Calculadora de triángulos (resolver lados, ángulos, área y más con los teoremas del seno y del coseno)

Introduce los tres datos que conozcas entre los lados a, b, c y los ángulos A, B, C (en grados). Al menos uno debe ser un lado. El lado a está enfrente del ángulo A, el lado b enfrente del ángulo B y el lado c enfrente del ángulo C.

Lado a (ángulo opuesto A)

Ángulo A (grados)

Lado b (ángulo opuesto B)

Ángulo B (grados)

Lado c (ángulo opuesto C)

Ángulo C (grados)

Rellena exactamente tres campos, y al menos uno de ellos debe ser un lado. Introduce los ángulos en grados (°), por ejemplo 90 para un ángulo recto. Deja vacíos los demás campos.

Resultado y figura

Introduce en los campos de la izquierda los tres datos que conozcas entre los tres lados y los tres ángulos (al menos uno debe ser un lado) y pulsa «Calcular». El resultado aparecerá aquí.

Índice

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Qué puedes hacer en esta página
¿Para qué sirve este cálculo?
Cómo usar
Fórmulas y figuras
Símbolos y términos
- Símbolos
- Términos
Qué conviene saber de antemano
Cómo calcularlo con Excel
Cómo calcularlo con Hojas de cálculo de Google
Cómo calcularlo con Python
La fórmula en LaTeX y otras notaciones matemáticas (para copiar)
Cómo pedirle a ChatGPT que haga el cálculo
Las ventajas de DataChef
Funciones relacionadas
Todas las calculadoras de NumberChef

Qué puedes hacer en esta página

Introduce tres de los lados \(a, b, c\) y de los ángulos \(A, B, C\) que conozcas (al menos uno debe ser un lado) y obtienes todos los demás lados y ángulos
También calcula de una vez el área, el perímetro, el semiperímetro, las tres alturas, las tres medianas y los radios de las circunferencias inscrita y circunscrita
Te dice automáticamente de qué tipo es el triángulo: equilátero, isósceles o escaleno, y acutángulo, rectángulo u obtusángulo
Cuando dos lados y un ángulo opuesto a uno de ellos admiten dos triángulos distintos, muestra las dos soluciones (el conocido «caso ambiguo»)
En esta misma página encontrarás una explicación sencilla del teorema del coseno, del teorema del seno y de la fórmula de Herón, y fórmulas para copiar y pegar en Excel, Hojas de cálculo de Google y Python

Los lados y los ángulos se corresponden por la letra: el lado a está enfrente del ángulo A (es su lado opuesto), y así con los demás, con minúscula para los lados y mayúscula para los ángulos. Introduce los ángulos en grados (°).

¿Para qué sirve este cálculo?

Topografía y cartografía (medir la distancia a un lugar al que no puedes llegar)

La distancia a un punto de referencia al otro lado de un río se puede calcular sin tender una cinta métrica sobre el agua. Marca en tu orilla una base de 100 m y mide desde cada extremo el ángulo hasta el punto de referencia. Así tienes un triángulo con un lado (100 m) y dos ángulos. Si los ángulos son 50° y 60°, el tercer ángulo mide 70° y el teorema del seno da la distancia desde uno de los extremos hasta el punto: \(100 \times \sin 50^\circ \div \sin 70^\circ \approx 81{,}5\) m.
Las estaciones totales que usan los topógrafos, y la triangulación sobre la que se construyó la cartografía, consisten en repetir justo este cálculo.

Medir la superficie de una parcela o un campo triangular (fórmula de Herón)

En una parcela triangular puedes hallar el área solo con una cinta métrica, sin ningún instrumento para medir ángulos. Si los tres lados miden 30 m, 40 m y 50 m, el semiperímetro es 60 m y el área es \(\sqrt{60 \times 30 \times 20 \times 10} = 600\) m².
«Cualquiera puede medir longitudes con precisión»: por eso la fórmula de Herón se ha usado tanto en la práctica, y sigue siendo útil para comprobar a ojo la superficie de un terreno agrícola o de un solar.

Construcción y bricolaje (calcular antes la longitud y el ángulo de las piezas inclinadas)

Los edificios están llenos de piezas inclinadas: faldones de cubierta, escaleras, tornapuntas y riostras, etc. En una cubierta a un agua que abarca 3 m en horizontal y sube 2 m, la longitud del faldón es \(\sqrt{3^2 + 2^2} = \sqrt{13} \approx 3{,}61\) m (con un ángulo recto, el término de corrección del teorema del coseno desaparece y queda el teorema de Pitágoras).
Si calculas las longitudes y los ángulos antes de cortar la madera, desperdicias menos material y repites menos trabajo en la obra.

Brazos robóticos y diseño de máquinas (dos eslabones y el ángulo de la articulación)

El brazo robótico de una fábrica es en sí un triángulo: dos eslabones y el ángulo de la articulación que hay entre ellos. Con eslabones de 50 cm y 30 cm y la articulación abierta a 120°, el teorema del coseno da la distancia de la base a la mano: \(\sqrt{50^2 + 30^2 - 2 \times 50 \times 30 \times \cos 120^\circ} = 70\) cm.
Hacer el camino inverso, hallar los ángulos de las articulaciones que llevan la mano a una posición dada (cinemática inversa), también usa como pieza básica el teorema del coseno despejado.

Astronomía (medir la distancia a las estrellas con triángulos)

La distancia a una estrella se mide con un triángulo larguísimo y muy estrecho, cuya base es la distancia que recorre la Tierra en medio año de su órbita alrededor del Sol (es el paralaje estelar). Hallar la distancia a partir de la base y del pequeño cambio de ángulo es la misma idea que el cálculo de esta página, «hallar el resto a partir de un lado y unos ángulos».
«Si sabes resolver un triángulo, puedes hallar la distancia a un lugar al que no puedes ir.» Esto sirve desde la topografía de un terreno hasta el espacio exterior, y es uno de los usos más potentes de la geometría.

Fórmulas y figuras

Suma de los ángulos de un triángulo

Figura

Notación matemática (la notación habitual)

\(A\) \(+\) \(B\) \(+\) \(C\) \(=\) \(180^\circ\)

En palabras (los símbolos sustituidos por palabras)

① \(A\): ángulo A \(+\) ② \(B\): ángulo B \(+\) ③ \(C\): ángulo C \(=\) ④ \(180^\circ\) (siempre)

La fórmula en palabras

① Suma el ángulo \(A\)

② más el ángulo \(B\)

③ más el ángulo \(C\)

④ y siempre obtienes \(180^\circ\)

Un ejemplo sencillo

En un triángulo con dos ángulos de 50° y 60°, el tercer ángulo es

tercer ángulo \(C\) \(=\) \(180^\circ\) \(-\) ángulo \(A\) (50°) \(-\) ángulo \(B\) (60°)

\(180^\circ - 50^\circ - 60^\circ = 70^\circ\)

La idea clave

En cualquier triángulo, sea cual sea su forma, los tres ángulos suman 180°. Por eso, cuando conoces dos ángulos, el tercero es una simple resta. Con los datos «un lado y dos ángulos», esta calculadora usa primero esta fórmula para hallar el tercer ángulo.

Teorema del coseno (tercer lado a partir de dos lados y el ángulo comprendido)

Figura

Notación matemática (la notación habitual)

\(c^{2}\) \(=\) \(a^{2}\) \(+\) \(b^{2}\) \(-\) \(2ab\cos C\)

En palabras (los símbolos sustituidos por palabras)

④ \(c^{2}\): el tercer lado \(c\), al cuadrado \(=\) ① \(a^{2}\): el lado conocido \(a\), al cuadrado \(+\) ② \(b^{2}\): el lado conocido \(b\), al cuadrado \(-\) ③ \(2ab\cos C\): término de corrección

La fórmula en palabras

① Toma el lado conocido \(a\), al cuadrado

② suma el lado conocido \(b\), al cuadrado

③ resta el término de corrección \(2ab\cos C\), que depende de lo abierto que sea el ángulo comprendido

④ y obtienes el tercer lado \(c\), al cuadrado (al final se calcula la raíz cuadrada)

Un ejemplo sencillo

Con dos lados de 5 y 7 y un ángulo comprendido de 60° (cos 60° = 0,5), el tercer lado es

tercer lado \(c\), al cuadrado \(=\) lado \(a\) al cuadrado (5²) \(+\) lado \(b\) al cuadrado (7²) \(-\) término de corrección (2×5×7×0,5)

\(c^{2} = 5^{2} + 7^{2} - 2 \times 5 \times 7 \times \cos 60^\circ = 25 + 49 - 35 = 39\)

\(c = \sqrt{39} \approx 6{,}245\)

La idea clave

\(\cos C\) (coseno) expresa lo abierto que es el ángulo comprendido con un número entre −1 y 1. Cuando el ángulo mide exactamente 90°, \(\cos 90^\circ = 0\), el término de corrección desaparece y queda el teorema de Pitágoras \(c^2 = a^2 + b^2\). Es decir, el teorema del coseno es el teorema de Pitágoras extendido a los triángulos sin ángulo recto. Cuando conoces los tres lados y quieres un ángulo, se usa la forma despejada \(A = \arccos\bigl(\frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}\bigr)\) (la opción de «tres lados» de esta calculadora usa esta forma).

Teorema del seno (el puente entre los lados y sus ángulos opuestos)

Figura

Notación matemática (la notación habitual)

\(\dfrac{a}{\sin A}\) \(=\) \(\dfrac{b}{\sin B}\) \(=\) \(\dfrac{c}{\sin C}\) \(=\) \(2R\)

En palabras (los símbolos sustituidos por palabras)

① \(\dfrac{a}{\sin A}\): lado \(a\) ÷ seno de su ángulo opuesto \(=\) ② \(\dfrac{b}{\sin B}\): lado \(b\) ÷ seno de su ángulo opuesto \(=\) ③ \(\dfrac{c}{\sin C}\): lado \(c\) ÷ seno de su ángulo opuesto \(=\) ④ \(2R\): diámetro de la circunferencia circunscrita

La fórmula en palabras

① El lado \(a\) dividido entre el seno de su ángulo opuesto \(\dfrac{a}{\sin A}\)

② el lado \(b\) dividido entre el seno de su ángulo opuesto \(\dfrac{b}{\sin B}\)

③ y el lado \(c\) dividido entre el seno de su ángulo opuesto \(\dfrac{c}{\sin C}\) valen lo mismo,

④ y ese valor es igual al diámetro de la circunferencia circunscrita \(2R\)

Un ejemplo sencillo

Con el lado a = 6, su ángulo opuesto A = 45° y el ángulo B = 60°, el lado b es

lado \(b\) \(=\) lado \(a\) (6) \(\times\) seno del ángulo opuesto \(\sin 60^\circ\) \(\div\) seno del ángulo opuesto \(\sin 45^\circ\)

\(b = \dfrac{6 \times \sin 60^\circ}{\sin 45^\circ} \approx 7{,}348\)

La idea clave

«Lado ÷ seno de su ángulo opuesto» da el mismo valor para los tres pares. Así que, si conoces un par (un lado y su ángulo opuesto), lo puedes usar como puente para ir hallando los demás lados y ángulos uno tras otro. La opción de «un lado y dos ángulos» de esta calculadora usa esta fórmula. Además, ese valor común es igual al diámetro \(2R\) de la circunferencia que pasa por los tres vértices del triángulo (la circunferencia circunscrita). El teorema del seno completo incluye también este hecho.

Área (dos lados y el ángulo comprendido)

Figura

Notación matemática (la notación habitual)

\(S\) \(=\) \(\dfrac{1}{2}\) \(\times\) \(a\) \(\times\) \(b\) \(\times\) \(\sin C\)

En palabras (los símbolos sustituidos por palabras)

⑤ \(S\): área \(=\) ④ un medio \(\times\) ① \(a\): lado conocido \(\times\) ② \(b\): lado conocido \(\times\) ③ \(\sin C\): seno del ángulo comprendido

La fórmula en palabras

① Multiplica el lado conocido \(a\)

② por el lado conocido \(b\)

③ y por el seno del ángulo comprendido \(\sin C\)

④ después toma la mitad de ese producto

⑤ y obtienes el área \(S\)

Un ejemplo sencillo

El área de un triángulo con dos lados de 8 y 5 y un ángulo comprendido de 30° (sen 30° = 0,5) es

área \(S\) \(=\) un medio \(\times\) lado \(a\) (8) \(\times\) lado \(b\) (5) \(\times\) seno del ángulo comprendido (0,5)

\(S = \dfrac{1}{2} \times 8 \times 5 \times \sin 30^\circ = \dfrac{1}{2} \times 8 \times 5 \times 0{,}5 = 10\)

La idea clave

Es la conocida «base × altura ÷ 2» de Primaria, con la altura sustituida por \(b\sin C\) (la altura calculada a partir del lado b y del ángulo comprendido). Cuando el ángulo comprendido es de 90°, \(\sin 90^\circ = 1\), así que la altura es el propio lado b y el área es la mayor posible.

Fórmula de Herón (área a partir de los tres lados)

Figura

Notación matemática (la notación habitual)

\(s\) \(=\) \(\dfrac{a+b+c}{2}\)

\(S\) \(=\) \(\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\)

En palabras (los símbolos sustituidos por palabras)

② \(s\): semiperímetro \(=\) ① suma de los tres lados ÷ 2

④ \(S\): área \(=\) ③ raíz cuadrada del producto de \(s\) por «\(s\) − cada lado» (tres factores)

La fórmula en palabras

① Suma los tres lados \(a, b, c\) y divide entre 2. \(\dfrac{a+b+c}{2}\)

② Ese valor es el semiperímetro \(s\)

③ A continuación, multiplica \(s\) por los tres números que salen de restar a \(s\) cada lado (\(s-a\), \(s-b\), \(s-c\)) y calcula la raíz cuadrada

④ y el resultado es el área \(S\)

Un ejemplo sencillo

El área de un triángulo de lados 3, 4 y 5 es

semiperímetro \(s\) \(=\) suma de los tres lados (3+4+5) ÷ 2

\(s = \dfrac{3+4+5}{2} = 6\)

\(S = \sqrt{6 \times (6-3) \times (6-4) \times (6-5)} = \sqrt{6 \times 3 \times 2 \times 1} = \sqrt{36} = 6\)

La idea clave

La gran ventaja de la fórmula de Herón es que da el área solo con las longitudes de los tres lados, sin medir ningún ángulo ni ninguna altura. Basta con medir tres lados con una cinta métrica, por eso se ha usado desde siempre para cosas como hallar la superficie de una parcela triangular. El truco es calcular primero el semiperímetro \(s\) (la mitad del perímetro).

Radio de la circunferencia inscrita (inradio)

Figura

Notación matemática (la notación habitual)

En palabras (los símbolos sustituidos por palabras)

\(r\) \(=\) \(S\) \(\div\) \(s\)

③ \(r\): inradio \(=\) ① \(S\): área \(\div\) ② \(s\): semiperímetro

La fórmula en palabras

① Toma el área \(S\)

② divídela entre el semiperímetro \(s\) (la mitad del perímetro)

③ y obtienes el inradio \(r\)

Un ejemplo sencillo

Para el triángulo de lados 3, 4 y 5 (área 6, semiperímetro 6), el inradio es

inradio \(r\) \(=\) área (6) \(\div\) semiperímetro (6)

\(r = 6 \div 6 = 1\)

La idea clave

La circunferencia inscrita (circunferencia inscrita) es la que toca por dentro los tres lados del triángulo. Si divides el triángulo en tres triángulos pequeños desde el centro de esa circunferencia (el incentro), cada uno tiene «base = un lado, altura = r», así que el área total es \(S = \frac{1}{2}r(a+b+c) = rs\). Despejando \(r\) resulta \(r = S \div s\).

Radio de la circunferencia circunscrita (circunradio)

Figura

Notación matemática (la notación habitual)

En palabras (los símbolos sustituidos por palabras)

\(R\) \(=\) \(abc\) \(\div\) \(4S\)

③ \(R\): circunradio \(=\) ① \(abc\): producto de los tres lados \(\div\) ② \(4S\): cuatro veces el área

La fórmula en palabras

① Toma el producto de los tres lados \(abc\)

② divídelo entre cuatro veces el área \(S\)

③ y obtienes el circunradio \(R\)

Un ejemplo sencillo

Para el triángulo de lados 3, 4 y 5 (área 6), el circunradio es

circunradio \(R\) \(=\) producto de los tres lados (3×4×5) \(\div\) cuatro veces el área (4×6)

\(R = \dfrac{3 \times 4 \times 5}{4 \times 6} = \dfrac{60}{24} = 2{,}5\)

La idea clave

La circunferencia circunscrita (circunferencia circunscrita) es la que pasa por los tres vértices del triángulo. Esta fórmula sale de combinar el teorema del seno \(\frac{a}{\sin A} = 2R\) con la fórmula del área \(S = \frac{1}{2}bc\sin A\). El triángulo 3-4-5 del ejemplo es un triángulo rectángulo, así que el centro de su circunferencia circunscrita está justo en el punto medio de la hipotenusa y \(R\) es la mitad de la hipotenusa (\(5 \div 2 = 2{,}5\)). El resultado coincide exactamente.

Un triángulo queda determinado por tres datos (al menos uno de ellos, un lado). Con tres lados, se usa el teorema del coseno despejando el ángulo. Con dos lados y el ángulo comprendido, se usa el teorema del coseno. Con un lado y dos ángulos, se usan la suma de los ángulos y el teorema del seno. Estas tres herramientas dan todos los demás lados y ángulos, y a partir de ahí se obtienen uno tras otro el área, la circunferencia inscrita y la circunferencia circunscrita.

Símbolos y términos

Símbolos

\(a, b, c\)	a, b, c (minúsculas)	Las longitudes de los tres lados del triángulo. Por costumbre, cada lado lleva la minúscula de la letra del ángulo que tiene enfrente (el lado a es el lado opuesto del ángulo A).
\(A, B, C\)	A, B, C (mayúsculas)	Los tres ángulos del triángulo (en grados). Siempre suman 180°.
\(S\)	ese mayúscula	El área del triángulo.
\(s\)	ese minúscula	El semiperímetro, la mitad del perímetro (\(a+b+c\)). Se usa en la fórmula de Herón y en la fórmula del inradio.
\(\sin\theta\)	seno de theta	Una de las razones trigonométricas. En un triángulo rectángulo, es la altura como fracción de la hipotenusa, y sirve para obtener la parte vertical a partir de un ángulo. \(\sin 30^\circ = 0{,}5\) y \(\sin 90^\circ = 1\).
\(\cos\theta\)	coseno de theta	Una de las razones trigonométricas. En un triángulo rectángulo, es la base como fracción de la hipotenusa. \(\cos 60^\circ = 0{,}5\) y \(\cos 90^\circ = 0\). El «coseno» del teorema del coseno es esta función.
\(r\)	ere minúscula	El radio de la circunferencia inscrita (la que toca por dentro los tres lados).
\(R\)	ere mayúscula	El radio de la circunferencia circunscrita (la que pasa por los tres vértices).

Términos

lado opuesto	El lado que está enfrente de un ángulo se llama lado opuesto de ese ángulo. En esta página, el lado a es el lado opuesto del ángulo A, el lado b lo es del ángulo B y el lado c lo es del ángulo C.
ángulo opuesto	El ángulo que está enfrente de un lado se llama ángulo opuesto a ese lado. En esta página, el ángulo A es el ángulo opuesto al lado a, el ángulo B lo es al lado b y el ángulo C lo es al lado c.
suma de los ángulos	La propiedad de que los tres ángulos de un triángulo siempre suman 180°. Si conoces dos ángulos, el tercero se halla restando.
desigualdad triangular	La condición para que tres longitudes formen un triángulo, que la suma de dos lados cualesquiera sea mayor que el tercero. Por ejemplo, 1, 2 y 4 no forman un triángulo, porque 1 + 2 = 3 es menor que 4.
teorema del coseno	La regla \(c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C\) para hallar el tercer lado a partir de dos lados y el ángulo comprendido. Extiende el teorema de Pitágoras a los triángulos sin ángulo recto y, despejada, da un ángulo a partir de los tres lados. Se estudia en 4.º de ESO y 1.º de Bachillerato (15-17 años).
teorema del seno	La regla de que «lado ÷ seno de su ángulo opuesto» es igual en los tres pares y vale el diámetro \(2R\) de la circunferencia circunscrita. Cuando conoces un lado y su ángulo opuesto, sirve de puente hacia los demás lados y ángulos. Se estudia en 4.º de ESO y 1.º de Bachillerato (15-17 años).
fórmula de Herón	Una fórmula que da el área a partir de las longitudes de los tres lados solamente, sin ningún ángulo. Lleva el nombre de Herón de Alejandría, un matemático de la Grecia antigua.
semiperímetro	La mitad del perímetro de un triángulo. Aparece en la fórmula de Herón y en la fórmula del inradio.
circunferencia inscrita	La circunferencia que toca por dentro los tres lados del triángulo. Su centro (el incentro) es el punto donde se cortan las tres bisectrices de los ángulos.
circunferencia circunscrita	La circunferencia que pasa por los tres vértices del triángulo. Su centro (el circuncentro) es el punto donde se cortan las mediatrices de los tres lados.
mediana	El segmento que une un vértice de un triángulo con el punto medio del lado opuesto. Las tres medianas se cortan en un punto (el baricentro).
triángulo acutángulo	Un triángulo cuyo ángulo mayor es menor que 90°. Según sus ángulos, los triángulos se clasifican en acutángulos, rectángulos y obtusángulos.
triángulo rectángulo	Un triángulo cuyo ángulo mayor mide exactamente 90°. Según sus ángulos, los triángulos se clasifican en acutángulos, rectángulos y obtusángulos.
triángulo obtusángulo	Un triángulo cuyo ángulo mayor es mayor que 90°. Según sus ángulos, los triángulos se clasifican en acutángulos, rectángulos y obtusángulos.

Qué conviene saber de antemano

Esto es lo que te ayuda a usar el cálculo de esta página entendiendo lo que haces, y no solo pulsando el botón.
La suma de los ángulos y la fórmula de Herón solo necesitan matemáticas de la ESO. El teorema del coseno y el teorema del seno son de 4.º de ESO y 1.º de Bachillerato.

Ángulos de un triángulo (de 5.º de Primaria a 2.º de ESO, 10-14 años)	Saber que los ángulos de un triángulo suman 180° Conocer las propiedades de los triángulos isósceles y equiláteros (los ángulos opuestos a lados iguales son iguales)
Raíces cuadradas (2.º–3.º de ESO, 13-15 años)	Saber que la raíz cuadrada es el número que, elevado al cuadrado, devuelve el número original, como en \(\sqrt{36} = 6\) Saber estimar un valor como \(\sqrt{39}\), por ejemplo, entre 6 y 7
El teorema de Pitágoras (2.º–3.º de ESO, 13-15 años)	Saber que en un triángulo rectángulo se cumple \(c^2 = a^2 + b^2\) (el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados) Ver el teorema del coseno como este teorema extendido a los triángulos sin ángulo recto
Trigonometría del triángulo rectángulo (3.º–4.º de ESO, 14-16 años)	Saber que el seno y el coseno son razones entre los lados de un triángulo rectángulo Saber usar los valores de los ángulos más habituales, como \(\sin 30^\circ = 0{,}5\), \(\cos 60^\circ = 0{,}5\) y \(\cos 90^\circ = 0\)
Los teoremas del seno y del coseno (4.º de ESO y 1.º de Bachillerato, 15-17 años)	Saber elegir la regla que hay que usar según los tres datos que conozcas (tres lados, dos lados y el ángulo comprendido, un lado y dos ángulos, etc.) Saber que con dos lados y un ángulo opuesto a uno de ellos (el caso ambiguo) puede haber dos triángulos posibles

Cómo calcularlo con Excel

Copia toda la tabla de abajo y pégala en la celda A1 de Excel. Funciona tal cual.

Tabla para hallar el tercer ángulo (suma de los ángulos)

Ángulo A (grados)	50
Ángulo B (grados)	60
Tercer ángulo C (grados)	=180-B1-B2

Tabla para hallar el tercer lado con el teorema del coseno

Lado a	5
Lado b	7
Ángulo comprendido C (grados)	60
Tercer lado c	=RAIZ(B1^2+B2^2-2B1B2*COS(RADIANES(B3)))

Tabla para hallar otro lado con el teorema del seno

Lado a	6
Su ángulo opuesto A (grados)	45
Ángulo B (grados)	60
Lado b	=B1*SENO(RADIANES(B3))/SENO(RADIANES(B2))

Tabla para hallar el área (dos lados y el ángulo comprendido)

Lado a	8
Lado b	5
Ángulo comprendido C (grados)	30
Área S	=B1B2SENO(RADIANES(B3))/2

Tabla para hallar el área (fórmula de Herón)

Lado a	3
Lado b	4
Lado c	5
Semiperímetro s	=(B1+B2+B3)/2
Área S	=RAIZ(B4(B4-B1)(B4-B2)*(B4-B3))

Tabla para hallar el inradio

Área S	6
Semiperímetro s	6
Inradio r	=B1/B2

Tabla para hallar el circunradio

Lado a	3
Lado b	4
Lado c	5
Área S	6
Circunradio R	=B1B2B3/(4*B4)

Al pegar la tabla, las filas de arriba son tus datos de entrada y la fórmula de la última fila se calcula sola.
Las funciones COS y SENO de Excel trabajan con ángulos en radianes, así que se intercala RADIANES para pasar los grados a radianes. RAIZ es la raíz cuadrada.
Por ejemplo, en la segunda tabla, B4 muestra aproximadamente 6,245. Solo tienes que cambiar los números de entrada por los tuyos.

Cómo calcularlo con Hojas de cálculo de Google

Copia toda la tabla de abajo y pégala en la celda A1 de Hojas de cálculo de Google. Funciona tal cual.

Tabla para hallar el tercer ángulo (suma de los ángulos)

Ángulo A (grados)	50
Ángulo B (grados)	60
Tercer ángulo C (grados)	=180-B1-B2

Tabla para hallar el tercer lado con el teorema del coseno

Lado a	5
Lado b	7
Ángulo comprendido C (grados)	60
Tercer lado c	=RAIZ(B1^2+B2^2-2B1B2*COS(RADIANES(B3)))

Tabla para hallar otro lado con el teorema del seno

Lado a	6
Su ángulo opuesto A (grados)	45
Ángulo B (grados)	60
Lado b	=B1*SENO(RADIANES(B3))/SENO(RADIANES(B2))

Tabla para hallar el área (dos lados y el ángulo comprendido)

Lado a	8
Lado b	5
Ángulo comprendido C (grados)	30
Área S	=B1B2SENO(RADIANES(B3))/2

Tabla para hallar el área (fórmula de Herón)

Lado a	3
Lado b	4
Lado c	5
Semiperímetro s	=(B1+B2+B3)/2
Área S	=RAIZ(B4(B4-B1)(B4-B2)*(B4-B3))

Tabla para hallar el inradio

Área S	6
Semiperímetro s	6
Inradio r	=B1/B2

Tabla para hallar el circunradio

Lado a	3
Lado b	4
Lado c	5
Área S	6
Circunradio R	=B1B2B3/(4*B4)

Sirven las mismas fórmulas que en Excel (Hojas de cálculo de Google tiene RADIANES, SENO, COS y RAIZ con los mismos nombres).
Copia la tabla entera, pégala en la celda A1 y cambia los números de entrada por los tuyos.

Cómo calcularlo con Python

import math

side_a = 3.0   # lado a
side_b = 4.0   # lado b
side_c = 5.0   # lado c (ejemplo en el que se conocen los tres lados)

# Se hallan los tres ángulos con el teorema del coseno despejando el ángulo (en grados)
angle_a = math.degrees(math.acos((side_b**2 + side_c**2 - side_a**2) / (2 * side_b * side_c)))
angle_b = math.degrees(math.acos((side_a**2 + side_c**2 - side_b**2) / (2 * side_a * side_c)))
angle_c = 180 - angle_a - angle_b

# Área con la fórmula de Herón
half_perimeter = (side_a + side_b + side_c) / 2
area = math.sqrt(half_perimeter * (half_perimeter - side_a)
                 * (half_perimeter - side_b) * (half_perimeter - side_c))

inradius = area / half_perimeter                            # radio de la circunferencia inscrita
circumradius = side_a * side_b * side_c / (4 * area)        # radio de la circunferencia circunscrita

print(f"Ángulo A = {angle_a}°, ángulo B = {angle_b}°, ángulo C = {angle_c}°")
print(f"Área = {area}")
print(f"Inradio = {inradius}, circunradio = {circumradius}")

Funciona solo con math, de la biblioteca estándar. math.acos es el arcocoseno (el coseno al revés) y math.degrees pasa de radianes a grados. Cambia los tres lados del principio por tus propios valores y ejecútalo.

La fórmula en LaTeX y otras notaciones matemáticas (para copiar)

Suma de los ángulos de un triángulo

A + B + C = 180°

A + B + C = 180^\circ

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>A</mi><mo>+</mo><mi>B</mi><mo>+</mo><mi>C</mi>
    <mo>=</mo>
    <mn>180</mn><mo>&#xB0;</mo>
  </mrow>
</math>

A + B + C = 180^@

angleA + angleB + angleC == 180

A + B + C = 180;

C = 180 - A - B;

A + B + C = 180°

Teorema del coseno (tercer lado a partir de dos lados y el ángulo comprendido)

c² = a² + b² − 2ab·cos C

c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2ab\cos C

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  <mrow>
    <msup><mi>c</mi><mn>2</mn></msup>
    <mo>=</mo>
    <msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup>
    <mo>+</mo>
    <msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup>
    <mo>&#x2212;</mo>
    <mn>2</mn><mi>a</mi><mi>b</mi>
    <mi>cos</mi><mo>&#x2061;</mo><mi>C</mi>
  </mrow>
</math>

c^2 = a^2 + b^2 - 2ab cos C

cSide = Sqrt[a^2 + b^2 - 2 a b Cos[angleC Degree]]

c := sqrt(a^2 + b^2 - 2*a*b*cos(C*Pi/180));

c = sqrt(a^2 + b^2 - 2*a*b*cosd(C));

c^2 = a^2 + b^2 - 2ab cos(C)

Teorema del seno (el puente entre los lados y sus ángulos opuestos)

a/sin A = b/sin B = c/sin C = 2R

\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C} = 2R

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  <mrow>
    <mfrac><mi>a</mi><mrow><mi>sin</mi><mo>&#x2061;</mo><mi>A</mi></mrow></mfrac>
    <mo>=</mo>
    <mfrac><mi>b</mi><mrow><mi>sin</mi><mo>&#x2061;</mo><mi>B</mi></mrow></mfrac>
    <mo>=</mo>
    <mfrac><mi>c</mi><mrow><mi>sin</mi><mo>&#x2061;</mo><mi>C</mi></mrow></mfrac>
    <mo>=</mo>
    <mn>2</mn><mi>R</mi>
  </mrow>
</math>

a/sin A = b/sin B = c/sin C = 2R

bSide = a Sin[angleB Degree]/Sin[angleA Degree]

b := a*sin(B*Pi/180)/sin(A*Pi/180);

b = a*sind(B)/sind(A);

a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C) = 2R

Área (dos lados y el ángulo comprendido)

S = (1/2)·ab·sin C

S = \frac{1}{2}ab\sin C

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  <mrow>
    <mi>S</mi>
    <mo>=</mo>
    <mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac>
    <mi>a</mi><mi>b</mi>
    <mi>sin</mi><mo>&#x2061;</mo><mi>C</mi>
  </mrow>
</math>

S = 1/2 ab sin C

area = (1/2) a b Sin[angleC Degree]

S := (1/2)*a*b*sin(C*Pi/180);

S = a*b*sind(C)/2;

S = (1/2)ab sin(C)

Fórmula de Herón (área a partir de los tres lados)

s = (a+b+c)/2,  S = √(s(s−a)(s−b)(s−c))

s = \frac{a+b+c}{2}, \quad S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}

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  <mrow>
    <mi>S</mi>
    <mo>=</mo>
    <msqrt>
      <mi>s</mi>
      <mo>(</mo><mi>s</mi><mo>&#x2212;</mo><mi>a</mi><mo>)</mo>
      <mo>(</mo><mi>s</mi><mo>&#x2212;</mo><mi>b</mi><mo>)</mo>
      <mo>(</mo><mi>s</mi><mo>&#x2212;</mo><mi>c</mi><mo>)</mo>
    </msqrt>
  </mrow>
</math>

S = sqrt(s(s-a)(s-b)(s-c))

area = Sqrt[s (s - a) (s - b) (s - c)] /. s -> (a + b + c)/2

s := (a+b+c)/2; S := sqrt(s*(s-a)*(s-b)*(s-c));

s = (a+b+c)/2; S = sqrt(s*(s-a)*(s-b)*(s-c));

S = √(s(s-a)(s-b)(s-c))

Radio de la circunferencia inscrita (inradio)

r = S/s

r = \dfrac{S}{s}

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  <mrow>
    <mi>r</mi>
    <mo>=</mo>
    <mfrac><mi>S</mi><mi>s</mi></mfrac>
  </mrow>
</math>

r = S/s

inradius = area/s

r := S/s;

r = S/s;

r = S/s

Radio de la circunferencia circunscrita (circunradio)

R = abc/(4S)

R = \dfrac{abc}{4S}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>R</mi>
    <mo>=</mo>
    <mfrac>
      <mrow><mi>a</mi><mi>b</mi><mi>c</mi></mrow>
      <mrow><mn>4</mn><mi>S</mi></mrow>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

R = (abc)/(4S)

circumradius = a b c/(4 area)

R := a*b*c/(4*S);

R = a*b*c/(4*S);

R = abc/(4S)

Cómo pedirle a ChatGPT que haga el cálculo

Eres un asistente de cálculo de triángulos. Haz el siguiente cálculo ejecutando realmente código de Python y basa tu respuesta únicamente en los números del resultado de la ejecución (no respondas con cálculo mental ni con suposiciones).

En un triángulo, el lado a = 7, el lado b = 10 y el ángulo A = 40° (el ángulo A es el ángulo opuesto al lado a).
1. Usa el teorema del seno para hallar el ángulo B. Ten en cuenta que con estos datos puede haber dos triángulos posibles (el caso ambiguo). Si hay dos soluciones, muéstralas las dos.
2. Para cada solución, halla el ángulo C restante, el lado c y el área.

Muestra en una tabla las fórmulas que has usado y los números del resultado de la ejecución.

Cómo usar

1

Introduce los números

Escribe en los campos los números con los que quieres calcular
2

Calcula

Haz clic en el botón «Calcular»
3

Consulta el resultado

El resultado aparece al instante. En la misma página también encontrarás el desarrollo del cálculo y la explicación de la fórmula