Scrivi le coordinate xyz del punto 1 e del punto 2 per calcolare la distanza tra loro nello spazio 3D. Compaiono anche gli incrementi di x, y e z.
Scrivi le coordinate come numeri (vanno bene i numeri decimali e quelli negativi). Servono tutti e sei i campi.
Risultato e figura
Scrivi le coordinate xyz dei due punti nei campi a sinistra e fai clic su «Calcola». Qui compare il risultato.
Indice
-
Cosa puoi fare in questa pagina
-
A cosa serve questo calcolo?
-
Come si usa
-
Formule e figure
-
Simboli e termini
-
Cosa conviene sapere prima
-
Come calcolarlo con Excel
-
Come calcolarlo con Fogli Google
-
Come calcolarlo con Python
-
La formula in LaTeX e in altre notazioni matematiche (da copiare)
-
Come chiedere a ChatGPT di fare il calcolo
-
I punti di forza di DataChef
-
Funzioni correlate
-
Tutte le calcolatrici di NumberChef
Cosa puoi fare in questa pagina
- Scrivi le coordinate xyz di due punti nello spazio (3D) e ottieni subito la distanza \(d\) tra loro
- Insieme alla distanza calcola anche l’incremento di x, \(\Delta x\), l’incremento di y, \(\Delta y\), e l’incremento di z, \(\Delta z\)
- Il risultato è mostrato anche in una figura 3D che puoi ruotare con il mouse, così vedi che la distanza è la lunghezza del segmento che unisce i due punti (la diagonale del parallelepipedo)
- In questa pagina trovi anche la spiegazione chiara delle formule e le formule da copiare e incollare per Excel, Fogli Google e Python
Questa pagina calcola la distanza in linea retta tra due punti nello spazio (tre dimensioni). Per la distanza nel piano, con sole due coordinate (x, y), usa la pagina correlata «Calcolatrice della distanza tra due punti». In 3D una retta non ha un solo «coefficiente angolare» né un’equazione della forma y = mx + q, quindi questa pagina mostra solo la distanza e gli incrementi delle coordinate.
A cosa serve questo calcolo?
Collisioni e controlli di distanza nei giochi 3D e nella realtà virtuale (programmazione)
In un gioco 3D le posizioni di personaggi, proiettili e oggetti sono tenute come coordinate (x ; y ; z) e il gioco decide che «c’è un colpo quando la distanza è inferiore a un valore stabilito» oppure che «un nemico ti nota quando entri entro una certa distanza». Per esempio, se il tuo personaggio è in (1 ; 1 ; 1) e un nemico è in (2 ; 3 ; 3), la distanza è \(\sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2} = 3\). Ripetere questo calcolo a ogni fotogramma è il modo in cui funzionano i controlli di distanza nei giochi 3D.
È solo la formula della distanza dei giochi 2D con un termine in più per \(z\).
Distanza in linea retta da un drone (rilievi e riprese aeree)
La posizione di un drone si può dare con tre numeri: quanto è lontano in orizzontale (x e y) e la sua altezza (z). Se un drone si trova a 60 m a est e 80 m a nord del pilota, a un’altezza di 50 m, la distanza in linea retta da esso è \(\sqrt{60^2 + 80^2 + 50^2} = \sqrt{12500} \approx 111{,}8\) m.
Questa distanza nello spazio è quella che usi per ragionare sulla portata radio e su quanto lontano riesci ancora a vedere il drone.
Misurare le lunghezze in diagonale nel CAD 3D e nella stampa 3D (progettazione e produzione)
Nel CAD 3D le posizioni, come i centri dei fori e gli spigoli di un pezzo, sono date come coordinate nello spazio. La distanza tra due punti in diagonale nello spazio, che spesso non è scritta sul disegno, si ricava dalle differenze delle coordinate con la formula di questa pagina. Per esempio, due punti distanti 30 mm in larghezza, 40 mm in profondità e 120 mm in altezza sono a \(\sqrt{30^2 + 40^2 + 120^2} = 130\) mm l’uno dall’altro.
È un calcolo di tutti i giorni quando si costruiscono oggetti, per esempio per stimare la lunghezza di un controvento o il percorso più breve di tubi e cavi.
Trovare la distanza tra gli atomi di una molecola (chimica e scoperta di farmaci)
In chimica la posizione di ogni atomo di una molecola è registrata come coordinate nello spazio (anche le banche dati delle proteine usano questo formato). Quando conosci le coordinate di due atomi, la distanza tra loro (la lunghezza di un legame, o quanto due atomi sono vicini) si trova esattamente con la formula di questa pagina.
È un calcolo di base alla scoperta di farmaci e allo sviluppo di materiali, per esempio quando si controlla se la molecola di un farmaco candidato si adatta bene al suo bersaglio.
Formule e figure
Distanza \(d\) tra due punti nello spazio 3D (la formula della distanza in 3D)
Figura
Notazione matematica
(la notazione abituale)
\(d\)
\(=\)
\(\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}\)
A parole
(i simboli sostituiti da parole)
②
\(d\): distanza tra i punti
\(=\)
①
radice quadrata della somma dei quadrati delle differenze
La formula a parole
①
Calcola la
radice quadrata della somma dei quadrati delle differenze, \((x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2\)
(elevando al quadrato le differenze delle coordinate x, y e z, sommandole tutte e prendendo la radice quadrata)
②
e ottieni la
\(d\): distanza tra i punti
Un esempio semplice
La distanza tra i punti (1 ; 1 ; 1) e (2 ; 3 ; 3) è
distanza \(d\)
\(=\)
radice quadrata della somma dei quadrati delle differenze ((2−1)² + (3−1)² + (3−1)² = 9)
\(d = \sqrt{(2-1)^2 + (3-1)^2 + (3-1)^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3\)
L’idea chiave
È la formula della distanza nel piano (2D) con un solo termine in più, \((z_2 - z_1)^2\), e i passaggi sono esattamente gli stessi: elevi al quadrato le differenze, le sommi tutte e prendi la radice quadrata una sola volta, alla fine.
Un errore frequente è prendere le radici quadrate separatamente, come in \(\sqrt{(x_2-x_1)^2} + \sqrt{(y_2-y_1)^2} + \sqrt{(z_2-z_1)^2}\). Inoltre, anche se la differenza di due coordinate è negativa, il suo quadrato è positivo, quindi la distanza è la stessa qualunque punto scrivi per primo. Il risultato è spesso un numero che non è esatto, come \(\sqrt{3}\): in quel caso questa calcolatrice mostra un numero decimale (un valore approssimato).
Perché questa formula dà la distanza (il teorema di Pitagora usato due volte)
Figura
Notazione matematica
(la notazione abituale)
\(\Delta x^2\)
\(+\)
\(\Delta y^2\)
\(+\)
\(\Delta z^2\)
\(=\)
\(d^2\)
A parole
(i simboli sostituiti da parole)
①
quadrato dell’incremento di x, \(\Delta x\)
\(+\)
②
quadrato dell’incremento di y, \(\Delta y\)
\(+\)
③
quadrato dell’incremento di z, \(\Delta z\)
\(=\)
④
quadrato della distanza \(d\)
La formula a parole
①
Somma il
quadrato dell’incremento di x, \(\Delta x\) (quanto sono distanti i punti da sinistra a destra)
②
il
quadrato dell’incremento di y, \(\Delta y\) (quanto sono distanti da davanti a dietro)
③
e il
quadrato dell’incremento di z, \(\Delta z\) (quanto sono distanti in alto e in basso)
④
e ottieni esattamente il
quadrato della distanza \(d\) tra i punti (la diagonale del parallelepipedo)
(il teorema di Pitagora nello spazio)
Un esempio semplice
Verifichiamo con i punti (0 ; 0 ; 0) e (3 ; 4 ; 12) (Δx = 3, Δy = 4, Δz = 12)
Δx al quadrato (3² = 9)
\(+\)
Δy al quadrato (4² = 16)
\(+\)
Δz al quadrato (12² = 144)
\(=\)
distanza al quadrato (169 = 13²)
\(\ell = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5\)
\(d = \sqrt{\ell^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13\)
L’idea chiave
Immagina un parallelepipedo rettangolo con i due punti ai vertici opposti. Prima guarda solo il pavimento: per il teorema di Pitagora nel piano, la diagonale del pavimento \(\ell\) soddisfa \(\ell^2 = \Delta x^2 + \Delta y^2\).
Poi usa ancora una volta il teorema di Pitagora, sul triangolo rettangolo formato da questa diagonale del pavimento \(\ell\) e dall’altezza \(\Delta z\). Si ottiene \(d^2 = \ell^2 + \Delta z^2 = \Delta x^2 + \Delta y^2 + \Delta z^2\).
Quindi la formula della distanza in 3D è «il teorema di Pitagora usato due volte», e la distanza tra i due punti è esattamente la lunghezza della diagonale del parallelepipedo. Quando capisci che è lo stesso calcolo del problema sulla «diagonale del parallelepipedo» della scuola secondaria di primo grado, hai una cosa in meno da memorizzare.
Per trovare la distanza tra due punti nello spazio 3D, eleva al quadrato le differenze delle coordinate x, y e z, sommale tutte e prendi la radice quadrata. È il teorema di Pitagora usato due volte, lo stesso calcolo della diagonale del parallelepipedo. Immagina la formula della distanza nel piano con un termine in più, \(\Delta z^2\), e non la dimenticherai più.
Simboli e termini
Simboli
| \(d\) | di | La distanza tra i due punti nello spazio, dall’iniziale di «distanza». |
| \((x_1, y_1, z_1)\), \((x_2, y_2, z_2)\) | x uno, y uno, z uno | Le coordinate dei due punti nello spazio. \(x\) e \(y\) danno la posizione su un piano orizzontale e \(z\) dà l’altezza. Il piccolo numero in basso a destra (il pedice) distingue il primo punto dal secondo. |
| \(\Delta x\), \(\Delta y\), \(\Delta z\) | delta x, delta y, delta z | L’incremento (la differenza delle coordinate). \(\Delta\) (delta) è una lettera greca che indica «variazione» o «differenza»: \(\Delta x = x_2 - x_1\), \(\Delta y = y_2 - y_1\) e \(\Delta z = z_2 - z_1\). |
| \(\ell\) | elle | Il simbolo usato in questa spiegazione per la lunghezza della diagonale del pavimento del parallelepipedo. \(\ell^2 = \Delta x^2 + \Delta y^2\): è il passaggio intermedio quando si usa il teorema di Pitagora due volte. |
| \(\sqrt{\phantom{a}}\) | radice quadrata | Il segno della radice quadrata (il numero che, elevato al quadrato, dà quel numero). \(\sqrt{9} = 3\) (perché 3² = 9). Anche nella formula della distanza in 3D si prende la radice quadrata una sola volta, alla fine. |
Termini
| spazio cartesiano | Lo spazio in cui, oltre all’asse x e all’asse y, c’è un asse z per l’altezza, e la posizione di un punto è data da tre numeri (x ; y ; z). È il piano (2D) con una coordinata in più per l’altezza. |
| coordinata | I numeri che danno la posizione di un punto. Nello spazio sono tre, come nel punto (2 ; 3 ; 3): 2 nella direzione x, 3 nella direzione y e 3 nella direzione z (altezza). |
| segmento | Una retta limitata che unisce due punti, i quali sono i suoi estremi. La distanza tra due punti è la lunghezza di questo segmento. |
| teorema di Pitagora | Il teorema secondo cui, in un triangolo rettangolo, la somma dei quadrati dei due cateti è uguale al quadrato dell’ipotenusa. La formula della distanza in 3D usa questo teorema due volte di seguito. Si studia nella scuola secondaria di primo grado (11-14 anni). |
| diagonale del parallelepipedo | La linea che unisce due vertici opposti di un parallelepipedo rettangolo, passando all’interno. Per un parallelepipedo con lunghezza a, larghezza b e altezza c, la diagonale è lunga \(\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}\). La distanza tra due punti nello spazio è lo stesso calcolo. |
| distanza euclidea | Il nome formale della distanza in linea retta tra due punti che questa pagina calcola. Non solo in 3D, ma anche nell’analisi dei dati e nell’intelligenza artificiale, questo nome si usa spesso per la misura di base della vicinanza tra punti. |
| dimensione | Quanti numeri servono per dare una posizione. Una retta ha 1 dimensione (la retta dei numeri), un piano ne ha 2 (x, y) e lo spazio ne ha 3 (x, y, z). Ogni dimensione in più aggiunge solo un termine sotto la radice quadrata: la forma della formula della distanza resta la stessa. |
Cosa conviene sapere prima
Ecco che cosa ti aiuta a usare il calcolo di questa pagina capendolo davvero, e non solo premendo il pulsante.
Se ti blocchi, tornare a ripassare questi argomenti è la strada più veloce.
| Il piano cartesiano (scuola secondaria di primo grado, 11-14 anni) |
|
| Operazioni con i numeri relativi (scuola secondaria di primo grado, 11-14 anni) |
|
| Radici quadrate (scuola secondaria di primo grado, 11-14 anni) |
|
| Il teorema di Pitagora (scuola secondaria di primo grado, 11-14 anni) |
|
| Solidi e coordinate nello spazio 3D (scuola secondaria di primo e di secondo grado) |
|
Come calcolarlo con Excel
Copia tutta la tabella qui sotto e incollala nella cella A1 di Excel. Funziona così com’è.
Tabella per trovare la distanza d tra due punti nello spazio 3D
| Ascissa x₁ del punto 1 | 1 |
| Ordinata y₁ del punto 1 | 1 |
| Quota z₁ del punto 1 | 1 |
| Ascissa x₂ del punto 2 | 2 |
| Ordinata y₂ del punto 2 | 3 |
| Quota z₂ del punto 2 | 3 |
| Distanza tra i punti d | =RADQ((B4-B1)^2+(B5-B2)^2+(B6-B3)^2) |
Tabella per verificare con il teorema di Pitagora usato due volte
| Ascissa x₁ del punto 1 | 0 |
| Ordinata y₁ del punto 1 | 0 |
| Quota z₁ del punto 1 | 0 |
| Ascissa x₂ del punto 2 | 3 |
| Ordinata y₂ del punto 2 | 4 |
| Quota z₂ del punto 2 | 12 |
| Incremento di x, Δx | =B4-B1 |
| Incremento di y, Δy | =B5-B2 |
| Incremento di z, Δz | =B6-B3 |
| Diagonale del pavimento ℓ=√(Δx²+Δy²) | =RADQ(B7^2+B8^2) |
| Distanza tra i punti d=√(ℓ²+Δz²) | =RADQ(B10^2+B9^2) |
Dopo averla incollata, le righe in alto sono i dati da inserire e le formule nelle righe in basso si calcolano da sole.
«RADQ(…)» è la radice quadrata e «^2» è il quadrato.
La prima tabella dà la distanza 3. La seconda tabella parte da Δx = 3, Δy = 4 e Δz = 12, trova prima la diagonale del pavimento ℓ = 5 e poi la distanza d = 13, così vedi anche i valori intermedi quando si usa il teorema di Pitagora due volte.
«RADQ(…)» è la radice quadrata e «^2» è il quadrato.
La prima tabella dà la distanza 3. La seconda tabella parte da Δx = 3, Δy = 4 e Δz = 12, trova prima la diagonale del pavimento ℓ = 5 e poi la distanza d = 13, così vedi anche i valori intermedi quando si usa il teorema di Pitagora due volte.
Come calcolarlo con Fogli Google
Copia tutta la tabella qui sotto e incollala nella cella A1 di Fogli Google. Funziona così com’è.
Tabella per trovare la distanza d tra due punti nello spazio 3D
| Ascissa x₁ del punto 1 | 1 |
| Ordinata y₁ del punto 1 | 1 |
| Quota z₁ del punto 1 | 1 |
| Ascissa x₂ del punto 2 | 2 |
| Ordinata y₂ del punto 2 | 3 |
| Quota z₂ del punto 2 | 3 |
| Distanza tra i punti d | =RADQ((B4-B1)^2+(B5-B2)^2+(B6-B3)^2) |
Tabella per verificare con il teorema di Pitagora usato due volte
| Ascissa x₁ del punto 1 | 0 |
| Ordinata y₁ del punto 1 | 0 |
| Quota z₁ del punto 1 | 0 |
| Ascissa x₂ del punto 2 | 3 |
| Ordinata y₂ del punto 2 | 4 |
| Quota z₂ del punto 2 | 12 |
| Incremento di x, Δx | =B4-B1 |
| Incremento di y, Δy | =B5-B2 |
| Incremento di z, Δz | =B6-B3 |
| Diagonale del pavimento ℓ=√(Δx²+Δy²) | =RADQ(B7^2+B8^2) |
| Distanza tra i punti d=√(ℓ²+Δz²) | =RADQ(B10^2+B9^2) |
Le formule sono le stesse di Excel (RADQ e ^2) e funzionano così come sono in Fogli Google. Copia tutta la tabella, incollala nella cella A1 e sostituisci i numeri dei dati con le tue coordinate.
Come calcolarlo con Python
import math
x1, y1, z1 = 1.0, 1.0, 1.0 # coordinate del punto 1
x2, y2, z2 = 2.0, 3.0, 3.0 # coordinate del punto 2
delta_x = x2 - x1 # incremento di x
delta_y = y2 - y1 # incremento di y
delta_z = z2 - z1 # incremento di z
distance = math.sqrt(delta_x**2 + delta_y**2 + delta_z**2) # distanza tra i punti
print(f"Incremento di x Δx: {delta_x}")
print(f"Incremento di y Δy: {delta_y}")
print(f"Incremento di z Δz: {delta_z}")
print(f"Distanza tra i punti d: {distance}")
# Lo stesso calcolo si può scrivere in una riga con math.dist (Python 3.8 o successivo)
print(f"Verifica con math.dist: {math.dist((x1, y1, z1), (x2, y2, z2))}")
Funziona solo con la libreria standard. math.sqrt è la radice quadrata e «**2» è il quadrato. L’ultima riga, math.dist, è una funzione che trova la distanza dalle coordinate di due punti in un solo passaggio, così puoi verificare anche che i risultati coincidano. Cambia le coordinate in alto ed eseguilo.
La formula in LaTeX e in altre notazioni matematiche (da copiare)
Distanza \(d\) tra due punti nello spazio 3D (la formula della distanza in 3D)
d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)² + (z₂ − z₁)²)
d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>d</mi>
<mo>=</mo>
<msqrt>
<mrow>
<msup>
<mrow><mo>(</mo><msub><mi>x</mi><mn>2</mn></msub><mo>−</mo><msub><mi>x</mi><mn>1</mn></msub><mo>)</mo></mrow>
<mn>2</mn>
</msup>
<mo>+</mo>
<msup>
<mrow><mo>(</mo><msub><mi>y</mi><mn>2</mn></msub><mo>−</mo><msub><mi>y</mi><mn>1</mn></msub><mo>)</mo></mrow>
<mn>2</mn>
</msup>
<mo>+</mo>
<msup>
<mrow><mo>(</mo><msub><mi>z</mi><mn>2</mn></msub><mo>−</mo><msub><mi>z</mi><mn>1</mn></msub><mo>)</mo></mrow>
<mn>2</mn>
</msup>
</mrow>
</msqrt>
</mrow>
</math>
d = sqrt((x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2)
Sqrt[(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2]
d := sqrt((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2);
d = sqrt((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2);
d = √((x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2)
Perché questa formula dà la distanza (il teorema di Pitagora usato due volte)
Δx² + Δy² + Δz² = d²
\Delta x^2 + \Delta y^2 + \Delta z^2 = d^2
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msup><mrow><mi mathvariant="normal">Δ</mi><mi>x</mi></mrow><mn>2</mn></msup>
<mo>+</mo>
<msup><mrow><mi mathvariant="normal">Δ</mi><mi>y</mi></mrow><mn>2</mn></msup>
<mo>+</mo>
<msup><mrow><mi mathvariant="normal">Δ</mi><mi>z</mi></mrow><mn>2</mn></msup>
<mo>=</mo>
<msup><mi>d</mi><mn>2</mn></msup>
</mrow>
</math>
(Delta x)^2 + (Delta y)^2 + (Delta z)^2 = d^2
dx^2 + dy^2 + dz^2 == d^2
dx^2 + dy^2 + dz^2 = d^2;
dx^2 + dy^2 + dz^2 == d^2
Δx^2 + Δy^2 + Δz^2 = d^2
Come chiedere a ChatGPT di fare il calcolo
Sei un assistente di calcolo per la matematica. Esegui il calcolo seguente eseguendo davvero codice Python e basa la risposta solo sui numeri del risultato dell’esecuzione (non rispondere con il calcolo a mente né a intuito). Per i due punti (1 ; 1 ; 1) e (2 ; 3 ; 3) nello spazio 3D (spazio cartesiano), trova ciascuna delle cose seguenti: 1. La distanza d tra i due punti (usa la formula della distanza in 3D d = √((x2−x1)² + (y2−y1)² + (z2−z1)²)) 2. L’incremento di x Δx, l’incremento di y Δy e l’incremento di z Δz Mostra le formule usate e i numeri del risultato dell’esecuzione.
Come si usa
-
1Inserisci i numeriScrivi nei campi i numeri con cui vuoi fare il calcolo
-
2CalcolaFai clic sul pulsante «Calcola»
-
3Guarda il risultatoIl risultato compare subito. Nella stessa pagina trovi anche lo svolgimento del calcolo e la spiegazione della formula
I punti di forza di DataChef
Semplice e gratuito
Conversioni gratuite e illimitate
Nessuna competenza richiesta, semplice e intuitivo
Nessuna competenza richiesta, semplice e intuitivo
Senza registrazione
Pronto all'uso appena apri la pagina
Nessun dato personale richiesto
Nessun dato personale richiesto
Sicuro e affidabile
Connessione fortemente crittografata (SSL)
Il file viene eliminato automaticamente dopo il download
Il file viene eliminato automaticamente dopo il download
Veloce
Visualizzazione e conversione rapide, senza attese
Senza filigrana
Nessuna filigrana
Nessun obbligo di attribuzione
Nessun obbligo di attribuzione
Uso commerciale consentito
Uso commerciale gratuito
Nessuna autorizzazione preventiva necessaria
Nessuna autorizzazione preventiva necessaria
Funzioni correlate
Calcolatrice della distanza tra due punti (formula della distanza, coefficiente angolare ed equazione della retta)
Calcola la distanza tra due punti del piano (2D), insieme al coefficiente angolare e all’equazione della retta
Calcolatrice del teorema di Pitagora (ipotenusa e cateti di un triangolo rettangolo)
Calcola il terzo lato, gli angoli e l’area di un triangolo rettangolo da due lati. È la base della formula della distanza in 3D
Calcolatrice del volume del parallelepipedo rettangolo (lunghezza × larghezza × altezza)
Calcola il volume di un parallelepipedo rettangolo dai suoi tre spigoli. La distanza nello spazio è lo stesso calcolo della lunghezza della diagonale del parallelepipedo
