Calcolatrice del teorema di Pitagora (ipotenusa e cateti di un triangolo rettangolo)

Dei tre lati a, b e c di un triangolo rettangolo (c è l’ipotenusa), scrivi solo i due che conosci. Il teorema di Pitagora dà il lato mancante e vengono mostrati anche i due angoli acuti, l’area, il perimetro e l’altezza relativa all’ipotenusa.

Cateto a

Cateto b

Ipotenusa c

Scrivi solo due lati (lascia vuoto quello mancante). Le lunghezze devono essere numeri maggiori di 0 (vanno bene i decimali), tutte nella stessa unità (per esempio, tutte in metri).

Risultato e figura

Scrivi le lunghezze dei due lati che conosci nei campi a sinistra e fai clic su «Calcola». Il risultato comparirà qui.

Indice

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Cosa puoi fare in questa pagina
A cosa serve questo calcolo?
Come si usa
Formule e figure
Simboli e termini
- Simboli
- Termini
Cosa conviene sapere prima
Come calcolarlo con Excel
Come calcolarlo con Fogli Google
Come calcolarlo con Python
La formula in LaTeX e in altre notazioni matematiche (da copiare)
Come chiedere a ChatGPT di fare il calcolo
I punti di forza di DataChef
Funzioni correlate
Tutte le calcolatrici di NumberChef

Cosa puoi fare in questa pagina

Scrivi due qualsiasi dei tre lati di un triangolo rettangolo e il teorema di Pitagora \(a^2 + b^2 = c^2\) ti dà subito il terzo lato
Domande come «so solo che è 3 m in una direzione e 4 m nell’altra. Quanto è lunga la diagonale?» trovano risposta in un solo passaggio
Oltre al lato mancante, trova anche i due angoli acuti, l’area, il perimetro e l’altezza relativa all’ipotenusa, con i passaggi
In questa pagina trovi anche una spiegazione semplice delle formule e le formule da copiare per Excel, Fogli Google e Python

Funziona solo per i triangoli rettangoli (triangoli con un angolo di esattamente 90°). L’ipotenusa c è il lato più lungo, opposto all’angolo retto. Non si può usare per i lati di un triangolo senza angolo retto.

A cosa serve questo calcolo?

Stimare fino a che altezza arriva una scala (fai da te e cantieri)

Se appoggi a un muro una scala di 5 m con i piedi a 1,5 m dal muro, arriva a \(\sqrt{5^2 - 1{,}5^2} = \sqrt{22{,}75} \approx 4{,}77\) m di altezza (circa 4,8 m).
Una scala si appoggia con i piedi lontani dal muro perché non si ribalti, quindi non arriva mai in alto quanto la sua lunghezza intera. Stimare l’altezza raggiunta con questo calcolo prima del lavoro è un’abitudine di base nei cantieri e negli impianti elettrici.

Tracciare un angolo retto con la regola del 3-4-5 (carpenteria e fondazioni)

Misura 3 m lungo un lato e 4 m lungo l’altro. Se la distanza tra i due segni è esattamente 5 m, l’angolo è retto (poiché \(3^2 + 4^2 = 5^2\), l’inverso del teorema di Pitagora dice che è un angolo retto). Per tracciati più grandi si usano 6-8-10 o 9-12-15.
Questo «metodo del 3-4-5» si usa da migliaia di anni, dai tenditori di corde dell’antico Egitto ai tracciati delle fondazioni di oggi. È l’uso più pratico di tutti i giorni del teorema di Pitagora.

Distanza in linea retta su una mappa (e nella programmazione)

Un punto a 300 m a est e 400 m a nord di te è a \(\sqrt{300^2 + 400^2} = 500\) m in linea retta.
Trovare la distanza tra due punti dalla differenza est-ovest e dalla differenza nord-sud (la formula della distanza) è proprio il teorema di Pitagora. Gira dentro quasi tutti i programmi che trattano le posizioni, come i navigatori GPS, le app di mappe e i videogiochi.

Trovare la lunghezza inclinata di scale e rampe (progettazione e ristrutturazione)

Una scala che avanza di 3,6 m in orizzontale e sale di 2,7 m ha una lunghezza inclinata di \(\sqrt{3{,}6^2 + 2{,}7^2} = \sqrt{20{,}25} = 4{,}5\) m.
La lunghezza di qualsiasi pezzo inclinato, come il corrimano di una scala o l’asse di una rampa, si ricava dalle misure orizzontali e verticali del progetto con il teorema di Pitagora. Puoi usarla subito per stimare i materiali prima di andare al negozio.

Formule e figure

Il teorema di Pitagora (come sono legati i tre lati)

Figura

Notazione matematica (la notazione abituale)

\(a^2\) \(+\) \(b^2\) \(=\) \(c^2\)

A parole (i simboli sostituiti da parole)

① \(a^2\): cateto \(a\) al quadrato \(+\) ② \(b^2\): cateto \(b\) al quadrato \(=\) ③ \(c^2\): ipotenusa \(c\) al quadrato

La formula a parole

① Somma \(a^2\): cateto \(a\) al quadrato

② e \(b^2\): cateto \(b\) al quadrato

③ e la somma è esattamente uguale a \(c^2\): ipotenusa \(c\) al quadrato

Un esempio semplice

Verificandolo con un triangolo rettangolo di lati 3, 4 e 5

cateto a al quadrato (3² = 9) \(+\) cateto b al quadrato (4² = 16) \(=\) ipotenusa c al quadrato (5² = 25)

\(3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2\)

L’idea chiave

L’ipotenusa \(c\) è il lato opposto all’angolo retto e il lato più lungo di un triangolo rettangolo. Questa relazione vale solo per i triangoli rettangoli. Vale anche al contrario: un triangolo qualsiasi i cui tre lati soddisfano questa equazione è sempre un triangolo rettangolo (l’inverso del teorema di Pitagora). È quello che usano i muratori per controllare che un angolo sia retto.

Formula dell’ipotenusa \(c\)

Figura

Notazione matematica (la notazione abituale)

\(c\) \(=\) \(\sqrt{a^2 + b^2}\)

A parole (i simboli sostituiti da parole)

② \(c\): ipotenusa \(=\) ① radice quadrata della somma dei quadrati \(a^2 + b^2\)

La formula a parole

① Calcola la radice quadrata della somma dei quadrati \(a^2 + b^2\) (elevi al quadrato ogni cateto, li sommi, poi fai la radice quadrata)

② e ottieni \(c\): ipotenusa

Un esempio semplice

Quando i due cateti sono 3 e 4, l’ipotenusa è

\(c\): ipotenusa \(=\) radice quadrata della somma dei quadrati (3² + 4² = 25)

\(c = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\)

L’idea chiave

È \(a^2 + b^2 = c^2\) risolta rispetto a \(c\). Un errore frequente è scrivere \(\sqrt{a^2} + \sqrt{b^2}\) (che è solo \(a + b\)). Prima fai tutta la somma dentro la radice quadrata, poi fai la radice quadrata una sola volta, alla fine. La risposta giusta è \(\sqrt{9 + 16} = 5\), non \(\sqrt{9} + \sqrt{16} = 7\).

Formula del cateto mancante

Figura

Notazione matematica (la notazione abituale)

\(b\) \(=\) \(\sqrt{c^2 - a^2}\)

A parole (i simboli sostituiti da parole)

② \(b\): cateto mancante \(=\) ① radice quadrata della differenza dei quadrati \(c^2 - a^2\)

La formula a parole

① Calcola la radice quadrata della differenza dei quadrati \(c^2 - a^2\) (sottrai il quadrato del cateto noto dal quadrato dell’ipotenusa, poi fai la radice quadrata)

② e ottieni il \(b\): cateto mancante

Un esempio semplice

Quando l’ipotenusa è 13 e un cateto è 5, l’altro cateto è

\(b\): cateto mancante \(=\) radice quadrata della differenza dei quadrati (13² − 5² = 144)

\(b = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12\)

L’idea chiave

Attenzione all’ordine della sottrazione. Sottrai sempre il quadrato del cateto noto dal quadrato dell’ipotenusa, il lato più lungo. Per trovare invece il cateto \(a\), usa la stessa forma: \(a = \sqrt{c^2 - b^2}\). Se la sottrazione dà 0 o meno, il lato che hai chiamato ipotenusa non è l’ipotenusa (l’ipotenusa è sempre più lunga di ciascun cateto).

Altezza relativa all’ipotenusa

Figura

Notazione matematica (la notazione abituale)

\(h\) \(=\) \(a\) \(\times\) \(b\) \(\div\) \(c\)

A parole (i simboli sostituiti da parole)

④ \(h\): altezza relativa all’ipotenusa \(=\) ① \(a\): cateto \(\times\) ② \(b\): cateto \(\div\) ③ \(c\): ipotenusa

La formula a parole

① Moltiplica \(a\): cateto

② per \(b\): cateto

③ dividi per \(c\): ipotenusa

④ e ottieni \(h\): altezza relativa all’ipotenusa

Un esempio semplice

In un triangolo rettangolo con lati 3, 4 e 5, l’altezza che parte dall’ipotenusa (il lato lungo 5) come base è

altezza \(h\) \(=\) cateto a (3) \(\times\) cateto b (4) \(\div\) ipotenusa c (5)

\(h = 3 \times 4 \div 5 = 12 \div 5 = 2{,}4\)

L’idea chiave

Questa formula nasce dallo scrivere l’area in due modi. Con i due cateti, l’area di un triangolo rettangolo è \(a \times b \div 2\). Con l’ipotenusa come base, è \(c \times h \div 2\). L’area è la stessa, quindi \(a \times b = c \times h\). Risolvendo rispetto a \(h\) si ottiene \(h = a \times b \div c\).

Il teorema di Pitagora dice che la somma dei quadrati dei due cateti è uguale al quadrato dell’ipotenusa e vale solo per i triangoli rettangoli. Se conosci due lati, trovi il terzo in due passaggi: elevi al quadrato e sommi (per l’ipotenusa) oppure elevi al quadrato e sottrai (per un cateto), poi fai la radice quadrata.

Simboli e termini

Simboli

\(a\), \(b\)	a, b	Le lunghezze dei due cateti, i lati che formano l’angolo retto. Non importa quale chiami a: il risultato è lo stesso.
\(c\)	c	La lunghezza dell’ipotenusa, il lato più lungo di un triangolo rettangolo, opposto all’angolo retto.
\(a^2\)	a al quadrato	Un numero moltiplicato per sé stesso (\(a^2 = a \times a\)). Il 2 piccolo in alto è un esponente che dice «usalo come fattore due volte». (Esempio: \(3^2 = 3 \times 3 = 9\))
\(\sqrt{\phantom{x}}\)	radice quadrata (segno di radice)	Il simbolo della radice quadrata. \(\sqrt{25}\) è il numero positivo che elevato al quadrato dà 25, cioè 5. Può anche essere un numero con infinite cifre decimali, come \(\sqrt{2}\) (circa 1,414).
\(\alpha\), \(\beta\)	alfa, beta	Lettere greche usate spesso per indicare gli angoli. In questa pagina \(\alpha\) è l’angolo opposto al cateto a e \(\beta\) è l’angolo opposto al cateto b, e \(\alpha + \beta = 90°\).
\(\arcsin\)	arcoseno	L’inverso del rapporto seno \(\sin\) (lato opposto ÷ ipotenusa). Risale dal rapporto all’angolo. Questa calcolatrice trova gli angoli con esso. Su una calcolatrice scientifica è il tasto sin⁻¹.
\(h\)	h	L’altezza relativa all’ipotenusa: l’altezza dal vertice dell’angolo retto all’ipotenusa, con l’ipotenusa come base. È la prima lettera di «altezza».

Termini

teorema di Pitagora	Il teorema per cui i tre lati di un triangolo rettangolo soddisfano \(a^2 + b^2 = c^2\) (c è l’ipotenusa). Prende il nome dal matematico greco antico Pitagora (intorno al VI secolo a. C.). Si studia alla scuola secondaria di primo grado.
cateto	Uno dei due lati di un triangolo rettangolo che formano l’angolo retto. I due cateti si chiamano di solito a e b e sono sempre più corti dell’ipotenusa.
triangolo rettangolo	Un triangolo in cui uno dei tre angoli è esattamente di 90° (un angolo retto). Il teorema di Pitagora vale solo per questa forma.
ipotenusa	Il lato di un triangolo rettangolo opposto all’angolo retto. È il più lungo dei tre lati e, nel teorema di Pitagora, il suo quadrato sta sempre da solo da una parte dell’uguaglianza.
radice quadrata	Un numero che, elevato al quadrato, dà il numero di partenza. La radice quadrata positiva di 25 è 5 e la radice quadrata di 2 è \(\sqrt{2} \approx 1{,}414\). Le radici quadrate si studiano alla scuola secondaria di primo grado.
terna pitagorica	Un insieme di tre numeri interi che soddisfano il teorema di Pitagora. (3, 4, 5), (5, 12, 13) e (8, 15, 17) sono ben note. Compaiono spesso negli esercizi e quando i muratori tracciano gli angoli retti.
inverso del teorema di Pitagora	Il teorema per cui un triangolo i cui tre lati soddisfano \(a^2 + b^2 = c^2\) è un triangolo rettangolo. Misurando soltanto i lati si può controllare se un angolo è retto, quindi si usa nei cantieri veri.

Cosa conviene sapere prima

Ecco cosa ti aiuta a usare il calcolo di questa pagina capendone il senso, non solo premendo il pulsante.

Elevamento al quadrato e potenze (classi 1ª–2ª della secondaria di primo grado, 11-13 anni)	Sapere che elevare un numero al quadrato significa moltiplicarlo per sé stesso, come in \(3^2 = 3 \times 3 = 9\) Saper elevare al quadrato anche un decimale (per esempio, \(1{,}5^2 = 2{,}25\))
Radici quadrate (classi 2ª–3ª della secondaria di primo grado, 12-14 anni)	Saper riformulare «il numero positivo che elevato al quadrato dà 25» come \(\sqrt{25} = 5\) Sapere che una radice quadrata può essere un numero con infinite cifre decimali, come \(\sqrt{2}\)
Nozioni di base sul triangolo (scuola primaria e primo anno della secondaria di primo grado, 8-12 anni)	Saper trovare l’angolo retto (90°) in una figura Sapere che l’area di un triangolo è «base × altezza ÷ 2»
Il teorema di Pitagora (classi 2ª–3ª della secondaria di primo grado, 12-14 anni)	Saper dire quale lato di un triangolo rettangolo è l’ipotenusa (opposto all’angolo retto, il lato più lungo) Tenere a mente che \(c\) in \(a^2 + b^2 = c^2\) è sempre l’ipotenusa

Come calcolarlo con Excel

Copia tutta la tabella qui sotto e incollala nella cella A1 di Excel. Funziona così com’è.

Tabella per controllare se è un triangolo rettangolo

Cateto a	3
Cateto b	4
Ipotenusa c	5
Valore di a²+b²	=B1^2+B2^2
Valore di c²	=B3^2

Tabella per trovare l’ipotenusa c

Cateto a	3
Cateto b	4
Ipotenusa c	=RADQ(B1^2+B2^2)

Tabella per trovare il cateto mancante b

Ipotenusa c	13
Cateto a noto	5
Cateto b mancante	=RADQ(B1^2-B2^2)

Tabella per trovare l’altezza relativa all’ipotenusa h

Cateto a	3
Cateto b	4
Ipotenusa c	5
Altezza h	=B1*B2/B3

Dopo aver incollato, le righe in alto sono i dati da inserire e la formula dell’ultima riga si calcola da sola.
«^2» eleva un numero al quadrato e «RADQ(…)» è la funzione di Excel per la radice quadrata.
Nella prima tabella, se il valore di a²+b² (B4) e il valore di c² (B5) sono uguali, il triangolo è un triangolo rettangolo (per l’esempio 3, 4, 5 entrambi valgono 25).
Nella seconda tabella B3 mostra l’ipotenusa, 5. Sostituisci i numeri inseriti con le lunghezze dei tuoi lati.

Come calcolarlo con Fogli Google

Copia tutta la tabella qui sotto e incollala nella cella A1 di Fogli Google. Funziona così com’è.

Tabella per controllare se è un triangolo rettangolo

Cateto a	3
Cateto b	4
Ipotenusa c	5
Valore di a²+b²	=B1^2+B2^2
Valore di c²	=B3^2

Tabella per trovare l’ipotenusa c

Cateto a	3
Cateto b	4
Ipotenusa c	=RADQ(B1^2+B2^2)

Tabella per trovare il cateto mancante b

Ipotenusa c	13
Cateto a noto	5
Cateto b mancante	=RADQ(B1^2-B2^2)

Tabella per trovare l’altezza relativa all’ipotenusa h

Cateto a	3
Cateto b	4
Ipotenusa c	5
Altezza h	=B1*B2/B3

Valgono le stesse formule di Excel (la funzione RADQ e ^2). Copia tutta la tabella, incollala nella cella A1 e sostituisci i numeri inseriti con le lunghezze dei tuoi lati.

Come calcolarlo con Python

import math

side_a = 3.0   # cateto a
side_b = 4.0   # cateto b

hypotenuse = math.sqrt(side_a ** 2 + side_b ** 2)   # ipotenusa c (math.hypot(side_a, side_b) dà lo stesso risultato)
area = side_a * side_b / 2                          # area
perimeter = side_a + side_b + hypotenuse            # perimetro
height = side_a * side_b / hypotenuse               # altezza relativa all’ipotenusa
angle_alpha = math.degrees(math.asin(side_a / hypotenuse))   # angolo opposto al cateto a (gradi)

print(f"Ipotenusa c: {hypotenuse}")
print(f"Area: {area}")
print(f"Perimetro: {perimeter}")
print(f"Altezza relativa all’ipotenusa: {height}")
print(f"Angolo alfa: {angle_alpha}")

# Se conosci l’ipotenusa c e il cateto a, trovi il cateto mancante b con
# side_b = math.sqrt(hypotenuse ** 2 - side_a ** 2)

Funziona con il solo modulo math della libreria standard. «**» eleva a potenza (qui al quadrato) e «math.sqrt» è la radice quadrata. Cambia le due lunghezze in alto ed esegui.

La formula in LaTeX e in altre notazioni matematiche (da copiare)

Il teorema di Pitagora (come sono legati i tre lati)

a² + b² = c²

a^2 + b^2 = c^2

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup>
    <mo>+</mo>
    <msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup>
    <mo>=</mo>
    <msup><mi>c</mi><mn>2</mn></msup>
  </mrow>
</math>

a^2 + b^2 = c^2

a^2 + b^2 == c^2

a^2 + b^2 = c^2;

a^2 + b^2 == c^2

a^2 + b^2 = c^2

Formula dell’ipotenusa \(c\)

c = √(a² + b²)

c = \sqrt{a^2 + b^2}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>c</mi>
    <mo>=</mo>
    <msqrt>
      <mrow>
        <msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup>
        <mo>+</mo>
        <msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup>
      </mrow>
    </msqrt>
  </mrow>
</math>

c = sqrt(a^2 + b^2)

Sqrt[a^2 + b^2]

c := sqrt(a^2 + b^2);

c = sqrt(a^2 + b^2);

c = √(a^2 + b^2)

Formula del cateto mancante

b = √(c² − a²)

b = \sqrt{c^2 - a^2}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>b</mi>
    <mo>=</mo>
    <msqrt>
      <mrow>
        <msup><mi>c</mi><mn>2</mn></msup>
        <mo>&#x2212;</mo>
        <msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup>
      </mrow>
    </msqrt>
  </mrow>
</math>

b = sqrt(c^2 - a^2)

Sqrt[c^2 - a^2]

b := sqrt(c^2 - a^2);

b = sqrt(c^2 - a^2);

b = √(c^2 - a^2)

Altezza relativa all’ipotenusa

h = a × b ÷ c

h = \frac{ab}{c}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>h</mi>
    <mo>=</mo>
    <mfrac>
      <mrow><mi>a</mi><mi>b</mi></mrow>
      <mi>c</mi>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

h = (a b)/c

a*b/c

h := a*b/c;

h = a*b/c;

h = ab/c

Come chiedere a ChatGPT di fare il calcolo

Sei un assistente di calcolo per la geometria. Esegui il calcolo seguente eseguendo davvero del codice Python e basa la risposta solo sui numeri del risultato dell’esecuzione (non rispondere a mente né a intuito).

In un triangolo rettangolo, i due cateti sono a = 3 e b = 4.
Trova ciascuno dei seguenti valori:
1. La lunghezza dell’ipotenusa c (teorema di Pitagora c = √(a² + b²))
2. L’angolo α (opposto al cateto a) e l’angolo β (opposto al cateto b) in gradi
3. L’area e il perimetro
4. L’altezza relativa all’ipotenusa h = ab ÷ c

Mostra le formule usate e i numeri del risultato dell’esecuzione.

Come si usa

1

Inserisci i numeri

Scrivi nei campi i numeri con cui vuoi fare il calcolo
2

Calcola

Fai clic sul pulsante «Calcola»
3

Guarda il risultato

Il risultato compare subito. Nella stessa pagina trovi anche lo svolgimento del calcolo e la spiegazione della formula