Escribe el coeficiente a y elige qué quieres calcular (el modo). Para el recorrido de y o la tasa de variación media, escribe el intervalo de x, p y q. Para el valor de y, escribe un valor de x.
Puedes usar decimales, números negativos y fracciones como 1/2. Los campos cambian solos según el modo.
Resultado y gráfico
Escribe el coeficiente a y el intervalo de x (o un valor de x) en los campos de la izquierda y haz clic en «Calcular». Aquí aparecerán el resultado y la gráfica.
Índice
-
Qué puedes hacer en esta página
-
¿Para qué sirve este cálculo?
-
Cómo usar
-
Fórmulas y gráficas
-
Símbolos y términos
-
Qué conviene saber de antemano
-
Cómo calcularlo con Excel
-
Cómo calcularlo con Hojas de cálculo de Google
-
Cómo calcularlo con Python
-
La fórmula en LaTeX y otras notaciones matemáticas (para copiar)
-
Cómo pedirle a ChatGPT que haga el cálculo
-
Las ventajas de DataChef
-
Funciones relacionadas
-
Todas las calculadoras de NumberChef
Qué puedes hacer en esta página
- Para la función cuadrática \(y = ax^{2}\), calcula el recorrido de y para un dominio de x, \(p \le x \le q\). Los pasos explican también los dos casos, según el dominio incluya o no el 0 (si lo incluye, el mínimo o el máximo vale 0 en el vértice)
- Calcula la tasa de variación media cuando x pasa de \(p\) a \(q\), tanto con la definición \(\dfrac{\Delta y}{\Delta x}\) (incremento de y ÷ incremento de x), con los pasos, como con la fórmula rápida \(a(p+q)\)
- Calcula el valor de y para un valor de x (un punto de la gráfica)
- El coeficiente a puede ser un número entero, un decimal o una fracción como 1/2
- Se dibuja la parábola. En el modo de recorrido se resaltan la parte que corresponde al dominio y el recorrido de y; en el modo de tasa de variación se traza la recta que pasa por los dos puntos. En esta página también encontrarás una explicación clara de las fórmulas y fórmulas para copiar y pegar en Excel, Hojas de cálculo de Google y Python
Esta página trata la función \(y = ax^{2}\), cuyo vértice está en el origen. Para el vértice y el máximo o el mínimo de la forma general \(y = ax^{2} + bx + c\), usa la página relacionada «Calculadora de completar cuadrados».
¿Para qué sirve este cálculo?
La trayectoria de una pelota lanzada
Si se ignora la resistencia del aire, una pelota lanzada en diagonal describe una parábola (la gráfica de \(y = ax^{2}\), desplazada a otro lugar).
Un pase largo en fútbol, un tiro a canasta y el agua de una fuente siguen esta forma, y esta función se usa para simular deportes y para mover pelotas en los videojuegos.
La distancia que cae un objeto es proporcional al cuadrado del tiempo (caída libre)
Si se ignora la resistencia del aire, la distancia que cae un objeto soltado es directamente proporcional al cuadrado del tiempo transcurrido desde que se soltó. Con la distancia en metros y el tiempo en segundos, la constante es aproximadamente 4,9, y resulta la función cuadrática \(y = 4{,}9x^{2}\).
Unos 4,9 metros en 1 segundo y unos 19,6 metros en 2 segundos: al duplicar el tiempo, la distancia se multiplica por cuatro. Esta ley, descubierta por Galileo, es el punto de partida de los cálculos de movimiento en física.
La distancia de frenado de un coche crece con el cuadrado de su velocidad (seguridad vial)
La distancia que recorre un coche desde que se pisa el freno hasta que se detiene (la distancia de frenado) es, como se sabe, aproximadamente proporcional al cuadrado de su velocidad. Si se duplica la velocidad, la distancia de frenado se hace unas cuatro veces mayor.
Esta relación cuadrática es la razón matemática de por qué correr con el coche es peligroso. Se explica en la formación vial y en el examen teórico del carné de conducir, y es un uso de esta función que afecta directamente a la seguridad.
Antenas parabólicas y reflectores (concentrar ondas de radio o luz en un punto)
La forma que se obtiene al girar una parábola alrededor de su eje (un paraboloide) tiene una propiedad especial: las ondas de radio o la luz que llegan paralelas al eje se reúnen todas en un punto, el foco.
Las antenas parabólicas de televisión por satélite y los radiotelescopios lo aprovechan para captar ondas de radio débiles. Las linternas y los faros de los coches lo usan al revés, para lanzar la luz en un haz recto.
La fuerza del viento crece con el cuadrado de su velocidad (temporales y edificios)
La fuerza con que el viento empuja un objeto (la presión del viento) es aproximadamente proporcional al cuadrado de la velocidad del viento. Si la velocidad se duplica, la fuerza se multiplica por unas cuatro. Por eso los daños aumentan tan deprisa cuando los vientos de un temporal se vuelven solo un poco más fuertes.
Al diseñar edificios y puentes, los ingenieros usan esta relación cuadrática para estimar la presión del viento a partir de la velocidad esperada y decidir qué resistencia debe tener la estructura.
Fórmulas y gráficas
La función cuadrática \(y = ax^{2}\)
Gráfica
Notación matemática
(la notación habitual)
En palabras
(los símbolos sustituidos por palabras)
\(y\)
\(=\)
\(a\)
\(\times\)
\(x^{2}\)
③
valor de \(y\)
\(=\)
②
\(a\): coeficiente
\(\times\)
①
\(x^{2}\): \(x\) al cuadrado
La fórmula en palabras
①
Toma
\(x^{2}\): el valor de \(x\) al cuadrado
②
multiplícalo por
\(a\): coeficiente
③
y obtienes el
valor de \(y\)
Un ejemplo sencillo
En \(y = 2x^{2}\), el valor de \(y\) cuando \(x = 3\) es
valor de \(y\)
\(=\)
coeficiente (2)
\(\times\)
3 al cuadrado (9)
\(y = 2 \times 3^{2} = 2 \times 9 = 18\)
La idea clave
\(y = ax^{2}\) es una función en la que «y es proporcional al cuadrado de x». Es la proporcionalidad directa \(y = ax\) con \(x\) sustituida por \(x^{2}\), de modo que \(a\) también se puede llamar constante de proporcionalidad.
La gráfica es una curva suave (una parábola) con su vértice en el origen (0 ; 0). Si \(a > 0\), se abre hacia arriba; si \(a < 0\), se abre hacia abajo. Cuanto mayor es el valor absoluto de \(a\), más estrecha (más empinada) es la parábola.
Al calcular, recuerda el orden: primero el cuadrado y después la multiplicación. Para elevar al cuadrado un número negativo, ponlo entre paréntesis, como en \(\left(-3\right)^{2} = 9\).
Recorrido de y (cuando el dominio incluye \(0\), con \(a > 0\))
Gráfica
Notación matemática
(la notación habitual)
\(0\)
\(\le\)
\(y\)
\(\le\)
\(am^{2}\)
En palabras
(los símbolos sustituidos por palabras)
②
\(0\): coordenada \(y\) del vértice (mínimo)
\(\le\)
③
\(y\): valores de \(y\) en el dominio
\(\le\)
①
\(am^{2}\): valor en el extremo \(m\) más alejado de \(0\) (máximo)
La fórmula en palabras
①
Sea \(m\) el extremo del dominio, \(p\) o \(q\), más alejado de \(0\) (el de mayor valor absoluto). El máximo es
\(am^{2}\): valor en el extremo \(m\) más alejado de \(0\)
②
el mínimo no es el valor de un extremo, sino
\(0\): coordenada \(y\) del vértice
③
así que
\(y\): valores de \(y\) en el dominio
son mayores o iguales que \(0\) y menores o iguales que \(am^{2}\)
Un ejemplo sencillo
Para \(y = x^{2}\) con el dominio \(-1 \le x \le 2\) (el extremo más alejado de \(0\) es \(m = 2\))
coordenada \(y\) del vértice (0)
\(\le\)
valor de \(y\)
\(\le\)
valor en \(x = 2\) (4)
\(x = -1 \Rightarrow y = 1, \quad x = 0 \Rightarrow y = 0, \quad x = 2 \Rightarrow y = 4\)
\(0 \le y \le 4\)
La idea clave
No halles el recorrido de y solo sustituyendo los valores de x en los extremos. Lo correcto es imaginar la parte de la parábola que corresponde al dominio (la parte en la que \(p \le x \le q\)) y leer sus valores mínimo y máximo de y.
Cuando el dominio incluye \(x = 0\) (el vértice), la gráfica baja hasta el vértice (0 ; 0) y vuelve a subir, de modo que el mínimo es \(0\), no el valor de un extremo. Con el dominio del ejemplo, \(-1 \le x \le 2\), un error clásico es fijarse solo en los valores de los extremos, \(1\) y \(4\), y responder «\(1 \le y \le 4\)».
Cuando el dominio no incluye el \(0\), la gráfica solo crece o solo decrece en ese intervalo, así que los valores de los extremos son el mínimo y el máximo.
Cuando los dos extremos del dominio tienen el mismo valor absoluto (por ejemplo, \(-2 \le x \le 2\)), \(am^{2}\) es igual en los dos, así que el máximo se alcanza en ambos extremos, \(x = \pm 2\).
Cuando \(a < 0\) (la parábola se abre hacia abajo), todo se invierte: el máximo es \(0\) en el vértice y el mínimo es \(am^{2}\).
Tasa de variación media (cuando \(x\) pasa de \(p\) a \(q\))
Gráfica
Notación matemática
(la notación habitual)
\(\dfrac{\Delta y}{\Delta x}\)
\(=\)
\(aq^{2} - ap^{2}\)
\(\div\)
\(q - p\)
En palabras
(los símbolos sustituidos por palabras)
③
tasa de variación media
\(=\)
①
\(\Delta y\): incremento de \(y\) (la \(y\) final menos la \(y\) inicial)
\(\div\)
②
\(\Delta x\): incremento de \(x\) (la \(x\) final menos la \(x\) inicial)
La fórmula en palabras
①
Toma
\(\Delta y\): incremento de \(y\) (la \(y\) final menos la \(y\) inicial)
②
divídelo entre
\(\Delta x\): incremento de \(x\) (la \(x\) final menos la \(x\) inicial)
③
y obtienes la
tasa de variación media
Un ejemplo sencillo
Para \(y = 2x^{2}\) cuando x pasa de \(1\) a \(3\) (\(y\) pasa de \(2\) a \(18\))
tasa de variación media
\(=\)
incremento de y (18 − 2 = 16)
\(\div\)
incremento de x (3 − 1 = 2)
\(\dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{18 - 2}{3 - 1} = \dfrac{16}{2} = 8\)
La idea clave
La tasa de variación media se calcula igual que en una función afín: incremento de y ÷ incremento de x. Pero hay una gran diferencia. La tasa de variación de una función afín \(y = ax + b\) es la pendiente \(a\) se mida donde se mida, mientras que la tasa de variación media de \(y = ax^{2}\) no es constante: depende de dónde empieza x y dónde termina.
En la gráfica, la tasa de variación media es la pendiente de la recta que pasa por los dos puntos (una recta secante). Una parábola es una curva cuya inclinación cambia de un lugar a otro, así que, al cambiar los dos puntos, cambia también la pendiente de la recta.
Fórmula rápida para la tasa de variación media de \(y = ax^{2}\): \(a(p+q)\)
Notación matemática
(la notación habitual)
En palabras
(los símbolos sustituidos por palabras)
\(\dfrac{\Delta y}{\Delta x}\)
\(=\)
\(a\)
\(\times\)
\((p + q)\)
③
tasa de variación media
\(=\)
②
\(a\): coeficiente
\(\times\)
①
\(p + q\): \(x\) inicial + \(x\) final
La fórmula en palabras
①
Toma
\(p + q\): la \(x\) inicial más la \(x\) final
②
multiplícalo por
\(a\): coeficiente
③
y obtienes la
tasa de variación media
Un ejemplo sencillo
Para \(y = 2x^{2}\) cuando x pasa de \(1\) a \(3\)
tasa de variación media
\(=\)
coeficiente (2)
\(\times\)
suma de 1 y 3 (4)
\(2 \times (1 + 3) = 2 \times 4 = 8\)
La idea clave
Esta fórmula es un atajo que solo funciona para \(y = ax^{2}\) (vértice en el origen). El incremento de y, \(aq^{2} - ap^{2}\), se factoriza como \(a(q + p)(q - p)\), así que al dividir entre el incremento de x, \(q - p\), solo queda \(a(p + q)\).
Calcular con la definición (\(\Delta y \div \Delta x\)) da siempre el mismo valor. Conviene entender primero el significado con la definición y usar el atajo para comprobar el resultado o ahorrar tiempo. Para la forma general \(y = ax^{2} + bx + c\), el atajo pasa a ser \(a(p+q)+b\).
La gráfica de la función cuadrática \(y = ax^{2}\) es una parábola con su vértice en el origen (0 ; 0). No halles el recorrido de y solo con los valores de los extremos; fíjate en la parte de la gráfica que corresponde al dominio. Cuando el dominio incluye \(x = 0\), el mínimo (el máximo si \(a < 0\)) es \(0\) en el vértice. A diferencia de una función afín, la tasa de variación media no es constante; cuando \(x\) pasa de \(p\) a \(q\), vale \(a(p+q)\).
Símbolos y términos
Símbolos
| \(a\) | a | El coeficiente: el número que multiplica a \(x^{2}\). Decide hacia dónde se abre la gráfica (hacia arriba si \(a > 0\), hacia abajo si \(a < 0\)) y lo estrecha que es. Por costumbre, las letras del principio del alfabeto, \(a,\ b,\ c\), representan números fijos. |
| \(x,\ y\) | equis, i griega | Variables: letras que representan números que pueden tomar muchos valores. Por costumbre, las letras del final del alfabeto, \(x,\ y,\ z\), representan números desconocidos o que cambian. En esta página, al elegir \(x\) queda determinado \(y\). |
| \(p,\ q\) | pe, cu | Los dos extremos del intervalo de x: los extremos izquierdo y derecho del dominio en el modo de recorrido, y los valores inicial y final de x en el modo de tasa de variación. En esta página, siempre \(p < q\) (p es el menor). |
| \(m\) | eme | Una letra que se usa en esta página para explicar el recorrido: el extremo del dominio, \(p\) o \(q\), más alejado de \(0\) (el de mayor valor absoluto). El máximo (el mínimo si \(a < 0\)) se alcanza en este extremo. Cuando los dos extremos tienen el mismo valor absoluto, los dos dan el mismo valor. |
| \(\Delta x,\ \Delta y\) | delta equis, delta i griega | El incremento de x y el incremento de y. \(\Delta\) (delta) es la letra griega que corresponde a la D, la inicial de «diferencia», y representa «valor después del cambio − valor antes». |
| \(\le\) | menor o igual que | Un signo de desigualdad que incluye el valor del extremo. \(-1 \le x \le 3\) significa «x es mayor o igual que −1 y menor o igual que 3», así que se incluyen tanto −1 como 3. En algunos países se escribe con dos rayas, \(\leqq\), con el mismo significado. |
| \(x^{2}\) | x al cuadrado | \(x\) multiplicada por sí misma (\(x^{2} = x \times x\)). El pequeño 2 de arriba a la derecha (el exponente) indica cuántas veces se usa \(x\) como factor. Para elevar al cuadrado un número negativo, usa paréntesis, como en \(\left(-3\right)^{2} = 9\). |
Términos
| función | Cuando cada valor de x da exactamente un valor de y, decimos que «y es función de x». \(y = ax^{2}\) también es una función: eliges x y queda determinado un único y. |
| función cuadrática | Una función en la que y se expresa con una expresión de grado 2 en x. La forma más sencilla es \(y = ax^{2}\), con su vértice en el origen; la forma general \(y = ax^{2} + bx + c\) permite que el vértice se aleje del origen. |
| coeficiente | El número que multiplica a una variable, como la \(a\) de \(y = ax^{2}\). Como \(y = ax^{2}\) dice que «y es proporcional al cuadrado de x», esta \(a\) también se llama constante de proporcionalidad, igual que en la proporcionalidad directa \(y = ax\). |
| parábola | La curva suave y simétrica que es la gráfica de \(y = ax^{2}\). Tiene la misma forma que la trayectoria de un objeto lanzado en diagonal. |
| vértice | El punto de giro de una parábola. El vértice de \(y = ax^{2}\) es el origen (0 ; 0); es el punto más bajo de la gráfica si \(a > 0\) y el más alto si \(a < 0\). |
| origen | El centro del plano de coordenadas, el punto (0 ; 0), donde se cruzan el eje x y el eje y. Se llama origen de coordenadas y se designa con \(O\). |
| dominio y recorrido | El conjunto de valores que puede tomar una variable, escrito con desigualdades como \(-1 \le x \le 3\). El dominio es el conjunto de valores de x; el recorrido es el conjunto de valores que toma y en ese dominio. |
| tasa de variación media | El incremento de y dividido entre el incremento de x (\(\Delta y \div \Delta x\)). Indica cuánto aumenta y, de media, cada vez que x aumenta 1. Es constante en una función afín (la pendiente a), pero en una función cuadrática depende del intervalo. |
| incremento de x, incremento de y | La cantidad de cambio, calculada como «valor después − valor antes». Si el valor baja, el incremento es negativo (por ejemplo, pasar de 18 a 2 es un incremento de −16). |
| se abre hacia arriba | Cuando \(a > 0\), la parábola tiene forma de valle. En bachillerato esto se describe con la concavidad; como los libros usan convenciones opuestas para «cóncava» y «convexa», aquí decimos simplemente «hacia arriba». |
| se abre hacia abajo | Cuando \(a < 0\), la parábola tiene forma de colina. En bachillerato esto se describe con la concavidad; como los libros usan convenciones opuestas para «cóncava» y «convexa», aquí decimos simplemente «hacia abajo». |
| función afín | Una función de la forma \(y = ax + b\) (su gráfica es una recta). Su mayor diferencia con una función cuadrática es que su tasa de variación es la misma en todas partes. En muchos libros también se llama función lineal. |
Qué conviene saber de antemano
Esto es lo que te ayuda a usar el cálculo de esta página entendiendo de verdad lo que haces, y no solo pulsando el botón.
Si te atascas, repasar estos temas es el camino más rápido para avanzar.
| Números positivos y negativos (1.º de ESO, 12-13 años) |
|
| Proporcionalidad directa (1.º de ESO, 12-13 años) |
|
| Coordenadas y gráficas (1.º de ESO, 12-13 años) |
|
| Desigualdades e intervalos (1.º y 2.º de ESO, 12-14 años) |
|
| Funciones afines y tasa de variación (2.º de ESO, 13-14 años) |
|
Cómo calcularlo con Excel
Copia toda la tabla de abajo y pégala en la celda A1 de Excel. Funciona tal cual.
Tabla para calcular el recorrido de y para un dominio de x
| Coeficiente a | 2 |
| Extremo izquierdo del dominio p | -1 |
| Extremo derecho del dominio q | 3 |
| y en el extremo izquierdo | =B1*B2^2 |
| y en el extremo derecho | =B1*B3^2 |
| Mínimo de y | =SI(Y(B2<=0;B3>=0);MIN(0;B4;B5);MIN(B4;B5)) |
| Máximo de y | =SI(Y(B2<=0;B3>=0);MAX(0;B4;B5);MAX(B4;B5)) |
Tabla para calcular la tasa de variación media
| Coeficiente a | 2 |
| x inicial (p) | 1 |
| x final (q) | 3 |
| y inicial | =B1*B2^2 |
| y final | =B1*B3^2 |
| Tasa de variación media (Δy÷Δx) | =(B5-B4)/(B3-B2) |
| Comprobación con a(p+q) | =B1*(B2+B3) |
Tabla para calcular y para un valor de x
| Coeficiente a | 2 |
| Valor de x | 3 |
| Valor de y | =B1*B2^2 |
Al pegar, las filas de arriba (el coeficiente y el intervalo de x) son tus datos de entrada y las filas de abajo se calculan solas. «^» eleva a una potencia (^2 es al cuadrado) y «*» es la multiplicación.
La primera tabla es y = 2x² con −1 ≤ x ≤ 3. Los valores de y en los extremos izquierdo y derecho son 2 y 18, y se obtienen el mínimo 0 y el máximo 18 (el recorrido de y es 0 ≤ y ≤ 18). La parte SI(Y(B2<=0;B3>=0); …) comprueba si el dominio incluye el 0; si lo incluye, el 0 del vértice también es candidato a mínimo o máximo. Funciona tal cual cuando a es negativo.
La segunda tabla es y = 2x² cuando x pasa de 1 a 3. La celda de la definición (Δy÷Δx) y la celda del atajo a(p+q) dan las dos 8.
La tercera tabla sustituye x = 3 en y = 2x², y da 18.
La primera tabla es y = 2x² con −1 ≤ x ≤ 3. Los valores de y en los extremos izquierdo y derecho son 2 y 18, y se obtienen el mínimo 0 y el máximo 18 (el recorrido de y es 0 ≤ y ≤ 18). La parte SI(Y(B2<=0;B3>=0); …) comprueba si el dominio incluye el 0; si lo incluye, el 0 del vértice también es candidato a mínimo o máximo. Funciona tal cual cuando a es negativo.
La segunda tabla es y = 2x² cuando x pasa de 1 a 3. La celda de la definición (Δy÷Δx) y la celda del atajo a(p+q) dan las dos 8.
La tercera tabla sustituye x = 3 en y = 2x², y da 18.
Cómo calcularlo con Hojas de cálculo de Google
Copia toda la tabla de abajo y pégala en la celda A1 de Hojas de cálculo de Google. Funciona tal cual.
Tabla para calcular el recorrido de y para un dominio de x
| Coeficiente a | 2 |
| Extremo izquierdo del dominio p | -1 |
| Extremo derecho del dominio q | 3 |
| y en el extremo izquierdo | =B1*B2^2 |
| y en el extremo derecho | =B1*B3^2 |
| Mínimo de y | =SI(Y(B2<=0;B3>=0);MIN(0;B4;B5);MIN(B4;B5)) |
| Máximo de y | =SI(Y(B2<=0;B3>=0);MAX(0;B4;B5);MAX(B4;B5)) |
Tabla para calcular la tasa de variación media
| Coeficiente a | 2 |
| x inicial (p) | 1 |
| x final (q) | 3 |
| y inicial | =B1*B2^2 |
| y final | =B1*B3^2 |
| Tasa de variación media (Δy÷Δx) | =(B5-B4)/(B3-B2) |
| Comprobación con a(p+q) | =B1*(B2+B3) |
Tabla para calcular y para un valor de x
| Coeficiente a | 2 |
| Valor de x | 3 |
| Valor de y | =B1*B2^2 |
Sirven las mismas fórmulas que en Excel. Copia toda la tabla, pégala en la celda A1 y sustituye el coeficiente y el intervalo de x por tus propios números.
Cómo calcularlo con Python
from fractions import Fraction
coefficient_a = Fraction(2) # coeficiente a (una fracción como 1/2 se escribe Fraction(1, 2))
left_end = Fraction(-1) # extremo izquierdo del dominio p (en la tasa de variación, la x inicial)
right_end = Fraction(3) # extremo derecho del dominio q (en la tasa de variación, la x final)
y_left = coefficient_a * left_end ** 2
y_right = coefficient_a * right_end ** 2
# Recorrido de y: se distingue según si el dominio incluye el 0 (el vértice)
if left_end <= 0 <= right_end:
candidates = [Fraction(0), y_left, y_right]
else:
candidates = [y_left, y_right]
y_min = min(candidates)
y_max = max(candidates)
print(f"Recorrido de y: {y_min} <= y <= {y_max}")
# Tasa de variación media (cuando x pasa de p a q)
rate = (y_right - y_left) / (right_end - left_end)
print(f"Tasa de variación media (definición Δy÷Δx): {rate}")
print(f"Tasa de variación media (atajo a(p+q)): {coefficient_a * (left_end + right_end)}")
El módulo fractions de la biblioteca estándar permite calcular con fracciones exactas, sin errores de redondeo decimal. Este ejemplo es y = 2x² con el dominio −1 ≤ x ≤ 3. Al ejecutarlo, muestra el recorrido de y, «0 <= y <= 18», y la tasa de variación media cuando x pasa de −1 a 3, «4» (el mismo valor con la definición y con el atajo). Cambia el coeficiente y el intervalo, y vuelve a ejecutarlo.
La fórmula en LaTeX y otras notaciones matemáticas (para copiar)
La función cuadrática \(y = ax^{2}\)
y = ax²
y = ax^{2}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>y</mi>
<mo>=</mo>
<mi>a</mi>
<msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup>
</mrow>
</math>
y = a x^2
a x^2
y := a*x^2;
y = a*x^2;
y = ax^2
Recorrido de y (cuando el dominio incluye \(0\), con \(a > 0\))
0 ≤ y ≤ am²
0 \le y \le am^{2}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mn>0</mn>
<mo>≤</mo>
<mi>y</mi>
<mo>≤</mo>
<mi>a</mi>
<msup><mi>m</mi><mn>2</mn></msup>
</mrow>
</math>
0 <= y <= a m^2
{MinValue[{a x^2, p <= x <= q}, x], MaxValue[{a x^2, p <= x <= q}, x]}
minimize(a*x^2, x = p .. q); maximize(a*x^2, x = p .. q);
m = max(abs(p), abs(q)); ymin = 0; ymax = a*m^2;
0 ≤ y ≤ am^2
Tasa de variación media (cuando \(x\) pasa de \(p\) a \(q\))
Δy/Δx = (aq² − ap²)/(q − p)
\dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{aq^{2} - ap^{2}}{q - p}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mfrac>
<mrow><mi>Δ</mi><mi>y</mi></mrow>
<mrow><mi>Δ</mi><mi>x</mi></mrow>
</mfrac>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow>
<mi>a</mi><msup><mi>q</mi><mn>2</mn></msup>
<mo>−</mo>
<mi>a</mi><msup><mi>p</mi><mn>2</mn></msup>
</mrow>
<mrow><mi>q</mi><mo>−</mo><mi>p</mi></mrow>
</mfrac>
</mrow>
</math>
(Delta y)/(Delta x) = (a q^2 - a p^2)/(q - p)
(a q^2 - a p^2)/(q - p)
rate := (a*q^2 - a*p^2)/(q - p);
rate = (a*q^2 - a*p^2)/(q - p);
Δy/Δx = (aq^2 − ap^2)/(q − p)
Fórmula rápida para la tasa de variación media de \(y = ax^{2}\): \(a(p+q)\)
Δy/Δx = a(p + q)
\dfrac{\Delta y}{\Delta x} = a(p + q)
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mfrac>
<mrow><mi>Δ</mi><mi>y</mi></mrow>
<mrow><mi>Δ</mi><mi>x</mi></mrow>
</mfrac>
<mo>=</mo>
<mi>a</mi>
<mo>(</mo>
<mi>p</mi>
<mo>+</mo>
<mi>q</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
</math>
(Delta y)/(Delta x) = a(p + q)
a (p + q)
rate := a*(p + q);
rate = a*(p + q);
Δy/Δx = a(p + q)
Cómo pedirle a ChatGPT que haga el cálculo
Eres un asistente de cálculo matemático para funciones. Haz el siguiente cálculo ejecutando realmente código de Python y basa tu respuesta solo en los números del resultado de la ejecución (no respondas con cálculo mental ni a ojo). Para la función cuadrática y = 2x², halla estas dos cosas. 1. El recorrido de y cuando el dominio de x es −1 ≤ x ≤ 3 (explica también por qué importa si el dominio incluye el 0) 2. La tasa de variación media cuando x pasa de 1 a 3 (muestra los pasos de incremento de y ÷ incremento de x y usa también la fórmula rápida a(p+q)) En Python, usa el módulo fractions de la biblioteca estándar para calcular con exactitud. Muestra las fórmulas que has usado y los números del resultado de la ejecución.
Cómo usar
-
1Introduce los númerosEscribe en los campos los números con los que quieres calcular
-
2CalculaHaz clic en el botón «Calcular»
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