = 5! = 120\)
\(2 \times (6-2)! = 2 \times 24 = 48\)
\(120 - 48 = 72\)
La idea clave
Contar «no juntos» de frente significa muchos casos según dónde pueda ir cada persona. En su lugar, se resta «las ordenaciones en las que están juntos» de «todas las ordenaciones». Contar lo contrario de lo que quieres (el complementario) y restarlo del total es una técnica habitual.
Simplificando, también puedes escribirlo como \((n-1)! - 2(n-2)! = (n-1)(n-2)! - 2(n-2)! = (n-3) \times (n-2)!\). Con \(n = 3\), da \(0 \times 1! = 0\) formas. En una mesa redonda para 3, cualquier pareja está siempre junta, así que \(0\) formas es de hecho correcto.
En un círculo, las ordenaciones que coinciden al girar cuentan como la misma, así que las \(n!\) formas en fila se dividen entre \(n\) y salen \((n-1)!\) formas. Si dar la vuelta también cuenta como igual, como en un collar (permutaciones de collar), se divide otra vez entre \(2\) y salen \(\dfrac{(n-1)!}{2}\) formas (la única excepción es \(n \le 2\), que da \(1\) forma).
Símbolos y términos
Símbolos
| \(n\) | ene | El número total de elementos que se ordenan. Viene de «número» y se usa mucho para los recuentos. En esta página es el número de personas de una mesa redonda o el número de cuentas de un anillo. |
| \(r\) | erre | El número de elementos elegidos entre los \(n\) y realmente ordenados. Se usa junto con \(n\), como en \({}_{n}\mathrm{P}_{r}\), que se lee «\(r\) de \(n\)». |
| \(n!\) | n factorial | El factorial, \(n! = n \times (n-1) \times \cdots \times 2 \times 1\), el número de formas de ordenar los \(n\) elementos en fila. Se dice que la notación con el signo de exclamación la introdujo en 1808 el matemático francés Christian Kramp. Por definición, \(0! = 1\). |
| \({}_{n}\mathrm{P}_{r}\) | n P r | Las variaciones (permutaciones de \(r\) elementos elegidos entre \(n\)). El número de formas de elegir \(r\) de \(n\) elementos y ordenarlos en fila, que se calcula como \({}_{n}\mathrm{P}_{r} = n \times (n-1) \times \cdots \times (n-r+1)\). \(\mathrm{P}\) es la inicial de «permutation», el nombre inglés. También se escribe \(V_{n,r}\). |
| \(N\) | N mayúscula | La letra que se usa en esta página para el número de permutaciones circulares. Es la inicial de «número» en mayúscula y se suele usar para un recuento que quieres hallar. |
| \(M\) | eme | La letra que se usa en esta página para el número de permutaciones de collar. Es la letra que va junto a \(N\), y se usa cuando necesitas otro recuento distinto de \(N\). |
| \(A,\ B\) | A, B | En esta página, \(A\) es el número de ordenaciones con 2 elementos dados juntos y \(B\) es el número de ordenaciones con ellos separados. Las letras del principio del alfabeto se usan por costumbre para cantidades fijas que quieres hallar. |
| \((n-1)!\) | n menos 1 factorial | La expresión del número de permutaciones circulares. Es lo que queda después de quitar las repeticiones de \(n\) en \(n\) debidas a los giros cuando se ordenan \(n\) elementos en un círculo. Pensar «fijar un elemento y ordenar los otros \(n-1\)» da la misma expresión. |
Términos
| número de formas | Cuántas maneras distintas hay en total de hacer algo que cumpla una condición. Cualquier pregunta que dice «¿de cuántas formas?» pide el número de formas (el recuento). |
| permutación | Una ordenación de elementos en la que importa el orden, o el número de estas ordenaciones. Ordenar en fila se llama permutación lineal y se cuenta con \({}_{n}\mathrm{P}_{r}\) (variaciones). |
| permutación lineal | Una permutación corriente en una fila recta, que se llama así para distinguirla de una permutación circular. Una fila tiene extremos, así que desplazarla da una ordenación distinta. |
| permutación circular | Una ordenación de elementos en un círculo (un anillo). Por regla, las ordenaciones que coinciden al girar cuentan como la misma, así que \(n\) elementos dan \((n-1)!\) formas. |
| permutación de collar | Una permutación circular en la que las ordenaciones que coinciden al dar la vuelta también cuentan como la misma. Se usa para anillos a los que se puede dar la vuelta, como collares y pulseras, y da \(\dfrac{(n-1)!}{2}\) formas cuando \(n\) es \(3\) o más. (En combinatoria avanzada, este caso también se llama pulsera.) |
| factorial | El producto de todos los números enteros de \(1\) a \(n\) (se escribe \(n!\)). Es igual al número de formas de ordenar \(n\) elementos en fila, y crece de forma explosiva al aumentar \(n\) (\(10! = 3.628.800\)). |
| coincidir al girar | Cuando girar un anillo tal cual lo deja exactamente igual que otra ordenación. En las permutaciones circulares, estas ordenaciones no se distinguen y cuentan como la misma. Una vuelta completa da \(n\) ordenaciones que coinciden. |
| coincidir al dar la vuelta | Cuando darle la vuelta a un anillo (invertir izquierda y derecha, como en un espejo) lo deja igual que otra ordenación. En las permutaciones de collar, estas también cuentan como la misma. |
| tratar como un bloque | Atar los elementos que deben estar juntos y manejarlos como un único elemento. El total baja en 1 y al final se multiplica por el número de órdenes dentro del bloque. |
| complementario | Todos los casos en los que no ocurre una condición, que se escribe \(A^c\). Una condición difícil de contar directamente, como «no juntos», se halla restando del total los casos «juntos». |
| recuento repetido | Contar lo mismo dos o más veces. En las permutaciones circulares, cada anillo se cuenta \(n\) veces, así que al final se divide entre \(n\) para quitar las repeticiones. |
| fijar un elemento | Una forma habitual de pensar las permutaciones circulares. Una vez decidida primero la posición de una persona, la ordenación ya no se puede girar para convertirla en otra, así que es lo mismo que ordenar en fila los otros \(n-1\) elementos. |
| principio de multiplicación | La regla de recuento según la cual, si hay \(a\) formas de decidir A y, para cada una, \(b\) formas de decidir B, hay \(a \times b\) formas en total. También se llama principio fundamental del recuento. Multiplicar las permutaciones circulares del bloque por los \(2\) órdenes usa esta regla. |
Qué conviene saber de antemano
Esto es lo que te ayuda a usar el cálculo de esta página entendiendo de verdad lo que haces, y no solo pulsando el botón.
Si te atascas, repasar los temas de esta tabla es el camino más rápido.
| Recuento básico (de 3.º de ESO a Bachillerato, 14-18 años) |
|
| Permutaciones y factoriales (4.º de ESO y 1.º de Bachillerato, 15-17 años) |
|
| Usar la división para quitar repeticiones (de 3.º a 5.º de Primaria, 8-11 años) |
|
| Giros y simetrías de las figuras (de 5.º de Primaria a 1.º de ESO, 10-13 años) |
|
| El complementario (4.º de ESO y Bachillerato, 15-18 años) |
|
Cómo calcularlo con Excel
Copia toda la tabla de abajo y pégala en la celda A1 de Excel. Funciona tal cual.
Tabla para calcular las permutaciones circulares (n−1)!
| Número de elementos n | 8 |
| Permutaciones circulares (n−1)! | =FACT(B1-1) |
Tabla para calcular las permutaciones circulares de r de n elementos
| Total de elementos n | 8 |
| Número de elementos en el círculo r | 3 |
| Formas en fila nPr | =PERMUTACIONES(B1;B2) |
| Permutaciones circulares nPr÷r | =B3/B2 |
Tabla para calcular las permutaciones de collar (n−1)!÷2
| Número de elementos n | 5 |
| Cantidad de collares | =SI(B1<=2;1;FACT(B1-1)/2) |
Tabla para calcular las permutaciones circulares con 2 elementos dados juntos o separados
| Número de elementos n | 6 |
| Sin condición (n−1)! | =FACT(B1-1) |
| 2 juntos 2×(n−2)! | =2*FACT(B1-2) |
| 2 separados | =B2-B3 |
Al pegar la tabla, las filas de arriba (los recuentos) son tus datos y las filas de abajo se calculan automáticamente.
FACT calcula el factorial (n!) y PERMUTACIONES calcula las variaciones (nPr).
La primera tabla es 8 personas en una mesa redonda, y la respuesta es 5040.
La segunda tabla sienta a 3 de 8 personas en una mesa redonda: nPr es 336 y, al dividir entre r, sale 112.
El SI de la tercera tabla trata el caso en que n es 2 o menos, en el que no se debe dividir entre 2. Escribe 5 en n y obtienes 12.
La cuarta tabla es el ejemplo de 6 personas en una mesa redonda: 120 sin condición, 48 juntos y 72 separados.
FACT calcula el factorial (n!) y PERMUTACIONES calcula las variaciones (nPr).
La primera tabla es 8 personas en una mesa redonda, y la respuesta es 5040.
La segunda tabla sienta a 3 de 8 personas en una mesa redonda: nPr es 336 y, al dividir entre r, sale 112.
El SI de la tercera tabla trata el caso en que n es 2 o menos, en el que no se debe dividir entre 2. Escribe 5 en n y obtienes 12.
La cuarta tabla es el ejemplo de 6 personas en una mesa redonda: 120 sin condición, 48 juntos y 72 separados.
Cómo calcularlo con Hojas de cálculo de Google
Copia toda la tabla de abajo y pégala en la celda A1 de Hojas de cálculo de Google. Funciona tal cual.
Tabla para calcular las permutaciones circulares (n−1)!
| Número de elementos n | 8 |
| Permutaciones circulares (n−1)! | =FACT(B1-1) |
Tabla para calcular las permutaciones circulares de r de n elementos
| Total de elementos n | 8 |
| Número de elementos en el círculo r | 3 |
| Formas en fila nPr | =PERMUTACIONES(B1;B2) |
| Permutaciones circulares nPr÷r | =B3/B2 |
Tabla para calcular las permutaciones de collar (n−1)!÷2
| Número de elementos n | 5 |
| Cantidad de collares | =SI(B1<=2;1;FACT(B1-1)/2) |
Tabla para calcular las permutaciones circulares con 2 elementos dados juntos o separados
| Número de elementos n | 6 |
| Sin condición (n−1)! | =FACT(B1-1) |
| 2 juntos 2×(n−2)! | =2*FACT(B1-2) |
| 2 separados | =B2-B3 |
Puedes usar las mismas fórmulas que en Excel (FACT, PERMUTACIONES y SI). Copia la tabla entera, pégala en la celda A1 y sustituye los recuentos por tus propios números.
Cómo calcularlo con Python
from math import factorial, perm
n = 8 # número de elementos
r = 3 # número de elementos en el círculo (al elegir entre n)
# permutaciones circulares: los n elementos en un círculo
circular = factorial(n - 1)
# permutaciones circulares: r de n elementos en un círculo
circular_select = perm(n, r) // r
# permutaciones de collar: dar la vuelta cuenta como igual
# cuando n es 1 o 2, dar la vuelta no cambia la ordenación, así que es 1 forma sin dividir entre 2
necklace = 1 if n <= 2 else factorial(n - 1) // 2
# permutaciones circulares con 2 elementos dados juntos / separados (para n de 3 o más)
adjacent = 2 * factorial(n - 2)
not_adjacent = factorial(n - 1) - adjacent
print(f"Permutaciones circulares: {circular}")
print(f"Permutaciones circulares de {r} de {n}: {circular_select}")
print(f"Permutaciones de collar: {necklace}")
print(f"Juntos: {adjacent} Separados: {not_adjacent}")
Funciona solo con el módulo math de la biblioteca estándar (perm necesita Python 3.8 o posterior). Para dividir números enteros, usa «//», que no convierte el resultado en decimal. Al ejecutar este ejemplo se muestran las permutaciones circulares 5040, las permutaciones circulares de 3 de 8 = 112, las permutaciones de collar 2520, juntos 1440 y separados 3600. Cambia n y r y ejecútalo.
La fórmula en LaTeX y otras notaciones matemáticas (para copiar)
Permutaciones circulares \((n-1)!\) (los \(n\) elementos en un círculo)
N = n! ÷ n = (n−1)!
N = \frac{n!}{n} = (n-1)!
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>N</mi>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow><mi>n</mi><mo>!</mo></mrow>
<mi>n</mi>
</mfrac>
<mo>=</mo>
<mo>(</mo><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>1</mn><mo>)</mo><mo>!</mo>
</mrow>
</math>
N = (n!)/n = (n-1)!
N = (n - 1)!
N := (n-1)!;
N = factorial(n-1);
N = n!/n = (n-1)!
Permutaciones circulares \(\dfrac{{}_{n}\mathrm{P}_{r}}{r}\) (\(r\) de \(n\) elementos en un círculo)
N = ₙPᵣ ÷ r
N = \frac{{}_{n}P_{r}}{r}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>N</mi>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow><mmultiscripts><mi>P</mi><mi>r</mi><none/><mprescripts/><mi>n</mi><none/></mmultiscripts></mrow>
<mi>r</mi>
</mfrac>
</mrow>
</math>
N = (nPr)/r
N = (n!/(n - r)!)/r
N := numbperm(n, r)/r;
N = nchoosek(n,r)*factorial(r)/r;
N = nPr/r
Permutaciones de collar \(\dfrac{(n-1)!}{2}\) (dar la vuelta cuenta como igual)
M = (n−1)! ÷ 2
M = \frac{(n-1)!}{2}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>M</mi>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow><mo>(</mo><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>1</mn><mo>)</mo><mo>!</mo></mrow>
<mn>2</mn>
</mfrac>
</mrow>
</math>
M = ((n-1)!)/2
M = (n - 1)!/2
M := (n-1)!/2;
M = factorial(n-1)/2;
M = (n-1)!/2
Permutaciones circulares con 2 elementos dados juntos, \(2 \times (n-2)!\)
A = 2 × (n−2)!
A = 2 \times (n-2)!
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>A</mi>
<mo>=</mo>
<mn>2</mn>
<mo>×</mo>
<mo>(</mo><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>2</mn><mo>)</mo><mo>!</mo>
</mrow>
</math>
A = 2 * (n-2)!
A = 2 (n - 2)!
A := 2*(n-2)!;
A = 2*factorial(n-2);
A = 2(n-2)!
Permutaciones circulares con 2 elementos dados separados, \((n-1)! - 2 \times (n-2)!\)
B = (n−1)! − 2 × (n−2)!
B = (n-1)! - 2 \times (n-2)!
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>B</mi>
<mo>=</mo>
<mo>(</mo><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>1</mn><mo>)</mo><mo>!</mo>
<mo>−</mo>
<mn>2</mn>
<mo>×</mo>
<mo>(</mo><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>2</mn><mo>)</mo><mo>!</mo>
</mrow>
</math>
B = (n-1)! - 2 * (n-2)!
B = (n - 1)! - 2 (n - 2)!
B := (n-1)! - 2*(n-2)!;
B = factorial(n-1) - 2*factorial(n-2);
B = (n-1)! - 2(n-2)!
Cómo pedirle a ChatGPT que haga el cálculo
Eres un asistente de cálculo de matemáticas (combinatoria). Haz el siguiente cálculo ejecutando realmente código de Python y basa tu respuesta solo en los números del resultado de la ejecución (no respondas con cálculo mental ni suposiciones). 8 personas se sientan alrededor de una mesa redonda. Calcula las 4 cosas siguientes: 1. Las permutaciones circulares de las 8 personas (las distribuciones que coinciden al girar cuentan como 1 sola) 2. El número de formas de elegir 3 de las 8 personas y sentarlas en una mesa redonda para 3 3. Las permutaciones de collar de 8 cuentas ensartadas en un anillo (las ordenaciones que coinciden al girar o al dar la vuelta cuentan como 1) 4. En la mesa redonda de 8, el número de distribuciones en las que 2 personas dadas se sientan juntas y en las que no En Python, calcula con exactitud con el módulo math de la biblioteca estándar (factorial y perm), y muestra las fórmulas que has usado y los números del resultado de la ejecución. Explica también por qué cada fórmula tiene esa forma.
Cómo usar
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1Introduce los númerosEscribe en los campos los números con los que quieres calcular
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3Consulta el resultadoEl resultado aparece al instante. En la misma página también encontrarás el desarrollo del cálculo y la explicación de la fórmula
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Cuenta las formas cuando se puede elegir el mismo elemento una y otra vez, y las permutaciones con elementos idénticos
