Escribe A, B y n de la expresión (Ax+B)ⁿ que quieres desarrollar. La fórmula de abajo está enlazada con los campos, así que también puedes cambiar la propia fórmula. Con «Qué hallar» eliges entre desarrollar todos los términos o hallar solo un término.
Escribe los números con cifras. Se pueden usar decimales, números negativos y fracciones como 3/4. El exponente n es un número entero de 0 a 12.
Resultado y figura
Escribe los coeficientes y el exponente en los campos de la izquierda y haz clic en «Calcular». Aquí aparecerán la expresión desarrollada y el triángulo de Pascal.
Índice
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Qué puedes hacer en esta página
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¿Para qué sirve este cálculo?
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Cómo usar
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Fórmulas y figuras
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Símbolos y términos
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Qué conviene saber de antemano
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Cómo calcularlo con Excel
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Cómo calcularlo con Hojas de cálculo de Google
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Cómo calcularlo con Python
-
La fórmula en LaTeX y otras notaciones matemáticas (para copiar)
-
Cómo pedirle a ChatGPT que haga el cálculo
-
Las ventajas de DataChef
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Funciones relacionadas
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Todas las calculadoras de NumberChef
Qué puedes hacer en esta página
- Desarrolla \((Ax+B)^{n}\) (\(n\) de 0 a 12) con el binomio de Newton y ve al instante el resultado en potencias decrecientes de \(x\)
- Si solo necesitas el coeficiente de \(x^{3}\), indica la potencia de \(x\) (o el lugar que ocupa el término) y halla solo ese término
- Cuando hallas un solo término, también se muestran el valor del número combinatorio \({}_n\mathrm{C}_k\) y los pasos con \(\dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}\)
- El triángulo de Pascal (o de Tartaglia) se dibuja hasta la fila \(n\), con la fila usada resaltada
- \(A\) y \(B\) pueden ser decimales, números negativos o fracciones como 3/4. Los coeficientes se calculan con exactitud, como fracciones irreducibles
- En esta misma página encontrarás también una explicación sencilla de las fórmulas y las fórmulas listas para copiar en Excel, Hojas de cálculo de Google y Python
Esta página trabaja con la forma \((Ax+B)^{n}\) (\(n\) es un número entero de 0 a 12). No admite exponentes fraccionarios ni negativos (el binomio de Newton generalizado) ni expresiones con tres o más términos (el teorema del multinomio).
¿Para qué sirve este cálculo?
Hallar la probabilidad de k éxitos en n intentos (control de calidad, encuestas, ensayos clínicos)
Repite un experimento \(n\) veces, con la misma probabilidad \(p\) cada vez y sin que un resultado afecte a otro. La probabilidad de que algo ocurra exactamente \(k\) veces es \({}_n\mathrm{C}_k p^{k}(1-p)^{n-k}\). Es exactamente un término de \((p + (1-p))^n\) desarrollado con el binomio de Newton, y este tipo de distribución de probabilidad se llama distribución binomial.
Por ejemplo, si una línea de producción tiene siempre un 3 % de piezas defectuosas y se toman 10 piezas al azar, la probabilidad de que ninguna sea defectuosa es el término \(k = 0\), \(0{,}97^{10} \approx 0{,}737\), es decir, un 74 % aproximadamente. Dicho al revés, al revisar 10 piezas se encuentra algún defecto un 26 % de las veces. La misma idea está detrás de decidir cuántas piezas inspeccionar, estimar el margen de error de una encuesta y juzgar si un nuevo medicamento funciona.
Predecir los rasgos de los descendientes (biología y agricultura)
Cuando los dos progenitores tienen el par de genes \(\mathrm{Aa}\), los genotipos de sus hijos aparecen en la proporción \(\mathrm{AA} : \mathrm{Aa} : \mathrm{aa} = 1 : 2 : 1\). El 1, 2, 1 viene de que cada progenitor transmite \(\mathrm{A}\) o \(\mathrm{a}\) con probabilidad \(\dfrac{1}{2}\) cada uno: \(\left(\dfrac{1}{2}\mathrm{A} + \dfrac{1}{2}\mathrm{a}\right)^{2} = \dfrac{1}{4}\left(\mathrm{AA} + 2\,\mathrm{Aa} + \mathrm{aa}\right)\). Son los números combinatorios, los mismos números que la fila \(n = 2\) del triángulo de Pascal.
Con más rasgos, o si se desglosa por el número de hijos, resulta demasiado difícil llevar la cuenta a mano. El binomio de Newton resuelve en un solo paso preguntas como «la probabilidad de que exactamente 2 de 4 hermanos tengan un rasgo». Quienes mejoran plantas y animales y quienes hacen asesoramiento genético estiman así las proporciones esperadas.
Estimaciones rápidas de interés compuesto y crecimiento (dinero y economía)
El dinero que crece a una tasa anual \(r\) durante \(n\) años se multiplica por \((1+r)^{n}\). Al desarrollarlo con el binomio de Newton se obtiene \(1 + nr + {}_n\mathrm{C}_2 r^{2} + \cdots\). La primera parte, \(1 + nr\), es el interés simple, y el resto son «intereses sobre intereses».
Por ejemplo, al 1 % anual durante 10 años, \(1{,}01^{10} = 1{,}10462\cdots\), pero los tres primeros términos solos, \(1 + 0{,}1 + 0{,}0045\), dan 1,1045, casi el mismo valor. Los términos siguientes son cada vez más pequeños, así que es útil para una estimación mental aproximada. Los tipos de interés, la inflación y las tasas de crecimiento de la población, todo lo que crece un mismo porcentaje cada año, tiene esta forma.
Estimar el efecto de cambios pequeños (ingeniería, física y medidas)
En el diseño y en la medición, muchas veces hay que saber rápido cuánto cambia un resultado cuando algo cambia un poco. Desarrolla con el binomio de Newton y descarta los términos pequeños de segundo grado y superiores, y obtienes la aproximación \((1+x)^{n} \approx 1 + nx\).
Por ejemplo, si cada arista de un cubo se alarga un 1 %, el volumen pasa a ser \((1+0{,}01)^{3} = 1{,}030301\) veces mayor, un aumento de alrededor del 3 %. La aproximación da \(1 + 3 \times 0{,}01 = 1{,}03\), casi la misma respuesta. La regla práctica «un error del 1 % en la longitud significa aproximadamente un error del 3 % en el volumen» se usa directamente al fijar tolerancias de piezas y estimar errores de medida.
Contar todas las elecciones posibles (combinaciones y recuento)
Cuando decides libremente «sí o no» para cada una de \(n\) opciones, el número total de combinaciones es \(2^{n}\). Es el binomio de Newton con \(a = b = 1\), \(\sum_{k=0}^{n} {}_n\mathrm{C}_k = 2^{n}\), y también es la suma de cada fila del triángulo de Pascal.
Por ejemplo, una pizza con 5 ingredientes disponibles se puede pedir de \(2^{5} = 32\) formas, incluida una pizza básica sin ingredientes extra. La fila también da el desglose: exactamente 2 ingredientes se pueden pedir de \({}_5\mathrm{C}_2 = 10\) formas. Esta idea se usa siempre que se cuentan opciones, como las combinaciones de un menú, los patrones de respuesta de una encuesta y los casos de prueba de un programa.
Fórmulas y figuras
El binomio de Newton (teorema del binomio)
Figura
Notación matemática
(la notación habitual)
\((a+b)^{n}\)
\(=\)
\(\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\)
\({}_{n}\mathrm{C}_{k}\)
\(a^{n-k}\)
\(b^{k}\)
En palabras
(los símbolos sustituidos por palabras)
⑤
\((a+b)^n\): \(n\) copias de \((a+b)\) multiplicadas
\(=\)
④
se suman todos, con \(k\), el número de \(b\) elegidas, de 0 a \(n\)
①
\({}_n\mathrm{C}_k\): formas de elegir \(k\) de \(n\)
②
\(a^{n-k}\): \((n-k)\) copias de \(a\) multiplicadas
③
\(b^{k}\): \(k\) copias de \(b\) multiplicadas
La fórmula en palabras
①
Multiplica
\({}_n\mathrm{C}_k\): formas de elegir \(k\) de \(n\)
②
por
\(a^{n-k}\): \((n-k)\) copias de \(a\) multiplicadas
③
y por
\(b^{k}\): \(k\) copias de \(b\) multiplicadas
④
luego
se suman todos, con \(k\), el número de \(b\) elegidas, de 0 a \(n\)
⑤
y obtienes
\((a+b)^n\): \(n\) copias de \((a+b)\) multiplicadas
Un ejemplo sencillo
Al desarrollar \((a+b)^{3}\) (los coeficientes 1, 3, 3, 1 son los valores de \({}_3\mathrm{C}_0\) a \({}_3\mathrm{C}_3\)) se obtiene
3 copias de \((a+b)\) multiplicadas
\(=\)
se suman todos, con el número de \(b\), \(k\), de 0 a 3
formas de elegir \(k\) de 3
\((3-k)\) copias de \(a\) multiplicadas
\(k\) copias de \(b\) multiplicadas
\((a+b)^{3} = {}_{3}\mathrm{C}_{0}a^{3} + {}_{3}\mathrm{C}_{1}a^{2}b + {}_{3}\mathrm{C}_{2}ab^{2} + {}_{3}\mathrm{C}_{3}b^{3}\)
\(= a^{3} + 3a^{2}b + 3ab^{2} + b^{3}\)
La idea clave
\((a+b)^n\) significa «escribe el paréntesis \((a+b)\) \(n\) veces y multiplícalos». Para desarrollar, eliges \(a\) o \(b\) de cada paréntesis, multiplicas tus elecciones y sumas los resultados de todas las formas posibles de elegir.
El número de formas de elegir en cuáles de los \(n\) paréntesis tomas la \(b\) (en \(k\) de ellos) es \({}_n\mathrm{C}_k\). Así, el mismo tipo de término \(a^{n-k}b^{k}\) aparece \({}_n\mathrm{C}_k\) veces y, al agruparlos, el coeficiente es \({}_n\mathrm{C}_k\). Eso es todo lo que dice el binomio de Newton. (En los libros de texto de España, \({}_n\mathrm{C}_k\) se suele escribir \(\binom{n}{k}\) y se lee «n sobre k», o «número combinatorio».)
La figura de arriba muestra \((a+b)^2\) como el área de un cuadrado. Hay dos rectángulos \(ab\), lo que da \(2ab\), así que puedes ver con tus propios ojos los coeficientes 1, 2, 1.
El término general (el término \(k+1\))
Figura
Notación matemática
(la notación habitual)
\(T_{k+1}\)
\(=\)
\({}_{n}\mathrm{C}_{k}\)
\(a^{n-k}\)
\(b^{k}\)
En palabras
(los símbolos sustituidos por palabras)
④
\(T_{k+1}\): el término \(k+1\) del desarrollo
\(=\)
①
\({}_n\mathrm{C}_k\): formas de elegir \(k\) de \(n\)
②
\(a^{n-k}\): \((n-k)\) copias de \(a\) multiplicadas
③
\(b^{k}\): \(k\) copias de \(b\) multiplicadas
La fórmula en palabras
①
Multiplica
\({}_n\mathrm{C}_k\): formas de elegir \(k\) de \(n\)
②
por
\(a^{n-k}\): \((n-k)\) copias de \(a\) multiplicadas
③
y por
\(b^{k}\): \(k\) copias de \(b\) multiplicadas
④
y obtienes
\(T_{k+1}\): el término \(k+1\) del desarrollo
Un ejemplo sencillo
El tercer término (\(k = 2\)) de \((2x+3)^{5}\), con \(a = 2x\) y \(b = 3\), es
tercer término \(T_{3}\)
\(=\)
formas de elegir 2 de 5
3 copias de \(2x\) multiplicadas
2 copias de 3 multiplicadas
\(T_{3} = {}_{5}\mathrm{C}_{2}(2x)^{3}\cdot 3^{2} = 10 \times 8x^{3} \times 9 = 720x^{3}\)
La idea clave
El error más común con el binomio de Newton es que el número del término y \(k\) difieren en uno. El término con \(k = 0\) es el primero, así que en el término \(k+1\), \(k\) es «el número del término menos 1». Para el tercer término, \(k = 2\).
Cuando un problema pide «el coeficiente de \(x^{3}\)», halla \(k\) a partir de la potencia de \(x\), no del número del término. En \((Ax+B)^n\), la potencia de \(x\) es \(n-k\), así que resuelve \(n-k = 3\) para obtener \(k = n-3\).
Cuando \(a\) o \(b\) es un grupo como \(2x\), eleva todo el grupo a la potencia, como en \((2x)^{3} = 8x^{3}\). Para no escribir \(2x^{3}\) por error, pon siempre paréntesis antes de calcular.
Cálculo de un número combinatorio (el número de combinaciones)
Notación matemática
(la notación habitual)
\({}_{n}\mathrm{C}_{k}\)
\(=\)
\(\dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}\)
En palabras
(los símbolos sustituidos por palabras)
②
\({}_n\mathrm{C}_k\): formas de elegir \(k\) de \(n\)
\(=\)
①
\(\dfrac{\text{formas de ordenar los }n\text{ elementos }n!}{\text{órdenes de los }k\text{ elegidos }k!\ \times\ \text{órdenes de los }(n-k)\text{ restantes }(n-k)!}\)
La fórmula en palabras
①
La fracción
\(\dfrac{\text{formas de ordenar los }n\text{ elementos }n!}{\text{órdenes de los }k\text{ elegidos }k!\ \times\ \text{órdenes de los }(n-k)\text{ restantes }(n-k)!}\)
②
es igual a
\({}_n\mathrm{C}_k\): formas de elegir \(k\) de \(n\)
Un ejemplo sencillo
El número de formas de elegir 2 de 5, \({}_5\mathrm{C}_2\), es
formas de elegir 2 de 5
\(=\)
\(\dfrac{\text{formas de ordenar los 5 }5!}{\text{órdenes de los 2 elegidos }2!\ \times\ \text{órdenes de los 3 restantes }3!}\)
\({}_{5}\mathrm{C}_{2} = \dfrac{5!}{2!\,(5-2)!} = \dfrac{120}{2 \times 6} = 10\)
\({}_{5}\mathrm{C}_{2} = \dfrac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10\)
La idea clave
Un factorial es el producto de todos los números enteros desde 1 hasta ese número (\(5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120\)). Por definición \(0! = 1\), así que \({}_n\mathrm{C}_0 = {}_n\mathrm{C}_n = 1\).
¿Por qué se divide? Piensa en colocar elementos en fila. Pon los \(n\) elementos en fila y di que los \(k\) primeros están «elegidos» y los otros \((n-k)\) «no elegidos». Cada uno de los \(n!\) órdenes da una elección. Pero reordenar los \(k\) elegidos (\(k!\) formas) o los \((n-k)\) restantes (\((n-k)!\) formas) no cambia cuáles se eligieron. Cada elección se cuenta \(k!\,(n-k)!\) veces, así que al dividir entre eso queda solo el número de elecciones.
A mano, la segunda forma de arriba es más rápida: el numerador desciende desde \(n\) durante \(k\) números y el denominador es \(k!\). Para \({}_5\mathrm{C}_2\), queda \(\dfrac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10\).
Los números combinatorios son simétricos: \({}_n\mathrm{C}_k = {}_n\mathrm{C}_{n-k}\) (elegir \(k\) elementos es lo mismo que elegir los \((n-k)\) que se dejan fuera). Por ejemplo, \({}_7\mathrm{C}_5\) sale antes como \({}_7\mathrm{C}_2 = 21\). Por eso también los coeficientes de un desarrollo se leen igual desde los dos extremos.
El triángulo de Pascal (o de Tartaglia): la suma de dos vecinos
Figura
Notación matemática
(la notación habitual)
\({}_{n-1}\mathrm{C}_{k-1}\)
\(+\)
\({}_{n-1}\mathrm{C}_{k}\)
\(=\)
\({}_{n}\mathrm{C}_{k}\)
En palabras
(los símbolos sustituidos por palabras)
①
\({}_{n-1}\mathrm{C}_{k-1}\): el número de arriba a la izquierda, en la fila de arriba
\(+\)
②
\({}_{n-1}\mathrm{C}_{k}\): el número de arriba a la derecha, en la fila de arriba
\(=\)
③
\({}_n\mathrm{C}_k\): el número justo debajo de ellos
La fórmula en palabras
①
Suma
\({}_{n-1}\mathrm{C}_{k-1}\): el número de arriba a la izquierda, en la fila de arriba
②
y
\({}_{n-1}\mathrm{C}_{k}\): el número de arriba a la derecha, en la fila de arriba
③
y obtienes
\({}_n\mathrm{C}_k\): el número justo debajo de ellos
Un ejemplo sencillo
Al sumar el 3 y el 3 de la fila \(n = 3\) se obtiene el 6 de la fila \(n = 4\)
arriba a la izquierda \({}_3\mathrm{C}_1 = 3\)
\(+\)
arriba a la derecha \({}_3\mathrm{C}_2 = 3\)
\(=\)
justo debajo \({}_4\mathrm{C}_2 = 6\)
\({}_{3}\mathrm{C}_{1} + {}_{3}\mathrm{C}_{2} = 3 + 3 = 6 = {}_{4}\mathrm{C}_{2}\)
La idea clave
El triángulo de Pascal (también llamado triángulo de Tartaglia) son los números combinatorios colocados en un triángulo, fila a fila desde arriba. Los dos extremos de cada fila son 1 y cada número interior es la suma de los dos números que tiene justo encima (arriba a la izquierda y arriba a la derecha). Así puedes construir los coeficientes solo con sumas, sin factoriales.
La idea de elegir también explica por qué funciona esta suma. Para elegir \(k\) de \(n\) elementos, fíjate en uno en concreto. O lo eliges (entonces eliges \((k-1)\) más de los otros \((n-1)\)) o no lo eliges (entonces eliges los \(k\) de los otros \((n-1)\)). Los dos casos son exactamente los dos números de arriba.
Los números de cada fila suman \(2^n\) (fila \(n = 4\): \(1+4+6+4+1 = 16 = 2^4\)). Es el binomio de Newton con \(a = b = 1\).
El binomio de Newton dice que \((a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} {}_n\mathrm{C}_k a^{n-k} b^{k}\): en el desarrollo, el coeficiente de \(a^{n-k}b^{k}\) es \({}_n\mathrm{C}_k\). Para hallar un solo término, usa el término general \({}_n\mathrm{C}_k a^{n-k} b^{k}\) y elige \(k\) a partir de la potencia de \(x\). Los coeficientes coinciden con la fila \(n\) del triángulo de Pascal.
Símbolos y términos
Símbolos
| \({}_n\mathrm{C}_k\) | n sobre k | El número de formas de elegir \(k\) cosas de entre \(n\) (el número de combinaciones). En el binomio de Newton pasa a ser un coeficiente del desarrollo, por eso también se llama número combinatorio (o coeficiente binomial). \(\mathrm{C}\) es la inicial de «combinación». También se escribe \(\binom{n}{k}\), nCk o C(n, k). |
| \(n!\) | n factorial | El producto de todos los números enteros de 1 a \(n\) (\(4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24\)). Parece un signo de exclamación, pero es el símbolo matemático del «factorial». Por definición, \(0! = 1\). |
| \(a,\ b\) | a, b | Los dos términos que van dentro del paréntesis en el binomio de Newton. «Binomio» significa «dos términos», y son estos dos. Por costumbre, las primeras letras del alfabeto, \(a,\ b,\ c\), representan valores fijos. |
| \(n\) | n | Cuántas copias del mismo paréntesis se multiplican (el exponente). La letra \(n\), de «número», se usa a menudo para una cantidad. En esta página es un número entero de 0 a 12. |
| \(k\) | k | Un contador de «cuántas \(b\) se han elegido». Va de 0 a \(n\). El término con \(k = 0\) es el primero, por eso se dice «el término \(k+1\)». La letra \(k\) es una elección habitual para un contador entero. |
| \(\displaystyle\sum\) | sigma | El símbolo de «sumar todo» (sumatorio). Es la letra griega sigma mayúscula, que corresponde a la S de «suma». \(\sum_{k=0}^{n}\) significa «suma la expresión que sigue, con \(k\) de 0 a \(n\)». |
| \(T_{k+1}\) | T sub k más 1 | El término que ocupa el lugar \(k+1\) desde el principio cuando el desarrollo se escribe en potencias decrecientes. \(T\) es la inicial de «término». Se llama término general. |
| \(A,\ B\) | A mayúscula, B mayúscula | Las letras que usa esta calculadora en los campos. En \((Ax+B)^n\), \(A\) es el coeficiente de \(x\) y \(B\) es el término independiente, sin \(x\). En el binomio de Newton, \(a = Ax\) y \(b = B\). |
| \(x\) | equis | Una letra cuyo valor no está fijado (una variable). Esta calculadora desarrolla expresiones de la forma \((Ax+B)^n\), así que la respuesta es un polinomio en \(x\). |
Términos
| binomio de Newton (teorema del binomio) | El teorema según el cual los coeficientes del desarrollo de \((a+b)^n\) son los números de combinaciones \({}_n\mathrm{C}_k\). En España se estudia en 1.º de Bachillerato (16-17 años). |
| número combinatorio (coeficiente binomial) | El coeficiente \({}_n\mathrm{C}_k\) que aparece en el binomio de Newton. Es lo mismo que el número de combinaciones, pero este nombre se usa cuando se piensa en él como un coeficiente de un desarrollo. |
| combinación | Una forma de elegir algunos elementos de un grupo sin tener en cuenta el orden. El número de formas de elegir \(k\) de \(n\) se escribe \({}_n\mathrm{C}_k\). A diferencia de una variación (o permutación), donde importa el orden, el mismo conjunto de elementos cuenta como una sola forma. |
| factorial | El producto de todos los números enteros desde 1 hasta ese número. \(5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120\). Se usa para calcular el número de combinaciones. |
| término general | Una sola fórmula que describe todos los términos de un desarrollo según su lugar. En el binomio de Newton, el término \(k+1\), \({}_n\mathrm{C}_k a^{n-k} b^{k}\), es el término general. Para hallar un término, se sustituyen los valores en él. |
| desarrollo | Multiplicar una expresión con paréntesis para escribirla como una suma de términos sin paréntesis. Es la operación contraria a factorizar. |
| potencias decrecientes | Escribir los términos de una expresión desde la potencia más alta de la variable hacia abajo, como en \(x^3 + 2x^2 - x + 5\). Las respuestas suelen escribirse en este orden (forma ordenada). |
| triángulo de Pascal (triángulo de Tartaglia) | Los números combinatorios colocados fila a fila en un triángulo. Los dos extremos son 1 y cada número interior es la suma de los dos números que tiene encima. Lleva el nombre del matemático francés Blaise Pascal, pero se conocía siglos antes en Persia, India y China (donde se llama triángulo de Yang Hui). También se llama triángulo de Tartaglia. |
| polinomio | Una expresión que suma términos formados por un coeficiente por una potencia de \(x\), como \(2x^3 - x + 5\). El resultado de un desarrollo con el binomio de Newton también es un polinomio. |
| término | Cada trozo de una expresión separado por signos más o menos. \(x^3 - 2x + 3\) tiene tres términos: \(x^3\), \(-2x\) y \(3\). |
| coeficiente | El número que va delante de una variable. En \(3x^2\), el coeficiente es 3. Cuando no se escribe ningún número, como en \(x^2\), el coeficiente es 1. |
| exponente | El pequeño 3 que se escribe arriba a la derecha de \(x^3\). Indica cuántas veces se multiplica lo mismo (\(x^3 = x \times x \times x\)). |
| término independiente | Un término sin \(x\), solo un número, como el 5 de \(x^2 + 3x + 5\). En esta calculadora, \(B\) dentro del paréntesis y el último término del desarrollo son términos independientes. |
| distribución binomial | La distribución de probabilidad del número de éxitos \(k\) cuando se repite \(n\) veces el mismo experimento. Sus probabilidades \({}_n\mathrm{C}_k p^{k}(1-p)^{n-k}\) son exactamente los términos de \((p + (1-p))^n\) desarrollado con el binomio de Newton, de ahí viene el nombre «binomial». |
| binomio de Newton generalizado | El binomio de Newton ampliado a exponentes fraccionarios y negativos. El resultado es una expresión con infinitos términos (una serie infinita). Esta calculadora solo trata exponentes enteros de 0 o más. |
Qué conviene saber de antemano
Esto es lo que te ayuda a usar el cálculo de esta página entendiéndolo de verdad, y no solo pulsando el botón.
Si te atascas, repasar estos temas es el camino más rápido.
| Desarrollo de expresiones algebraicas (2.º–3.º de ESO, 13-15 años) |
|
| Potencias y leyes de los exponentes (1.º–3.º de ESO, 12-15 años) |
|
| Operaciones con números negativos (1.º de ESO, 12-13 años) |
|
| Combinaciones y factoriales (4.º de ESO y 1.º de Bachillerato, 15-17 años) |
|
| Notación de sumatorio (1.º de Bachillerato, 16-17 años) |
|
| Operaciones con fracciones (5.º–6.º de Primaria, 10-12 años) |
|
Cómo calcularlo con Excel
Copia toda la tabla de abajo y pégala en la celda A1 de Excel. Funciona tal cual.
Tabla para hallar cada coeficiente del desarrollo con el binomio de Newton
| Coeficiente de x, A | 2 |
| Término independiente B | 3 |
| Exponente n | 5 |
| Coeficiente de k=0 (x elevado a n−0) | =SI.ERROR(COMBINAT($B$3;0)*$B$1^($B$3-0)*$B$2^0;0) |
| Coeficiente de k=1 (x elevado a n−1) | =SI.ERROR(COMBINAT($B$3;1)*$B$1^($B$3-1)*$B$2^1;0) |
| Coeficiente de k=2 (x elevado a n−2) | =SI.ERROR(COMBINAT($B$3;2)*$B$1^($B$3-2)*$B$2^2;0) |
| Coeficiente de k=3 (x elevado a n−3) | =SI.ERROR(COMBINAT($B$3;3)*$B$1^($B$3-3)*$B$2^3;0) |
| Coeficiente de k=4 (x elevado a n−4) | =SI.ERROR(COMBINAT($B$3;4)*$B$1^($B$3-4)*$B$2^4;0) |
| Coeficiente de k=5 (x elevado a n−5) | =SI.ERROR(COMBINAT($B$3;5)*$B$1^($B$3-5)*$B$2^5;0) |
| Coeficiente de k=6 (x elevado a n−6) | =SI.ERROR(COMBINAT($B$3;6)*$B$1^($B$3-6)*$B$2^6;0) |
Tabla para hallar el coeficiente del término general (término k+1)
| Coeficiente de x, A | 2 |
| Término independiente B | 3 |
| Exponente n | 5 |
| Número del término (desde el principio) | 3 |
| k (número del término menos 1) | =B4-1 |
| Potencia de x (n−k) | =B3-B5 |
| Número combinatorio nCk | =COMBINAT(B3;B5) |
| Coeficiente del término | =B7*B1^B6*B2^B5 |
Tabla para hallar un número combinatorio (número de combinaciones)
| n | 5 |
| k | 2 |
| Número combinatorio nCk | =COMBINAT(B1;B2) |
| Comprobación con factoriales | =FACT(B1)/(FACT(B2)*FACT(B1-B2)) |
Tabla para construir el triángulo de Pascal
| Fila n = 0 | 1 | |||||
| Fila n = 1 | 1 | 1 | ||||
| Fila n = 2 | 1 | =B2+C2 | 1 | |||
| Fila n = 3 | 1 | =B3+C3 | =C3+D3 | 1 | ||
| Fila n = 4 | 1 | =B4+C4 | =C4+D4 | =D4+E4 | 1 | |
| Fila n = 5 | 1 | =B5+C5 | =C5+D5 | =D5+E5 | =E5+F5 | 1 |
Después de pegar, las filas de arriba (A, B, n, etc.) son los datos y las filas de abajo se calculan solas.
COMBINAT(n; k) es el número combinatorio nCk, FACT(n) es el factorial de n y «^» es una potencia.
La primera tabla desarrolla (2x+3)⁵. Desde k=0 muestra 32, 240, 720, 1080, 810, 243 (la fila de k es el coeficiente de x elevado a n−k). Cambia A, B y n y obtendrás los coeficientes de tu propia expresión. Cuando n es menor que 6, las filas de términos que no existen muestran 0 (SI.ERROR las convierte en 0). Cuando n es 7 o más, copia la última fila hacia abajo y cambia el 6 de la fórmula por 7, 8, etc.
La segunda tabla halla solo el tercer término: k es 2, la potencia de x es 3, el número combinatorio es 10 y el coeficiente del término es 720.
La tercera tabla es el número de formas de elegir 2 de 5, y las dos fórmulas dan 10.
En la cuarta tabla solo se escriben a mano los 1 de los dos extremos. Cada número interior es una fórmula que suma las dos celdas que tiene justo encima. La fila n = 5 muestra 1, 5, 10, 10, 5, 1.
COMBINAT(n; k) es el número combinatorio nCk, FACT(n) es el factorial de n y «^» es una potencia.
La primera tabla desarrolla (2x+3)⁵. Desde k=0 muestra 32, 240, 720, 1080, 810, 243 (la fila de k es el coeficiente de x elevado a n−k). Cambia A, B y n y obtendrás los coeficientes de tu propia expresión. Cuando n es menor que 6, las filas de términos que no existen muestran 0 (SI.ERROR las convierte en 0). Cuando n es 7 o más, copia la última fila hacia abajo y cambia el 6 de la fórmula por 7, 8, etc.
La segunda tabla halla solo el tercer término: k es 2, la potencia de x es 3, el número combinatorio es 10 y el coeficiente del término es 720.
La tercera tabla es el número de formas de elegir 2 de 5, y las dos fórmulas dan 10.
En la cuarta tabla solo se escriben a mano los 1 de los dos extremos. Cada número interior es una fórmula que suma las dos celdas que tiene justo encima. La fila n = 5 muestra 1, 5, 10, 10, 5, 1.
Cómo calcularlo con Hojas de cálculo de Google
Copia toda la tabla de abajo y pégala en la celda A1 de Hojas de cálculo de Google. Funciona tal cual.
Tabla para hallar cada coeficiente del desarrollo con el binomio de Newton
| Coeficiente de x, A | 2 |
| Término independiente B | 3 |
| Exponente n | 5 |
| Coeficiente de k=0 (x elevado a n−0) | =SI.ERROR(COMBINAT($B$3;0)*$B$1^($B$3-0)*$B$2^0;0) |
| Coeficiente de k=1 (x elevado a n−1) | =SI.ERROR(COMBINAT($B$3;1)*$B$1^($B$3-1)*$B$2^1;0) |
| Coeficiente de k=2 (x elevado a n−2) | =SI.ERROR(COMBINAT($B$3;2)*$B$1^($B$3-2)*$B$2^2;0) |
| Coeficiente de k=3 (x elevado a n−3) | =SI.ERROR(COMBINAT($B$3;3)*$B$1^($B$3-3)*$B$2^3;0) |
| Coeficiente de k=4 (x elevado a n−4) | =SI.ERROR(COMBINAT($B$3;4)*$B$1^($B$3-4)*$B$2^4;0) |
| Coeficiente de k=5 (x elevado a n−5) | =SI.ERROR(COMBINAT($B$3;5)*$B$1^($B$3-5)*$B$2^5;0) |
| Coeficiente de k=6 (x elevado a n−6) | =SI.ERROR(COMBINAT($B$3;6)*$B$1^($B$3-6)*$B$2^6;0) |
Tabla para hallar el coeficiente del término general (término k+1)
| Coeficiente de x, A | 2 |
| Término independiente B | 3 |
| Exponente n | 5 |
| Número del término (desde el principio) | 3 |
| k (número del término menos 1) | =B4-1 |
| Potencia de x (n−k) | =B3-B5 |
| Número combinatorio nCk | =COMBINAT(B3;B5) |
| Coeficiente del término | =B7*B1^B6*B2^B5 |
Tabla para hallar un número combinatorio (número de combinaciones)
| n | 5 |
| k | 2 |
| Número combinatorio nCk | =COMBINAT(B1;B2) |
| Comprobación con factoriales | =FACT(B1)/(FACT(B2)*FACT(B1-B2)) |
Tabla para construir el triángulo de Pascal
| Fila n = 0 | 1 | |||||
| Fila n = 1 | 1 | 1 | ||||
| Fila n = 2 | 1 | =B2+C2 | 1 | |||
| Fila n = 3 | 1 | =B3+C3 | =C3+D3 | 1 | ||
| Fila n = 4 | 1 | =B4+C4 | =C4+D4 | =D4+E4 | 1 | |
| Fila n = 5 | 1 | =B5+C5 | =C5+D5 | =D5+E5 | =E5+F5 | 1 |
Se pueden usar las mismas fórmulas que en Excel (Hojas de cálculo de Google también tiene COMBINAT y FACT con los mismos nombres). Copia toda la tabla, pégala en la celda A1 y cambia A, B y n por tus propios números.
Cómo calcularlo con Python
from fractions import Fraction
from math import comb
# Desarrolla (Ax + B) elevado a n (una fracción como 3/4 se escribe Fraction(3, 4))
coef_x = Fraction(2) # coeficiente de x, A
const = Fraction(3) # término independiente B
power = 5 # exponente n
# k va de 0 a n. La potencia de x es n - k y el coeficiente es nCk × A^(n-k) × B^k
for k in range(power + 1):
exponent = power - k
coefficient = comb(power, k) * coef_x ** exponent * const ** k
print(f"Coeficiente de x^{exponent}: {coefficient}")
# Halla solo el coeficiente de x^3 (k = n - 3)
target = 3
k = power - target
coefficient = comb(power, k) * coef_x ** target * const ** k
print(f"Número combinatorio: {comb(power, k)}")
print(f"Coeficiente de x^{target}: {coefficient}")
En la biblioteca estándar, math.comb da el número combinatorio nCk y fractions.Fraction conserva las fracciones exactas (math.comb necesita Python 3.8 o posterior). Este ejemplo desarrolla (2x+3)⁵. Al ejecutarlo, los coeficientes aparecen en el orden 32, 240, 720, 1080, 810, 243 y, por último, el coeficiente de x al cubo, 720. Cambia A, B y n y ejecútalo.
La fórmula en LaTeX y otras notaciones matemáticas (para copiar)
El binomio de Newton (teorema del binomio)
(a+b)ⁿ = ₙC₀aⁿ + ₙC₁aⁿ⁻¹b + ⋯ + ₙCₙbⁿ
(a+b)^{n} = \sum_{k=0}^{n} {}_{n}\mathrm{C}_{k}\, a^{n-k} b^{k}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msup>
<mrow><mo>(</mo><mi>a</mi><mo>+</mo><mi>b</mi><mo>)</mo></mrow>
<mi>n</mi>
</msup>
<mo>=</mo>
<munderover>
<mo>∑</mo>
<mrow><mi>k</mi><mo>=</mo><mn>0</mn></mrow>
<mi>n</mi>
</munderover>
<mmultiscripts><mi mathvariant="normal">C</mi><mi>k</mi><none/><mprescripts/><mi>n</mi><none/></mmultiscripts>
<msup><mi>a</mi><mrow><mi>n</mi><mo>−</mo><mi>k</mi></mrow></msup>
<msup><mi>b</mi><mi>k</mi></msup>
</mrow>
</math>
(a+b)^n = sum_(k=0)^n C(n,k) a^(n-k) b^k
Sum[Binomial[n, k] a^(n - k) b^k, {k, 0, n}]
sum(binomial(n, k)*a^(n-k)*b^k, k = 0 .. n);
symsum(nchoosek(n, k)*a^(n-k)*b^k, k, 0, n)
(a+b)^n = ∑_(k=0)^n C(n,k) a^(n-k) b^k
El término general (el término \(k+1\))
Tₖ₊₁ = ₙCₖ aⁿ⁻ᵏ bᵏ
T_{k+1} = {}_{n}\mathrm{C}_{k}\, a^{n-k} b^{k}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msub><mi>T</mi><mrow><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msub>
<mo>=</mo>
<mmultiscripts><mi mathvariant="normal">C</mi><mi>k</mi><none/><mprescripts/><mi>n</mi><none/></mmultiscripts>
<msup><mi>a</mi><mrow><mi>n</mi><mo>−</mo><mi>k</mi></mrow></msup>
<msup><mi>b</mi><mi>k</mi></msup>
</mrow>
</math>
T_(k+1) = C(n,k) a^(n-k) b^k
Binomial[n, k] a^(n - k) b^k
T := binomial(n, k)*a^(n-k)*b^k;
T = nchoosek(n, k)*a^(n-k)*b^k;
T_(k+1) = C(n,k) a^(n-k) b^k
Cálculo de un número combinatorio (el número de combinaciones)
ₙCₖ = n! ÷ (k!(n−k)!)
{}_{n}\mathrm{C}_{k} = \frac{n!}{k!\,(n-k)!}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mmultiscripts><mi mathvariant="normal">C</mi><mi>k</mi><none/><mprescripts/><mi>n</mi><none/></mmultiscripts>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow><mi>n</mi><mo>!</mo></mrow>
<mrow><mi>k</mi><mo>!</mo><mo>(</mo><mi>n</mi><mo>−</mo><mi>k</mi><mo>)</mo><mo>!</mo></mrow>
</mfrac>
</mrow>
</math>
C(n,k) = (n!)/(k!(n-k)!)
Binomial[n, k]
binomial(n, k);
nchoosek(n, k)
C(n,k) = n!/(k!(n-k)!)
El triángulo de Pascal (o de Tartaglia): la suma de dos vecinos
ₙ₋₁Cₖ₋₁ + ₙ₋₁Cₖ = ₙCₖ
{}_{n-1}\mathrm{C}_{k-1} + {}_{n-1}\mathrm{C}_{k} = {}_{n}\mathrm{C}_{k}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mmultiscripts><mi mathvariant="normal">C</mi><mrow><mi>k</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow><none/><mprescripts/><mrow><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow><none/></mmultiscripts>
<mo>+</mo>
<mmultiscripts><mi mathvariant="normal">C</mi><mi>k</mi><none/><mprescripts/><mrow><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow><none/></mmultiscripts>
<mo>=</mo>
<mmultiscripts><mi mathvariant="normal">C</mi><mi>k</mi><none/><mprescripts/><mi>n</mi><none/></mmultiscripts>
</mrow>
</math>
C(n-1,k-1) + C(n-1,k) = C(n,k)
Binomial[n - 1, k - 1] + Binomial[n - 1, k] == Binomial[n, k]
binomial(n-1, k-1) + binomial(n-1, k) = binomial(n, k);
nchoosek(n-1, k-1) + nchoosek(n-1, k)
C(n-1,k-1) + C(n-1,k) = C(n,k)
Cómo pedirle a ChatGPT que haga el cálculo
Eres un asistente de cálculo de álgebra. Haz el siguiente cálculo ejecutando realmente código Python y basa tu respuesta únicamente en los números del resultado de la ejecución (no respondas con cálculo mental ni adivinando). Usa el binomio de Newton para desarrollar (2x+3)^5. Muestra cada uno de estos puntos: 1. El término general (el término k+1) 2. Los números combinatorios 5Ck para k = 0 a 5 3. La expresión desarrollada (en potencias decrecientes de x, con cada coeficiente como fracción irreducible o número entero) 4. El coeficiente de x^3 y cómo lo has hallado (cómo has elegido k) En Python, calcula con exactitud con math.comb y fractions.Fraction de la biblioteca estándar, y muestra las fórmulas que has usado y los números del resultado de la ejecución.
Cómo usar
-
1Introduce los númerosEscribe en los campos los números con los que quieres calcular
-
2CalculaHaz clic en el botón «Calcular»
-
3Consulta el resultadoEl resultado aparece al instante. En la misma página también encontrarás el desarrollo del cálculo y la explicación de la fórmula
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Sin necesidad de atribución
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Uso comercial gratuito
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