Scegli cosa contare, poi scrivi il numero di tipi n e il numero di elementi r (o una parola, per riordinare le lettere). La formula qui sotto è collegata ai campi di input, quindi puoi anche modificare direttamente i numeri nella formula.
Scrivi n e r come numeri interi (n da 1 a 1000, r da 0 a 1000). Ogni cifra della risposta è mostrata in modo esatto, anche con decine di cifre. Per riordinare le lettere puoi scrivere fino a 30 caratteri. Gli spazi sono ignorati e le maiuscole e le minuscole contano come lettere diverse.
Risultato e figura
Scegli cosa contare nei campi a sinistra, scrivi il numero di tipi e di elementi (o una parola) e fai clic su «Calcola». Il risultato e una figura compaiono qui.
Indice
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Cosa puoi fare in questa pagina
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A cosa serve questo calcolo?
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Come si usa
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Formule e figure
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Disposizioni con ripetizione \({}_{n}\Pi_{r}\) (si dispongono \(r\) elementi, ripetizioni ammesse)
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Combinazioni con ripetizione \({}_{n}\mathrm{H}_{r}\) (si scelgono \(r\) elementi, ripetizioni ammesse)
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Permutazioni con ripetizione (riordinare elementi che ne includono di uguali)
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Quale formula usare? (disporre o solo scegliere × ripetizioni ammesse o no)
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Simboli e termini
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Cosa conviene sapere prima
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Come calcolarlo con Excel
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Come calcolarlo con Fogli Google
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Come calcolarlo con Python
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La formula in LaTeX e in altre notazioni matematiche (da copiare)
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Come chiedere a ChatGPT di fare il calcolo
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I punti di forza di DataChef
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Funzioni correlate
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Tutte le calcolatrici di NumberChef
Cosa puoi fare in questa pagina
- Trova le disposizioni con ripetizione \({}_{n}\Pi_{r} = n^{r}\): disporre \(r\) elementi tra \(n\) tipi quando lo stesso tipo si può usare quante volte si vuole (esempio: un PIN di 4 cifre fatto con le 10 cifre da 0 a 9)
- Trova le combinazioni con ripetizione \({}_{n}\mathrm{H}_{r} = {}_{n+r-1}\mathrm{C}_{r}\): scegliere \(r\) elementi quando lo stesso tipo si può scegliere quante volte si vuole (esempio: comprare 5 succhi tra 3 gusti)
- Scrivi una parola come «TOMATO» per contare i modi di riordinare lettere che includono ripetizioni (permutazioni con ripetizione, cioè gli anagrammi, fino a 30 lettere)
- Non sai se usare \(n^{r}\), \({}_{n}\mathrm{H}_{r}\), \({}_{n}\mathrm{P}_{r}\) o \({}_{n}\mathrm{C}_{r}\)? C’è anche uno schema di scelta basato su «L’ordine conta?» e «Lo stesso elemento si può scegliere di nuovo?»
- Le risposte sono mostrate con ogni cifra, senza arrotondamenti, anche con decine di cifre. Per le risposte lunghe viene aggiunto un valore approssimato come \(1{,}2345 \times 10^{18}\)
- In questa pagina trovi anche le figure delle combinazioni con ripetizione con palline e barre (palline e barre) e le formule pronte da copiare per Excel, Fogli Google e Python
Se ti servono solo le disposizioni \({}_{n}\mathrm{P}_{r}\) o le combinazioni \({}_{n}\mathrm{C}_{r}\) senza ripetizione (un elemento già scelto non si può scegliere di nuovo), vedi la pagina della calcolatrice di disposizioni e combinazioni.
A cosa serve questo calcolo?
Dare un numero a quanto è difficile scoprire un PIN o una password (sicurezza)
Un PIN di 4 cifre fatto con le 10 cifre da 0 a 9, in cui la stessa cifra si può usare quante volte si vuole, ha \(10^{4} = 10000\) possibilità. Ogni cifra in più moltiplica per 10, quindi con 6 cifre si arriva a 1 milione.
Una password che può usare 62 tipi di caratteri (lettere maiuscole, minuscole e cifre) ha, con 8 caratteri, \(62^{8} = 218.340.105.584.896\) possibilità (circa 218 mila miliardi). La formula delle disposizioni con ripetizione permette di confrontare quanto aiutano «più tipi di caratteri» e «una password più lunga».
Quanto può esprimere un dato digitale (informatica)
I computer rappresentano le informazioni con soli 2 tipi di simboli, 0 e 1. Un byte, una fila di 8 simboli, può mostrare \(2^{8} = 256\) combinazioni. Per questo si dice che un byte ha 256 livelli.
Il colore a 24 bit, con 8 bit ciascuno per rosso, verde e blu, dà \(2^{24} = 16.777.216\) colori, circa 16,7 milioni. Il numero di colori dello schermo, la profondità in bit dell’audio, il numero di indirizzi IP e così via, il «quanti se ne possono rappresentare» di ogni dispositivo digitale, si riduce alle disposizioni con ripetizione.
Perché il codice genetico usa 3 lettere alla volta (scienze della vita)
Il DNA è fatto di 4 tipi di basi, A, T, G e C, e ogni gruppo di 3 in fila (un codone) corrisponde a 1 amminoacido usato per costruire il corpo. La stessa base può ripetersi, quindi ci sono \(4^{3} = 64\) tipi di codoni.
Il corpo usa 20 tipi di amminoacidi e i gruppi di 2 darebbero solo \(4^{2} = 16\), che non basta. Le disposizioni con ripetizione confermano perché i gruppi di 3 bastano a far funzionare la vita.
Il calcolo di assortimenti e ordini (commercio e ristorazione)
Fare una scatola da 10 pasticcini scelti tra 5 gusti, con un numero qualsiasi per ogni gusto, si può fare in \({}_{5}\mathrm{H}_{10} = {}_{14}\mathrm{C}_{10} = 1001\) modi, perché l’ordine non conta (combinazioni con ripetizione).
Contare gli ordini o le ripartizioni di magazzino di «quanti di quale prodotto» è lo stesso tipo di calcolo. Puoi stimare con numeri reali, e non solo a sensazione, quanti schemi in più devi gestire quando aggiungi un prodotto.
Il calcolo dei percorsi minimi (logistica e progettazione di circuiti)
Su un reticolo di isolati, il numero di percorsi minimi che vanno 3 isolati a destra e 2 in alto è uguale al numero di riordini delle 5 lettere «D, D, D, A, A» (destra, alto), quindi è \(\dfrac{5!}{3!\,2!} = 10\). Qui le permutazioni con ripetizione funzionano direttamente.
Questo calcolo è alla base della stima del numero di possibili percorsi di consegna o di schemi di cablaggio su una scheda, e mostra in numeri quanto esplosivamente crescono le possibilità quando il reticolo si allarga.
Formule e figure
Disposizioni con ripetizione \({}_{n}\Pi_{r}\) (si dispongono \(r\) elementi, ripetizioni ammesse)
Figura
Notazione matematica
(la notazione abituale)
\({}_{n}\Pi_{r}\)
\(=\)
\(n\)
\(r\)
A parole
(i simboli sostituiti da parole)
③
\({}_{n}\Pi_{r}\): modi di disporre \(r\) elementi con ripetizioni ammesse
\(=\)
①
\(n\): numero di tipi per ogni posto
②
\(r\): numero di elementi da disporre
La formula a parole
①
Moltiplica il
\(n\): numero di tipi per ogni posto
per se stesso
②
tante volte quante indica il
\(r\): numero di elementi da disporre
③
e ottieni
\({}_{n}\Pi_{r}\): modi di disporre \(r\) elementi con ripetizioni ammesse
Un esempio semplice
Il numero di modi di formare un PIN di 4 cifre con le 10 cifre da 0 a 9 è
modi di formare un PIN di 4 cifre
\(=\)
cifre per ogni posto (10)
numero di cifre (4)
\({}_{10}\Pi_{4} = 10^{4} = 10 \times 10 \times 10 \times 10 = 10000\)
L’idea chiave
Poiché lo stesso elemento si può scegliere quante volte si vuole, il numero di scelte resta \(n\) per il secondo posto, il terzo posto e così via. Non diminuisce mai. Quindi moltiplichi per \(n\) ogni volta e moltiplicare \(n\) per se stesso \(r\) volte dà \(n^{r}\).
È l’unica differenza rispetto alle disposizioni semplici \({}_{n}\mathrm{P}_{r} = n \times (n-1) \times \cdots\), in cui le scelte diminuiscono di 1 a ogni elemento scelto. Chiediti «La scorta finisce o no?» e le distingui.
Il \(\Pi\) in \({}_{n}\Pi_{r}\) è la lettera greca pi maiuscola, che indica un prodotto (una moltiplicazione). Corrisponde alla P di «prodotto».
Però questo simbolo è usato molto meno di \({}_{n}\mathrm{P}_{r}\) e \({}_{n}\mathrm{C}_{r}\). I libri di scuola italiani scrivono di solito \(D'_{n,r} = n^{r}\) (disposizioni con ripetizione) oppure semplicemente \(n^{r}\). Nei compiti e nelle verifiche scrivere \(n^{r}\) è sempre capito.
Combinazioni con ripetizione \({}_{n}\mathrm{H}_{r}\) (si scelgono \(r\) elementi, ripetizioni ammesse)
Figura
Notazione matematica
(la notazione abituale)
\({}_{n}\mathrm{H}_{r}\)
\(=\)
\(n+r-1\)
\(\mathrm{C}\)
\(r\)
A parole
(i simboli sostituiti da parole)
③
modi di scegliere \(r\) elementi con ripetizioni ammesse
\(=\)
①
\(n+r-1\): posti per palline e barre
\(\mathrm{C}\)
②
\(r\): posti che ricevono una pallina
La formula a parole
①
Metti in fila \(r\) palline e \(n-1\) barre che segnano le separazioni tra i tipi. Tra i
\(n+r-1\): posti in tutto per palline e barre
,
②
conta i modi di scegliere gli
\(r\): posti che ricevono una pallina
③
e ottieni
\({}_{n}\mathrm{H}_{r}\): modi di scegliere \(r\) elementi con ripetizioni ammesse
Un esempio semplice
Il numero di modi di comprare 5 succhi tra 3 gusti (mela, arancia e uva), con un numero qualsiasi per ogni gusto, è
modi di comprarne 5 tra 3 gusti
\(=\)
posti (3 + 5 − 1 = 7)
\(\mathrm{C}\)
posti per le palline (5)
\({}_{3}\mathrm{H}_{5} = {}_{3+5-1}\mathrm{C}_{5} = {}_{7}\mathrm{C}_{5} = \dfrac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21\)
L’idea chiave
Stavamo solo scegliendo, quindi perché si trasforma nella combinazione \({}_{n+r-1}\mathrm{C}_{r}\)? Il segreto è riscrivere la scelta con palline e barre (un metodo noto in inglese come «stars and bars»). Prima di memorizzarla come formula, segui i passaggi qui sotto.
Per prima cosa fissa l’ordine dei tipi: mela, arancia, uva. Poi scrivi ogni succo che compri come una pallina ○ e ogni separazione tra i tipi come una barra |. Comprare 2 succhi di mela, 1 di arancia e 2 di uva diventa ○○|○|○○. Comprare 3 di mela, 0 di arancia e 2 di uva diventa ○○○||○○. Un tipo di cui non compri nulla compare semplicemente come due barre vicine, quindi si può scrivere anche quello.
Nel senso inverso, se ti viene mostrata prima una fila di palline e barre, puoi leggerne esattamente un modo di comprare. Guarda i 3 spazi separati dalle barre, da sinistra a destra. Il numero di palline in ciascuno spazio è il numero di succhi di mela, di arancia e di uva. ○○||○○○ vuol dire 2 di mela, 0 di arancia e 3 di uva. Da un acquisto a una fila di simboli, e da una fila di simboli a un acquisto, c’è sempre esattamente una risposta. Quindi gli acquisti e le file di simboli si corrispondono uno a uno, senza dimenticarne nessuno e senza contarne due volte.
Ora ti basta contare le file di simboli. Le barre separano 3 tipi, quindi sono 2 (in generale \(n-1\)) e ci sono \(r\) palline, una per ogni succo. Fanno \(n+r-1\) simboli in tutto, in posti numerati 1, 2, … da sinistra. Scegliere una fila equivale a scegliere quali \(r\) dei \(n+r-1\) posti numerati ricevono una pallina. A questo punto è una normale combinazione, in cui lo stesso posto non si può scegliere due volte. Ecco perché \({}_{n}\mathrm{H}_{r} = {}_{n+r-1}\mathrm{C}_{r}\).
Puoi anche scegliere i posti delle barre invece di quelli delle palline. I posti restanti ricevono automaticamente le palline, quindi è la stessa cosa. Scrivere \({}_{n+r-1}\mathrm{C}_{n-1}\) dà la stessa risposta.
Si dice che la \(\mathrm{H}\) venga da «homogeneous» (omogeneo), come nell’insieme di tutti i termini dello stesso grado. Il simbolo \({}_{n}\mathrm{H}_{r}\) si usa raramente nei libri italiani, che scrivono \(C'_{n,r} = {}_{n+r-1}\mathrm{C}_{r}\) oppure \(\binom{n+r-1}{r}\), con il ragionamento delle palline e delle barre visto sopra.
Permutazioni con ripetizione (riordinare elementi che ne includono di uguali)
Figura
Notazione matematica
(la notazione abituale)
\(N\)
\(=\)
\(n!\)
\(\div\)
\(p!\,q!\,r!\cdots\)
A parole
(i simboli sostituiti da parole)
③
\(N\): modi di disporre \(n\) elementi che ne includono di uguali
\(=\)
①
\(n!\): disposizioni se ogni elemento fosse diverso
\(\div\)
②
\(p! \times q! \times \cdots\): modi di riordinare tra loro gli elementi uguali
La formula a parole
①
Parti dalle
\(n!\): disposizioni se ogni elemento fosse diverso
②
dividile per i
\(p! \times q! \times \cdots\): modi di riordinare tra loro gli elementi uguali
per eliminare i doppioni
③
e ottieni
\(N\): modi di disporre \(n\) elementi che ne includono di uguali
Un esempio semplice
Il numero di stringhe che puoi formare riordinando le 6 lettere di «TOMATO» (due T, due O, una M e una A) è
riordini di TOMATO
\(=\)
6 lettere tutte diverse (6!)
\(\div\)
riordini delle lettere uguali (2! × 2! × 1! × 1!)
\(N = \dfrac{6!}{2!\,2!\,1!\,1!} = \dfrac{720}{2 \times 2 \times 1 \times 1} = \dfrac{720}{4} = 180\)
L’idea chiave
Dai alle due T un’etichetta provvisoria, \(\mathrm{T}_1\) e \(\mathrm{T}_2\), e tutte e 6 le lettere diventano diverse, quindi ci sono \(6! = 720\) disposizioni. Ma una volta cancellate le etichette, \(\mathrm{T}_1\mathrm{T}_2\) e \(\mathrm{T}_2\mathrm{T}_1\) sembrano esattamente uguali, quindi ogni disposizione è stata contata due volte.
Se una lettera compare \(p\) volte, tutti i \(p!\) modi di riordinare quelle \(p\) copie sembrano uguali, quindi dividi per \(p!\) per ogni tipo di lettera. Una lettera che compare una sola volta dà \(1! = 1\), quindi scriverla o no non cambia la risposta.
Attenzione al significato delle lettere qui. A differenza dell’\(n\) delle due formule precedenti (il numero di tipi tra cui scegli), l’\(n\) di questa formula è il numero totale di elementi da disporre. «TOMATO» ha 4 tipi di lettere, T, O, M e A, ma disponi 6 lettere, quindi \(n = 6\).
Le \(p,\ q,\ r,\ \dots\) al denominatore sono i conteggi di ciascun tipo, quindi sommano sempre \(p + q + r + \cdots = n\). Per TOMATO, \(2 + 2 + 1 + 1 = 6\), che coincide con il numero di lettere. Se questa somma non torna, è il segnale che hai dimenticato o contato due volte qualcosa. (La \(r\) qui è solo la terza lettera usata per un conteggio. Non è il «numero di elementi \(r\)» delle formule precedenti.)
\(\dfrac{n!}{p!\,q!\cdots}\) si chiama anche coefficiente multinomiale. Insieme alle combinazioni con ripetizione è un modo classico di contare le disposizioni che contengono elementi uguali. In Italia contare gli anagrammi di una parola ne è l’esempio più noto. Anche il numero di percorsi minimi su un reticolo di isolati che vanno 3 isolati a destra e 2 in alto, \(\dfrac{5!}{3!\,2!} = 10\), è un’altra applicazione di questa formula.
Quale formula usare? (disporre o solo scegliere × ripetizioni ammesse o no)
Figura
Notazione matematica
(la notazione abituale)
\({}_{n}\Pi_{r} = n^{r}\)
\({}_{n}\mathrm{H}_{r} = {}_{n+r-1}\mathrm{C}_{r}\)
\({}_{n}\mathrm{P}_{r} = \dfrac{n!}{(n-r)!}\)
\({}_{n}\mathrm{C}_{r} = \dfrac{n!}{r!\,(n-r)!}\)
A parole
(i simboli sostituiti da parole)
①
disporre × lo stesso elemento si può scegliere quante volte si vuole
②
solo scegliere × lo stesso elemento si può scegliere quante volte si vuole
③
disporre × un elemento già scelto non si può scegliere di nuovo
④
solo scegliere × un elemento già scelto non si può scegliere di nuovo
La formula a parole
①
Se l’ordine conta (ruolo, posizione o posto della cifra) e lo stesso elemento si può scegliere quante volte si vuole, usa le
disposizioni con ripetizione \({}_{n}\Pi_{r} = n^{r}\)
②
Se conta solo la selezione e lo stesso elemento si può scegliere quante volte si vuole, usa le
combinazioni con ripetizione \({}_{n}\mathrm{H}_{r} = {}_{n+r-1}\mathrm{C}_{r}\)
③
Se l’ordine conta e un elemento già scelto non si può scegliere di nuovo, usa le
disposizioni \({}_{n}\mathrm{P}_{r}\)
④
Se conta solo la selezione e un elemento già scelto non si può scegliere di nuovo, usa le
combinazioni \({}_{n}\mathrm{C}_{r}\)
Un esempio semplice
Anche con gli stessi numeri 4 e 3, la formula cambia con la situazione
modi di comprare 3 palline di gelato tra 4 gusti (un gusto si può ripetere)
\(=\)
combinazioni con ripetizione
modi di scegliere 1º, 2º e 3º posto tra 4 persone
\(=\)
disposizioni
\({}_{4}\mathrm{H}_{3} = {}_{6}\mathrm{C}_{3} = 20\)
\({}_{4}\mathrm{P}_{3} = 4 \times 3 \times 2 = 24\)
L’idea chiave
Prima di arrivare a queste 4 c’è un bivio. È una situazione in cui scegli \(r\) elementi tra \(n\) tipi? Oppure gli elementi sono già davanti a te e li disponi tutti, come le 6 lettere di TOMATO? Nel secondo caso non c’è nessuna scelta, quindi al posto delle 4 formule qui sopra si usano le permutazioni con ripetizione \(\dfrac{n!}{p!\,q!\cdots}\). Per prima cosa distingui «scegli e poi disponi» da «disponi tutto ciò che hai».
Una volta capito che è una situazione di scelta, controlla queste 2 domande in quest’ordine. (1) Stai disponendo o stai solo contando la selezione? (2) Lo stesso elemento si può scegliere due o più volte, o una volta scelto è finito?
L’indizio per (1) è se ogni posto ha un significato proprio. Se i posti hanno dei ruoli, come 1º e 2º posto, capitano e vicecapitano o la 1ª e la 2ª cifra di un PIN, stai disponendo. Se conta solo il gruppo, come 2 studenti per l’assemblea d’istituto o il contenuto di un cestino della spesa, stai solo scegliendo.
L’indizio per (2) è se la scorta finisce. Se scegliere non consuma nulla, come quando lanci un dado più volte, compri quanti gusti uguali vuoi o riusi la stessa cifra, le ripetizioni sono ammesse. Se lo consuma, come quando una persona non può avere 2 ruoli o lo stesso biglietto non si può estrarre due volte, non ci sono ripetizioni.
Il divario tra \(n^{r}\) e \({}_{n}\mathrm{P}_{r}\) cresce al crescere di \(r\) (scegliendone 4 tra 10 tipi si ha \(10^{4} = 10000\) contro \({}_{10}\mathrm{P}_{4} = 5040\)). Confondere (2) può quasi raddoppiare la risposta, quindi non saltare questo controllo.
Per disporre con ripetizioni ammesse si usano le disposizioni con ripetizione \({}_{n}\Pi_{r} = n^{r}\). Per solo scegliere con ripetizioni ammesse si usano le combinazioni con ripetizione \({}_{n}\mathrm{H}_{r} = {}_{n+r-1}\mathrm{C}_{r}\). Per disporre tutto ciò che hai quando alcuni elementi sono uguali si usa \(\dfrac{n!}{p!\,q!\cdots}\). L’idea chiave di questo argomento è che riscrivere una combinazione con ripetizione con palline e barre (palline e barre) la trasforma in una normale combinazione \({}_{n+r-1}\mathrm{C}_{r}\).
Simboli e termini
Simboli
| \(n\) | enne | Il numero di tipi tra cui scegli. (Esempio: scegliendo tra 3 gusti di succo, \(n = 3\); usando le cifre da 0 a 9, \(n = 10\).) Per indicare una quantità si usa spesso la lettera \(n\), da «numero». Solo nelle permutazioni con ripetizione \(\dfrac{n!}{p!\,q!\cdots}\) ha un altro significato: il numero totale di elementi da disporre («TOMATO» ha 4 tipi di lettere, ma \(n = 6\)). |
| \(r\) | erre | Il numero di elementi che scegli (o disponi) con ripetizioni ammesse. (Esempio: comprando 5 succhi, \(r = 5\); un PIN di 4 cifre, \(r = 4\).) Sta nella stessa posizione che nei simboli delle disposizioni e delle combinazioni \({}_{n}\mathrm{P}_{r}\) e \({}_{n}\mathrm{C}_{r}\). |
| \(n!\) | enne fattoriale | Il prodotto di tutti i numeri interi da \(n\) fino a \(1\). È il numero di modi di disporre tutti gli \(n\) elementi in fila. Per definizione, \(0! = 1\). (Esempio: \(4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24\)) |
| \({}_{n}\Pi_{r}\) | enne pi greco erre | Disposizioni con ripetizione: il numero di modi di scegliere \(r\) elementi tra \(n\) tipi con ripetizioni ammesse e disporli in ordine. Il suo valore è \(n^{r}\). \(\Pi\) è la lettera greca pi maiuscola, che indica un prodotto e corrisponde alla P di «prodotto». I libri italiani scrivono di solito \(D'_{n,r} = n^{r}\) o solo \(n^{r}\), quindi usa la notazione della tua classe. |
| \({}_{n}\mathrm{H}_{r}\) | enne H erre | Combinazioni con ripetizione: il numero di modi di scegliere \(r\) elementi tra \(n\) tipi con ripetizioni ammesse, dove l’ordine non conta. Il suo valore è \({}_{n+r-1}\mathrm{C}_{r}\). Si dice che la \(\mathrm{H}\) venga da «homogeneous» (omogeneo), come nell’insieme di tutti i termini dello stesso grado. Questo simbolo si vede raramente nei libri italiani, che scrivono \(C'_{n,r}\) o \(\binom{n+r-1}{r}\). |
| \({}_{n}\mathrm{P}_{r}\) | enne P erre | Disposizioni: il numero di modi di scegliere \(r\) elementi su \(n\) e metterli in ordine, dove un elemento già scelto non si può scegliere di nuovo. P è l’iniziale dell’inglese «permutation». |
| \({}_{n}\mathrm{C}_{r}\) | enne C erre | Combinazioni: il numero di modi di scegliere \(r\) elementi su \(n\), dove un elemento già scelto non si può scegliere di nuovo e l’ordine non conta. C è l’iniziale di «combinazione». |
| \(N\) | N maiuscola | In questa pagina, la lettera per il numero di permutazioni con ripetizione. È l’iniziale maiuscola di «numero» ed è spesso usata per un totale da trovare. |
| \(p,\ q\) | p, q | Nelle permutazioni con ripetizione, le lettere che indicano quante copie ci sono di ciascun elemento uguale. (Esempio: in «TOMATO», T compare \(p = 2\) volte, O \(q = 2\) volte, M una volta e A una volta.) Con 3 o più tipi si continua con \(p,\ q,\ r,\ \dots\) (questa \(r\) non è il «numero di elementi \(r\)»). Sommano sempre \(p + q + r + \cdots = n\), il numero totale di elementi da disporre. |
| \(\bigcirc\) e \(|\) | pallina e barra | I simboli usati per contare le combinazioni con ripetizione (un metodo noto in inglese come «stars and bars»). Una pallina ○ è un elemento scelto e una barra \(|\) è una separazione tra i tipi. ○○|○|○○ vuol dire 2 del primo tipo, 1 del secondo e 2 del terzo. |
Termini
| calcolo combinatorio | Trovare quanti esiti possibili ci sono in tutto. Le disposizioni, le combinazioni e le loro versioni con ripetizione sono tutti strumenti del calcolo combinatorio per contare in modo efficiente. |
| ripetizione | Lo stesso elemento che compare due o più volte. In questo argomento vuol dire che lo stesso elemento si può scegliere due o più volte. Si descrive anche come scegliere «con reinserimento». |
| disposizione con ripetizione | Una disposizione di \(r\) elementi scelti tra \(n\) tipi, in cui lo stesso tipo si può scegliere quante volte si vuole e l’ordine conta. Ce ne sono \(n^{r}\), scritte \({}_{n}\Pi_{r}\) come simbolo (in Italia anche \(D'_{n,r}\)). |
| combinazione con ripetizione | Una scelta di \(r\) elementi tra \(n\) tipi, in cui lo stesso tipo si può scegliere quante volte si vuole e l’ordine non conta. Ce ne sono \({}_{n}\mathrm{H}_{r} = {}_{n+r-1}\mathrm{C}_{r}\) (in Italia anche \(C'_{n,r}\)). |
| permutazione con ripetizione | Una disposizione di tutti gli \(n\) elementi quando alcuni sono uguali, come in «TOMATO». Ce ne sono \(\dfrac{n!}{p!\,q!\cdots}\): si divide per i riordini degli elementi uguali per eliminare i doppioni. Contare gli anagrammi di una parola è l’esempio più noto. |
| disposizione | Un modo di scegliere \(r\) elementi su \(n\) e metterli in fila, dove l’ordine conta. Il simbolo è \({}_{n}\mathrm{P}_{r}\) e un elemento già scelto non si può scegliere di nuovo (disposizione semplice). |
| combinazione | Un modo di scegliere \(r\) elementi su \(n\) dove l’ordine non conta. Il simbolo è \({}_{n}\mathrm{C}_{r}\) e un elemento già scelto non si può scegliere di nuovo. |
| fattoriale | Moltiplicare tutti i numeri interi da \(n\) fino a \(1\). Il simbolo è \(n!\) e dà il numero di modi di disporre tutti gli \(n\) elementi. |
| palline e barre | Il metodo per contare le combinazioni con ripetizione con dei simboli (in inglese «stars and bars»): una barra \(|\) segna ogni separazione tra i tipi e una stella (in questa pagina una pallina ○) segna ogni elemento. Per separare \(n\) tipi servono \(n-1\) barre, quindi il problema diventa scegliere le posizioni delle palline tra \(n+r-1\) posti. |
| coefficiente multinomiale | Un altro nome del numero di permutazioni con ripetizione, \(\dfrac{n!}{p!\,q!\cdots}\). Il nome viene dal fatto che i coefficienti che si ottengono sviluppando \((a+b+c)^{n}\) hanno questa forma. |
| diagramma ad albero | Un diagramma ramificato che elenca ogni esito possibile, così conti ciascuno esattamente una volta. Le disposizioni con ripetizione corrispondono a un albero in cui ogni ramo si divide nello stesso numero di rami. |
| percorso minimo | Su un reticolo di strade, un percorso verso la destinazione senza deviazioni. Il numero di percorsi minimi che vanno \(p\) isolati a destra e \(q\) isolati in alto è dato dalle permutazioni con ripetizione \(\dfrac{(p+q)!}{p!\,q!}\). |
Cosa conviene sapere prima
Ecco cosa ti aiuta a usare il calcolo di questa pagina capendolo davvero, e non solo premendo il pulsante.
Se ti blocchi, ripassare gli argomenti di questa tabella è la via più rapida per andare avanti.
| Moltiplicazione e divisione (classi 3ª–5ª della primaria, 8-11 anni) |
|
| Potenze ed esponenti (scuola secondaria di primo grado, 11-14 anni) |
|
| Conteggio dei casi e diagrammi ad albero (classe 5ª della primaria e secondaria di primo grado, 10-14 anni) |
|
| Fattoriali (scuola secondaria di secondo grado) |
|
| Disposizioni e combinazioni (scuola secondaria di secondo grado) |
|
Come calcolarlo con Excel
Copia tutta la tabella qui sotto e incollala nella cella A1 di Excel. Funziona così com’è.
Tabella per trovare le disposizioni con ripetizione nΠr
| Numero di tipi n | 10 |
| Elementi da disporre r | 4 |
| Disposizioni con ripetizione nΠr | =B1^B2 |
Tabella per trovare le combinazioni con ripetizione nHr
| Numero di tipi n | 3 |
| Elementi da scegliere r | 5 |
| Posti per palline e barre | =B1+B2-1 |
| Combinazioni con ripetizione nHr | =COMBINAZIONE(B3;B2) |
Tabella per trovare le permutazioni con ripetizione
| Numero totale di lettere n (TOMATO) | 6 |
| Numero di T | 2 |
| Numero di O | 2 |
| Numero di M | 1 |
| Numero di A | 1 |
| Disposizioni N | =FATTORIALE(B1)/(FATTORIALE(B2)*FATTORIALE(B3)*FATTORIALE(B4)*FATTORIALE(B5)) |
Dopo aver incollato, le righe in alto sono i tuoi dati e l’ultima riga si calcola da sola.
«^» è il simbolo della potenza, FATTORIALE è il fattoriale e COMBINAZIONE è la funzione di Excel per le combinazioni (nCr).
La prima tabella è il PIN di 4 cifre con le 10 cifre da 0 a 9 e B3 mostra 10000.
La seconda tabella è l’acquisto di 5 succhi tra 3 gusti. B3 mostra 7 (= 3 + 5 − 1) e B4 mostra 21.
La terza tabella riordina «TOMATO» e B6 mostra 180. Se ci sono più tipi di lettere ripetute, moltiplica al denominatore altri termini FATTORIALE.
Nota che Excel conserva solo 15 cifre significative, quindi quando la risposta ha 16 o più cifre, le ultime cifre vengono arrotondate.
«^» è il simbolo della potenza, FATTORIALE è il fattoriale e COMBINAZIONE è la funzione di Excel per le combinazioni (nCr).
La prima tabella è il PIN di 4 cifre con le 10 cifre da 0 a 9 e B3 mostra 10000.
La seconda tabella è l’acquisto di 5 succhi tra 3 gusti. B3 mostra 7 (= 3 + 5 − 1) e B4 mostra 21.
La terza tabella riordina «TOMATO» e B6 mostra 180. Se ci sono più tipi di lettere ripetute, moltiplica al denominatore altri termini FATTORIALE.
Nota che Excel conserva solo 15 cifre significative, quindi quando la risposta ha 16 o più cifre, le ultime cifre vengono arrotondate.
Come calcolarlo con Fogli Google
Copia tutta la tabella qui sotto e incollala nella cella A1 di Fogli Google. Funziona così com’è.
Tabella per trovare le disposizioni con ripetizione nΠr
| Numero di tipi n | 10 |
| Elementi da disporre r | 4 |
| Disposizioni con ripetizione nΠr | =B1^B2 |
Tabella per trovare le combinazioni con ripetizione nHr
| Numero di tipi n | 3 |
| Elementi da scegliere r | 5 |
| Posti per palline e barre | =B1+B2-1 |
| Combinazioni con ripetizione nHr | =COMBINAZIONE(B3;B2) |
Tabella per trovare le permutazioni con ripetizione
| Numero totale di lettere n (TOMATO) | 6 |
| Numero di T | 2 |
| Numero di O | 2 |
| Numero di M | 1 |
| Numero di A | 1 |
| Disposizioni N | =FATTORIALE(B1)/(FATTORIALE(B2)*FATTORIALE(B3)*FATTORIALE(B4)*FATTORIALE(B5)) |
Le stesse formule di Excel funzionano così come sono (FATTORIALE e COMBINAZIONE hanno gli stessi nomi in Fogli Google).
Copia l’intera tabella, incollala nella cella A1 e cambia i numeri in base alla tua situazione.
Copia l’intera tabella, incollala nella cella A1 e cambia i numeri in base alla tua situazione.
Come calcolarlo con Python
import math
from collections import Counter
# 1) disposizioni con ripetizione (si scelgono r elementi tra n tipi con ripetizioni ammesse e l’ordine conta)
kinds = 10 # numero di tipi n (le 10 cifre 0-9)
picks = 4 # numero di elementi da disporre r (4 cifre)
repeated_permutations = kinds ** picks
# 2) combinazioni con ripetizione (si scelgono r elementi tra n tipi con ripetizioni ammesse, l’ordine non conta)
juice_kinds = 3 # numero di tipi n (3 gusti di succo)
bottles = 5 # numero di elementi da scegliere r (5 succhi)
repeated_combinations = math.comb(juice_kinds + bottles - 1, bottles)
# 3) permutazioni con ripetizione (riordinare una parola con lettere ripetute)
word = "TOMATO"
letter_counts = Counter(word)
same_item_permutations = math.factorial(len(word))
for count in letter_counts.values():
same_item_permutations //= math.factorial(count)
print(f"Disposizioni con ripetizione (disporre {picks} tra {kinds} tipi): {repeated_permutations}")
print(f"Combinazioni con ripetizione (scegliere {bottles} tra {juice_kinds} tipi): {repeated_combinations}")
print(f"Riordini di {word}: {same_item_permutations}")
Funziona con la sola libreria standard (math.comb richiede Python 3.8 o successivo). Avviandolo compaiono 10000, 21 e 180. Gli interi di Python non hanno limiti di cifre, quindi la risposta resta esatta anche con centinaia di cifre. Cambia i numeri e la parola in alto e avvia il codice.
La formula in LaTeX e in altre notazioni matematiche (da copiare)
Disposizioni con ripetizione \({}_{n}\Pi_{r}\) (si dispongono \(r\) elementi, ripetizioni ammesse)
ₙΠᵣ = nʳ
{}_{n}\Pi_{r} = n^{r}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mmultiscripts>
<mi>Π</mi>
<mi>r</mi><none/>
<mprescripts/>
<mi>n</mi><none/>
</mmultiscripts>
<mo>=</mo>
<msup><mi>n</mi><mi>r</mi></msup>
</mrow>
</math>
n^r
n^r
repeatedPermutation := n^r;
repeated_permutation = n^r;
n^r
Combinazioni con ripetizione \({}_{n}\mathrm{H}_{r}\) (si scelgono \(r\) elementi, ripetizioni ammesse)
ₙHᵣ = ₙ₊ᵣ₋₁Cᵣ
{}_{n}\mathrm{H}_{r} = {}_{n+r-1}\mathrm{C}_{r} = \dfrac{(n+r-1)!}{r!\,(n-1)!}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mmultiscripts>
<mi>H</mi>
<mi>r</mi><none/>
<mprescripts/>
<mi>n</mi><none/>
</mmultiscripts>
<mo>=</mo>
<mmultiscripts>
<mi>C</mi>
<mi>r</mi><none/>
<mprescripts/>
<mrow><mi>n</mi><mo>+</mo><mi>r</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow><none/>
</mmultiscripts>
</mrow>
</math>
H(n, r) = C(n+r-1, r)
Binomial[n + r - 1, r]
nHr := binomial(n + r - 1, r);
nhr = nchoosek(n + r - 1, r);
H(n,r) = C(n+r−1, r) = (n+r−1)!/(r!(n−1)!)
Permutazioni con ripetizione (riordinare elementi che ne includono di uguali)
N = n! ÷ (p! × q! × r! × ⋯)
N = \dfrac{n!}{p!\,q!\,r!\cdots}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>N</mi>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow><mi>n</mi><mo>!</mo></mrow>
<mrow>
<mi>p</mi><mo>!</mo>
<mi>q</mi><mo>!</mo>
<mi>r</mi><mo>!</mo>
<mo>⋯</mo>
</mrow>
</mfrac>
</mrow>
</math>
N = (n!)/(p!q!r!cdots)
Multinomial[p, q, r]
N := factorial(n)/(factorial(p)*factorial(q)*factorial(r));
N = factorial(n)/(factorial(p)*factorial(q)*factorial(r));
N = n!/(p!q!r!⋯)
Come chiedere a ChatGPT di fare il calcolo
Sei un assistente per il calcolo combinatorio (disposizioni e combinazioni). Fai i 3 calcoli seguenti eseguendo davvero codice Python e basa la risposta solo sui numeri del risultato dell’esecuzione (non rispondere con calcoli a mente o a caso). 1. Quanti PIN di 4 cifre si possono formare con le 10 cifre da 0 a 9? (La stessa cifra si può usare quante volte si vuole.) 2. In quanti modi si possono comprare 5 succhi tra 3 gusti, con un numero qualsiasi per ogni gusto? (Conta solo quanti ce ne sono di ogni gusto, non l’ordine di scelta.) 3. Quante stringhe diverse si possono formare riordinando le 6 lettere di «TOMATO»? Per ciascuno, di’ se hai usato le disposizioni con ripetizione, le combinazioni con ripetizione o le permutazioni con ripetizione, spiega perché e mostra i numeri del risultato dell’esecuzione. In Python usa il modulo math (math.comb e math.factorial) e collections.Counter.
Come si usa
-
1Inserisci i numeriScrivi nei campi i numeri con cui vuoi fare il calcolo
-
2CalcolaFai clic sul pulsante «Calcola»
-
3Guarda il risultatoIl risultato compare subito. Nella stessa pagina trovi anche lo svolgimento del calcolo e la spiegazione della formula
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Nessuna autorizzazione preventiva necessaria
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Funzioni correlate
Calcolatrice di disposizioni e combinazioni (nPr, nCr)
Conta le disposizioni (ordinamenti) e le combinazioni (scelte) quando un elemento non si può scegliere due volte
Calcolatrice di permutazioni circolari (tavola rotonda e braccialetto)
Conta le disposizioni in cerchio (permutazioni circolari) e i braccialetti in cui i ribaltamenti contano come uguali
