Scrivi A, B e n dell’espressione (Ax+B)ⁿ da sviluppare. La formula qui sotto è collegata ai campi, quindi puoi anche modificarla direttamente. Con «Cosa trovare» scegli se sviluppare tutti i termini o trovare un solo termine.
Puoi usare numeri decimali, numeri negativi e frazioni come 3/4. L’esponente n è un numero intero da 0 a 12.
Risultato e figura
Scrivi i coefficienti e l’esponente nei campi a sinistra e fai clic su «Calcola». Qui compaiono lo sviluppo e il triangolo di Tartaglia.
Indice
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Cosa puoi fare in questa pagina
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A cosa serve questo calcolo?
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Come si usa
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Formule e figure
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Simboli e termini
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Cosa conviene sapere prima
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Come calcolarlo con Excel
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Come calcolarlo con Fogli Google
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Come calcolarlo con Python
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La formula in LaTeX e in altre notazioni matematiche (da copiare)
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Come chiedere a ChatGPT di fare il calcolo
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I punti di forza di DataChef
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Funzioni correlate
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Tutte le calcolatrici di NumberChef
Cosa puoi fare in questa pagina
- Sviluppa \((Ax+B)^{n}\) (\(n\) da 0 a 12) con il binomio di Newton e vedi subito il risultato in potenze decrescenti di \(x\)
- Se ti serve solo il coefficiente di \(x^{3}\), indica la potenza di \(x\) (oppure il posto del termine) e trova solo quel termine
- Quando trovi un solo termine, vengono mostrati anche il valore del coefficiente binomiale \({}_n\mathrm{C}_k\) (in Italia si scrive \(\binom{n}{k}\) e si legge «n su k») e i passaggi con \(\dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}\)
- Il triangolo di Tartaglia è disegnato fino alla riga \(n\), con la riga usata evidenziata
- \(A\) e \(B\) possono essere numeri decimali, negativi o frazioni come 3/4. I coefficienti sono calcolati in modo esatto, come frazioni ridotte ai minimi termini
- In questa pagina trovi anche una spiegazione semplice delle formule e le formule da copiare e incollare in Excel, Fogli Google e Python
Questa pagina tratta la forma \((Ax+B)^{n}\) (\(n\) è un numero intero da 0 a 12). Non tratta gli esponenti frazionari o negativi (il binomio di Newton generalizzato) né le espressioni con tre o più termini (il teorema multinomiale).
A cosa serve questo calcolo?
La probabilità di k successi in n prove (controllo qualità, sondaggi, sperimentazioni cliniche)
Ripeti \(n\) volte un esperimento casuale, in cui la probabilità \(p\) è la stessa ogni volta e un risultato non influenza gli altri. La probabilità che qualcosa accada esattamente \(k\) volte è \({}_n\mathrm{C}_k p^{k}(1-p)^{n-k}\). È proprio un termine di \((p + (1-p))^n\) sviluppato con il binomio di Newton, e questo tipo di distribuzione di probabilità si chiama distribuzione binomiale.
Per esempio, se una linea di produzione ha sempre il 3% di pezzi difettosi e ne controlli 10, la probabilità di non trovarne nessuno difettoso è il termine con \(k = 0\), \(0{,}97^{10} \approx 0{,}737\), cioè circa il 74%. Detto al contrario, controllando 10 pezzi si trova un difetto circa il 26% delle volte. La stessa idea sta dietro alla scelta di quanti pezzi controllare, alla stima del margine di errore di un sondaggio e alla valutazione dell’efficacia di un nuovo farmaco.
Prevedere i caratteri dei figli (biologia e agricoltura)
Quando entrambi i genitori hanno la coppia di geni \(\mathrm{Aa}\), i genotipi dei figli compaiono nel rapporto \(\mathrm{AA} : \mathrm{Aa} : \mathrm{aa} = 1 : 2 : 1\). L’1, 2, 1 nasce dal fatto che ogni genitore trasmette \(\mathrm{A}\) o \(\mathrm{a}\) con probabilità \(\dfrac{1}{2}\) ciascuno: \(\left(\dfrac{1}{2}\mathrm{A} + \dfrac{1}{2}\mathrm{a}\right)^{2} = \dfrac{1}{4}\left(\mathrm{AA} + 2\,\mathrm{Aa} + \mathrm{aa}\right)\). Sono i coefficienti binomiali, gli stessi numeri della riga \(n = 2\) del triangolo di Tartaglia.
Con più caratteri, o quando si ragiona per numero di figli, diventa troppo difficile da seguire a mano. Il binomio di Newton risolve in un solo passaggio domande come «la probabilità che esattamente 2 fratelli su 4 abbiano un carattere». Chi seleziona piante e animali e chi fa consulenza genetica stima così le proporzioni attese.
Stime rapide di interesse composto e di crescita (denaro ed economia)
Il denaro che cresce a un tasso annuo \(r\) per \(n\) anni si moltiplica per \((1+r)^{n}\). Sviluppandolo con il binomio di Newton si ottiene \(1 + nr + {}_n\mathrm{C}_2 r^{2} + \cdots\). La prima parte, \(1 + nr\), è l’interesse semplice, e il resto sono gli «interessi sugli interessi».
Per esempio, all’1% annuo per 10 anni, \(1{,}01^{10} = 1{,}10462\cdots\), ma già i primi tre termini, \(1 + 0{,}1 + 0{,}0045\), danno 1,1045, quasi lo stesso valore. I termini successivi diventano sempre più piccoli, quindi è comodo per una stima a mente. Tassi d’interesse, tassi d’inflazione e tassi di crescita della popolazione, tutto ciò che cresce della stessa percentuale ogni anno, ha questa forma.
Stimare l’effetto di piccole variazioni (ingegneria, fisica, misure)
Nella progettazione e nelle misure serve spesso sapere in fretta di quanto cambia un risultato quando qualcosa varia di poco. Sviluppa con il binomio di Newton e trascura i termini piccoli di secondo grado e oltre, e ottieni l’approssimazione \((1+x)^{n} \approx 1 + nx\).
Per esempio, se ogni spigolo di un cubo diventa più lungo dell’1%, il volume diventa \((1+0{,}01)^{3} = 1{,}030301\) volte più grande, cioè circa il 3% in più. L’approssimazione dà \(1 + 3 \times 0{,}01 = 1{,}03\), quasi la stessa risposta. La regola pratica «un errore dell’1% sulla lunghezza vuol dire circa un errore del 3% sul volume» si usa direttamente quando si fissano le tolleranze dei pezzi e si stimano gli errori di misura.
Contare tutte le scelte possibili (combinazioni e calcolo combinatorio)
Quando decidi liberamente «sì o no» per ciascuna di \(n\) opzioni, il numero totale di combinazioni è \(2^{n}\). È il binomio di Newton con \(a = b = 1\), \(\sum_{k=0}^{n} {}_n\mathrm{C}_k = 2^{n}\), ed è anche la somma di ogni riga del triangolo di Tartaglia.
Per esempio, una pizza con 5 aggiunte disponibili si può ordinare in \(2^{5} = 32\) modi, compresa la pizza semplice, senza nessuna aggiunta. La riga dà anche la suddivisione: esattamente 2 aggiunte si possono ordinare in \({}_5\mathrm{C}_2 = 10\) modi. Questa idea si usa ogni volta che si contano le scelte, come le combinazioni di un menu, gli schemi di risposta a un questionario e i casi di prova di un software.
Formule e figure
Il binomio di Newton
Figura
Notazione matematica
(la notazione abituale)
\((a+b)^{n}\)
\(=\)
\(\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\)
\({}_{n}\mathrm{C}_{k}\)
\(a^{n-k}\)
\(b^{k}\)
A parole
(i simboli sostituiti da parole)
⑤
\((a+b)^n\): \(n\) copie di \((a+b)\) moltiplicate tra loro
\(=\)
④
somma di tutti i casi, con \(k\), il numero di \(b\) scelti, che va da 0 a \(n\)
①
\({}_n\mathrm{C}_k\): modi di scegliere \(k\) tra \(n\)
②
\(a^{n-k}\): \((n-k)\) copie di \(a\) moltiplicate
③
\(b^{k}\): \(k\) copie di \(b\) moltiplicate
La formula a parole
①
Moltiplica i
\({}_n\mathrm{C}_k\): modi di scegliere \(k\) tra \(n\)
②
per
\(a^{n-k}\): \((n-k)\) copie di \(a\) moltiplicate
③
e per
\(b^{k}\): \(k\) copie di \(b\) moltiplicate
④
poi
somma di tutti i casi, con \(k\), il numero di \(b\) scelti, che va da 0 a \(n\)
⑤
e ottieni
\((a+b)^n\): \(n\) copie di \((a+b)\) moltiplicate tra loro
Un esempio semplice
Sviluppando \((a+b)^{3}\) (i coefficienti 1, 3, 3, 1 sono i valori da \({}_3\mathrm{C}_0\) a \({}_3\mathrm{C}_3\)) si ottiene
3 copie di \((a+b)\) moltiplicate tra loro
\(=\)
somma di tutti i casi, con il numero di \(b\) \(k\) che va da 0 a 3
modi di scegliere \(k\) tra 3
\((3-k)\) copie di \(a\) moltiplicate
\(k\) copie di \(b\) moltiplicate
\((a+b)^{3} = {}_{3}\mathrm{C}_{0}a^{3} + {}_{3}\mathrm{C}_{1}a^{2}b + {}_{3}\mathrm{C}_{2}ab^{2} + {}_{3}\mathrm{C}_{3}b^{3}\)
\(= a^{3} + 3a^{2}b + 3ab^{2} + b^{3}\)
L’idea chiave
\((a+b)^n\) significa «scrivi la parentesi \((a+b)\) \(n\) volte e moltiplicale». Per sviluppare, da ogni parentesi scegli \(a\) oppure \(b\), moltiplichi le scelte tra loro e sommi i risultati di tutti i modi possibili di scegliere.
I modi di scegliere da quali \(k\) delle \(n\) parentesi prendere \(b\) sono \({}_n\mathrm{C}_k\) (in Italia si scrive \(\binom{n}{k}\), «n su k»). Quindi lo stesso tipo di termine \(a^{n-k}b^{k}\) compare \({}_n\mathrm{C}_k\) volte e, riunendoli, il coefficiente è \({}_n\mathrm{C}_k\). Il binomio di Newton dice solo questo.
La figura qui sopra mostra \((a+b)^2\) come area di un quadrato. Ci sono due rettangoli \(ab\), che danno \(2ab\), quindi si vedono con i propri occhi i coefficienti 1, 2, 1.
Il termine generale (il termine di posto \(k+1\))
Figura
Notazione matematica
(la notazione abituale)
\(T_{k+1}\)
\(=\)
\({}_{n}\mathrm{C}_{k}\)
\(a^{n-k}\)
\(b^{k}\)
A parole
(i simboli sostituiti da parole)
④
\(T_{k+1}\): il termine di posto \(k+1\) dello sviluppo
\(=\)
①
\({}_n\mathrm{C}_k\): modi di scegliere \(k\) tra \(n\)
②
\(a^{n-k}\): \((n-k)\) copie di \(a\) moltiplicate
③
\(b^{k}\): \(k\) copie di \(b\) moltiplicate
La formula a parole
①
Moltiplica i
\({}_n\mathrm{C}_k\): modi di scegliere \(k\) tra \(n\)
②
per
\(a^{n-k}\): \((n-k)\) copie di \(a\) moltiplicate
③
e per
\(b^{k}\): \(k\) copie di \(b\) moltiplicate
④
e ottieni
\(T_{k+1}\): il termine di posto \(k+1\) dello sviluppo
Un esempio semplice
Il 3º termine (\(k = 2\)) di \((2x+3)^{5}\), con \(a = 2x\) e \(b = 3\), è
3º termine \(T_{3}\)
\(=\)
modi di scegliere 2 tra 5
3 copie di \(2x\) moltiplicate
2 copie di 3 moltiplicate
\(T_{3} = {}_{5}\mathrm{C}_{2}(2x)^{3}\cdot 3^{2} = 10 \times 8x^{3} \times 9 = 720x^{3}\)
L’idea chiave
L’errore più comune con il binomio di Newton è che il numero del termine e \(k\) differiscono di uno. Il termine con \(k = 0\) è il 1º, quindi nel termine di posto \(k+1\), \(k\) è «il numero del termine meno 1». Per il 3º termine, \(k = 2\).
Quando un problema chiede «il coefficiente di \(x^{3}\)», trova \(k\) dalla potenza di \(x\), non dal numero del termine. In \((Ax+B)^n\), la potenza di \(x\) è \(n-k\), quindi risolvi \(n-k = 3\) per ottenere \(k = n-3\).
Quando \(a\) o \(b\) è un blocco come \(2x\), elevi alla potenza tutto il blocco, come in \((2x)^{3} = 8x^{3}\). Per non scrivere per sbaglio \(2x^{3}\), metti sempre le parentesi prima di calcolare.
Calcolo di un coefficiente binomiale (il numero di combinazioni)
Notazione matematica
(la notazione abituale)
\({}_{n}\mathrm{C}_{k}\)
\(=\)
\(\dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}\)
A parole
(i simboli sostituiti da parole)
②
\({}_n\mathrm{C}_k\): modi di scegliere \(k\) tra \(n\)
\(=\)
①
\(\dfrac{\text{modi di mettere in fila tutti gli }n\text{ oggetti }n!}{\text{ordini dei }k\text{ scelti }k!\ \times\ \text{ordini dei }(n-k)\text{ rimasti }(n-k)!}\)
La formula a parole
①
Il
\(\dfrac{\text{modi di mettere in fila tutti gli }n\text{ oggetti }n!}{\text{ordini dei }k\text{ scelti }k!\ \times\ \text{ordini dei }(n-k)\text{ rimasti }(n-k)!}\)
②
è il
\({}_n\mathrm{C}_k\): modi di scegliere \(k\) tra \(n\)
Un esempio semplice
Il numero di modi di scegliere 2 tra 5, \({}_5\mathrm{C}_2\), è
modi di scegliere 2 tra 5
\(=\)
\(\dfrac{\text{modi di mettere in fila tutti e 5 }5!}{\text{ordini dei 2 scelti }2!\ \times\ \text{ordini dei 3 rimasti }3!}\)
\({}_{5}\mathrm{C}_{2} = \dfrac{5!}{2!\,(5-2)!} = \dfrac{120}{2 \times 6} = 10\)
\({}_{5}\mathrm{C}_{2} = \dfrac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10\)
L’idea chiave
Il fattoriale è il prodotto di tutti i numeri interi da 1 fino a quel numero (\(5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120\)). Per definizione \(0! = 1\), quindi \({}_n\mathrm{C}_0 = {}_n\mathrm{C}_n = 1\).
Perché si divide? Pensa a mettere gli oggetti in fila. Metti tutti gli \(n\) oggetti in una riga e di’ che i primi \(k\) sono «scelti» e gli altri \((n-k)\) «non scelti». Allora ognuno degli \(n!\) ordini dà una scelta. Ma cambiare l’ordine dei \(k\) scelti (\(k!\) modi) o dei \((n-k)\) rimasti (\((n-k)!\) modi) non cambia chi è stato scelto. Ogni scelta è contata \(k!\,(n-k)!\) volte, quindi dividendo per questo resta solo il numero delle scelte.
A mano è più veloce la seconda forma qui sopra: sopra si contano \(k\) numeri a partire da \(n\) verso il basso e sotto c’è \(k!\). Per \({}_5\mathrm{C}_2\) si ha \(\dfrac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10\).
I coefficienti binomiali sono simmetrici: \({}_n\mathrm{C}_k = {}_n\mathrm{C}_{n-k}\) (scegliere \(k\) oggetti equivale a scegliere i \((n-k)\) da lasciare fuori). Per esempio \({}_7\mathrm{C}_5\) è più rapido come \({}_7\mathrm{C}_2 = 21\). È anche il motivo per cui i coefficienti di uno sviluppo si leggono uguali da entrambi i lati.
Triangolo di Tartaglia (la somma di due numeri vicini)
Figura
Notazione matematica
(la notazione abituale)
\({}_{n-1}\mathrm{C}_{k-1}\)
\(+\)
\({}_{n-1}\mathrm{C}_{k}\)
\(=\)
\({}_{n}\mathrm{C}_{k}\)
A parole
(i simboli sostituiti da parole)
①
\({}_{n-1}\mathrm{C}_{k-1}\): il numero in alto a sinistra, nella riga sopra
\(+\)
②
\({}_{n-1}\mathrm{C}_{k}\): il numero in alto a destra, nella riga sopra
\(=\)
③
\({}_n\mathrm{C}_k\): il numero subito sotto
La formula a parole
①
Somma il
\({}_{n-1}\mathrm{C}_{k-1}\): il numero in alto a sinistra, nella riga sopra
②
e il
\({}_{n-1}\mathrm{C}_{k}\): il numero in alto a destra, nella riga sopra
③
e ottieni il
\({}_n\mathrm{C}_k\): il numero subito sotto
Un esempio semplice
Sommando il 3 e il 3 della riga \(n = 3\) si ottiene il 6 della riga \(n = 4\)
in alto a sinistra \({}_3\mathrm{C}_1 = 3\)
\(+\)
in alto a destra \({}_3\mathrm{C}_2 = 3\)
\(=\)
subito sotto \({}_4\mathrm{C}_2 = 6\)
\({}_{3}\mathrm{C}_{1} + {}_{3}\mathrm{C}_{2} = 3 + 3 = 6 = {}_{4}\mathrm{C}_{2}\)
L’idea chiave
Il triangolo di Tartaglia (detto anche triangolo di Pascal) è formato dai coefficienti binomiali disposti in un triangolo, riga per riga dall’alto. Le due estremità di ogni riga valgono 1 e ogni numero interno è semplicemente la somma dei due numeri che ha direttamente sopra (in alto a sinistra e in alto a destra). Puoi costruire i coefficienti con le sole addizioni, senza alcun fattoriale.
Anche l’idea della scelta spiega perché questa addizione funziona. Per scegliere \(k\) oggetti tra \(n\), concentrati su un oggetto in particolare. O lo scegli (e allora ne scegli \((k-1)\) tra gli altri \((n-1)\)), o non lo scegli (e allora scegli tutti i \(k\) tra gli altri \((n-1)\)). I due casi sono esattamente i due numeri qui sopra.
I numeri di ogni riga sommati danno \(2^n\) (riga \(n = 4\): \(1+4+6+4+1 = 16 = 2^4\)). È il binomio di Newton con \(a = b = 1\).
Il binomio di Newton dice che \((a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} {}_n\mathrm{C}_k a^{n-k} b^{k}\): nello sviluppo, il coefficiente di \(a^{n-k}b^{k}\) è \({}_n\mathrm{C}_k\). Per trovare un solo termine, usa il termine generale \({}_n\mathrm{C}_k a^{n-k} b^{k}\) e ricava \(k\) dalla potenza di \(x\). I coefficienti coincidono con la riga \(n\) del triangolo di Tartaglia.
Simboli e termini
Simboli
| \({}_n\mathrm{C}_k\) | n C k, oppure n su k | Il numero di modi di scegliere \(k\) oggetti tra \(n\) (il numero di combinazioni). Nel binomio di Newton diventa un coefficiente dello sviluppo, quindi si chiama anche coefficiente binomiale. \(\mathrm{C}\) è l’iniziale di «combinazione». In Italia si scrive di solito \(\binom{n}{k}\) e si legge «n su k»; si trova anche nCk o C(n, k). |
| \(n!\) | n fattoriale | Il prodotto di tutti i numeri interi da 1 a \(n\) (\(4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24\)). Sembra un punto esclamativo, ma è il simbolo matematico del «fattoriale». Per definizione, \(0! = 1\). |
| \(a,\ b\) | a, b | I due termini dentro la parentesi nel binomio di Newton. «Binomio» vuol dire «due termini», ed è proprio questa coppia. Per convenzione, le lettere di inizio alfabeto \(a,\ b,\ c\) indicano valori fissati. |
| \(n\) | n | Quante copie della stessa parentesi si moltiplicano (l’esponente). La lettera \(n\), da «numero», si usa spesso per un conteggio. In questa pagina è un numero intero da 0 a 12. |
| \(k\) | k | Un contatore di «quanti \(b\) sono stati scelti». Va da 0 a \(n\). Il termine con \(k = 0\) è il 1º, ed è per questo che si parla del «termine di posto \(k+1\)». La lettera \(k\) è una scelta comune per un contatore intero. |
| \(\displaystyle\sum\) | sigma | Il simbolo di «somma tutto». È la sigma maiuscola dell’alfabeto greco, che corrisponde alla S di «somma». \(\sum_{k=0}^{n}\) significa «somma l’espressione che segue, con \(k\) che va da 0 a \(n\)». |
| \(T_{k+1}\) | T k più 1 | Il termine di posto \(k+1\) dall’inizio quando lo sviluppo è scritto in potenze decrescenti. \(T\) è l’iniziale di «termine». Si chiama termine generale. |
| \(A,\ B\) | A maiuscola, B maiuscola | Le lettere usate nei campi di questa calcolatrice. In \((Ax+B)^n\), \(A\) è il coefficiente di \(x\) e \(B\) è il termine noto senza \(x\). Nel binomio di Newton, \(a = Ax\) e \(b = B\). |
| \(x\) | ics | Una lettera il cui valore non è fissato (una variabile). Questa calcolatrice sviluppa espressioni della forma \((Ax+B)^n\), quindi il risultato è un polinomio in \(x\). |
Termini
| binomio di Newton | Il teorema secondo cui i coefficienti nello sviluppo di \((a+b)^n\) sono i numeri di combinazioni \({}_n\mathrm{C}_k\). Si chiama anche teorema binomiale o sviluppo della potenza di un binomio e di solito si studia nel triennio della scuola secondaria di secondo grado (16-19 anni). |
| coefficiente binomiale | Il coefficiente \({}_n\mathrm{C}_k\) che compare nel binomio di Newton. È lo stesso numero delle combinazioni, ma si usa questo nome quando lo si vede come coefficiente di uno sviluppo. In Italia si scrive \(\binom{n}{k}\) e si legge «n su k». |
| combinazione | Un modo di scegliere alcuni oggetti da un gruppo senza badare all’ordine. Il numero di modi di scegliere \(k\) tra \(n\) si scrive \({}_n\mathrm{C}_k\). A differenza di una permutazione, in cui l’ordine conta, lo stesso insieme di oggetti conta come un solo modo. |
| fattoriale | Il prodotto di tutti i numeri interi da 1 fino a quel numero. \(5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120\). Si usa per calcolare il numero di combinazioni. |
| termine generale | Una sola formula che descrive ogni termine di uno sviluppo in base al suo posto. Nel binomio di Newton, il termine di posto \(k+1\), \({}_n\mathrm{C}_k a^{n-k} b^{k}\), è il termine generale. Per trovare un solo termine, ci metti dentro i valori. |
| sviluppo | Eseguire i prodotti di un’espressione con le parentesi per scriverla come somma di termini senza parentesi. È l’operazione esattamente opposta alla scomposizione in fattori. |
| potenze decrescenti | Scrivere i termini di un’espressione dalla potenza più alta della variabile in giù, come in \(x^3 + 2x^2 - x + 5\). Le risposte si scrivono di solito in questo ordine (ordine decrescente rispetto a \(x\)). |
| triangolo di Tartaglia | I coefficienti binomiali disposti riga per riga in un triangolo. Le estremità valgono 1 e ogni numero interno è la somma dei due numeri che ha sopra. In Italia prende il nome dal matematico Niccolò Tartaglia (XVI secolo), in Francia e altrove da Blaise Pascal, ma era noto secoli prima in Persia, in India e in Cina, dove si chiama triangolo di Yang Hui. |
| polinomio | Un’espressione che somma termini fatti da un coefficiente per una potenza di \(x\), come \(2x^3 - x + 5\). Anche il risultato di uno sviluppo con il binomio di Newton è un polinomio. |
| termine | Ciascuno dei pezzi in cui un’espressione è divisa dai segni più e meno. \(x^3 - 2x + 3\) ha tre termini: \(x^3\), \(-2x\) e \(3\). |
| coefficiente | Il numero scritto davanti a una variabile. In \(3x^2\) il coefficiente è 3. Se non c’è nessun numero, come in \(x^2\), il coefficiente è 1. |
| esponente | Il piccolo 3 scritto in alto a destra di \(x^3\). Indica quante volte si moltiplica la stessa cosa (\(x^3 = x \times x \times x\)). Si chiama anche potenza. |
| termine noto | Un termine senza \(x\), fatto solo di un numero, come il 5 in \(x^2 + 3x + 5\). In questa calcolatrice, \(B\) dentro la parentesi e l’ultimo termine dello sviluppo sono termini noti. |
| distribuzione binomiale | La distribuzione di probabilità del numero di successi \(k\) quando lo stesso esperimento casuale è ripetuto \(n\) volte. Le sue probabilità \({}_n\mathrm{C}_k p^{k}(1-p)^{n-k}\) sono esattamente i termini di \((p + (1-p))^n\) sviluppato con il binomio di Newton, da cui viene il nome «binomiale». |
| binomio di Newton generalizzato | Il binomio di Newton esteso agli esponenti frazionari e negativi. Il risultato è un’espressione con infiniti termini (una serie infinita). Questa calcolatrice tratta solo gli esponenti interi uguali o maggiori di 0. |
Cosa conviene sapere prima
Ecco che cosa ti aiuta a usare il calcolo di questa pagina capendolo davvero, e non solo premendo il pulsante.
Se ti blocchi, tornare a ripassare questi argomenti è la strada più veloce.
| Sviluppo delle espressioni letterali (scuola secondaria di primo grado e biennio della secondaria di secondo grado, 11-16 anni) |
|
| Potenze e proprietà delle potenze (scuola secondaria di primo grado e biennio della secondaria di secondo grado, 11-16 anni) |
|
| Calcoli con i numeri relativi (scuola secondaria di primo grado, 11-14 anni) |
|
| Combinazioni e fattoriali (secondo biennio della scuola secondaria di secondo grado, 16-18 anni) |
|
| Simbolo di sommatoria (secondo biennio della scuola secondaria di secondo grado, 16-18 anni) |
|
| Calcoli con le frazioni (scuola primaria e scuola secondaria di primo grado) |
|
Come calcolarlo con Excel
Copia tutta la tabella qui sotto e incollala nella cella A1 di Excel. Funziona così com’è.
Tabella per trovare ogni coefficiente dello sviluppo con il binomio di Newton
| Coefficiente di x, A | 2 |
| Termine noto B | 3 |
| Esponente n | 5 |
| Coefficiente per k=0 (x alla n−0) | =SE.ERRORE(COMBINAZIONE($B$3;0)*$B$1^($B$3-0)*$B$2^0;0) |
| Coefficiente per k=1 (x alla n−1) | =SE.ERRORE(COMBINAZIONE($B$3;1)*$B$1^($B$3-1)*$B$2^1;0) |
| Coefficiente per k=2 (x alla n−2) | =SE.ERRORE(COMBINAZIONE($B$3;2)*$B$1^($B$3-2)*$B$2^2;0) |
| Coefficiente per k=3 (x alla n−3) | =SE.ERRORE(COMBINAZIONE($B$3;3)*$B$1^($B$3-3)*$B$2^3;0) |
| Coefficiente per k=4 (x alla n−4) | =SE.ERRORE(COMBINAZIONE($B$3;4)*$B$1^($B$3-4)*$B$2^4;0) |
| Coefficiente per k=5 (x alla n−5) | =SE.ERRORE(COMBINAZIONE($B$3;5)*$B$1^($B$3-5)*$B$2^5;0) |
| Coefficiente per k=6 (x alla n−6) | =SE.ERRORE(COMBINAZIONE($B$3;6)*$B$1^($B$3-6)*$B$2^6;0) |
Tabella per trovare il coefficiente del termine generale (termine di posto k+1)
| Coefficiente di x, A | 2 |
| Termine noto B | 3 |
| Esponente n | 5 |
| Numero del termine (dall’inizio) | 3 |
| k (numero del termine meno 1) | =B4-1 |
| Potenza di x (n−k) | =B3-B5 |
| Coefficiente binomiale nCk | =COMBINAZIONE(B3;B5) |
| Coefficiente del termine | =B7*B1^B6*B2^B5 |
Tabella per trovare un coefficiente binomiale (numero di combinazioni)
| n | 5 |
| k | 2 |
| Coefficiente binomiale nCk | =COMBINAZIONE(B1;B2) |
| Verifica con i fattoriali | =FATTORIALE(B1)/(FATTORIALE(B2)*FATTORIALE(B1-B2)) |
Tabella per costruire il triangolo di Tartaglia
| Riga n = 0 | 1 | |||||
| Riga n = 1 | 1 | 1 | ||||
| Riga n = 2 | 1 | =B2+C2 | 1 | |||
| Riga n = 3 | 1 | =B3+C3 | =C3+D3 | 1 | ||
| Riga n = 4 | 1 | =B4+C4 | =C4+D4 | =D4+E4 | 1 | |
| Riga n = 5 | 1 | =B5+C5 | =C5+D5 | =D5+E5 | =E5+F5 | 1 |
Dopo averla incollata, le righe in alto (A, B, n e così via) sono i dati da inserire e le righe in basso si calcolano da sole.
COMBINAZIONE(n; k) è il coefficiente binomiale nCk, FATTORIALE(n) è il fattoriale di n e «^» è il simbolo di potenza.
La prima tabella sviluppa (2x+3)⁵. Da k=0 in giù mostra 32, 240, 720, 1080, 810, 243 (la riga di k è il coefficiente di x alla potenza n−k). Cambia A, B e n e ottieni i coefficienti della tua espressione. Quando n è minore di 6, le righe dei termini che non esistono mostrano 0 (SE.ERRORE li trasforma in 0). Quando n è 7 o più, copia l’ultima riga verso il basso e cambia il 6 nella formula in 7, 8 e così via.
La seconda tabella trova solo il 3º termine: k è 2, la potenza di x è 3, il coefficiente binomiale è 10 e il coefficiente del termine è 720.
La terza tabella è il numero di modi di scegliere 2 tra 5, e entrambe le formule danno 10.
Nella quarta tabella si scrivono a mano solo gli 1 alle due estremità. Ogni numero interno è una formula che somma le due celle appena sopra. La riga n = 5 mostra 1, 5, 10, 10, 5, 1.
COMBINAZIONE(n; k) è il coefficiente binomiale nCk, FATTORIALE(n) è il fattoriale di n e «^» è il simbolo di potenza.
La prima tabella sviluppa (2x+3)⁵. Da k=0 in giù mostra 32, 240, 720, 1080, 810, 243 (la riga di k è il coefficiente di x alla potenza n−k). Cambia A, B e n e ottieni i coefficienti della tua espressione. Quando n è minore di 6, le righe dei termini che non esistono mostrano 0 (SE.ERRORE li trasforma in 0). Quando n è 7 o più, copia l’ultima riga verso il basso e cambia il 6 nella formula in 7, 8 e così via.
La seconda tabella trova solo il 3º termine: k è 2, la potenza di x è 3, il coefficiente binomiale è 10 e il coefficiente del termine è 720.
La terza tabella è il numero di modi di scegliere 2 tra 5, e entrambe le formule danno 10.
Nella quarta tabella si scrivono a mano solo gli 1 alle due estremità. Ogni numero interno è una formula che somma le due celle appena sopra. La riga n = 5 mostra 1, 5, 10, 10, 5, 1.
Come calcolarlo con Fogli Google
Copia tutta la tabella qui sotto e incollala nella cella A1 di Fogli Google. Funziona così com’è.
Tabella per trovare ogni coefficiente dello sviluppo con il binomio di Newton
| Coefficiente di x, A | 2 |
| Termine noto B | 3 |
| Esponente n | 5 |
| Coefficiente per k=0 (x alla n−0) | =SE.ERRORE(COMBINAZIONE($B$3;0)*$B$1^($B$3-0)*$B$2^0;0) |
| Coefficiente per k=1 (x alla n−1) | =SE.ERRORE(COMBINAZIONE($B$3;1)*$B$1^($B$3-1)*$B$2^1;0) |
| Coefficiente per k=2 (x alla n−2) | =SE.ERRORE(COMBINAZIONE($B$3;2)*$B$1^($B$3-2)*$B$2^2;0) |
| Coefficiente per k=3 (x alla n−3) | =SE.ERRORE(COMBINAZIONE($B$3;3)*$B$1^($B$3-3)*$B$2^3;0) |
| Coefficiente per k=4 (x alla n−4) | =SE.ERRORE(COMBINAZIONE($B$3;4)*$B$1^($B$3-4)*$B$2^4;0) |
| Coefficiente per k=5 (x alla n−5) | =SE.ERRORE(COMBINAZIONE($B$3;5)*$B$1^($B$3-5)*$B$2^5;0) |
| Coefficiente per k=6 (x alla n−6) | =SE.ERRORE(COMBINAZIONE($B$3;6)*$B$1^($B$3-6)*$B$2^6;0) |
Tabella per trovare il coefficiente del termine generale (termine di posto k+1)
| Coefficiente di x, A | 2 |
| Termine noto B | 3 |
| Esponente n | 5 |
| Numero del termine (dall’inizio) | 3 |
| k (numero del termine meno 1) | =B4-1 |
| Potenza di x (n−k) | =B3-B5 |
| Coefficiente binomiale nCk | =COMBINAZIONE(B3;B5) |
| Coefficiente del termine | =B7*B1^B6*B2^B5 |
Tabella per trovare un coefficiente binomiale (numero di combinazioni)
| n | 5 |
| k | 2 |
| Coefficiente binomiale nCk | =COMBINAZIONE(B1;B2) |
| Verifica con i fattoriali | =FATTORIALE(B1)/(FATTORIALE(B2)*FATTORIALE(B1-B2)) |
Tabella per costruire il triangolo di Tartaglia
| Riga n = 0 | 1 | |||||
| Riga n = 1 | 1 | 1 | ||||
| Riga n = 2 | 1 | =B2+C2 | 1 | |||
| Riga n = 3 | 1 | =B3+C3 | =C3+D3 | 1 | ||
| Riga n = 4 | 1 | =B4+C4 | =C4+D4 | =D4+E4 | 1 | |
| Riga n = 5 | 1 | =B5+C5 | =C5+D5 | =D5+E5 | =E5+F5 | 1 |
Le formule sono le stesse di Excel e funzionano così come sono (anche Fogli Google ha COMBINAZIONE e FATTORIALE con gli stessi nomi). Copia tutta la tabella, incollala nella cella A1 e sostituisci A, B e n con i tuoi numeri.
Come calcolarlo con Python
from fractions import Fraction
from math import comb
# Sviluppa (Ax + B) elevato a n (una frazione come 3/4 si scrive Fraction(3, 4))
coef_x = Fraction(2) # coefficiente di x, A
const = Fraction(3) # termine noto B
power = 5 # esponente n
# k va da 0 a n. La potenza di x è n - k e il coefficiente è nCk × A^(n-k) × B^k
for k in range(power + 1):
exponent = power - k
coefficient = comb(power, k) * coef_x ** exponent * const ** k
print(f"Coefficiente di x^{exponent}: {coefficient}")
# Trova solo il coefficiente di x^3 (k = n - 3)
target = 3
k = power - target
coefficient = comb(power, k) * coef_x ** target * const ** k
print(f"Coefficiente binomiale: {comb(power, k)}")
print(f"Coefficiente di x^{target}: {coefficient}")
Nella libreria standard, math.comb dà il coefficiente binomiale nCk e fractions.Fraction mantiene le frazioni esatte (math.comb richiede Python 3.8 o successivo). Questo esempio sviluppa (2x+3)⁵. Eseguendolo, i coefficienti compaiono nell’ordine 32, 240, 720, 1080, 810, 243 e infine il coefficiente di x al cubo, 720. Cambia A, B e n ed eseguilo.
La formula in LaTeX e in altre notazioni matematiche (da copiare)
Il binomio di Newton
(a+b)ⁿ = ₙC₀aⁿ + ₙC₁aⁿ⁻¹b + ⋯ + ₙCₙbⁿ
(a+b)^{n} = \sum_{k=0}^{n} {}_{n}\mathrm{C}_{k}\, a^{n-k} b^{k}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msup>
<mrow><mo>(</mo><mi>a</mi><mo>+</mo><mi>b</mi><mo>)</mo></mrow>
<mi>n</mi>
</msup>
<mo>=</mo>
<munderover>
<mo>∑</mo>
<mrow><mi>k</mi><mo>=</mo><mn>0</mn></mrow>
<mi>n</mi>
</munderover>
<mmultiscripts><mi mathvariant="normal">C</mi><mi>k</mi><none/><mprescripts/><mi>n</mi><none/></mmultiscripts>
<msup><mi>a</mi><mrow><mi>n</mi><mo>−</mo><mi>k</mi></mrow></msup>
<msup><mi>b</mi><mi>k</mi></msup>
</mrow>
</math>
(a+b)^n = sum_(k=0)^n C(n,k) a^(n-k) b^k
Sum[Binomial[n, k] a^(n - k) b^k, {k, 0, n}]
sum(binomial(n, k)*a^(n-k)*b^k, k = 0 .. n);
symsum(nchoosek(n, k)*a^(n-k)*b^k, k, 0, n)
(a+b)^n = ∑_(k=0)^n C(n,k) a^(n-k) b^k
Il termine generale (il termine di posto \(k+1\))
Tₖ₊₁ = ₙCₖ aⁿ⁻ᵏ bᵏ
T_{k+1} = {}_{n}\mathrm{C}_{k}\, a^{n-k} b^{k}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msub><mi>T</mi><mrow><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msub>
<mo>=</mo>
<mmultiscripts><mi mathvariant="normal">C</mi><mi>k</mi><none/><mprescripts/><mi>n</mi><none/></mmultiscripts>
<msup><mi>a</mi><mrow><mi>n</mi><mo>−</mo><mi>k</mi></mrow></msup>
<msup><mi>b</mi><mi>k</mi></msup>
</mrow>
</math>
T_(k+1) = C(n,k) a^(n-k) b^k
Binomial[n, k] a^(n - k) b^k
T := binomial(n, k)*a^(n-k)*b^k;
T = nchoosek(n, k)*a^(n-k)*b^k;
T_(k+1) = C(n,k) a^(n-k) b^k
Calcolo di un coefficiente binomiale (il numero di combinazioni)
ₙCₖ = n! ÷ (k!(n−k)!)
{}_{n}\mathrm{C}_{k} = \frac{n!}{k!\,(n-k)!}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mmultiscripts><mi mathvariant="normal">C</mi><mi>k</mi><none/><mprescripts/><mi>n</mi><none/></mmultiscripts>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow><mi>n</mi><mo>!</mo></mrow>
<mrow><mi>k</mi><mo>!</mo><mo>(</mo><mi>n</mi><mo>−</mo><mi>k</mi><mo>)</mo><mo>!</mo></mrow>
</mfrac>
</mrow>
</math>
C(n,k) = (n!)/(k!(n-k)!)
Binomial[n, k]
binomial(n, k);
nchoosek(n, k)
C(n,k) = n!/(k!(n-k)!)
Triangolo di Tartaglia (la somma di due numeri vicini)
ₙ₋₁Cₖ₋₁ + ₙ₋₁Cₖ = ₙCₖ
{}_{n-1}\mathrm{C}_{k-1} + {}_{n-1}\mathrm{C}_{k} = {}_{n}\mathrm{C}_{k}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mmultiscripts><mi mathvariant="normal">C</mi><mrow><mi>k</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow><none/><mprescripts/><mrow><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow><none/></mmultiscripts>
<mo>+</mo>
<mmultiscripts><mi mathvariant="normal">C</mi><mi>k</mi><none/><mprescripts/><mrow><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow><none/></mmultiscripts>
<mo>=</mo>
<mmultiscripts><mi mathvariant="normal">C</mi><mi>k</mi><none/><mprescripts/><mi>n</mi><none/></mmultiscripts>
</mrow>
</math>
C(n-1,k-1) + C(n-1,k) = C(n,k)
Binomial[n - 1, k - 1] + Binomial[n - 1, k] == Binomial[n, k]
binomial(n-1, k-1) + binomial(n-1, k) = binomial(n, k);
nchoosek(n-1, k-1) + nchoosek(n-1, k)
C(n-1,k-1) + C(n-1,k) = C(n,k)
Come chiedere a ChatGPT di fare il calcolo
Sei un assistente di calcolo per l’algebra. Esegui il calcolo seguente eseguendo davvero codice Python e basa la risposta solo sui numeri del risultato dell’esecuzione (non rispondere con il calcolo a mente né a intuito). Usa il binomio di Newton per sviluppare (2x+3)^5. Mostra ciascuno dei punti seguenti: 1. Il termine generale (il termine di posto k+1) 2. I coefficienti binomiali 5Ck per k = da 0 a 5 3. Lo sviluppo (in potenze decrescenti di x, con ogni coefficiente come frazione ridotta ai minimi termini o numero intero) 4. Il coefficiente di x^3 e come lo hai trovato (come hai scelto k) In Python calcola in modo esatto con math.comb e fractions.Fraction della libreria standard e mostra le formule usate e i numeri del risultato dell’esecuzione.
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Conta in quanti modi si possono disporre (permutazioni) e scegliere (combinazioni) degli oggetti
