Calcolatrice della numerosità campionaria (sondaggi e margine di errore)

Questa calcolatrice si usa in due modi. 1) Scrivi il livello di confidenza, la proporzione e il margine di errore per trovare la dimensione del campione che serve. 2) Scrivi il livello di confidenza, la proporzione e la dimensione del campione per trovare il margine di errore. Scrivi la dimensione della popolazione solo se la conosci.

Livello di confidenza (%)

Proporzione attesa (%)

Dimensione della popolazione N (lascia vuoto se non nota o molto grande)

1) Margine di errore ±ε (%)

2) Dimensione del campione n

Scrivi tutti i valori come percentuali (per esempio «95» per un livello di confidenza del 95% e «5» per un margine di errore di ±5%). Compila uno solo tra «margine di errore» e «dimensione del campione», a seconda di ciò che vuoi trovare.

Risultato

Scrivi il livello di confidenza e gli altri valori nei campi a sinistra e fai clic su «Calcola». Il risultato compare qui.

Indice

[ Chiudi X ]

Cosa puoi fare in questa pagina
A cosa serve questo calcolo?
Come si usa
Formula
Simboli e termini
- Simboli
- Termini
Cosa conviene sapere prima
Come calcolarlo con Excel
Come calcolarlo con Fogli Google
Come calcolarlo con Python
La formula in LaTeX e in altre notazioni matematiche (da copiare)
Come chiedere a ChatGPT di fare il calcolo
I punti di forza di DataChef
Funzioni correlate
Tutte le calcolatrici di NumberChef

Cosa puoi fare in questa pagina

«Quante persone devo intervistare per un livello di confidenza del 95% e un margine di errore di ±5%?» Ottieni subito la numerosità del campione che serve alla tua indagine
Al contrario, «Quanto è accurata, in più o in meno, un’indagine su 1000 persone?» Trovi il margine di errore nella stessa pagina
Se conosci la dimensione della popolazione (500 dipendenti, 1000 iscritti e così via), la correzione per popolazione finita la riduce al numero che ti serve davvero
In questa stessa pagina trovi anche una spiegazione semplice delle formule e le formule pronte da copiare per Excel, Fogli Google e Python

Questo calcolo presuppone che gli intervistati siano scelti dalla popolazione a caso e che l’indagine misuri una proporzione (%), come le risposte «sì» o «no». Per progettare un’indagine che stima una media (come il reddito medio) serve un’altra formula che usa la deviazione standard.

A cosa serve questo calcolo?

Capire il «±3 punti» dei sondaggi e dell’informazione elettorale

I sondaggi nazionali sui giornali e in televisione intervistano di solito da 1000 a 2000 persone scelte a caso tra più di 45 milioni di elettori. Con un livello di confidenza del 95%, un margine di errore di ±3% e una proporzione del 50%, la dimensione del campione necessaria è \(1{,}96^2 \times 0{,}25 \div 0{,}03^2 \approx 1067{,}1\) (circa 1068 persone). Questa formula risponde alla domanda: «Bastano davvero circa 1000 persone per sapere che cosa pensano decine di milioni di persone?»
Al contrario, puoi vedere che se «45% contro 47% di gradimento» sta dentro un margine di errore di ±3 punti, non puoi dire con certezza che ci sia una differenza statistica.

Progettare le indagini di soddisfazione dei clienti e dei dipendenti (aziende)

«Quanti dei nostri 1000 iscritti dobbiamo interpellare?» è un caso classico per la correzione per popolazione finita. Con un livello di confidenza del 95%, un margine di errore di ±5% e una proporzione del 50%, il valore prima della correzione, 384,16, scende a \(384{,}16 \div (1 + 383{,}16 \div 1000) \approx 277{,}7\) (278 persone dopo l’arrotondamento per eccesso).
Se decidi in anticipo quante risposte bastano per la precisione che ti serve, prima di mandare solleciti a tutti, puoi bilanciare con i numeri il costo e la precisione dell’indagine.

Controlli a campione nell’industria (controllo qualità)

Questa formula si usa anche per stimare la percentuale di difetti di pezzi prodotti in serie senza controllarli tutti. Se i dati storici indicano una percentuale di difetti di circa il 10%, un livello di confidenza del 90% e un margine di errore di ±4% danno \(1{,}65^2 \times 0{,}1 \times 0{,}9 \div 0{,}04^2 \approx 153{,}1\), quindi basta un campione di circa 154 pezzi.
L’esempio mostra anche che più la proporzione è lontana dal 50%, più la dispersione \(\hat{p}(1-\hat{p})\) è piccola e meno elementi servono.

Progettare il numero di partecipanti negli studi medici ed epidemiologici

In uno studio epidemiologico sulla «quota di persone di una zona che hanno questa condizione», il piano dello studio deve indicare quanti partecipanti servono. Se studi precedenti suggeriscono una prevalenza di circa il 20%, un livello di confidenza del 95% e un margine di errore di ±3% danno \(1{,}96^2 \times 0{,}2 \times 0{,}8 \div 0{,}03^2 \approx 683{,}0\), cioè circa 683 persone.
La ricerca clinica reale usa anche metodi più precisi adatti al disegno dello studio (come l’analisi della potenza). Questa formula è la forma di base da cui partono.

Gli ascolti TV vengono da un campione di famiglie, quanto è grande l’errore?

Gli ascolti TV si stimano da un panel di famiglie campione, non da tutte le case. Come esempio semplificato (i metodi reali di misurazione sono più complessi), prendi un panel di 2700 famiglie e un programma visto nel 10% di esse. Con un livello di confidenza del 95%, il margine di errore è \(1{,}96 \times \sqrt{0{,}1 \times 0{,}9 \div 2700} \approx 0{,}0113\) (circa ±1,1%). In Italia gli ascolti sono misurati da Auditel con un panel di circa 16.100 famiglie: con lo stesso calcolo semplificato il margine scenderebbe a \(1{,}96 \times \sqrt{0{,}1 \times 0{,}9 \div 16100} \approx 0{,}0046\) (circa ±0,46%).
Puoi allora vedere che «la differenza tra uno share del 9,5% e uno del 10,5% può rientrare nel margine di errore» e leggere le notizie con i numeri un passo più a fondo.

Formula

Dimensione del campione necessaria (quando la popolazione è molto grande)

Notazione matematica (la notazione abituale)

\(n_0\) \(=\) \(z^2\) \(\times\) \(\hat{p}\) \(\times\) \((1-\hat{p})\) \(\div\) \(\varepsilon^2\)

A parole (i simboli sostituiti da parole)

⑤ \(n_0\): valore calcolato \(=\) ① punteggio z \(z\) al quadrato \(\times\) ② \(\hat{p}\): proporzione attesa \(\times\) ③ il resto, \((1-\hat{p})\) \(\div\) ④ margine di errore \(\varepsilon\) al quadrato

La formula a parole

① Prendi il quadrato del punteggio z \(z\) fissato dal livello di confidenza

② moltiplicalo per la \(\hat{p}\): proporzione attesa

③ e per il resto della proporzione, \((1-\hat{p})\)

④ dividi per il quadrato del margine di errore \(\varepsilon\)

⑤ e ottieni il valore calcolato della dimensione del campione necessaria \(n_0\)

Un esempio semplice

Con un livello di confidenza del 95% (z = 1,96), una proporzione del 50% (0,5) e un margine di errore di ±5% (0,05), la dimensione del campione che serve è

\(n_0\): valore calcolato \(=\) 1,96 al quadrato (3,8416) \(\times\) proporzione (0,5) \(\times\) resto (1 − 0,5 = 0,5) \(\div\) 0,05 al quadrato (0,0025)

\(3{,}8416 \times 0{,}5 \times 0{,}5 \div 0{,}0025 = 3{,}8416 \times 0{,}25 \div 0{,}0025 = 384{,}16\)

L’idea chiave

Arrotonda il risultato per eccesso per ottenere un numero di persone (384,16 → 385 persone). Arrotondando per difetto, il margine di errore finirebbe per essere un po’ più grande dell’obiettivo. Se non hai idea in anticipo di quale sia la proporzione, scrivi 50%. La dispersione \(\hat{p}(1-\hat{p})\) è massima quando \(\hat{p}\) è 50%, quindi questo dà la stima più grande (e più prudente) del numero di persone. I punteggi z abituali per ogni livello di confidenza sono 80% → 1,28, 85% → 1,44, 90% → 1,65, 95% → 1,96, 98% → 2,33 e 99% → 2,58 (anche la calcolatrice di questa pagina usa questi valori arrotondati abituali; i libri di statistica a volte danno 90% → 1,645 e 99% → 2,576).

Correzione per popolazione finita della dimensione del campione (quando conosci la dimensione della popolazione \(N\))

Notazione matematica (la notazione abituale)

\(n\) \(=\) \(n_0\) \(\div\) \((\) \(1\) \(+\) \((n_0 - 1)\) \(\div\) \(N\) \()\)

A parole (i simboli sostituiti da parole)

⑤ \(n\): valore corretto \(=\) ④ \(n_0\): valore prima della correzione \(\div\) \((\) ③ \(1\) \(+\) ① valore prima della correzione meno 1, \((n_0 - 1)\) \(\div\) ② \(N\): dimensione della popolazione \()\)

La formula a parole

① Prendi il valore prima della correzione meno 1, \((n_0-1)\)

② dividilo per la \(N\): dimensione della popolazione

③ e somma \(1\)

④ Dividi il \(n_0\): valore prima della correzione per quel numero

⑤ e ottieni la dimensione del campione necessaria corretta \(n\)

Un esempio semplice

Se il valore prima della correzione è 384,16 (livello di confidenza del 95%, proporzione del 50%, margine di errore di ±5%) e la popolazione è di 500 persone, allora

valore corretto \(=\) valore prima della correzione (384,16) \(\div\) \((\) 1 \(+\) 384,16 − 1 = 383,16 \(\div\) popolazione (500 persone) \()\)

\(384{,}16 \div \left( 1 + \dfrac{383{,}16}{500} \right) = 384{,}16 \div 1{,}76632 \approx 217{,}49\)

L’idea chiave

Quando la popolazione è piccola, questa correzione riduce molto il numero di persone che servono (in questo esempio, 385 persone → 218 dopo l’arrotondamento per eccesso). Se puoi studiare direttamente una grande parte della popolazione, il risultato è tanto più sicuro. Il divisore «\(1 + (n_0 - 1) \div N\)» mostra quanto è forte la correzione. Se la popolazione \(N\) è molto più grande del valore calcolato \(n_0\), \((n_0 - 1) \div N\) è quasi 0, quindi il divisore è quasi 1 (dividere non cambia nulla, come senza correzione). Più la popolazione è piccola, più il divisore sale sopra 1 e meno persone servono. L’«1» è il punto di partenza di «dividi per 1 (lascia com’è) quando non c’è correzione». D’altra parte, se la popolazione è molto più grande del valore calcolato, la correzione non cambia quasi nulla, quindi puoi lasciare vuoto «dimensione della popolazione» nella calcolatrice (nessuna correzione). Come nella prima formula, arrotonda per eccesso (217,49 → 218 persone).

Margine di errore (quando la popolazione è molto grande)

Notazione matematica (la notazione abituale)

\(\varepsilon\) \(=\) \(z\) \(\times\) \(\sqrt{\dfrac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}\)

A parole (i simboli sostituiti da parole)

③ \(\varepsilon\): margine di errore \(=\) ① \(z\): punteggio z \(\times\) ② radice quadrata di \(\dfrac{\text{dispersione della proporzione }\hat{p}(1-\hat{p})}{\text{dimensione del campione }n}\)

La formula a parole

① Prendi il punteggio z \(z\) fissato dal livello di confidenza

② moltiplicalo per la radice quadrata di \(\dfrac{\text{dispersione della proporzione }\hat{p}(1-\hat{p})}{\text{dimensione del campione }n}\)

③ e ottieni il \(\varepsilon\): margine di errore

Un esempio semplice

Con un livello di confidenza del 95% (z = 1,96), per un’indagine in cui il 60% di 100 persone ha risposto «sì», il margine di errore è

\(\varepsilon\): margine di errore \(=\) punteggio z (1,96) \(\times\) radice quadrata di «0,6 × 0,4 ÷ 100»

\(1{,}96 \times \sqrt{0{,}6 \times 0{,}4 \div 100} = 1{,}96 \times \sqrt{0{,}0024} \approx 1{,}96 \times 0{,}0490 \approx 0{,}0960\ \ (9{,}60\%)\)

L’idea chiave

Per \(\hat{p}\) nella dispersione \(\hat{p}(1-\hat{p})\) usa la proporzione che hai davvero ottenuto nell’indagine (la proporzione del campione). La dimensione del campione \(n\) sta al denominatore dentro la radice quadrata, quindi per dimezzare l’errore ti serve un campione 4 volte più grande, e per ridurlo a un terzo ne serve uno 9 volte più grande. «Aggiungere altro campione aiuta solo lentamente» è una proprietà importante di questa formula.

Correzione per popolazione finita del margine di errore (quando conosci la dimensione della popolazione \(N\))

Notazione matematica (la notazione abituale)

\(\varepsilon\) \(=\) \(\varepsilon_0\) \(\times\) \(\sqrt{\dfrac{N-n}{N-1}}\)

A parole (i simboli sostituiti da parole)

③ \(\varepsilon\): margine di errore corretto \(=\) ① \(\varepsilon_0\): margine di errore prima della correzione \(\times\) ② radice quadrata del fattore di correzione \(\dfrac{\text{resto della popolazione }(N-n)}{\text{dimensione della popolazione meno 1 }(N-1)}\)

La formula a parole

① Prendi il margine di errore prima della correzione, \(\varepsilon_0\) (quello della terza formula)

② moltiplicalo per la radice quadrata del fattore di correzione \(\dfrac{\text{resto della popolazione }(N-n)}{\text{dimensione della popolazione meno 1 }(N-1)}\)

③ e ottieni il \(\varepsilon\): margine di errore corretto

Un esempio semplice

Se intervisti 200 persone di una popolazione di 1000 e il margine di errore prima della correzione è 6,35%, il margine di errore corretto è

\(\varepsilon\): margine di errore corretto \(=\) margine di errore prima della correzione (6,35%) \(\times\) radice quadrata di «800 ÷ 999»

\(6{,}35 \times \sqrt{\dfrac{1000 - 200}{1000 - 1}} = 6{,}35 \times \sqrt{0{,}8008} \approx 6{,}35 \times 0{,}8949 \approx 5{,}68\,(\%)\)

L’idea chiave

Se studi una grande parte della popolazione, il risultato è tanto più sicuro. Lo mostra il fattore di correzione: quando la dimensione del campione \(n\) si avvicina alla dimensione della popolazione \(N\), il fattore si avvicina a 0 (un censimento che copre tutti ha errore zero), e quando \(N\) è molto grande è quasi 1 (come senza correzione). Puoi moltiplicare il margine di errore espresso in percentuale (il fattore di correzione è un numero senza unità di misura, minore o uguale a 1).

La dimensione del campione necessaria è «punteggio z al quadrato × dispersione della proporzione ÷ margine di errore al quadrato», arrotondata per eccesso. Il margine di errore è «punteggio z × √(dispersione ÷ dimensione del campione)». Quando conosci la dimensione della popolazione, la correzione per popolazione finita riduce il numero di persone che servono (e rende l’errore più piccolo).

Simboli e termini

Simboli

\(n\)	enne	La dimensione del campione (la numerosità campionaria). In un sondaggio è il numero di persone di cui raccogli le risposte; in un controllo è il numero di pezzi che esamini.
\(n_0\)	enne con zero	Il valore calcolato della dimensione del campione necessaria quando la popolazione è considerata molto grande. È il valore prima della correzione per popolazione finita.
\(z\)	zeta	Il punteggio z (un valore della distribuzione normale standard) corrispondente al livello di confidenza. I valori abituali sono 1,96 per il 95% e 2,58 per il 99%.
\(\hat{p}\)	pi con il cappuccio	La proporzione (come la quota di risposte «sì» che vuoi conoscere). Per trovare la dimensione del campione, usa il valore che ti aspetti; per trovare il margine di errore, usa la proporzione che hai davvero ottenuto nell’indagine (la proporzione del campione). Si scrive come numero decimale da 0 a 1 (0,5 per il 50%).
\(\varepsilon\)	epsilon	Il margine di errore, lo scarto che ammetti tra il risultato dell’indagine e il valore vero. Si indica con ±, come in «±5%».
\(N\)	enne maiuscola	La dimensione della popolazione, il numero di persone o elementi dell’intero gruppo che vuoi studiare (esempio: tutti i 500 dipendenti).

Termini

popolazione	L’intero gruppo che vuoi davvero conoscere, come «tutti gli elettori del Paese» o «tutti i 500 dipendenti».
campione	La parte della popolazione che scegli per studiarla davvero. Il numero di persone o elementi del campione si chiama dimensione del campione (o numerosità campionaria).
campionamento casuale	Scegliere il campione in modo che tutti nella popolazione abbiano la stessa probabilità di essere scelti, come pescando i nomi da un cappello. Le formule di questa pagina presuppongono un campionamento casuale e non valgono per sondaggi in cui rispondono solo le persone che vogliono farlo.
proporzione della popolazione	La proporzione che vuoi davvero conoscere, come la quota di «sì» nell’intera popolazione. La proporzione ottenuta da un campione si chiama proporzione campionaria, per distinguerle.
livello di confidenza	Il grado di sicurezza: se ripetessi molte volte la stessa indagine, la percentuale di volte in cui il risultato cadrebbe entro il margine di errore. Il 95% è il più usato.
intervallo di confidenza	L’intervallo che si ottiene quando mostri un risultato d’indagine con una certa ampiezza, come in «52% ± 3% (da 49% a 55%)». Il margine di errore ±ε di questa pagina è quell’ampiezza.
margine di errore	Lo scarto che ammetti tra il risultato dell’indagine e il valore vero. È ciò che nei sondaggi delle notizie si indica con «un margine di errore di ±3 punti».
correzione per popolazione finita	Una correzione che abbassa la dimensione del campione necessaria o il margine di errore quando sai che la popolazione ha una dimensione limitata. Riflette il fatto che più studi della popolazione, più il risultato è sicuro.

Cosa conviene sapere prima

Ecco che cosa conviene sapere per usare il calcolo di questa pagina capendone il significato, e non solo premendo il pulsante.

Percentuali e rapporti (classe 5ª della primaria, 10-11 anni)	Saper passare dalle percentuali ai numeri decimali e viceversa, come 50% = 0,5 e 5% = 0,05 Sapere che «totale × percentuale = parte»
Radici quadrate (classe 2ª della secondaria di primo grado, 12-13 anni)	Conoscere la radice quadrata come «il numero che, elevato al quadrato, dà questo numero», come in \(\sqrt{0{,}0025} = 0{,}05\) Avere un’idea di come cambiano le radici quadrate: quando il numero sotto radice diventa un quarto, la radice quadrata diventa la metà
Campionamento casuale (scuola secondaria di primo grado, 12-14 anni)	Conoscere la differenza tra un’indagine completa e un’indagine a campione, e che cosa significano «popolazione» e «campione» Sapere che, se il campione non è scelto a caso, non si può stimare correttamente com’è fatta la popolazione
La distribuzione normale e l’inferenza statistica (scuola secondaria di secondo grado, 14-19 anni)	Sapere che le proporzioni dei campioni variano con una forma vicina a una distribuzione normale (l’idea del teorema del limite centrale) Conoscere l’idea di intervallo di confidenza per cui un livello di confidenza del 95% corrisponde a un punteggio z di 1,96

Come calcolarlo con Excel

Copia tutta la tabella qui sotto e incollala nella cella A1 di Excel. Funziona così com’è.

Tabella per calcolare la dimensione del campione necessaria (popolazione molto grande)

Punteggio z (1,96 per il 95%)	1,96
Proporzione attesa (%)	50
Margine di errore (%)	5
Valore calcolato n0	=B1^2(B2/100)(1-B2/100)/(B3/100)^2
Dimensione del campione necessaria (per eccesso)	=ARROTONDA.PER.ECC(B4;0)

Tabella per la correzione per popolazione finita della dimensione del campione

Punteggio z (1,96 per il 95%)	1,96
Proporzione attesa (%)	50
Margine di errore (%)	5
Dimensione della popolazione N	500
Valore prima della correzione n0	=B1^2(B2/100)(1-B2/100)/(B3/100)^2
Dimensione del campione necessaria (corretta, per eccesso)	=ARROTONDA.PER.ECC(B5/(1+(B5-1)/B4);0)

Tabella per calcolare il margine di errore (popolazione molto grande)

Punteggio z (1,96 per il 95%)	1,96
Proporzione ottenuta nell’indagine (%)	60
Dimensione del campione n	100
Margine di errore (%)	=B1RADQ(B2/100(1-B2/100)/B3)*100

Tabella per la correzione per popolazione finita del margine di errore

Punteggio z (1,96 per il 95%)	1,96
Proporzione ottenuta nell’indagine (%)	30
Dimensione del campione n	200
Dimensione della popolazione N	1000
Margine di errore prima della correzione (%)	=B1RADQ(B2/100(1-B2/100)/B3)*100
Margine di errore corretto (%)	=B5*RADQ((B4-B3)/(B4-1))

Dopo l’incolla, le celle in alto (da B1) sono i tuoi dati e l’ultima riga mostra il risultato calcolato.
Nella prima tabella, B4 mostra 384,16 e B5 mostra 385. La risposta della seconda tabella è 218, quella della terza circa 9,60 (%) e quella della quarta circa 5,68 (%).
«^» è la potenza (al quadrato), «RADQ» è la radice quadrata e «ARROTONDA.PER.ECC» è la funzione per arrotondare per eccesso.
Nota che la calcolatrice di questa pagina aggiunge uno in più per sicurezza anche quando il valore calcolato è esattamente un numero intero, quindi per valori tondi può differire di 1 da ARROTONDA.PER.ECC di Excel.

Come calcolarlo con Fogli Google

Copia tutta la tabella qui sotto e incollala nella cella A1 di Fogli Google. Funziona così com’è.

Tabella per calcolare la dimensione del campione necessaria (popolazione molto grande)

Punteggio z (1,96 per il 95%)	1,96
Proporzione attesa (%)	50
Margine di errore (%)	5
Valore calcolato n0	=B1^2(B2/100)(1-B2/100)/(B3/100)^2
Dimensione del campione necessaria (per eccesso)	=ARROTONDA.PER.ECC(B4;0)

Tabella per la correzione per popolazione finita della dimensione del campione

Punteggio z (1,96 per il 95%)	1,96
Proporzione attesa (%)	50
Margine di errore (%)	5
Dimensione della popolazione N	500
Valore prima della correzione n0	=B1^2(B2/100)(1-B2/100)/(B3/100)^2
Dimensione del campione necessaria (corretta, per eccesso)	=ARROTONDA.PER.ECC(B5/(1+(B5-1)/B4);0)

Tabella per calcolare il margine di errore (popolazione molto grande)

Punteggio z (1,96 per il 95%)	1,96
Proporzione ottenuta nell’indagine (%)	60
Dimensione del campione n	100
Margine di errore (%)	=B1RADQ(B2/100(1-B2/100)/B3)*100

Tabella per la correzione per popolazione finita del margine di errore

Punteggio z (1,96 per il 95%)	1,96
Proporzione ottenuta nell’indagine (%)	30
Dimensione del campione n	200
Dimensione della popolazione N	1000
Margine di errore prima della correzione (%)	=B1RADQ(B2/100(1-B2/100)/B3)*100
Margine di errore corretto (%)	=B5*RADQ((B4-B3)/(B4-1))

Puoi usare le stesse formule di Excel così come sono. Copia tutta la tabella, incollala nella cella A1 e sostituisci i numeri della colonna B con i valori della tua indagine.

Come calcolarlo con Python

import math

# Tabella rapida dal livello di confidenza (%) al punteggio z (valori abituali arrotondati)
z_table = {80: 1.28, 85: 1.44, 90: 1.65, 95: 1.96, 98: 2.33, 99: 2.58}

# ---- Modo 1: trova la dimensione del campione necessaria ----
confidence_level = 95    # livello di confidenza (%)
population_ratio = 50    # proporzione attesa (%)
margin_of_error = 5      # margine di errore (%)
population_size = None   # dimensione della popolazione (None se non nota o molto grande)

z = z_table[confidence_level]
p = population_ratio / 100
e = margin_of_error / 100

raw_size = z ** 2 * p * (1 - p) / e ** 2   # valore prima della correzione
if population_size is not None:
    raw_size = raw_size / (1 + (raw_size - 1) / population_size)   # correzione per popolazione finita
required_size = math.floor(raw_size) + 1   # il più piccolo intero sopra il valore calcolato (per eccesso, per sicurezza)
print(f"Dimensione del campione necessaria: {required_size}")

# ---- Modo 2: trova il margine di errore ----
sample_size = 1000       # dimensione del campione intervistato davvero
sample_ratio = 50 / 100  # proporzione ottenuta nell’indagine (0,5 per il 50%)

error_ratio = z * math.sqrt(sample_ratio * (1 - sample_ratio) / sample_size)
print(f"Margine di errore: ±{error_ratio * 100:.2f}%")

Funziona solo con la libreria standard. Il modo 1 calcola la dimensione del campione necessaria (385 con i valori dell’esempio) e il modo 2 calcola il margine di errore (±3,10% con i valori dell’esempio). Sostituisci i numeri all’inizio con le condizioni della tua indagine ed eseguilo.

La formula in LaTeX e in altre notazioni matematiche (da copiare)

Dimensione del campione necessaria (quando la popolazione è molto grande)

n₀ = z² × p̂(1 − p̂) ÷ ε²

n_0 = \dfrac{z^2 \, \hat{p}(1-\hat{p})}{\varepsilon^2}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <msub><mi>n</mi><mn>0</mn></msub>
    <mo>=</mo>
    <mfrac>
      <mrow>
        <msup><mi>z</mi><mn>2</mn></msup>
        <mover accent="true"><mi>p</mi><mo>^</mo></mover>
        <mo>(</mo><mn>1</mn><mo>&#x2212;</mo><mover accent="true"><mi>p</mi><mo>^</mo></mover><mo>)</mo>
      </mrow>
      <msup><mi>&#x3B5;</mi><mn>2</mn></msup>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

n_0 = (z^2 hat(p)(1 - hat(p)))/(epsilon^2)

z^2*p*(1 - p)/err^2

n0 := z^2*p*(1 - p)/err^2;

n0 = z^2*p*(1 - p)/err^2;

n_0 = (z^2 p̂(1 − p̂))/ε^2

Correzione per popolazione finita della dimensione del campione (quando conosci la dimensione della popolazione \(N\))

n = n₀ ÷ (1 + (n₀ − 1) ÷ N)

n = \dfrac{n_0}{1 + \dfrac{n_0 - 1}{N}}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>n</mi>
    <mo>=</mo>
    <mfrac>
      <msub><mi>n</mi><mn>0</mn></msub>
      <mrow>
        <mn>1</mn><mo>+</mo>
        <mfrac>
          <mrow><msub><mi>n</mi><mn>0</mn></msub><mo>&#x2212;</mo><mn>1</mn></mrow>
          <mi>N</mi>
        </mfrac>
      </mrow>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

n = n_0/(1 + (n_0 - 1)/N)

n0/(1 + (n0 - 1)/nPop)

n := n0/(1 + (n0 - 1)/N);

n = n0/(1 + (n0 - 1)/N);

n = n_0/(1 + (n_0 − 1)/N)

Margine di errore (quando la popolazione è molto grande)

ε = z × √(p̂(1 − p̂) ÷ n)

\varepsilon = z \sqrt{\dfrac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>&#x3B5;</mi>
    <mo>=</mo>
    <mi>z</mi>
    <msqrt>
      <mfrac>
        <mrow>
          <mover accent="true"><mi>p</mi><mo>^</mo></mover>
          <mo>(</mo><mn>1</mn><mo>&#x2212;</mo><mover accent="true"><mi>p</mi><mo>^</mo></mover><mo>)</mo>
        </mrow>
        <mi>n</mi>
      </mfrac>
    </msqrt>
  </mrow>
</math>

epsilon = z sqrt((hat(p)(1 - hat(p)))/n)

z*Sqrt[p*(1 - p)/n]

err := z*sqrt(p*(1 - p)/n);

err = z*sqrt(p*(1 - p)/n);

ε = z√((p̂(1 − p̂))/n)

Correzione per popolazione finita del margine di errore (quando conosci la dimensione della popolazione \(N\))

ε = ε₀ × √((N − n) ÷ (N − 1))

\varepsilon = \varepsilon_0 \sqrt{\dfrac{N-n}{N-1}}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>&#x3B5;</mi>
    <mo>=</mo>
    <msub><mi>&#x3B5;</mi><mn>0</mn></msub>
    <msqrt>
      <mfrac>
        <mrow><mi>N</mi><mo>&#x2212;</mo><mi>n</mi></mrow>
        <mrow><mi>N</mi><mo>&#x2212;</mo><mn>1</mn></mrow>
      </mfrac>
    </msqrt>
  </mrow>
</math>

epsilon = epsilon_0 sqrt((N - n)/(N - 1))

err0*Sqrt[(nPop - n)/(nPop - 1)]

err := err0*sqrt((N - n)/(N - 1));

err = err0*sqrt((N - n)/(N - 1));

ε = ε_0 √((N − n)/(N − 1))

Come chiedere a ChatGPT di fare il calcolo

Sei un assistente per il calcolo delle indagini statistiche. Esegui il calcolo seguente eseguendo davvero del codice Python e basa la risposta solo sui numeri del risultato dell’esecuzione (non rispondere con calcoli a mente o ipotesi).

Un servizio con 1000 iscritti sta facendo un’indagine di soddisfazione. Usa un livello di confidenza del 95% (punteggio z 1,96), una proporzione attesa del 50% e un margine di errore di ±5%.
Trova ciascuno dei seguenti valori:
1. La dimensione del campione necessaria quando la popolazione è considerata molto grande (il valore calcolato e il numero di persone dopo l’arrotondamento per eccesso)
2. La dimensione del campione necessaria con la correzione per popolazione finita per una popolazione di 1000
3. Il margine di errore (con la correzione per popolazione finita, in %) se rispondono solo 200 persone

Mostra le formule che hai usato e i numeri del risultato dell’esecuzione.

Come si usa

1

Inserisci i numeri

Scrivi nei campi i numeri con cui vuoi fare il calcolo
2

Calcola

Fai clic sul pulsante «Calcola»
3

Guarda il risultato

Il risultato compare subito. Nella stessa pagina trovi anche lo svolgimento del calcolo e la spiegazione della formula