Introduce el primer término a₁, el coeficiente p y la constante q de la relación de recurrencia a(n+1) = p·a(n) + q. La fórmula de abajo está enlazada con los campos, así que también puedes cambiar los números directamente dentro de ella.
Escribe solo números. Sirven decimales, números negativos y fracciones como 1/2. Si «Número del término n» se deja en blanco, se toma como 10.
Resultado y gráfico
Introduce el primer término y los coeficientes en los campos de la izquierda y haz clic en «Calcular». Aquí aparecerán el resultado y un gráfico.
Índice
-
Qué puedes hacer en esta página
-
¿Para qué sirve este cálculo?
-
Cómo usar
-
Fórmulas y gráficos
-
Relación de recurrencia de primer orden
-
La ecuación característica y el valor de equilibrio
-
Transformación con el valor de equilibrio (para obtener una progresión geométrica)
-
Término general (caso de la ecuación característica)
-
Cuando \(p = 1\) (progresión aritmética)
-
Cuando \(q = 0\) (progresión geométrica)
-
-
Símbolos y términos
-
Qué conviene saber de antemano
-
Cómo calcularlo con Excel
-
Cómo calcularlo con Hojas de cálculo de Google
-
Cómo calcularlo con Python
-
La fórmula en LaTeX y otras notaciones matemáticas (para copiar)
-
Cómo pedirle a ChatGPT que haga el cálculo
-
Las ventajas de DataChef
-
Funciones relacionadas
-
Todas las calculadoras de NumberChef
Qué puedes hacer en esta página
- Halla al instante el término general de la relación de recurrencia de primer orden \(a_{n+1} = p a_n + q\) (con primer término \(a_1\)), con pasos que usan la ecuación característica para convertirla en una progresión geométrica
- Las respuestas son fracciones exactas e irreducibles, como \(\dfrac{381}{64}\). Los casos especiales \(p = 1\) (progresión aritmética) y \(q = 0\) (progresión geométrica) se tratan automáticamente
- También muestra el valor del término de la posición \(n\) que elijas (el término \(n\)-ésimo), además de una tabla y un gráfico de los términos 1 a 10. Si la sucesión converge, también obtienes el valor al que se acerca (el límite, que es el valor de equilibrio)
- El primer término y los coeficientes pueden ser decimales, números negativos o fracciones como 1/2
- La calculadora muestra la relación de recurrencia tal como la escribirías a mano y puedes cambiar los números directamente dentro de ella
- En esta misma página también tienes una explicación sencilla de las fórmulas y fórmulas para copiar y pegar en Excel, Hojas de cálculo de Google y Python
Esta página trata la relación de recurrencia de primer orden \(a_{n+1} = p a_n + q\) (\(p\) y \(q\) son constantes). No sirve para las formas que contienen \(n\), como \(a_{n+1} = a_n + n\), ni para las relaciones de recurrencia de segundo orden, que incluyen \(a_{n+2}\).
¿Para qué sirve este cálculo?
Seguir cómo baja cada mes el saldo de un préstamo (dinero y planificación de vida)
En un préstamo que cobra intereses cada mes y se amortiza con una cuota fija mensual (como una hipoteca), el saldo evoluciona exactamente según la relación de recurrencia de primer orden «saldo del mes siguiente = (1 + tipo mensual) × saldo de este mes − cuota mensual».
Por ejemplo, con un tipo mensual del 0,5 % y una cuota mensual de 1500 €, el valor de equilibrio es 1500 ÷ 0,005 = 300.000 euros. Es el importe del préstamo con el que los intereses y las cuotas se compensan exactamente y el saldo deja de moverse. Si el saldo está por debajo, cada cuota lo hace bajar seguro (esta idea del saldo es la base de la planificación de las amortizaciones).
Estimar el nivel en el que se estabiliza un medicamento que tomas cada día (medicina y farmacia)
El cuerpo descompone y elimina un medicamento a un ritmo constante con el tiempo. En un modelo en el que «tras un día queda en el cuerpo el 50 % del medicamento y tomas 200 mg cada día», la cantidad en el cuerpo sigue la relación de recurrencia \(a_{n+1} = 0{,}5a_n + 200\) y converge al valor de equilibrio 200 ÷ (1 − 0,5) = 400 mg.
Esta fórmula muestra que, aunque lo sigas tomando cada día, no se acumula sin fin, sino que se estabiliza en un nivel constante. En el diseño real de fármacos, las dosis y los intervalos se fijan con modelos farmacocinéticos que hacen este tipo de cálculo con más precisión.
Dónde se estanca el número de socios de una suscripción (negocio)
En un servicio en el que «el 90 % de los socios se queda cada mes y se apuntan 1000 personas nuevas», el número de socios sigue la relación de recurrencia \(a_{n+1} = 0{,}9a_n + 1000\) y converge al valor de equilibrio 1000 ÷ (1 − 0,9) = 10.000 personas.
Así, si las altas y la tasa de bajas se mantienen, el número de socios se estabiliza en torno a 10.000. Es un modelo básico de planificación de negocio para estimar el techo del crecimiento y cuánto sube ese techo si reduces la tasa de bajas (una guía aproximada que supone que la tasa de permanencia y las altas se mantienen constantes).
Cómo cambia la temperatura de una habitación con la calefacción encendida (hogar y física)
Cuando calientas una habitación fría, la diferencia entre la temperatura de la habitación y la temperatura configurada en el termostato se reduce en un porcentaje constante cada minuto. Por ejemplo, si «cada minuto, la diferencia entre la temperatura de la habitación y los 25 °C configurados se reduce un 10 %», la temperatura de la habitación sigue la relación de recurrencia \(a_{n+1} = 0{,}9a_n + 2{,}5\) y converge al valor de equilibrio 2,5 ÷ 0,1 = 25 °C, la temperatura configurada en el termostato.
«Al principio se calienta rápido y luego más despacio al acercarse a la temperatura configurada» es exactamente el aspecto de la convergencia de esta relación de recurrencia (en física, es una versión minuto a minuto de la ley de enfriamiento de Newton).
Expresar con una fórmula el crecimiento de un plan de ahorro (dinero y patrimonio)
El saldo de un plan de ahorro en el que «se abonan intereses al final de cada mes y además ingresas una cantidad fija cada mes» sigue el mismo tipo de relación de recurrencia: «saldo del mes siguiente = (1 + tipo mensual) × saldo de este mes + aportación». Aquí, sin embargo, el multiplicador es mayor que 1, así que no converge y el saldo sigue creciendo (un ejemplo que diverge).
Al hallar el término general puedes calcular «el saldo tras n meses» de un solo paso. Es lo mismo que la fórmula del valor final de una renta que se estudia en matemáticas financieras. Las estimaciones de cuánto ahorrarás se hacen con el término general de esta relación de recurrencia.
Fórmulas y gráficos
Relación de recurrencia de primer orden
Gráfico
Notación matemática
(la notación habitual)
\(a_{n+1}\)
\(=\)
\(p\)
\(\times\)
\(a_n\)
\(+\)
\(q\)
En palabras
(los símbolos sustituidos por palabras)
④
\(a_{n+1}\): término siguiente
\(=\)
②
\(p\): multiplicador
\(\times\)
①
\(a_n\): término actual
\(+\)
③
\(q\): número que se suma
La fórmula en palabras
①
Toma el
\(a_n\): término actual
, multiplícalo por el
②
\(p\): multiplicador
, suma el
③
\(q\): número que se suma
,
④
y obtienes el
\(a_{n+1}\): término siguiente
Un ejemplo sencillo
Con primer término \(a_1 = 1\) y relación de recurrencia \(a_{n+1} = 2a_n + 3\) (duplica el término actual y suma 3), la sucesión empieza así
término siguiente
\(=\)
2
\(\times\)
término actual
\(+\)
3
\(a_2 = 2 \times 1 + 3 = 5\)
\(a_3 = 2 \times 5 + 3 = 13\)
\(a_4 = 2 \times 13 + 3 = 29\)
La idea clave
Una relación de recurrencia es una regla que construye el siguiente término a partir del término actual. Con el primer término \(a_1\) y la regla, toda la sucesión \(a_2\), \(a_3\), … sale en orden.
Pero para hallar el término 100 de esta manera habría que calcular 99 veces. Por eso queremos el término general, una fórmula que da directamente el término \(n\)-ésimo a partir de \(n\). La herramienta para hallarlo es la ecuación característica, que se explica a continuación.
La ecuación característica y el valor de equilibrio
Notación matemática
(la notación habitual)
\(c\)
\(=\)
\(q\)
\(\div\)
\(1 - p\)
En palabras
(los símbolos sustituidos por palabras)
③
\(c\): valor de equilibrio
\(=\)
①
\(q\): número que se suma
\(\div\)
②
\(1 - p\): 1 menos el multiplicador \(p\)
La fórmula en palabras
①
Sustituye \(a_{n+1}\) y \(a_n\) de la relación de recurrencia por \(x\) y resuelve la ecuación \(x = px + q\) (la ecuación característica). Divide el
\(q\): número que se suma
entre
②
\(1 - p\): 1 menos el multiplicador \(p\)
,
③
y obtienes el
\(c\): valor de equilibrio
Un ejemplo sencillo
La ecuación característica de la relación de recurrencia \(a_{n+1} = 2a_n + 3\) es \(x = 2x + 3\). Al resolverla se obtiene
\(c\): valor de equilibrio
\(=\)
número que se suma (3)
\(\div\)
\(1 - 2\)
\(x = 2x + 3\)
\(x - 2x = 3\)
\(-x = 3\)
\(x = -3\)
\(c = \dfrac{3}{1-2} = -3\)
La idea clave
La solución \(c\) de la ecuación característica \(x = px + q\) es un valor especial: si algún término llega a valer eso, el siguiente término vale exactamente lo mismo (en efecto, \(c = pc + q\), así que a partir de \(c\) la sucesión se queda en \(c\)). Por eso, el valor de equilibrio también se llama punto fijo de la sucesión.
Puedes resolver la ecuación pasando términos de un miembro a otro o usar directamente la fórmula \(c = \dfrac{q}{1-p}\). Como el denominador es \(1 - p\), la ecuación característica solo falla cuando \(p = 1\) (ese caso es una progresión aritmética, que se trata en otra fórmula más abajo).
Transformación con el valor de equilibrio (para obtener una progresión geométrica)
Notación matemática
(la notación habitual)
\(a_{n+1} - c\)
\(=\)
\(p\)
\(\times\)
\((a_n - c)\)
En palabras
(los símbolos sustituidos por palabras)
③
\(a_{n+1} - c\): diferencia entre el término siguiente y el valor de equilibrio
\(=\)
②
\(p\): multiplicador
\(\times\)
①
\(a_n - c\): diferencia entre el término actual y el valor de equilibrio
La fórmula en palabras
①
Multiplica la
\(a_n - c\): diferencia entre el término actual y el valor de equilibrio
por el
②
\(p\): multiplicador
,
③
y obtienes la
\(a_{n+1} - c\): diferencia entre el término siguiente y el valor de equilibrio
(si miras solo esas diferencias, forman una progresión geométrica de razón \(p\))
Un ejemplo sencillo
Al transformar la relación de recurrencia \(a_{n+1} = 2a_n + 3\) (valor de equilibrio \(c = -3\)) se obtiene
término siguiente \(+\,3\)
\(=\)
2
\(\times\)
término actual \(+\,3\)
\(a_{n+1} + 3 = 2\left(a_n + 3\right)\)
\(a_1 + 3 = 4,\quad a_2 + 3 = 8,\quad a_3 + 3 = 16\)
La idea clave
Resta miembro a miembro la ecuación característica \(c = pc + q\) de la relación de recurrencia \(a_{n+1} = p a_n + q\) (el miembro izquierdo menos el izquierdo y el derecho menos el derecho). El número que se suma, \(q\), se cancela y solo queda \(a_{n+1} - c = p(a_n - c)\).
Así, la sucesión de diferencias \(\{a_n - c\}\), cada término menos el valor de equilibrio \(c\), es una progresión geométrica que solo multiplica por \(p\) cada vez. El objetivo de esta transformación es convertir una relación de recurrencia difícil de manejar, porque mezcla una suma, en una progresión geométrica conocida.
En el ejemplo, \(c = -3\), así que la diferencia es \(a_n - (-3) = a_n + 3\) y va \(4,\ 8,\ 16,\ \dots\), duplicándose cada vez, como era de esperar.
Término general (caso de la ecuación característica)
Gráfico
Notación matemática
(la notación habitual)
\(a_n\)
\(=\)
\((a_1 - c)\)
\(\times\)
\(p^{n-1}\)
\(+\)
\(c\)
En palabras
(los símbolos sustituidos por palabras)
④
\(a_n\): \(n\)-ésimo término (término general)
\(=\)
①
\(a_1 - c\): diferencia entre el primer término y el valor de equilibrio
\(\times\)
②
\(p^{n-1}\): el multiplicador \(p\) multiplicado \(n-1\) veces
\(+\)
③
\(c\): valor de equilibrio
La fórmula en palabras
①
Multiplica la
\(a_1 - c\): diferencia entre el primer término y el valor de equilibrio
por
②
\(p^{n-1}\): el multiplicador \(p\) multiplicado \(n-1\) veces
, vuelve a sumar el
③
\(c\): valor de equilibrio
,
④
y obtienes el
\(a_n\): \(n\)-ésimo término (término general)
Un ejemplo sencillo
Con primer término \(a_1 = 1\) y relación de recurrencia \(a_{n+1} = 2a_n + 3\) (valor de equilibrio \(c = -3\)), el término general es
\(n\)-ésimo término
\(=\)
diferencia \(1 - (-3) = 4\)
\(\times\)
\(2^{n-1}\)
\(+\)
valor de equilibrio \(-3\)
\(a_n = \left(1 - (-3)\right) \times 2^{n-1} + (-3) = 4 \cdot 2^{n-1} - 3\)
\(a_1 = 4 \times 1 - 3 = 1,\quad a_2 = 4 \times 2 - 3 = 5,\quad a_3 = 4 \times 4 - 3 = 13\)
La idea clave
La progresión geométrica \(\{a_n - c\}\) que sale de la transformación tiene primer término \(a_1 - c\) y razón \(p\), así que, por la fórmula del término general de las progresiones geométricas, \(a_n - c = (a_1 - c)p^{n-1}\). Por último, vuelve a sumar el \(c\) que restaste (pásalo al otro miembro) y obtienes este término general.
Cuando \(|p| < 1\) (\(p\) está entre \(-1\) y \(1\)), \(p^{n-1}\) se acerca a 0 al crecer \(n\), así que \(a_n\) se acerca cada vez más al valor de equilibrio \(c\) (converge). Cuando la sucesión converge, esta calculadora muestra \(c\) como el límite.
Cuando \(p = 1\) (progresión aritmética)
Notación matemática
(la notación habitual)
\(a_n\)
\(=\)
\(a_1\)
\(+\)
\((n-1)q\)
En palabras
(los símbolos sustituidos por palabras)
③
\(a_n\): \(n\)-ésimo término (término general)
\(=\)
①
\(a_1\): primer término
\(+\)
②
\((n-1)q\): la diferencia \(q\) sumada \(n-1\) veces
La fórmula en palabras
①
Cuando \(p = 1\), la relación de recurrencia es \(a_{n+1} = a_n + q\) (solo suma \(q\) cada vez). Así que al
\(a_1\): primer término
súmale
②
\((n-1)q\): la diferencia \(q\) sumada \(n-1\) veces
,
③
y obtienes el
\(a_n\): \(n\)-ésimo término (término general)
Un ejemplo sencillo
Con primer término \(a_1 = 5\) y relación de recurrencia \(a_{n+1} = a_n + 3\) (una progresión aritmética de diferencia 3), el término general y el término 4 son
\(n\)-ésimo término
\(=\)
primer término (5)
\(+\)
\(3\) sumado \(n-1\) veces
\(a_n = 5 + (n-1) \times 3 = 3n + 2\)
\(a_4 = 3 \times 4 + 2 = 14\)
La idea clave
Cuando \(p = 1\), el denominador \(1 - p\) de la ecuación característica vale 0, así que no se puede usar el valor de equilibrio. En cambio, la relación de recurrencia solo suma el mismo número \(q\) cada vez, así que la sucesión es simplemente una progresión aritmética de diferencia \(q\).
Del término 1 al término \(n\) se suma \(q\) tantas veces como huecos hay entre términos: \(n-1\) veces (del término 1 al término 4 son 3 veces; contar \(n\) veces es un error frecuente).
Cuando \(q = 0\) (progresión geométrica)
Notación matemática
(la notación habitual)
\(a_n\)
\(=\)
\(a_1\)
\(\times\)
\(p^{n-1}\)
En palabras
(los símbolos sustituidos por palabras)
③
\(a_n\): \(n\)-ésimo término (término general)
\(=\)
①
\(a_1\): primer término
\(\times\)
②
\(p^{n-1}\): la razón \(p\) multiplicada \(n-1\) veces
La fórmula en palabras
①
Cuando \(q = 0\), la relación de recurrencia es \(a_{n+1} = p a_n\) (solo multiplica por \(p\) cada vez). Así que multiplica el
\(a_1\): primer término
por
②
\(p^{n-1}\): la razón \(p\) multiplicada \(n-1\) veces
,
③
y obtienes el
\(a_n\): \(n\)-ésimo término (término general)
Un ejemplo sencillo
Con primer término \(a_1 = 3\) y relación de recurrencia \(a_{n+1} = 2a_n\) (una progresión geométrica de razón 2), el término general y el término 4 son
\(n\)-ésimo término
\(=\)
primer término (3)
\(\times\)
\(2^{n-1}\)
\(a_n = 3 \times 2^{n-1}\)
\(a_4 = 3 \times 2^{3} = 3 \times 8 = 24\)
La idea clave
Cuando \(q = 0\), la relación de recurrencia solo multiplica por el mismo número \(p\) cada vez, así que la sucesión es simplemente una progresión geométrica de razón \(p\). Por la misma razón que en el caso aritmético, se multiplica \(n-1\) veces.
De hecho, si pones \(q = 0\) en el término general del caso de la ecuación característica, el valor de equilibrio es \(c = 0\) y \(a_n = (a_1 - 0)p^{n-1} + 0 = a_1 p^{n-1}\). Así que esta fórmula es un caso particular de aquella.
Para la relación de recurrencia de primer orden \(a_{n+1} = p a_n + q\), usa la solución de la ecuación característica \(x = px + q\) (el valor de equilibrio \(c = \dfrac{q}{1-p}\)) para transformarla en \(a_{n+1} - c = p(a_n - c)\). La sucesión de diferencias \(\{a_n - c\}\) es entonces geométrica de razón \(p\), lo que da el término general \(a_n = (a_1 - c)p^{n-1} + c\). Si \(p = 1\), es una progresión aritmética; si \(q = 0\), es una progresión geométrica.
Símbolos y términos
Símbolos
| \(a_n\) | a sub ene | El término \(n\)-ésimo de la sucesión, contando desde el principio. Para las sucesiones se usa a menudo la letra \(a\) (se dice que por ser la primera letra del alfabeto). El subíndice pequeño \(n\) de abajo a la derecha indica qué posición ocupa. |
| \(a_{n+1}\) | a sub ene más uno | El término justo después del \(n\)-ésimo, es decir, el término \(n+1\). En una relación de recurrencia hace el papel de «el siguiente término tras el término actual \(a_n\)». |
| \(a_1\) | a sub uno | El primer término de la sucesión. Una relación de recurrencia es una regla que construye el siguiente término a partir del actual, así que la sucesión no queda determinada hasta que se fija su punto de partida, el primer término. |
| \(n\) | ene | El número de posición de un término (qué lugar ocupa desde el principio). Por costumbre se usa \(n\), de «número». Toma los valores 1, 2, 3, … (números naturales). |
| \(p\) | pe | La constante que multiplica al término actual \(a_n\). Hace el papel de la razón de una progresión geométrica. Si está entre \(-1\) y \(1\), la sucesión converge al valor de equilibrio. |
| \(q\) | cu | La constante que se suma después de multiplicar. Hace el papel de la diferencia de una progresión aritmética. Por costumbre se usa \(q\) como la letra que sigue a \(p\). |
| \(c\) | ce | La solución de la ecuación característica \(x = px + q\) (el valor de equilibrio). La letra \(c\) es la inicial de «constante». Es un valor especial: cuando un término lo alcanza, el siguiente término se queda igual. También es el valor al que llega una sucesión convergente. |
| \(\{a_n\}\) | la sucesión a sub ene | Una forma de escribir toda la sucesión formada por los términos \(a_n\). Las llaves significan «todos los \(a_1, a_2, a_3, \dots\) juntos». |
| \(p^{n-1}\) | pe elevado a ene menos uno | \(p\) multiplicado por sí mismo \(n-1\) veces (una potencia). El número pequeño de arriba a la derecha (el exponente) indica cuántas veces se multiplica. Del término 1 al término \(n\) se multiplica por la razón \(n-1\) veces, y por eso esta forma aparece en el término general. |
| \(\displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n\) | límite de a sub ene cuando ene tiende a infinito | El valor al que se acerca \(a_n\) cuando \(n\) crece sin límite (el límite). \(\lim\) son las tres primeras letras de «límite» (en latín, limes). Esta calculadora muestra el límite cuando la sucesión converge. |
Términos
| sucesión | Números colocados en orden. Cada número se llama término y los términos se numeran, como en \(a_1, a_2, a_3, \dots\). |
| término | Cada uno de los números de una sucesión. El que ocupa la posición \(n\) desde el principio se llama término \(n\)-ésimo. |
| primer término | El primer término \(a_1\) de una sucesión. Es el punto de partida cuando una relación de recurrencia define una sucesión. |
| relación de recurrencia (fórmula recurrente) | Una fórmula de la regla que construye el siguiente término a partir del término actual. Por ejemplo, \(a_{n+1} = 2a_n + 3\) es la regla «el siguiente término es el actual duplicado más 3». Junto con el primer término, determina toda la sucesión. |
| relación de recurrencia de primer orden | Una relación de recurrencia escrita solo con dos términos consecutivos (\(a_n\) y \(a_{n+1}\)). La \(a_{n+1} = p a_n + q\) de esta página es la forma típica. La que tiene tres términos \(a_n,\ a_{n+1},\ a_{n+2}\) se llama relación de recurrencia de segundo orden y se resuelve de otra manera. |
| término general (fórmula explícita) | El término \(n\)-ésimo escrito directamente como una fórmula en \(n\). Por ejemplo, una vez que tienes \(a_n = 4 \cdot 2^{n-1} - 3\), hasta el término 100 se obtiene de un solo paso: basta poner \(n = 100\). |
| progresión aritmética | Una sucesión en la que la diferencia entre términos consecutivos es siempre la misma (suma el mismo número cada vez). \(5, 8, 11, 14, \dots\) es una progresión aritmética de diferencia 3. Corresponde al caso \(p = 1\) de la relación de recurrencia. |
| diferencia | El número fijo que suma cada vez una progresión aritmética. En la relación de recurrencia de esta página, \(q\) hace este papel cuando \(p = 1\). |
| progresión geométrica | Una sucesión en la que el cociente entre términos consecutivos es siempre el mismo (multiplica por el mismo número cada vez). \(3, 6, 12, 24, \dots\) es una progresión geométrica de razón 2. Corresponde al caso \(q = 0\) de la relación de recurrencia. |
| razón | El número fijo por el que multiplica cada vez una progresión geométrica. En la relación de recurrencia de esta página, \(p\) hace este papel. |
| ecuación característica | La ecuación \(x = px + q\) que se obtiene al sustituir \(a_{n+1}\) y \(a_n\) de la relación de recurrencia por la misma letra \(x\) (también se llama ecuación del punto fijo). Su solución (el valor de equilibrio) permite transformar la relación de recurrencia en una progresión geométrica. |
| valor de equilibrio | La solución \(c = \dfrac{q}{1-p}\) de la ecuación característica. Es el punto en el que la sucesión deja de moverse: cuando un término lo alcanza, el siguiente término se queda igual. Cuando la sucesión converge, es también el valor al que llega (el límite). |
| punto fijo | Un valor que no cambia al aplicar la regla. En una relación de recurrencia, el valor de equilibrio \(c\) es el punto fijo, ya que \(c = pc + q\). En las matemáticas universitarias, las relaciones de recurrencia y las iteraciones de funciones se estudian desde este punto de vista. |
| converger | Que, al crecer \(n\), los términos se acerquen cada vez más a un valor fijo. Esta relación de recurrencia converge al valor de equilibrio \(c\) cuando \(|p| < 1\) (\(p\) está entre \(-1\) y \(1\)). |
| límite | El valor al que se acerca una sucesión convergente. Se escribe \(\displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n\). Los límites se estudian a fondo en Bachillerato (16-18 años), pero aquí basta con imaginarlo como «el destino al que se acercan cada vez más los términos». |
| divergir | No converger. Incluye los términos que crecen sin límite (o decrecen sin límite) y los que oscilan entre dos valores sin asentarse en uno. Esta relación de recurrencia diverge cuando \(|p| > 1\), salvo que empiece exactamente en el valor de equilibrio. |
Qué conviene saber de antemano
Esto es lo que te ayuda a usar el cálculo de esta página entendiendo de verdad lo que haces, y no solo pulsando el botón.
Si te atascas, repasar estos temas es el camino más rápido.
| Qué es una sucesión (3.º de ESO, 14-15 años) |
|
| Progresiones aritméticas y geométricas (3.º y 4.º de ESO, 14-16 años) |
|
| Ecuaciones de primer grado y transposición de términos (1.º y 2.º de ESO, 12-14 años) |
|
| Potencias y exponentes (1.º de ESO a 4.º de ESO, 12-16 años) |
|
| Operaciones con fracciones (5.º de Primaria a 1.º de ESO, 10-13 años) |
|
Cómo calcularlo con Excel
Copia toda la tabla de abajo y pégala en la celda A1 de Excel. Funciona tal cual.
Tabla para hallar el término n con el término general (caso de la ecuación característica)
| Primer término a1 | 1 |
| Coeficiente p | 2 |
| Constante q | 3 |
| Número del término n | 10 |
| Valor de equilibrio c = q/(1−p) | =B3/(1-B2) |
| Diferencia entre el primer término y c, a1−c | =B1-B5 |
| Término n (a1−c)×p^(n−1)+c | =B6*B2^(B4-1)+B5 |
Tabla que sigue la relación de recurrencia paso a paso (términos 1 a 10)
| Coeficiente p | 2 |
| Constante q | 3 |
| Término 1, a1 | 1 |
| Término 2 | =B1*B3+B2 |
| Término 3 | =B1*B4+B2 |
| Término 4 | =B1*B5+B2 |
| Término 5 | =B1*B6+B2 |
| Término 6 | =B1*B7+B2 |
| Término 7 | =B1*B8+B2 |
| Término 8 | =B1*B9+B2 |
| Término 9 | =B1*B10+B2 |
| Término 10 | =B1*B11+B2 |
Tabla para hallar el término n cuando p = 1 (progresión aritmética)
| Primer término a1 | 5 |
| Diferencia q | 3 |
| Número del término n | 4 |
| Término n a1+(n−1)q | =B1+(B3-1)*B2 |
Tabla para hallar el término n cuando q = 0 (progresión geométrica)
| Primer término a1 | 3 |
| Razón p | 2 |
| Número del término n | 4 |
| Término n a1×p^(n−1) | =B1*B2^(B3-1) |
Al pegar la tabla, las filas de arriba (el primer término y los coeficientes) son los datos de entrada y las de abajo muestran los resultados calculados. «^» es una potencia y «*» es la multiplicación.
La primera tabla usa el término general para hallar el término 10 de la sucesión de primer término 1 y relación de recurrencia a(n+1) = 2a(n) + 3. El valor de equilibrio c es −3 y el resultado es 2045. Las fórmulas de esta tabla no sirven cuando p = 1 (1−p vale 0 y se dividiría entre 0). En ese caso, usa la tercera tabla.
La segunda tabla calcula la misma sucesión paso a paso, exactamente como dice la relación de recurrencia, así que puedes comprobar que el término 10 es 2045, igual que en la primera tabla.
La tercera tabla es un ejemplo del caso aritmético (primer término 5, diferencia 3, término 4 = 14) y la cuarta es un ejemplo del caso geométrico (primer término 3, razón 2, término 4 = 24).
La primera tabla usa el término general para hallar el término 10 de la sucesión de primer término 1 y relación de recurrencia a(n+1) = 2a(n) + 3. El valor de equilibrio c es −3 y el resultado es 2045. Las fórmulas de esta tabla no sirven cuando p = 1 (1−p vale 0 y se dividiría entre 0). En ese caso, usa la tercera tabla.
La segunda tabla calcula la misma sucesión paso a paso, exactamente como dice la relación de recurrencia, así que puedes comprobar que el término 10 es 2045, igual que en la primera tabla.
La tercera tabla es un ejemplo del caso aritmético (primer término 5, diferencia 3, término 4 = 14) y la cuarta es un ejemplo del caso geométrico (primer término 3, razón 2, término 4 = 24).
Cómo calcularlo con Hojas de cálculo de Google
Copia toda la tabla de abajo y pégala en la celda A1 de Hojas de cálculo de Google. Funciona tal cual.
Tabla para hallar el término n con el término general (caso de la ecuación característica)
| Primer término a1 | 1 |
| Coeficiente p | 2 |
| Constante q | 3 |
| Número del término n | 10 |
| Valor de equilibrio c = q/(1−p) | =B3/(1-B2) |
| Diferencia entre el primer término y c, a1−c | =B1-B5 |
| Término n (a1−c)×p^(n−1)+c | =B6*B2^(B4-1)+B5 |
Tabla que sigue la relación de recurrencia paso a paso (términos 1 a 10)
| Coeficiente p | 2 |
| Constante q | 3 |
| Término 1, a1 | 1 |
| Término 2 | =B1*B3+B2 |
| Término 3 | =B1*B4+B2 |
| Término 4 | =B1*B5+B2 |
| Término 5 | =B1*B6+B2 |
| Término 6 | =B1*B7+B2 |
| Término 7 | =B1*B8+B2 |
| Término 8 | =B1*B9+B2 |
| Término 9 | =B1*B10+B2 |
| Término 10 | =B1*B11+B2 |
Tabla para hallar el término n cuando p = 1 (progresión aritmética)
| Primer término a1 | 5 |
| Diferencia q | 3 |
| Número del término n | 4 |
| Término n a1+(n−1)q | =B1+(B3-1)*B2 |
Tabla para hallar el término n cuando q = 0 (progresión geométrica)
| Primer término a1 | 3 |
| Razón p | 2 |
| Número del término n | 4 |
| Término n a1×p^(n−1) | =B1*B2^(B3-1) |
Las mismas fórmulas de Excel sirven tal cual. Copia la tabla entera, pégala en la celda A1 y cambia el primer término y los coeficientes por tus propios números.
Cómo calcularlo con Python
from fractions import Fraction
first_term = Fraction(1) # primer término a1 (también sirven fracciones, p. ej. Fraction(1, 2))
coefficient = Fraction(2) # coeficiente p (multiplica a_n)
constant = Fraction(3) # constante q (se suma)
term_number = 10 # número del término n que se quiere hallar
# Calcula los términos 1 a 10 en orden, siguiendo la relación de recurrencia
terms = [first_term]
for _ in range(9):
terms.append(coefficient * terms[-1] + constant)
print("Términos 1-10:", ", ".join(str(t) for t in terms))
# término n (aplica la relación de recurrencia n-1 veces)
nth_term = first_term
for _ in range(term_number - 1):
nth_term = coefficient * nth_term + constant
print(f"Término {term_number}: {nth_term} (en decimal: {float(nth_term)})")
# Si p no es 1, el valor de equilibrio c = q/(1-p) también da el término general
if coefficient != 1:
fixed_point = constant / (1 - coefficient)
start_diff = first_term - fixed_point
print(f"Valor de equilibrio c: {fixed_point}")
print(f"Término general: a_n = ({start_diff})*({coefficient})^(n-1) + ({fixed_point})")
Con el módulo fractions de la biblioteca estándar puedes calcular con fracciones exactas y sin error de redondeo decimal. Este ejemplo es la sucesión de primer término 1 y relación de recurrencia a(n+1) = 2a(n) + 3. Al ejecutarlo se muestran los términos 1 a 10 (1, 5, 13, …, 2045), el término 10 = 2045, el valor de equilibrio −3 y el término general a_n = (4)*(2)^(n-1) + (-3) (simplificado, 4×2^(n−1) − 3). Cambia el primer término y los coeficientes y ejecútalo.
La fórmula en LaTeX y otras notaciones matemáticas (para copiar)
Relación de recurrencia de primer orden
aₙ₊₁ = p·aₙ + q
a_{n+1} = p a_n + q
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msub><mi>a</mi><mrow><mi>n</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msub>
<mo>=</mo>
<mi>p</mi>
<msub><mi>a</mi><mi>n</mi></msub>
<mo>+</mo>
<mi>q</mi>
</mrow>
</math>
a_(n+1) = p a_n + q
RSolve[{a[n + 1] == p a[n] + q, a[1] == a1}, a[n], n]
rsolve({a(n+1) = p*a(n) + q, a(1) = a1}, a(n));
a(n+1) = p*a(n) + q
a_(n+1) = p a_n + q
La ecuación característica y el valor de equilibrio
c = q/(1 − p)
c = \dfrac{q}{1-p}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>c</mi>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mi>q</mi>
<mrow><mn>1</mn><mo>−</mo><mi>p</mi></mrow>
</mfrac>
</mrow>
</math>
c = q/(1-p)
c = q/(1 - p)
c := q/(1 - p);
c = q/(1 - p);
c = q/(1 − p)
Transformación con el valor de equilibrio (para obtener una progresión geométrica)
aₙ₊₁ − c = p(aₙ − c)
a_{n+1} - c = p(a_n - c)
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msub><mi>a</mi><mrow><mi>n</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msub>
<mo>−</mo><mi>c</mi>
<mo>=</mo>
<mi>p</mi>
<mo>(</mo>
<msub><mi>a</mi><mi>n</mi></msub>
<mo>−</mo><mi>c</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
</math>
a_(n+1) - c = p(a_n - c)
a[n + 1] - c == p (a[n] - c)
a(n+1) - c = p*(a(n) - c);
a(n+1) - c = p*(a(n) - c)
a_(n+1) − c = p(a_n − c)
Término general (caso de la ecuación característica)
aₙ = (a₁ − c)·pⁿ⁻¹ + c
a_n = (a_1 - c)p^{n-1} + c
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msub><mi>a</mi><mi>n</mi></msub>
<mo>=</mo>
<mo>(</mo>
<msub><mi>a</mi><mn>1</mn></msub>
<mo>−</mo><mi>c</mi>
<mo>)</mo>
<msup><mi>p</mi><mrow><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msup>
<mo>+</mo>
<mi>c</mi>
</mrow>
</math>
a_n = (a_1 - c)p^(n-1) + c
a[n_] := (a1 - c) p^(n - 1) + c
a := n -> (a1 - c)*p^(n-1) + c;
a_n = (a1 - c)*p^(n-1) + c;
a_n = (a_1 − c)p^(n−1) + c
Cuando \(p = 1\) (progresión aritmética)
aₙ = a₁ + (n − 1)q
a_n = a_1 + (n-1)q
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msub><mi>a</mi><mi>n</mi></msub>
<mo>=</mo>
<msub><mi>a</mi><mn>1</mn></msub>
<mo>+</mo>
<mo>(</mo><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>1</mn><mo>)</mo>
<mi>q</mi>
</mrow>
</math>
a_n = a_1 + (n-1)q
a[n_] := a1 + (n - 1) q
a := n -> a1 + (n-1)*q;
a_n = a1 + (n-1)*q;
a_n = a_1 + (n − 1)q
Cuando \(q = 0\) (progresión geométrica)
aₙ = a₁·pⁿ⁻¹
a_n = a_1 p^{n-1}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msub><mi>a</mi><mi>n</mi></msub>
<mo>=</mo>
<msub><mi>a</mi><mn>1</mn></msub>
<msup><mi>p</mi><mrow><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msup>
</mrow>
</math>
a_n = a_1 p^(n-1)
a[n_] := a1 p^(n - 1)
a := n -> a1*p^(n-1);
a_n = a1*p^(n-1);
a_n = a_1 p^(n−1)
Cómo pedirle a ChatGPT que haga el cálculo
Eres un asistente de cálculo de matemáticas (sucesiones y relaciones de recurrencia). Haz los cálculos siguientes ejecutando realmente código de Python y responde basándote solo en los números del resultado de la ejecución (no respondas con cálculo mental ni con suposiciones). Para la sucesión definida por el primer término a_1 = 1 y la relación de recurrencia a_(n+1) = 2·a_n + 3, muestra cada uno de estos puntos. 1. La solución de la ecuación característica x = 2x + 3 (el valor de equilibrio c) 2. El término general a_n (con los pasos que usan c para transformarla en una progresión geométrica) 3. Los valores de los términos 1 a 10 y el valor del término 10 4. ¿Converge esta sucesión? (Si converge, da también el límite.) En Python, usa el módulo fractions de la biblioteca estándar para calcular con exactitud, y muestra las fórmulas que has usado y los números del resultado.
Cómo usar
-
1Introduce los númerosEscribe en los campos los números con los que quieres calcular
-
2CalculaHaz clic en el botón «Calcular»
-
3Consulta el resultadoEl resultado aparece al instante. En la misma página también encontrarás el desarrollo del cálculo y la explicación de la fórmula
Las ventajas de DataChef
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Sin conocimientos técnicos: fácil e intuitivo
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Sin marcas de agua
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Sin necesidad de atribución
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Uso comercial permitido
Uso comercial gratuito
Sin necesidad de pedir permiso
Sin necesidad de pedir permiso
Funciones relacionadas
Calculadora de progresión aritmética (término n y suma)
Calcula el término n y la suma de los n primeros términos a partir del primer término, la diferencia y el número de términos (una sucesión que suma el mismo número cada vez, el caso p = 1 de esta recurrencia)
