Calcolatrice della formula di De Moivre (potenze e radici n-esime dei numeri complessi con passaggi e poligono)
Scegli che cosa trovare, poi scrivi la parte reale a e la parte immaginaria b di z = a + bi e il numero intero n. L’espressione qui sotto è collegata ai campi, quindi puoi anche modificare direttamente i numeri al suo interno.
La parte reale e la parte immaginaria possono essere decimali, numeri negativi o frazioni come 3/4 (un campo vuoto vale 0). n è un numero intero da 1 a 20 per le potenze e da 2 a 12 per le radici.
Risultato e figura
Scrivi i numeri nei campi a sinistra e fai clic su «Calcola». Qui compaiono il risultato e un grafico sul piano complesso.
Indice
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Cosa puoi fare in questa pagina
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A cosa serve questo calcolo?
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Come si usa
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Formule e figure
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Simboli e termini
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Cosa conviene sapere prima
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Come calcolarlo con Excel
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Come calcolarlo con Fogli Google
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Come calcolarlo con Python
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La formula in LaTeX e in altre notazioni matematiche (da copiare)
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Come chiedere a ChatGPT di fare il calcolo
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I punti di forza di DataChef
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Funzioni correlate
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Tutte le calcolatrici di NumberChef
Cosa puoi fare in questa pagina
- Calcola subito la potenza \(n\)-esima \(z^n\) di un numero complesso \(z = a + bi\) per un numero intero \(n\) (da 1 a 20). Basandosi sulla formula di De Moivre \(\left(\cos\theta + i\sin\theta\right)^n = \cos n\theta + i\sin n\theta\), i passaggi mostrano uno alla volta il modulo elevato alla potenza, \(r^n\), e l’argomento moltiplicato per \(n\), \(n\theta\)
- La risposta \(z^n\) è sempre mostrata come valore esatto con numeri interi e frazioni. Quando l’argomento è un angolo notevole (su un asse o un multiplo di 45°), i passaggi usano anche valori goniometrici esatti
- Nella modalità radici n-esime elenca tutti gli \(n\) numeri complessi \(w\) con \(w^n = z\) (le radici \(n\)-esime di \(z\)), da \(k = 0\) a \(n-1\) (\(n\) da 2 a 12). Le radici che si possono scrivere in modo esatto sono date come valori esatti, per esempio \(-1 + \sqrt{3}i\)
- Puoi vedere il risultato anche sul piano complesso. Le radici \(n\)-esime compaiono come un poligono regolare di \(n\) lati, con i vertici equidistanti su una circonferenza di raggio \(\sqrt[n]{r}\), e una potenza compare come i punti \(z\) e \(z^n\) con gli archi dei loro argomenti
- L’espressione sopra i campi (MathLive) è collegata a essi, quindi puoi anche modificare direttamente i numeri in \(\left(1 + i\right)^{4}\)
Questa pagina tratta la formula di De Moivre come si studia negli ultimi anni del liceo. La parte reale e la parte immaginaria possono essere frazioni o decimali (numeri razionali) e numeri irrazionali come √3 non si possono scrivere direttamente. Quindi l’argomento è una frazione esatta di π solo quando il punto sta su un asse o l’angolo è un multiplo di 45° (per gli angoli basati su 30° e 60°, il rapporto tra parte reale e parte immaginaria è un numero irrazionale come √3, che non può venire da dati razionali). Gli altri argomenti sono approssimati con decimali, ma la risposta per la potenza è il valore esatto trovato moltiplicando ripetutamente.
A cosa serve questo calcolo?
Ricavare le formule di duplicazione e triplicazione (liceo, trigonometria)
Poni \(n = 2\) o \(3\) nella formula di De Moivre, sviluppa il primo membro e confronta le parti reali e le parti immaginarie. Si ottengono in un colpo solo le formule di duplicazione e di triplicazione, come \(\cos 2\theta = \cos^2\theta - \sin^2\theta\) e \(\cos 3\theta = 4\cos^3\theta - 3\cos\theta\).
Il punto di forza è che puoi ricostruire da solo le formule da questa formula invece di impararle a memoria, e «usa la formula di De Moivre per ricavare la formula di triplicazione» è un esercizio classico di trigonometria. È una formula con una bella vista, che collega la trigonometria e i numeri complessi, due argomenti che avevi studiato separatamente.
Elaborazione digitale di musica e immagini (trasformata discreta di Fourier)
Dietro l’ascolto di musica o il salvataggio di una foto sul telefono gira un calcolo chiamato trasformata discreta di Fourier, che scompone un segnale in «quanto c’è di ogni altezza d’onda». Il cuore di questo calcolo sono le radici \(n\)-esime dell’unità: ogni valore del segnale si moltiplica per una potenza di una radice \(n\)-esima dell’unità e i risultati si sommano.
La compressione audio, la compressione delle immagini (le trasformate usate nel JPEG), l’eliminazione del rumore, il riconoscimento vocale e altre tecnologie per suoni e immagini digitali si basano tutte sui «numeri complessi che dividono una circonferenza in parti uguali» di questa pagina.
Elettricità trifase (produzione, trasmissione e motori)
La corrente alternata trifase inviata dalle centrali a fabbriche e grandi edifici è fatta di tre onde sfasate nel tempo di 120° l’una dall’altra. Scritti con i numeri complessi, questi «sfasamenti di 120°» sono proprio le radici cubiche dell’unità \(1,\ \omega,\ \omega^2\). Le tre onde sommate danno 0 (\(1 + \omega + \omega^2 = 0\)) e questa compensazione è proprio il motivo per cui la corrente trifase fa risparmiare sui fili di trasmissione.
Il progetto della rete elettrica e il controllo dei motori delle fabbriche si fondano su questa proprietà delle radici cubiche dell’unità.
Disporre i vertici di un poligono regolare (videogiochi, computer grafica e design)
Nei giochi e nella grafica, compiti come «disporre i nemici in modo uniforme attorno a un cerchio», «disporre gli angoli di un grafico radar» o «disegnare i segni di un quadrante dell’orologio» consistono nel trovare le coordinate \(\left(\cos\dfrac{2k\pi}{n} ;\ \sin\dfrac{2k\pi}{n}\right)\) dei punti che dividono una circonferenza in \(n\) parti uguali. È proprio la disposizione delle radici \(n\)-esime dell’unità.
Nella programmazione, per «ruotare un punto fino al vertice successivo» basta moltiplicare un numero complesso per una radice \(n\)-esima dell’unità, quindi si usa come semplice strumento per ruotare e distribuire in modo uniforme.
Formule e figure
Formula di De Moivre
Figura (sulla circonferenza goniometrica, a ogni moltiplicazione si aggiunge θ all’argomento)
Notazione matematica
(la notazione abituale)
\(\left(\cos\theta + i\sin\theta\right)\)
\(n\)
\(=\)
\(\cos n\theta + i\sin n\theta\)
A parole
(i simboli sostituiti da parole)
①
direzione data dall’argomento \(\theta\)
②
numero intero \(n\)
\(=\)
③
direzione data dall’argomento moltiplicato per \(n\)
La formula a parole
①
Eleva la
parte di direzione \(\cos\theta + i\sin\theta\) dell’argomento \(\theta\)
②
alla potenza del
numero intero \(n\)
③
e ottieni la
parte di direzione dell’argomento per \(n\), \(\cos n\theta + i\sin n\theta\)
Un esempio semplice
Elevando al cubo la direzione per \(\theta = \dfrac{\pi}{6}\) (30°) l’argomento triplica e diventa \(\dfrac{\pi}{2}\) (90°):
\(\cos\dfrac{\pi}{6} + i\sin\dfrac{\pi}{6}\)
3
\(=\)
\(\cos\dfrac{\pi}{2} + i\sin\dfrac{\pi}{2}\)
\(\left(\cos\dfrac{\pi}{6} + i\sin\dfrac{\pi}{6}\right)^{3} = \cos\dfrac{\pi}{2} + i\sin\dfrac{\pi}{2}\)
\(\cos\dfrac{\pi}{2} + i\sin\dfrac{\pi}{2} = 0 + 1 \times i = i\)
L’idea chiave
Questa formula si fonda sulla regola della moltiplicazione in forma trigonometrica: «si moltiplicano i moduli, si sommano gli argomenti». Se moltiplichi per se stesso \(n\) volte il numero complesso \(\cos\theta + i\sin\theta\), che ha modulo 1, \(\theta\) viene sommato \(n\) volte e dà l’argomento \(n\theta\). È tutto ciò che dice la formula.
Per un controllo rapido, elevando al quadrato \(i = \cos\dfrac{\pi}{2} + i\sin\dfrac{\pi}{2}\) (la direzione a 90°) l’argomento raddoppia e diventa \(\pi\) (180°), e si ottiene \(\cos\pi + i\sin\pi = -1\). È proprio \(i^2 = -1\). L’idea che «moltiplicare per \(i\) è una rotazione di 90°» sul piano complesso viene estesa a qualunque angolo da questa formula.
La formula vale anche quando \(n\) è un intero negativo (\(n = -1\) è una rotazione nel verso opposto). La calcolatrice di questa pagina lavora con interi positivi.
La potenza \(n\)-esima di un numero complesso
Notazione matematica
(la notazione abituale)
\(z^{n}\)
\(=\)
\(r^{n}\)
\(\left(\cos n\theta + i\sin n\theta\right)\)
A parole
(i simboli sostituiti da parole)
③
\(z\) elevato alla \(n\)
\(=\)
①
modulo \(r\) elevato alla \(n\)
②
direzione data dall’argomento moltiplicato per \(n\)
La formula a parole
①
Prendi il
modulo \(r\) elevato alla \(n\)
(la distanza dall’origine)
②
moltiplicalo per la
parte di direzione dell’argomento per \(n\), \(\cos n\theta + i\sin n\theta\)
③
e ottieni la
\(z\) elevato alla \(n\), \(z^n\)
Un esempio semplice
La potenza quarta di \(z = 1 + i\) (modulo \(r = \sqrt{2}\), argomento \(\theta = \dfrac{\pi}{4}\), cioè 45°) è
\(\left(1 + i\right)^{4}\)
\(=\)
\(\left(\sqrt{2}\right)^{4}\)
\(\cos\pi + i\sin\pi\)
\(r^{4} = \left(\sqrt{2}\right)^{4} = 4\)
\(4\theta = 4 \times \dfrac{\pi}{4} = \pi\)
\(z^{4} = 4\left(\cos\pi + i\sin\pi\right) = 4 \times \left(-1\right) = -4\)
L’idea chiave
«Eleva il modulo alla \(n\) e moltiplica l’argomento per \(n\).» Calcola separatamente queste due cose e ottieni la potenza \(n\)-esima in un colpo solo.
Se calcoli lo stesso \(\left(1 + i\right)^4\) in forma algebrica devi sviluppare più volte: prima \(\left(1 + i\right)^2 = 2i\), poi elevare al quadrato. Una potenza quarta si fa ancora a mano, ma per una potenza decima o ventesima sviluppare è quasi impossibile. In forma trigonometrica calcoli solo \(\left(\sqrt{2}\right)^{10}\) e \(10 \times 45^{\circ}\) e il lavoro cambia pochissimo qualunque sia la potenza. È il vantaggio più grande di questa formula.
Le radici \(n\)-esime di un numero complesso
Figura (radici cubiche di 8: un triangolo equilatero con i vertici equidistanti su una circonferenza di raggio 2)
Notazione matematica
(la notazione abituale)
\(w_{k}\)
\(=\)
\(\sqrt[n]{r}\)
\(\left(\cos\dfrac{\theta + 2k\pi}{n} + i\sin\dfrac{\theta + 2k\pi}{n}\right)\)
A parole
(i simboli sostituiti da parole)
③
\(k\)-esima radice \(n\)-esima di \(z\)
\(=\)
①
radice \(n\)-esima del modulo \(r\) (raggio della circonferenza)
②
direzione: argomento più \(k\) giri completi, diviso \(n\)
La formula a parole
①
Prendi la
radice \(n\)-esima del modulo, \(\sqrt[n]{r}\)
(il raggio della circonferenza su cui stanno tutte le radici)
②
moltiplicala per la
parte di direzione per l’argomento \(\theta\) più \(k\) giri completi (\(2\pi\) ciascuno), diviso \(n\)
③
e ottieni la
\(k\)-esima radice \(n\)-esima di \(z\), \(w_k\)
(facendo variare \(k\) tra \(0,\ 1,\ \ldots,\ n-1\) si ottengono tutte le \(n\) radici)
Un esempio semplice
Le radici cubiche di \(z = 8\) (modulo \(r = 8\), argomento \(\theta = 0\)), con raggio \(\sqrt[3]{8} = 2\), sono
radice cubica \(w_k\)
\(=\)
raggio \(2\)
\(\cos\dfrac{2k\pi}{3} + i\sin\dfrac{2k\pi}{3}\)
\(w_{0} = 2\left(\cos 0 + i\sin 0\right) = 2\)
\(w_{1} = 2\left(\cos\dfrac{2}{3}\pi + i\sin\dfrac{2}{3}\pi\right) = -1 + \sqrt{3}i\)
\(w_{2} = 2\left(\cos\dfrac{4}{3}\pi + i\sin\dfrac{4}{3}\pi\right) = -1 - \sqrt{3}i\)
L’idea chiave
Perché ci sono ben \(n\) radici? La chiave è che aggiungere un giro completo (\(2\pi\)) a un argomento dà la stessa direzione. L’argomento di \(z\) si può scrivere \(\theta\), oppure \(\theta + 2\pi\), oppure \(\theta + 4\pi\). Per trovare le radici \(n\)-esime si divide l’argomento per \(n\), quindi questi modi diversi di scriverlo diventano direzioni diverse: \(\dfrac{\theta}{n},\ \dfrac{\theta + 2\pi}{n},\ \dfrac{\theta + 4\pi}{n},\ \ldots\). Quando \(k\) arriva a \(n\) si è fatto esattamente un giro completo e si torna allo stesso punto di \(k = 0\), quindi ci sono esattamente \(n\) punti diversi.
Radici vicine differiscono sempre di \(\dfrac{2\pi}{n}\) nell’argomento (un giro completo diviso in \(n\) parti uguali), quindi le \(n\) radici sono equidistanti sulla stessa circonferenza. In altre parole, le radici \(n\)-esime sono i vertici di un poligono regolare di \(n\) lati. Per questo nel grafico di questa calcolatrice compare sempre un poligono regolare.
Le radici \(n\)-esime dell’unità
Notazione matematica
(la notazione abituale)
\(z_{k}\)
\(=\)
\(\cos\dfrac{2k\pi}{n} + i\sin\dfrac{2k\pi}{n}\)
A parole
(i simboli sostituiti da parole)
②
\(k\)-esima radice \(n\)-esima di 1
\(=\)
①
\(k\)-esima direzione quando un giro completo è diviso in \(n\) parti uguali
La formula a parole
①
Dividi un giro completo della circonferenza di raggio 1 in \(n\) parti uguali. La
\(k\)-esima direzione, \(\cos\dfrac{2k\pi}{n} + i\sin\dfrac{2k\pi}{n}\)
②
è la
\(k\)-esima radice \(n\)-esima di 1, \(z_k\)
(sono \(n\), per \(k = 0,\ 1,\ \ldots,\ n-1\))
Un esempio semplice
Le radici cubiche di 1 (i numeri complessi con \(z^3 = 1\)) dividono in 3 parti uguali un giro completo della circonferenza goniometrica:
radice cubica \(z_k\)
\(=\)
\(\cos\dfrac{2k\pi}{3} + i\sin\dfrac{2k\pi}{3}\)
\(z_{0} = \cos 0 + i\sin 0 = 1\)
\(z_{1} = \cos\dfrac{2}{3}\pi + i\sin\dfrac{2}{3}\pi = -\dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{2}i\)
\(z_{2} = \cos\dfrac{4}{3}\pi + i\sin\dfrac{4}{3}\pi = -\dfrac{1}{2} - \dfrac{\sqrt{3}}{2}i\)
L’idea chiave
\(z = 1\) ha modulo \(1\) e argomento \(0\), quindi questo è il caso particolare \(r = 1,\ \theta = 0\) della formula delle radici \(n\)-esime vista sopra. Tutte le radici stanno sulla circonferenza goniometrica (la circonferenza di raggio 1) e formano un poligono regolare di \(n\) lati che ha \(z_0 = 1\) come uno dei vertici.
La radice cubica immaginaria di 1 (\(z_1\) qui sopra) si chiama \(\omega\) (omega), un tema molto frequente nei corsi avanzati e nelle Olimpiadi della Matematica. Soddisfa \(\omega^3 = 1\) e \(\omega^2 + \omega + 1 = 0\), e \(z_2 = \omega^2 = \overline{\omega}\).
Inoltre la somma di tutte le \(n\) radici \(n\)-esime di 1 è \(0\) (per \(n \ge 2\)). Ha senso anche geometricamente: i vertici del poligono regolare sono distribuiti in modo uniforme attorno all’origine, quindi il loro baricentro è esattamente nell’origine.
La formula di De Moivre, \(\left(\cos\theta + i\sin\theta\right)^n = \cos n\theta + i\sin n\theta\), è ciò che si ottiene ripetendo \(n\) volte «moltiplicare numeri complessi somma i loro argomenti». Con essa la potenza \(n\)-esima di un numero complesso si ottiene in un solo passaggio: si eleva il modulo alla \(n\) e si moltiplica l’argomento per \(n\). Usata al contrario, dà tutte le \(n\) radici \(n\)-esime: si fa la radice \(n\)-esima del modulo e si divide l’argomento per \(n\) (dopo aver aggiunto \(k\) giri completi). Il bello è l’immagine: le radici \(n\)-esime formano un poligono regolare su una circonferenza.
Simboli e termini
Simboli
| \(i\) | i | L’unità immaginaria, il numero il cui quadrato è \(-1\) (\(i^2 = -1\)). La lettera viene da «immaginaria». |
| \(z\) | zeta | La lettera che di solito indica un numero complesso. Per consuetudine si usano \(z\) e \(w\) per i numeri complessi, per distinguerli dalle variabili reali \(x,\ y\). |
| \(w\) | doppia vu | In questa pagina, la lettera per una radice \(n\)-esima di \(z\) (un numero complesso con \(w^n = z\)). Segue l’uso di indicare con \(w\) un secondo numero complesso accanto a \(z\). |
| \(a,\ b\) | a, b | La parte reale (\(a\)) e la parte immaginaria (\(b\)) di \(z = a + bi\). Sono entrambe numeri reali. Sul piano complesso \(a\) è la posizione in orizzontale (lungo l’asse reale) e \(b\) è la posizione in verticale (lungo l’asse immaginario). |
| \(r\) | erre | La lettera che indica il modulo (la distanza dall’origine al punto \(z\)). Viene da «raggio». Nella forma trigonometrica è un numero reale maggiore o uguale a 0. |
| \(\theta\) | teta | La lettera greca usata per l’argomento. In matematica è la lettera abituale per un angolo. |
| \(n\) | enne | In questa pagina, il numero intero che è l’esponente di una potenza (quale potenza) o l’indice di una radice (quale radice). Viene da «numero». |
| \(k\) | cappa | La lettera che numera le radici \(n\)-esime (da \(0\) a \(n-1\)). Di solito le lettere per contare sono \(i,\ j,\ k\), ma con i numeri complessi \(i\) si confonde facilmente con l’unità immaginaria, quindi di solito si sceglie \(k\). |
| \(\sqrt[n]{\ }\) | radice n-esima | Il simbolo di radice \(n\)-esima. \(\sqrt[3]{8} = 2\) dice che «il numero positivo il cui cubo è 8 è 2». Il piccolo numero in alto a sinistra è l’indice della radice; se manca, è una radice quadrata. |
| \(\cos\theta,\ \sin\theta\) | coseno teta, seno teta | Funzioni goniometriche. Sulla circonferenza di raggio 1 (la circonferenza goniometrica) il punto nella direzione dell’angolo \(\theta\) ha posizione orizzontale \(\cos\theta\) e posizione verticale \(\sin\theta\). Nella forma trigonometrica sono la parte che dà la direzione. |
| \(\pi\) | pi greco | Il rapporto tra la circonferenza di un cerchio e il suo diametro (circa 3,14159). In radianti un angolo piatto, \(180^{\circ}\), è esattamente \(\pi\) e un giro completo è \(2\pi\). La lettera greca \(\pi\) deriva dalla prima lettera della parola greca per «perimetro». |
| \(\omega\) | omega | La lettera abituale per la radice cubica immaginaria di 1 (\(\omega = -\dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{2}i\)). Soddisfa \(\omega^3 = 1\) e \(\omega^2 + \omega + 1 = 0\). È l’ultima lettera dell’alfabeto greco ed è molto usata per le radici dell’unità. |
Termini
| numero complesso | Un numero della forma \(a + bi\), dove \(a\) e \(b\) sono numeri reali. È un sistema numerico che riunisce i numeri reali e immaginari. |
| unità immaginaria | Il numero \(i\) il cui quadrato è \(-1\). Nessun numero reale ha un quadrato negativo, quindi è stato introdotto come numero nuovo. |
| piano complesso | Il piano in cui \(a + bi\) è rappresentato dal punto \((a ; b)\). L’asse orizzontale è l’asse reale e l’asse verticale è l’asse immaginario. Si chiama anche piano di Gauss o di Argand-Gauss. |
| forma trigonometrica (forma polare) | Scrivere un numero complesso con la sua distanza \(r\) dall’origine e il suo angolo di rotazione \(\theta\) a partire dall’asse reale, come \(r(\cos\theta + i\sin\theta)\). La formula di De Moivre riguarda i numeri complessi in questa forma. |
| modulo (valore assoluto) | La distanza dall’origine al punto \(z\), calcolata come \(|z| = \sqrt{a^2 + b^2}\). Elevando alla \(n\) si eleva il modulo alla \(n\) (\(r^n\)). |
| argomento | L’angolo della direzione dall’origine al punto \(z\), misurato in senso antiorario a partire dal semiasse reale positivo. Aggiungere un giro completo (\(2\pi\)) dà la stessa direzione, quindi per convenzione la risposta si dà nell’intervallo \(0 \le \theta < 2\pi\). Elevando alla \(n\) l’argomento si moltiplica per \(n\) (\(n\theta\)). |
| elevamento a potenza | Moltiplicare ripetutamente lo stesso numero per se stesso. \(z^4\) è \(z\) moltiplicato per se stesso 4 volte. Il piccolo numero in alto a destra è l’esponente. |
| radice n-esima | Un numero la cui potenza \(n\)-esima è il numero dato. Tra i numeri complessi, ogni numero complesso diverso da zero ha esattamente \(n\) radici \(n\)-esime (tra i numeri reali 8 ha una sola radice cubica, 2, ma tra i numeri complessi ne ha tre). |
| radice n-esima dell’unità | I numeri complessi con \(z^n = 1\). Sono gli \(n\) punti che dividono la circonferenza goniometrica in \(n\) parti uguali e formano un poligono regolare di \(n\) lati che ha \(1\) come uno dei vertici. |
| formula di De Moivre | La formula \(\left(\cos\theta + i\sin\theta\right)^n = \cos n\theta + i\sin n\theta\), che prende il nome dal matematico di origine francese Abraham de Moivre. È il risultato di ripetere \(n\) volte «moltiplicare somma gli argomenti». |
| circonferenza goniometrica | La circonferenza di raggio 1 con centro nell’origine. Ogni numero complesso di modulo 1 (un numero della forma \(\cos\theta + i\sin\theta\)) sta su questa circonferenza. |
| poligono regolare | Un poligono con tutti i lati della stessa lunghezza e tutti gli angoli della stessa ampiezza (un triangolo equilatero, un quadrato, un pentagono regolare e così via). Gli \(n\) punti delle radici \(n\)-esime sono equidistanti su una circonferenza, quindi sono i vertici di un poligono regolare di \(n\) lati. |
| angolo notevole | \(30^{\circ}\), \(45^{\circ}\), \(60^{\circ}\) e gli angoli collegati (questi più i multipli di \(90^{\circ}\)). I loro valori goniometrici si possono scrivere in modo esatto, come \(\dfrac{1}{2}\), \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) e \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\), e la maggior parte dei problemi dei libri di testo usa questi angoli. |
| radiante (misura in radianti) | Misurare un angolo con la lunghezza dell’arco che sottende su una circonferenza di raggio 1. \(180^{\circ} = \pi\) radianti e un giro completo è \(2\pi\) radianti. Dalla trigonometria in poi i radianti sono l’unità standard, al posto dei gradi. |
Cosa conviene sapere prima
Ecco che cosa conviene sapere per usare il calcolo di questa pagina capendolo davvero, e non solo premendo il pulsante.
Se ti blocchi, tornare su questi argomenti è la strada più veloce per andare avanti.
| Radici quadrate e radicali (scuola secondaria di primo grado, 13-14 anni) |
|
| Proprietà delle potenze (scuola secondaria di primo e secondo grado, 11-16 anni) |
|
| Numeri complessi (scuola secondaria di secondo grado, 16-19 anni) |
|
| Trigonometria e circonferenza goniometrica (scuola secondaria di secondo grado, 14-17 anni) |
|
| Radianti (scuola secondaria di secondo grado, 14-17 anni) |
|
| Il piano complesso e la forma trigonometrica (scuola secondaria di secondo grado, 16-19 anni) |
|
Come calcolarlo con Excel
Copia tutta la tabella qui sotto e incollala nella cella A1 di Excel. Funziona così com’è.
Tabella per la potenza n-esima di un numero complesso
| Parte reale a | 1 |
| Parte immaginaria b | 1 |
| Esponente n | 4 |
| z elevato alla n | =COMP.POTENZA(COMPLESSO(B1;B2);B3) |
| Modulo elevato alla n, r^n | =COMP.MODULO(COMPLESSO(B1;B2))^B3 |
| Argomento per n, nθ (radianti) | =B3*COMP.ARGOMENTO(COMPLESSO(B1;B2)) |
Tabella per la k-esima radice n-esima di un numero complesso
| Parte reale a | 8 |
| Parte immaginaria b | 0 |
| Indice della radice n | 3 |
| Numero della radice k (da 0 a n−1) | 1 |
| Raggio della circonferenza delle radici | =COMP.MODULO(COMPLESSO(B1;B2))^(1/B3) |
| Argomento della k-esima radice (radianti) | =(RESTO(COMP.ARGOMENTO(COMPLESSO(B1;B2));2*PI.GRECO())+2*PI.GRECO()*B4)/B3 |
| Parte reale della k-esima radice | =B5*COS(B6) |
| Parte immaginaria della k-esima radice | =B5*SEN(B6) |
Dopo aver incollato, le righe in alto sono i dati da inserire e le righe in basso sono calcolate automaticamente.
Nella prima tabella COMPLESSO(parte reale; parte immaginaria) crea un numero complesso e COMP.POTENZA ne restituisce la potenza come testo, per esempio «-4». Per l’esempio z = 1 + i e n = 4, z elevato alla n è quasi esattamente -4 (può comparire una piccolissima parte immaginaria per l’errore di virgola mobile), r^n = 4 e nθ = π ≈ 3,14159.
La seconda tabella trova una radice, la k-esima. COMP.ARGOMENTO restituisce l’argomento (maggiore di −π e fino a π), quindi RESTO lo porta prima a un valore da 0 fino a 2π escluso, poi si aggiungono k giri completi e si divide il risultato per n. Per l’esempio z = 8, n = 3 e k = 1, il raggio è 2 e l’argomento è 2π/3 ≈ 2,0944, quindi la parte reale = −1 e la parte immaginaria ≈ 1,7320508 (= √3). Cambia k in 0, 1 e 2 per ottenere tutte e tre le radici.
Excel dà decimali, quindi se vuoi valori esatti con radici quadrate o frazioni usa la calcolatrice di questa pagina.
Nella prima tabella COMPLESSO(parte reale; parte immaginaria) crea un numero complesso e COMP.POTENZA ne restituisce la potenza come testo, per esempio «-4». Per l’esempio z = 1 + i e n = 4, z elevato alla n è quasi esattamente -4 (può comparire una piccolissima parte immaginaria per l’errore di virgola mobile), r^n = 4 e nθ = π ≈ 3,14159.
La seconda tabella trova una radice, la k-esima. COMP.ARGOMENTO restituisce l’argomento (maggiore di −π e fino a π), quindi RESTO lo porta prima a un valore da 0 fino a 2π escluso, poi si aggiungono k giri completi e si divide il risultato per n. Per l’esempio z = 8, n = 3 e k = 1, il raggio è 2 e l’argomento è 2π/3 ≈ 2,0944, quindi la parte reale = −1 e la parte immaginaria ≈ 1,7320508 (= √3). Cambia k in 0, 1 e 2 per ottenere tutte e tre le radici.
Excel dà decimali, quindi se vuoi valori esatti con radici quadrate o frazioni usa la calcolatrice di questa pagina.
Come calcolarlo con Fogli Google
Copia tutta la tabella qui sotto e incollala nella cella A1 di Fogli Google. Funziona così com’è.
Tabella per la potenza n-esima di un numero complesso
| Parte reale a | 1 |
| Parte immaginaria b | 1 |
| Esponente n | 4 |
| z elevato alla n | =COMP.POTENZA(COMPLESSO(B1;B2);B3) |
| Modulo elevato alla n, r^n | =COMP.MODULO(COMPLESSO(B1;B2))^B3 |
| Argomento per n, nθ (radianti) | =B3*COMP.ARGOMENTO(COMPLESSO(B1;B2)) |
Tabella per la k-esima radice n-esima di un numero complesso
| Parte reale a | 8 |
| Parte immaginaria b | 0 |
| Indice della radice n | 3 |
| Numero della radice k (da 0 a n−1) | 1 |
| Raggio della circonferenza delle radici | =COMP.MODULO(COMPLESSO(B1;B2))^(1/B3) |
| Argomento della k-esima radice (radianti) | =(RESTO(COMP.ARGOMENTO(COMPLESSO(B1;B2));2*PI.GRECO())+2*PI.GRECO()*B4)/B3 |
| Parte reale della k-esima radice | =B5*COS(B6) |
| Parte immaginaria della k-esima radice | =B5*SEN(B6) |
Valgono le stesse funzioni dei numeri complessi di Excel (COMPLESSO, COMP.POTENZA, COMP.MODULO e COMP.ARGOMENTO). Copia tutta la tabella, incollala nella cella A1 e sostituisci i numeri con i tuoi.
Come calcolarlo con Python
import cmath
import math
# Potenza n-esima di un numero complesso (dà lo stesso risultato della formula di De Moivre)
z = complex(1, 1) # z = 1 + i
n = 4
z_power = z ** n
print(f"z alla {n} = {z_power}")
# Elementi della forma trigonometrica (modulo e argomento)
absolute_value, argument = cmath.polar(z) # r e θ (−π < θ ≤ π)
if argument < 0:
argument += 2 * math.pi # lo porta nell’intervallo 0 ≤ θ < 2π
print(f"Modulo r = {absolute_value}")
print(f"Argomento θ = {argument} rad")
# Radici n-esime di un numero complesso (le elenca tutte e n, k = da 0 a n−1)
z = complex(8, 0) # z = 8
n = 3
radius = abs(z) ** (1 / n)
theta = cmath.phase(z) % (2 * math.pi)
for k in range(n):
angle = (theta + 2 * math.pi * k) / n
w = cmath.rect(radius, angle)
print(f"w_{k} = {w}")
Puoi creare un numero complesso con complex(parte reale, parte immaginaria) ed elevarlo a potenza direttamente con **. La prima metà calcola la potenza quarta di z = 1 + i e stampa (-4+0j), il modulo r (un’approssimazione di √2) e l’argomento θ in radianti (un’approssimazione di π/4). La seconda metà trova le radici cubiche di z = 8 e stampa tre radici: w_0 = (2+0j), mentre w_1 e w_2 hanno parte reale circa −1 e parte immaginaria circa ±√3. cmath.polar restituisce il modulo e l’angolo (maggiore di −π e fino a π), quindi a un angolo negativo si aggiunge 2π per portarlo nell’intervallo da 0 a 2π. cmath.rect(radius, angle) crea un numero complesso a partire dalla forma trigonometrica. Alcuni valori escono leggermente sfalsati, per esempio un numero come −0,9999999999999996 al posto di −1, o un numero minuscolo come 2,4e-16 al posto di 0: sono errori di arrotondamento dei decimali (numeri in virgola mobile). Per valori esatti con radici quadrate o frazioni usa la calcolatrice di questa pagina.
La formula in LaTeX e in altre notazioni matematiche (da copiare)
Formula di De Moivre
(cosθ + i sinθ)ⁿ = cos nθ + i sin nθ
(\cos\theta + i\sin\theta)^{n} = \cos n\theta + i\sin n\theta
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msup>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mi>cos</mi><mi>θ</mi>
<mo>+</mo>
<mi>i</mi><mi>sin</mi><mi>θ</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mi>n</mi>
</msup>
<mo>=</mo>
<mi>cos</mi><mi>n</mi><mi>θ</mi>
<mo>+</mo>
<mi>i</mi><mi>sin</mi><mi>n</mi><mi>θ</mi>
</mrow>
</math>
(cos theta + i sin theta)^n = cos(n theta) + i sin(n theta)
(Cos[theta] + I Sin[theta])^n == Cos[n theta] + I Sin[n theta]
(cos(theta) + I*sin(theta))^n = cos(n*theta) + I*sin(n*theta);
zn = (cos(t) + 1i*sin(t))^n;
(cos θ + i sin θ)^n = cos nθ + i sin nθ
La potenza \(n\)-esima di un numero complesso
zⁿ = rⁿ(cos nθ + i sin nθ)
z^{n} = r^{n}(\cos n\theta + i\sin n\theta)
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msup><mi>z</mi><mi>n</mi></msup>
<mo>=</mo>
<msup><mi>r</mi><mi>n</mi></msup>
<mo>(</mo>
<mi>cos</mi><mi>n</mi><mi>θ</mi>
<mo>+</mo>
<mi>i</mi><mi>sin</mi><mi>n</mi><mi>θ</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
</math>
z^n = r^n (cos(n theta) + i sin(n theta))
r^n (Cos[n theta] + I Sin[n theta])
zn := r^n*(cos(n*theta) + I*sin(n*theta));
zn = r^n*(cos(n*t) + 1i*sin(n*t));
z^n = r^n (cos nθ + i sin nθ)
Le radici \(n\)-esime di un numero complesso
w_k = ⁿ√r (cos((θ + 2kπ)/n) + i sin((θ + 2kπ)/n)) (k = 0, 1, …, n−1)
w_{k} = \sqrt[n]{r}\left(\cos\dfrac{\theta + 2k\pi}{n} + i\sin\dfrac{\theta + 2k\pi}{n}\right) \quad (k = 0, 1, \ldots, n-1)
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msub><mi>w</mi><mi>k</mi></msub>
<mo>=</mo>
<mroot><mi>r</mi><mi>n</mi></mroot>
<mo>(</mo>
<mi>cos</mi>
<mfrac>
<mrow><mi>θ</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>k</mi><mi>π</mi></mrow>
<mi>n</mi>
</mfrac>
<mo>+</mo>
<mi>i</mi><mi>sin</mi>
<mfrac>
<mrow><mi>θ</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>k</mi><mi>π</mi></mrow>
<mi>n</mi>
</mfrac>
<mo>)</mo>
</mrow>
</math>
w_k = root(n)(r) (cos((theta + 2k pi)/n) + i sin((theta + 2k pi)/n))
Table[r^(1/n) (Cos[(theta + 2 k Pi)/n] + I Sin[(theta + 2 k Pi)/n]), {k, 0, n - 1}]
wk := r^(1/n)*(cos((theta + 2*k*Pi)/n) + I*sin((theta + 2*k*Pi)/n));
wk = r^(1/n)*(cos((t + 2*k*pi)/n) + 1i*sin((t + 2*k*pi)/n));
w_k = r^(1/n) (cos((θ + 2kπ)/n) + i sin((θ + 2kπ)/n))
Le radici \(n\)-esime dell’unità
z_k = cos(2kπ/n) + i sin(2kπ/n) (k = 0, 1, …, n−1)
z_{k} = \cos\dfrac{2k\pi}{n} + i\sin\dfrac{2k\pi}{n} \quad (k = 0, 1, \ldots, n-1)
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msub><mi>z</mi><mi>k</mi></msub>
<mo>=</mo>
<mi>cos</mi>
<mfrac>
<mrow><mn>2</mn><mi>k</mi><mi>π</mi></mrow>
<mi>n</mi>
</mfrac>
<mo>+</mo>
<mi>i</mi><mi>sin</mi>
<mfrac>
<mrow><mn>2</mn><mi>k</mi><mi>π</mi></mrow>
<mi>n</mi>
</mfrac>
</mrow>
</math>
z_k = cos((2k pi)/n) + i sin((2k pi)/n)
Table[Cos[2 k Pi/n] + I Sin[2 k Pi/n], {k, 0, n - 1}]
zk := cos(2*k*Pi/n) + I*sin(2*k*Pi/n);
zk = cos(2*k*pi/n) + 1i*sin(2*k*pi/n);
z_k = cos(2kπ/n) + i sin(2kπ/n)
Come chiedere a ChatGPT di fare il calcolo
Sei un assistente di calcolo matematico per il piano complesso e la formula di De Moivre. Fai il calcolo seguente eseguendo davvero codice Python e basa la risposta solo sui numeri del risultato dell’esecuzione (non rispondere con calcoli a mente o a intuito). 1. Trova la potenza quarta z^4 del numero complesso z = 1 + i. Mostra anche il modulo r e l’argomento θ, il modulo alla quarta r^4 e l’argomento per 4, 4θ. 2. Trova tutte e tre le radici cubiche del numero complesso z = 8 (i numeri complessi il cui cubo è 8), per k = 0, 1, 2. Se possibile, mostrale anche come valori esatti con le radici quadrate. In Python usa il tipo complex, cmath.polar e cmath.rect e mostra le formule che hai usato e i numeri del risultato dell’esecuzione.
Come si usa
-
1Inserisci i numeriScrivi nei campi i numeri con cui vuoi fare il calcolo
-
2CalcolaFai clic sul pulsante «Calcola»
-
3Guarda il risultatoIl risultato compare subito. Nella stessa pagina trovi anche lo svolgimento del calcolo e la spiegazione della formula
I punti di forza di DataChef
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Nessuna autorizzazione preventiva necessaria
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Funzioni correlate
Calcolatrice della forma trigonometrica di un numero complesso (modulo, argomento e correzione del quadrante con piano complesso)
Converte z=a+bi nella forma trigonometrica r(cos θ + i sin θ), con il modulo come radicale semplificato e i passaggi per l’argomento, compresa la correzione del quadrante
Calcolatrice di numeri complessi (somma, sottrazione, prodotto e divisione con passaggi, coniugato, modulo e piano complesso)
Somma, sottrae, moltiplica e divide due numeri complessi z₁ e z₂, con i passaggi della moltiplicazione per il coniugato, il complesso coniugato, il modulo e un grafico sul piano complesso
