Entrez les coordonnées x, y, z du point 1 et du point 2 pour obtenir la distance entre eux dans l’espace. Les variations de x, de y et de z s’affichent aussi.
Les coordonnées peuvent être décimales (1,5) ou négatives. Les six champs sont obligatoires.
Résultat et figure
Saisissez les coordonnées x, y, z de deux points dans les champs à gauche et appuyez sur « Calculer ». Le résultat s’affiche ici.
Table des matières
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Ce que vous pouvez faire sur cette page
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À quoi sert ce calcul ?
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Mode d'emploi
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Formules et figures
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Symboles et termes
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Ce qu’il est utile de savoir avant de commencer
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Calculer avec Excel
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Calculer avec Google Sheets
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Calculer avec Python
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Écrire la formule en LaTeX et autres langages mathématiques (à copier-coller)
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Faire faire le calcul par ChatGPT
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Les atouts de DataChef
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Fonctions connexes
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Liste des calculatrices NumberChef
Ce que vous pouvez faire sur cette page
- Entrez les coordonnées x, y, z de deux points de l’espace (en 3D) et obtenez tout de suite la distance \(d\) entre eux
- En même temps, le calculateur donne la variation de x \(\Delta x\), la variation de y \(\Delta y\) et la variation de z \(\Delta z\)
- Le résultat s’affiche aussi dans une figure 3D qu’on peut faire tourner à la souris : on voit que la distance est la longueur du segment qui relie les deux points (la diagonale d’un pavé droit)
- Une explication simple des formules et des formules à copier-coller pour Excel, Google Sheets et Python se trouvent aussi sur cette page
Cette page calcule la distance en ligne droite entre deux points de l’espace (en trois dimensions), dans un repère orthonormé. Pour une distance dans le plan, avec seulement deux coordonnées (x ; y), utilisez la page associée sur la distance entre deux points. Dans l’espace, une droite n’a pas de « coefficient directeur » ni d’équation de la forme y = mx + b : cette page donne donc seulement la distance et les variations des coordonnées.
À quoi sert ce calcul ?
Détection de collision et de distance dans les jeux 3D et la réalité virtuelle (programmation)
Dans un jeu en 3D, les positions des personnages, des projectiles et des objets sont gérées par des coordonnées (x ; y ; z), et le jeu décide « il y a touche si la distance est inférieure à une certaine valeur » ou « un ennemi vous repère si vous passez à moins d’une certaine distance ». Par exemple, si votre personnage est en (1 ; 1 ; 1) et un ennemi en (2 ; 3 ; 3), la distance est \(\sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2} = 3\). Répéter ce calcul à chaque image, c’est le principe de la détection de distance dans les jeux 3D.
C’est simplement la formule de la distance des jeux en 2D avec un terme de plus pour \(z\).
La distance en ligne droite jusqu’à un drone (topographie et prise de vue aérienne)
La position d’un drone se décrit par trois nombres : son éloignement horizontal (x et y) et sa hauteur (z). Si un drone se trouve à 60 m à l’est et 80 m au nord du télépilote, à 50 m de hauteur, la distance en ligne droite jusqu’à lui est \(\sqrt{60^2 + 80^2 + 50^2} = \sqrt{12\,500} \approx 111{,}8\) m.
C’est cette distance dans l’espace qu’il faut considérer pour la portée de la radiocommande et pour savoir jusqu’où on garde le drone à vue.
Mesurer une longueur en diagonale en CAO 3D et en impression 3D (conception et fabrication)
En CAO 3D, les positions comme les centres des trous ou les sommets d’une pièce sont données par des coordonnées dans l’espace. La distance entre deux points éloignés en diagonale, souvent absente du plan, se calcule à partir des différences de coordonnées avec la formule de cette page. Par exemple, deux points écartés de 30 mm en largeur, 40 mm en profondeur et 120 mm en hauteur sont à \(\sqrt{30^2 + 40^2 + 120^2} = 130\) mm l’un de l’autre.
C’est un calcul quotidien en fabrication, par exemple pour estimer la longueur d’un renfort ou le chemin le plus court d’un tuyau ou d’un câble.
Calculer la distance entre deux atomes d’une molécule (chimie et recherche de médicaments)
En chimie, la position de chaque atome d’une molécule est enregistrée sous forme de coordonnées dans l’espace (les bases de données de protéines utilisent aussi ce format). Dès qu’on connaît les coordonnées de deux atomes, la distance entre eux (une longueur de liaison, ou la proximité de deux atomes) se calcule exactement avec la formule de cette page.
C’est un calcul de base de la recherche de médicaments et de la mise au point de matériaux, par exemple pour vérifier si une molécule candidate s’emboîte bien dans sa cible.
Formules et figures
Distance \(d\) entre deux points de l’espace (la formule de la distance en 3D)
Figure
Notation mathématique
(l’écriture habituelle)
\(d\)
\(=\)
\(\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}\)
En mots
(les symboles remplacés par des mots)
②
\(d\) : distance entre les deux points
\(=\)
①
racine carrée de la somme des carrés des différences
La formule en mots
①
On calcule la
racine carrée de la somme des carrés des différences, \((x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2\)
(on élève au carré les différences des coordonnées x, y et z, on les additionne toutes, puis on prend la racine carrée)
②
et on obtient la
\(d\) : distance entre les deux points
Exemple simple
La distance entre les points (1 ; 1 ; 1) et (2 ; 3 ; 3) est
distance \(d\)
\(=\)
racine carrée de la somme des carrés des différences ((2−1)² + (3−1)² + (3−1)² = 9)
\(d = \sqrt{(2-1)^2 + (3-1)^2 + (3-1)^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3\)
L’idée clé
C’est la formule de la distance dans le plan (en 2D) avec un seul terme de plus, \((z_2 - z_1)^2\), et la méthode est exactement la même : on élève les différences au carré, on les additionne toutes, et on prend la racine carrée une seule fois, à la fin.
Une erreur fréquente consiste à prendre les racines carrées séparément, comme \(\sqrt{(x_2-x_1)^2} + \sqrt{(y_2-y_1)^2} + \sqrt{(z_2-z_1)^2}\). Par ailleurs, même si une différence de coordonnées est négative, son carré est positif : la distance est la même quel que soit le point entré en premier. Le résultat est souvent un nombre qui ne tombe pas juste, comme \(\sqrt{3}\) ; ce calculateur affiche alors une valeur décimale approchée.
Pourquoi cette formule donne la distance (le théorème de Pythagore utilisé deux fois)
Figure
Notation mathématique
(l’écriture habituelle)
\(\Delta x^2\)
\(+\)
\(\Delta y^2\)
\(+\)
\(\Delta z^2\)
\(=\)
\(d^2\)
En mots
(les symboles remplacés par des mots)
①
carré de la variation de x, \(\Delta x\)
\(+\)
②
carré de la variation de y, \(\Delta y\)
\(+\)
③
carré de la variation de z, \(\Delta z\)
\(=\)
④
carré de la distance \(d\)
La formule en mots
①
On additionne le
carré de la variation de x, \(\Delta x\) (l’écart gauche-droite entre les points)
②
le
carré de la variation de y, \(\Delta y\) (l’écart avant-arrière)
③
et le
carré de la variation de z, \(\Delta z\) (l’écart haut-bas)
④
et on obtient exactement le
carré de la distance \(d\) entre les points (la diagonale du pavé)
(la version dans l’espace du théorème de Pythagore)
Exemple simple
Vérification avec les points (0 ; 0 ; 0) et (3 ; 4 ; 12) (Δx = 3, Δy = 4, Δz = 12)
Δx au carré (3² = 9)
\(+\)
Δy au carré (4² = 16)
\(+\)
Δz au carré (12² = 144)
\(=\)
distance au carré (169 = 13²)
\(\ell = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5\)
\(d = \sqrt{\ell^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13\)
L’idée clé
Imaginez un pavé droit dont les deux points sont deux sommets opposés. Regardez d’abord seulement le « sol » : d’après le théorème de Pythagore dans le plan, la diagonale du sol \(\ell\) vérifie \(\ell^2 = \Delta x^2 + \Delta y^2\).
Utilisez ensuite une deuxième fois le théorème de Pythagore, dans le triangle rectangle formé par cette diagonale du sol \(\ell\) et la hauteur \(\Delta z\). On obtient \(d^2 = \ell^2 + \Delta z^2 = \Delta x^2 + \Delta y^2 + \Delta z^2\).
La formule de la distance dans l’espace, c’est donc « le théorème de Pythagore utilisé deux fois », et la distance entre les deux points est exactement la longueur de la diagonale du pavé. Quand on voit que c’est le même calcul que le problème classique de la « diagonale d’un pavé droit », on a une chose de moins à retenir.
Pour trouver la distance entre deux points de l’espace, on élève au carré les différences des coordonnées x, y et z, on les additionne toutes, puis on prend la racine carrée. C’est le théorème de Pythagore utilisé deux fois, comme pour la diagonale d’un pavé droit. Retenez-la comme la formule du plan avec un terme de plus, \(\Delta z^2\), et vous ne l’oublierez plus.
Symboles et termes
Symboles
| \(d\) | d | La distance entre les deux points de l’espace (initiale de « distance »). |
| \((x_1, y_1, z_1)\), \((x_2, y_2, z_2)\) | x indice 1, y indice 1, z indice 1 | Les coordonnées des deux points de l’espace, qu’on écrit aussi \((x_1\,;\,y_1\,;\,z_1)\). \(x\) et \(y\) donnent la position dans un plan horizontal, et \(z\) (la cote) donne la hauteur. Le petit chiffre en bas à droite (l’indice) distingue le premier point du second. |
| \(\Delta x\), \(\Delta y\), \(\Delta z\) | delta x, delta y, delta z | La variation (la différence des coordonnées). \(\Delta\) (delta) est une lettre grecque qui désigne une variation ou une différence : \(\Delta x = x_2 - x_1\), \(\Delta y = y_2 - y_1\) et \(\Delta z = z_2 - z_1\). |
| \(\ell\) | l | Le symbole utilisé dans cette explication pour la longueur de la diagonale du « sol » du pavé. \(\ell^2 = \Delta x^2 + \Delta y^2\) : c’est l’étape intermédiaire quand on utilise deux fois le théorème de Pythagore. |
| \(\sqrt{\phantom{a}}\) | racine carrée (radical) | Le symbole de la racine carrée (le nombre positif dont le carré est ce nombre). \(\sqrt{9} = 3\) (car 3² = 9). Dans la formule de la distance dans l’espace aussi, on prend la racine carrée une seule fois, à la fin. |
Termes
| repère de l’espace | Un repère avec un axe z pour la hauteur en plus de l’axe des x et de l’axe des y : la position d’un point y est donnée par trois nombres (x ; y ; z). Ce sont les coordonnées du plan (en 2D) avec une coordonnée de plus pour la hauteur. |
| coordonnées | Les nombres qui repèrent un point. Dans l’espace, il y en a trois, comme pour le point (2 ; 3 ; 3) : 2 dans la direction x, 3 dans la direction y et 3 dans la direction z (la hauteur). |
| segment | La ligne droite qui relie deux points, ses extrémités. La distance entre deux points est la longueur de ce segment. |
| théorème de Pythagore | Le théorème selon lequel, dans un triangle rectangle, la somme des carrés des deux côtés de l’angle droit est égale au carré de l’hypoténuse. La formule de la distance dans l’espace utilise ce théorème deux fois de suite. Vu en 4e (13-14 ans). |
| diagonale d’un pavé droit | Le segment qui relie deux sommets opposés d’un pavé droit (un parallélépipède rectangle), en passant par l’intérieur. Pour un pavé de longueur a, de largeur b et de hauteur c, la diagonale mesure \(\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}\). La distance entre deux points de l’espace se calcule de la même façon. |
| distance euclidienne | Le nom savant de la distance en ligne droite entre deux points, celle que calcule cette page. Pas seulement en 3D, mais aussi en analyse de données et en IA, ce nom désigne souvent la façon de base de mesurer la proximité entre des points. |
| dimension | Le nombre de valeurs nécessaires pour repérer une position. Une droite est de dimension 1 (la droite graduée), un plan de dimension 2 (x ; y) et l’espace de dimension 3 (x ; y ; z). Chaque dimension de plus ajoute simplement un terme sous la racine : la forme de la formule de la distance ne change pas. |
Ce qu’il est utile de savoir avant de commencer
Voici ce qu’il est utile de savoir pour utiliser les calculs de cette page en comprenant ce qu’ils font.
En cas de difficulté, revoir ces notions est le chemin le plus court.
| Le repère du plan (5e, 12-13 ans) |
|
| Calculer avec les nombres relatifs (5e-4e, 12-14 ans) |
|
| La racine carrée (4e-3e, 13-15 ans) |
|
| Le théorème de Pythagore (4e, 13-14 ans) |
|
| Les solides et le repère de l’espace (collège et lycée) |
|
Calculer avec Excel
Copiez tout le tableau ci-dessous et collez-le dans la cellule A1 d’Excel. Il fonctionne tel quel.
Tableau pour trouver la distance d entre deux points de l’espace
| Point 1 : coordonnée x₁ | 1 |
| Point 1 : coordonnée y₁ | 1 |
| Point 1 : coordonnée z₁ | 1 |
| Point 2 : coordonnée x₂ | 2 |
| Point 2 : coordonnée y₂ | 3 |
| Point 2 : coordonnée z₂ | 3 |
| Distance entre les deux points, d | =RACINE((B4-B1)^2+(B5-B2)^2+(B6-B3)^2) |
Tableau pour vérifier avec le théorème de Pythagore utilisé deux fois
| Point 1 : coordonnée x₁ | 0 |
| Point 1 : coordonnée y₁ | 0 |
| Point 1 : coordonnée z₁ | 0 |
| Point 2 : coordonnée x₂ | 3 |
| Point 2 : coordonnée y₂ | 4 |
| Point 2 : coordonnée z₂ | 12 |
| Variation de x, Δx | =B4-B1 |
| Variation de y, Δy | =B5-B2 |
| Variation de z, Δz | =B6-B3 |
| Diagonale du sol ℓ=√(Δx²+Δy²) | =RACINE(B7^2+B8^2) |
| Distance entre les deux points d=√(ℓ²+Δz²) | =RACINE(B10^2+B9^2) |
Une fois le tableau collé, les lignes du haut sont vos données, et les formules des lignes du bas se calculent automatiquement.
« RACINE(…) » est la racine carrée, et « ^2 » élève au carré.
Le premier tableau donne la distance 3. Le deuxième part de Δx = 3, Δy = 4 et Δz = 12, trouve d’abord la diagonale du sol ℓ = 5 puis la distance d = 13 : on voit aussi les valeurs intermédiaires quand on utilise deux fois le théorème de Pythagore.
« RACINE(…) » est la racine carrée, et « ^2 » élève au carré.
Le premier tableau donne la distance 3. Le deuxième part de Δx = 3, Δy = 4 et Δz = 12, trouve d’abord la diagonale du sol ℓ = 5 puis la distance d = 13 : on voit aussi les valeurs intermédiaires quand on utilise deux fois le théorème de Pythagore.
Calculer avec Google Sheets
Copiez tout le tableau ci-dessous et collez-le dans la cellule A1 de Google Sheets. Il fonctionne tel quel.
Tableau pour trouver la distance d entre deux points de l’espace
| Point 1 : coordonnée x₁ | 1 |
| Point 1 : coordonnée y₁ | 1 |
| Point 1 : coordonnée z₁ | 1 |
| Point 2 : coordonnée x₂ | 2 |
| Point 2 : coordonnée y₂ | 3 |
| Point 2 : coordonnée z₂ | 3 |
| Distance entre les deux points, d | =RACINE((B4-B1)^2+(B5-B2)^2+(B6-B3)^2) |
Tableau pour vérifier avec le théorème de Pythagore utilisé deux fois
| Point 1 : coordonnée x₁ | 0 |
| Point 1 : coordonnée y₁ | 0 |
| Point 1 : coordonnée z₁ | 0 |
| Point 2 : coordonnée x₂ | 3 |
| Point 2 : coordonnée y₂ | 4 |
| Point 2 : coordonnée z₂ | 12 |
| Variation de x, Δx | =B4-B1 |
| Variation de y, Δy | =B5-B2 |
| Variation de z, Δz | =B6-B3 |
| Diagonale du sol ℓ=√(Δx²+Δy²) | =RACINE(B7^2+B8^2) |
| Distance entre les deux points d=√(ℓ²+Δz²) | =RACINE(B10^2+B9^2) |
Les mêmes formules qu’Excel (RACINE et ^2) fonctionnent telles quelles dans Google Sheets. Copiez tout le tableau, collez-le dans la cellule A1, puis remplacez les nombres saisis par vos propres coordonnées.
Calculer avec Python
import math
x1, y1, z1 = 1.0, 1.0, 1.0 # coordonnées du point 1
x2, y2, z2 = 2.0, 3.0, 3.0 # coordonnées du point 2
delta_x = x2 - x1 # variation de x
delta_y = y2 - y1 # variation de y
delta_z = z2 - z1 # variation de z
distance = math.sqrt(delta_x**2 + delta_y**2 + delta_z**2) # distance entre les deux points
print(f"Variation de x Δx : {delta_x}")
print(f"Variation de y Δy : {delta_y}")
print(f"Variation de z Δz : {delta_z}")
print(f"Distance entre les deux points d : {distance}")
# Le même calcul s’écrit en une ligne avec math.dist (Python 3.8 ou plus récent)
print(f"Vérification avec math.dist : {math.dist((x1, y1, z1), (x2, y2, z2))}")
Fonctionne avec la bibliothèque standard seule. math.sqrt est la racine carrée, et « **2 » élève au carré. La dernière ligne, math.dist, est une fonction qui calcule la distance à partir des coordonnées de deux points en une seule étape : on vérifie ainsi que les résultats concordent. Python affiche les nombres avec un point décimal. Modifiez les coordonnées au début et lancez le programme.
Écrire la formule en LaTeX et autres langages mathématiques (à copier-coller)
Distance \(d\) entre deux points de l’espace (la formule de la distance en 3D)
d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)² + (z₂ − z₁)²)
d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>d</mi>
<mo>=</mo>
<msqrt>
<mrow>
<msup>
<mrow><mo>(</mo><msub><mi>x</mi><mn>2</mn></msub><mo>−</mo><msub><mi>x</mi><mn>1</mn></msub><mo>)</mo></mrow>
<mn>2</mn>
</msup>
<mo>+</mo>
<msup>
<mrow><mo>(</mo><msub><mi>y</mi><mn>2</mn></msub><mo>−</mo><msub><mi>y</mi><mn>1</mn></msub><mo>)</mo></mrow>
<mn>2</mn>
</msup>
<mo>+</mo>
<msup>
<mrow><mo>(</mo><msub><mi>z</mi><mn>2</mn></msub><mo>−</mo><msub><mi>z</mi><mn>1</mn></msub><mo>)</mo></mrow>
<mn>2</mn>
</msup>
</mrow>
</msqrt>
</mrow>
</math>
d = sqrt((x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2)
Sqrt[(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2]
d := sqrt((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2);
d = sqrt((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2);
d = √((x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2)
Pourquoi cette formule donne la distance (le théorème de Pythagore utilisé deux fois)
Δx² + Δy² + Δz² = d²
\Delta x^2 + \Delta y^2 + \Delta z^2 = d^2
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msup><mrow><mi mathvariant="normal">Δ</mi><mi>x</mi></mrow><mn>2</mn></msup>
<mo>+</mo>
<msup><mrow><mi mathvariant="normal">Δ</mi><mi>y</mi></mrow><mn>2</mn></msup>
<mo>+</mo>
<msup><mrow><mi mathvariant="normal">Δ</mi><mi>z</mi></mrow><mn>2</mn></msup>
<mo>=</mo>
<msup><mi>d</mi><mn>2</mn></msup>
</mrow>
</math>
(Delta x)^2 + (Delta y)^2 + (Delta z)^2 = d^2
dx^2 + dy^2 + dz^2 == d^2
dx^2 + dy^2 + dz^2 = d^2;
dx^2 + dy^2 + dz^2 == d^2
Δx^2 + Δy^2 + Δz^2 = d^2
Faire faire le calcul par ChatGPT
Tu es un assistant de calcul mathématique. Fais le calcul suivant en exécutant réellement du code Python, et appuie ta réponse uniquement sur les nombres obtenus à l’exécution (ne réponds pas de tête ni au jugé). Pour les deux points (1 ; 1 ; 1) et (2 ; 3 ; 3) de l’espace, dans un repère orthonormé, trouve : 1. La distance d entre les deux points (utilise la formule d = √((x2−x1)² + (y2−y1)² + (z2−z1)²)) 2. La variation de x Δx, la variation de y Δy et la variation de z Δz Montre les formules utilisées et les nombres obtenus à l’exécution.
Mode d'emploi
-
1Saisissez vos nombresTapez les nombres à calculer dans les champs de saisie
-
2CalculezAppuyez sur le bouton « Calculer »
-
3Lisez le résultatLe résultat s’affiche aussitôt. La même page explique aussi le raisonnement et la formule
Les atouts de DataChef
Simple et gratuit
Conversions gratuites et illimitées
Aucune compétence requise – simple et intuitif
Aucune compétence requise – simple et intuitif
Aucune inscription requise
Utilisable dès l'ouverture de la page
Aucune donnée personnelle nécessaire
Aucune donnée personnelle nécessaire
Sûr et fiable
Connexion fortement chiffrée (SSL)
Le fichier est supprimé automatiquement après le téléchargement
Le fichier est supprimé automatiquement après le téléchargement
Rapide
Affichage et conversion rapides, sans attente
Sans filigrane
Aucun filigrane
Aucune mention de crédit nécessaire
Aucune mention de crédit nécessaire
Usage commercial autorisé
Usage commercial gratuit
Aucune autorisation préalable nécessaire
Aucune autorisation préalable nécessaire
Fonctions connexes
Distance entre deux points (formule, coefficient directeur et équation de la droite)
Calcule la distance entre deux points du plan (en 2D), ainsi que le coefficient directeur et l’équation de la droite
Théorème de Pythagore (calcul de l’hypoténuse et des côtés d’un triangle rectangle)
Calcule le troisième côté, les angles et l’aire d’un triangle rectangle à partir de deux côtés. C’est la base de la formule de la distance dans l’espace
Volume d’un pavé droit (longueur × largeur × hauteur)
Calcule le volume d’un pavé droit à partir de ses trois dimensions. La distance dans l’espace se calcule comme la longueur de la diagonale du pavé
